Методы теории конечных групп в исследовании линейных групп и групп конечного ранга морли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ СО АН СиСР Специализированный совет Д 002.01

На правах рукописи

БОРОВИК Александр Васильевич

УДК 512,54+512:74+5 .67

МЕТОДУ ТЕОРИИ КОНЕЧНЫХ П.1Ш В ИССЛВДС 'ШИ ЛИНЕЙНЫХ ГРУПП И ГРУПП КОНЕЧНОГО РАНГА МОРДМ

01,01,05 - математическая логк%ас алгобра и теория ч"с ал

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физикочлатематических наук

Новосибирск - 1990

/ * /

выполнена в Бычис. .лтельном.центре СО № СССР

Официальные оппонента: доктор физико-математических наук,

профессор З.И.Боревич докторлфизико-иате..-ткческих наук, профессор и,Д.Мазуров : " дожтор физижс>~математических на^с^,

профессор АсА.Махнёв

Ведущая организация; Московский государственный унивэрсиъзу

и«, М.Е.Ломоносова

Защита состоится "__"'__;_,199_года в

часов на заседании спетааюзироьанного совета ' 002.23.01 цри Институте математики СО АН СССР по гдасу: 630090 Новосибирск-90, Унивдрсьтетский прося.с 4.

С диссертацией моано ознакомиться в библиотеке Института'математики СО АН СССР.

Автореферат разослан ___„" _________ 199_ г.

^ченый секретарь специализированного совета

д.ф.-м.н. Е.А.Палютин

Классификация коночных простых групп, подойдя к своему завершению, оставила после себя богатое и еще но освоэнноо идейное наследие. G другой стороны, она же породила и нов—; ыожме проблемы. Успехи теории конечных групп ст: тулировалл интерес ко многим задачам из соседних разделов теории групп. В первую очередь это относится к т- ,рии периодических и локально коночных групп. Этот раздел теории групп тлеет свои дав-¡шо традиции и нерешенные проблемы, ср .: которых выделялась поставленная в 1965 году 3.Л.Платоновым проблема классг пш-цп.' гростых бесконечных периодических ллнойных групп [l, проблеял I.VgJ . Очень ваяна задача завершения изучения нзвссг ~ 1шх простых конечных групп, прежде всего самого обширн'то их класса - групп лисглг.эго типа '"онечных аналогов простых алгебраических группу. Среда прочем, относящихся к известные простым группам, центральной является задача онисг. ля их мг ¡с-омшышх подгрупп, имевдая исключительно важное значение ьля развития ряда разделов комбинаторики (например, теории графов) •л геометрии. Для "маленьких" групп з составлены детальные аналоги максимальных подгрупп [ 2 ] . Что но касается групп ли-овского типа, то описание их максимальных подгрушх - оюнь сложная задача. Шлокц..еся к настоящему времени подхода к ее решению основаны на круге идеи, .восходящих к редукционной теореме М.Апбахера о подгруппах конечны:: групп классического типа Г 3 ] .

Наконец, на стыке теории моделей и теории гру,.п сложился новый круг проблем, связанны;! с классификацией w-стабильных групп конечного ранга Морли [ 4] , [ 53 п привлекающий вшивание все большого числа .»ос зователей.

Данная дтсертапдя - вклад в решение описанного здесь

круга задач. Зо-первых, в работе получена ре кцпонлая теорема, с „>б!даздая упоминавшийся вито результат М.Аш£ахера на слу-4)11 произвольных простых алгебраических групп над конечный: подями. Зге* теорема позволяет сводить описание ыаксимзлышх подкупи в конечных группах лловского типа к задачам теории представлений и теории алгебраических тру. .. Результаты главы 2 дисс ^гадии пок.. ..ьаот высокую ~*фективность редукционной теоремы в доказа- льствах максимальности конкретных подгруьи в конечных группах лиевского типа.

Во-втс х, автор решил (в случае полей ..ечетной характеристики) проблему В.П.Платонова о периодических линейных грушах.

В-третьих, в диссертации дая групп конечного ранга Морли доказан аналог теорош Брауэра - Фаулера о конечшх группах. Это позволило автору развить для групп коночного ранга подход, аналогичный программе Брауэра I 6Л классификации конеч -ных простых чоупп в терминах центр, .изаторов инволюций.

Все трл указанных круга вопросов рассматриваются в дне -сертации с единых методологических позшг-ч, основанных на применении к бесконечным группам идей и методов.теории конечшх групп.

Цель работа - изучение строения конечны;, групп в простых алгебраических группах, классификация бесконечных простых периодических линейных груш, развитие методов ис тедования и-стабильных групп конечного ранга Морли.

