Методы с итерированием краевых условий для решения уравнений типа Стокса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова Научно-исследовательский Вычислительный Центр

На правах рукописи

Каргин Алексей Владимирович

МЕТОДЫ С ИТЕРИРОВАНИЕМ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТИПА СТОКСА

01.01.07 - вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2006

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, доцент

Е.В. Чижонков.

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор

A.B. Лапин,

кандидат физ.-мат. наук, старший научный сотрудник Ю.В. Василевский.

Ведущая организация: Институт математического

моделирования РАН.

Защита состоится 2006 г. в часов на заседании

диссертационного совета К 501.001.11 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, НИВЦ МГУ, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИВЦ МГУ. Автореферат разослан " 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физ.-мат. наук Суворов В.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Решение уравнений Навье -Стокса, описывающих движение вязкой жидкости, является одной из важнейших задач вычислительной математики и гидродинамики. Несмотря на большое число работ посвященных численным методам их решения, остаются вопросы требующие внимания. Одним из таких вопросов является математически обоснованное эффективное численное моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости.

Типичной является следующая ситуация. После

дискретизации по времени уравнений Навье-Стокса получающаяся дифференциально - разностная схема требует для своей реализации решения системы дифференциальных уравнений типа Стокса, классической или сингулярно возмущенной. Скорость сходимости традиционно используемых методов для решения задач такого рода, например, алгоритмов типа Узавы-сопряженных градиентов, сильно зависит как от области, так и от параметра сингулярности. Это связано с ростом спектрального числа обусловленности дополнения Шура.

Существует ряд подходов к построению более эффективных алгоритмов: специальная конструкция предобусловливателя для дополнения Шура, расщепление граничных условий и использование оператора ЛапласагБельтрами, метод фиктивных областей, многосеточный метод. Тем не менее, проблема построения новых методов решения уравнений типа Стокса с равномерной по параметрам задачи скоростью сходимости остается актуальной.

НАЦИОНАЛЬНАЯ О БИБЛИОТЕКА

С.-Петербург _ ОЭ 200 4кт

Цель диссертационной работы. Построение новых итерационных методов решения системы дифференциальных уравнений типа Стокса в прямоугольной области. Доказательство сходимости методов на дифференциальном уровне. Получение оценок скорости сходимости, равномерных относительно параметров задачи.

Научная новизна. Алгоритмы с итерированием краевых условий это новый подход к решению задач данного типа. Для доказательства сходимости построенных методов применена новая для подобных задач методика, основанная на свойствах интеграла Дирихле и гармонических функций. Оценки скорости сходимости равномерны по всем параметрам задачи.

Практическая значимость. Различные численные реализации построенных алгоритмов могут быть использованы для решения широкого круга задач как в качестве основного инструмента, так и в составе других методов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2003 г.), на Всероссийской молодежной научной школе-конференции (Казань, 2003 г.), на Пятом Всероссийском семинаре "Сеточные методы для краевых задач и приложения", (Казань, 2004 г.), на Ломоносовских чтениях (Москва, 2005 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации

опубликованы в 5 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы из 75

наименований. Общий объем работы - 107 страниц, включая 24 рисунка и б таблиц.

Краткое содержание работы

Во введении формулируется общая постановка задачи, освещаются области возникновения, применения и существующие подходы к ее решению. Отмечаются основные характеристики построенных методов и их отличия от известных результатов. Приводится краткое содержание диссертации и основные результаты работы.

В первой главе введены используемые определения и соглашения, задана формальная постановка задачи, проделано ее преобразование к удобному для решения виду, проведены нужные вспомогательные построения.

В §1.1 дана постановка задачи. Пусть

Требуется найти V € и, д € Р удовлетворяющие в области

системе дифференциальных уравнений с параметром а > 0 —Ду + ах 4- *5гас1 д — { ,

Приведены результаты о разрешимости задачи в обобщенной формулировке.

