Методы обработки линейно зарегистрированного изображения и информационные характеристики качества оптических систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

РГ6 од АКАДЕМИЯ НАУК БЕЛАРУСИ

ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ 4ИЗШСК

'и......

11а правах рукописи

ДОВНАР Дмитрия Владимирович

№ГОДЫ ОБРАЕОПи! ЛШШЙНО ЗАРЕГИСТРИРОВАННОГО 130ВРАНШИЛ И ШШГШЩЖНЫЗ ХАРАКТЕРИСТИК

Качества оптических с;тстш

(01.04.03 - слттпса)

АВТОРЕФЕРАТ лпоовр'еец»:;! из ооиепснио учятоЛ етепегос

Кондрата фззгаго-матемэтггчэсиа. наук

.ЮШСК - 1993

Работе выполнена в Институте прикладной оптики АкадеШи наук Беларуси

Научный руководитель)

Офцциалыша оппоненты!

доктор фиаико-математй-ческшс наук, профессор ПРВДКО к.г.

доктор физико-математических йаук, профессор дуданов в.н.

кандидат фиэико-матема-тнЧеских наук БУСЛОВ Д.К,

Ведущая организация! Самарский филиал Физического Института имени П.Н. Лебедева РАН.

Защита состоится " 3 " u.tPHd 1993 г. в часов на заседании специализированного совета К 006.01.01 по защите диооертаций на ооиокание ученой степени кандидата наук в Институте физики им. Б.И. Степанова АН Беларуси (220602, г. Минск, ГСП, пр. Ф. скаршш, 70).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института физики АНБ.

Автореферат разослан " 3 " /4^1 А 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физ.-мат. наук J ~ КУНЦЕВИЧ В.Ф.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Постановка задачи и рктуэльнооть гвцатикн. в последние года в связи о эепроовми ряда областей науки и техники большое внимание удзляетоя ооздвнлю высоновф$октив»ик способов передачи, обработки и регистрации оптичеаких изображений; Бурное развитие вычислительной техники - усовершенствование оптической и электронной базы» «имение се стоимости, широкое внедрение персональных ВШ д соответствующего периферийного оборудования позволила"внализиропать и ойрабатывать изображения на ЭВМ и оптико-цифровых сиотемах.

Обработка изображений а широком смысле слова означает выполнение различных операций над многомерными сигналами. К многсцзрнш сигналам •относятся, например, телевизионные изображений, фотографии различных скдаетов или объектов, ие-дицинокие рентгенограмм, используемые непосредственно или в качестве исходник данных для томографии, различные радио-и зэуколокащюшшэ карта, диаграммы сейсмических данных и т, п. Цели, преследуемые при обработка таких (яюгомерных сигналов, весьма различны. В данной диссертационной работе расматриваются лишь задачи улучшения изображения и восстановления оптических сигнэлсв (объектов) по их линейно сформированным нзобраяэяиш.

Первые систематические работы по улучшению изобретений: были начаты в 60-х годах при подготовке полета на Луну. Ярким примером я этой области могут слугать результаты улучшения изображений Марса и Луны, полученные в Лаборатории реактивного движения Калифорнийского технологического шттптута. Публикации в зарубеиюй прессе позволили широкой публике увидеть изображения до и После обработки. Было достигнуто значительное улучшение обработанных изображения по сравнению с необработанными.

Примерно в то же самое время развивалось более общее направление в обработке изображений - восстановление объектов по их изображениям, сформированным линейными системами. В атом случае, в отличие от задач улучшения изображений, зарегистрированные данные (изображения) не могут быть ис-

пользованы пользователем непосредственно. Для того, чтобы получить оценку требуемых оптических харантериатик объекта здесь необходима чколенная или аналоговая обработка варе-гистрировашшх дашшх, В качеотпв примера укамем томографии, Фурье-опектроскопию, оптичебкив системы о синтезированной апертурой» обратные задачи гравиметрии и тан далее,

В математическом плане эти задачи часто раооыатривают-оя в рамках линейной модели формирования изображений, как peuieime интегрального уравнения фредгольма первого рода?

где К{х,?) - ядро интегрального преобразования (1), которое характеризует формирующий иэоброаеше i(x) оптическую систему, Z(?) - функция, опиоываккцая иокомые оптические характеристики объекта.

В настоящее вромя иа сущоотвует единого оптимального метода оценки Z(£) общего'вида. Раотущая маоса результатов заставляет думать, что оущеотвувт "наилучший" (в Любом оа-ранее определенном смыоле) метод решения уравнения (1), который зависит от вида шеющейоя в распоряжении априорной информации об объекте и шуме.

