Методы решения краевых задач для управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений и их применение при решении задач управления движением центра масс летательного аппарата тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И 1ЕХН1НЕСКОЙ

ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 5Г7.9Г7

КВИТКО Александр Николаевич

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

ОБЫКНОВЕННЫХ ДШЕРЕНа ИЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ УПРАБЛЕН1Я ДВИЖЕНИЕМ ЦЕНТРА ;-!ЛСС ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

01.OI.II - системный анализ и автоматическое управление Автореферат

диссертации ка соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург - 1992

Работа выполнена на факультете прикладной математики -процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный консультант: член-жорр. АН СССР,доктор физико-математических наук, профессор В.И.Зубов.

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук, профессор

П.Л.Дегтярев /Казань/

- доктор физико-математических наук, профессор

В.С.Новоселов /Санкт-Петербург/

- доктор технических наук, профессор В.К.Чернецкий

/Петрозаводск/

Ведущая организация - Московский авиационный

Д-063.57.33 по защите диссертаций-на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственкон университете по адресу: Санкт-Петербург, Васильевский остров, 10 линия, дом 33, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке СПбГУ иы. А.М.Горького /Санкт-Петербург, Университетская наб., д, 7/9/.

Автореферат разослан ¿0 /¿4 $ 1у9^г.

Ученый секретарь специализированного совета

А.П.Мабко

СЬцАл лАРАК1 ¿Р» С! иКА РАЬСТН

Актуальность проблемы. В.работах Р.Калмаиа, Н.П.Красов-ского и В.¿¡.Зубова предложены метода решения краевых задач для стационарных, нестационарных и квазилинейны:« систем обыкновенных дафференциалымх уравнений О.Д.У с учравлягцей ФушшиеП управлением в правой части, а также найдены критерии, позволяйте выделять множество конечных состояний, при которых ра-аенио краевой задачи существует. Однако в указанных методах существенно используется тот йЬант, что правке часта систем линейно зависят от управлений и фазовых координат, поэтому использовать их при решении краевых задач рля систем с существенно нелинейной правой частью не представляется возможным. Известные подходя к решению проблемы краевых задач для нелинейных систем О.Д.У основываются на учете специфики их правой части и носят преимуществ етю качественны1.! характер (нахождение критериев существования реаения, исследование топологических и геометрических свойств множества достютмости и г.ц.\ 3 связи с возросшт: потребностям! прикладных наук, весы/а актуальна разработка нового подхода к исследованию проолеми краевых задач для достаточно широкого клагса нелинейных систем, позволяшего строить алгоритмы решения краевых задач, а также определять множество конечных состояний, при котортх гарантируется их существование с учетом ограничений на управление. а свою очередь конструирование систем управления летательных аппаратов, основанного на решении крпегнх задач для нелинейтх систем О,Д.У опксгваюдих движение их центра масс, повидает их автономность и значительно расширяет их возно.тнос-ти.

Нелы работы является разработка методов решения храепчх задач для широкого класса управляем!» нелинейных систем, ике-яцих за^ое практическое приложение, а также построение алгоритмов формирования законов управления углами атаки и крена при переводе центра масс летательного аппарата в заданную точку над поверхностью Земли.

3

Научная новизна. В диссертации получены следукцие новые результаты.

1. Разработаны метода реиения краевых задач в классе, ограничении по норке, кусочно-непрерывных, дифференцируемых и кусочно-дифференцируемых управлений для достаточно широкого множества управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений, имевших важное практическое применение.

2. Получены соотношения, позволяющие находить множество конечных состояний, при которых гарантируется существование рЛМ. краевых задач для ограниченных го норме, кусочно-непрерывных, дифференцируемых и кусочно-ди^геренцируемых управляющих функций.

Построены алгоритмы, формирупцие законы управления углами атаки и крена, в классе кусочно-непрерывных, дифференци-пуешх и кусочно-джйеренцируекых функций, при которых центр ыасс летательного аппарата переводятся в заданную точку пространства.