7Г С?7Г ¿7Г)

(Ну V = 0 ,

(1)

В §1.2 задача (1) сведена к задаче следующего вида:

—Ли + аи + §гас1 р = О в П,

сву и = 0 в П, (2)

«Ы„ег = о, v\дй = о, = а,

'Лог

где

а € , № = дПьег и дП^,

В §1.3 приведены необходимые сведения об используемых нормах, полунормах, интеграле Дирихле и гармонических функциях, получены нужные для дальнейших исследований свойства интеграла Дирихле.

Вторая глава посвящена построению и обоснованию метода решения (2) для случая классической задачи Стокса (а = 0).

В §2.1 сформулирована и решена в виде рядов Фурье первая вспомогательная задача:

Также здесь приведено решение задачи, необходимой для обоснования сходимости метода:

- Ди + ¿*гас1 р = 0 в , сИу и = 0 в ^, «I аою = 0 » иЫлог = а

> "клглог

(3)

, о!^ = 0.

А(р = 0 в П,

Идп„ег = о , ^¡дп^ = а.

'Ног

В §2.2 сформулирована и решена вторая вспомогательная задача:

—Дй + grad р = 0 в Г2, div й = 0 в П,

дй.

'Лог

= 0

ЩдОьег =

(5)

(6)

ду

йЫы = 0 , «low = а

а также задача, аналогичная (4) из §2.1:

j Аф = 0 в Q, \ ФЫ^ = 0 , ф\д%„ = а.

В §2.3 найдены выражения для слагаемых интеграла Дирихле от решений вспомогательных задач (3),(4),(5),(6):

Ат»(«) = [(Ьт ~ am)2P(nnrd) + (Ът + am)2Q(m ж d)] /d,

Dm{v) = [(Ьт - am)2T(m 7Г d) + (bm + am)2U(m tt d)] fd,

Dm{<p) = [(frm - om)2W(m7rd) + (bm 4- am)2S(m7rd)] /d, An(6) = (Ьщ - ат)2Т(тп 7Г/d) + (6m + am)2U(m тг/d),

Ап(«) - (6m - am)2P(rn 7г/d) + (6m + am)2Q(mn/d),

°т{ф) = {bm - am)2W(m n/d) + (6m + am)2S{rrnr/d),

с соответствующими аналитическими выражениями для функций Р, Q, Т, U,W,S. Например,

_ z[-2z{\ + cosh z) + 2(z2 + 1) sinh г + sinh(2,z)] {Z) ~ 87t(z + sinh z)2 '

W{z) = [z cosh(z/2)] / [2n sinh(z / 2)].

Эти результаты оформлены в виде леммы 1 и леммы 2. Имеет место

Лемма 3. Для функций Т, II, IV, 5 при любом положительном г выполнены неравенства:

Ш ^ и{г) ^ 1

——- < V —— < - < V

5(г) -2 х'

где х может быть найдено с любой наперед заданной точностью и лежит в интервале

0.555 < х < 0-556.

В §2.4 построен итерационный процесс решения задачи (2). После п итераций алгоритм дает приближение {u(n), р(п)} к решению {и,р} задачи (2). Оно имеет вид

п п

U(n) = £ щ + щ, р(п) = £ pk + Pk,

Jfc=l к=1

где пары {ик, Рк} и {щ, рк} есть решения вспомогательных задач (3), (5), соответственно, на итерации с номером к. Построенное приближение является точным решением задачи

- Au(„) + grad р{п) = 0 в П,

div U(n) = 0 в Q,

«(n) |«w = 0, v(n)\да = 0, Щп)\тш = а + an,

где a„ — след решения ün второй вспомогательной задачи (5) на итерации с номером п. Отметим, что само построенное приближение определено во всей области, а интересующее нас возмущение краевых условий сосредоточено только на части границы.

§2.5 дает нам результат о сходимости построенного алгоритма. Справедлива

Теорема 1. Приближения итерационного метода удовлетворяют неравенству

-о(йп) < х2по{щ), 0.555 < х < 0.556,

независимо от величины параметра вытянутости области й.

Третья глава содержит обобщение алгоритма построенного во второй главе на случай сингулярно возмущенной задачи Стокса (а ф 0). Результаты вынесены в отдельную главу, поскольку полученные формулы существенно отличаются от формул для классической задачи и совпадают только в пределе при а 0.

