Методы решения краевых задач для управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений и их применение при решении задач управления движением центра масс летательного аппарата тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

•Но

и

СЛ.ЧКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 5 ¡7.917

КВИТКО Александр Никачасвич

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УПРАВ. ¡ЕМЫХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ >ТАВНЕНИЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ ЦЕНТРА МАСС ЛЕТЕТЕЛЬНОГО АППАРАТА

01.01.11 - системный анализ и автоматической управ/ч.

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург - 1995

Работа выполнена на факультете Прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета

Научный консультант:

член-корр. РАН доктор физико-математических наук, профессор В.И.Зубров

Официальные оппоненты:

- член-коррю Международной Академии наук Высшей школы доктор технических наук, профессор

Л.Ю.Худяков

(Санкт-Петербург)

- доктор физико-математических наук, профессор Г.С.Осипенко

(Санкт-Петербург)

- доктор физико-математических наук, профессор А.В.Просолов

(Санкт-Петербург)

Ведущая организация - Военная инженерно-космическая академия им. А.Ф. Можайского

Зашита состоится 1995 г.

в_____________часов на заседании докторского совета

Д-063.57.33 по защите диссертаций на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственнс

университете по адресу: . г

Санк-Петербург, Васильевский остров, 10-я линия, дом 33, ауд.________

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке СПбГУ нм. А.М.Горького (Санкт-Петербург, Университетская наб., д.7,9)

Автореферат разослан 1995

Ученый секретарь

докторского совета А.П.Жабко

АШАЛЬНОСТЬ ТЕШ

Вопросы существования управлявших функций и соответствующих им траекторий, соединяющие заданные точки в фазовом простванстве, а также проблемы точного или приближенного их нахождения, составляют основные задачи в проблеме построения программных движении для управляемых систем дифференциальных уравнений.

Наряду с этим представляет значительный интерес исследования и оценки множества конечных состоянии, в которые возможен переход из некоторого начального состояния с учетом органичений на управление. Аналогичные вопроси возникают при рассмотрении систем с распределенными параметрами. Диссертация посвящена решению этих задач аналитическими методами для некоторых классов (линейных и нелинейных) систем дифференциальных уравнении и различных типов краевых условии.

Иде!’ методы первых двух глав применяются к решению задач:

1) управление движением центра масс летательного аппарата;

2) управления ориентацией твердого тела, врашакшегося вокруг неподвижной точки;

3) управления системой с распределенными параметрами. Исследование проблемы построения программ движений было начато работами Р.Квлмана в начале 60-х годов. Им был сформулирован необходимый и достаточный критерий существования управлякщих функции, при которых решение линейной нестационарной системы соединяет заданные точки в фазовом пространстве и предложен метод

их нахождения.

В работах В.П.Зубова 1конец 60-х годов) обобщается результат Р.Калмана на случай квазилинейных систем и разработаны алгоритмы решения задачи построения программных движений для импульс-

пых и релеШю-импульсньк управлений в случае линейных нестационарных систем с учетом запаздывания аргумента.

В работах II.Н.Красовского (начало 60-х годов) решаются задачи построения программных движении при условии минимизации нормы управляющих уункций в различных '.функциональных пространствах. Р.Габасовым и ф. 1.1.Кирилловой Vсередина 60-х годов) получены критерии существования, ограниченных по норме кусочно-непрерывных управлений и соответствующих им траекторий, соединяющих заданные точки в Фазовом пространстве, для линейных систем. Задачи связанные с исследованием структуры множества конечных состояний для которых существует, ограниченное по норме программное управление и соответствующая ему траектория, исследованы в работах II.¡.'¡арку с.

3 работах (середины ¡¿0-х годоз) /} £ ¿&/1^10-¿2

программные движения. в случаи линеГпчх стационарных систем обкк-.'¡опешшх да;*;«ренцкалышх урапненим, находятся в виде номиналов от независимой переменной, и.н.ыоасеевим л Ф.П.озспльевим раз-расотаны методы решения краев!« задач для управляемых систем путай сведения их к задаче минимизации • дуккцкоиала Ыакера.

Результаты ¡¡о исследованию управляемых систем с распределенными параметрами содержатся з работах ¡с.Ыше, Т.Л. Иризетдинова, л.Г.Бутковского др.

¡Ззрсшасшшм А.,>. на основе нтерэг.п!пн:с методов, ргзработа-•:ы алгоритмы построения кусочно-постояшшх управлений при реше-ичг задачи по ро пода тчтпп мл*; с ;;чярппта из началь--

ного состояния в "..'иксироваиное конечное состояние.

Лдачи вертикального подъема летательного аппарата на зазан-нун высоту, а также его приземление в заданную точку земной поверхности с заданным критерием качества исследуются в работах

АЛетова, Тараненко З.Т. и Момдии З.Г. исследуют краевые задачи динамики полёта,используя в качестве опорных функций Фазовых координат полиномы от некоторой безразмерной величины.

Диссертация посвящена разработке алгоритмов решения краевых задач для достаточно широкого класса нелинейных систем, им»птих важное прпст'-ч^ское ~рим?.ненир.такт исстроениннч ?•%!•• он со управления углами атаки и крена при переводе центра масс летательного аппарата из некоторого начального состояния в Фиксированное конечное состояние.Объектом исследования первых двух глав явлчется система дифференциальных уравнений вида

'Г-

г*е 1ЫЯ';

40 /-(к■■•,/?/ тнж

Пусть зачаны краевое условия

'Х10)--0 е- с

О ^ ^/I-

3 третьей глазе рассматривается система.описывающая дви-

жение центра масс летательного аппарата в атмосфере с учётом переменности массы,тяги двигателя.кривизны и вращения Земли:

~ £2 КЛ&+/Л УйяВ-

- 5¿И Уин $ ил В)

>П иб%+ео5*илрыу^^?$се$)Г- 2 0'щ-

- ^ ~ $ + ¡71 £Г <-'0,5 $ 1* Р/уI ¡О2

1т ? Лгсс$Ч: (*■"■¥ ^ ¥'£05 9)

р(фчы- гм*

Цф>иХУс-

-тМёхн-ГсЯГсоМ "

