Межфазный тепломассообмен и динамика возмущений давления в кипящих жидкостях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

Основные обозначения

Введение.

Глава I. АКУСТИКА ПАР01ИДК0СТНСЙ СМЕСИ ПУЗЫРЬКОВСЙ

СТРУКТУРЫ.

1.1. Скорость звука в парожидкостной суспензии, обзор литературы.

1.2. Учет взаимного влкяшш паровых включений на их тепломассообмен с несущей фазой

1.3. Акустические характеристики среды.

1.4. Тепловой поток на межфазной границе.

1.5. Линейные волны в жидкости с пузырьками пара

Глава 2. ДИНАМИКА ПАРОВОГО ПУЗЫРЬКА В ПОЛЕ ПЕРЕМЕННОГО

ДАВЛЕНИЯ.

2.1. Основные уравнения динамики парового пузыря

2.2. Эволюция парового пузырька под действием теплового механизма.

2.3. Влияние подвижности сферической межфазной границы на рост и охлопывание пузырька.

2.4. Схлопывание парового пузырька при совместном действии инерционного и теплового механизмов.

Глава 3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОИН КОНЕЧНСЙ АМПЛИТУДЫ.

3.1. Анализ модельных уравнений.

3.2. Численное моделирование волн давления . ЮГ

Парожидкостные потоки распространены в раде теплоэнергетических установок, в химической технологии; имеют место при транспортировке высоколетучих и сжиженных продуктов. Современный уровень производства ставит задачу разработки газодинамических методов исследования парожидкостных потоков, так как движение таких сред, даже о небольшими скоростями (примерно 50-100 и/с), является трансзвуковым.

Парожидкостные двухфазные системы характеризуются не только низкой скоростью звука и высокой сжимаемостью, но и процессами тепломассообмена, имеющими место на границе паровик пузырьков и жидкости. Эти особенности среды не позволяют применить традиционные методы газовой динамики, развитой в прошлом веке йшаном, а требуют обобщений, учитывающих, хотя бы в первом приближении, нелинейность, дисперсию скорости звука, диссипацию и процессы межфазного тепломассообмена в волне давления.

В настоящее время наметился ряд подходов к проблеме изучения волн в двухфазных средах: это, в первую очередь, континуальный подход, использующий в своей основе методы механики сплошной среды[1-4} ; далее, подход Фолди[5,б} , основанный на суммировании рассеянных волн; и, наконец, в качестве нового подходя можно выделить методы моделирования сред с микроструктурой [7,8].

Метод Фолди и модели с микроструктурой

В работе Карстенса и Фолди[б] на основе метода многократного рассеяния, исследовалась задача о распространении звука в жидкости с пузырьками газа. При этом подходе предполагается, что звуковая волна, длиной A3>R , падает на пузырек и рассеивается. Метод Фолди дает возможность просуммировать когерентные части рассеянных волн. Уравнение для когерентной части волны имеет вед:

42<р> +[со2/с} + 4jr&J<p> =О, где у - коэффициент рассеяния изолированного пузырька, п (ъ3 £) вероятность распределения пузырьков радиуса R. . Метод дает возможность изучать линейные волны и эффективен» когда имеет место полидисперсное распределение пузырьков по размеру. Такой подход был развит для решения задач о распространении звука в жидкости с пузырьками пара Трэммелом [9], Акуличевш и

Алексеевым [ ю !,

Левицким [II, 12].

Развитием такого подхода является применение в некоторых задачах динамики газожидкостных сред аппарата среды с микроструктурой, разработанного для задач прочности [13]. В частности этот метод использован в работах Лежнина [8] и [14]. В этих работах газовые включения рассматриваются как дискретные структуры, а потом, после расчета колебаний на отдельных включениях по правилам, разработанным в[13], осуществляется переход к континуальным представлениям.

Континуальные модели

В реальной парожидкостной суспензии размер пузырьков и их локальная концентрация зависят от многих причин и являются в значительной мере случайными величинами. Детальное рассмотрение взаимодействия каждого включения с остальной средой в общем случае невозможно, поэтому в основном используется континуальный подход к моделированию двухфазных смесей, иначе называемый гомогеннш приближением.

Как и всякое приближение, гомогенная модель парожидкостной суспензии справедлива только при определенных условиях! 3J: необходимо, чтобы длина волны возмущения Я была много больше расстояния между пузырьками L и радиуса пузырьков Я . В этом случае среда рассматривается, как сплошная, характеризуемая некоторыми эффективными термодинамическими параметрами. Тогда возможно составление уравнения состояния среды, которое совместно с известными уравнениями движения и неразрывности образует замкнутую систему.

Наличие высокосжимаемых включений делает смесь сжимаемой даже в предположении о несжимаемости несущей фазы, поэтому в качестве исходной системы уравнений в гомогенном приближении используются уравнения Эйлера для сжимаемой жидкости:

Уравнение движения имеет более простой вид, чем уравнение Навье-Стокса, однако интегрирование системы (I) возможно только в некоторых простейших случаях, например, в газовой динамике при политропическом поведении среды[15]. Как справедливо отметил А.Зоммерфельд: "Рассматривая математический характер уравнений Эйлера, можно сразу заметить, что в противоположность большинству уравнений математической физики (теории потенциала, теплопроводности, электродинамики и т.д.) они являются нелинейными. Нелинейность чрезвычайно затрудняет интегрирование уравнений, так как в этом случае не выполняется принцип суперпозиции, согласно которое сумма двух частных решений дает более общее решение. Поэтов интегрирование уравнений гидродинамики Эйлера представляет более сложную математическую задачу, чем, например, интегрирование уравнений Максвелла, которые на первый взгляд ка

I) жутся более сложными". Однако существование решения системы (I) в виде простых волн Римана имеет фундаментальное значение для моделирования воз1фпцений давления в жидкости с пузырьками газа (в данном случае - пара), так как дает возможность применять метод квазипростых волн [1б], благодаря которому были получены некоторые принципиальные результаты.

Если предположить, что количество пузырьков А/ в единице объема смеси не меняется, то удельный объем газа в смеси

Так как по определению объемного паросодерокания а плотность смеси то существует однозначная связь между радиусом пузырька и плотностью смеси: (2)

Следовательно, уравнения, связывающие радиус одиночного пузырька с внешним давлением, могут рассматриваться, как аналог уравнения состояния смеси. В качестве такого уравнения можно использовать уравнение Рэлея:

М + % (*/= (р (*) - р (<*>))/,'ft ■ Ю>

Давление на бесконечности р(<=>°) обычно отожествляется с давлением в смеси р , а давление на межфазной границе -с давлением пара в пузырьке, после чего система основных уравнений окончательно замыкается уравнением состояния газа и уравнениями энергии для каждой фазы. При рассмотрении пузырьковой смеси без теплообмена можно считать, что газ в пузырьке идеальный и ведет себя адиабатически. В этом случае система уравнений (I), (2), (3) замыкается уравнением: р W wf.

Рассматривая данную систецу, авторы работы /~17/методом квазипростых волн получили уравнение Бюргерса-Кортевега-де Вриза (БКВ), моделирующее распространение возмущений давления в холодной газожидкостной суспензии: ди , ди д2и т д3и

Ценность работы[17] заключается в том, что в ней впервые показано, что нелинейность, вносимая в систему уравнением Рэлея,имеет тот же вид, что и гидродинамическая нелинейность (и и значительно превосходит последнюю. Этот вывод, недавно подтвержденный другими авторами [18], дал возможность в случаях, когда метод квазипростых волн неприменим, использовать линейную форму уравнений Эйлера: д]/ = Jjo dt Я~Р № ' (4) dt у дх

При рассмотрении волнового режима течения парожидкостной среды система (4) послужила основой вывода двух модельных уравнений: волнового нелинейного уравнения[19] dt2 ° дх* гг gew с°дх'[р„; R&L at ( ) и уравнения типа Кортевега-де Вриза[19] dp dp др д3р згр0 полученного факторизацией (5).

Изложенный путь моделирования волновых процессов в парожидкостной суспензии является самым просты*, но далеко не единственным. Другим "предельным" подходом может быть численное интегрирование максимально полной системы уравнений, описывающей процесс. В этой системе,- для описания течения смеси и мелкомасштабных течений около пузырька могут использоваться уравнения Навье-Стокеа, максимально подробные уравнения энергии и т.п. Однако современный уровень вычислительной техники не позволяет найти решения такой системы. Поэтому плодотворным является подход Р.И.Нигматулина и его учеников[20-22[, в работах которых решаются и исследуются все более сложные системы, приближающиеся к модели двух взаимопроникающих и взаимодействующих сплошных сред[23]. С другой стороны, так как уравнение (5) получено достаточно строго и учитывает в первом приближении все особенности парожидкостной смеси пузырьковой структуры, его линейные решения должны совпадать с линейными решениями полной системы. Кроме того, возмущения, приближающиеся к линейным (волны малой, но конечной амплитуды), также должны достаточно хорошо описываться уравнениями (5), (6). Поэтому в данной работе исследование некоторых аспектов волновых режимов течения жидкости с пузырьками пара проводится на основе модельных уравнений (5), (6).