Цель диссертационной работы вакличалаоь в разработке реализуемых на современных GBM алгоритмов приближенного восстановления оптичеоких характеристик физически объектов и исследовании вероятностных характеристик их точности. Для достижения етой цели решались следующие задачи!

- исследование ошибок применения приблшенных многоточечных операторов чиоленного дифференцирования в задачах улучшения изображений!

- разработка параметрического множества алгоритмов улучшения изображений, смазанных прямолинейным равномерным движением за время вкспозиции и выбор из етого множества оптимального по минимуму оредаеквадратичеокой ошибки алгоритма j

- разработка множества линейных алгоритмов восстановления М - мерных объектов по их линейно сформированным N -мерным изображениям, зависящего от бесконечномерного векторного параметра}

в

О)

- оценка оптимальных по минимуму сраднеквадратичеоких ошибок вооатацовления значений координат этого векторного параметра и определение значений минимальных среднеквадрати-ческих ошибок воостаковления|

- разработка информационных критериев качества линейных оптических сиотем, удобных при исследовании систем о дискретной регистрацией изображения!

- разработка множеотва нелинейных приближенных алгоритмов восстановления оптических объектов по их линейно сформированным изображениям, зависящего от произвольного монотонного оператора и Исследование возмошости определения оптимального монотонного оператора, при котором вероятность получения плохого результата восстановления минимальна.

Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что в ней разработаны новые параметрические, векторные и операторные множества алгоритмов восстановления объектов по их линейно сформированным изсСраяоииж и даются методы выбора оптимального алгоритма из этих множеств, еависящие от вероятностной информации об искомом объекта и шуме в изображении. При втом критерием качества изображающей оптической системы являются оцеш<и минимальной вероятности получения плохого результата постановления для различных задач, решаемых о помощью ¡этой системы, а оптимальным считается алгоритм, при применении которого втот ишг.мум достигаотся.

Практическая значимость. Получешше в работе алгоритмы легко реализуемы на ЭВМ и могут применяться в задачах восстановления изображений. Для восстановления одномерных объектов разработано программное сродство приближенного решения интегрального уравне!шя Фредгольма первого рода (ИГР 50910000216 в Госфонде алгоритмов и программ РВ). Результаты по оценке информационных критериев качества оптических систем могут быть полезными при их конструировании и оптимизации.

Защищаемые положения. На защиту выносятся: 1. Оценка точности многоточечных операторов численного дифференцирования. применяемых в методе улучшегая изображения путем его дифференцирования. Определено оптимальное число точек для многоточечных операторов, при котором ошибки

дифференцирования минимальны.

2. Проотые и, как показывают численные примеры, объективные алгоритмы коррекции равномерного прямолинейного сма-за изображения, полученные на основе разложения Миттаг-Леф-лэра по полюоам мероморфных функций.

3. Приближенный линейный алгоритм восстановления М-мер-ных объектов по Ы-мерным изображениям, основанный на ортого-нализации изображений базисных функций. Определены оптимальные значения стабилизирующих алгоритм параметров и соответствующие им минимальные среднеквадратические ошибки восстановления .

4. Широкое множество, в общем случае нелинейных алгоритмов восстановления объектов, в которое в виде частных случаев входят, например, метод проекций, методы максимальной энтропии и т.п. Монотонный оператор, необходимый при реализации втого метода, предложено выбирать по минимуму вероятности получения плохого результата восстановления.

5. Информационные критерии качества оптических систем, основанные на оценке вероятности плохого результата восстановления наилучшим алгоритмом. Эти характеристики позволяют теоретически выбирать наилучшие оптические системы для заданной практической задачи, с учетом возможностей численной обработки изображений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на I Международной конференции по изображениям (Хельсинки, 1985 г.). Всесоюзной конференции "Оптическое изображение и регистрирующие среды" (Ленинград, 1982 г.), Всесоюзной конференции "Обработка изображений и дистанционные исследования" (Новосибирск, 1984), Всесоюзной конференции" формирование оптического изображения и методы его обработки" (Кишинев, 1905 г.), Всесоюзной конференции "Математические методы распознавания образов" (Львов, 1987 г.). Всесоюзном совещании "Координатно-чувствительные фотоприемники и оптико-елек-трошше приборы на их основе" (Барнаул, 1989 г.), Всесоюзном совещании "Оптические сканирующие устройства и измерительные приборы на их основе" (Барнаул, 1990), Всесоюзной конференции "Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики" (Владивосток, 1990 г.), Всесоюзной-конференции "Оп-