С& С &-?■■<*>

где

[/ - модуль скорости; $ - ¿/гол наклона траектории - угол поворота траектории, - расстояние до центра Земли, ^ - широта места ^ - долгота места ¿ - время, Р {-6 ) - тяга двигателя, /%- масса летательного аппарата, ? - 9,8; $.д- радиус Земли, Л - угловая скорость вращения Зеги:;; ^ - угол скольжения оС - угол атаки; )/ - угол крена; Р ~ ^ - плотность

атмосферы; $ - площадь крыльев. ^'_раСход массы

Щ> о-, &; и I**); § у(«Л, (, ■ Ш)-

чоскйс коэофицяеити; число ¡.¡п:сг., ^ - скорость звукя

(5)

а такке краевые условия

✓--4; кг#;

$: #/■; к, (7)

Цели предлагаемо;; работы состоят в следующем:

- разработать алгоритмы построения дифференцируемых, кусоч-но-пеарерЫЕНых и кусочно-дифференцируемых управляющих функций ¿¿{¿) так, чтобы решение системы (I) удовлетворяло условиям (3)

- формулировке критериев выбора конечных состояний (3) и области изменения фазовых, для которых гарантируется существование упомянутых выше, управляющих функций с учетом ограничений (2)

- нахождению законов управления углами атаки и крена в классе дифференцируемых, кусочно-непрерывных и кусочно-дивдеренциру-емнх функций при которых : центр масс летательного аппарата

переходит из состояния (б') в состояние <7)

- наііти критерий выбора множества начальних и конечных состояний (С), (7) и области изменения пазовых координат, при которых гарантируется построение, .указанных вше функции изменения углов атаки и крена с учетом ограничений (5);

- использовать предложенные методы при решении задач управления: I) врашательного движения твердого тела вокруг неподвижной точки; 2) системы с распределенными параметрами.

ОШШ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Решение упомянутых задач опирается на классические методы качественной теории дифференциальных уравнений.математического ана-лпр.'і и на фундаментальные результати ».*!..Кр^^оЕского, В.и.Зубова, ¿¡.'¿.Верещагина, л.м.Летова б теории управляемых систем.

НАУЧНА Л0ВИЗЇІА

В диссертации получены следующие новые результаты:

- разработан аналитический метод исследования нелинейных систем автоматического управления, который позволяет сводить вопрос о нахоздении решений различных типов краевых задач к решению задач Кош:', для систем обыкновенных дифференциальных уравнений;

- на основе эти:: методов разработаны алгоритмы решения двухточечных и многоточечных краевых задач в классе ограниченных по норме, дифференцируемых, кусочно-непрерывных и кусочно-дифференцируемых управлений. При этом часть функций фазовых координат находятся в виде полиномов или сплаіінов;

- Сформулированы критерии, которые позволяют выделять множества конечных состояний и области изменения фазовых координат, при которых гарантируется существование решений краевых задач с учетом ограничений на дифференцируемые, кусочно-непрерывные и кусочно-дифференцируемые управляющие функции;

- разработаны аналитические методы исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, оиисывагааих пространственное движение летательного аппарата в атмосфере с учетом кривизны

и вращения Земли,переменности массы и тяги двигателя, позволявшие находить функции изменения углов атаки и крена, при которых центр масс летательного аппарата переходит из начального состояния в заданные конечные состояния.

- на основе отих методов разработали алгоритмы построения дшкоеренцир.уемн:;, кусочно-непрерылных и н.усочно-.тда^'еренцяруешх функций изменения углов атаки и крена при переводе центра масс летательного аппарата из начального состояния п ^икспровашше конечные состояния. Получен аналитически;' вид законов изменения .углов наклона ц поворота ираокторкк, гшроты и писоты полета как дикций от долготы;

- сформулированы достаточные условия и выписаны оценки, которым долины удовлетворять множества начальных и конечных состоянии, а также область изменения фазові« коор;ишат,гарантяруюшие заданный перевод центра масс летательного аппарата, с учетом ограничений на закони изменения углов атаки и крена, в классе дифференцируемых, кусочно-непрерывных и. кусочно-дифференцируемых функций;

- предложен способ выборе г.есткс заданных параметров летательного аппарата (границ ’изменения массы, тяги, углов атаки л крека), при которых возможен перевод центра масс летательного аппарата из начальных состоянии в заданные конечные состояния с .учетом огоаничешш па управляющие Функции и область изменения разовых координат;

- разработан.'алгоритм решения крас eux задач для управляемых систем с распределенными параметрами и построены функции изменения моментов внешних сил в задаче ориентации твердого тела.

-решена проблема аналитического построения программнах движений при проектировании систем управления Лэро-космичес-кими комплексами.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ

Полученные в диссертации результаты позволяют на различных стадиях проектирования систем автоматического управления, с учетом ограничений на исполнительные органы, определять допустимые множества начальных и конечных состояний, à также области изменения фазовых координат:; находить законы изменения управляющих параметров и соответствующих им фазовых координат, что дает возможность осуществлять полное моделирование систем управления и повышает их надежность. Алгоритма! построения законов управления . движением центра масс летательного 'аппарата могут быть использованы при создании систем автоматического проектирования различило: типов летательных аппаратов.

АПРОБАЩЛ РАБОТЫ .

Результаты диссертации, докладывались и обсуглались не конференциях семинара;:, в частности:

I. всесоюзно;: научно-технической конференции "Управление техническими объекта1..®" иегикград i-■ 3-к

-J. XX йоронег-скс?: зпшсГ математической школi1 (Зороног: 1989 >.)

3. XXI UopoHenci’ofi зплле:; математической школы (Бороне;: IS89] . )

i. Всесоюзном семинаре н" сояпешишп штопок песлодо'.кшия

крг:гви.ч зодпч (Uoponer. Ii’L'O г.).

•5. Хл::. lionoJîenrcKoil зипие": математгческо:; ’лколк (Бороне::: TÜ91 г.

G. Всесоюзно!- семинаре но вопросам - совпепегакз методы в

'■’вопив кргешх задан (ixjpoimr: 191.'. г.).

швдкщш

По теме диссертации опубликовано 12 работ. .

СТРУКТУРА К ОБЬЬМ РАШТЫ

Дяссертация ка ¿.’¿G страница:: машинописного текста, состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы, вклшаю-wero 109 каимеловшн:;:. Первые цве глйрм состоят гз пяти параграфов, третья из шести параграфов

СОДЕРЖАНИЕ Д!'.ССЕРТА1Ш1;

Во введении обосновывается постановка задачи, дается кратки!' обзор исследовании но указанной тематике, приводятся основные ре з.ультаты ди ссе пта цип.

