Методы расчета напряженно-деформированного состояния оболочечных конструкций на основе уточненной теории тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛШИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАШИ ГОСЭДАРСТВЕШШ ЭТСЙЕРСИТЕТ ш. ÎJ.B. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рутгогшс!

MAP7UH0B /тдрэй Врьовнч

•ШТОЛИ РАСЧЕТА НАПРЯЖПЮ-ДЕЮИШ'ОВМШОГО СОСТОЯНИЯ ОБОЛОЧЕЧШХ КОНСТРПЩИИ Ш 0С1ГОВЗ УТОЧНЕННОЙ ТЕОРИИ

01.02.04 - кохоника дэфоргяфуского твердого то,':а

Автореферат диссертации на ccî-скашо учэной стопош! кандидата фпико-матэматпческих наук

МОСКВА - 1992

Работа выполнена в Центральном у научно-исследовательском институте машиностроения

Научный руководитель: доктор технических.паук,

профессор В.Ф. Грибанов

Официальные оппоненты: доктор фнзико-катенатаческпх наук,

профессор В.А. Шачнев

доктор технических паук, стерший научный сотрудник С.Н. Сухинпн

Ведущая организация: Московский автомеханический институт

Защита дзсссртащн состоится " 1932 г. в

.часов в ауд. 16-10 па заседании специализированного совета Д 053.05.03 в МГУ кн. М.В. Ломоносова по адресу:' П939Э, Москва, Яеняаскио горы, ?Я7, мохоншсо-иатематичосккЗ факультет.

С диссертацией ыокпо ознакомиться в библиотеке мэхонико-матекаотмского ^аку.чьтота КГУ.

АКгорефэрат разослан 19Э2 г.

Учений секретарь сшциализированпого совета кандидат физпко-штеыатическпх неук, доцент

В.А. Шльков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена разработке и применению к решению конкретных задач уточненной теории оболочек средней толщины, имеющих упругие и пластические деформации.

Актуальность теш определяется необходимостью учитывать при расчете оболочэчных конструкций некоторые эффекты, возникающие в оболочках средней толщины, а также в случае резкого изменения толщин или действия сосредоточенных сил, и приводящие к невыполнению классических гипотез, положенных в основу известных теорий оболочек. В таких случаях пренебрежение трехмерностью напряженного состояния не оправдано. Известные в литературе методы уточнения теорий оболочек основываются на дополнительном удержании в выражениях для перемещений некоторого количества членов их разложения в ряды по полным системам базисных функций, зависящих только от нормальной координаты к поверхности приведения оболочек. Зтот подход принципиально позволяет учитывать указанные эффекты трехмерности напряженного состояния, но не принимает во внимание специфики каждой конкретной задачи. В результате повшяается трудоемкость вычислений, что мокет уменьшать лреимущества теорий оболочек перед трехмерными теориями.

В связи с этим остается актуальной проблема построения такой уточненной теории оболочек, в частности средней толщины, в которой учет трехмерности напряженного состояния производился бы с максимально возможной простотой благодаря использованию конкретных особенностей решаемой задачи.

Цель работы заключается в разработке и численной реализации уточненной теории оболочек, учитывавшей геометрическую и физическую нелинейность и позволяющей на основании частных предположений о характере изменения перемещений по толщине оболочек в конкретных задачах получать решение с высокой точностью при относительно простых вычислениях.

Научная новизна. Предложен метод решения задач теории оболочек, базирующийся на разложении перемещений по толщине по наиболее подходящему набору базисных функций, определяемому исходя из априорной информации относительно напряженно-деформированного состояния оболочки в репаемой задаче. Разработана уточненная теория оболочек, основанйая на использовании произвольных

нелинейных зависимостей перемещений от .нормальной координаты к поверхности приведения. Построен численный алгоритм решения геометрически и физически нелинейных осесимметричных задач уточненной теории оболочек. Получены точные аналитические и численные решения ряда задач, демонстрирующие эффективность предложенных методов.

Достоверность полученных результатов обеспечивается применением для их нахождения известных аналитических и апробированных численных методов, а также сравнением с некоторыми опубликованными решениями других авторов.