Первая глава посвящена линейной акустике парожидкостных сред пузырьковой, структуры. Несмотря на. то, что эти вопросы относительно хорошо изучены[24-27], неясным до последнего времени оставался вопрос о фазовой скорости.

Хотя интуитивно ясно, что низкочастотные колебания должны распространяться с равновесной скоростью звука[25], имеющиеся дисперсионные соотношения дают

Пт л = 0. *р

00-+О

В первой главе показано, что это несоответствие возникает из-за неучета влияния соседних пузырьков на тепломассообмен каждого включения. Предложенная модификация тепловой задачи позволяет уточнить акустические характеристики среды на низких частотах. На более высоких частотах, где влияние соседних пузырьков не проявляется,дисперсионные кривые совпадают с известными [26,27].

Поведение парового пузьфька сильно влияет на волновое течение парожидкостной суспензии. В результате этого интересным представляется изучение эволюции парового пузырька в волне давления. Этот вопрос освещен во второй главе работы.

Здесь предложена формула для вычисления интеграла типа свертки в случае, когда ядро имеет особенность, а функщя задана в кусочно-линейном виде. С помощью этой формулы определена зависимость радиуса пузырька от времени в тепловом режиме. Сравнение результатов расчета с экспериментом показывает, что во многих случаях для определения теплового потока на межфазной границе может использоваться решение плоской тепловой задачи. Получено интегро-дифференвральное уравнение, описывающее эволюцию парового пузырька в тепловом режиме и учитывающее в первом приближении движение межфазной границы. Это уравнение аналитически решено для некоторых законов изменения температуры насыщения в системе. Численно решена задача об эволюции парового пузырька при совместном действии инерционного и теплового механизмов.

В третьей главе исследуются разностные схемы и численные решения уравнений (5), (6). Полученные в результате численного решения волновые структуры сведены в единую таблицу-карту, координатами которой являются основные безразмерные критерии, характеризующие волновые процессы в жидкости с пузырьками пара.

Работа выполнена в лаборатории физической гидродинамики Института теплофизики СО АН СССР .

Основные результаты опубликованы в [28-33] и докладывались на Ж, НУ, ХУ и ХУ1 конференциях молодых исследователей ИТФ СО АН СССР (Новосибирск, 1980, 1981, 1982, 1983 г.г.), УШ и X конференциях молодых ученых ИТПМ СО АН СССР (Новосибирск, 1981, 1983 г.г.), П Всесоюзной школе ЦК ВЛКСМ по теплофизике (Бердск, 1981 г.), Ш Всесоюзной школе-семинаре "Проблемы газодинамики и теплообмена в энергетических установках" (Нарва, 1981 г.), Ш Всесоюзной школе-семинаре по механике многофазных сред (Ташкент, 1982 г.) и Всесоюзной школе молодых ученых "Численные методы решения задач математической физики" (Львов, 1983 г.).

Автор выносит на защиту: результаты численного анализа двухтемпературной модели распространения волн малой, но конечной амплитуды в жидкости с пузырьками пара: структуры и динамику возмущений; модель теплообмена парового пузырька с несущей фазой, учитывающую взаимное влияние включений и полученные на ее основе акустические характеристики смеси; результаты исследования динамики парового пузырька в поле переменного давления; новые алгоритмы и разностные схемы.

ШВА I.АКУСТИКА ПАРОВДКОСТНОЙ СМЕСИ ПУЗЫРЬКОВОЙ

СТРУКТУРЫ

IЛ.Скорость звука в парожидкостной суспензии.

Обзор литературы

Определение скорости звука в рассматриваемой нами системе является важной задачей. От величины скорости звука зависит значение критерия Маха потока М » который определяет является ли поток до-иди сверхзвуковым. В зависимости от этого при анализе течения смеси применяется гидродинамический или газодинамический подход.

Известная формула dp/dp = о'2 (1Л) порождает практически бесконечное число уравнений для определения скорости звука в зависимости от гипотезы, определяющей вид функции $>(Ю и условий дифференцирования. Различные выражения, позволяющие вычислить скорость звука в парожидкостной среде, можно найти в работах А.И.Виглина[34^, Уоллиса[зб], В.В.Сычева [Зб], М.Д.Вайсмана[373, С.И.Лежнина[38], учебнике Л.Д.Ландау и Е.М.Лившица |39]и пр. Отметим здесь также одну из первых постановочных работ Л.И.Мандельштама и М.А.Леонтовича[до], где описан релаксационный подход к вычислению скорости звука в многофазной среде.

Во всех известных работах изучается адиабатическая скорость звука, причем для малых отклонений от состояния равновесия, каковыми являются звуковые колебания, принимается тождественность адиабатического и изоэнтропического процессов и дифференцирование проводится при const. В.Е.Накоряковым, В.В.Соболевым и И.Р.Шрейберомjl7]указано, что полное выражение для адиабатической скорости звука содержит два предельных случая. В первом случае изменение плотности среды определяется только фазовым переходом; во втором - фазовые переходы несущественны и плотность смеси определяется только за счет упругой сжимаемости паровых включений.

Первый случай отвечает, очевидно, процессу, при котором обе фазы постоянно находятся на линии насыцения. Выражение для скорости звука, реализующейся при таких условиях,имеет особенно простой вед для смесей с малым весовым паросодероканием [39] :

О» = Ь-Ро/9*&т° (Ср/°?М (1-2)

Выражение (1.2) справедливо для давлений, много меньших давления в критической точке рассматриваемого вещества.

Для сохранения фазового равновесия в каждый момент времени необходима полная завершенность фазовых переходов. Однако, вследствие конечности их скорости, выражение (1.2) будет справедливо только для возмущений, медленно меняющихся во времени.

Во втором случае, когда фазовые переходы не влияют на плотность смеси, скорость звука в парожидкостной суспензии должна, очевидно, равняться скорости звука в жидкости с пузырьками газа. Действительно, эксперименты [41,42,43] показали, что возмущения в парожидкостной смеси распространяются гораздо быстрее, чем это следует из (1.2) и скорость звука хорошо аппроксимируется выражением о = dffo/pff2, (1<3) которое для малых паросодерканий совпадает с полученной Мэллоком формулой для скорости звука в газожидкостной суспензии.

Скорость звука в жидкости с пузырьками газа достаточно хорошо изучена. Как известно[44],она мало меняется вплоть до частот порядка резонансной частоты пузырька. Впредь, кроме специально оговариваемых случаев, будем считать, что частота рассматриваемых возмущений, несмотря на возрастание, все таки меньше резонансной.

Фазовый переход во фронте волны не успеет произойти, если фронт волны достаточно крутой (cfp/dt-> сф . Действительно, в экспериментах изучалось распространение сигналов с крутыми фронтами. Так в экспериментах ИТФ СО АН СССР[43] скорость изменения давления dp/dt была порядка 10® Па/сек.

При менее крутых фронтах изменение плотности смеси происходит как за счет фазовых переходов, так и за счет сжимаемости пара. В этом случае величина скорости звука должна принимать значения, лежащие между 0S и С0 и определяться степенью завершенности фазовых переходов. В работах[45,4б] для определения скорости звука используется априорная информация о степени завершенности фазовых переходов, получаемая из опытов. Такие аппрок-симационнне модели вряд ли следует признать удачными. Неудачна на наш взгляд и работа Генри [47], который не смог учесть межфаз-ннй массообмен и вообще исключил его из рассмотрения. При изучении гармонического возцущения легко проследить соответствие между максимальной скоростью изменения давления и частотой. Следовательно, степень завершенности фазовых переходов, а значит и скорость звука в жидкости с пузырьками пара,зависят от частоты сигнала.

Исходя из этого, авторы [24,2б|с помощью Фурье-анализа получили и проанализировали зависимости вида Сф -f(oo).

В обеих работах использовались законы сохранения имцульсов, энергии и массы, однако в работе [24]массообмен определяется кинетической теорией (уравнение Герца-Кнудсена), тогда как в работе [26] - теплоподводом из жидкой фазы.

Дисперсионные кривые, численно построенные Макреди и Гамильтоном [24]дают при низких частотах некоторую равновесную скорость звука, примерно равную рассчитанной по (1.2), а при высоких -"замороженную", практически совпадающую с С0 .То, что в [24] не приводится анализа предельных случаев или хотя бы развернутого дисперсионного уравнения значительно снижает ценность работы. Кроме того, как справедливо отмечают Ардрон и Даффи[2б] коэффициент аккомодации, необходимый для расчетов по [24] и сильно влияющий на вид дисперсионной кривой, является неизвестной величиной, сильно зависящей от таких экзотических параметров смеси как, например, "чистота" жидкости и т.п.

Ардрон и Даффи[26] для определения температурного градиента в жидкости воспользовались приближением "плоской границы", т.е. уравнением д'Т = J дТ дг2 а at с краевыми условиями

Т(в,±) = TQ-sin. coi

ГI) = Т0 без начальных условий.