В §3.1 сформулирована и решена первая вспомогательная задача:

—Ди + аи + §гас1 р = 0 в О, сИу и = 0 в ,

дь дх

\д%ег = 0 , у\Ш1юг = 0.

В §3.2 сформулирована и решена вторая вспомогательная задача:

—Дй + ой + ^ас1 р = 0 в Г2, Шу й = 0 в Г2,

дй. (8) = 0 , щвп^. = 0

= 0 , г;|эп„ег = а-

В §3.3 найдены выражения для слагаемых интеграла Дирихле

от решений вспомогательных задач (7), (4), (8), (6):

An(u) = (Ьт ~ ат)2Р(т, d, а) + (bm + am)2Q(m, d, a), Dm{v) - (bm-am)2T(m,d, a) + (6m + am)2U{rn,d,a),

Dm(ip) = {bm - am)2W(m, d) + (bm + am)2S(m, d), Dm(u) = (bm - ат)2Т(т, d, a) -I- {bm + äm)2Ü(m, d, a), An(t>) = (bm ~ am)2P(ra, d, a) + (bm -I- am)2Q(m, d, a), Dm(<p) = (bm ~ äm)2w(m, d) + (bm + am)2S(m, d), с соответствующими аналитическими выражениями для функций Р, Q, Т, U, W, S, Р, Q, Т, &, W, S. Например,

T(m,d,a) = [m2cosh(^)(-2dA;(fe2-m2)7rcosh(^)--4fcmsinh(^) + (к - m)2 sinh(|d(2fc + т)тг)+

+(* + m)2 sinh((/(A;7r - )))]/[fcPi], W(m, d) = [m cosh(^)]/[2sinh(^f% где к = л/m2 + а, Ä! = 16[fccosh(^)sinh(^) - mcosh(^)sinh(^)]2. В данном случае зависимость от трех парамеров (m,d,a) не может быть сведена к зависимости от одного аргумента z, как в предыдущей главе. Эти результаты оформлены в виде леммы 4 и леммы 5. Имеет место

Лемма. Для функций Т, U, W, S, Т, Ü, W, S при любых положительных т, d, а выполнены неравенства T(m,d,a) U(m,d,a) 1

~W{m,d) S(m,d) -2<X'

f(m,d,a) U(m,d,a) 1

W(m,d) ~S{m,d) -2<X' где x может быть найдено с любой наперед заданной точностью и лежит в интервале

0.555 < % < 0.556.

Этот результат оформлен в виде леммы б и леммы 7.

В §3.4 построен итерационный процесс решения задачи (2) с а > 0. После п итераций алгоритм дает приближение {и(п), р(п)} к решению {и, р} задачи (2). Оно имеет вид

п п

идо = £ щ + щ, рил = Т,Рк+Рк, к=1 *=1

где пары {щ, рк} и {щ, рк} есть решения вспомогательных задач (7), (8), соответственно, на итерации с номером к. Построенное приближение является точным решением задачи

- ДИ(„) + СШ(П) + р(п) = 0 в П,

Шу и(„) =0 в П,

Щп^дПъег = о, «(п)|й1 = о, «(п)!«!^. = а + а„,

где ап — след решения йп второй вспомогательной задачи (8) на итерации с номером п.

§3.5 дает нам результат о сходимости построенного алгоритма. Справедлива

Теорема 2. Приближенья итерационного метода удовлетворяют неравенству

Я(«„) < Х2пОЫ , 0.555 < х < 0.556,

независимо от величины параметра а и параметра вытянутости области й.

В приложении для построенных методов рассмотрена численная реализация на основе конечно-разностной аппроксимации, приведены результаты ее применения к задаче о каверне и их анализ.

В первой части сформулирована задача о каверне:

в области прямоугольной формы

П = {0 < х < Ьх, О < у < Ьу} найти решение уравнений Стокса — пару {и = (и, ь), р}

-Ди + £гаЛр = 0, ^

сИу и = О,

с краевыми условиями следующего вида

и = О, V = О при х = О, х — Ьх, у = О, и = 1, v = О при у = ьу.