Практическая ценность работы заключается в возможности получать уточненные решения задач прочности в рамках расчетных схем, описываемых уравнениями теории оболочек, и тем самым экономить машинное время для расчетов, достигая точности, приближающейся к точности, реализуемой при решении трехмерных задач. Разработанная программа расчетов на ЭВМ может применяться и уже применяется в практике ряда научно-исследовательских и конструкторских организаций при проектировании и отработке прочности осесимметричных однослойных и многослойных оболочечных конструкций.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на:

- конференции молодых ученых и специалистов ЩШМаш (1984г.);

- конференции молодых ученых МФТИ (1990г.):

- на Всесоюзном совещании по проблемам прочности двигателей (1990г.);

- на научных семинарах кафедр теории упругости и механики композитов механико-математического факультета МГУ (1992г.).

Публикаций. Результаты диссертации опубликованы в двух работах автора.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, насчитывавшего 89 наименований работ отечественных и зарубежных авторов. Общий объем диссертации - 124 страницы, в том числе 3 страницы таблиц и 31 страница рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность построения нового варианта уточненной теории оболочек, опиравшегося на представление перемещений в виде разложения

К к к

аи'.х2.*3) = Егих'.хЪшЪ . (и

к"0

где х1.х2 - криволинейные координаты на некоторой поверхности

приведения, х3 - координата вдоль вектора нормали к поверхности к к приведения, й - искомые функции, N - базисные функции, которые

считаются неопределенными вплоть до решения конкретной задачи.

Эффективность использования специально подобранных базисных

функций иллюстрируется на примере задачи Ламе о действии

внутреннего давления на длинный толстостенный цилиндр. Точнее

решение этой задачи для перемещения точки трубы, имещей в

полярной системе координат радиус г, выражается формулой

и = Аг + -2 .

Если перейти к местной системе координат, т.е. принять

Г.+Г2 » Г2~Г. ^ Г2-Г,

г = —~2— + х >--2— 5154 —2— •

где г,, г2 - внутренний и нарушай! радиусы цилиндра, то радиальное

перемещение трубы примет вид

и = Аг0 + АХ3 + —^-з .

10+х3

Г »

где г0=- 2 . Следовательно, пряияв в (I)

Н(х3) = 1 , Н(х3) = х3 , Жх3) = —Ц-

г0+х

и удерзав лишь три базисные функции, мозкно построить точное решение задачи для круговой цилиндрической оболочки, нагруженной внутренним давлением.

' Очевидно, что подобные пример* достижения точных решений в тех случаях, когда базисные функции соответствуют точны»,1 ревэшмм трехмерных задач, составляют исключения. Однако мовдо стремиться к наиболее эффективному получению приближенных репепий при использовании в качество некоторих Оазисных функций таких,

которые отвечают имеющейся информации о возможном представлений разыскиваемого решения в конкретной задаче.

Далее во введении излагается краткое содержание диссертации.

Первая глава посвящена получению уравнений и постановке задач предлагаемого варианта уточненной теории оболочек.

Сначала приводится обзор работ, в которых разработаны различные неклассические варианты теории оболочек. Среди них указаны работы С.А. Амбарцуняна, И.К. Векуа. В.З. Власова, К.З. Галимова, Э.И. Григолюка, A.B. Кармишина, А.И. Лурье, Х.М. Муотари, В.Н. ПаЯмушина, И.Г. Терегулова, С.П. Тимошенко. П. Нагдн, Э. Рейсснера и других ученых. Отмечается, что при всех различиях в предпосылках, закладываемых в основу имеющихся теорий, все они имеют одну общую черту: функции изменения по толщине тех или иных параметров напряженно-деформированного состояния считаются заранее определенными.

Далее приводится вывод уравнений уточненной теории оболочек на основе представления (I).

Нелинейные соотношения, связывающие деформации и перемещения оболочек, получены с помощью определения деформаций как разности метрических тензоров сопутствующей системы координат в деформированном и исходном состояниях.

В результате применения вариациопного уравнения Лагранжа получены уравнения равновесия и статические граничные условия

относительно обобщенных усилий, соответствующих обобщенным к к перемещениям Ü, причем число уравнений равняется числу функций А, удержанных в разложении (I). При необходимости задания на части границы кинематических условий необходимые соотношения на обобщенные перемещения' получаются с помощью метода наименьших квадратов. Смешанные граничные условия получаются из вариационного уравнения, откуда при подстановке кинематических ограничений следуют согласованные условия на обобщенные усилия.

