МГД-устойчивость в открытых ловушках при интенсивном нагреве плазмы тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.08 ВАК РФ

рт Б ОА

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ им. Г.И. Будкера СО РАН

На правах рукописи

ЯКОВЧЕНКО Спартак Геннадьевич

МГД-УСТОЙЧИВОСТЬ В ОТКРЫТЫХ ЛОВУШКАХ ПРИ ИНТЕНСИВНОМ НАГРЕВЕ ПЛАЗМЫ

01.04.20 - физика и химия плазмы

Л 13 Т О Р Е (I) !■: Р Л т

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НОВОСИБИРСК—1995

Работа выполнена в ГНЦ РФ "Институт ядерной физнкн им. Г.И. Будкера СО РАН"

НАУЧНЫЕ РУКОВОДИТЕЛИ:

Котельников Игорь Александрович

Рютов

Дмитрий Дмитриевич

— кандидат физ.-мат. наук,

ГНЦ РФ " Институт ядерной физики им.Г.И. Будкера СО РАН", г.Новосиб

— доктор физ.-мат. наук, академик, профессор,

ГНЦ РФ "Институт ядерной физики им.Г.И. Будкера СО РАН", г.Новосиб

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

Кабанцев

Андрей Анатольевич Мушер

Семен Львович

Ведущая организация:

кандидат физ.-мат. наук,

ГНЦ РФ "Институт ядерной физики

им.Г.И. Будкера СО РАН", г.Новоси

доктор физ.-мат. наук, профессор, Институт автоматики и электрометр СО РАН, г.Новосибирск.

Российский научный центр, " Курчатовский институт", г. Москва.

Защита диссертации состоится " " _ 1995 г. в

" " часов на заседании специализированного совета Д.002.24.02 I

ГНЦ РФ "Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН".

Адрес: 630090, г. Новосибнрск-90,

проспект академика Лаврентьева, 11

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГНЦ РФ "ИЯ<3 им. Г.И. Будкера СО РАН".

Автореферат разослан " 2.5* " Склго^к-л^ 1995 г.

Ученый секретарь специализированного совета академик

/У¿¿У Б.В.

Чирике

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время открытые ловушки рас-атрнваются как одна из альтернатив системам для магнитного удер-¿ння плазмы типа токамак и как основа для создания источника термо-;рных нейтронов для испытания конструкционных материалов. Типич-я открытая ловушка состоит из одного или нескольких пробкотронов, тыкаемых с торцов магнитными пробками. Нагрев плазмы в такой :теме обычно осуществляется лпбо за счет инжекцин в плазму бы-рых нейтральных атомов, либо при помощи высокочастотного (ВЧ) ля. Передача энергии плазме в процессе се нагрева сопровождается юдачен ей импульса. Иными словами, па плазму, нагреваемую при мощи атомарных пучков или ВЧ поля, действует некоторая сила, ко-рая может существенно изменять условия устойчивости плазмы. Пай-лее опасными для удержания плазмы в открытых ловушках являются гннтогндродннамическне (МГД) неустойчивости, так как они имеют нболмнпй инкремент нарастания. Теоретическое исследование влня-я нагрева плазмы на ее МГД устойчивость представляется необходи-

1М.

Целью настоящей работы является:

— исследование МГД устойчивости в аксиально-симметричных от-ытых ловушках в ситуации, когда нельзя пренебрегать потоком им-льса, поглощаемым плазмой при нагреве;

— рассмотрение особенностей ВЧ нагрева в открытых ловушек.

Научная новизна. Ниже приведены наиболее важные из результа-в, впервые полученых в настоящем исследовании:

1. Впервые проведено исследование влияния инжекцин атомарных чков на устойчивость крупномасштабных желобковых колебаний.

2. Рассмотрена аксиалыю-снмметрнчная схема для нагрева плазм на несобственных ВЧ колебаниях ИЦР диапазона. Показана высокая э< фективность предложенной схемы.