2 первой главе разрабатываются алгоритмы построения решении различных тппое краевых задач для .управляемых систем обыкновенных

дШ'.еренциальных .уравнений, я также формулируются необходимые п достаточные критерия существования этих решений.

В 5 I рассматривается система вида

(8)

где

f - діі(лмерпнціфуєма по "U" V(Xj Uj ¿)¿

.ї-/к■ ■ у л) vfc я1

9¿tJ

h A, ¿)-f¿ (0Cdj ,.^ ¿) ;¿. Y и,...у П (9)

luai¿M (io)

Пусть заданы состояния

1Х.І0)-С X¿(i)=X¿ г :<,->}' (II)

Рассматривается задача: наііти непрерывную функцию ¿í(¿) .

тгя чтобы решение системы (d) X(é) у.порлстворяло условия (II).

Lany «£( ¿ ). IL ( b ) будем называть решением задачи (З)-(П) Основным результатом этого параграфа является ТЕОРЕМА I.

для того, чтобы существовало решение задачи (о)—С ТІ) необходимо и достаточно, чтобы существовала непрерывная пункция аху ( ь ) такая, что решение системы {'ú)3Cy{ ¿ ) .удовлетворяло условиям (II) и ее первые ^ - компонент имели вид

У

/с

к: - і

В т 2. распространяется результат т. I н° случаи когда краевые условия имеют вид

ОС/О) -о

при замене одного из условий (8) на условие Б примере, приведенном в ^ I рассматривается система вида

X- ^(х/)1-В(х^)1С

(13)

гле ппу ЧЧх,¿у¿(р V./Р”); ¿¿¿С, 1] (14)

т/ЩМ}]¿^->уЧ-“,К * У(фВ"*е1

И ИНН 115)

пусть заданы состояния ,

ЭС(0)-0 (16)

¿БОРЕНА о.

аля 1010, чтобы ’Существовала непрерывная управляющая функция [¿{¿. ), при которой решение системы (.'■■') ¿С ( ^ ) удовлетворяло условиям (15) и ее первые,% - компонент имели виг

(17)

необходимо и достаточно^чтобы существовал-: константа ¿,>0

ТЗ''с!Я’ ЧТ0 1^[ $с^11В~4(Х '!/>1х,0)]1^М

где , . . ’ , , ’ 1 *■

л-{%11Ш;Н1; ъ)

• к.-*

где

г объектом исследования является система

и/Р^Л, У-РУРПГ^Р{;£П) из)

XIЯя, 1Мг, ^-(¿МоУ-еи--!")?', ^0^0 (19)

IIи. //^ J 1%^ I £ £' с - ¿} .<■, £ (20)

Предполагается существование константы ,^>6? такой что

12 ^ %?+/;'' у К/ ¿Лг р /¿^2,) (21)

¿У» </ггН0

y*i,u,t: /ъне; Ш<У.) ш

Условие (21) гарантирует пиполнение неравенств IT(/0I^^', (j~(2£(/ХрС где* ,Xi (é) ГЛВ1е1Ше задачи иу.ча для системы, состоящей из последках п-Х .уг-^визну.ч с;.стс:га и<3), с н.ч'^льчши /аавш» Х-(о)- 0, при условии, что в ее правую часть подставлены известные непрерывные ФУНКЦИИ Nt’{£)' t~d, I < <;¥ .удовлетворяяцйн

неравенствам

/ЗД/4 С II t UftjJ

iостановка задачи, пусть дали состояния

х(о) - о Xi(i)- зс£ т)

Требуется найти дифференцируемую пункцию (¿-) , так чтобы метение CC(i) системы (18) .удовлетворяло условиям (23). Пару il ( I ), n£(zf) будем назывить решением задачи (lü), (23).

Водятся обозначения Я^{хс^) lU R?-и^ЦЦх,Г

км^,«,,тп, * '

тл^ШИ:L К~- та*1мГ, > -М, ■ ■ ■,«}-, А/, 7/пагК,(хЛ/)\

* J2i

¿аис’ЕМА і.

Пусть для констант С выполнено условие

ІС(С + ІСг+Р)і:Х Ш)

тогда для всех у*«' : - , ♦ таких, что существует набор

. к і ^ ~ ' ' 'у '

с . ,,, у- ± ,,, ? удовпетворягаш: неравенству

существует решение задачи (И), (23). Причем первые ¿Г - компонент шункции ¿С( Ь ) представши в виде

^ (26)

а оставшиеся }і -X - компонент ОС (£ ) и соответствующее с ¡і управление ІІ ( Ь ) находятся после решения задачи Коши на промежутке £0,13 ДЛЯ системы

хї - // (хл и, 1)',1- т, ,..;П

(27)

и(с)~ О Х^ОУ-О'; (28)

хЗ т.2., переносятся результаты т.1 ка случай, многоточечных краевых условий

Х(0)~0 Щ)-Х#) (29)

При этом второе условие (26) ІІГИ6ЄТ БИЛ * ^ • £ :

А £.г / г <.. > г /-<,■■> м <зо)

В т.о и ее следствии доказывается справедливость Т.І, т.2 при дополнительных ограничениях не правую часть системы (1с)-(20), которые состоят в тоїл, что последние /2 - ? компонент ее правой части представимы р ыорме

(31)

а граничные условия (II), (2У) заданы в Оолее оошем виде

Х(с)гО Х(1):ХК £п (32)

ХІО--0 ХІф-.Ху ,гі,...ут хк.<£п (32)

Замечание о

Пол .условия (25) дают опенку .

и 3 разрабатываются алгоритм построения кусочно-непрерывных управлений при решении различных типон краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнении.