Построен дискретный аналог поставленной задачи методом конечных разностей. Введены обозначения Ои, 0.р для сеточных областей определения дискретных вектора скорости и скалярного давления соответственно:

О, = {Ху = {Шх,зНу):» = 0, • ■ ■, ЛГХ,= 0, • ■ •,

Ц> = {я« = ((* + 1/2)Л„ 0 + 1/2)Лу) : I = 0, • • •, ЛГХ - 1,

где кх, Л^, Л^ задают дискретизацию области и КХМХ = Ьх, НУМУ = Ьу. Определены следующие пространства:

иь = Щ х ин, ин = {«у = и(®у) : хц € = {Рг; = : е Ц,}.

Для функций иь = (ид, ид) 6 Иь, Рн € -Р/г выписаны сеточные уравнения заданные на Пи, Пи, Пр соответственно: м»+1— 2иц + ^ 1 — +

Щ (ю)

Рч - + - _ 0 У '

2/гх '

г = 1,..., iVx — 1, j = l,...,Nv-l,

Vj+ij ~ 2Vjj + Vj-ij Vjj+i - 2Vjj + Vjj-1

7,2 + /,2 * У flll

Pu ~ ftj-i + Pi-ij ~ Pi-lj-i _ 0 K '

2hv

i = l,...,Nx-l, j = l,...,Ny-l,

Uj+l,j ~ Ujj + Щ+lj-l ~ UjJ-l Vjj ~ %j-l + Vj+l,j ~ Vi+l,j-l _ 0

2 hx 2 hy '

(12)

i = 0,..., iVj. - 1, j = l,...,Ny. Дискретные граничные условия для этих уравнений имеют вид:

uoj = vqj = uNxij = vNxij = 0, j = 0,...,Ny, Щ,ыу = 1, «i,о - Vijo = vijNy — 0, г = 1,..., Nx - 1.

Уравнения (10) - (12) являются дискретными аналогами уравнений (9) второго порядка аппроксимации.

Также в этой части приведены соотношения, требуемые для выделения единственного решения, и необходимые аппроксимации второго порядка для краевых условий второго рода. Далее полученная система разностных уравнений, аналогично дифференциальному случаю, решена в виде однократных рядов.

Вторая часть содержит результаты численного решения задачи (9) при а - 0. Здесь показаны изображения линий уровня полученных функций щ, Vh,Ph и функции тока при различных значениях параметров дискретизации hx,hy и параметра вытянутости области d. Приведены полученные при расчетах соответствующие значения показателя сходимости.

В третьей части приведены результаты решения задачи о каверне с а > 0. Это линии уровня функции тока при разных а, и полученные значения показателя сходимости при различных значениях параметров дискретизации кх, ку) параметра вытянутости области с? и параметра сингулярности а..

Также в приложении проведен анализ полученных результатов. Его основные выводы: алгоритм сходится наиболее медленно в области квадратной формы при а = 0, т.е. равномерная по .1

параметрам ¿и а сходимость действительно имеет место; изменение шага сетки влияет только на количественные показатели, но не меняет качественное поведение — монотонность относительно й и а; проведенные на схеме второго порядка аппроксимации расчеты полностью согласуются с теоретическими исследованиями и говорят о возможности практического применения данного метода.

Основные результаты работы

1. Построены новые итерационные методы решения системы дифференциальных уравнений типа Стокса с параметром о = 0 (классическая задача), а > 0 (сингулярно возмущенная задача). *

2. Для построенных методов получена и применена новая методика доказательства сходимости на дифференциальном уровне с использованием интеграла Дирихле.

3. Получены равномерные относительно параметров задачи оценки скорости сходимости построенных методов.

4. Построена численная реализация методов, проведены численные эксперименты и анализ полученных результатов.

Список публикаций по теме диссертации

1. КАРГИН A.B. Численно-аналитический метод решения обобщенной задачи Стокса. // Тр. Машем, центра им. Н. И. Лобачевского. - Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2003, Т. 20: Численные методы решения линейных и нелинейных задач, с. 150-161.