тическое изображение и регистрирующие среды" (Ленинград,

1990 г.), Всесоюзном совещании "Оптические сканирующие устройства и измерительные приборы на их основе"'(Барнаул,

1991 г.). Всесоюзном симпозиуме "Распространение лазерного излучения в атмосфере и водных средах" (Томск, 1991 г.). Всесоюзном симпозиуме "Физические принципы и методы оптичео-кой обработки информации" (Гродно, 1991 г.), Первой Всеукра-инской международной конференции "Обработка сигналов и изображений и распознавание образов" (Киев, 1992).

Личный вклад автора. Диссертационная работа выполнена самостоятельно при научных консультациях и научно-методической помощи научного руководителя доктора физико-математичео-ких наук, профессора К.Г. Предко.

Публикации по работа. Основное содержание диссертации изложено в 14-печатных работах, опубликованных в открытой печати.

Структура работы. Работа состоит из шести разделов (введение и пять глав), заключения и списка использованных источников.

В первом разделе (введение) обоснована актуальность работы, сформулирована ее цель и кратко изложены основные результаты проведенных исследований.

Второй раздел посвящен развитию Метода восстановления объекта с использованием производных его изображения. Здесь рассмотрен частный случай, когда функция, обратная функции передачи модуляции оптической системы, является аналитической. Для численной реализации етого метода предложено использовать многоточечные операторы численного дифференцирования, основанные на аппроксимации зарегистрированного изображения многочленами наилучшего среднеквадратического приближения. Получены оптимальные значения числа точек, на которых определены такие операторы, а также оценены значения дисперсии шума после их применения и ошибки аппроксимации ими точных операторов дифференцирования на множестве функций с ограниченными производными при оптимальном числе точек.

Приведенная оценка ошибки аппроксимации показывает, что задача восстановления объекта здесь поставлена корректно по Тихонову на подмножестве функций с конечными вторыми произ-

водаши. Второй тип ошибки, шумовой, оценен отатиотически, как диспероия шума в отсчетах чиолешо продифференцированного изображения. 8то обусловлено тем, что детерминированная оценка шумовой 0Ш1бки сверху оказывается слишком грубой для использования ее на практике.

В третьей раздела разработан приближенный метод решения актуальной задачи - коррекции равномерного прямолинейного сдвига изображения аа время вксПоаиции. Поскольку в атом случае функция, обратная функции передачи модуляции, является мероморфной, использование метода раздела 2 вдесь затруднено. Повтому в втом разделе разработан чаотный метод решения отой аадачи, Ой основан на разложении Миттаг-Леффлера по полюоам мероморфных функций. В результате получено Приближенное решение аадачи коррекции равномерного прямо линейного сдвига в виде интегрального преобразования смазанного изображения, вависящего от параметра приближения. Получено простое аналитическое выражение для ядра втого интегрального преобразования, что значительно упрощает его практическое применение. Ввиду достаточно проотой оценки функционала сре-днеквадратической ошибки восстановления метод легко формализуется в смысле получения стабилизированного решения.

В четвертом разделе данной работы проводится обобщение метода фильтрации Винера для неизопланатических изображающих систем. Именно, при той же самой статистической информации о случайных объекте и шуме шцетоя линейный, не обязательно изопланатический фильтр, с помощью которого можно получить оценку исходного объекта с минимальной ореднеквад-ратической ошибкой. Полученный алгоритм реализован на персональной ЭВМ типа 1ВМ РО АТ и имеет следующий вид(

и

Е с. (?)«(?)= Г =

к = 1 А

. Е *\я(1)1к(Х)

т»1 к*1

-Н

к»1 J к»1

(

где |= (е4,«а.....«н ), й«4(1{а... <1«ы. 3= (в!»ва.....аы),

2= (х4,ха.....хн), (12= йх1(1ха...(1хн, н= (в,.па.....нн),

N - обозначает размерность искомой функции М - размер-

ность изобравбния 1(3). Здесь

m«p {_ K»l

k»i

Q<f Aï0)- С \l Cffc.Pe)]"H

me 1 L J

XpËi^^ïVpit).