4. Найдена соотношения между начальники и конечным состояниями центра касс летательного аппарата, при которых можно осуществить его перевод с учетом ограничения на углы крена и атаки.

5. Предложена метода определения границ изменения жестко заданных параметров летательного аппарата тяги двигателя, площади крыльев , для которых возможен перевод его центра масс из множества начальных состояний в фиксированное множество конечных состояний, при заданных ограничениях на изменения углов атаки и крена.

6. Определены законы изменения моментов внешних сил в задачах ориентации и управления вращением твердого ела.

Практическая ценность работы состоит в разработке методов решения краевых задач для класса управляемых систем, который включает в себя уравнения, описывающие движение центра масс летательного аппарата с учетом всех действующих на него сил, а также гироскопических систем. Алгоритмы построения законов управления углами атаки и крена могут быть использованы как непосредственно для управления полетом, так и при моделирова-

''"Т."

.У-.1 ¡¡ю- '

нии на ЭВМ систем управления на этапах проектирования летательных аппаратов различных классов.

Апробация -работы. Результата работа докладывались и обсуждались на конференциях и семинарах, в частности на:

1. Всесоюзной научно-технической конференции "Управление техническими объектами" (Ленинград, 1984 гО-

2. XX - Воронежской зимней математической школе (Воронеж,

1988 р.).

3. XXI - Воронежской зимней математической школе (Воронеж,

1989 г. ).

4. Всесоюзном сег.инаре по современным методам исследования краевых задач (Воронеж, 1^0 гЛ.

5. ХХУП Воронежской зимней математической школе. (Воронеж, 1991 г.).

6. Всесоюзном семинаре по вопросам современные метода в теории краевых задач ( Вороне*, 1992 г.\ *

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, двух глав, приложения и списка литературы, содержащего 40 наименований. Обций объем диссертации 193 страницы.

КРАТКОК СОлЬЬАнй; РАсОТЫ

В введении дан краткий обзор основных направлений поиска реяений краевых задач для управляемых систем обыкновении дифференциальних уравнений, а также некоторые сведения из теории' дифференциальных уравнений, математического анализа и динамики полета, которне используются при формулировке и доказательстве результатов, полученных в диссертации.

Глава I посвяцена вопросам решения краевых задач для некоторого класса нелинейных систем С Д.У. В § I рассматривается система вида

(1.1 >

где И'-Я*, П П., ¿¿ПО, (ссЧ^^-*?-1, Ю ( 1.2 )

5

Пусть даны состояния

Х(0) - 0 Х/^-Х'к ^-4)

Ставится задача: найти непрерывную функцию №(£) так, чтобы решение системы (I) Х{Ь) удовлетворяло условиям (1.4**. Пару

ХШг ^(О~ будем называть решением задачи (1Д^-(1.4). Основннм результатом этого параграфа является Теорема 1,2

Для того, чтобы существовало решение задачи (1.1*,-(1.4) необходимо и достаточно, чтобы существовала непрерывная функция Ил'/г) , при которой решение системы С 1.3^ удовлетворяло условиям (1,4^ и ее первые ? -компонент имели вид И/

(1.5)

В примере, приведенном в § I рассматривается система вида

• X = О * ' (1.6)

где «Й; Ш^С^Я^Я*) ;

Пусть даны состояния

Х^фх: /г^,,.^

Для систете (1.6^ при условиях (1.7'1-С1.8) доказывается б

Теорема 1.3

Для того, чтобы существовала непрерывная управлявшая функция , при которой решение системы (1.6) удовлет-

воряло условиям (1.&\ а ее первые % -компонент имели вид Л'

необходимо и достаточно, чтобы существовала констаота Z> О такая, что

¿п^Ф п ц")

л . х

где л--/

-

8 § 2 объектом исследования является система вида гле та*; л;^^/'¿зу/;/V^^

№Х (1.16)

Предполагается существование константы ¿>0 , такой, что

УК/',/-- М) ИМ г

Условие ( 1.171 гарантирует выполнение неравенств

/ад) ^ 4, 1X^)1^3, ы."•> *

где X /¿I компоненты решения задачи Коши с начальными данными .-о л Для системы, состоящей из последних И - I -уравнений системы (1.144 при условии, что в ее правую часть подставлены известные непрерывные функции ), и I -■ у Л » Удовлетворяющие условиям (1.18'*, Постановка задачи Пусть даны состояния