'ІЕОгЬ’Ш І. '

Пусть при некотором £ : іД^ У ¿У О , для мех

Хо У^етворяк-

щпх условиям: с/ ' //о

№«•/ і £; /*•«<; /;$-/ц; »<>

система уравнений

Ъ-ЫМ*) ¿П,.*.,* (У5)

п

разрешима относительно в области

иссі*ь%-£

(36)

Тогда для всех г -. таких,что можно подобрать набор коэффициентов Л (■ ' / : -± . <£’ к~Р, , . с К" при КОТОРЫХ БЫ-

полнено неровоиство 125), существует кусочно-непрерывная функция ¿¿(¿) и соответствующая ей кусочно-да«¿еренцируемая функция X (^ )» удовлетворяющие системе (1С) -(20), (21) п условиям (23). Причем иерпио £ - компонент 3?(ё) т;оют вю* 0:П), л осч-альнне /г - X компонент X ^¿ ) и .управляющая функция £ ) определяется после решения конечного числа задач ьози для систем типа (27). Теорема я пляс тел следствием т.1 2 случае, тогда краевые условия гилеэт вид (¿0). ¡3 теореме о дается Формулировка.т. I при конкретном условии разиопшмости системы (. 5).

Теорема 4 иллюстрирует иригвьенг.е т.1 2 случае, г.огда объектом исследования является линеьная нестационарная система.

Теоремы 5 п 6 даот алгоритмы решения ктесных задач (^2), ио) в классе кусо’Шо-неире 1«'«них ущ'пв^еиии - случае, когда правая часть счстомы (1с)-(2и) удоплетеоряет условиям (21).

1) четвертом параграфе предложен еггорати построения кусочнонепрерывных управлении и соответстзушп;. тпеекторк;:, соединяющих .1.'и-,£«1:ныо точки, котор::7 ::е треоует ре-аег.хш с:;сто1..а (..о) ог оептель-но управляющего пара!:ет:ш,!5рп определении начальных дашшх задач Коаш ;ля систем вили ^.7).

наряду с откм законы г.гг.е нения парных X - ■ азовых координат находятся п в ид 6 сплоьноз нтороИ стбпвни

..спользуя правые части системы (11;)-(20), (21) ка ходим константы

где л г/Х) и ¡{с-Го/{]-//.г1-Ц£//г/,,,, г; цищл';

/¿¿¡4^; I- ш,}; л±-/¿,х}и!¿¿Ш7) ¡Ъкс г //№ , V; ¡?с/± С1; ¿- п]

£ - определяется условием (21) при заданном значении

Ср ~ т лоС ¿2; и. ¿)(!

Разобьем промежуток /о,1_7 точками ¿7 г¿c¿.¿i¿ </ г 4

так,чтобы .

¡¿¿^-¿¿/-а' ¿-Ч^, V (38)

Теорема I. Ьсли для величину,^,/?,//, правелливо неравенство

* (33)

г таких,что

(40)

г' • V

ТО ДЛЯ всех конечних СОСТОЯНИІІ ґ ^ 2 ,

1Гч<Ы-

Ді/- ¿>/>гв

существует кусочно-непрерывная руНКЦПЯ Икс) к кусочно-дидаерен-цнруемая «пункция X- (^ ). которче удовлетворяют системе (18)-(20) л граничным условия:.: (23). Причем перрнс % -компонент СС { 6 ) представимы в виде сплаішов второй степени, а соответствующее управление і: оставшиеся И - ¥ компонент ОС ( і ) находятся после решения конечного числа задач пошп, для системы вида (27).

3 пятом параграфе рассматривается система (ІЯ). правая часть которой, наряду с условиями (І'і), (20), (:-Л) удовлетворяет дополнительна! УСЛОВИЯ''. /л л

' о («і

¿водится в рассмотпеппе систем;)

Ґ гЛ Аі ^ У ґ\ Т /Л гуі,,,

/с- бЧ&'ШК.

лтся в рассмотпепи

-¿Ь % <! р (/ ^ ”4:7 {і (У

4А

¿#Ы)к 42)

(43)

(44)

¡усть заданы начальные условия . с

«¿№4; к-м.к^-^-а ; **&*)

й;(і,)--кГ - л'° - и‘^; *}

Ш*Г 0 *■<$**>■,ГІ

¿,Ш^" '

и, ~ О і г / ,, , £

лемма 1. Существует понстаита. <'.(> 0 такая, что решение , системы (42) с начальными дашшми’(05) при ¿¿(¿) '^¿(^)

I - г; %//) ; Х\ П^'ломзтворякишх7?словиям

(45)

/*£-/‘<?г ; /^<74 п,

л а промежутке £ ■* с13 удовлетворяет не равенству (20).

(1;:г;трм£? ^ — '—

анш,(£(«>

Разрешимаотносительно ^ ' ¿‘ -4.,,,. ? и области

, !Гс1^г' '.43)

для всех ^, 1С, ¿. удорлетлорягапх у словили (?0 ). С12}-(-47). Ь'пзобьеы промежуток ¿'<9 ^ 3 точками О ^ ^^ - / так, чтоон

М // -£1 -К- 1 г 4 ^ " V '*■-*' 4 (49}

.• •: '-.’.Ш I. Луг-Ь :Г!Я "ОНСТПНТ ¿» , , ¿1 , /П г-'<'ПР.СДл¡:Г'1 ссот-

пошенпе

1^1,

11 ¿>™ (.;0)

-о г'.а для всех / г у у . таких '¡то

' (5.)

сулестзует I ■ у с оч н о -;V: е р 2!!. и! 1 р V е р я ';?:->кцг.п //( ^ '• и д»:.г.« сенца ру-ОМЗЯ '..’УККГ.Г.Л ) , Г,08ЯеТВ05ШШйС СГ.СТПГЛО ( 1-0 и .условиям (сЗ)

нОПЧСМ первый £ - КОМПОНвИТ СС { -6 ) ЛППдСТПРПМЧ л впщ спг.а;;ноз третьей степени, а ¿1 К А ) состоит кз ремейки заадч 1.оуш для си-стй!^1 (42) - (44) с начальными пдш’ыми (45)

-5 следствии т.1 предложен аягооптм ПССТПООНПЯ ИСКОМЫХ ‘.'УНКЦЙП

), которая позволяет ослабить условия (60), (51) за счет того, что перЕне % - компонент X (к ) находятся п виде СПЛОШНОЕ четверто!! СТвИЗНИ.

Глава II содержит алгоритмы решения крае та зяяпч для систем обикновенных дагсереидяальных уравнении на нефиксированном промежутке времени, у которых одна из компонент правой части отлична от пуля, г. реме того, в постановке задач всегда количество .условии на■правом конце траектории на одшнщу больше размерности управляющего вектора.

Б § Г (¡юрмулируется необходимое г. достаточное условие существования решения краевой задачи для система специального вида.

