Методы вычисления собственных частот и форм колебаний пластин и их асимптотика тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГ6 ОД

V .: На правах рукописи

Иванцова Ольга Николаевна

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ И ФОРМ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИН И ИХ АСИМПТОТИКА

01.01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Санкт-Петербург 1998

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики ма-тематико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор Рябов Виктор Михайлович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент Карюкин Владимир Владимирович

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Зимин Борис Александрович

Ведущая организация — Центральный научно-исследовательский институт им. акад. А. Н. Крылова

Защита состоится " " 1998 г.

в '/Л, часов на заседании диссертационного совета Д 063.57.30 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Санкт-Пстсрбургском государственном университете по адресу: 198904, Санкт-Петербург, Петродворец, Библиотечная пл., д. 2, математико-механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан " " &С/СШ 1998 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 063.57.30

Ю.А.Сушков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Растущий интерес к демпфирующим конструкциям из полимерных композиционных материалов (ПКМ) стимулирует разработку методов расчета их собственных частот и коэффициентов механических потерь. Этот интерес обусловлен в первую очередь тем, что диссипативные свойства конструкционных ПКМ значительно превосходят аналогичные характеристики подавляющего большинства металлов и сплавов и могут быть использованы в качестве параметров проектирования конструкций с заданными свойствами. При создании ПКМ и изделий из них важнейшее значение имеет прогнозирование упругих и диссипативных характеристик конструкций по известным свойствам монослоев. Экспериментальное решение указанных задач, как правило, невозможно, ибо ПКМ создается одновременно с изделием.

Поэтому предлагаемые в настоящей работе методы вычисления собственных частот и форм колебаний как квазиоднородных слоистых анизотропных пластин из ПКМ, так и макронеоднород-ных трехслойных пластин, состоящих из двух жестких и одного мягкого слоев, а также построение асимптотики спектра при неограниченном возрастании длины пластины весьма актуальны как в теоретическом, так и чисто прикладном отношении.

Цель работы. Разработка и программная реализация методов вычисления собственных частот и форм колебаний квазиоднородных слоистых анизотропных пластин из ПКМ и макронеод-нородных трехслойных пластин; построение асимптотики спектра при неограниченном возрастании длины пластины.

Методика исследования. Для математической постановки задачи на собственные значения используется классическая теория пластин Кирхгофа-Лява, уточненная теория пластин Рейсне-ра-Миндлина, теория многослойных пластин В. В. Болотина, принцип наименьшего действия Гамильтона, позволяющие свести изучаемую задачу к задаче минимизации некоторого функционала. Последняя решается вариационными и проекционными методами Ритца и Галеркина при специальном выборе координатных систем. Для нахождения комплексных корней частотного уравнения применяются итерационные методы высокого порядка точности. Там, где это возможно, применяется интегральное преобразование Лапласа.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

1) разработаны алгоритмы численного решения задачи о собственных колебаниях квазиоднородных пластин и макронеодно-родных трехслойных пластин с вязкоупругим средним слоем на основе вариационных и проекционных методов;

2) получены асимптотические представления частот преимущественно изгибных и преимущественно крутильных колебаний квазиоднородных пластин при неограниченном увеличении их длины на основе анализа системы обыкновенных дифференциальных уравнений, порождаемой вариационным методом Канторовича;

3) выполнен расчет собственных частот и коэффициентов механических потерь для различных конкретных пластин как на основе классической теории Кирхгофа-Лява, так и уточненной теории Рейснера-Миндлина.

Практическая значимость. Предлагаемые методы и их реализация в виде программного комплекса позволяют с достаточной для практики точностью прогнозировать значения собственных частот и коэффициентов механических потерь квазиоднородных слоистых анизотропных пластин из ПКМ и макронеоднородных трехслойных пластин по известным значениям упругих и диссипа-тивных характеристик материалов монослоев в целях проектирования конструкций с заданными свойствами.

Апробация работы и публикации. По результатам диссертации сделаны доклады на семинаре кафедры вычислительной математики СПбГУ и на XVII научно-технической конференции 6-го отделения ЦНИИ им. акад. А.. Н. Крылова. По теме диссертации опубликованы две работы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на десять параграфов, одного приложения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 122 страницы. Библиография содержит 103 наименования. В диссертации имеется 24 рисунка и 9 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении дан краткий обзор литературы по теме диссертации и сформулированы ее основные результаты.

Глава 1 посвящена математической постановке задачи о собственных колебаниях квазиоднородных слоистых анизотропных пластин из ГГКМ на основе уточненной теории Рейснера-Миндли-на.