2. КАРГИН A.B., ЧИЖОНКОВ Е.В. О новом алгоритме для решения задачи Стокса в прямоугольной области. // Материалы Пятого Всероссийского семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения". - Казань: Казанский государственный университет, 2004, с. 101-107.

3. КАРГИН A.B. О решении задачи Стокса с параметром с помощью итерирования краевых условий. // Вычислительные методы и программирование. 2005, Т. 6, № 2, с. 181-191.

4. КАРГИН A.B., ЧИЖОНКОВ Е.В. Итерирование краевых условий для решения задачи Стокса. // Материалы Шестого Всероссийского семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения". - Казань: Казанский государственный университет, 2005, с. 125-129.

5. CHIZHONKOV E.V., KARGIN A.V. On solution of the Stokes problem by iteration of boundary conditions. // Russ. J. Nu-mer. Anal. Math. Modelling. 2006, Vol. 21, № 1, pp. 21-38.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж | СО экз. Заказ № 34

i

л

f

I

1

¿0%1 ¡(9/Pé

Л,

, j

!

Введение

1 Вспомогательные результаты

§1.1 Постановка задачи.

§1.2 Преобразование задачи.

§1.3 Вспомогательные утверждения.

2 Метод решения классической задачи Стокса

§2.1 Первая вспомогательная задача.

§2.2 Вторая вспомогательная задача.

§2.3 Интегралы Дирихле для решений вспомогательных задач.

§2.4 Итерационный метод решения.

§2.5 Обоснование сходимости метода.

3 Метод решения обобщенной задачи Стокса

§3.1 Первая вспомогательная задача.

§3.2 Вторая вспомогательная задача.

§3.3 Интегралы Дирихле для решений вспомогательных задач.

§3.4 Итерационный метод решения.

§3.5 Обоснование сходимости метода.

Решение уравнений Навье - Стокса, описывающих движение вязкой жидкости [15], является одной из важнейших задач вычислительной математики и гидродинамики. Несмотря на большое число работ посвященных численным методам их решения, остаются вопросы требующие внимания. Одним из таких вопросов является математически обоснованное эффективное численное моделирование течений вязкой несжимаемой жидкости.

Типичной является следующая ситуация. После дискретизации по времени уравнений Навье-Стокса получающаяся дифференциально - разностная схема требует для своей реализации решения системы дифференциальных уравнений типа Стокса, классической или сингулярно возмущенной [10]:

Av + av + grad q = f в Q, div v = 0 в Q, (1) где Q область в W1, n = 2,3, с границей Ш, v = vn(x)) вектор скорости, q = q(x) скалярная функция давления, f = (fi(x), .,fn(x)) поле внешних сил, а = const > О вещественный неотрицательный параметр. При а = 0 систему (1) называют классической задачей Стокса, при а > 0 -сингулярно возмущенной (или обобщенной) задачей Стокса, в этом случае, обычно, а = {тк)~1 , где т - шаг дискретизации по времени, к - кинематическая вязкость, и, как правило, а 1.

Для решения задач такого типа существует большое количество методов [38, 53, 54, 57, 59, 60, 65, 69, 73, 55, 58]. Это:

- алгоритмы типа Узавы-сопряженных градиентов [41, 61, 27, 51, 56, 63, 47, 19, 64];

- методы релаксации [41, 51, 27, 33, 36, 34, 35, 10, 46, 48];

- методы основанные на идеях симметризации и предобуслов-ливания [31, 32, 1, 45, 52, 67, 68];

- многосеточные и многоуровневые алгоритмы [37, 44, 52, 71, 74, 66, 72];

- расщепление граничных условий для давления [21, 22];

- метод фиктивных областей [2, 42];

- использование гармонической составляющей скорости [70];

- алгоритмы аналогичные обратным задачам [39, 40].

Однако, скорость сходимости большинства методов, используемых для решения задач такого рода, сильно зависит как от области, так и от параметра сингулярности [30, 43]. При а —> оо спектральное число обусловленности дополнения Шура растет как 0(a) [62], а в случае прямоугольной области, при увеличении (уменьшении) отношения длин сторон, наблюдается его квадратичный рост [50].

