Метрические и топологические особенности стохастической динамики низкоразмерных нелинейных систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

43 V

^ НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

^ЙАУкЬбО-ТЕХНОЛОГІЧНИЙ КОНЦЕРН “ІНСТИТУТ МОНОКРИСТАЛІВ

^ ІНСТИТУТ МОНОКРИСТАЛІВ

ч

ДЕНИСОВ СЕРГІЙ ВАДИМОВИЧ

УДК 530.182

МЕТРИЧНІ ТА ТОПОЛОГІЧНІ ОСОБЛИВОСТІ СТОХАСТИЧНОЇ ДИНАМІКИ НИЗЬКОВИМІРНИХ НЕЛІНІЙНИХ СИСТЕМ.

01.04.02 - "теоретична фізика"

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-матемагичних наук

ХАРКІВ-2000

Робота виконана у Харківському національному університеті.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук,

Усатенко Олег Вікторович, доцент кафедри теоретичної фізики Харківского національного університету.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

Ямпольський Валерій Олександрович,

провідний науковий співробітник Інституту радіофізики та електроніки ім. О. Я. Усікова НАН України;

кандидат фізико-математичних наук, Вірченко Юрій Петрович, старший науковий співробітник Інституту монокристалів НАН України.

Провідна установа: ННЦ “Харківський фізико-технічний інститут”,

Інститут теоретичної фізики, відділ теоретико-групових властивостей елементарних частинок та нелінійної дінамики.

Захист відбудеться " -ШрАуд 2000 р. 0/7 год. на засіданні

спеціалізованої Вченої ради Д64.169.01 Інституту монокристалів НАН України за адресою: 61001, м. Харків, пр. Леніна, 60, актовий зал.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту монокристалів НАН України.

Автореферат розісланий " /" 2000 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, кандидат технічних наук

Атрощенко Л.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Теорія динамічного хаосу є одним із домінуючих напрямків сучасної фізики нелінійних коливань, який розвивається найбільш інтенсивно. Це визначається як великим теоретичним інтересом до проблем цієї галузі нелінійної динаміки з точки зору застосування математичних та теорфізичних методів, так і важливістю прикладних аспектів.

Останнє пов’язано з тим, що стохастичні рухи в детермінованих нелінійних системах так само типові, як і регулярні, і саме тому вивчення умов і закономірностей виникнення хаотичних режимів, а також їх властивостей і характеристик є важливою в практичному відношенні задачею. За нашого часу методи і результати теорії динамічного хаосу використовуються в багатьох галузях теоретичної фізики (термодинаміці, квантовій механіці), радіофізиці, біофізиці, математичній економіці, сейсмології, теорії зв’язку та інших галузях природознавства.

Багато фізичних явищ можуть бути описані як процеси взаємодії декількох динамічних систем. Кооперативна поведінка систем, яка виникає в ході такої взаємодії, характеризується наявністю цікавого класу явищ, котрі формально визначаються як явища синхронізації.

В останні роки стало зрозумілим, що явища синхронізації поширюються на хаотичні динамічні системи [І]- Хаотична синхронізація експериментально спостерігалась в багатьох фізичних, радіоелектронних та біологічних системах і, аналогічно випадку регулярної періодичної (квазіперіодичної) синхронізації, було доведено, що системи, які характеризуються стохастичною поведінкою, переходять з режиму незалежних хаотичних коливань до режиму ідентичних хаотичних коливань при збільшенні зв’язку між ними [1].

Найбільш детально до теперішнього часу вивчені режими повної хаотичної синхронізації, які виникають у випадках, коли взаємодіючі системи ідентичні. Проте, як з наукової , так і з практичної точок зору значний інтерес викликають ефекти, що виникають при взаємодії неідентичних систем. У цьому випадку режим повної синхронізації є окремим випадком і займає малу область у просторі параметрів. У роботі [2] було запропоновано поняття узагальненої хаотичної синхронізації (УС), яке використовує ідею відображення (функції), що зв’язує фазові траєкторії взаємодіючих систем. З функціональної точки зору, перехід до режиму УС означає ефективне зниження розмірності повного фазового простору зв’язаних систем.