Рассматривается прямоугольная пластина длины а, ширины Ь и толщины /1, связанная с системой декартовых координат X, У, ^ так, что 2 = 0 на срединной плоскости пластины. Компоненты вектора перемещений пластины описываются выражениями

U(x,y,z,t) - и{х,у, t)+za(x,y,t), V{x,y,z,t) = v{x,y,t) + z¡3(x,y,t), W{x,y,z,t) = w(x,y,t),

(1)

где и, у, т - линеиные перемещения срединнои поверхности в направлении осей X, У, Z■ а, /? - углы поворота относительно осей У и X.

Деформации связаны с перемещениями соотношениями

' ех * ' кх >

еу ку

Eyz ► = i еуг >+z< kyz

&XZ ехг kxz

£ху

=

ди

дх dv

ду о <9и>

ду dw

дх

ди dv ду дх .

+ z

да дх di ду О О

да + д/3 ду дх .

Для описания свободных колебаний пластины воспользуемся вариационным принципом Гамильтона. Учитывая гармонический характер колебаний ( т.е. считая, что функции и, v, w, а, (3, входящие в (1), имеют вид u(x,y,t) = и0(х, у) sinwt и т.д.), получим вариационное уравнение

S(T0-U0) = o,

(3)

где кинетическая и потенциальная энергии пластины определяются в виде

To = ^¡-f[[Io («о + vl + wl) + 2/i («oQo + «оА>) + h («о + До)] dA, 2JJ (4)

= f[Nxex + Nyey + Nxyexy + Mxkx + Myky + Mxykxy+

(5)

A

+ Qyeyz + Qxexz] dA.

Здесь А - прямоугольник [0, а] X [О, Ь]; нормальные усилия N и изгибающие моменты М для всей пластины вычисляются по формуле

Г Nx •Ап А12 ^16 Bn В12 Вi6" ' ex '

Ny А12 A22 A26 В12 B22 В2б ey

IV > = AI 6 л2в A 6 B\ 6 B2e Вбб j exy

мх Bu В\2 B16 Dn D12 Du s k^

My Bi 2 ■B22 B2Q Da -C>22 D26 ky

. МХу . --В16 #26 Bee Di e D2Q Des- . kxy .

через матрицу жесткости и

А44 А45 А4 5 Аь5

¡y), (Jo./i./a) =fh/2p(l,z,z2) dz (. ) J-h/2

Из уравнения (3) можно получить связанную систему дифференциальных уравнений в частных производных, описывающую упругие собственные колебания слоистых анизотропных пластин из ПКМ и соответствующие ей граничные условия. Однако ввиду сложности ее решения далее будут рассмотрены различные частные случаи приближенного решения соответствующей вариационной задачи.

В главе 2 предложены методы нахождения собственных частот и коэффициентов механических потерь тонких слоистых анизотропных пластин на основе классической теории пластин Кирхгофа- Лява.

В § 1 изучается двучленное представление приближенного решения соответствующей вариационной задачи

wo(x,y) = w(x) + y9(x),

(6)

где »(ж), в(х) - неизвестные функции продольной координаты: прогиб ги(х) и угол закручивания в{х). Доказано, что в этом случае вариационная задача сводится к связанной системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка вида

(7)

I -сш'"(о + лв'че) - б'чо - що = 0

с граничными условиями

«;(0) = «;'(0) = 0(0) = 0'(О) = 0, ш"(1) + Вв'(1) = 0,

и/"(1)=0, 0"(1)=О, —Сш"(1) + £)б"'(1) - 0'(1) = 0.

Для решения задачи (7), (8) применяется интегральное преобразование Лапласа, что позволяет найти явное представление частотного уравнения.

Установлено, что частоты изгибных колебаний могут быть найдены по формуле

шпв =

кпв

s/Du/p, п= 1,2,..., (9)

а частоты крутильных колебаний по формуле

hn

и:пТ= —-x/iSD^/p, п = 1,2,...; (10)

в случае связанных колебаний кпв и knj- зависят от параметра ß = Dnb2 /48D66a2 и безразмерного комплекса ¿16 = D2e/(DnDee)-Рассмотрено влияние параметра Ф10 = 1 — d16 на зависимость величин кхв, к\т от безразмерного параметра s = /З-1/2 и на частоты hт, he-

Особое внимание уделяется изучению поведения частот связанных изгнбно-крутильных колебаний при неограниченном возрастании длины пластины, а именно, доказаны

Теорема 1. При а —> со частоты преимущественно изгибных колебаний имеют вид шпв = Anja2, п = 1,2,..., где Ап — не зависящие от а величины (указаны их явные выражения).

Теорема 2. При а —> оо частоты преимущественно крутильных колебаний имеют вид = Вп/а, п = 1,2,..., где Вп — не зависящие от а величины (указаны их явные выражения).