Х(0)-0 ХЛ 1)^x1 Г (1.19*

Требуется найти дифференцируемые функции , 11(1), так,

чтобы они удовлетворяли системе (1.14* и условиям (1.1ЕЛ. Пару , ¿¿и) будеы называть решением задачи г1.14? , (1.19\

Вводятся обозначения

2*Щ

Наряду с системой (1.14'* рассматривается система

сиЛЫ/ ■ - - (1.21)

Основным результатом является Теорема 1.4,

Пусть для констант (1.20^ выполнено условие

¡б(е'-ь1е£ +Р)4 С1.2-Л

Тогда для всех теких, что существует набор й V1'

8

¿ - i, . . • í удовлетворяющих неравенствам J-Ч -

Л-í

существует решение задачи (l.I4\ (l.I9\ причем первые t -компонент X(¿) представимы в виде

Л'-i t<i

K.rl

а ее последние n - г компонент и управление Ufé) находится после решения задачи Коши для системы (1,21^ с начальными данными

■ X¡(0)-0 u(e)-ü (l.25*

В § 3 правая часть системы (1.14^ наряду с Cl.IS^-Cl.ie"1 удовлетворяет условиям

Вводится в рассмотрение система

Г- г ?-к ¿ Ж Ú /ё i г а

с сХ. с № <'£

Пусть имеются начальные данные

¿¿(Ц-к* »ч» - '¿° :

¿¡\(fe)--Ktпри с U? í с С

UJiry-C^ К*^ С t ti,'", t-

(1.27*

С 1.28^

Лейла I.I. Существует константа oL-> О такая, что решение системы (I.264« с начальными данными (I.28"i при x¿(i) ,

TJO , • Xiß) , ¿¿Ii) »^C-l-A-jH

удовлетворяющих условиям

/Х,т4>; ; ÜIW4;.о* (I*30')

на промежутке [¿t/ удовлетворяет неравенству G.I6).

Предполагается, что система

разрешима относительно Хс / = ^. • 7 в области

VfX, , U * ) удовлетворяющих условиям (1.1б\ Cl.29"1-(l.3l\ Разобьем промежуток ffy /_) точками р , ¿f ,,, ,

а = ^ так, чтобы

litti-dil-d ¿¡¿Л 0.33)

Теорема 1.5

Пусть для величин ^ , , Л, т , , , справедливо соотношение

/г/i ^ (1.34)

6

Тогда для всех Xi i = ^ таких, что

^ <1.35)

существует кусочно-дифференцируемая функция /¿'/¿б' и дифференцируемая функция ^/¡^ , которые являются решением задачи

(1.19^., Причем первые t -компонент првдста-

вимы в виде полинома третьей степени с кусочно-постоянными коэффициентами, а Ч(1) состоит из решений задачи Коии дла

ТО

системы (1.26) , (1.27) о начальными данными (1.28).

В § 4 для системы (I.I4) наряду с условиями (I.I5)-(I.I8) предполагается что при некотором £>0 система

~ /< (X}a,i) ¿ - d, ..* i] ÍI.36)

разрешима относительно tí в области

t¿L¿f<:X,-£ (1.3»

для всех ¿c , xt- , i , удовлетворят?« условиям

При этих предположениях доказана Теорема 1.6

Для ■ ¿-l{..-fi таких, что существует набор коэффициентов /: j ... ¡r ■ ¡¿ . . j,'- / , при которых имеют место соотношения

\X(X-i)(x¿-g¿i<t)t +£k(K-i)alt t-г к-*

существует кусочно-непрерывная функция & ¡é) и соответствующая ей функция 3C(¿) , которые являются решением задачи (I.I4), Í.I9). Причем первые Z -компонент X/¿-) предста-виш в виде (1.24 ^ а последние п. - t компонент и управляющая функция ¿¿ определяется после решения задач Коши для системы (C.2I"X