Результаты диссертации являются новыли..Работа носит теоретический характер, ее результаты и методы могут найти приязненна в алгебре и теории моделей ири исследовании строения конечных простых групп, в изучении локально конечных групп и -Сж-бильн' групп конечного ранг? Морли, а также ^-ста-бил ах теорий. Кроме того, результаты диссертации .огут быть использованы при чтении алгебраичьских специальных курсов.

Результаты диссертации докладывались на Всесоюзных алгебраических кэнференщ с в Ленинграде в 1982 и во Львове в 1987 годах, на Все. юзных симпозиумах по теории групп в Москве в 1984, Гомеле в 1986, в Свердловске в 1989 годах, н. мйздунаро {ом симе .пуме "Теория моделей к групп" в Дареме

(Англия) в IS88 году, на Всесоюзных шюлах i теории конечн-групп в 1932, 1У84, 1588 голах, з Новосибирска з 1989 году на кездународиой конференции .по Алгебра, посвя .той пам.г -и Л.'Л.пальце-ва. Результаты докладывались также на ссмлнарчх "Алгебр:.: и логика" к "Теория групп" в Р -юсибирско:,: госуш^орс -тете, на се;л!нарэ no общей алгебре кафедры высшей алгебры IÍI7 им. М.В.Ломоносова, на села'" "ро в Институте матег.лтша.

tul •

По теме диссертации автором опубликовано 19 робог1 [27]~

[4 6} .

Диссертация состоит из введения и трех глав объемом 225 страниц.

СОДЕРКАКЛЕ РАБОТЫ

Три главы диссертации посвящены, соответственно, периодическим линейным труппам, конечны подгруппам простых алгебраических линейных групп и и -стабильным группам конечного ранга "орли. Эти разделы идейно связан ,;зяду собой, и в основе этой связи летит, прежде всего, единство изучаемы" объ -ек ¡. Поскольку бесконечные простые периодические линейные группы исчерпывается форna.tr,'. простых алгебраических групп над локально конечными полями п их скрещенными аналогг-"1 (в чем и состоит оспо-" )й резуль"" ? главы I), то на удивительно, что при их изучении оказались полезны некоторые идеи теории . алгебраических групп. С другой стороны, в главе изучаются подгруппы простых алгебраических групп над алгебраически зама-дзнием простого конечного пола. Рассматриь^емыз группы, очевидно, легально конечны, что по ляет применить результаты и методы теории коночных и локально конечных групп. Наконец, введение в расе- ^трение в главе 3 диссертации -стабильных групп ::онечн»..'о ранга Моряк объясняется, в частности, и :-:е;:ание:.: заглянуть на наторкал первых двух глав с более широких позиций теории моделей.

Внутреннее единство изучаемых сб^-лстов объясняет и нео-;&:"анную эф1ект;тн:с'1ь единого метода их изучения.

Перейдем к рассмотрении отдельных глав диссертации. Ссылка вида "лемма 1.2.3" относится к лемме 3 из § 2 главы " диссертации.

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ЛИИЙЗНЫЕ ЩЛПЫ. Первая г.пэа диссертации содер т доказательство и подробное обсуждение следующего результата.

ТЕОРЕМ 1.1.1. Простая бесконечная периодическая линейная "руша над полем нечетной характеристики изоморфна группе Шезалло или скрещенному аналогу группы . звалле над алгеб-раичес:' л расширен:'гм прострго коь-чного поля той ке харак -гзристики.

Данная теорзма дает решение отмечавшейся выше проблемы В.тт.Платоновп. Подчеркнем, что ее доказатель гво не использует формулировку теорема о классификации простых конечных групп. Аналогичный результат бил получен, без ограничений на характеристику поля, но с использованием упомянутой классификации, сразу несколькими советскими и зарубежными авто -раш - 3.В.Беляевым [?] , С.Томасом [8] , Б.Хартли и Г.Шю -том[з] . Принадлежащее автору доказательство не зависит от этих публикаций, получено одновременно или раньше них. Автор использует р«д идей и методов, развитых М.Ашбахером и другими 1,2темагиками при изучении так называемых конечных групп компонентного типа [ю] . Перенос указанных методов на бесконечные периодические ликейшо группы сопровождался резким упрощением, по сравнению с конечными группами, до. .зательств к выязле'нием лежэ""*х з их основе идей.

КОНЕЧНЫЕ ПОДГРУППЫ ПРОСТЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ГРУ..'!. Основной результат главы 2 - приведенная шгхе теорема 2.1.1, являющаяся обобщением известной редукционной теоремы М.Ашбахе-ра о подгруппах классически групп наг- конечными полями [ 3] . Ряд других результатов, таккх, например, как описание корда-ноенх полгрупп в простых алгебраических группах положитель -ной харак?вр;:сг.\.ки (теоремы 2.1.10 и 2.8.1) носят всгамога -телы 1 характер и нужны для доказательства теоремы ¡¿.1.1 или для уточнения ее формулировки. Наконец, в качестве неожиданного побочного результат?, получился новый подход к построению ортогональных к^тановоких разложений простых алгебр Ли (теорегла 2.1.11).