В § 2 рассматривается трехчленное представление приближенного решения соответствующей вариационной задачи

ы0(х, у) = «/(я) + ув(х) + [4у2 - г>2/3]Ф(*), (11)

где третье слагаемое описывает кривизну изогнутой поверхности пластины в направлении оси У при колебаниях. В данном случае вариационная задача равносильна связанной системе трех обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с соответствующими граничными условиями. Частоты преимущественно крутильных и преимущественно изгибных колебаний пластины можно представить в виде (9) и (10), но безразмерные частоты кпт и кпв есть функции кпТ = Кв = = Кв^, ¿12,^16,^26), где £*12 = Х>12/(А1 Д22), ¿26 = £>26/(£>22£>66)• Для решения полученной системы применен метод Галеркина. Изучено поведение частот преимущественно изгибных и преимущественно крутильных колебаний при увеличении длины пластины. Доказаны теоремы, аналогичные теоремам 1,2. Полученные асимптотические представления частот преимущественно изгибных и преимущественно крутильных колебаний хорошо стыкуются с результатами вычислений для пластин с большими значениями относительной длины.

В § 3 используется метод Ритца для решения соответствующей вариационной задачи. Форма упругой поверхности представляется в виде

Л'-1 ЛГ-1

«Ъ(я, у) = Сгпп9ш{^п{у),

тп=О п=0

где

<рт(х) = (1 + х)*Р^\х), Му) = Р^°Чу)=Рп(у), х,у€[-1,1].

Применение метода Ритца с большим числом координатных функций позволило не только уточнить величины частот изгибно-крутильных колебаний, но также получить частоты и формы колебаний, не описываемых простыми моделями деформирования (6) и (11). Показано хорошее соответствие с опубликованными расчетными и экспериментальными данными. Проведен анализ влияния угла армирования на частоты изгибно-крутильных колебаний консольных пластин с различной относительной длиной. Показано,

что связанность форм колебаний не только влияет на величину частоты, но и качественно изменяет характер колебаний для взаимодействующих частот (результаты приведены на графиках); с ростом относительной длины пластины увеличивается число трансформируемых мод колебаний.

В § 4 исследуются затухающие колебания пластины с использованием принципа упруго-вязкоупругого соответствия. В данном случае для нахождения комплексных корней частотного уравнения применяется метод итераций третьего порядка точности. Изучено влияние угла армирования на коэффициенты механических потерь. Рассмотрено влияние связанности изгибно-крутильных колебаний и трансформации мод на величину коэффициентов механических потерь. Показано, что анализ величины коэффициента механических потерь может оказаться полезным при идентификации форм колебаний.

Глава 3 посвящена методам вычисления собственных частот и коэффициентов механических потерь слоистых анизотропных пластин на основе уточненной теории пластин Рейснера-Миндлина.

В § 1 рассмотрен случаи симметричной консольной пластины как частный случай общей задачи. Полученная вариационная задача решается с помощью метода Ритца. Проведенное сопоставление расчетных значений собственных частот для пластин из углепластика, полученных на основе теории тонких анизотропных пластин и уточненной теории пластин Рейснера-Миндлина, подтверждает необходимость использования уточненной теории для анализа поведения слоистых пластин из ПКМ.

В § 2 описывается применение метода Ритца для решения вариационной задачи (3).

В § 3 показана достоверность разработанной математической модели, а также сходимость предложенного алгоритма вычислений. Получены значения собственных частот и коэффициентов механических потерь пластин с различной относительной толщиной. Приведенные на графиках результаты демонстрируют существенное влияние деформаций поперечного сдвига на значение собственных частот и коэффициентов механических потерь.

Глава 4 посвящена описанию колебаний макронеоднородных трехслойных пластин, состоящих из двух жестких и одного мягкого слоев.

В § 1 приведена математическая постановка задачи о собствен-

ных колебаниях трехслойных пластин с вязкоупругим средним слоем. В соответствии с уточненной теорией Рейснера-Миндлина компоненты вектора перемещений жестких слоев (г = 1, 3) описываются выражениями (1). Компоненты вектора перемещений мягкого слоя (г = 2) имеют вид

Щ] = М[2] + г[2]«[2], У{2] = + -[2]/3[2], ТУ[2] = ®[2] + г[2]7[2]

и выражаются через перемещения жестких слоев. Компоненты деформации жестких слоев связаны с перемещениями соотношениями (2). Для мягкого слоя существенными компонентами деформации будут

д1У[2]

дг

Щ2] | д\Ут

дг

ди.