Численно рассчитанная ими зависимость скорости звука в парожидкостной среде от частоты возмущения при увеличении частоты стремится к "замороженной" скорости звука.

К достоинствам работы[26] следует отнести то, что авторы впервые разработали модель распространения звуковых волн в парожидкостной смеси, позволяющую вычислять скорость звука с использованием только измеряемых характеристик среды,и показали, что для пароводяных течений скорость массообмена (а значит и скорость звука) определяется полем температур в жидкой фазе.

Н. А.Прибатуриным [27] проведен гармонический анализ двух-волнового уравнения (5), предложенного В.Е.Накоряковым и И.Р.Шрейбером [19] для моделирования возцущений давления в жидкости с пузырьками пара. В пренебрежении дисперсией, вызванной присоединенной массой пузырька, результаты[27] в основном совпадают с результатами Ардрона и Даффи[2б]: при высоких частотах фазовая скорость воэь^щения стремится к "замороженной", а при низких - к нулю. Этого, вообще говоря, и следовало ожидать, т.к. температурное поле в жидкости авторами [2б] рекомендуется рассчитывать так же, как это было сделано в[27]. В диссертации Н.А.При-батурнна показано, что модель [19| не применима для сигналов сверхнизкой частоты и найдена нижняя граничная частота ее применимости. Для более низких частот предлагается применять другое модельное уравнение тех же авторов [17], базирующееся на равновесной скорости звука.

В.Ш.Шагапов [48]при рассмотрении малых возцущений в жидкости со сферическими парогазовыми пузырьками наряду с законами сохранения использовал точные уравнения теплопроводности и диффузии. Для низких частот автором предлагается учитывать тепловую дисперсию на основании уравнения теплопроводности для всей смеси в целом, как для однофазных сред. Дисперсионное соотношение, полученное В.Ш.Шагаловым для высокочастотной модели, имеет вид более сложный, чем аналогичная зависимость из[27], однако вид дисперсионной кривой в дореэонансной области качественно такой же: "полочка" на графике фазовой скорости, образующаяся при стремлении частоты к резонансной слева, имеет значение С0 .[48] пожалуй, единственная работа, где в рамках гомогенной модели подробно рассматриваются около- и сверхрезонансные частоты. При 00-+оо (зарезонансная область), фазовая скорость возмущения по [48] стремится к скорости звука в чистой жидкости, как это предсказывает "газожидкостная" теория [44]; при со-*» О , из дисперсионного уравнения получается формула для некоторой равновесной скорости звука. 6 случае чисто паровых пузырьков в эту формулу входит неопределенность типа 0/0, после раскрытия которой получаем О^ (о) - о.

В работах И.С.Ведовского[49, 50] , развившего релаксационный термодинамический подход авторов [40], предложена формула для определения скорости звука, включающая времена релаксации процессов, которые происходят при прохождении по парожидкостной суспензии возмущений давления. Однако определение времен релаксации в свою очередь требует принятия каких-то гипотез о течении процесса. Так в [49] времена релаксации определяются по квазистационарному приближению (для теплообмена А/и = 2 ), что справедливо только для очень маленьких пузырьков. Формула И.С.Радовского построена таким образом, что рассчитываемая по ней скорость звука " по определению" имеет своим нижним пределом равновесную, а верхним "замороженную" скорости звука, однако в области средних частот величина скорости звука зависит от времен релаксации и может принимать различные значения, в зависимости от принятых моделей межфазного взаимодйествия. Этим работы И.С.Радовского похожи на статью [24], где вид дисперсионных кривых один и тот же, однако конкретные значения акустических характеристик целиком определяются коэффициентом аккомодации, в значительной мере неопределенным.

Экспериментов по исследованию низкочастотной скорости звука крайне мало. В основном измерялась скорость сигналов малой амплитуды, получаемых в ударных трубах при разрыве диафрагмы между камерами высокого и низкого давлений. Описания экспериментальных установок и результаты измерения скорости таких возодщений содержатся в работах[43,. Так как скорость звука отождествлялась со скоростью переднего фронта возцущения, а в спектре крутых сигналов весомы высокочастотные гармоники[52], то, естественно, во всех экспериментах зафиксирована "замороженная" скорость звука.

Экспериментальных исследований скорости распространения синусоидального возмущения низкой частоты нам известно всего два [43,53]. Так авторами [53] скорость звука определялась по сдвигу фаз между пульсациями давления и расхода текущей парожидкостной среды. С этим экспериментом, в котором зафиксирована скорость звука заметно ниже "замороженной", проводится сравнение теории Ардрона и Даффи в их статье [26]. Отмечается согласие теории и эксперимента в пределах экспериментального разброса.

О другом эксперименте упоминается в работе [43]. Здесь скорость волн измерялась по начальной точке возмущения и заметного отличия скорости звука от "замороженной" не отмечалось. Так как запись сигнала в этом эксперименте не проводилась, можно предположить, что начальное возцущение не было чисто синусоидальным и включало в себя "быстрые" высокочастотные гармоники.

Таким образом разрозненные, порой противоречивые опыты не удается систематизировать для получения непрерывной экспериментальной зависимости скорости звука от частоты и имеющиеся теории получают подтверждение лишь в области высоких частот.

Не решен окончательно вопрос о равновесной скорости звука: с одной стороны ее существование является общепризнанным и строго доказаннда теоретически [34,39] , с другой стороны - нет экспериментальных доказательств ее существования, и, кроме того, ни одна из существующих моделей распространения возмущений давления в парожидкостной суспензии, кроме аппроксимационных и специально "подогнанных", не дает в низкочастотном пределе равновесной скорости зэука.

В данной главе предлагается некоторая модификация задачи о теплообмене парового пузырька с несущей фазой. Эта модификация позволяет снять с существующих моделей ограничение по частоте снизу и подучить при Crf-rO равновесную скорость звука.

1.2.Учет взаимного влияния паровых включений на их тепломассообмен с несущей фазой

Как уже отмечалось, на распространение возмущений давления в парожидкостной суспензии большое влияние оказывает межфазный массообмен. Так как интенсивность массообмена определяется удельным тепловым потоком на межфазной границе, исследователи вынуждены каким-либо образом его находить. Подробно этот вопрос освещен в специальной главе, посвященной поведению парового пузырька в волне давления; здесь же кратко приведем формулировки тепловой задачи и ее решения.

В работах 9,19 решается уравнение теплопроводности

-г / дТ лГ~~аЖ (1.4) с однородным начальным условием Т(о3г) = TQm

На межфазной границе задается зависящая от времени температура насыщения Ts (i) , связанная с давлением в смеси уравнением Клайперона-Клаузиуса dTs ts (I 5) т - • dp

Второе граничное условие задается на бесконечности

Т0 .

1.6)

Решение приведенной задачи[9,19,54] для сферически симметричного случая

• (17)

Wh т })\ггт )

В (1.7) возмущение температуры, посредством линеаризованного уравнения (1.5), выражено через возцущение давления.

В работе [26] применялось приближение плоской границы, то есть считалось, что д2Т

Это приводит к исчезновению первого слагаемого правой части выражения (1.7). В [19] приводится полное решение и показывается, что во многих случаях (в частности для условий эксперимента ИТФ СО АН СССР) решающее значение имеет именно интегральный член выражения (1.7).

Рассмотрим второе граничное условие тепловой задачи, с которым и связано ограничение для моделей[9,19,48] по частоте снизу. При ijco°° , то есть при длительном возрастании температуры межфазной границы, слои прогретой жидкости, примыкающие к пузырькам, сомкнутся. Следовательно, на поле температур в жидкости, окружающей отдельный пузырек,начнут оказывать влияние соседние паровые включения, и граничное условие (1.6) перестанет быть справедливым. Поэтому нижняя граничная частота моделей определяется в[48,55] из равенства длины тепловой волны Лт- 2jt(2а/со)^ половине расстояния между пузырьками. В частности для кубической упаковки пузырьков в[55] приводится формула 4А//z[(s/6<ff3-q .

Для учета взаимного влияния пузырьков друг на ддога обратимся к ячеистой модели парожидкостной суспензии.

Исходя из объемного паросодеркания смеси (f , поставим в соответствие каждому пузырьку ячейку жидкости с радиусом Щ , определяемым из соотношения

Будем считать, что тепловой поток на границе ячейки равен нулю. Это условие непосредственно следует из распространенного предвозмущения, вносимые в несущую фазу каждым включением, локализованы внутри соответствующей ему ячейки. Кроме того, это условие очевидно будет выполняться на конечном числе точек границы ячейки, так как на серединах отрезков, соединяющих центры соседних ячеек, тепловые потоки от пузырьков будут одинаковы по величине и противоположны по направлению.