Перейдем к более подробном;7 изложению рэзультатов гла-

вы2' Г.-ПК)

Пусть Сг-чЛ^; _ простая алгебраическая группа

присоединенного тип? над алгебраически замкнутым полем К характеристик!! р?0 , оиродоло;пшя над ко'"зчннм гилпм F . Обозначим через GO'J группу ее точок над F .1 через Сго - коммутант группы Ct(f) . Как изв"' тно, 'г?

за нескольким! исклююниями, являете.^ коночной простои группой. Болов того, таким образом мо-но получить все кошушуо простои группы лиовского типа, гр^мо групп серий , , . Пусть, далее, Сс? * Crt S /W Crc (группа (V;

в этой ситуации называется почти простой группой лионского типа) :i А £ Гг, . Нетрудно определить дяйствио группы на множество езязннх замкнутых F -определениях ПОДГруПП rpJ -ПЫ Сг . Положим Xç - х п Сгс

TÏOPBM 2,1.1. При указанных выше условиях ви^лноно одно из сведущих утверждений:

1) группа X нормализует некоторую нетривиальную соб-ствоннуп связную, определенную над F подгруппу H из (г ;

2) группа Х0 лежит в нормализатор некоторая жорлано-воП подгруппы (определение будот приведено ниха);

3) Хо - почти простая группа, то есть Уб Хо £ У для некоторой простой подгруппы У j

4) Сг= В8СК) ( cU K-?S „ .

гд9 с .С

Да Af , ■ в* А*

и выполнены соотношения

Са1,, * ¿е

г Л'*" Я*-

(зцось и О - знакопеременная к симмотричс-ская груп-

пы степени (!> ). Далее, подгруппа А * из заключения 4) теоремн определена однозначно с точностью до сопряженности в

Теорош 2.1.1 позволяет сво.г/ть изучение конечных подгрупп в простых ллгобралчег х г; • шах & к двум совераеи-но разним зацачам:

- описание снязных; подгрупп в С ;

- описание владений в С- коночных простых групп.

Ь^рьая из этих задач припадлшшт к теории алгебраических

групп л групп Ли, (образец для ое решения - работа Е.Б.Лишений [ Т1 ] , с !. такке Д. Тестер;,!ан [ 12] ), вторая - к теории предклавдвний коночных групп (среди нодавш^ конкретных результатов можно указать работу А.С ""ондратьева Г133 ).

Ответим, что дальнейшее уточнение теоремы 2.1.1 недавне «олучили М.Либэк '1 Г.Зайтц [ 14 ] , которые в цитируемой работа признают приоритет автора.

В случае характеристики 0 результат, аналогичный нашей тооромэ 2.1.1, был анонсирован А.В.Алексеевским [15] .

К сожалении, при этом в [15] был пропущен самый трудный для анализа, случай 4. Теорема 2.1.6 диссертации является аналогов теоремы 2.1.1 дяя характеристики 0 и получается из [¡оо простым теоретико-модельным рассуждением, приведенным в § 3 главы 2. В самом дела, если в формулировка теоремы 2.1.1 опустить слог - "определенная над Р ", и-ограничиться случаем

X 4 Сг , то ее можно записать бесконечным набором формул ЯШ сигнатуры поля, выполненных на всех .зтих алгебраических группах (г(Рр) для всех простых чисел р . Так как поле ког.шлексных чисел • является ультрапро"чведониегл по-¿ай Рр по ультрафильтру на множестве простых чисел {р\ , содержащему филь р множеств с конечны:® дополнениями, то по теорема Лося-Тарского [16, с.205 3 теорема 2.1.1 ь-рна и для группы

Ь'АКСИШЫШЕ ПОДРЛШ ПРОСТЫХ ГРУПП ЛИЕВСКОГО ТШ1А. Проце?Ал:отрируом применение теоремы 2....1 при описании максп» налышх подгрупп в простых группах лиевского типа.

ТКОГ "/1А 2.Т 2. Пусть Со " простая конечная группа лиевского типа, не принадлежащая ни к одной из скрещеньях серий

I » • Реализуем Си в виде коммутанта

^руплы Р -точек простой алгебраической группы & , опреде-лонной над конрч-шм полек- I именно Сгс-&(РУ

11/сть Сто ^ ^ Аи** Сг0 , М - мьешлальная подгруппа в

•ч

и.- . Тсгдр вчполне-- одно аз ут/квадешш:

I) М~ Л/^НЬ-'П Сг01 для некоторой собственной не-

единичной связной замкнутой определенной над Р подгруппы

/иСг ;

2) /А-(,7) для некоторой жордэноюй П'дгруичн *}< < Сг0 группы Сг ;

3) /'1 - почти простая группа, .о ост.1» 1> - /.< А1Я некоторой простой конечной группы Ь ;

4) Сго~ Е} <•<-} . с-^лг 5 и

гдо г- г

Л = /I3 , ^

- знакопеременные группы степени 5 и 6, ооотьетст^^нно, причем

Л& (¿«В) /л* в - четверная группа.