ду

= < е,;

[2]

+

ЗИЛ

[2]

!+ г[2] | ку* 1 • [2] \кхг ) {2]

дг дх

Для описания свободных колебаний трехслойной пластины воспользуемся вариационным принципом Гамильтона. Учитывая гармонический характер колебаний, получим вариационное уравнение

гдеТо=Т0(1)+тМ + Г0СЗ);

<5(Т0 — 1/0) = О,

и0 = иР + и™

и,

(3) о •

(г)

Кинетическая и потенциальная энергии Т^г> и (г — 1, 3) определяется соотношениями (4) и (5). Потенциальная энергия II,□ записывается в виде

[2]

и,

[2] _

01\

[2]

/г2

(ей^+да + ^цда+да]

+

где Л[2] - толщина мягкого слоя; С, Ег - модуль сдвига и модуль упругости материала мягкого слоя. Выражения для кинетической

Г21

энергии Т(\ описывается соотношением

Ч!

[2] 1

ТМ _ —~

2ЛИ

1 1— 12] з«[2]+ З/3[2] + -|17[2]

¿А.

В выражениях для Tq2^ все входящие под знаки интегралов функции уже не зависят от времени.

В § 2 получены значения собственных частот и коэффициентов механических потерь трехслойных пластин с вязкоупругим средним слоем с различной ориентацией волокон в жестких слоях и изучена сходимость предложенного алгоритма вычислений.

В § 3 приведены некоторые числовые характеристики необходимой оперативной памяти компьютера и времени решения рассматриваемых задач. Также обсуждается выбор координатных систем в методе Ритца. Их специальный вид и связь с ортогональными многочленами Якоби позволяют легко находить явное аналитическое представление их производных и вычислять их с помощью простых рекуррентных соотношений, доказанных в соответствующих утверждениях.

В диссертации имеется приложение. В него вынесены определяющие соотношения для монослоя полимерного композиционного материала.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

Иванцова О.Н. Некоторые методы определения собственных частот консольных пластин из композитов // Ред. ж. Вестн. С.-Петерб. ун-та. Мат., мех., астр. СПб., 1997. Деп. в ВИНИТИ 08.08.97, № 2369-В97. 38 с.

Иванцова О.Н. Определение собственных частот консольных пластин из композитов // Вестн. С.-Петсрб. ун-та. Сер. 1. 1998. Вып. 1. № 1. С. 10-15.

ЛР №040815 от 22.05.97 Подписало в печать 06.07.98. Формат 60x90 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 414. Отдел оперативной полиграфии ПИИХ СПбГУ, 198904, СПб, Старый Петергоф, Университетский пр., 2

Глава 1. Уравнения движения квазиоднородных слоистых анизотропных пластин из полимерных композиционных материалов

Глава 2. Методы вычисления собственных частот и коэффициентов механических потерь тонких слоистых анизотропных пластин на основе классической теории

§ 1. Двучленное представление приближенного решения

§ 2. Трехчленное представление приближенного решения

§ 3. Применение метода Ритца.

§ 4. Затухающие колебания.

Глава 3. Методы вычисления собственных частот и коэффициентов механических потерь слоистых пластин на основе уточненной теории

§ 1. Симметричная пластина Рейснера-Мин длина.

§ 2. Пластина Рейснера-Мин длина. Общий случай.

§ 3. О достоверности разработанной математической модели и сходимости метода решения.

Глава 4. Колебания макронеоднородных трехслойных пластин

§ 1. Постановка задачи о собственных колебаниях трехслойных пластин с вязкоупругим средним слоем.

§ 2. Решение задачи о собственных колебаниях трехслойных пластин с вязкоупругим средним слоем.

§ 3. О выборе координатных систем и некоторых характеристиках численных алгоритмов.

Современные полимерные композиционные материалы (ПКМ),. обладающие высокими удельными значениями прочности и жесткости, широко используются в современной технике (авиастроение, судостроение, автомобилестроение, радиотехника и т.д.). Характерной особенностью ПКМ является анизотропия их физико-механических свойств в плоскости укладки слоев армирующего материала, что, с одной стороны, существенно усложняет расчет и проектирование конструкций из них, а с другой - позволяет создавать изделия с управляемыми (регулируемыми) свойствами. Одним из примеров подобных технических решений является создание несущих плоскостей крыльев самолетов и лопастей вертолетов с саморегулирующимся углом атаки, позволяющих избегать флаттера за счет оптимального армирования.

Растущий интерес к демпфирующим конструкциям из полимерных композиционных материалов (ПКМ) стимулирует разработку методов определения их собственных частот и коэффициентов механических потерь. Этот интерес обусловлен в первую очередь тем, что диссипативные свойства конструкционных ПКМ значительно превосходят аналогичные характеристики подавляющего большинства металлов и сплавов и могут быть использованы в качестве параметров проектирования конструкций с заданными свойствами. При создании ПКМ и изделий из них важнейшее значение имеет прогнозирование упругих и диссипативных характеристик конструкций по известным свойствам монослоев. Для этого необходимо располагать полным набором упругих и диссипативных характеристик материалов монослоев, компонуемых в конструкцию. Вопросы определения полного набора комплексных модулей получили достаточное освещение в современной литературе [18, 32, 33, 51, 75, 76, 94]. Определенный прогресс в этом направлении достигнут для элементов конструкций, состоящих из жестких конструкционных ПКМ [13 - 17, 40, 52, 60, 64, 69, 101].