Незважаючи на велику кількість експериментальних результатів, формальні та математичні аспекти теорії УС розвинені до теперішнього часу недостатньо повно. Однією з центральних проблем є проблема аналітичного і експериментального визначення властивостей відображення, яке зв’язує фазові траєкторії взаємодіючих систем, таких, наприклад, як диференційованість (визначає рівність метричних характеристик) га неперервність (визначає рівність топологічних інваріантів) [3]. Для розв’язання цієї задачі доцільно використати методи теорії функціональних відображень, ставлячи при цьому у відповідність режимам УС відповідні елементи функціонального простору. .

Крім цього, важливе значення мають методи здобуття інтегральних метричних оцінок динаміки хаотичних систем. Ефективним методом розв’язку цієї задачі є формалізм символічної динаміки , який дозволяє перейти від детального розгляду траєкторій у фазовому просторі до аналізу статистичних властивостей відповідних символічних послідовностей. Вивчення кореляційних та частотних якостей таких послідовностей дозволяє отримати нові характеристики і закономірності відповідної хаотичної динамічної системи.

Теоретичному розгляду цих питань і присвячена дана дисертаційна робота.

Виконана робота пов’язана з дослідженнями, які проводяться в Інституті монокристалів НАН України за темою “Хаос-2” -“Дослідження нерівноважних фазових пергворень у конденсованих середовищах’’ (номер державної реєістрації 019811004257).

Мета та основні завдання роботи. Основною метою даної дисертаційної роботи є дослідження режимів УС, які виникають при взаємодії низькорозмірних нелінійних систем, а також розвиток формалізму символічної динаміки для здобуття нових метричних характеристик хаотичних динамічних станів.

Для досягнення цієї мети розв'язувалися такі основні задачі:

1. Дослідження метричних та топологічних особливостей переходу до режимів узагальненої синхронізації у випадку топологічно нееквівалентних атракторів.

з

2. Побудова класифікації режимів УС на основі метричних і топологічних властивостей відображень з використанням методів теорії функціональних рівнянь та функціонального аналізу.

3. Отримання метричних і топологічних характеристик режимів УС за допомогою спектра локальних показників Ляпунова (ЛПК) і методу допоміжної системи.

4. Дослідження дивних нехаотичних атракторів (ДНА) [4] як режимів УС. Для цього використовувались чисельні та аналітичні методи дослідження функціональних рівнянь з метою аналізу умов та закономірностей утворення ДНА.

5. Застосування термодинамічного формалізму для вивчення інтегральних властивостей символічних послідовностей. Дослідження динаміки низькорозмірних хаотичних дисипативних систем, а також режимів УС методами частотного аналізу символічних траєкторій.

Наукова новизна. У дисертаційній роботі детально досліджено особливості переходу до режиму узагальненої синхронізації у випадку топологічно нееквівалентних атракторів. Знайдено достатній критерій лінійної стійкості синхронізованих режимів. Доведено, що такий перехід має універсальний біфуркаційний характер і пов’язаний з народженням у фазовому просторі нових синхронізованих атракторів. Вперше побудована ієрархія режимів УС на підставі властивостей диференційованості і неперервності відображень, які зв’язують фазові простори взаємодіючих хаотичних систем. Для досягнення цієї мети уперше для вивчення УС використані методи теорії функціональних відображень та рівнянь, а саме оператор Ріда-Бар’яктаревича. Доведено, що тип синхронізації визначається наявністю та типом особливих точок у відображенні.