Таким образом, после изменения второго граничного условия имеем следующую математическую формулировку тепловой задачи:

1.8) положения ячеистой модели [56,57] , заключающегося в том, что

1.9)

Т(ал г) = т0 ; Т(Ьь А) = ts (t) • (дТ/Щ -о, где Ts(i) - произвольная функция времени. Определив переменные

I.10) введем стандартный образом [54] функцию

Н*>*) • J (т-то). а.п)

Как нетрудно показать, из (1.9) с учетом (I.10) и (I.II) получается задача df

I.I2)

М Ь)-0> о) - * (TS (г)- T0)=f ; я, которая может решаться методом преобразования Лапласа. Положив h(Hryk))= f(s>£)) L(v-(z))=®CS) , после перехода в пространство изображений из (I.I2) получаем однородное дифференциальное уравнение d2F/ sF

I.13) с краевыми условиями jQW , (1.14)

Общий интеграл уравнения (I.I3) имеет вид

Константы интегрирования 0{ и Сг определяются из краевых условий (I.I4) и (I.15). Имеем

А =

Alfljl^Sets) , (1.17) 2 (\fs- ekfs - \fs ) 8 f (е/л*П)ё* ue(Jj

2~V 2(ftokG-e/itskR) / 8

Подставив (I.17) в выражение (I.16) получаем функцию Г 1-е/т

L 2({sch{s-e/R$k{T)l

I.I8) градиент которой я эаУхl( (W + Me*

4 2 П [2ШекГ$-Е/£*кЮ (I.I9) г (f/a + We* j 1

Нашей задачей является нахождение теплового потока на межфазной границе. Продифференцировав (I.II) по £ и разрешив полученное выражение относительно градиента температуры, с учетом (1.10),мы получим выражение изображением которого в £ -пространстве, согласно (I.I4), (I.I9) будет i-Ши- щ e \ {s cku-e/&$k(s

Следовательно, изображением искомого теплового потока на межфазной границе Z(y(i)) будет выражение передаточная функция системы пузырек-ячейка.

Для проведения гармонического анализа моделей распространения возвещения давления в парожидкостной суспензии необходимо знать отклик системы на возмущение давления. Заменяя AT на др в соответствии с линеаризованным уравнением (I.I5) и переходя к размерному времени имеем

Q(s)= G[s) Q(sJ , где

1.20) qc*)- Pc*J'G(*J, где

P(3)=l(p(i)-p0) ,

PJ7/Z

I.21)

Известно [ 5в], что частотная характеристика системы (отклик на возбуждение вида exp (iuih)) - есть значение передаточной функции на мнимой оси. Таким образом тепловой поток на межфазной границе при гармоническом возмущении давления в системе

Здесь ^г - независящая от £ и и) функция ра ё , имеющая смысл амплитуды.

Исследуем асимптотическое поведение теплового потока. После эквивалентного преобразования передаточной функции к виду легко убедиться, что при больших S функция в (sj представляется асимптотически функцией так как множитель при весьма быстро стремится к минус единице.

Применив преобразование Лапласа к выражению £(&)-, непосредственно получаем

Следовательно 2>(sJ - передаточная функция системы при задании на бесконечности температуры, равной начальной. Таким образом, при относительно высоких частотах (на малых временах) решение тепловой задачи (1.9) практически совпадает с выражением (1.7). Граничную частоту совпадения можно определить из условия

-2бП7% 2 < в , где £ - малое комплексное число.

Для исследования поведения теплового потока при малых £ -представим передаточную функцию в виде где (1.26)

Воспользовавшись представлением экспоненты в рад Маклорена найдем разложения членов выражения (1.25) стоящих в скобках л

1.27)

1.28)

1.29)

Подставив (1.2:7), (1.28) и (1.29) в (1.25) и приведя подобные члены, получаем для передаточной функции выражение ге1

Нетрудно записать форцулн для общего члена рядов,стоящих в числителе и в знаменателе,и окончательно получить

- сгп+г)(2п+з+ e2/№)x*(a+v

СХ.30) к

Сходимость рядов обеспечена тем, что они получены разложением некоторых комбинаций аналитических функций.

Обрывая ряды на членах порядка х2 , что справедливо для Х«{ » с помощью известной форцулы для суммы членов бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой по модулю меньше единицы: t £ + . . . = - сс и переходя в соответствии с (1.26) от переменной X к переменной $ t из (1.30) получаем с точностью до членов ~ S

12. (Юп . о* зв2- a или с учетом (1.8)

Q(s)= Mdk.A-C^.^K^^.s . а.31)

Переходя теперь от образа к оригиналу имеем для гармонического воздействия Mi*L JL />1*)ше1а* (i.3ia) и для произвольного

2 (ij = M<JL A ^ . (I.3I6)

При малых паросодероканиях <f« 4 выражение (1.31) принимает вид:

У p2A 5<p поэтому из формул (I.31a), (I.316) получаем соответственно

Q(l)= -i-W"* , (1.33) У f2l Зср

0(1)-. сг?<Т'° ,JLM . <1,34) р2А дЬ

1.3.Акустические характеристики среды

Как следует из литературного обзора, дисперсионные кривые во всех работах, где интенсивность фазового перехода определяется полем температур в несущей фазе, в дорезонансной области имеют практически одинаковый вид. Поэтому для определения акустических характеристик среды обратимся к наиболее ясной модели - волновому уравнению полученному в[19|:

Й с biz. - pa & + (АЕг) ЧР° Н (135)

Считая, что нелинейность отсутствует, подставим в (1.35) возмущение вида р0exp(Loot -choc) и, с учетом (1.22), получим общее дисперсионное уравнение в виде

В данной работе не будем учитывать дисперсионные эффекты, связанные с инерцией присоединенной массы пузырьков и учитываемые сомножителем , то есть будем рассматривать выражение

Это тем более правомочно потому, что влияние инерции присоединенной массы существенно только на высоких околорезонансных частотах, нас же в основном интересует низкочастотный случай. В этом случае - 2f>b)2/eZj1 / .

С другой стороны, согласно выражениям (1.23), (1.24) на высоких частотах соседние включения не оказывают практически никакого влияния на теплообмен одиночного пузырька с несущей фазой. Поэтому модификация тепловой задачи никак не изменит поведение дисперсионных кривых в околорезонансной области, исследованное в j48,50] в рамках традиционного подхода. Подставив в формулу (1.36) выражение для передаточной функции (1.30), получаем для квадрата волнового числа соотношение во I

HEf.i2 f (*"+<)-1/9.)fiulf b, 1 &0 (2я*1)! [~IJ *

Рассмотрим отдельно второе слагаемое правой части выражения (1.37) f (!п+фп,5<еУ®.и)1ег<"'" то

О) fitfiA2 2. / щ)" ^ (2П.<)! ( а) г г*/ (1.38)

Если вынести в числителе за знак суммы множитель E(iu)/a.) ,то согласно формулам (1.2) и (1.3) выражение (1.38) преобразуется к виду

J (Zn*2)(2n+5+ еУ&ц) /Ja)ffn*1

3ffoj) ns0 (2л+5)! ( a-J

Я [ fy ~ 2n4-e/<SL /Cu>f г* o (2a* 4)! ( л/ 6 в соответствии с чем из (1.36) поручается

Ц/Со)1"0 ] . (1.39)

А ~сц Я [сJ у 2л+1-е№ (Ш\п„2п

L п*о (2п * {)! ( Л/ ^

По определению[59,бо] фазовая скорость c+**>/te(k) . (1.40)

Подставляя (1.39) в (1.40) получаем L2»*l)(2n+3 + e'/*fl) /ер J*гп+i 3<f/0of*>o [а-J 1(1.41) f 2n+<-e/% jiMf 2rt o (2я+'Л i *.)

Положив теперь в (1.41) tOaO , для малых паросодержаний имеем 0+ '/а;/!*

Так как Gq/cs»4 (для воды при нормальных условиях cjc^tf2), с хорошим приближением можем считать

То есть в этом случае фазовая скорость сигнала равна равновесной скорости звука. Этот же результат можно получить и непосредственно при помощи выражения (1.33), однако промежуточная формула (I.4I) имеет большое самостоятельное значение. Как следует из выражения (1.33) lim - О , поэтому, при расчете акустических характеристик среды на малых частотах непосредственно по формулам (1.40), (1.36), (1.21),мы сталкиваемся с необходимостью вычисления члена

С 5$р0 G (си))/ел Я^Ь = о/о что влечет за собой потерю точности|6lJ. Использование же формулы (I.4I) позволяет исключить вычисление неопределенности 0/0, и существенно повысить достоверность результата. Представленная на рис.1.1 зависимость фазовой скорости от частоты могла быть рассчитана только с помощью формулы (I.4I). На этом же рисунке для сравнения приведен график фазовой скорости, рассчитанный без учета взаимного влияния пузырьков на процессы межфазного обмена, который при уменьшении частоты приходит в нуль. Как следует из выражений (1.23), (1.24), при больших СО дисперсионное уравнение (1.36) принимает вид С* I и)2 ^ * г Л v

Полностью, то есть с учетом члена ~ -f/d , описывающего сферичность межфазной границы, выражение (1.42) в литературе ранее не приводилось и не исследовалось.

Фазовая скорость в этом случае может быть рассчитана по формуле

При увеличении частоты знаменатель выражения (Х.43) стремится к единице, а при уменьшении - к бесконечности. Следовательно при больших частотах Сф - С0 , а при со->о фазовая скорость также стремится к нулю.