я m

d. „(?)»!. k=1, 2.....

d (?) расчитываются no рекуррентной формуле

pn

i (Î)= -"E1! (?)

pn pm

4 m*p

W* 1

Edkna)(ik,fn).

kai

P = 1,2.....il— 1 j n = 2,3.....

t t < W* i P.^^p^)42' a Pk(*>= J<P„(!)K(ï.?)dt

-a -g является изображением базисной функция Vk(î)> k=1,2.....

Определены оптимальные значения бесконечномерного стабилизирующего вектора /?: = >я/<о^>, к=1, 2,... , где уа -мощность белого шума, a <ojj> определяются теоремой Каруне-на-Ловва, если известна автокорреляционная функция случайного объекта. Этот обобщенный метод не использует собственных функций уравнения (1) и позволяет оптимально (в смысле минимума среднеквадратической ошибки) восстанавливать исходный объект при использовании в качества исходных данных изображений, сформированных линейными, не обязательно изо-планатичеокими системами и зашумленных белым шумом. При етом базисные функции, которые используютоя для построения такого фильтра, определяются теоремой Карунена-Лоева. Следует отметить, что множество линейных фильтров включает в себя и изо-планатические фильтры, поэтому результаты вооотановления по методу из раздела 4 должны быть по крайней мере не хуже, чем по методу Винера в смыоле минимума ореднеквадратической ошибки. Явная оценка минимальных ореднеквадратических оши-" бок позволяет считать предложенный метод приближенным.

Полученные в подразделах 4.1, 4.2 результаты легко при-

манимы для восстановления оптических объектов по их дискретно зарегистрированным изображениям. Типичные случаи численной обработки дискретных изображений рассмотрены в подразделах 4.3 и 4.4. На примере доказанных в етом разделе свойств восстановленного объекта, о также среднеквадратичеоких ошибок его вооотановления предложено формальное понятие "стабилизированного" решетя, которое, по нашему мнению, лучше соответствует задачам приближенного вооотановления оптических объектов, чем понятие регуляризованного решения.

Использование понятия стабилизированного в среднеквад-ратической метрике решения уравнения (1) позволяет легко формализовать многие частные интуитивные линейные методы вооотановления оптических объектов так, как ето сделано, например, в разделе 3 и теоретически оравнить их еффективность.

В разделе 5 разрабатываются перспективные нелинейные алгоритмы приближенного восстановления оптических объектов, по их линейно сформированию» изображениям, основанные на выборе монотонного нелинейного оператора, действующего из пространства Ьа в заданное подпространство. Эти алгоритмы удобны для решения задач, поставленных корректно по Тихонову в етом подпространстве. Алгоритмы реализованы в рекуррентной форме, причем оцениваетоя область значений ускоряющего параметра, при которых рекуррентный процесс сходится.

К сожалению, выбор таких нелинейных монотонных операторов, действующих в заданное подпространство неоднозначен. Критерии, пригодные для выбора оптимального нелинейного оператора из множества действующих в заданное подпространство, предлагаются в разделе 6.

Раздел б посвящен оценке качества оптических оистем о учетом возможностей численной обработки зарегистрированных изображений. В качестве идеальной оценки качества оптической системы, применяемой для решения какой-либо практической задачи, например, обнаружение оптического объекта, его распознавания или получения восстановленного объекта о хорошими характеристиками для зрительного восприятия, было бы полезно использовать вероятность того, что восстановленный наилучшим линейным или нелинейным методом объект будет "плохим" для решения етой задачи. Для оценки верхней границы етой вероят-

ности оказывается достаточно знания минимальной на множестве линейных методов из главы 4 среднеквадратической ошибки восстановления случайного оптического объекта, а также условной вероятности (являющейся статистической характеристикой заданной задачи), которая означает, что реализация восстановленного объекта является "хорошей", еоли квадратическая ошибка не превышает заданную решаемой задачей величину и "плохой", если превышает. По нашему мнению, в данное время именно етот подход является наиболее перспективным в решении практических проблем конструирования оптических систем, формирующих изображения, которые предназначены для численного восстановления исходных оптических объектов.

В перспективе, возможна более точная оценка вероятности того, что восстановленная наилучшим методом реализация случайного объекта окажется "плохой" для заданной задачи. В последнем подразделе раздела 6 обсуждается возможность етой оценки с помощью многомерной формулы полной вероятности, причем отмечается недопустимо большой для современных ЭВМ объем чиоленных операций при решении задач оптимизации по етому критерию.

Во всех случаях, информационные характеристики оптической системы понимаются в смысле определения количества информации, как минус логарифм вероятности получения "плохого" результата восстановления.