Вперше доведено, що ДНА, які досліджувалися, головним чином, при квазіперіодичному збудженні нелінійних систем, є частинним випадком синхронізованих режимів, що виникають на більш широкому класі відображень. При цьому ДНА можуть бути конструктивно розглянуті у. межах розширеного формалізму УС, який містить в собі випадок розривних відображень. Вперше обгрунтовано зв’язок між властивостями спектра умовних локальних показників Ляпунова і типом режиму УС.

Вперше показано, що термодинамічний формалізм символічної динаміки може бути використаний для вивчення властивостей символічних послідовностей, які мають складну ієрархічну структуру. У межах термодинамічного формалізму запропоновано частотний

підхід до символічної динаміки, який може бути застосовано для отримання метричних характеристик дивних негіперболічних атракторів.

Практичне значення одержаних результатів. Одержані умови виникнення різноманітних режимів УС при взаємодії нелінійних хаотичних відображень, а також опрацьовані функціональні методи вивчення властивостей синхронізованих атракторів, які дозволяють одержувати нові методи управління динамікою складних метасистем, складених із декількох підсистем, що мають хаотичну динаміку, а також алгоритми контролю процесів, які в них відбуваються. Ці методи можуть бути реалізовані для створення систем зв’язку, генерації сигналів складноі форми, генерації шумових коливань з потрібними характеристиками, управління радіофізичними та біологічними системами. Подальше узагальнення результатів даної роботи дозволить одержати ефективні методи контролю просторово-часового хаосу, який виникає в багатокомпонентних хімічних системах, ланцюгах лазерів, поширених біологічних системах.

Застосування методів частотного аналізу символічних послідовностей також дозволяє одержувати нові методи обробки реалізацій складних систем різної природи, а також інтегральні характеристики їх динаміки.

Загальність одержаних в дисертаційній роботі результатів та розроблених методів дозволяє використовувати їх для подальшого розвитку формалізму хаотичної синхронізації і теорії динамічного хаосу в цілому.

Особистий внесок здобувача. Здобувачем вченого ступеня була виконана робота по структуризації теми дослідження - сформульовані окремі задачі, розв’язок яких дозволяє ефективно досягти мети дисертаційного дослідження. А саме, задача дослідження була розподілена здобувачем на наступні окремі проблеми: дослідження виникнення режиму УС у випадку топологічно нееквівалентних атракторів, дослідження властивостей диференційованості і неперервності відображень, які виникають при УС, дослідження режимів ДНА, побудова розширеного термодинамічного формалізму символічної динаміки.

Особистий внесок здобувача складається із виконання усіх розрахунків у роботах [1-4], формулювання задач, проведення

теоретичних і чисельних досліджень та написання робіт [1,3]; створення моделі та участі в формулюванні висновків у роботах [1-6]; постановці задачі та написання робіт [5-6].

доповідались на 7 і 8 Міжнародних конференціях “СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии” (м. Севастополь, Україна, 1997 и 1998 pp.); Міжнародній школі “Complex Phenomena and Pattern Formation” (Інститут Макса Планка фізики складних систем, м.Дрезден, ФРН, 1999 p.); а також на ряді наукових семінарів у Харківському національному університеті та Інституті монокристалів НАН України.

Публікації. Основний зміст дисертації опубліковано в 4 друкованих статтях. Докладні посилання на указані роботи наведені в кінці автореферату.

вступу, трьох розділів основного тексту, висновків і списку літератури. Загальний обсяг дисертаційної роботи становить 122 сторінки, у тому числі 31 малюнок та бібліографія з 131 найменування.

У вступі обгрунтована актуальність теми і стисло відображено сучасний стан питання, що розглядається, сформульована мета і задачі досліджень, наукова новизна і практична цінність здобутих результатів, а також стисло викладено зміст дисертації.