Таким образом, учет сферичности межфазной границы не влияет на асимптотическое поведение акустических характеристик среды, исследованное в £~26,27j . При средних частотах изменение начального радиуса пузырька должно приводить к изменению дисперсионных кривых.

Фазовая скорость на низких частотах.

- - ячеистая модель,

---- двухтемпературная модель.

Действительно, при устремлении на фиксированной частоте радиуса пузырька к цулю, существенен только член и остальными членами подкоренного выражения в (1.43) можно пренебречь. Тогда / / ' ЧР*Л * ] /—

Монотонность функции исследовать довольно сложно, однако численные расчеты ее подтверждают.

На рис.1.2 прослежено влияние кривизны межфазной границы на фазовую скорость волны давления. Уменьшение фазовой скорости при уменьшении Я имеет следующий физический смысл. В этом случае, как следует из (1.8) расстояние между соседними пузырьками уменьшается, что приводит к более быстро^ прогреванию жидкости, и, следовательно, к реализации равновесного процесса на более высоких частотах.

Этот же факт может быть объяснен и без привлечения ячеистой модели пузырьковой суспензии. Так как площадь межфазной границы рассчитывается по форцуле*

S - Ш*Н , а число пузырьков в единице объема

ТО , то есть при уменьшении радиуса пузырька площадь межфазной границы увеличивается. Это приводит к увеличению скорости фазового перехода, который успевает завершиться за более короткое время, то есть к уменьшению скорости звука.

Влияние радиуса пузырька на фазовую скорость при неизменном паросодержании.

Рассмотрим теперь коэффициент затухания = -1т(к).

Вследствие наличия в выражениях (1.37) и (1.42) множителя в обоих случаях iim $ = 0 , ш-ъо однако коэффициенты затухания ведут себя на низких частотах по-разному. Действительно, рассмотрим предел отношения квадратов коэффициентов затухания, определяемых формулами (1.37) и (1.42) " fi]Uz U К л J

OO

Следовательно, если коэффициент затухания, определяемый без учета взаимного влияния пузырьков на процессы межфазного обмена на малых частотах ведет себя [2б]как

СNei", то в данном случае имеем й-со*-, причем /г >/77 . Графики коэффициента затухания при малых си приведены на рис.1.3.

Что касается влияния на коэффициент затухания радиуса пузырька, не учитываемого в работах(26,27], то оно легко определяется непосредственно из формулы (1.4). На рис.1.4 видно, что уменьшение Л приводит к увеличению S" . Иногда удобно рассматривать другую характеристику затухания гармонического сигнала -логарифмический декремент

А = - гж 1т (к) /*е (к).

Коэффициент затухания на низких частотах.

- - ячеистая модель,

---- двухтемпературная модель.

Влияние радиуса пузырька на коэффициент затухания при неизменном паросодержании.

R--IQ\ --- R--5-lQ'\---R--tQ~\

Рис. 1.4

Учет взаимного влияния пузырьков и в этом случае приводит к новому результату. Из формулы (1.42) следует, что при волновое число асимптотически представляется функцией

0 V

Поэтому Ifa А. - 2t.

В данном же случае, судя по формуле (1.39), при и)=о} к число действительное и

Elm А =0 .

Т.о., хотя при 60+о длина волны и стремится к бесконечности, затухания на длине волны не происходит. На рис.1.5 представлены графики функции Л. (и)) , для малых и) .

На рисЛ.6 изображены графики пространственного декремента для различных Я . Увеличение радиуса пузырька сдвигает график влево без изменения его ввда.

На всех кривых в области высоких частот имеется локальный экстремум первой производной. При этом 0jJf -2T.

В работе [27] при определении логарифмического декремента затухания член в выражении (1.7) не учитывался, т.е.тепловой поток на межфазной границе определялся из решения плоской задачи. Если в формуле (1.42) пренебречь членом ~ , то при оО-^О к ~ Q .

Тогда

Таким образом, в этом случае

UmА » OtAi-2r ,

4}-*№

Этот вывод подтверждают и графики работы[273- Следовательно

Логарифмический декремент затухания на низких частотах. А

- ячеистая модель,

- двухтемпературная модель

Влияние радиуса пузырька на логарифмический декремент затухания ( const, ). - " "а— Я t"si I е- ,

I ■ , / О - , О ,

V? I

1.0

0.8

0.6

0.4.

0.2

0.0

R--I0

-5

----R-5

---fi:iO'*M. l fTf trrrrfrfTf | ГГТУ rTrffgrf 1ТГТГ1 f тгт| f rnlfl ГГ|1 ГПУГГГГ1ТГТУ|ГГТГ|Т1ГГ|ГГТГ| 1УТГ|ТГГГ|ГТГГГ1ГГГ1|ГТГ11 ГТГ| 1 gr f-н ГГГ{1ГГГТ—э--4.5. -2.5 -0.5 1.5 3.5 5.5 7.5 [g ш

Рис. 1.6 рис.6 может служить для приближенного определения частоты, начиная с которой пренебрежение членом , выражения (1.7) неправомерно.

Действительно, при понижении частоты на графике логарифмического декремента начинает образовываться "полочка" с Л.*0,8Ж При дальнейшем уменьшении М наличие квазистационарного члена i/% приводит к увеличению А . Так для нормальных условий 00Гр ~ /О3сек"' •

1.4.Тепловой поток на межфазной границе

Аналитический вид функции может потребоваться в различных случаях: при изучении эволюции парового пузырька в волне давления, при численном интегрировании уравнений типа (1.35) и т.п.

К сожалению, изображение температурного градиента (I.2I) не удается привести к виду, имеющемуся в таблицах для преобразования Лапласа. Попытка непосредственного определения оригинала по изображению (I.2I) также затруднена, так как упирается в решение трансцендентного уравнения \fj chfs - E/Siskfs (1.44) аналитические решения которого неизвестны.

Передаточная функция G(s) является мероморфной[58] , причем значение I :Q обращает в нуль как ее числитель, так и знаменатель. Поэтоцу можно предположить, что оригинал для изображения t т*-*'""-% ■ г* Я где Kj/ , о/- , fic - некоторые числовые коэффициенты. Для определения oli » fit необходимо найти вычеты функции G(sJ/s » для чего опять-таки решить уравнение (1.44). Поэтому решим тепловую задачу (1.12) методом разделения переменных [*62], а к выражению (1.45) вернемся ниже.

Первое краевое условие

4(о,г)=&/е (tsU)-tb) делает (I.12) задачей с нестационарной неоднородностью, поэтому сначала необходимо решить задачу со стационарной неоднородностью: . f О при - XftJ- ■) - функция Хевисайда , v ' [у при ь?о после чего применить формулу Дюамеля ск i) - (f)]Sf, где 4 - некоторое произвольное воздействие, - отклик системы на единичный скачок.

Решение тепловой задачи ищем в виде суммы у = г> + U , в которой V(g) описывает стационарный режим, a ufajrj-отклонение от него. Подставив функцию у в задачу (I.I2) получаем задачи для 2> и U . Соответственно: d*v „

-у—- ' О 1 dp f откуда V g/Я+ / и д*и ди 9 д2г dt g'u) . I 4 я fa

Положив и » ■ 2(f) получим из (1.46)

J.Au) -о

1.46) Л (1.47) --+;

1.48)

У (о)* О ;

8! В Л -п (1.49) о . (1-50) at

Так как задача не имеет граничных условий второго рода, то [б2^и ее общее решение имеет вид: A cos{x-fc + В sCafx. fr .

Из (1.47) следует, что А-О . Отнеся как и в[б2] , В за счет функции 2 , получаем х = If-fx , (1.52)

Из (X.5I) и (1.49) следует характеристическое уравнение для определения собственных значений е

Если ОСр - положительные корни характеристического уравнения (1.52), то собственные функции имеют вид frtij'iCafai .

Из (1.50) следует, что при Х = ХП Тогда иЫ) %| ^ (r)fr(l) -Zcn^UCz) .

Коэффициенты Сп определим из начального условия то есть оо

К с *

Отсюда

Ь = - (тЩ <**fa) + (1.53)

2{xn- sLaz{xn -t- (/-cosfx„)) •

Таким образом в общем виде

У (t, i) * + 4+1о„ёхЛ4Сп&„ ч и по формуле Дюамеля для ^ 4 у откуда

1.54)

Татг ТГЯТГ Т~^п)= Т. П.-ПР-ПФТПГ (Т.ЯЯ'Ъ мпттг» прИБвСТИ К ВИДУ [58] после чего, исходя из формул (I.IO), (I.II) и (I.I2) окончательно получить в размерном виде выражение для теплового потока

Формула (1.55) имеет очень сложный вид, поэтому метод, с помощью которого выше определены акустические характеристики среды и предельные зависимости теплового потока на межфазной границе от времени представляется оправданным.