В заключении сформулированы основные результаты работы:

1. Для известного метода улучшения изображения путем его численного дифференцирования предложены устойчивые многоточечные операторы численного дифференцирования. Оценено оптимальное число точек, на котором определяется многоточечный оператор дифференцирования произвольного порядка. Получены значения ошибок аппроксимации оператора дифференцирования многоточечным оператором, о оптимальным числом точек, на множестве дифференцируемых функции, а также оценена дисперсия шума после его применения. Основным достоинством применения етого метода является высокая скорость обработки изображения, недостатком - сравнительно низкая точность.

2. Разработан приближенный метод решения частной задачи - устранения искажений изображения, обусловленных прямоли-

нежным равномаршм движением аа время екопозиции. В простом аналитическом вида получено выражение для ядра интегрального преобразования, о помощью которого отроится приближенное ранение, Значения параметра приближения заключены в промежутке от нуля до единицы, причем его оптимальное вначение определяется иэ минимума ореднеквадратической ошибки, что возможно, если известны корреляционные функции случайных объекта и шума, В отсутствие шума приближенное решение отремитоя к точному при стремлении параметра приближения к единице.

3. Разработан приближенный линейный алгоритм воостанов-лешя оптических объектов по их изображениям, сформированным линейными оптическими системами общего вида. В отличие от Вииеравской фильтрации разработанный метод не требует знания собственных функций ядра интегрального преобразования, характеризующего формирующую изображение оптичеокую оиотему, что значительно облегчает его практическое использование, При условии знания автокорреляционных функций случайных объекта и шума, определены оптимальные значения координат бесконечномерного стабилизирующего решение вектора, которые минимизируют ореднеквадратическую ошибку восстановления. Оценены значения минимальных ошибок восстановления и доказано, что они ограничены и монотонно уменьшаются при стремлении мощности шума к нулю. Более того, при атом существует предел равный нулю, если решаемое уравнение имеет однозначное решение, а если однозначность решения отсутствует, то етот предел может равняться некоторой положительной величине. Эти факты позволили обосновать возможность применения разработанного алгоритма при решении уравнений, не имеющих однозначного решения.

4. Исследовано влияние диокретизации регистрируемого изображения, которая требуется при вводе изображения В ЭВМ, на точность восстановления оптического объекта. Для моделей белого и некоррелированного шума в отсчетах изображения получены оптимальные значения координат бесконечномерного стабилизирующего вектора, которые минимизируют среднеквадрати-ческие ошибки восстановления. Получены значения минимальных среднеквадратических ошибок восстановления, которые зависят от автокорреляционной функции случайного объекта, мощности

или дисперсии шума в отсчетах изображения, чиала отсчетов и раоотоя5шя моиду нимц, а тагакэ от ядра Мнтегрального преобразования, характеризующего формирующую изобраиониа оптичео-кую систему. Эти ошибки Монотонно убивают о уменьшением мощности или дисперсии шума, Ввиду неоднозначности задачи восстановления оптичеоксга объекта по коночному чиолу отсчетов изображения, существует вообще говоря не равные нулю пределы етих ошибок при стремлении указанных параметров шума к нулю.

5. Раосмотрен процесо восстановления оптического объекта по его изображению, зарегистрированному матрицей фотопря-емниноз о заданной площадь» светочувствительных элементов. Здесь также определены оптимальные значения координат стабилизирующего вектора и соответствующие им мгаммалыше средне-квадратическиэ ошибки восстановления, которые в отом олучае зависят еще от Площади светочувствительных элементов.

6. Разработан приближенный нелинейный алгоритм восстановления оптических объектов по их изображениям, сформированным линейными оптическими системами. Главное его достоинство заключается в том, что результат восстановления здесь принадлежит некоторому подпространству функций определяемому произвольно выбранным монотонным, в общем случае нелинейным оператором. Это позволяет получать решения уравнения (1)

в таких подпространствах, где задача его решения поотавлена корректно по Тихонову. Алгоритм построен в рекуррентном виде, причем оценены значения параметра ускорения сходимости, при которых он сходится. Облаоть таких значений зависит от выбранного нелинейного оператора, а также от ядра уравнения (1). Показано, что предложенное нелинейное решение является рэгулярнэованнш решением уравнения (1).

7. Предложено обобщение понятия количества информации Линфута-Фельиета на неизопланатичеокис оптические системы. В частности, эти информационные характеристики оптических систем рассмотрены на примере регистрации изображения дискретными матричными фотоприемниками. Полученные результаты показывают перспективность теоретической оценки качества линейных оптических систем б помощью разработанных информационных характеристик, а также возможность их использования при конструировании и оптимизации оптических сиотем.