Как показано в параграфе 13 г ".) главы 2, последний случай в заключении теоремы 2.1.2 действительно роплинуотсл в группах

Ея (Р) , когда (теоремы

2.1.5 и 2.1.9 диссертации).

Подгруппа /4*6- А-л А п простой алгебр;... шс~

кой группе типа обладает рядом интересных свойств, позволяющих говорить о ее исключительной роли в теории простых алгебраических групп. В частности, справедлива следуют.. 1 теорема, обобщапдял >. .¿естлий рс л.ьтат Р.Стейнберга [17] . В приведенной нихв формулировке объединены теоремы Г '.5 и 2.1.9 диссертации.

ТЕОРН/А. Пуоть С - (г (К) - простая ал, ^браичоскпя группа над алгебраически замкнутым чем К характеристики ноль или , и И - произвольная замкнутая подгруппа в

Сг . Тогда выполнено одно из двух утверкдетай:

Либо 7

I) группа компонент централизатора ^ ^

рдзршклма,

либо

г) &*£*00

СГг(Щ = ССг(щ° г

и выполнено равенство О/

£

где подгруппа 2.-А' , 5 ми -5 сопряхена в 6-с подгруппой из

В bíoÍí формулировке, по сравнению с теоремами 2.1.5 и 2.1.9 опушены некоторые технические детали. В частности, теорема и 2.I.S дают в случав 2) исчериыванцув информацию об исаодной подгруппе Н ,

>!0РМЮШ П0ДГРУТ11Ш. Напомним [ Ib ] , что кордаиовой иодх'рушюй в U называется элементарная ^балева р -иод -группа 3 , удовле-ворящая следу ;им условиям: a) (üj -конечная группа; t>) J - минимальная нормальная подгрупг в /^.fJj ; i.; «ели А 7 - произвольная а боло ва р-под-

rpvnna 'з Сг к , то .

Еордановы подгруппы впервые были введены А.В.Алексеев- ■ скпм в jatíore [1В]дяя случая комплексных групп Ли, та« же им была получена их классификация. Наш эта классификация распространена на жордановы подгруппы в алгебраических группах положительной характеристики (теорема 2Л.10). Оказалось, что никаких изменений по сравнению со случаег характеристики О не процэог'то (см. таблицу 2.1 Л диссертации).

Описание хордановых подгрупп содержится такие и в работе М.Либека и Я.Саксла [ 19 ] .

ЖОРДАНОВЫ ПОДГРУПГШ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ. Понятий кордановай подгруппы оказалось тесно связано другими очень интересными объектами алгебры - именно, введенными в работах А.И.Кострикша, Л.А.Кострикина и В. А. У Саровского F. 20 J ортогональным'! картановскиш разложениями. Напомним, что если ~ простая комплексная алгебра Ли, то ее разложение в нря-мув сумму картановских подалгебр

^ е... ф н^

называв""^ ортогоналышм, если все подалгебры Н./,.-^ попарно ортогональны друг кругу относительно формы Кн'ишга, траньитивнш, если группа автоморфизмов алгебры Ли, сохраня-щих это разложение, действует транзитиано на множестве его слагаемых, и неприводимым, если группа автоморфизмов разложения неприводгама на ачгес^е Ь .

Ухе с первых работ по данной тематике было ясна, что пг -нлч'пя картановского пазлояения и жорданошй подгруппы тесно связаны Mo.¡sjy собой. В проттчссе доказательства теоремы 2.I.I "ыясиилось, что все известные к настоящему времени транзитив-

¡шо ортогональные разлояениг можно получить пол погл. .- одлао:' конструкции, которая и будот сейчас изложат'.

Пусть Ь - простая комплексная э-^обра Л:;, С- - свяы .1 комион чта ео 1руппц автоморфизмов, ^ - хордэнош подгрупп) в Сг . Подгруппу А < 7 назовем торг е с к о й, ослл

_ максимальный тор в О- л ^ максимальна

среди подгрупп в <7 , обладающих этил свойством.

ТЕОРЕМА 6.1.11. В этих обозначен ос г -{группа ^ содержит торическио подгрушш и все они сопряжены в (Ю . "¿с-ли ^аЗ ~ набор торичаских подгрупп в 3 , I."' зца-

кмий тзы свойством, ' "о ^ ' ^ при Ь , и шиошпй

при этом максима ">но в^чмолную длину, то подал збрч - ^ образуют ортогональное картановское разложение

1= н0 ©... ®/-/г

алгебры Ь . Более того, набор Ао^^ мол-сно выбрать таким образом, что нв1 гора я подгруппа действует н-зприподнмо на Ь и транзитивно на множестве слагаемых соответствующего карта..овского р: ложения.