ліесиатриваотся сі сто.іп

JC-^ÍXjíjí) í32)

:до

OC¿t; U.éfí}iiéf0,co) -f ..

¿zd'"'> №A¿) " Ar/J;

n}: !¡(xM° VXíHn; ,

' r hiiu¿m . "

[¡.усть задашь состояния

X(0)--O (.55)

здесь X¿_ - иіиксарогзшше ведкчшш é - зарапог. неизвестный г.о-:süt времени. Йепрернвнуп > уккцшо ¿¿ (і ) а д:і•.оег.евцг.руетдую

Л? íé ) будем • пзияать реиешизп .-сдачи С52)' (55), ?сл:і для !•:!:•: выполнены условия (би) ' (-з і) - гЛс«тоснм систему

¿Q-iP/y и /)' / г -і ... )-/ }*/... и сМі-4— -ц;. (/> - f¿(2,Uj¿)

ц-у ■ Н" - ^ ■$&) *■’

-Іусть имеются состояния

Х(о)--О) і(0)-О Xt¿X¿J- X¿ t-rS;...,? (¿7)

'і-;у.":.\ искать непрерывную шункшт ¿¿{Xj ) а дксд-сренцирусг-щс >*лунк—

і*'1*’ ¿ (^]); X¿(«$•) ¿-Í, 'J-Jj+íj "v ^> TrK '!TOtíü o;u!

X ' ' c <J, -л лт -y*.. ...

лечиорялц СнСТеке loo) И уСЛОПНЯГД Ui;, тг.к.ую троипу <:iyi¡K!UU¡ 0уд>.:.'. називать решением задачи (55), (57).

Теорема . для того, что'п! сушестнонало р-замше задачи (52)--(J5) :;е обходимо и достаточно, чтобы сусествозало решение задачи (55), (57) такое, что первые У-і оппонент X¿(X)' ¿~dyj-iXJ представиш в виде полшюма от перемешюі: ОС: . ”

Бо втором параграфе строится алгоритм, которых позволяет шкодить дгапференціїлльну з чуикшш#( ¿ ) так, что соответстзуювее СІІ решение удовлетворяло залишим граничный условиям.

Объектом исследования является система

г«' хс ш и!е;->), ы/г;

М-ЩфО) У/г/^М

З^и,-,*}: {¿/х,и№0 уг^11; у^ у/^ т

ЫО,0,0)-0 у ^

¡¡¿СЦ^^М . (бо)

Пусть заданы состояния

х(о)-о у' (61)

■£ - заранее неизвестный момент времени

кие /><••> у (К!>

О - константа .

Требуется найти дифференцируемую функцию ¿1 (^ ) так, чтобы решение систем! (58) удовлетворяло условиям Ы). ¿казапнуп пару будем называть решением задачи (53), (•..’!).

Предположим дополнительно, что дзг система: (Л‘.) вип.-глзег.с условие Г—, »

¡¿¥+г

11 ¿Ь< ‘*1 ( (КЗ)

Здесь 1 </ У' - правые^части системы (;>£)

введем р рассмотрение систему

и граничные условия

Ф)--о зуфО; %Р)-.Я2,М»,ИЫ

которые молно получить из (6£), (57) если ввести, замену переменно!: ОС; иа ¿~ по '¡юрмуле

' й ш

диф;)0ре11 пируеше [ДУНК11Ш1 х:а),г! {¿),иа), .удоплетворя-щие системе (64) и условиям ( 65| будем называть решением задачи

(64), ( 6Г>'. Из (-33) следует, что рекспие задачи Коши с начальными дашшгш <? )=0; г? (С ) г0]с-/г Для системы состойте!; из последних п -¿'.управлений системы (64), при .условии, что з ее П1ч1ВуЮ часть иодстяслени ШШСС’ПШе Д!У;»»е реицируемнс Ч1.У 1!К11ИИ Хс((),

II (?)' такие, что Г:меют место неравенства

11хми \ тт^м-, ¿=4,.';? се?)

.удовлетворяет оценке ■

/ Гу№1 *■ е{; /1(г)\* 1,ш ,,.ук (ев)

Откуда </ '7

'Чр/Мь л (5Э)

Г ГП

Лг/^ “,¿,1-11 г, к С) ?; / г м,..;Ь <

Рассмотрим систему

м/21У9 ¿Ж 2г)

¿Г-Ьи] ( Л2* С& 2/ '^/

<йгф,и,{,г); ?=/%...; I?;; хг/

£и

и начальные данные

//У- £ Х6(0)-0] I ~ ^- •> /г; ¿¿/¿})г0

Обозначим через множество

'*<•!<■ 4; м* ь

¡Н /г; //№ //•

/ ц/9^)1/о1гх О?Ж 9?

Иус-ть ¿- П^11{/д1[] ( 2р ^ ^ ^ ^ "2/

(70)

(71)

Предположим, что восполнено неравенство

I < < V (72)

Будем искать первые ^ - компонент решения 3£({)задачи (64),(65) в ЕИДЄ р, ■ д,

ХїШ-Еаї?;

& (73)

Из (65) следует Д , .

(74)

/г-Р .

Будем выбирать множество СС£ ' СС^ • /с-'р ... Л/' і ~ так, чтобы удовлетворить .условиям' ” ^

М-( л'1 %

'■і)(хі-£^)ґ+[‘/Ф-тУ~3Нє-, ¿-і,-а

Г-2 *-<? . ^75)

ІІ.0153Ш. Пусть для констант с г ¿у 1'$ > С з ^ ¡.оадаициентов ¿2^ л

КОНОЧНЫХ СОСТОЯНИИ выполнены условия (02), (72), (74), ТОГДГ:

существует решение задачи (64), (£5), которое после перехода к исходной переменной і даст решение задачи (53), (61). Причем первые £ -компонент ОС (£") имеїя вид (73), (74), а оставшиеся )г ~ 1 -компонент Х(£) И управллщэл ' 'УНКПИГ: ¿1 ІҐ) являются решением задачи Коши для системи (70) с начальными данными (71).