В § 5 предложен метод решения задачи, поставленной в § 4, который значительно упрощает нахождение начальных данных при решении задач Коши для система (I.2P. Для системы (I.I4V (1.1Л и констант £ , , (г , ¿s , теденннх в § 3, § 4 определяются величины

¿^ШГР-М*:®

где ílt~(¿t ix-^e^/fht^lúl^'ju^z

■ Ь tieft

Далее промежуток [О, 43 разбивается точками 6д-0 , • • ' • ¿т-1 так чтобы

Теорема 1.7

Если для величин /п » я? , » /У справедливы неравенства

Мг

то для всех конечных состояний таких, что

существует кусочно-непрерывная функция /¿/«у и соответствующая ей функция ХЫ) , которне являются решением задачи (1.14), (1.19). Причем искомое управление и последние п - г -компонент Хи) определяются после решения задач Копи для системы (1.2П, а первые £ -компонент ХШ представимы в виде полинома третьей степени с кусочно-постоянными коэффициентами.

В § б для системы

X ■ = ¿Г, • • > *

где

у--г (1.4о)

Рассматриваются граничные условия

Основным результатом является Теорема 1.8

Существует константа ¿у О такая, что для всех

I - i, ... z » Удовлетворяющих неравенствам

компоненты ^ (!) l z i, - -, t функции X(i) соответствующей непрерывной функции U U) » являпцейся решением задачи (1.39), (1.47), имеют вид

Во второй главе метода, разработанные в глава I, применяются при решении краевых задач для систем, описывапцих движение центра масс летательного аппарата и гироскопических систем. В первом параграфе рассматривается система вида

t- i^jrM^^'^p^

i'A Vl

dx. rjeS^i

d/t'

lu/ёХ Dili к

Пусть даны состояния

, . <2.2)

/••Л-' Vrfc

Постановка задачи:

Найти законы изменения , ^ (/J так, чтобы реше-

ние системы (2.1) удовлетворяло условиям (2.2) .

При решении задачи С2.!)-(2.2) функции фазовых координат д(%) , (f(/() ищутся в виде

к *

интегрирование последних двух уравнений, после подстановки С2.3) в (2.1?, с учетом граничных условий (2.2^ дают соотно-

шения

у ___хк

¿1 % «у

ъ,__И.*» --- .

Л

и известные функции ?) , ^ •

Если раэрепить второе к третье уравнения системы (2.1> относительно , ^ а присоединить к полученным равенствам первое уравнение системы (2,1) , то будем иметь

¡¡77™ .г Л \?

л У -ч^р— -

о(- Алгиа --:-7-ГГУТ--1-

_ ■ ' ■ •___, (2.5)

1£-Д^СЛу. -------—:--

Теорема 2.1.

Вели для начальных и конечных состояний (2.2), коэМжци-полиномов (2.3), ^ М , удовлетворящих

' .

еитов

условиям (2.4), соответствущих ии функций ,¥((),

. Ш) и управлявших функций оЦ/) , ¡/¿(¡() , опреде-ляемнх уравнениями (2.Э , (2.6), справедливы неравенства .

/пйх М)!* 4 V /лле/^/г а

то выражения (2.5* с присоединенным уравнением (2.5) дают решение задачи (2.0 , (2.2). .

В § 2 репается задача управления угловой скоростью твердого тела, вращапцегося вокруг неподвижной точки.

В § 3 система(2.1) при ¿¿¿О посла замены переменной

¿¿г

приводится к виду ¿Г

; Уп * Ун ; ¿¡>о

Рассматриваются состояния ^- О: I' - 4г'-- ; у

г. {: Г- ^ с «с г<*1 ■ I у<с с гг.9)

15

Ставится задача: найти дифференцируемые функции оС (?) , V- (?) так, чтобы решение системы С2.8 )удовлетворяло условиям (2.9">. Будем искать 1Ц?)-¿^'(г)^ г:ТО-^гр{г) в виДе:

Подставляя

(2.10) в четвертое и пятое уравнения системы (2.8) и интегрируя их с учетом граничных условий (2.9> будем иметь

±л. /у,

г

V (2.11)

О

и известные функции Ак ¿) ; Г(А^.--,

Коэффициенты А± , В^ определяются выражениями

Система уравнений для определения искошх ^^ , )'. //^ согласно результатам § 2 главы I гчеют вид

16

1ц ,

,f: (2.14)

ум-ч; ¿¿0)=*,, i':(o)-y'ic

/i • /г " известные функции величин , , $ , <j>, dt,'fcß:\ а'9~М< г , Г , Jt/cä-, dt/dt. В свою очередь "Я&Г, afytf,

dfßr, är/dtопределяется выражениями (¡2.10) и правой часты) системы (2.8). Пусть заданы величины ^, ¿г , ,/лг такие что

' l-t /¿:i

Рассмотрим кножеотво непрерывных функций ¿¡¿'¿) , , чдов-летворянцюс неравенствам

^ ¿А")' (2.16*

Найдем яначения ^ , , ^ ?г такие что

$ ^ Гг _ * * Г/ <2.17)

где' * 1решения задач Копи с начальными данными (2.9) двух последних уравнений система (2.6"* соответствующих произвольным непрерывным функциям &/?) , , удовлетворяете условиям (2.16). По значениям , ¿>г ,, /у/, ^ , £г , % , ^ мояно определить константы ^ , £ , для которых имеет место неравенство

^ ^ \'(Г) 4 ^ (2.18)

ГД0 1/А) - лгбоа решение задачи Коши с начальным условием ^2.9) первого уравнения системы (2.8) соответствупдего функ-цвдм <<(£}; <£{?) , Ы'Р) , Ир) , удовлетворяющим неравенствам (2.16), (2.17). Введём в рассмотрение множество Л :

и величины: ^ Щг-уее

, Г- »йг />/?,/; Иь!; М/,

Л

/Й

Предположим, что

¿¿У (2.10»

Тогда справедлива Теорема 2.2.

Пусть для величин ¿у , £г , /¿^ , /Я2 и начальных состояний (2.9) справедливы неравенства (2.15), (2.19), тогда для всех конечных состояний (2.9\ при которых существует набор коэффициентоз . • •, Ам; 8{, • • ■, » удовлетворяющий условиям fe.Il), (2.12), а также

.и . ¿¡Г/ г ¡М+ < Рг % * ¡»¡ье &

то компоненты • )'с(2~) реаения задачи Коши на промежутке

[0>И системы (2.13), с начальными данными (2,14) являются решениями задачи (2.8) для системы (2.9). Пусть П-? . Введем обозначения

Предполоким дополнительно, что С учетом обозначений

^/й- ЩИИ), Щ

справедлива

Теорема 2.3.

Пусть для величин £ , 4 » ^ • />г<?» кНг . I , Л' и начальных состояний ^2.9) имеют место неравенства (2.15), (2.18), (2.21), тогда дли всех конечных состояний , ,

удовлетворяющих неравенствам

*\JL_ A, (d-un ra)/jtMi4i) А, ьА I U

I Н*ЛеУ и*ъ) г Г Л - к* < i _

4t f -A fa*

£ _______L£__

компоненты dit) , У£(Т) решения задачи Копи для системн( 2.13) с начальники данными (2.14) являются penemtcv задачи (2.S) для системы (2.8).

В четвертом параграфе рассматригается задача построения кусочно-непрерывных управлений ¿(¿-) , \>с (?), которые являются решением задачи (2.8\ <2.9"» при ^ г О . Если разрешить второе и третье уравнения системы (2.8> при ¿èz О относительно м , у , то будем икэть

( 2.24)

¡/g,,г -

Рассмотрим числа , йг , /у , , удовлетворяйте условия!« ы.гг.аг г а ¡г ;

Предположим, что выполнены неравенства

ьа

■г

Ог 2 à)

го

где Ы. , находятся по формулам /*<!.24\ а Л - го же, что и

в теореме 2.2.

Теорема 2.3.