Б случае, когда (г - груп' . тит Ед и 7 - группа порядка 125, теорем' 2.1.11 дает пример нового, ко встречавшегося ранее в литературе транзитивного к. /гансвского ~>азло::со -ния.

Есть веские основания считать Г211 , что других пег. ¡водимых ортогональных разложений, кроме построошг-с в теоршла 2.1.11, нег.

^-СТАШЛЫШ ГРУППЫ КОНЕЧНОГО РА1-ГА МСРЛИ (в ;адьноГ^ем они для краткости будут называться группами конечного ранга, изучаются в третьей главе). Эти объь.стц возникли в теории моделей, их определение несложно и очень естественно, но несколько громоздко для того, "тобы служить мотивировкой целесообразности его систематического изучения в данной работе, Включение в диссертацию главы 3, посвященной группам конечного ранга, лучше всего объясняется следующим довольно неожиданным заметание;¡. Оказывается, из классификации п ркодичеекпх лкптой-ных групп нечетной характеристики (теор а 1.1.1 диссертации.» вытекает (конечно, и без ? го хс 'ошо известное) с,писан"' прс.:-

•д'" б?.....ческих групп над полом комплексных члссл.

Дс'Лсгоитолыо, согласно теореме 1.1.1 простно алгебраи-« ,:.:о уругш >»д алгебраическим замыканном простого поля но-

ног «ста исчорг.иза-этся группами Шовалле. Так как ото у:о мо.г.пс записать набором формул узкого исчисления

'.сов сигнатуры поля, то ухо прпводпгшоеся при обсуждении •-!.-,- 2. .1 рассуздсн.» с ультраирокзводенкяг/а: показывает, ••ъ простых алгобрааческ.ис групп справедлива и

/.м подл г.с;..:1адкснк кс4*. Тем сайт: 'компонентный анализ" ."..Л::;балора, разрзботашш.. :гм для работы с конечными простыми групп;-:.« чомпояонтшго типа и оказавшийся ключом к классифк ц/.и пориодич« ски" линейных групп нечетной характеристики, каким-то образом позволяет судить и о строении комг •• ксных групп :и. Самое остеотзошюе ооълснониэ этого удивительного факта соото::т в тем, что на груши Лк могут быть перенесены (в соот-р 1твуг^;е;: интерпретации) но только результаты класслфякаци-тоорпи простых коночных групп, но и метода их получения. Сбраг^'мо к теории ; .Л1Д конечного ранга (частными случаями которых яплл.огеч и простые алгебраические группы над алгебраи-чегк/. за>,'.кнута:«- полями, и конечные группы) позволяет раскрыть внутренние механизмы этой взаимосвязи.

~а;лно подчеркнуть, что теория групп конечного ранга Ыор-.тп сама является интересным и быстро развивающимся разделом 'лсорчтпко-медольной алго^ы, привлекающем внимание рзкого круга авторов. Понятие ранга Морлп ^'¡ло введено МорлпГ 223 в 1255 году. Среди дальнейших работ н^до отметить проздь всего статьи ГЛорлина 1.4 Д к Б.И.Зильбера [ 5] , содержащие, в частности, основную гипотезу о строении ""упл конечного ранга: простые группы конечна ■ ранга либо конечны, либо являет - ал-

Зр'дпческиг.гл группами над алгебраически замкнутыми полямй. ...л^зательстга или опровержение этой гипотезы, видимо, является о-гд:ь сяо::-!ой задачей. Предложенное автором систоматичос -кое ра:'.БНт;;е аналогии с коне- ыми группами пезво. ю наметить подходы к ресегаа ряда ее проблем.

Поревем к кзлэ:хоы:ю ос вных результатов главы 3.

По определению, группы коночного ранга 1,'орли - это группы, чья элементарная теория и) -стабильна и имеет конечный ранг ;,:ор. . Объясним эти понятия на неформальном уровне.

Напомним, что г.о; тчокеств /Л алгебраической систеш

А называется определимым ^ А , если оно п.\:еот . ;

М - И ■ К*, а-п-",0-''.)-

где - формула узкого ••счисления яродккато* с;:г»»ту}ч; /» ,

_ элементы из л . В частности, лшоо -юлечлоо подмножество из /4 , очевидно, является опредо-'тм-.м ъ . Поэтому понятие определимости в случае теории ко.-.очн-:х г.),, но несет никаь~Л смысловой нагрузки. С й сторона, с-\:а пытаться переносить на бесконечные группа метода тссри:: кз-но'пшх групп, то оказываете.;!, что большая часть пегк льз;,

конструкций в слузе их применения :■: бссконочлып гру.'п:зм не выводит нас из области определимых множеств. '1ап;;::,.ср, кле сы сопряженных элементов определимы, так как

Зу (г* ' .