При переходе к слоистым конструкциям, состоящим из совокупности жестких и мягких слоев, ситуация становится еще сложнее и автору известны лишь несколько работ, посвященных исследованию их затухающих колебаний [68, 80, 92, 93, 95, 97]. Ни в одной из указанных работ не были учтены эффекты трансверсального сжатия, учет которого позволит более полно выявить особенности поведения указанных конструкций. Учитывая сложность поставленной задачи, естественно выбрать объект исследования, с одной стороны, максимально простой, с другой - учитывающей все характерные особенности исследуемого явления.

В качестве такого объекта в настоящей работе рассматривается трехслойная пластина, состоящая из двух жестких слоев, каждый из которых, в свою очередь, состоит из пакета анизотропных монослоев, и мягкого слоя из изотропного вязкоупругого материала.

Предлагаемые в работе методы вычисления собственных частот и форм колебаний как квазиоднородных слоистых анизотропных пластин из ПКМ, так и макронеоднородных трехслойных пластин, состоящих из двух жестких и одного мягкого слоев, а также построение асимптотики спектра при неограниченном возрастании длины пластины весьма актуальны как в теоретическом, так и чисто прикладном отношении.

Приведем краткий обзор содержания диссертации. Работа состоит из четырех глав, разбитых на десять параграфов, одного приложения и списка литературы, В приложение вынесены определяющие соотношения для монослоя полимерного композиционного материала. Нумерация теорем, утверждений и таблиц сквозная, порядок ссылок на формулы и рисунки определяется двумя числами.

Первое число указывает номер главы, второе — номер формулы или рисунка в главе. Список литературы состоит из 103 названий, которые упорядочены по алфавиту, сначала русские, а затем иностранные.

В начале первой главы приведен обзор литературы, посвященной описанию колебаний квазиоднородных слоистых анизотропных пластин из ПКМ. Для построения математической модели собственных колебаний таких пластин используется уточненная теория Рейсне-ра-Миндлина, а также результаты и методы известных работ [1, 2, 9, 20, 24, 27, 28, 29, 48]. Получена общая вариационная задача, решением которой и будут соответствующие собственные частоты и формы колебаний пластины.

Во второй главе изучается тонкая симметричная анизотропная пластина, уравнения движения которой получены в предположении справедливости гипотез Кирхгофа-Лява. Полученная вариационная задача является частным случаем общей вариационной задачи, рассмотренной в первой главе. В первом параграфе изучается двучленное представление приближенного решения вариационной задачи. Для ее решения используется интегральное преобразование Лапласа. Также изучаются связанные изгибно-крутильных колебания пластины, получены многочисленные результаты, представленные на рис. 2.2 - 2.4. Особое внимание уделяется изучению поведения частот связанных изгибно-крутильных колебаний при неограниченном возрастании длины пластины. Получены асимптотические представления частот преимущественно изгибных и преимущественно крутильных колебаний при увеличении длины пластины. Во втором параграфе рассматривается трехчленное представление приближенного решения вариационной задачи, для ее решения используется метод Галеркина. Аналогично первому параграфу изучено поведение частот преимущественно изгибных и преимущественно крутильных колебаний при увеличении длины пластины. В третьем параграфе используется метод Ритца для решения соответствующей вариационной задачи, что позволяет произвести расчеты частот для пластин, характеризуемых большими значениями относительной длины, и подтвердить полученные ранее асимптотические представления частот преимущественно изгибных и преимущественно крутильных колебаний при увеличении длины пластины. В четвертом параграфе описаны затухающие колебания вязкоупру-гих анизотропных пластин из ПКМ. Для построения математической модели колебаний используется принцип упруго-вязкоупругого соответствия в линейной теории вязкоупругости. Также получены значения коэффициентов механических потерь тонов колебаний пластин с различной относительной длиной (рис. 2.11 - 2.13).