У першому розділі проведено теоретичне і чисельне дослідження режимів УС у випадку нееквівалентних хаотичних динамічних систем. Розглянуто випадок “керуюча система - керована система” виду:

Основні результати дисертаційної роботи

обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із

ЗМІСТ РОБОТИ

х = Г(х)

y=G(y) + //(x-y)

Розглянуті метричні особливості переходу до режиму узагальненої синхронізації в системі “ атрактор Реслера (керувальна система х) - атрактор Лоренца (керована система у)”. Показано, що такий перехід має біфуркаційний характер, який пов’язаний з народженням поблизу нерухомих нестійких точок атрактора Лоренца синхронізованих атракторів. Аналітично знайдений достатній критерій стійкості траєкторії на синхронізованому многовиді:

Ке[А,]<0, (2)

де А,- власне значення матриці А = (вуС^-/Д з найбільшою дійсною

частиною, І - одинична матриця, - якобіан Є відносно у, а (•)

означає усереднення по інваріантній мірі. Той факт, що синхронізовані атрактори локалізовані поблизу нерухомих точок і мають надто малі (в порівнянні з розмірами власного атрактора керованої системи) розміри, дозволяє замінити інваріантну міру діраковською мірою нерухомих точок і отримати чисельну оцінку значення парметру зв’язку // , при якому діється перехід до режиму узагальненої синхронізації. Показано, що це значення добре узгоджується з чисельним значенням, яке отримане шляхом апроксимації скейлінгових співвідношень.

Використовуючи набір систем, що мають у фазовому просторі дивні хаотичні атрактори, показано, що перехід до режиму узагальненої синхронізації носить універсальний характер і визначається топологічною структурою фазового простору керованої системи.

Проведено топологічний аналіз синхронізованих атракторів, що відповідають режиму узагальненої синхронізації. В рамках формалізму символічної динамики, використовуючи метод символічної площини, були знайдені інтегральні топологічні інваріанти синхронізованих атракторів - нідінг-послідовності , які співпали з нідінг-послідовністю атрактора керувальної системи Реслера. Таким чином, було доказано, що синхронізовані атрактори топологічно еквівалентні атрактору Реслера. Це підтверджено також порівнянням топологічних структур нестійких періодичних орбіт низьких порядків .

У другому розділі побудована ієрархія режимів узагальненої синхронізації на основі властивостей диференційованості і неперервності відображень ф, які пов’язують фазові простори взаємодіючих систем. Використовуючи методи теорії функціональних відображень обгрунтовано зв’язок між метричними і топологічними

властивостями режимів узагальненої синхронізації та спектром локальних показників Ляпунова. Показано, що дивні нехаотичні атрактори, які виявлені раніше при квазіперіодичному збуджені нелінійних систем, можуть бути конструктивно розглянуті як окремий випадок режимів поширеної узагальненої синхронізації, що включає до себе розривні відображення.

Розглянуто режими УС у випадку дискретних відображень, де в якості керуючого вектора вибрано двомірне оборотне перемішуюче відображення типа відображення пекаря:

*.0)

=/Ю=

/2№

¿2)<а

(3)

х?>>й

де а+р = 1 , /х(х),/2(х) -бієкції, такі, що /, = /(/),/2 = /2(/) (/,и/2=/. /, п /2 = 0), де 1 - одиничний інтервал, а в якості керованого -

дискретна версія лінійного фільтру:

Упн = /*У*+Х™ (4)

Використовуючи уявлення про функціональний оператор показано, що існування режимів УС у даному випадку повністю еквівалентно існуванню розв’язку у = ^(х,) відповідного функціонального рівняння:

У^1) = цу{Ь(х1)) + Ь{хх) (5)

де Ь(х) - одномірне відображення, обернене до (3):

' \ дГ ^ і/Г'С*"), *»є[0,я[

Хл+1 = / (Хп)=Ь(Хп)=< _ _

/гХ*»), Хп Є [а,і] (6)

яке є нерухомою точкою відповідного оператора Ф: <?(•) н» иС"> <Р(Ь(')У) = №(К)) + К') ■