Следующее ключевое понятие, относящееся к напей 'юс-гил - это ранг Морли, на" -ральное число, которое приписываете/, каждому определимому множеству подобно то;.?/ кзк и алгьбрзп -тзеко. геометрии • атжнутнм пли, более общо,. :сснстр>::т7лпп."д мнояеетвам сопоставляется- их раз-арность.. Дакка I аналогия не случайна, так как и? теоремы А.Тарского об элжллшц;:;: к?и::то-ров в элементарных теориях алгебрапчеекг '-аиккуткх ¡тояУ; 123; следует, что т. даонества, определимые в'аЗф'нном пр„отраНчЛ--ь. над алгебраически замкнутым полегл, буду'Ф коясвдгагкэса' -I в смысле алгебраической геометрии и их рззиерн .-ь с рангом Мо. л. Более того, _ теории моделей доказывается, что поведение ранга Морли ^ -стабильных тсор,;2 вз .-.з-огог-анал01ичн0 сеокстззм разм оноста в алгеб; •лячоно'л гзиотгкж.

Оказывается, понятие группы ког-чногс ранга :."орлл, первоначально возникшее в теории моделей, допускает чисто алгебраическое описание в терминах определимых ;.пс;?.&отв и ранга Морли и тем самым может и;^ -гаться в значительно;; отепонп ко-зависимо от теории моделей. Соответствующал аксиоматика предложенная автором и, и, в окончательной оермз - 2-Гауза (.24 3 , пр'1ьздсн? в § 2 главы 3. В § 3 той главы собгатч результаты технического и вспомогательного характера когочно го ранга, непосредственно чте лцие кз . .;с>:ом. Доказателье

о v-y./j :ыатов очень напоминают и во. многом повторяют ...уаллъ-мю главы теории алгебраичэских групп

I!iiTopf-cns& дальнейшее ргзвлгио теории групп ^печного 5 5 глава 3 посвящен анализу поведения инволюций (то •а. чяо'.юнтов порядка 2) в группах коечного ранга. Первый в этим напраьте1ша - следущая i 3.5.2. Пусть G - группа конечного ранга Морлп, ■„од-¡;-.ищая инволюцию t . Тогда для ранга Я(Сг) i^ynau О-/.v.i^T место оценка

№)б R(C^i))

juin некоторого элемента "i из G- , представимого в виде про'.ишодочля двух. инволюций, сопряженных с £ .

Теорема 3 5.2 - точный аналог известной теоремы Брауэра-С-ау.юра Pô, тоороьэт 9.1.6 : если Or - коночная группа, сод :ауая инволюцию ^ , то

1С I (е^)с(с-1),

где и ê=iCcJ*)l для некоторого влемента

Ь из Сг , представимого в виде пр. зведония двух инволкь

ЦИ.1.

Справедливость анале i теоремы 3.5.2 для конеч^'х групп позволила Р.Брауору сформулировать в 1954 г. его знаменитую программу классификации простых koi. шых групп в тори, jx централизаторов .волюций [б1. Как известно, ота программа Силе реализована примерно за 30 лет совместными усклшши нескольких сот математике- многих стран га»; Автору удалое чо-о.оркть ряц шагов программы Брауэра для групп конечного ран-Отметим, например, следующие результаты. TECPE.iA 3.9.1. Пусть Ст - бесконечная простая группа конечного ранга, содержащая инр->лщию. Предположим что централизатор лкхЗой инволюции из U- является элементарной аЗслевой .-группой. Тогда Сг »зомор" 'а группе PSLz(i\) для некоторого алгебраически замкнутого поля К_ характеристики 2.

Для 2-нодгрупп в группах конечного ранга справедлива теорема Civ ia. Назовем силовской 2-подгруппой группы ¿г

бую ее максимальную (но обяг--только слределонмуя) гругпу.

ТН0Р2ЛА -'3.7.1. Силовские 2-подгруппы группы ко'"»чког-, ранга G- почта нильлотрнтнч л сопр'—,еш.

Э.а теорема была получена автором f 44 j . Б.Пуаза улучшил ее доказательство, которое и было опубл.'гх^вано а соьс.ест-ной с автором работе С 46 J . 3 диссертации, по сравнения с С 46 J , в доказательство внесены дальнейшие упрощения.

Вопрос о сопряженности в группах конечного ранга сщгсв-ских р -подгрупп для нечетных р остае^я открыть?.;. Ко опыт теории конечных групп и результаты первой главы д:г ^ер-гтдаи показывают, что решающую роль в теории конечных песо -тих групп и в теории периодически* линейных групп играет по-в^'Энио именно сило век. .с 2-подгрупп.