Базисные функции и их производные входят в кинематические соотношения и выражения для обобщенных усилий в качестве неопределенных параметров.

Полученные уравнения в совокупности с граничными условиями и уравнениями состояния определяют постановку задач уточненной теории оболочек. Кинематический подход к построению соотношений

ч

уточненной теории не требует до формулировки краевой задачи привлечения каких-либо определению; уравнений состояния. В данной работе использованы и заложены в численный алгоритм и программу для ЭВМ уравнения закона Гука для ортотропного теле и уравнения теории течения с линейным трансляционным упрочнением.

. Соотношения уточненной теории для одпослойной оболочки обобщаются на случай многослойной оболочки с отдельным представлением перемещений вида (I) в каждом слое, причем базисные функции считаются в этом случае зависящими не только от нормальной координаты, но и - определенным образом - от двух других криволинейных координат.

Уравнения, описывающие деформирование произвольной оболочки в трехмерном пространстве, записаны далее для оболочки вращения, находящейся под действием осесимметричных нагрузок, причем они представлены как в местной системе координат оболочки, так и в пространственной цилиндрической системе координат, где имеют значительна более простую форму. Как частный случай получены уравнения теории оболочек, соответствующие гипотезам Кирхгофа-Лява, и рассмотрены вопросы сопряжения таких оболочек с оболочками, описываемыми уточненной моделью деформирования.

, Вторая глава посвящена численной реализации уточненной теории в случае осесимметричного нагружения оболочек вращения. Изложен метод и алгоритм сведения физически и геометрически нелинейной краевой задачи к последовательности линейных краевых задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Метод заключается в интегрировании дифференциальных (по параметру нагрукения)' уравнений • теории течения методом трапеций и последующей совместной линеаризации нелинейных алгебраических и дифференциальных (по координате) уравнений методом Ньютона-Канторовича. Интегрирование линейных краевых задач производится методом конечных разностей. Решение систем линейных алгебраических уравнений осуществляется методом Гаусса, причем алгоритм учитывает ленточно-блочную структуру матрицы (профильный метод).

Отмечены основные особенности программы численного расчета НДС оболочечных конструкций на основе уточненной теории, составленной на языке ФОРТРАН-4. Приведена блок-схема программы. В ряде тестовых расчетов численно изучены вопросы сходимости и устойчивости лспользованных методов.

Тр°тья глава посвящена иллюстрации нового методе ревеная гадач уточненной теории оболочек на примерах некоторых модельных задач.

В параграфе 3.1 рассмотрена упругая полоса с защепленными краями при действии на нее кусочно-постоянного давления, в пределе стягиваемого к сосредоточенному усилию (рас. I). Точное решение этой задачи в линейной постановке получено аналитически, им оя из представления перемещений в виде

где для упрощения записи формул использованы новые обозначения координат: вместо х1 - х, вместо х3 - е. Соотношения (2) описывают уточненную модель типа С.П.Тимошенко с учетом об гатил.

Качественные и количественные свойства ргшнпя исследованы для случая воздействия на полосу сосредоточенного усилия, протеи деформирование полосы по толщине было задано с поиоаьв баз. сноИ

Й5ГНКШП1

Зга функция позволяет моделировать особенность в дзфорьтцки еа (графики фуччцки Жг) и ее производной при а»0.7Б п 6=10*4 приведены на рис. 2).

Для 411 словах расчетов взяты следувдие безразмерные комбинации гаршэгров: 2/h=3, F/(£h)-lO" . v*-0.3 (Е - модуль Шга, v - коеф-([здисц* Пуассона).

11а рис. 3 изображен определенный по уточненной теорив прогиб и ка поверхности . Там ко шшосона nporcöu в и wT, соотватстсущцо ¡-гшссг.чоскоИ теории и теории тепа С.П. йшошоико tías учато обгаткя. Бшзра напряжений а7 на поверхностях г>0,± -]} показали ц& рис. 4. 11а рас. Б состроены -огпзрц напряжений ое па поверхности а-- -Й для различиях аночонвй параметра ö. На рис. tí unодршзш аапр:й;о!шя ах на поверхностях (пунктнроы

нанесено решение по классической теории). Представленные рэзультаты свидетельствуют о том, что полученное розенио отвечает флзпадег-.ому смыслу задачи, а именно: напряжения резко возрастают Еря приблнжонш к точке приложения силы и быстро затухают при удалении.от нее. Качественно это соответствует реазшнз задачи о сосредоточенной сало, действующей на полуплоскость.