В качества критерия качеотв«* оптической очстеиы при ее использовании в решении какой-либо практической задачи в общей рлучве предложено использовать оценку вероятности принятия неправильного рекения по восстановленному наилучшим алгоритмом объекту. Показано, что вту вероятность и наилучший алгоритм теоретически мовдо определить, если известны функции плотности распределения вероятностей олучайных объекта и шума, а таюйе статистически изучена сама задаче, то есть известна условная вероятность принятия неправильного решения при заданной ошибке восстановления.

е. Одномерние и двумерные иллюстрации и численные примеры применения разработанных алгоритмов и информационных характеристик показывают их высокую еффективнооть и достаточную простоту в практическом применении.

Основное содержание диссертация опубликовано в следующих работах!

1. Довнар Д.В., Прэдко К.Г. Коррекция оптического иэобра-«е!шя о помощью его предварительного дифференцирования // ДАН БССР.- 1981.- Т. XXV,- X 2.- С. 128-131.

2. Довнар Д.В., Предко К.Г. Метод устранения прямолинейного равномерного смаза изображения// Автометрия.- 1984.-J6 6,- С. 94-97.

3. Dovnar D.V., Predko K.G. The method Гог digital reBto-ratlon of object distorted by linear Byetem// Acta Po-lyteohnlca Scand. Applied PhyBlo Series.- 1985.- V. 1. - JS 149.- P. 138-141.

4. Довнар Д.В., Предко К.Г. Использование ортогонализации изображений базисных функций для регуляризованного восстановления сигнала// Журн. вычисл. матем. и математич. физики.- 1986.- Г. 26.- Я 7.- С. 981-993.

5. Войтович А.П., Довнар Д.В., Предко К.Г. Анализ структуры, скрытой внутри контура линии, с помощью дифференцирования измеренного спектра// Журн. прикладной спектроскопии.- 1987.- Т. 46.- JG 4.- С. 932-936.

6. Довнар Д.В., Предко К.Г. Приближенное восстановление объекта с использованием уравнений, не имеющих однозначного решения// Автометрия.- 1989.- № 6.- С. 3-11.

7. Довнар Д.В., Предка К.Г. Черных И.В, Корреляционные и вероятноотнне критерии качества оптических систем, создающих изобраиёния// ОМП.- 1991.- Л 11.- С. 29-33.

8. Пархоменко H.H., Довнар Д.В. Решение интегральных уравнений Фредгольма I рода а использованием статистической информации об искомом решении и об ошибках в исходных данных// Информационный бюллетень "Алгоритмы и программы".- 1991.- Изд. ВИТИУ.- Вып. 5-6.- С. 5-7.

9. Довнар Д.В. Условно уотойчивый н некоррелированному шуму метод коррекции изображений// Оптическое изображение и регистрирующие среды! Тез. Доил. Всесоюзной научн. Конф.-Л., 1982.-С. 147.

10. Довнар Д.В. Интегральный метод коррекции искажений, обусловленных прямолинейным равномерным сдвигом// Оптн-чеокое изображение и регистрирующие среды! Тез. докл. Всесоюзной научн. конф.-Л., 1902.-С. 148.

11. Довнар Д.В., Предко К.Г. О решении линейных интегральных уравнений в задачах коррекции оптических изображений// Обработка изображений и дистанционные исследования! Теэ. докл. Всесоюзной научн. конф.- Новосибирск, 1984.- Ч. II. С. 70-71.

12. Довнар Д.В., Предко К.Г. Регуляризованное решение интегрального уравнения Фредгольма первого рода// Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики: Тез. докл. Всесоюзной коиф.- Владивосток, 1990.-

С. 47.

13. Довнар Д.В., Предко К.Г.. Метод восстановления сигналов ограничениями типа неравенств// Оптические сканирующие устройства и измерительные приборы на их основе: Тез. докл. Всесоюзного совещания.- Барнаул: Изд. Алтайского политехнического института, 1991.- Ч. I.-

С. 03-84.

14. Довнар Д.В., Предко К.Г. Вероятностная оценка точности приближенных решений интегрального уравнения Фредгольма I рода в задачах восстановления изображений// Распространение лазерного излучения в атмосфере и водных средах: Тез. докл. Всесоюзного симпозиума.- Томск, 1991.- С. 96.