Не приводя здесь всех результатов главы 3, улог.:<«-:ом теорему 3.10.1, яаляющу/хя обобщением кзв .тной тзорэмы ¡.'эра -Сузуки из теории конечных груш [26, с. inj.

ТЕОРЕЛА 3.I0.I. Пусть К - класс еэпряяеикь:* 2--нлзмен-тов в группе конечне о ранга Cr . Предположим, что любые два элемента из К порождают 2-группу. Тогда подгруппа < пороченная кла<. :oti К , та;с?.в является 2-подгруппой.

Как видно из этих примеров, естественность, с которой в теории групп конеттчого ранга работают мотоды теории коночных групп, позволяют ставить вопрос о г- чграмке кдесси^жа -•' ции простых гр0'пп коночного ранга э терминах централизаторов инволюции.

ЛИТЕРАТУРА

. КоуроЕСкая тетрапь (нерешенные опросы теории групп). - 7-е изд. - Новосибирск. - 1080.

2.Cowray J.H. а.о. hbia.% с{ , /иЛе дглсег.»

СигеиЛсл Pzess. - 1Ш.

3. AscßJtcfub М. оiU hbrstZiMii cfifa falte C.Uykai ybufbtf ¡KVtofi. Н'Лкг 1W.-V. 11, ~P. W- ff*.

4. UxViiC^Q. G-'icaps $M0.tt Мег^ Lofrc.- /. 17, -V2-1. - P. 1-21

5. Зильбер Б.И. 1"рушга и кольца, теор^.х которых категорична // Miiti , _ I37r _ S5. .'s I. - Р.173-138.

i. Lp¿.yep F. 0 строении групп нечетного порядка

колгрзсс ьагсматгков в Л!.:о'?гр;;амо lüoi г. - .",!. -

. - с. 07—33.

V. 1;олг:оь Н.В. С локально конечных группах Озвылто // Х-есошп. .viroCp. A-rdZ. (тез док...) - 4.2. - Л. -

i..:;. - с. г/. , . , ,

.з. Г .-.-...гг Г). <f'.t ec-U'Jx Íw.íVí.

л icC /feifi. - IÍYÍ. -V./ f.'t'¿.-P. ¡ОЪ-vie.

' o* ¡¡, .¿•íi/í ¿. a-.vé.. rr. а***

¡''*"r- f. lí-r't. \

IÚ. A-¿cLb'J*T, ti- CpJDUfi frCCMf.r.wJ, tyfLt,

ÍC'Lclí J. К-.К.-1Ж- ¿t^ríf.

11. К.Б. Полу просил подалгебры полупростых алгебр Л;-: /Даго.:.;, сб. - IS52. - Т.30, S 2. - С.343-402.

12. TO/A-I.W* J).f1. 1'ХХС<&<лс£& ■'¿Л&Н/Илиь <rj-

Ц /»Ate:. НеЛй. -tiSZr И tf,

-

io. Кондратьев А.С. Модулярные представления малых сте-ионей ко::очзшх групп лиевокого типа /Препринт. - Свердловск:

У Т.у — '¿8 С

14. L^'Jí- h, "büit С.К Мйа

íy^ufi cf-fe bffi, c^uí

15. Алоксеевский А.В. Строение '.акс;п.!зльных коночных при-кптпвпю: подгрупп групп Ли //фушс*. анализ и прадож. - IS75. - 7.30; а 5. * u.IS7-I38.

16. ¡-Ельцов A.ü. .лгеСранческие системы. - Ы.: Паука. -1283.

17. SiUdUsií* R. ¿И- WLeiúVc ушifb // /tiv. Aíí.-tíL. V.-wj A'í■í.~ P. ¿Ъ-SZ.

18. Алексеевский А.З. С кордашвах конечных коммутативных подгруппах простых коглп ■ '-кскых групп Ли // ¡кц. анализ и - IS74. - Т.8, 4. - С. 1-4.

гэ. LiUíiii /;. к', тс-х £ct*£ у.Лу^-ч'Ъ ¿f

ít'Z y^Cít лСл'.рй. Cf-tbv.f'i// Рги;г. Pí*/t¿ НсЛЬ, ~

l'ji 'L -V.(r?. - Р. H55- 4£1.

20. .остршспн А.И., Кострикин И.A., Уфнаровский В.А. Ор-тогоналънке разлояег i простых алгебр Ли // Дс<т. /Л СССР. -

1931. - Т." 136, ,'f 3. - С.5Г --530.