В С 3 решается задача построения кусочно-непрерывных функции ¿¿{і) так, чтобы решение системы (5:) - (60) % [-6 ) удовлетворяло условиям (62)

для системы (о_-) - (01)), (151) потлімо условии (63) предполагается выполнены* условие разревимости

(76)

относительно ¿¿" Е области ,

г !,ШИЛ 1 п

для всех , -А ; с ; с пршіалле.т.ащих множеству Л^~^/

ііслл для конечны:', срстояпи»: ¿р. г ^ ... ^ ' ■*

сушествует набор коэффициентовкгр ,,, //', удовлетворяющий неравенствам (75), то существует кусочно-непрерывная функция

ІС и соответствующие сіі кусочпо-діх]<і>ерсшдялусшо функции

^¿¿¿), №)) і -

/г удовлетворяющие

системе (64) и .условиям (^о). Причем первые £ - компонент ХіҐ)

имеет вид ('73'), а оставшиеся компоненты г. упрр г;н и: .о лаходятся после решения конечного числа задач Коши для с:*.стет,*.ы (70). ЖЕЧАП1Е.

переход з санкциях ОС^Іі )'{,{%)' ,2Гк г.охолпоіі не-

зависимой П'зремеииоіі і дзет соответствующие упкщш X ( £■ )

■л К ) которые -'.повлетгоряют с:;сте?л<; (3-3) и условиям ( 31).

четвеотом папаграте преляо/сен алгоритм решения задачи, поставленной в 3, готооыЦ не требует решвг.ия нелинейной системы (■/■;) относительно уирявллюзіего вектора, при определении началь-;.а дшшнх зекеккп •••.одпчп Кочи- для зЬноистателі>ноіі с;:стсмн ( 70), а тляе выписаны оценки т млотестзо конечных состояний, ;:ря которых гарантируется существование пскоїшх ■:<унккип с учетом ограничении на управление.

Пятый параграф содержат алі о ритм построения куссчно-лг4>>ере!і-цируемых управлений, при которых решение системы (Г>8) удовлетвори от условия!.; (31).

і процессе реалияпцг.іі алгоритма вначале находятся функцян

П Ш<) таЕие • что пеРзые £ -компонент ¿Л?) представимы в пиде сплайнов третьей степени, а оставшиеся компоненты { Т ) и уг!пяил/ч!кэ находятся после решения кепочного числа задач ¿они дл~ системы (70). і ¡ере ход з і "¿г",

1 ц ^ ¿1(£] : сходно:; независимой г.егеменкоЛ

улет реиение поставленной задачи.

З третьеіі гласе разраС-атизизтся алгоритмы управления .-.вяжем кем центра масс летательного аппарата с помощью углов атаки :■ хрена, а токке управлення дпиг,внаем •|,вепдого тела л систем с распределенными параметрами■

іЗ § I объектом исследования является система, оплсывакпая движение центра масс летательного аппарата при СрО'&їО* конкретных ¡оомах аэродинамических коошплциентах. Теорема I дает построение законов управления углами атаки и крена, при которік центр масс летательного аппарата переходит из начального состояния, характеризуемое фиксированными значениям!! модуля скорости, углов .наклона и поворота траектории, широты,высоты полета и долготы,в конечные состояния с заданными значениями углов наклона и поворота траектории, чишоты, долгот» и висоті:! полета, і'.скоше управления находятся после решения задачи Конт для вспомогательно;1.

системы второго порядка и перехода к исходной независимой перемен нон-^. '

Получен аналитически!! вид законов изменения углов паклонл и поворота траектории, широты и высоты полета как функции долготы, а углов атаки и крона как мушсции колготи г. модуля скорости.

Теорема 2 является следствием т.1 г> случае движения центра пасс летательного аппарата в вертикальном плоскости

13 § 2 решается задача построения дифференцируемых управляющих Функций, при кото гаг: решение спстет (4) удовлетворяет граничным условиям „

¿'-4-^»>с

<77)

ііслп рассматриват?- траектории.для кэгогео; винолпсно условие

/> О

то система (4) и ггповие услогпя прпг'ут гпд

0- 7

ч-

у;^7 с&__ їсО-і Р

«7'

Ия~- !НГУ

с//

Я/~ ьОсаЧ (79)

<х2 ^ - “/, Ч-г ^ Ус г-71-Хс\ )/ Тііс-' пх-гіи

/-Д*: . (ио)

■•'УНКЦИИ о( (¿), У{{/) ' ОІ (у), У( (X) ’ П11Н КОТО рік решения систем (4), (7_) удовлетворяют соответственно условия;.: (77), (30) будем называть решением задач (4), (77), (76), (60).

.j процессе построения алгоритма кушали /«<^(/ ) ,&f(X ) nir/тся п -1ЛС М ' " * / к <!

(31)

гле %&? подлежат определению.

Поистеновка (81) п четвертое и пятое уравнения системы (72) и пн-• Or>4ipOB'iniie ИХ С /ЧСТОП грОШПНЫХ уСЧОТШП (80) длет известные

V¡паша ys(Atj . • v Art,X), А/у, Art, Si,.-у Brt./f)

причем Kffiuuiii из когг фшшеитов /¡^ лпиохиим образец зави-

сит от оставшихся. j т.х !1родло;;е i? алгоритм, кото эн!' сводит, се-;Г 'С :ШДС1 (’/.;), (?0) , (!). С'7) К [:0 леП!ГЭ ЗЭЛОЧЛ КоЗЙ ПЛЯ вспомогательно:; спстеш лосле почегопошег гз ее правую часть функций ••мг.е с:роpr.iv.1 ирова¡; "остлточ:!Ш; г опте pm" выбора A/j‘"y Art, &ty Им r.gn которпх реш81.::е псстятепиис "«'.¡дач с/’деств.ует с учетом огра-кпчеиш! на управления. J т./. рассматривается система

С1( ’ }>п

(Хк Хс) " (цу ^ А (>Х^А((■%>)- Iе рХ^$Ы/у-/>г#л/^р _ (82)

<-1( ЛО/^с^б'с^1 {] Р ' с <? с ^'■{£?

^ ^ К ^ г'У'Уг/ ^

¿^- г Ь №, ¡С % *№/)

М- (Их -Хс)?^'¿у<? сСг ' со*,*

'¿-Ш?!# (63)

си - \/сё*>д^¥

••от''П8Я может оыть получена ив систем : (/(3), пс;п; ввести замену пзременноП X На <" 110 Ч'ормуле

. Ь-Хо и4

Соответственно гоаничные условия (оС) пенглут вид

С - 1 • Г - Г !£-, £ - /1/1

¡¡ару дифференцируемих >!-ункциИ с/(О У( (?) * ЦРИ которых решение системы ' 32' удовлетворяет условиям (с'5) Оудем называть ге гением задачи ^2’, (85). Очевидно что решения задач (4), (77) и (78), и0) могут быть получены пз вспенил задачи (о.'З), (оо) после перехода к ИСХОДНЫМ независимым переменным X) £ • -'УПКШШ ¿¡Щ Ш?)