Непосредственное использование формулы (1.55) также очень затруднено, так как при г-» t число значащих членов ряда стремится к бесконечности несмотря на увеличение Хп и тепловой поток не может быть рассчитан.

Для того, чтобы избежать этого затруднения, исследуем функцию

Соответствие медцу формулами (1.55)и (1.45) и результаты исследования акустических характеристик среды позволяет предположить,

1.55) trf

Q J j-(9) = -2 а @эсп сп е сЖ^яр •

Аппроксимации ядра выражения (1.55) л i4

2 -т

10 8

6 -

4 -2 О г

2.0

-ко

-00

1,0 L}(jO

Ряс. 1.7 функция ^(0) ; I- функция 2- первый член ряда;

3- три'первых члена ряда. что при О функция у асимптотически представляется функцией

1.56)

У!г= у/ (аТ<9/($1-Я)2У/г.

При этом согласно формулам (1.23), (1.24) для малых ^ замена на у-, будет справедлива на всем интервале 04V 4 -L Для больших ~Ь можно попытаться разбить интервал интегрирования на части, как это сделано в [бЗ] и искать аппроксимирующие выражения для каждого интервала, причем ясно £б4, 65], что для больших будет иметь место регулярный режим и можно будет ограничиться рассмотрением только первого члена ряда.

На рис.1.7 в логарифмических координатах представлена функ2 ция Y и ее аппроксимации, для случая у =10 . Видно, что с хорошей точностью функция у аппроксимируется функцией <fr при @ 4 о, /сек • с Другой стороны, при о > iс«?< справедливо представление функции у первым членом ряда

У (9) = ffiехр Л)*) •

При q, /4 4 в данном случае достаточно первых трех членов ряда. Такую же аппроксимацию несложно провести и для смеси с другими параметрами.

Таким образом значение теплового потока на межфазной границе может быть легко определено в любой момент времени.

1.5. Линейные волны в жидкости с пузырьками пара

При известном дисперсионном соотношении среды оказывается возможным получить структуру линейных волн используя аппарат дискретного преобразования Фурье (ДПФ) и его машинную реализацию в виде алгоритма быстрого преобразования Фурье (ЕПФ) £97].

График фвзопо* скорости, при построении которого учтены эффекты пульсации включени"

Суть метода получения линейных решений состоит в следующем. Запишем разложение произвольного пространственно-временного сигнала на конечную сумму простых волн р(43 ос] = Ж гп exp (<-c<jn6-<-кпя) • (1.57)

Следовательно, при Х- =0

PW=%o ^ (£ео**) • (1.58)

Формула (1.58) по виду совпадает с формулой обратного ДПФ комплексного ' вектора Z :

Д, =1' г„ exp (L ^ffL) . (1.59)

Положив рт ~ Р (т 6 у мп ~ /Za-6 ; z5 - гл д£f приходим к соответствию выражений (1.58), (1.59) на интервале -времени Т~ . Поэтому коэффициенты формулы (1.58) можно определить из разложения в дискретный ряд Фурье краевого условия р (т л£ i о)

Для фиксированного X=JC формулу (1.57) можно преобразовать к виду p(-t,xhfo (Ч „„ ^ (1.60) и, после вычисления Vn (ос) , найти функцию р(£рс) обратным ЕПФ. Таким образом,задача определения структуры линейной волны на фиксированной координате сводится к задаче нахождения коэффициентов Vn формулы (1.60).

Записав дисперсионное соотношение к=к(со)% либо выражения для фазовой скорости и коэффициента затухания среды, определим у = z z ^-гХС^/с^ ccoj - 8 (ып)) и далее "соберем" волну с помощью обратного ЕПФ.

Линейные решения уравнения С1.35) ь ос - о О О 01П -18 В«.41710-05 оЛ1310*03

Рис. 1.9

Здесь и далее через d обозначен коэффициент при тепловом члене)

Интервал времени Т определяется опытным путем, причем

3 'W Aw Тем Же ПОДбирается необходимое число гармоник: из условия сдвига без искажений при k=co/cQ } в зависимости от крутизны фронтов. Следовательно - шаг дискретизации по времени А = Т/А

Общее дисперсионное соотношение для ждкости с пузырьками пара приведено на странице 29 . Понятно, что учет эффектов, связанных с инерцией присоединенной массы пузырьков к увеличению коэффициента затухания и уменьшению фазовой скорости по мере приближения частоты к резонансной. Действительно, график фазовой скорости (Рис. 1.8) в этом случае немонотонен. На высоких частотах имеет место дисперсия скорости звука, вызванная рэлеевской пульсацией пузырьков, которая характерна для газожидкостных смесей без фазовых переходов ["441. В противоположность этому на низких частотах проявляется тепловая дисперсия противоположного знака.

Интересно проследить влияние межфазного теплообмена на эволюцию линейных волн в парожидкостной среде пузырьковой структуры. На рис. 1.9 приведено линейное решение уравнения (1.35) с коэффициентом при dc^/di (в дальнейшем будем называть его о() равным нулю. Начальное возмущение, заданное в виде Гауссиа-на р (■£, q)= трансформируется здесь в уменьшающийся по амплитуде импульс за которым следует волновой пакет. Аналогичные структуры были получены при решении задачи об эволюции волн давления в среде без фазовых переходов. Увеличение коэффициента изменяет вид линейной волны. Так на рис. 1.10 (о/л- 1СП^) тепловое взаимодействие фаз приводит только к уменьшению амплитуд осцилляций. На рис. I.II видно, что волновой пакет оказывается поднятым на своеобразную подложку и

Линейные решения уравнения (I.35)

5561О-03 К417ш-05 с-Л 1310-03

Рис Л.10

Линейные решения уравнения(I.35).

Хл

-.556,0-02 К4171П-05 с».1131О*03 ю

10

3.0

2.0

1.0 4

10

10

10 х-Лл0010 + 009 .ЗООщ-ОО. .5001П*00, ,700^00

4.0 —

0.0 — п

I1 11 11 I I I ! I I I 1 I I I \ Л1

111 1 1 1 1 1 1 I I 1 1 [ 1 1 I I

I 1 1 1 1 1 I 1 1 1 1 I I 1 1 1 1 I 1 1 1 11 1

00щ-18

0ю-02

80ю-02 tfceK

Рис.I.П

Линейные решения уравнения (1.35) при сильном тепловом взаимодействии между фазами. tf=.556w-01 К4171П-05 о.ПЗ^ОЗ

10

10 х-ЛООю-ОО, 030010 -00. ,500!О*009 .700^-00,

4.0 ' i

3.0

I I 1 i I 1 1 1 \ Л

2.0

1.0

0.0

М 1 ! | 1 М i j 1 I I 1 1 1 I I i | I I i ! [ i 11 I 1 1 1 I i Г 1 1 II [ N I I | 11 1 I 1

00,n-18

40lo-02 Рис.I.12

80u -02 t}ceK

Ликерные решения уравнения (1.35) с Jb = 0. Структуры, обусловленные только тепловоз дисперсией и диссипацией,

278,„-02 К000,„-18 с-Л131О'05 х-ДООщ'ОО. А

4.0 ■

300ю-00. .500,п*009 „700^00

10 ю з.о

2.0 1 t

LO

0.0 —

-j-i I 1 i 1 i 1 I I j i I ! I | I I i i j I 1 1 I 1 1 1 1 I | M 1 i 1 I 1 I 1 j I i 1 1 | I I I i 1

OOm-18

40.л-02

80ш -02 tfceK происходит заметное внполаживание переднего фронта сигнала. т

Наконец на рис.1.12 («^ 10) импульс очень сильно затухает и осцилляции вообще не образуется. Структура волны здесь такая же как и на рис. I.I3, гдеу# = 0 и инерционная дисперсия искусственно выключена. На рис. I.I2 и I.I3 подложка выделяется в чистом виде: ее образование вызывается, очевидно, тепловой дисперсией, то есть отставанием длинных волн.

Рисунки 1.9 и 1.10 демонстрируют также еще одно преимущество используемого метода решения линейных уравнений: при выборе интервала времени Т< Т^сп хвост волны не теряется, а изображается в начале графика.

Наличие тепловой дисперсии при эволюции низкочастотного возмущения казалось бы должно было привести к появлению осцил-ляций в прифронтовой области, так как в этом случае высокие частоты являются наиболее быстрыми. Однако этого не происходит, потому что чем сильнее тепловая дисперсия, тем больше высокочастотное затухание. Поэтому волновой пакет затухает, не успев выделится. Для демонстрации существования тепловой дисперсии, при расчете эволюции низкочастотного сигнала в программу искусственно было заложено Im(h)~o . В этом случае (Рис. I.I4) действительно получаются осцилляции, опережающие основное образование. На рис. I.I5 приводится решение уравнения с теш же коэффициентами при lm О .

Основные выводы и результаты главы

1. Предложена модификация задачи о теплообмене парового пузырька с несущей фазой, позволяющая учесть присутствие в среде других пузырьков.

2. Исследованы зависимости акустических характеристик парожидкостной суспензии от частоты сигнала и от радиуса пузырьков.