Третья глава посвящена расчету собственных частот и коэффициентов механических потерь слоистых анизотропных пластин на основе уточненной теории Рейснера-Миндлина. В первом параграфе рассмотрен случай симметричной консольной пластины, полученная вариационная задача решается с помощью метода Ритца. Проведенное сопоставление расчетных значений собственных частот для пластин из углепластика, полученных на основе теории тонких анизотропных пластин и уточненной теории пластин Рейснера-Миндлина (табл. 3), подтверждает необходимость использования уточненной теории для анализа поведения слоистых пластин из ПКМ. Во втором параграфе описывается применение метода Ритца для решения общей вариационной задачи, полученной в первой главе. В третьем параграфе показана достоверность разработанной математической модели (табл. 6, 7), а также сходимость предложенного алгоритма вычислений (табл. 8). Получены значения собственных частот и коэффициентов механических потерь пластин с различной относительной толщиной (рис. 3.1, 3.2).

Четвертая глава посвящена описанию колебаний макронеодно-родных трехслойных пластин, состоящих из двух жестких и одного мягкого слоев. Для каждого из жестких слоев учитывается влияние деформаций сдвига в соответствии с теорией Рейснера-Миндлина. Полученная вариационная задача решается с использованием метода Ритца. Изучена сходимость предложенного алгоритма вычислений (табл. 9), а также получены значения собственных частот и коэффициентов механических потерь трехслойных пластин с вязкоупругим средним слоем с различной ориентацией волокон в жестких слоях (рис. 4.5 - 4.8).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [102, 103].

1. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин. М., 1987. 360 с.

2. Бердичевский B.JI. Вариационные принципы механики сплошной среды. М., 1983. 448 с.

3. Библиотека алгоритмов / под ред. М.И.Агеева. 1516 2006. М., 1981. 184 с.

4. Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости. М., 1965. 200 с.

5. Болотин В.В. К теории слоистых плит // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1963. № 3, С. 65-72.

6. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М., 1980. 375 с.

7. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М., 1987. 542 с.

8. Винсон Ж.Р., Сираковский P.JI. Поведение конструкций из композитных материалов. М., 1991. 264 с.

9. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., 1967. 576 с.

10. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М., 1977. 440 с.

11. Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций. JI., 1977. 184 с.

12. Даугавет И.К. Приближенное решение линейных функциональных уравнений. JL, 1985. 224 с.

13. Екельчик B.C., Рябов В.М. Применение различных методов определения собственных частот и демпфирования консольных пластин из композитов. 3. Метод Ритца // Механика композитных материалов. 1997. Т. 33. № 2. С. 215-225.

14. Зиновьев П.А., Ермаков Ю.Н, Анизотропия диссипативных свойств волокнистых композитов // Механика композитных материалов. 1985. № 5. С. 816-825.

15. Ионов A.B. Математические модели сложных демпфированных конструкций / Материалы семинара "Борьба с вибрациями машин и установок", JL: ЛДНТП. 1983. С. 23-28.

16. Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. M.-JI., 1962. 708 с.

17. Капанья Р.К., Рачити С. Последние достижения в исследованиях слоистых балок и пластин. Часть I: Влияние сдвигов на устойчивость // Аэрокосмическая техника. 1990. № 5. С. 43-57.

18. Капанья Р.К., Рачити С. Последние достижения в исследованиях слоистых балок и пластин. Часть II: Колебания и распространение волн // Аэрокосмическая техника. 1990. № 5. С. 58-73.

19. Карпов A.B. Вынужденные колебания трехслойной пластины с несущим слоем с учетом рассеяния энергии колебаний в материале слоев II Изв. выс. уч. заведений., Авиационная техника. 1966. № 1.

20. Коллатц JI. Задачи на собственные значения с техническими приложениями. М., 1962. 504 с.

21. Коша А. Вариационное исчисление. М., 1983. 279 с.

22. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М., 1982. 334 с.

23. Ланцош К. Вариационные принципы механики. М., 1965. 408 с.

24. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М., 1977. 416 с.

25. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М., 1957. 463 с.

26. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М., 1970. 512 с.

27. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М., 1966. 432 с.

28. Немировский Ю.В. Рациональные и оптимальные проекты гибридных композитных оболочек и пластин // Труды XVIII между-нар. конф. по теории оболочек и пластин, 29.09-04.10.97. Саратов. Т. 1-3. С. 147-151.

29. Немировский Ю.В., Янковский А.П. О влиянии структуры армирования на напряженно-деформируемое состояние и податливость оболочек и пластин // Труды XVIII междунар. конф. по теории оболочек и пластин, 29.09-04.10.97. Саратов. Т. 1-3. С. 152-161.

30. Полак Л.С. Вариационные принципы механики, их развитие и применение в физике. М., 1960. 599 с.

31. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М., 1977. 384 с.

32. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М., 1985. 590 с.

33. Рефилд JI.B., Мэрти П.Л.Н. К построению новой технической теории изгиба: основные предпосылки // Ракетная техника и космонавтика, 1982. № 6. С. 82-90.

34. Рэлей (Стретт Дж.В.) Теория звука т. 1. М., 1955. 503 с.