соответстзувдкс режет;;: сформулированной задачи ищем е гиде /У //

с у чётом ограничений;

4 < {?№ 4' тг' - (87}

где 4, "V некоторые константы

1*3 (с31) следуп: НРППВеНСТБП

чг ¿тм ^ ^^; ¿V/-; /,7 т)

где 'У/Г) Т /¿); У№) любое решение задачи Коши с начальными данными (35) .иля первого, четвертого и пятого уравнения сяс-теглн (82) пр." условии, что е г:; правую часть подставлены известные функции (36). 'Используя правые ЧЕСТИ \62) в граничные условия

(65) полечим ///

ЬМ <*»

тА^п

с*»

м 1 4

¿4 -/с) / соы/Тн^'^^ _ (91)

/Ч ? ?

г/г) ~.?с ¿хрШк-&)(Е8*п^н^г кс^Ып^г/г)

е (92)

&)&/*, ¿ц у0у'у ?сус, У(^ &

Д±~ +^-£с)/з (%/ ¿СуРс/Уе, ¿0, У&, ¿с)

Пусть (93)

^ Ч-о*

¿'О

Введём в рассмотрение систему

тгкш^(р^т^,

(^ш^[(Рш^иус фа4

^IeÑI^L- /o¿ +J& $$)c<&y¿ gz ^ ^ ^ & m.vt<M9<u>sr г v ¿ <r

cU- (XK-tizü>$? ctt \/co5Ó

УИ^Ф , ,

é^íHvMK ъ «> ь *s); P¡-f¿(wx ?a < к к />)

и начальные данные

¿lo)-**; ^«»--я*; v{o)~к; ¿/o)--¿0 ^

Замечание

Тее формулировки теорем,свя занные с построением системы (94) остаются з силе и при J3 ^ О

Обозначим через _/Z множество л-.{ул?^ыммА,М $' i¿' ^

£*Ы1М-$и ^-%-É?U . , ,.

Найдём константу • J/z/П1/1 fl¿zo(0-ol¿

п.}-усг Усоу n¡, - -))с<2

Обозначим через /, максимум пооми правой части первых двух уравнении системы (94) в области Л.

Предположш, что

ТІіОРЗіА к.. Пусть для. величия. ^ к начальных состоянии (85) справедлива неравенства (і.с’-), (У51). Тогда если для

веденных конечных состояния (85) существует набор коэшушдаеитов ^1>'' Ъ 4у’ Д*' ' '> ’ удовлетворяющий условиям (39), (31), (93),

иш; КОТОРОМ ЮЛИНОМ!-' (68) удовлетворяют УСЛОВИЯМ

йіщ'-Щя;

то компоненті’ ¿1 {£)' )>, (?") перепил г-шчячп Коп:-; >іг- ипомс^тке /^і7 сіістсї.щ (~!-1) с нсчгілт>пь'мп дзпніімп ;:.’і.-.]зтсі і-едением гісДєчі-і

(63), (¿5), ? после і;-і.'.єіі!: £- іі-ч р( п д' на і соответственно

решешишн ¿здач (78), (80) я (4), (77).

, !і теореме С*, НО ОСПОГе рЄ?УЛІ:ТПТО!1 Т.і;, рг*"ряботпп рлгорг'гр. лост-

р|'С!'”.<1 Дії ‘;-(М екцвруемих (І'УШ-.ИП’Ї 0( (?),)£ ( Ґ) Ч"!' »•рТ'>|'!,Г. рС!|!Ю-

ияе снстеш (78) при А ; О удовлетворяет условиям . Ь'О: У-- &г4; /V/ (с.7)

.... ±> теореме 4 рассматривается случєіі, когда степень полиномов

// (? )• '(/{'£) В ЙГДПЧС (7й), С Ю) П: 1:::П П"\’П г. ирслнологг.стся допетш'.тельне, что для начальні:;: состоянн:'; (80) т-толнеин неравсп-

рии/б/г};*? Г/пи?^}("

*3)

услсяпя (УС-) будут ВНіЮЛНеНИ прп

НЦ прп

Р 1-І___, &, %)№&<%) /и ,/. .

¡¿М^) " КНт Ц)Н-ип ъ) г

_±

—¿и & -¿/¿¿чгбнрглр- ^[аЪГ/ТТЦРе#

-X, ¿£ л0 <7 о

~ ^ (99)

•ТиОРЬ..-'. к. Пусть гДЯ ГОП СТОИТ ^ /Я/ ^ &г> 'V

'•:. Iп.чалышх состой!::!" ('/'И) ::?.*,еют место гопапепстпа (УЗ), (¿5), ч-с). ТоГДЭ ДЛЯ ВСОХ ПОМ! ЧППл СОСТОЯШЦ; ^ . удоплетво-

•'ЯШЛХ !?еП?:Ю!:СТЕШ ('-'-') КСМПСН"НТН ы. >Ю'"е!<ГЯ задачи Коши ••ля систзгл (-4) с ••¡очадмшм.н чянннми (35) являются рэяюииямя (7-„) . (¿0). ■

теореме 5 решается : с.чгдчэ построения дя^решшруемс: •■•унктаа й1 (Г), У; (¿); при погори;: решение састеп’. (73) .удослетвоплот условиям 1э?) в случае когда 1 улкцяи С<31) являются полиномами перло-: степени.

Teoper.ni й ;; 7 .-пляютсг следствиями т.2 п т.3 прп решении задачи ;.*г.савле1!!ш дзп/енпем :.ог"па масс лстотольиого аппарата з зер-т:п-п 1ьно1: части.