В рамках функціонального підходу визначені класи недиференційованої та розривної УС, визначених

недиференційованістю та розривністю функції = Оскільки

відображення (3) лінійне, функція ф може бути подана у вигляді абсолютно збіжного ряду (//<!):

Форма (7) повністю відповідає методу конденсації особливостей Ганкеля. Таким чином, властивість диференційованості і неперервності функції у = <р(х,) визначається типом особливості в точці х{=а відображення (3). Використовуючи уявлення про систему ітерованих функцій (СІФ), побудована відповідна до відображень (3) та (4) СІФ, за допомогою якої знайдено аналітичну залежність фрактальної розмірності кривої у - <р(х{) від значення параметру /л.

Збіг чисельних результатів трьох незалежних підходів -безпосереднього ітерування відображень (3-4), розв’язання функціонального рівняння (5) і використання СІФ, вказує на узгодженість отриманих результатів.

Використовуючи функціональний підхід доведена теорема про умови існування режимів УС, визначеної стисканням відповідного функціонального оператора. Знайдені достатні умови неперервності відображення, грунтуючись на аналізі локальних властивостей відображень, установлено зв’язок між стискуванням і спектром локальних умовних показників Ляпунова

Досліджено випадок нелінійного відображення типу відображення Енона:

(7)

(8)

побудовано відповідне функціональне рівняння:

/>(*) = ИУт(Ь{Ь(х)))-ІАуІІХЬ(х))ут(Ь(х)) + 0.5Ь{х) (9)

якому, в свою чергу, відповідає оператор:

/ мжт) -1 А/ттьо)+0.56(0 •

(10)

У випадку режимів УС, розв'язання рівняння (9) шляхом безпосереднього ітерування відповідного оператору (10) є збіжним процесом, що відповідає існуванню відображення у(1) = <р(хт).

Таким чином, виходячи із властивостей диференційованості і неперервності відображення ф, яке пов’язує фазові простори керуючої

наступна ієрархія режимів УС:

диференційована УС (дУС)Є неперервна УС (нУС) Є поширена УС (пУС)

Досліджено динамічні режими, які пов’язані з існуванням дивних нехаотичних атракторів (ДНА), та їх зв’язок з режимами УС. Показано, що режими ДНА відповідають режимам поширеної УС, яка містить в собі випадок розривних майже всюду за Лебегом функцій. При цьому останні пов’язують гладенький неперервний многовид (¿-вимірний тор Тк) і розривну фрактальну множину Л'(ДНА). Показано, що ДНА можуть виникати не тільки при квазіперіодичному збудженні нелінійних систем і відображень, але й на більш широкому класі керуючих збуджень. При цьому необхідною умовою є наявність розриву у правій частині керувальної системи (відображеня). Обгрунтовано зв’зок між наявністю додатних значень в спектрі ЛУПК та існуванням ДНА.

Визначено місце ДНА в ієрархії режимів УС. Побудовано приклад одномірного нелінійного відображення, де як збудження вибрано нелінійне оборотне відображення, топологічно спряжене до квазіперіодичного . Показано, що в системі має місце режим існування ДНА. Знайдено залежність показника Ляпунова А від параметру взаємодії Є. Показано, що режиму ДНА відповідає флуктуаційна залежність показника А від Є, що збігається з ефектом, виявленим у режимах ДНА з квазіперіодичним збудженням. З динамічної точки зору механізм утворення ДНА визначається конкуренцією між локальними збіжністю та розбіжністю траєкторій у фазовому просторі керованої системи, в ході якої збіжність домінує. Цей процес знаходить своє відображення в спектрі локальних умовних показників Ляпунова.