Действие тепловоз дисперсии на низкочастотны? сигнал при искусственно выключенной диссипации. х'-ЛП^ОО 0-.4171П-05 оЛ131Л+03

10

10 х*Л.001О*00, ,5001О + 00, в900ю*00? ,200ю*01

4.0

1 X

3.0 п

2.0 I I т I т т

X х l.o 4-I о.о 4

11! 11;; I!! i;i I j; i п j! I I 11! j;! i (|; i м j 11 и j; 111 j ! 11-|; м i j!! i

0.00

0.04

0.08

0.12 tfcea

Линейные решения уравнения (1.35) для начального возмущения большое длительности.

I о£.111м+00 6-.41710-05 с=.11310+03 х-.100м*00, .50010*00, .9001О-00, „20010*01, i ' '' ! 4.0 — i . ii : и

II

II

2.0 —

1.0 —

0.0 —

-11i111111111111]1111)11iI!111111111111111111111 i 1111 i 111111111 i I—

0.00 0.04 0.08 0.12 t,ceH.

3. Показано, что учет взаимного влияния включений на процесс межфазного теплообмена приводит к тому, что фазовая скорость при уменьшении частоты стремится к равновесной скорости звука.

4. Предложены методы оценки граничных частот, начиная с которых возможны: а) использование двухтемпературной модели, б) неучет сферичности межфазной границы.

5. Определена аналитическая зависимость теплового потока на межфазной границе от времени. Предложены методы его вычисления с помощью простых аппроксимационных формул.

6. Исследованы линейные волны в жидкости с пузырьками пара. Показано, что их эволюция определяется как инерционной дисперсией и тепловой диссипацией, так и низкочастотной тепловой дисперсией.

Основные результаты и выводы

1. Впервые рассчитана структура и динамика волн давления малой, но конечной амплитуды в жидкости с пузырьками пара. Проведено сравнение результатов расчета с экспериментами, выполненными в лаборатории физической гидродинамики ИТФ СО АН СССР. Показано, что для возмущений, реализуемых при экспериментах, справедливо приближение двухтемпературной модели. Проанализировано влияние параметров возмущения и свойств среды на структуру и динамику волн.

2. Рассмеотрена ячеистая модель парожидкостной смеси, позволившая при решении задачи о теплообмене пузырька с несущей фазой впервые учесть наличие в среде других пузырьков. На основе этой модели построены основные акустические характеристики жидкости с пузырьками пара: зависимости фазовой скорости, коэффициента затухания, пространственного декремента затухания от частоты. Впервые . для моделей, использующих только измеряемые характеристики смеси, получена правильная асимптотика фазовой скорости при частоте стремящейся к нулю. Показано, что в этом случае фазовая скорость волны стремится к равновесной скорости звука в парожидкостной среде. Найденные дисперсионные соотношения применяются для расчета линейных волн на основе реализованного автором алгоритма, использующего процедуры быстрого преобразования Фурье.

3. В приближении "тонкого теплового слоя" рассмотрена динамика парового пузырька в поле переменного давления с учетом подвижности сферической межфазной границы. Получены простые аналитические зависимости, описывающие рост парового пузырька при изменении температуры насыщения в системе. Сделан вывод, что исibk пользуемый часто при обработке экспериментов коэффициент 3, учитывающий якобы движение межфазной границы за счет испарения, пригоден только в случае статического перегрева и при нулевом начальном радиусе пузырька

4. Впервые разработаны специальные разностные схемы и алгоритмы, позволяющие рассчитывать эволюцию волн давления малой, но конечной амплитуды на основе интегродифференциальных уравнений двухтемпературной модели CisfJ. При этом использован предложенный автором метод интегрирования произведения двух функций, одна из которых сеточная. а>5

1.Иорданский С.В. Об уравнениях движения жидкости, содержащей пузырьки газа. - ПМТФ, 1.60, №3, с.102-110.

2. Когарко B.C. Об одной модели кавитирующей жидкости. Докл. АН СССР, 1961, т.137, №6, е.1331-1333.

3. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978, 336 с.

4. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1973, 568 с. б.Вингарден ван Л. Одномерные течения жидкости с пузырькамигаза. В кн.: Реология суспензий. М., 1975, с.68-103.

5. Морс Ш.М., Шешбах Г. Методы теоретической физики, т.2, М., ИЛ, I960, 856 с.

6. Matsui G., Sugihara М., Arimoto S. Propagation characteristics of pressure wave through gas-liqid plug-train systems, Bulletin of the J.S.M.E., 1979, v.22, №173,p. 1562-1569.

7. Лежнин С.И. Волны давления конечной амплитуды при снарядномрежиме течения двухфазной среды. В кн.: Неравновесные про!цессы в одно- и двухфазных системах. Новосибирск, ИТФ СО АН СССР, 1981, с.27-32.

8. Trammell G.T. Sound waves in water vapor bubbles. J. Appl. Phisics, 1962, v.33, №5, p. 1662-1670.

9. Ю.Акуличев В.А., Алексеев B.H. Акустические волны в жидкости с паровыми пузырьками. В кн.: Нелинейные волновые процессы в двухфазных средах. Новосибирск, ИТШ СО АН СССР, 1977, с.114-121.

10. П.Левицкий С.П. Диссипативные эффекты при пульсациях газовыхIпузырьков в вязкоупругих полимерных жидкостях. ПМТФ, 1979, №1, с.98-105.

11. Левицкий С.П. Взаимодействие неизотермической продольной волъьны с парогазовым пузырьком в полимерном растворе. В кн.: Физическая гидродинамика и тепловые процессы. Новосибирск, ИТФ СО АН СССР, 1980, с.39-44.

12. Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой. М.: Наука, 1975, - 416 с.

13. Лежнин С.И., Прибатурин Н.А. Нестационарные волны давления для различных режимов течения парожидкостной среды. Изв. СО АН СССР, Сер. техн. наук, 1983, №6, вып.2, с.20-26.15.3оммерфельд А. Механика деформируемых сред. М.: ИЛ, 1954, -483 с.

14. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука, 1973, - 175 с.

15. Накоряков В.Е., Соболев В.В., Шрейбер И.Р. Волны конечной амплитуды в двухфазных системах. В кн.: Волновые процессы в двухфазных системах. Новосибирск, ИТФ СО АН СССР, 1975, с. 5-53.

16. Бескаровайный Н.М., Ковалев В.Г., Поздеев В.А. Волновая модель газожидкостной среды. Акуст. журн., 1983, т.29, вып.2, с.166-168.

17. Накоряков В.Е., Шрейбер И.Р. Модель распространения вози/^ще-ний в парожидкостной смеси. ТВТ, 1979, т.17, вып.4,с.798-803.

18. Нигматулин Р.И., Хабеев Н.С., Шагапов В.Ш. Об ударнык волнах в жидкости с пузырьками газа. Докл. АН СССР, 1974, т.214, №4, с.779-783.

19. Прибатурин H.A. Влияние давления на распространение возмущений в парожидкостной среде. В кн.: Неравновесные процессы в одно- и двухфазных системах. Новосибирск, ИТ§ СО АН СССР, 1981, с.5-II.

20. Корабельников А.В., Оренбах З.М. Структура волн давления в парожидкостной среде и ее связь с динамикой пузырьков.

21. В кн.: Исследование по гидродинамике и теплообмену. Новосибирск, ИТФ СО АН СССР, 1980, с.40-46.

22. Гасенко В.Г., Оренбах З.М. Затухание нелинейных волн в паро-жидкостных смесях. В кн.: Неравновесные процессы в одно- и двухфазных системах. Новосибирск, ИТФ СО АН СССР, 1981,с.21-27.

23. Оренбах З.М. Укороченное уравнение для распространения волн в жидкости с пузырьками пара. В кн.: Гидродинамика одно- и двухфазных систем. Новосибирск, ИТФ СО АН СССР, 1982, с.71-73.

24. Гасенко В.Г., Накоряков В.Е., Оренбах З.М., Шрейбер И.Р. Распространение возмущений в жидкости с пузырьками пара. -ПМТФ, 1983, №3, с.86-90.

25. Лежнин С.И., Оренбах З.М. Математическая модель нестационарных процессов в парожидкостных системах. В кн.: Численные методы решения задач математической физики.: Тез. докл. Всесоюзн. школы. Львов, 1983, с.43-44.

26. Оренбах З.М. Скорость звука в парожидкостной среде. В кн.: Гидродинамические течения и волновые процессы. Новосибирск, ИТФ СО АН СССР, 1983, с.62-70.

27. Виглин А.И. Распространение колебаний в двухфазной системе жидкость-пар. ЗКТФ, 1938, т.8, №3, с.275-285 и №4, с.355-366.

28. Уоллис Г. Одномерные двухфазные течения. М.: Мир, 1972, -240 с.

29. Сычев В.В. Скорость звука в воде и водяном паре на линии насыщения. ИФЖ, 1961, т.4, №6, с.64-69.