Пусть для величин /у , сЛ , -"-'у , . Я/ > ^ , 4 • 4 и начальных состояний (2.;Л выполнены условия (2.15), (2.25), тогда для всех конечных состояний У^ , ^ таких, что существует набор коэффициентов Л, •■•, , , удовлетворят^ условиям С2.124 при ^ ; ¿> , (2.Щ, при которых для полиномов (2,10л икеют место неравенства Г2.201, существует кусочно-непреривные функции , которые являются решением задачи 'г.в4 (при 0) , (2.<Л. Причем указанные-функции находятся после решения задач К'оши для системы (2.13*, (2.14\

При М - 2 справедлива

Теорема 2.4.

Пусть для величин /г , /у , , ^ , , , с*/ , 4 и начальных состояний (2.5^ выполнены условия (2.15\ (2.25\ (2.21), тогда для всех конечных состояний ^ , 2*; , удовлетворяющих неравенствам ,'2.23'> существуют кусочно-непрерывные функции х/7) , (?) , лвяякциеся решением задачи (2.9) для системы г 2 .б-* при ^ - 0 . Причем указанные функции являются компонентами решений задачи Коти для си теми (2.13), (2.14\

В § ¡г строятся да'4еренцируемы. управления при решении задачи управления угловой скоростью вращения твердого тела вокруг неподвижной точки.

3 § о решается задача ориентации твердого тела с помощью моментов внешних сил.

В § 7 предложен алгоритм построения кусочно-дифференцируемых законов управления углами атаки и крена, прч которых решение системы удовлетворяет условиям (2.9^.

В приложении определяются границы изменения, жестко заданных параметров летательного аппарата тяги двигателей и площади крыльев , при которгх возможен его перевод из некоторого начального состояния в заданные конечные состояния о помощью непрерывного и кусочно-непрерьгоного законов изменения углами атаки и крена.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Квитко А.Н. Решение краевой задачи -в динамике пассивного полета летательного аппарата // Управление динамическими системами, вып. 2 /Под ред. В.В.Новожилова. - Л.: Изд-во Леяингр. ун-та, 1978, с. II6-I25.

2. Квитко Л,К. Решение некоторых краевых задач в случае пространственного движения летательного аппарата //Некоторые вопросы дифференциальных и интегральных уравнений и их приложения /Якутск: Изд-во Якутского государств, ун-та, вьт. 3, 1978, с. 61-68.

3. Квитко А.Н. Решение некоторых краевнх задач в динамике полета. В кн.: Вопросы механики и процессов управления. Ban. 4. JI., I960, с. 30-34.

4. Крипго Л,!!. Об одно.'! задаче оптимизации в данамике полета /Прикладные задачи теории управления. - Л., 1982,

С. 33-37.

5. Квктко А.Н. Сб ojHoil задаче наведения в динамике полета /Математическая теория управления техническим' объектами.-Л., 1961, с. 90-92.

6. Квитко А.Н. Оцеш!а времени перевода летательного аппарата в заданное состояние в случае плоского движения. В кн.: Управление динамическими системам. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1984, с. 44-47 - (Вопросы механики и процессов уп-

' равления, вып. 7\

7. Кви'. :о А.Н. Об одно,! задаче построения программных движений. - В кн.: Динамика систем управления. - Л.: Изл-во Ленингр. ун-та, 1909, с. 36-41 ('Вопроси механики и процессов управления; Ьып, II \

8. Нвитко А.Н, ¡1сстроение_кусочно-:тпрер1'8т'х управлений npir решении краевой задачи для систем ебнкновеннкх днИ'ерекци-

.вльннх уравнений. Вестник ЛГУ, Сер. I, 1991, вгп. 3, У 16, о. 37-40. .

9. Квитко А.Н. Решение краевой задачи для систем oCHKHoueiwx дифференциальных уравнении /Тезисы докладов толы Современные метода в теории краевых задач. Воронеж, 1992, с. »6

10. Квитко А.Н. Решение краевой задачи дм систем специального вида. Вестник СПбГУ. Сер. I, вып. 3, К? Ib, 1992.