21. Pfuuw -Нам, Ücp . atto.,?:.^:.

éw/,!vtj.->>ícw.s ¿ce ¿fctf-ui-'i // i'.'xzi:. KOXJ;, r:o

алгос.з, посчад. памяти А.Л.Мальцева U9CS-I9o7): Тэ->. дочя. яо теория колец, алгебр .. модулей. - НовосиС лк, 1.089. -

С.204. ,

22. //ot&y i- Сме^огСсСЬ^ mv реъ&г// /¡-.-¿i MU& iiz - -Ч.ЪЦ Ni2.-Р. p .

23. л ^ ;

CL'ACÍ fCA'jJÍ'XLi.- Strihlj tf См^гимо. P-'-^r &5'> ■

24. fofcU 6. CrtoufCb r //«t

MbAitCfy Air,, ufáis,

25. -fJíM/ ■tTJW. ¡L <XvA . - l'Jéi.

26. Гаген T.W. Некоторые вопроси орпя кояетшх групп //К теорил конечны:: групп. - ипр. - WS. - C.JG-37.

Р' "ЮТЫ АВТОРА ПО ТЕ73 #:CCZFIAI,~K

27. Боровик A.B. Периодгтческио л.хо£ны& группы :-ад полями нечетной xi._ .ктеристикн // 16-я Всэс. алгебр, кон$. (тез. докл.) - Л. - 1981. - 4.2. - С :7.

28. Боровик ;.3. Периодические линейные группы нечзткой характеристики // ДАН СССР. - 1982. - .265, :? 6. - С.1289-1291.

29. Борсвик A.B. Вложение конечных групп Шевллле периодические линейные группы //Сиб.уатем. sypjí. - Il-;¿3. -Т.24. Jí6. - C.2ö—35.

30. Боровик A.B. Классификация периодических -.пньйжх групп над полями нечет л характерной. : //0::б.ма':о:ч.::.урм,-1984. - Т.25, JÍ6. - С.67-83.

31. Боровик A.B. О конечных подгруппах простых алгебраических групп //1С—а Всес. сиглп, по теор. груш (Гог.:ель, Э-12 сент. 1986 г.) - Мин„к,- 1986. - 0.28.

32. Боровик А* В. 0 конечных подгруппах простых алгоора-ичвеких групп //Вопросы алгебры: Респ. келвед. сб.: Был. 4.-Минск: Изд-во "Университетское". - 1989. C.II0-II5.

33. Боровик A.B. Жордан-^вы подгруп'Ш простых алгебраических групп //Алгебра ло!^--. - 1989. - Т.28, Г2. -С.Ш-

, 159.

■У». Боровик A.B. Конечные подгруппы простых алгебрапчес-групп // ¿АД СССР. - 11)89. - Т.309, ,'Й4. - C.7Ü4-78S.

35. Боровик А.З. Строение конечных подгрупп .¡ростах ал-гобра,:чео1-::-: групп //Алгебра л логика. - 1289. - Т.28, И 3.-C.i. .З-27'j.

ZG. Боровик A.b. .¿ордановы подгруппы и ортогональные раело:;:е:к //Алгебра и логика. - Х9£9. - Т.26, М. - С.372-

37. Городах А.". Максимальная подгруппа в ' //

»;оаф. по алгооро, юсвы. памягп А.й.Улльцова (1909 -1967): Теп. докл. по теор. групп. - Новосибирск, 1089.

23. Боровик A.B. Три замечания о трехмерных группах // 17~л Зсес. алгебр. кон£. (тез. сообц.). - Минск. - I9Ö3. -T.I. - С.3-1.

39. Боровик A.B. Теория конечных групп и несчетно категоричнее группы. - ВЦ АН СССР. - Препринт .'ё 511. - 22 с.

40. боровик A.B. Несчетно категоричные группы с точки зр&пая теории конэч" :с групп //9-й Всос. симп. теоии групп (таг. докл.). М. - 1984. - С. 13-14.

41. Боровик А.Б. Несчетно категоричные 2-группц почти кильпотентны // 17-я Во ее. конф. по г/лтем. логяко. - Новосибирск. - 1984. - С.19.

4ü. Боровик A.B. Инволкцпи в группах с размерностью. -ВЦ СО АII СССР. - Препрлг .'в 512. - 18 с.

43. Боровик A.B. Силовскпо 2-подгруппы несчетно категоричных групп //18-я Всес. алгебр. л:ф. (тез. сообц.). Кишинев. - 4.1. - Г. .5. - С.63.

44. Боровлк A.B. Инзолкцаи в группах конечного ранга Морли // девятая Зсас хонф. по катем. .. ике (тез. док Ч - !/.. - li-üo. - С.19.

45. Боровик A.B. О скловской теории для групп конечного ранга .Морли //Сиб. матем. журн. - 1989. - Т.30, )Ь G. - С. 5257.

46. fkw.-i A.V.} ß.P. Tout ci f-fwuotb/J

•7. Улул&уС. Ьс-y'.Z.. ~