35. Рэлей (Стретт Дж.В.) Теория звука т. 2. М., 1955. 475 с.

36. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М., 1971. 552 с.

37. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 4, ч. 1. М., 1974. 336 с.

38. Стренг Г., Фикс Д. Теория метода конечных элементов. М., 1977. 351 с.

39. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М., 1976. 328 с.

40. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле М., 1959. 439 с.

41. Уилкинсон Д.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М., 1970. 564 с.

42. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М., 1988. 352 с.

43. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М., 1989. 655 с.

44. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. М., 1989. 288 с.

45. Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума или решения изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле. M.-JL, 1934. 600 с.

46. Adams R.D., Bacon D.G. Measurement of the flexurat damping capacity and dynamic modulus of metal and reinforced plastics // J. of Phys. D.: Appl. Phys. 1978. Vol. 6. P. 27-41.

47. Barkanov E., Gassan E. Frequency response analysis of laminated composite beams j j Mechanics of Composite Materials. 1994. Vol. 30. № 5. P. 664-674.

48. Bert C.W. Research on dynamic behavior of composite and sandwich plates // Shock and Vibration Digest. 1985. Vol. 17. P. 3-15.

49. Bronowicki A.)., Diaz H.P. Analysis, optimization, fabrication and test of composite shells with embedded viscoelastic layers // Proc. of Damping '89, Feb. 8-10, 1989. West Palm Beach, Florida.

50. Crawley E.F. The natural modes of graphite/epoxy cantilever plates and shells // J. of Composite Materials. 1979. Vol. 13. P. 195-205.

51. Crawley E.F., Dugundji J. Frequency determination and non-di-mensionalization for composite cantilever plates // J. of Sound and Vibration. 1980. Vol. 72. № 1. P. 1-10.

52. Dahlquist G. On summation formulas due to Plana, Lindelof and Abel, and related Gauss-Christofell rules, II // BIT Numerical Mathematics. 1997. Vol. 37. № 4. P. 804-832.

53. Gorman D.J. Free vibration analysis of rectangular plates. N.-Y., 1982. 324 p.

54. Jensen D.W., Crawley E.F. Frequency determination techniques for cantilevered plates with bending-torsion coupling // AIAA Journal. 1984. Vol. 22. № 3. P. 415-420.

55. Kerwin E. Damping of flexural waves by a constrained viscoelastic layer // J. of Acoustic Society of America. 1959. Vol. 31. P. 952-962.

56. Koch R.M. A Ritz solution for cantilever, doubly skewed, helicoidal parallelepepids using orthogonal displasment functions // Int. J. of Acoustic and Vibration. 1997. Vol. 2. № 2. P. 51-57.

57. Koo K.N., Lee I. Vibration and damping analysis of composite laminates using shear deformable finite element // AIAA Journal. 1993. Vol. 31. № 4. P. 728-735.

58. Leissa A.W. Advances in vibration, buckling, and postbuckling studies on composite plates // Composite Structures. Applied Science Publishers, London. 1981. P. 312-334.

59. Liao F.S., Su A.C., Hsu T.C.J. Vibration damping of interleaved carbon fiber-epoxy composite beams j j J. of Composite Materials. 1994. Vol. 28. P. 1840-1854.

60. Lin D.X., Ni R.G., Adams R.D. Prediction and measurement of the vibrational damping parameters of carbon and glass fibre-reinforced plastics plates // J. of Composite Materials. 1984. Vol. 18. № 3. P. 132-152.

61. Maekawa Z., Hamada H., Gotoh A. Design concepts of hybrid composites with high damping and high strength properties // 37th International SAMPE Symposium. March 9-12. 1992. P. 100-114.

62. Mottram J.T. Flexural testing of general multi-layered composites // J. of Composite Materials. 1991. Vol. 25. P. 1108-1126.

63. Narita Y., Leissa A.W. Frequencies and mode shapes of cantilevered laminated composite plates // J. of Sound and Vibration. 1992. Vol. 154. № 1. P. 161-172.

64. Ni R.G., Adams R.D. A rational method for obtaining the dynamic mechanical properties of laminae for predicting the stiffness and damping of laminated plates and beams // Composites. 1984. Vol, 15. № 3. P. 193-199.

65. Ni R.G., Adams R.D. The damping and dynamic moduli of symmetric laminated composite beams Theoretical and experimental results j / J. of Composite Materials. 1984. Vol. 18. № 3. P. 104-121.

66. Pagano N.J., Soni S.R. Global-local laminate variational model j j Int. J. of Solids and Structures. 1983. Vol. 19. № 3. P. 207-228.