30. Вайсман М.Д. Термодинамика парожидкостных потоков. Л.: Энергия, 1967, - 272 с.38Дежнин С.И. Акустика дисперсно-кольцевого режима течения парожидкостной среды. В кн.: Исследование сложного теплообмена. Новосибирск, ИТФ СО АН СССР, 1978, с.80-88.

31. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Механика сплошных сред. М., П1ТТЛ, 1954. - 795 с.

32. Мандельштам Л.И., Леонтович М.А. К теории поглощения звука в жидкостях. ЖЭТШ, 1937, т.7, №3, с.438-449.

33. Корабельников А.В. Экспериментальное исследование распространения возмущений давления в парожидкостных средах. В кн.: Теплофизические исследования. Новосибирск, ИТФ СО АН СССР, 1977, с.47-51.

34. Семенов Н.И., Костерин С.И. Результаты исследования скорости1V5звука в движущихся газожидкостных смесях. Теплоэнергетика, 1964, т.II, №6, с.46-51.

35. Покусаев Б.Г., Корабельников А.В., Прибатурин Н.А. Волны давления в жидкости с пузырьками пара. В кн.: Волновые процессы в двухфазных средах. Новосибирск, ИТФ СО АН СССР, 1980,с.20-46.

36. Шагапов В.Ш. Учет нестационарного тепломассообмена в задачео распространении малых возмущений в жидкости с пузырьками. -Изв. АН СССР, МЖГ, 1979, №4, с.157-162.

37. Радовский И.С. Скорость звука в двухфазных парожидкостных системах. 1ЖШ, 1970, №5, с.78-85.

38. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. М.: Физмат-гиз, 1963, т.З. Квантовая механика. Нерельятивистская теория.-702 с.

39. Weisman J., Ake Т., Knott R. Two-phase pessure drop across abrupt area changes in oscillatory flow.- Hucl. Sci. Eng., 1976, v.61, p.297-309.54.4a, Генри. Рост пузырька при понижении давления. Теплопередача, 1981, т.103, М, с.66-72.

40. Нигматулин Р.И., Рахматулина И.Х. Нестационарный тепломассообмен около сферической частицы. ПМТФ, 1977, М, с.95-102.

41. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z -преобразования. М.: Наука, 1971, - 288 с.

42. Горелик Г.С. Колебания и волны. М.: Физматгиз, 1959, -572 с.

43. Скучик Е. Основы акустики. М.: ИЛ, 1959, т.2, с.558.

44. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. М.: Мир, 1976, -735 с.

45. Арсенин В.Я. Математическая физика. Основные уравнения и специальные функции. М.: Наука, 1966, 367 с.

46. Шрейбер И.Р. Волны конечной амплитуды в двухфазных системах. -Дис. на соиск. ух®вн. степ. докт. физ-мат. наук (01.04.14). Новосибирск, 1981, 360 с. В надзаг.: АН СССР, Сиб. отд., Ин-т теплофизики.

47. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. М.^Л.: Машгиз,1962, 450 с.

48. Исаев С.И., Кожинов И.А., Кофанов В.И. и др. Теория тепломассообмена. М.: Высш.школа, 1979, - 495 с.

49. Rayleigh, Lord (Strutt J.W.) On the Pressure Developed in a Liquid During the Collapse of a Spherical Cavity.- Phil.

50. Mag., 1917, v.34, p.94-98.

51. Кнэпп P., Дейли Дж., Хэммит Ф. Кавитация. М.: Мир, 1974, -687 с.

52. Плезет М.С., Цвик С.А. Рост паровых пузырей в перегретых жидкостях. В кн.: Вопросы физики кипения. М., 1964,с.189-21I.

53. Форстер Г., Зубр Н. Рост парового пузыря в перегретой жидкости. В кн.: Вопросы физики кипения. М., 1964, с.212-225.

54. Pinch R.D., Heppiras Б.A. Vaper bubble dynamic.- J. Acoust. Soc. America, 1973, v.53, №>5, p.1402-1410.

55. Нигматулин Р.И., Хабеев H.C. Динамика паровых пузырьков. -Изв. АН СССР МЖГ, 1975, №3, с.59-67.

56. Plesset M.S., Zwick S.A. On the Dynamics of Small Vapor Bubbles in Liquids.- Journal of Mathematics and Physics, 1955, v.33, №4, p.309-407.

57. Savic P., Gosnell J.W. The Dynamics of the Expanding Vapor Bubble in a Boiling Liquid.- Canadian Journal of Chemical

58. Engineering, 1962, v.40, p.238-243.

59. Флоршютц Л., Чао Б. Механизм разрушения пузырьков пара. -Теплопередача, 1965, т.87, №2, с.58-72.

60. Bosrgakovic P. Verdampfung und Fliissigkeitsuber hitzung.-Tecn. Mech. und Thermodynamik, 1930, b.1, №10, s.358-362.

61. Stralen van S.J.D., Zijl W. Fundamental developments in bubble dynamics.- Sixth international heat transfer conference. Toronto,1978, v.6, p. 429-449.

62. Toronto, 1978, v.6, p.429-449.

63. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. - 487 с.

64. Стренг П., Орелл А., Уэстуотер Дж. Микроскопическое изучение роста пузыря при кипении. В кн.: Вопросы физики кипения. М., 1964, с.331-353.

65. Фритц В., Энде В. Исследование механизма парообразования с помощью киносъемки паровых пузырей. В кн.: Вопросы физики кипения. М., 1964, с.162-188.

66. Джоунз 0., Зубер Н. Рост пузьфьков пара в поле переменного давления. Теплопередача, 1978, т.100, №3, с.75-83.

67. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т.1. М., Физ-матгиз, - 1962, 464 с.

68. Вукалович М.П. Теплофизические свойства воды и водяного пара. -М., Машиностроение, 1967, 160 с.

69. Plesset M.S., Zwick S.A. A Uonsteady Heat Diffusion Problem with Spherical Symmetry.- J. Appl. Phys., 19528 v.23, №2,p.95-98.

70. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа, т.2, -М.: Физматгиз, 1963, 515 с.

71. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. М.: Наука, 1964, - 344 с.

72. Гасенко В.Г., Накоряков В.Е., Шрейбер И.Р. Приближение Бюргерса-Кортевега-де-Вриза в волновой динамике газожидкостных систем. В кн.: Нелинейные волновые процессы в двухфазных средах. Новосибирск, ИИ СО АН СССР, 1977, с.17-31.

73. Hoordsij L., Wijngarden van L, Relaxation effects, causedby relative motion on shock waves in gas-bubbles/liquid mixture. J.Fluid Mech., 1974, v. 66, p. 115-143.

74. Руденко O.B., Солуян C.H. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука, 1975, - 287 с.

75. Гасенко В.Г., Накоряков В.Е., Шрейбер И.Р. Нелинейные волны в жидкости с пузырьками.Ак.журн.,1979,№5, с.681-686.

76. Crespo A. Sound and shock waves in liquid containing bubbles.-Phys. of Fluids, 1969, v.12,U°11, p.2274-2282.

77. Гасенко В.Г. Нелинейные волновые процессы в газожидкостных смесях. Дис. на соиск. учен. степ. канд. физ.-мат. наук (01.04.14). - Новосибирск, 1979, 131 с. В надзаг.: АН СССР, Сиб. отд., Ин-т теплофизики.

78. Чиркин B.C. Теплофизические свойства материалов ядерной техники. М.: Атомиздат, 1968, - 484 с.

79. Березин Ю.А. 0 численных решениях уравнения Кортевега-де-Вриза. Числ. методы механики сплошной среды, 1973, т.4, №2, с.20-31.

80. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972, 418 с.

81. Талонов В.А. Пакет подпрограмм быстрого преобразования Фурье с приложениями к моделированию случайных процессов. Новосибирск, 1976. - 19 с. (Препринт/ АН СССР, Сиб. отд-ние. Ин-т теплофизики; 14-76).

82. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Прибатурин Н.А., Шрейбер И.Р. Распространение возмущений давления конечной амплитуды в пузырьковой парожидкостной среде. ПМТШ, 1982, №3, с.84-90.кЧ

83. Корабельников A.B. Процессы тепломассообмена в волновой динамике парожидкостной среды. Дис. на соиск.учен. степени кандидата физтмат.наук (01.04.14). Новосибирск, 1981, 139 с. АН СССР Сиб.отд., Ин-т теплофизики.1.ц 5*1. ПРИМЕЧАНИЕ

84. Результаты деленных расчетов, приведенные в работах 28~33| получены автором самостоятельно на основе предложенных им алгоритмов и разностных схем.

85. В работах28,29}и [з£| , написанных совместно с чл.-корр. АН СССР В.Е.Накоряковым, д.ф-м.н. И.Р.Шрейбером, к.ф-м.н.

86. B.Г.Гасенко, к.ф-м.н. А.В.Корабельниковым, автор принимал участие в постановках задач и обсуждениях полученных результатов.

87. Автору не принадлежат и в диссертации не защищаются экспериментальные данные работы28.и обобщение некоторых положений на случай парожидкостной смеси непузырьковой структуры, сделанное1. C. И.Лежниным 32.