Третий параграф посвгшен построению к.усочно-кепсормзшес зако-

и ПТГЧН1 ’.1 крена при решении гпяевнх н-а.доч систем (1), 3), ( -..) при Сг ~ О

#1, 4, mJj »¡¡.в-i, я?, ¿i, h

*Ю1з vправления .7 г л яг

vW) , (о0 ■ , С o5) .-Л5

-айеп"'! »»истаит.: aSj e2 • -«*

i ГО1 ;la

¿г-Ь'е°,мг''Я‘1£1?^тг£ _ <:со)

Обозначим через ; тожество непрершшк'х ф;/НКПЖ‘ ${?)

.удоЕле творящие ;;е равенствам

4 (I0I)

Из (101) следует существование констант % P. X V, V

' +-/ < ) 1/ г J '} £

ТГ'КИХ ЧТО

г2<тнъ: &г/г)‘ъ - ъьшщ ао2)

где решения задач Коши для четвертого,

пятого и первого .уравнении системы (82) при .условии, что в их правые части подставлены известные функции $ (£"), удов-

летворяющие неравенствам (102).

Обозначим через Лр множество Sl2-/fy ¿ V^Vj '^ ' m}¿<f£/n¿

Vi i n% Г2 с tézy />г±р<% • ¿ _¿)c ¿ ¿ . '

Предположим дополнительно, что

г^пт^Шв;

решение второго if третьего уравнении системы (f 3; при Л г ¿7 относительно сС} Ц. ^

Теорема I. Пусть для констант é¿f и печальных данных (S5) имеют место неравенства (100), (103), тогда для всех конечных СОСТОЯНИИ (/jC/ 2¿- ТгКПХ, ЧТ' существует набор коэффициентов Aij.. ., Atfj Bit * '\j &Н , удовлетворяющий условиям (с>9), (SI), (УЗ),,ПРИ К0,|0РЫХ "Я полиномов выполнены условия Сй6)^ существует пара кусочно-непрерывных функции c¿¿’¿) > Ус /<?~) • при которых решение системы (о',i) удовлетворяет условиям (¡J5).

;1р»:чеы искомы-: управляющие иункцли находятся после решения конечного числа задачи ноши для системы (94), а т.т.2 ,с: за счет выбора полиномов (86) степени А)' ? Мг4 с; юрму пированн конкретные оценки ка множества начальных и конечны?: состоянии, гарантирушие существование управляющих функций о котори:; идет речь в т.1.

jí § 4 предложен алгоритм построения кусочно-дюрйвренцвру емнх (пункции таких, что решение систем» (35) удовлетворят краевым условиям (аэ). Причем соответствующие им законы изменения углов наклоне д поворота траектории находятся в виде сплайнов третье” степени, а искомые управляющие пункции спрелеллются после решения конечного числа задач Коши .для вспомогательной системы.

Л §ó, v 6 построены алгоритма решения задач управления движением твердого тела вокруг неподвижно:', точки и систем с распределенными паpai.seтрамк. Б приложении приведены результаты численного моделирования алгоритма, полученного в £ 2, rz.L.

Основные результаты опубликованы в следующих работах: i. КВИТКО L .ti. - Решение краевых задач в динамике пассивного излита летательного аччапат.м.

У; 1 :i::влон'V'i ,п:-номичос1{>!МП счогшхля. Вин.2 под ред. акад.¿.¿.Новожилова. Л. Изд-ео .Ленинград, ун-та Ii)7c, с.113-125.

КШТКО А.И. - Решение некоторых краевых задач в случае пространственного движения летательного аппарата.

Некоторые зомросы г.п»*!в ренцпальпнх п ::птог ралынг: ураэлешШ п их п спиле не н не.

Якутск, Изд-зо Якутского госунгверсат»та, шп.З, 1978, с.G1-68.

3. i-.iJiiTKO а.И. - Гепешю некоторых nineшх задач в динамике полета.

, im. Зопросп механики п процессов унраплспия. ¡Jim.4, Л., l-Л) , с.30-34. ■

4. КЗ«ГКО Д. И. - -;.-б одно!; задаче чти.шзашш г; динамике полета, .дмл'.ладние задачи юрки управления. Л., 1932, с.33-37.

о. КЗкТЙО А.:!. - Сценка премо.ч« перс пода летательного аппарата л заданное состояние п случае плоского движения.

_> кь. Управление динамическими системами. Л. ¡¡гч-по Ленинг п. ун-та

, с.44-4'. . ■

3. КВИТКО A.ii. - \.6 одно;; за чаче чагедекия в л:пшм:;ке полета.

. кн. '«тематическая теория уг.рчрдейпя тсхг.йчосгпйи о<11>вктг,ми.

... , .„31, с. ,4-47.

7. КЗИТКО п.И. - 'X' одно:'; по чаче цостроошш программных ддшже-

::3 кн. Динамика систем управления. Л., Лпд-г" лпнннгр. у:-тп _ . Л‘, С.ЗЗ-ti VJOIIPOCU ПЧХОНЯКП !1 процессов упргвленпл, : JU П.. 11'

3. KsiuKO A.ii. - ibCTpOetMie ЧУСОЧНО-Нв ПЗЗ ривкых у ■¡'•ЭВЛСЧ’.Ш: г. on г.етенш! краевой задачи лля систем оОыкновенных ггУйрешигаль-::::х уравнен:;;:.

^■:СТН!!К jIT7 , сер.1, 1331, вып.З 5, с.37-40.

3. KBiiTKO А.Л. - Гзтаеиие краозо:: вадачп для управляемой спсте-;;м специального вида, -естикк л1У, ^ип.З, .3333, с. 107-103.

4.0. K3liTK0 А.Н. - 1:„строе.ч;;с гусочнс-дпД еренцпг/епьк управлении при решения краевой задачи для управляемой системы обыкновенных Ди'.'>-.'ереиш;алы1ых уравнений, ¿естапк СПбП , сер.1, вып.4,lvi'2.с.4*t-50.

II. KiiliTKO A.ii. - Гешение краевой задачи для систем обыкиовенниык дифференциальных уравнения. Зостник СП6Г7, cep.I, jtm.IД2ЭЗ,с.ЗУ-33.

13. iiBi-iTKO л .И. - ге:иение краевой задачи дяя .управляемых систем с рз спреде лешшг/л даро:.;етраш. Зестник 0U51У, cep.I, .¡nn.I,

1У94, с.29-33.

Подписано к печати 05.95 г. Заказ 012. Тираж 50 экз. Объем 2,0 п.л. Множ. лаб. НИИ химии СПбГУ. 198904, СПб, Петролворец, Университетский пр. 2.