U(X.S) = U(X)-E .

(2)

n(x.z) = ..(X) + ЖХ)-Н(В)

< a < 1, fö{ « I

-

а)

б)

Œ

z,w р

f X, t¿

2б

i

-и

Рис.1.

up Ö

-(Ш

F о -20 -И

0,5"

Рис.3.

X <1

dsoio'11

f-5* «Г4

0.5-

Рис.5.

í е

5)

fO

Ш

5

О

-Í

Рис.2.

cx.fi Т о

-3

-Í0

tí

as Рис. Ч.

§Л Р '

-/5"

"7,

í'V

/». ft.

I

t С-

тяг H

Рис. б.

о

В параграфе 3.2 проводится сравнение решений некоторых вариантов уточненной теории оболочек и теории упругости в задаче о длинной цилиндрической оболочке средней толщины (с отношением толщины Ь к среднему радиусу г0: Ь/г0=0.35), находящейся под действием периодического кусочно-постоянного внутреннего давления (рис. 7). Решение этой задачи в рядах по функциям Бвсселя имеется в литературе.

Расчет производился для следующих значений параметров: отношение ширины участка приложения нагрузки к расстоянию между участками 2(1/21=0.2, отношение давления к модулю Шга Р/Е=1, коэффициент Пуассона г>=0.3.

Использовались следующие наборы функций распределения перемещений по толщине:

1) 1, а, ¡г; 5) 1, г,

г

2 „з. , „ „2 1

Г

2) 1. а, а , а ; 6) 1, г, г'

3) 1, г. г2, г3, в4; 7) 1. а. а2, а3, ^ :

4) 1, а, а2, а3, а4, а5; 8) 1, а, а2, г3, а4. 4 . Здесь а - местная нормальная координата, отсчитываемая от срединной поверхности оболочки, г = г0 + а.

На рисунках 8-1I представлены характерные^ графики распределения напряжений ох, ав, ог, орх по толщине цилиндра для некоторых сечений. Буквой Е обозначены кривые, полученные с помощью Бесселевых функций; нумерованные кривые соответствуют численным решениям, полученным на основе уточненной теории оболочек для наборов базисных функций с теми же номерами.

Проведенные расчеты позволили выяснить, что при использовании кубической аппроксимации перемещений осевые ох и кольцевые ав напряжения вычисляются с максимальной относительной ошибкой не более б*. Добавление одной функции , отвечающей решению задачи Ламе, позволяет значительно повысить точность вычисления напряжений ог и орх, которые при чисто степенных аппроксимациях перемещений достигают необходимой точности с помощью аппроксимации не ниже Б-го порядка. Таким образом, дополнитёльная базисная функцияпозволяет при достижении одинаковой точности сократить общее число базисных функций по сравнению с применением только степенных функций.

I kl.Z 1 •

---

¡w i 1 ** 1 P 1 ttttt ! ГТП

- -4 -----

i.

Рис.?.

-0.4

Z¿ 0.1

< к

В параграфе 3.3 предложенный метод решения задач уточненной теории оболочек был использован для исследования несущей способности упругопластической цилиндрической оболочки средней толщины (рис. 12), материал которой не имеет упрочнения (рис. 13).

Оболочка характеризуется параметрами: h/ro=0.35, 1/г0=2. В данном случае была применена система базисных функций, давшая максимальную точность в предыдущей задаче - вариант М 8. Оболочка нагружалась или только внешним кусочно-постоянным давлением на интервале ttsxsl, или совместно давлением и осевой растягивающей силой, причем нагружение осуществлялось пропорционально одному параметру.

На рис. 14, 15 представлены результаты расчетов в отсутствие осевой силы (Т=0). На рис. 14 показана связь давления с прогибом срединной поверхности в точке х=0 для нескольких значений параметра к= . Рис. 15 демонстрирует кривую зависимости критического давления р* от размера d зоны его действия. Для сравнения пунктиром нанесена линия, соответствующая решению на основе модели Кирхгофа-Лява.

Кривые предельных нагрузок при совместном действии давления и осевого усилия представлены на рис. 16.

Параграф 3.4 посвящен приложению уточненной теории оболочек к определению напряженно-деформированного состояния упругих сильфо-нов средней толщины при растяжении их осевой силой (рис. 17).