3. Проанализировано влияние вынужденных ВЧ колебаний в ближн зоне антенны, применяемых для нагрева плазмы, на устойчивость ме комасштабных желобковых возмущений. Обнаружена неустойчивость : резонансных частицах, развивающаяся при высокой интенсивности н грева.

4. Впервые указано, что при достаточно высоких значениях ВЧ по. возможно подавление неустойчивости на резонансных частицах.

5. Проанализировано влияние собственных ВЧ колебаний плазме ного столба с резкой границей, заключенного в металлический прон дящий кожух, на развитие желобковых колебаний. Найдены критер] благоприятного воздействия ВЧ поля на устойчивость плазмы.

6. Показано, что при возбуждении в плазменном столбе ВЧ колеб ний с частотой, близкой к частоте вырождения, нарушается аксиальи симметричное равновесие плазмы.

Научная и практическая ценность. Исследование влиян средств нагрева плазмы на ее МГД устойчивость позволило получить р: рекомендаций, полезных для разработки систем инжекцни нейтральш атомов и систем ВЧ нагрева. В диссертации рассчитана принципиаль новая схема ВЧ нагрева для открытых ловушек, имеющая ряд преим ществ по сравнению с обычно используемыми схемами нагрева на сс ственных ВЧ колебаниях. Проведенные теоретические расчеты влиян ВЧ поля на желобковую неустойчивость важны для оценки перспект ВЧ стабилизации плазмы.

Апробация работы, публикации: работы, положенные в осно диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на научных < минарах в ведущих отечественных центрах, таких, как Государственш Научный Центр "Институт Ядерной Физики им. Г.И.Будкера СО РАЙ Государственный Научный Центр "Курчатовский Институт". По те: диссертации опубликовано 7 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введен! четырех глав и заключения. Основной материал работы, изложенный 96 страницах, включает 14 рисунков и список литературы из 63 наи\ нований.

-----СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ___________________

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, дан крат-й анализ проблем, решаемых в работе, сформулированы цели исследо-¡шй, приведены основные результаты.

В первой главе рассматривается МГД устойчивость плазмы при генсивной инжекции атомарных пучков. Качественное обсуждение та-о влияния для случая двухкомпонентной плазмы проведено в §1.1. При :налыю-спмметрпчной инжекции (аксиально-несимметричная инжек-я может вызвать усиление поперечного переноса плазмы) возникаю-.я вследствие поглощения атомов дополнительная сила в равновесном :тояшш направлена по радиусу плазменного шнура. Сравнение вытал-ваюгцей желобок силы "кривизны" магнитного поля <5/ и возмущенной 1Ы, действующей со стороны атомарных пучков, <5/о показывает, что ияние инжекции на устойчивость плазмы становится определяющим я осесимметрнчных ловушек достаточно большой длины, когда вы-пняется соотношение:

(1)

: Ь, Ьт и а - соответственно длина центрального пробкотрона от-ытой ловушки, длнна пробочного участка и радиус плазмы, г - ха-■стерпое время жизни плазмы в ловушке (в отсуствие инжекции), и0 ->рость инжектируемых атомов. Соотношение (1) получено для случая, "да почти вся энергия быстрых ионов (образующихся при инжекции '¡тральных атомов) при торможении передается мишенной плазме. Уравнение желобковых колебаний при наличии силы, действующей стороны атомарных пучков при аксиально-симметричной инжекции, в гдположении малости вклада кривизны магнитного поля по сравнению кладом инжекции (когда условие (1) удовлетворяется с большим запа-1) имеет весьма сложный ннтегродифферешшальный вид. Его вывод шропзведен в §1.2-1.3.

Ранее это уравнение было использовано для анализа устойчивости пкомасштабных, с размером локализации Дг много меньше радиуса 13мы а, желобковых колебаний, а также жесткого "твердотельного" гщения плазменного шнура как целого (см. §1.3). В §1.4 проанализирована еще одна возможность упрощения уравне-я желобковых колебаний, появляющаяся при рассмотрении плазмы с !Кой границей, в которой зависимость концентрации п и коэффициента

поглощения к быстрых атомов от радиуса аппроксимируется ступенько При этом возмущение коэффициента поглощения

6к = — £ • V« = £г(а, <р) ■ к 6 (г — а) ,

а вместе с ним и возмущение силы 6/0 будут зависеть только от значен! вектора желобкового смещения £(г, <р) на границе плазмы. В этом случ; дифференциальное уравнение желобковых колебаний удается проинт грировать аналитически для произвольного аксиального модового чиа желобка /.