Это означает, что для эффективного решения задач вида (1) требуется построение алгоритмов, равномерно сходящихся относительно внешних параметров задачи. Выделим ряд подходов к построению более эффективных алгоритмов.

До настоящего времени были известны два метода решения (1), равномерно сходящиеся относительно отношения сторон. Первый метод, предложенный в [64], основан на специальной конструкции предобусловливателя для дополнения Шура. Другой подход основан на расщеплении граничных условий для давления и использовании оператора Лапласа - Бельтрами [21, 22]. Отметим, что формальное обоснование сходимости было получено только для первого метода.

С другой стороны, известны три подхода к решению (1), обладающих равномерной сходимостью по параметру а: метод фиктивных областей [2, 42], алгоритм с блочным предобусловливанием дополнения Шура [47, 19] и уже упомянутый выше метод расщепления граничных условий [21, 22]. Для численного решения также применяется многосеточный метод, однако равномерность его сходимости по а на сегодняшний день не доказана.

Таким образом, проблема построения новых методов решения уравнений типа Стокса с равномерной по параметрам задачи скоростью сходимости является актуальной.

Цель данной диссертационной работы — это построение новых итерационных методов решения системы дифференциальных уравнений типа Стокса в прямоугольной области, доказательство их сходимости на дифференциальном уровне, получение оценок скорости сходимости, равномерных относительно параметров задачи.

Простота рассматриваемой области нисколько не уменьшает ценности поставленной задачи. Детальное изучение свойств решений в модельных областях играет большую роль при построении эффективных численных алгоритмов для решения подобных задач в областях сложной формы. Кроме того, многие задачи можно свести к задаче в прямоугольной области.

Отметим основные особенности работы. Строятся алгоритмы с итерированием краевых условий для решения задач вида (1) в прямоугольнике, что является новым подходом к решению задач данного типа. Исходная задача (1) сводится к однородной задаче Стокса с заданной касательной составляющей скорости вдоль границы. Приближение к решению полученной однородной задачи ищется через аналитические (в виде рядов) решения последовательности вспомогательных задач с некоторыми модельными краевыми условиями. Для доказательства сходимости построенных методов применена новая для подобных задач методика, основанная на свойствах интеграла Дирихле и гармонических функций.

Оценки скорости сходимости равномерны' по всем параметрам задачи. Достоверность полученных результатов подтверждена результатами проведенных численных экспериментов.

Основные результаты диссертации опубликованы в [5, 6, 7, 8, 49].

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы.

1. Аристов П. П. Об ускорении сходимости одного итерационного метода решения задачи Стокса. // Известия вузов. Математика. 1994, N 9, с. 3 - 10.

2. Бахвалов Н.С. Эффективный итерационный метод решения уравнений Ламе для почти несжимаемых сред и уравнений Стокса. // ДАН СССР. 1991, Т.319, N 1, с. 13 -17.

3. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. Москва: Наука, 1987.

4. Каргин А.В. О решении задачи Стокса с параметром с помощью итерирования краевых условий. / / Вычислительные методы и программирование. 2005, Т. 6, № 2, с. 181 191.

5. Каргин А.В., Чижонков Е.В. Итерирование краевых условий для решения задачи Стокса. // Материалы Шестого Всероссийского семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения". Казань: Казанский государственный университет, 2005, с. 125 - 129.

6. Кобельков Г.М. О теоремах существования для некоторых задач теории упругости. // Матем. заметки, 1975, Т. 17, No. 4, с. 599 609.

7. Кобельков Г.М. О численных методах решения уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-давление. / / Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1991, вып. 8, с. 204 236.

8. Колмогоров А.Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. Москва: Наука, 1972.

9. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. T.I. Москва: Высшая школа, 1970.

10. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Т.Н. Москва: Высшая школа, 1970.

11. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.

12. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Т. IV. Гидродинамика. Москва: Наука, 1988.

13. Лебедев В. И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Физматлит, 2000.

14. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. -Москва: Наука, 1977.

15. Непомнящих С. В. Метод альтернирования Шварца для вырожденной задачи Неймана. // Вычислительные алгоритмы в задачах математической физики, Новосибирск, 1985, с. 99 112.

16. Ольшанский М.А. Об одной задаче типа Стокса с параметром. // ЖВМ и МФ, 1996, Т. 36, N. 2, с. 75 86.

17. Ольшанский М.А. О задаче Стокса с модельными краевыми условиями. // Матем. сб., 1997, Т. 188, N. 4, с. 127 144.

18. Пальцев Б. В. О быстросходящихся итерационных методах с неполным расщеплением граничных условий для многомерной сингулярно возмущенной системы типа Стокса. // Матем. сб., 1994, Т. 185, No. 4, с. 101 150.

19. Пальцев Б. В. О быстросходящихся итерационных методах с полным расщеплением граничных условий для многомерной сингулярно возмущенной системы типа Стокса. // Матем. сб., 1994, Т. 185, No. 9, с. 109 138.

20. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1965.

21. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск: Наука, 1988.

22. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. -Москва: Наука, 1989.

23. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. Москва: Наука, 1978.

24. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса: Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.

25. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. Москва: Наука, 1980.

26. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. T.III Москва: Наука, 1969.

27. Чижонков Е.В. Релаксационные методы решения седловых задач. М.: ИВМ РАН, 2002.

28. Чижонков Е.В. О сходимости одного алгоритма для решения задачи Стокса. // Вестник Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1995, N 2, с. 12 17.

29. Чижонков Е.В. К оптимизации алгоритмов решения задачи Стокса. // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1995, N б, с. 93 96.

30. Чижонков Е.В. О сходимости алгоритма Эрроу-Гурвица для алгебраической системы типа Стокса. // Доклады Академии наук. 1998, Т. 361, N 5, с. 600 602.

31. Чижонков Е.В. О сходимости модифицированного метода Якоби для алгебраической системы типа Стокса. // Оптимизация численных методов: Труды межд. научной конф. Часть I / Отв. ред. М.Д. Рамазанов. Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН, 2000, с. 169 - 177.

32. Чижонков Е.В. О сходимости модифицированного метода SSOR для алгебраической системы типа Стокса. // Численный анализ: методы и программы. М.: Изд-во МГУ, 1998, с. 83 - 91.

33. Шайдуров В. В. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука, 1989.

34. Aboulaich R., Fortin М. Iterative methods for solution of Stokes equations. // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 1989, v.8, p. 317 324.

35. Agoshkov V.I. Optimal control methods in invers problems and computational processes. //J. Invers Ill-Posed Problems. 2001, V.9, N 3, p. 205 218.

36. Agoshkov V., Bardos C., Buleev S. Solution of the Stokes problem as an inverse problem. // Preprint 9935. Centre de Mathematiques et de Leurs Applications (CMLA), E.N.S. de Cachan, France, 1998.

37. Arrow K.J., Hurwicz L., Uzawa H. Studies in Linear and Nonlinear Programming. Stanford: Stanford University Press, 1958.

38. Bakhvalov N.S. Solution of the Stokes nonstatonary problem by the fictitious domain method // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 1995, T.10, N 3, p. 163 172.

39. BenziM., Golub G.H., Liesen J. Numerical solution of saddle point problems. // Acta Numerica, 2005, v. 14, p. 1 137.

40. Bramble J.H., Pasciak J.E. A Preconditioning Technique for Indefinite Systems Resulting from Mixed Approximations of Elliptic Problems. // Mathem. Comput. 1988, V. 50, N 181, p. 1- 17.

41. Bychenkov Yu.V., Chizhonkov E.V. Optimization of one three-parameter method of solving an algebraic system of the Stokes type. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1999, V. 14, N 5, p. 429 440.

42. Cahouet Ch.H., Chabard J.P. Some fast 3D finite element solvers for the generalized Stokes problem. // Int. J. Numer. Methods Fluids, 1988, v.8, p. 869 895.