Поскольку деформации сильфонов в основном нзгибные, целесообразно описывать'их деформирование по толщине нечетными степенными функциями. Расчеты показали, что для наиболее толстого из рассмотренных сильфонов (h/r=I) решение с удовлетворительной точностью сходится на кубическом отрезке ряда.

Расчетные исследования для различных сочетаний геометрических параметров позволили выяснить, что отношение максимальных растягивающих напряжений, полученных по уточненной и классической теориям, зависит только от отношения h/r. На рис. 18 изображены эти зависимости для осевых (af/ci^) и кольцевых (о*/о£) напряжений, полученные без учета геометрической нелинейности. На рис. 19 показаны кривые зависимости максимального осевого растягивающего напряжения от осевого перемещения для нескольких значений h/r, полученное в геометрически нелинейном расчете с учетом больших перемещений и углов поворота сильфона.

- н-

IHL

к -

рис. \г.

.т

Рис. 13.

я f

0.51 О

X

-»т

К-0.25

/ K-d.í

к

т=о

0 0.05 0.1

«

Рис.^.

0.5 Рис. 46.

Л? О, fu

О

Рис.

ftic. 19.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основании проведении в диссертации исследований «окно сделать следующие основные выводы:

- в работе последовательно изложена уточненная теория оболочек, базирующаяся на использовании произвольных нелинейных зависимостей перемещений от нормальной координаты к поверхности приведет«, п рассмотрены примера точных аналитических и числетшх решений задач теории стеранеЯ и оболочек;

- при расчете упругих и упругопластических оболочечгшх конструкций уточнешю их напряз:енно-дефор.ировашого состояния кокет быть достигнуто путем учета небольшого числа дополнительных пелпнейпнх зависгоюстей перемещения от нормальной координаты;

- в общей случае выбор вспомогательных базисных функций, отгсивзотдх указанные нелинейные зависимости, долзеп определяться конкретными условиями рэиаекых задач. В частности, возможно использование Функций, отрзнапзих характер деформированного состояния, возникающего в трои-ерши задачах вблпзи тает прялоквпня резко моняюззпея нагрузок*;

- в рамках утотаешгсП теории получеш повые рокенкл слодущпх задач:

1) упругая закрепленная полоса, находящаяся под деЯстспом кусочко-постолнного давления, в предала стягиваемого к сосредоточенному усилия;

2) данная упругая цилиндрическая ободочка ерэлпой толпзпи, нагруженная перподичеезшл кольцевым кусочпо-постояшзш давлением;

3) несущая способность упруго-пластической щшшдряческой оболочки средней толзппы под действием локального кольцевого дав.пешш п растягпвакпей сила;

4) гоотатряческн линейнзя и нелинейная дефср\*адая сильфснов средней толщины;

- анализ полученных уточненных решений показал область применения при определенных условиях классических вариантов теории оболочек и позволил оценить поправки, которые йогою получись, используя уточненную теорию;

- разработан алгоритм и составлена на основе уточненной теории оболочек и теории пластического течения программа для проведения численных расчетов на ЭВМ упругих и упругопластических оболочек.

- и -

Прогребла внедрена на ряде предприятий и позволяла оцепить иалрягйнно-дефоршфованноо состоялпо по скольких реальных конструкций.

Оскошею результату дяссор-тацкп опубликовали d работах:

1. Агальцов В.И.. Горохов В.Б., Крохип И.Д., Мартынов A.D. Иссяэдованко прочности и долговэчпосга к&чора сгорания гадкостшх ршйтиих двигателей V Тезисы докдадоо ШП Всосою. научного собощ. по пробдоша прочности дакгателей. U.: Щ1АЫ, 1990. С. 3-4.

2. Крозага U.A., Мартынов A.B. 03 оцонко пасущей способности ососкгыетрячпо пагрушпых оболочек среда ш л // Приклад. лробл. проч. и иластич. Чпслонноэ колвхираьсдаю (^пзшео-иэхшшч. цроцессою. Всосока. каквдз. сб. ГорышЕ: Изд. Горьк. ун-та. 1939. 0. 38-09.

Подшошо в пэчать 22 ияроля 1692 год Заказ 160. ТшзаГч 60 сгд. П,л. 1.0

Отпечатано в НШС ШН РАН

Москш, В-333, Лешисхшй проспект, 63