динаміки хаотичних дисипативних систем. Використовуючи термодинамічний формалізм досліджені властивості послідовностей з кореляціями неінтегрованого типу. Показано, що закономірності, які виявлені при частотному аналізі таких послідовностей (“закон

X є і?* і керованої систем У є Я1 (У = $!(Х); ф :Кк —> Я1), побудована

досліджені метричні особливості символічної

Ципфа”), можуть бути одержані у рамках викладеного формалізму. Одержано співвідношення, яке пов’язує параметр, що характеризує статистичні властивості символічної послідовності (показник Ципфа) та фрактальну розмірність, що характеризує ступінь кореляцій в послідовності. Введено поняття статистичної псевдометрики, визначеної на парі символічних послідовностей. Показано, що у випадку дивних хаотичних атракторів останні можуть бути визначені у межах формалізму символічної динаміки, як множина напівнескінченних символічних послідовностей, для будь-якої пари котрих псевдометрика обертається в нуль. Показано, що статистична псевдометрика може бути ефективно застосована для визначення ізоморфізму атракторів і детектування режимів УС.

У висновках сформульовані основні результати роботи.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

1. Досліджено особливості переходу до режиму узагальненої синхронізації у випадку топологічно нееквівалентних атракторів. Доведено, що цей перехід, на відміну від випадку ідентичної хаотичної синхронізації, має характер універсальної біфуркації, яка пов'язана з народженням у фазовому просторі керованої системи синхронізованих атракторів. Аналітично знайдено достатній критерій лінійної стійкості траєкторій на синхронізованому многовиді, який добре погоджується з чисельними значеннями, які отримані шляхом апроксимації скейлінгових співвідношень. Показано, що механізм переходу до синхронізованого режиму має універсальний характер і визначається топологічною структурою фазового простору керованої системи.

2. Побудовано ієрархію режимів узагальненої синхронізації на основі властивостей диференційованості та неперервності відображень, котрі зв’язують фазові траєкторії керуючої і керованої систем. Використовуючи функціональний підхід, а саме оператор Ріда -Бар’яктаревича, одержано умови виникнення режимів узагальненої синхронізації різних класів. У рамках такого підходу кожен режим асоціюється з відповідною точкою функціонального простору. Використовуючи метод систем ітерованих функцій знайдено точну

аналітичну залежність фрактальної розмірності відображення від параметра зв’язку.

3. Доведено, що дивні нехаотичні атрактори, які виявлені раніше при квазіперїодичному збудженні нелінійних систем та відображень, є режимами поширеної узагальненої синхронізації, які містять в собі випадок розривних майже всюди за Лебегом функцій. Доведено теорему про існування режимів узагальненої синхронізації. Обгрунтовано зв’язок між спектром локальних умовних показників Ляпунова, стисканням відповідного функціонального оператора і типом режиму синхронізації.

4. У межах термодинамічного формалізму символічної динаміки одержано частотний закон Ципфа. Знайдено співвідношення між показником Ципфа, який характеризує статистичну структуру послідовності, та фрактальною розмірністю, яка визначає ступінь подальших кореляцій.

5. Введено поняття статистичної псевдометрики , визначеної на парі напівскінченних символічних послідовностей. Показано, що у межах термодинамічного формалізму символічної динаміки, дивний атрактор може бути визначений як множина символічних траєкторій, на будь-якій парі яких псевдометрика обертається в нуль. Запропоновано новий метод детектування режимів УС з використанням статистичної псевдометрики.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. S. Denisov. Fractal Binary Sequences: Tsallis Thermodynamics and the Zipf Law// Phys. Lett. A. -1997- V.235. - P. 447-451.

2. Денисов С. В., Разумный А. Я. Переход к обобщенной синхронизации: случай неэквивалентных аттракторов // Вестник Харьковского государственного университета (сер. Физика) - 1998,-№417- С.41-45.

3. Денисов С. В. Символическая динамика и статистическая псевдометрика // Вестник Харьковского государственного университета (сер. Физика) - 1998.- №418- С.107-111.

4. Шахбазов В. Г., Гринев Д. В., Денисов С. В. Температура, биоэлектрический потенциал и нелинейная динамика нативной молекулы ДНК // ДАН Украши - 1997 - №4 - С.217-220.