67. Peijs A.A.J.M., Venderbosch R.W. Hybrid composites based on polyethylene and carbon fibres. Part IV. Influence of hybrid design on impact strength j j J. of Materials Science Letters. 1991. Vol. 10.P. 1122-1124.

68. Rajalingham C., Bhat R.B., Xistris G.D. Vibration of rectangular plates using plate characteristic functions as shape functions in the Rayleigh-Ritz method // J. of Sound and Vibration. 1996. Vol. 193(2). P. 497-509.

69. Rao M.D., He S. Dynamic analysis and design of laminated composite beams with multiple damping layers // AIAA Journal. 1993. Vol. 31. № 4. P. 736-745.

70. Reddy J.N. A review of the literature of finite-element modelling of laminated composite plates and shells j j Shock and Vibration Digest. 1983. Vol. 15.

71. Reddy J.N. A review of the literature of finite-element modelling of laminated composite plates // Shock and Vibration Digest. 1985. Vol. 17. P. 3-8.

72. Reddy J.N. A simple higher-order theory for laminated composite plates // J. of Applied Mechanics. 1984. Vol. 51. P. 745-752.

73. Reddy J.N. Geometrically nonlinear transient analysis of laminated composite plates // AIAA Journal. 1983. Vol. 21. P. 621-629.

74. Reddy J.N., Chao W.C. A comparison of closed-form and finite-element solutions of thick laminated anisotropic rectangular plates // Nuclear Engineering Designs. 1981. Vol. 64. P. 153-167.

75. Reddy J.N., Kuppusamy T. Natural vibrations of laminated anisotropic plates // J. of Sound and Vibrations. 1984. Vol. 94. № 1. P. 63-69.

76. Rehfield L.W., Valisetty R.R. A comprehensive theory of planar bending of composite laminates j j Composite Structures. 1983. Vol. 2. P. 441.

77. Reissner E. The effect of transverse-shear deformation on the bending of elastic plates // J. of Applied Mechanics. 1945. Vol. 12. № 2. P. 69-77.

78. Reissner E., Stein M. Torsion and transverse bending of cantilever plates // NACA TN 2369. 1951.

79. Rikards R., Chate A., Bledzki A.K., Kushnevsky V. Numerical modelling of damping properties of laminated composites f f Механика композитных материалов. 1994. Т. 30. № 3. С. 359-371.

80. Rotz С.A., Barrett D.J. Cocured damping layers in composite structures // 23rd Internat. SAMPE Technical Conference. October 21-24. 1991. P. 352-363.

81. Saravanos D.A. Analysis of passive damping in thick composite structures // AIAA Journal. 1993. Vol. 31. № 8. P. 1503-1510.

82. Saravanos D.A. Integrated damping mechanics for thick composite laminates and plates // Transactions of the ASME. J. of Applied Mechanics. 1994. Vol. 61. P. 375-382.

83. Saravanos D.A., Chamis C.C. Unified micromechanics of damping for unidirectional and off-axis fiber composite // J. of Composite Technology к Research. 1990. Vol. 12. № 1. P. 31-40.

84. Saravanos D.A., Pereira J.M. Effects of interply damping layers on the dynamic characteristics of composite plates // AIAA Journal. 1992. Vol. 30. № 12. P. 2906-2913.

85. Sun C.T., Rechak S. Effect of adhesive layers on impact damage in composite laminates // Composite Materials: Testing and Design, 8th Conference. ASTM STP 972. Whitcomb J. D., Ed., American Society for Testing and Materials. 1988. P. 97-123.

86. Taylor T.W., Nayfeh A.H. Damping characteristics of thick rectangular laminates // J. of Acoustical Society of America. 1996. Vol. 100. № 3. P. 1561-1570.

87. Whitney J.M., Browning C.E., Mair A. Analysis of the flexure test for a laminated composite materials jj Composite Materials: Testing and Design, 3rd Conference. ASTM STP 546. American Society for Testing and Materials. 1974. P. 30-45.

88. Willway T.A., White R.G. The effects of matrix complex moduli on the dynamic properties of CFRP laminae // Composite Science and Technology. 1989. Vol. 36. № 1. P. 77-94.

89. Yarlagadda S., Lesieutre G. Fiber contribution to modal damping of polymer matrix composite panels j j J. of Spacecraft and Rockets. 1995. Vol. 32. № 5. P. 825-831.

90. Иванцова O.H. Некоторые методы определения собственных частот консольных пластин из композитов // Ред. ж. Вестник СП6ГУ. Мат., мех., астр. СПб., 1997. Деп. в ВИНИТИ 08.08.97, № 2369-В97. 38 с.

91. Иванцова О.Н. Определение собственных частот консольных пластин из композитов j j Вестник СПбГУ. Сер. 1. 1998. Вып. 1. № 1. С. 10-15.