43. Chizhonkov E. V., Kargin A. V. On solution of the Stokes problem by iteration of boundary conditions. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2006, Vol. 21, № 1, p. 21 38.

44. Chizhonkov E.V., Olshanskii M.A. On the domain geometry dependence of the LBB condition. // Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 2000, v.34, N 5, p. 935 951.

45. Crouzeix M. Etude d'une methode de linearisation. Resolution des equations de Stokes stationaries. Application aux equationsdes Navier-Stokes stationares. // Cahiere de 1'IRIA. 1974, N 12, p. 139 244.

46. Elman H.C. Multigrid and Krylov Subspace Methods for the Discrete Stokes Equations. //J. Numer. Methods Fluids. 1996, V.22, p. 755 770.

47. Elman H.C., Silvester D.J., Wathen A.J. Finite Elements and Fast Iterative Solvers. Oxford: Oxford University Press, Numerical Mathematics and Scientific Computation, 2005.

48. Fortin M. Finite element solution of the Navier-Stokes equations. // Acta Numerica, 1993, p. 239 284.

49. Fortin M., Glowinski R. Augmented Lagrangian Methods. Applications to the Numerical Solution of Boundary Value Problems. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1983.

50. Girault V., Raviart P.A. Finite element methods for Navier-Stokes equations. Berlin: Springer, 1986.

51. Glowinski R. Numerical Methods for Incompressible Viscous Flow. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., Handbook of Numerical Analysis. Numerical Methods for Fluids(Part 3). v. IX, 2003.

52. Gresho P.M., Sani R.L. Incompressible Flow and the Finite Element Method. Chichester: John Wiley and Sons Ltd., Advection-Diffusion and Isothermal Laminar Flow, 1998.

53. Gunzburger M. Finite Element Methods for Viscous Incompressible Flows. San Diego: Academic Press, 1989.

54. Hestenes M.R., Stiefel E. Methods of conjugate gradients for solving linear systems. // J. Res. Nat. Bur. Standarts Sect. B. 1952, V. 49, p. 409 436.

55. Kobelkov G.M., Olshanskii M.A. Effective Preconditioning of Uzawa Type Schemes for Generalized Stokes Problem. // Nu-merische Mathematik, 2000, V.86, pp. 443-470.

56. Langer U., Queck W. On the convergence factor of Uzawa's algorithm. // J. Сотр. Appl. Math. 1986, V.15, p. 191 202.

57. Ol'shanskii M.A. On numerical solution of nonstationary Stokes equations. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 1995, v.10, N 1, p. 81 92.

58. Quarteroni A., Valli A. Numerical Approximation of Partial Differential Equations. Berlin: Springer-Verlag, Springer Series in Computational Mathematics, v.23, 1994.

59. Silvester D.J., Wathen A.J. Fast iterative solution of stabilized Stokes systems. Part II: using general block preconditioned. // SIAM J. Numer. Anal. 1994, V.31, N 5, p. 1352 1367.

60. Silvester D.J., Wathen A.J. Fast iterative solution of stabilized Stokes systems. Part I: using simple diagonal preconditioned. // SIAM J. Numer. Anal. 1993, V.30, N 3, p. 630 -649.

61. Turek S. Efficient Solvers for Incompressible Flow Problems. An Algorithmic and Computational Approach. Berlin: Springer-Verlag, Lecture Notes in Computational Sience and Engineering, 1999.

62. Valedinsky V.D., Chizhonkov E. V. Structure of Solution to Stokes Problem and an Efficient Numerical Method. // Sov. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1990, V.5, N 4/5, p. 419 423.

63. Verfurth R. A combined conjugate gradient-multigrid algorithm for the numerical solution of the Stokes problem. // IMA J. Numer. Anal. 1984, V.4, p. 441 455.

64. Verfurth R. A multylevel algorithm for the mixed problem. // SIAM J. Numer. Anal. 1984, V.21, p. 264 271.

65. Wittum G. Multi-grid methods for the Stokes and Navier-Stokes equations. // Numer Math. 1989, V.54, p. 543 564.

66. Mathematica Version 4. // www.wolfram.com/bookstore