5. Болотов В. Н., Денисов С. В., Новиков В. Е. Борьба аттракторов и управляемый хаос в радиоэлектронных системах // Материалы 7-ой Международной конференции “СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии”,Севастополь, Украина, 15-18 сентября, 1997, Т.1, С.262-263.

6. S. Denisov, Novikov V. Problem of attractors classification and statistical pseudometrics in the space of electromagnetic devices // 19th International conference on high-power electromagnetic “EuroEm'98”, Tel-Aviv, Izrael, June 14-19, 1998, Book of Abstracts, P.198.

СПИСОК ЦИТОВАНОЇ У АВТОРЕФЕРАТІ ЛІТЕРАТУРИ

1. L. М. Pécora, Т. L. Carroll, G. A. Johnson, D. J. Mar, J. F. Heagy. Fundamentals of synchronization in chaotic systems, concepts and applications // Chaos. -1997-V.7 - P.520-543.

2. Афраймович В. С., Веричев Н. Н., Рабинович М. И. Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах // Изв. ВУЗов. Сер. Радиофизика - 1986 - Т.29, № 9 - С.1041-1049.

3. Gilmore R. Topological analysis of chaotic dynamical systems // Rev. Mod. Phys. - 1998 - Y.70, №4 - P.1455-1528.

4. C. Grebogi, E. Ott, S. Pelikan, J. A. Yorke. Strange attractors that are not chaotic // Physica D. - 1984 - V. 13. - P.261-269.

Денисов С. В. Метричні та топологічні особливості стохастичної динаміки низьковимірних нелінійних систем. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02. - теоретична фізика. -Інститут монокристалів НАН України, м. Харків, 2000.

Дисертація присвячена дослідженню метричних та топологічних особливостей режимів узагальненої синхронізації, які виникають при взаємодії низькорозмірних стохастичних нелінійних систем. Досліджено особливості переходу до режимів узагальненої синхронізації у випадку взаємодіючих атракторів, що топологічно нееквівалентні. Побудована ієрархія режимів узагальненої синхронізації на основі властивостей неперервності і диференційованості відображень, які зв’язують фазові простори взаємодіючих систем. Показано, що режими дивних нехаотичних атракторів є режимами поширеної узагальненої синхронізації, які визначаються розривними функціями. Визначено поняття статистичної псевдометрики, яке використовується для здобуття метричних характеристик дисипативних хаотичних систем.

Ключові слова: узагальнена синхронізація, дивний атрактор, умовний показник Ляпунова, символічна динаміка.

Denisov S. V. Metrical and topological peculiarities of lowdimensional nonlinear systems chaotic dynamics. - Manuscript.

Thesis for the scientific degree of candidate of sciences (physics and mathematics), speciality 01.04.02. - theoretical physics. - Institute for Single Crystals of National Academy of Sciences of Ukraine, Kharkiv, 2000.

Thesis address the study of the metric and topological peculiarities of the generalized chaotic synchronization regimes, which arising as the result of interaction of the low-dimensional stochastic nonlinear systems. Complete hierarchy of the generalized synchronization regimes on the basis of the properties of continuity and differentiability of mappings, which couple the phase spaces of the interacting systems, has been constructed. The regimes of strange chaotic attractors have been proved to be those of generalized synchronization, which are determined by the discontinuous functions. The concept of statistical pseudometrics has been defined, which has been used for obtaining metrical characteristics of the dissipative chaotic dynamical systems.

Keywords: generalized synchronization, strange attractor, conditional Lyapunov exponent, symbolic dynamics.

Денисов С. В. Метрические и топологические особенности стохастической динамики низкоразмерных нелинейных систем. -Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук по специальности 01.04.02. - теоретическая физика. - Институт монокристаллов НАН Украины, Харьков, 2000.

Диссертация посвящена исследованию метрических и топологических особенностей режимов обобщенной хаотической синхронизации, возникающих в ходе взаимодействия низкоразмерных нелинейных систем, а также развитию формализма символической динамики для получения новых метрических характеристик хаотических динамических систем.

Исследован переход к режиму обобщенной синхронизации в случае взаимодействия двух диссипативных систем, обладающих топологически неэквивалентными аттракторами. На примере системы “аттрактор Ресслера (управляющая система) - аттрактор Лоренца (управляемая система)“ показано, что переход к режиму обобщенной синхронизации носит характер бифуркации, связанной с рождением вблизи неподвижных точек управляемого аттрактора Лоренца синхронизованных аттракторов. Аналитически найден достаточный критерий линейной устойчивости траекторий на синхронизованном многообразии. Последний хорошо согласуется с оценками, полученными путем аппроксимации скейлинговых соотношений. Используя набор систем, имеющих в своих фазовых пространствах странные аттракторы, показано, что переход к режиму обобщенной синхронизации носит универсальный характер, и определяется топологической структурой фазового пространства управляемой системы. Проведен топологический анализ синхронизованных аттракторов, отвечающих режиму обобщеной синхронизации. Показано, что синхронизованные аттракторы топлогически эквивалентны аттрактору Ресслера. Это также подтверждается анализом неустойчивых периодических орбит низшего порядка.

Построена иерархия режимов обобщенной синхронизации на основе свойств дифференцируемости и непрерывности отображений, связывающих фазовые пространства взаимодействующих систем.

Исследованы режимы обобщенной синхронизации в случае дискретных отображений. В рамках теории функциональных

уравнений, используя понятие сжимающего оператора, действующего в функциональном пространстве - оператора Рида - Баръяктаревича - , показано, что существование режимов обобщенной синхронизации определяется существованием решения соответствующего функционального уравнения. В рамках такого подхода введены классы недифференцируемой и разрывной обобщенной синхронизации, которые определяются свойством недифференцируемости и разрывности функций, связывающих фазовые пространства взаимодействующих систем. Исследованы динамические режимы, связанные с существованием странных нехаотических аттракторов и их связь с режимами обобщенной синхронизации. Используя функциональный подход доказана теорема об условиях существования различных режимов обобщенной синхронизации, определяемых свойством сжимаемости соответствующего оператора. Определены достаточные условия непрерывности функции на основе анализа локальных свойств отображений. Установлена связь между свойством сжимаемости и спектром локальных условных показателей Ляпунова. Показано, что режимы странных нехаотических аттракторов соответствуют режимам расширенной обобщенной синхронизации и принадлежат классу разрывной синхронизации. Показано, что аналогичные структуры могут возникать не только при квазипериодическом возбуждении нелинейных систем, но и на более широком классе возмущений. Обоснована связь между наличием положительных значений в спектре локальных условных показателей Ляпунова и существованием странных нехаотических аттракторов.

Используя понятие обобщенной энтропии построено расширение термодинамического формализма символической динамики на случай последовательностей с дальними корреляциями неинтегрируемого типа. Показано, что закономерности, выявленные при частотном анализе таких последовательностей (“закон Ципфа”), могут быть получены в рамках предложенного формализма. Получено соотношение, связывающее параметр, который характеризует статистические свойства символической последовательности (показатель Ципфа), и фрактальную размерность, которая характеризует степень дальних корреляций в последовательности. Введено понятие статистической псевдометрики, определенной на паре символических последовательностей. В рамках формализма символической динамики, используя это понятие, странный аттрактор может быть определен как

множество символических последовательностей, на любой паре которых псевдометрика обращается в нуль. Показано, что статистическая псевдометрика может быть использована для детектирования режимов обобщенной синхронизации.

Ключевые слова: обобщенная синхронизация, странный аттрактор, условный показатель Ляпунова, символическая динамика.