Заметим, что в приближении плазмы с резкой границей имеет смы< рассматривать лишь крупномасштабные возмущения, характерный ра мер которых Дг ~ а/1 больше масштаба изменения плотности плазм Да. Таким образом области применимости приближения мелкомасшта ных желобков и приближения плазмы с резкой границей дополняют др; друга и в совокупности дают исчерпывающий ответ на вопрос об усто чивости плазмы, нагреваемой атомарными пучками.

Вторая глава посвящена описанию, так называемого, "квазистат ческого" приближения для ВЧ поля и расчету на основе этого прибл ження аксиально-симметричной схемы нагрева на несобственных ко* баниях.

Необходимость использования "квазистатического" приближения вс никает потому, что теоретическое описание ионного циклотронного рез нансного (ИЦР) нагрева плазмы в некоторых открытых ловушках час затруднено из-за малости радиуса плазменного шнура а по сравнена с длиной волны высокочастотных (ВЧ) колебаний Адя, делающей I применимым квазиклассическое (ВКБ) приближение, справедливое и] а/Хцг 1 (Ад/р ~ с/игр,, где Шр, - ионная плазменная частота, с - с» рость света). Совершенно иная ситуация имеет место в токамаках. Д них на основе ВКБ приближения развита детальная теория, хорошо о£ ясняющая результаты многочисленных экспериментов. В настоящей д1 сертации для описания ВЧ поля при ИЦР нагреве всюду использует квазистатическое приближение, область применимости которого сос ветствует условию малости "параметра квазистатики"

а/АЛр < 1 . (

В схеме ИЦР нагрева, рассмотренной в диссертации предполагает! что витковая антенна возбуждает в плазме вынужденные колебанш

нмутальным числом т = 0 и с частотой и> ниже минимальной из соб-венных частот магнитозвукопых колебаний плазменного шнура О.. По рядку величины Г2 ~ г>л/п где Vа = Н/(4ющщ)1^2 - альфвеновская орость, оцененная по максимальной плотности п,- в центре плазменного кура и магнитному полю ловушки Я; нетрудно видеть, что предполо-мше ш <С П идентично приближению (2) при и> ~ ш,-, и>,- = еН/гщс -•иная циклотронная частота. В рамках квазистатического приближе-1Я, как будет показано в главе 4 диссертации, существуют собственные 1пштозвуковые колебания плазменного шнура с аксиальным модовым гслом т ф 0 (мы обозначаем через то азимутальное число ВЧ ко-баннн, в отличие от \ — азимутального числа желобка). Аксиально ;мметричные собственные колебания с т = 0 в квазистатическом при-[ижении отсуствуют.

При таком выборе частоты, во-первых, исчезают трудности с про-1кновением колебаний внутрь плазмы, характерные для коротковолно-»IX колебаний из-за наличия обширных зон непрозрачности. Во-вторых, включается проблема отслеживания генератором частоты собственных шебаний плазмы. И в-третьих, осевая симметрия колебаний (т = 0) ^едотвращает усиление поперечных потерь плазмы вследствие неоклас-[ческих эффектов.

С другой стороны, отказ от возбуждения собственных колебаний газмы приводит к уменьшению ВЧ полей в плазме (при заданной мощ-зсти, подводимой к антенне) и, соответственно, к уменьшению мощно-:и, поглощаемой в плазме. Однако это уменьшение можно компенсиро-1Ть увеличением коэффициента поглощения за счет включения эффектных механизмов поглощения. Использование дополнительных меха-;гзмов поглощения, таких, как циклотронное затухание на малой прн-еси ионов или ион-ионный гибридный резонанс облегчается возможно-гью подбора частоты колебании, которая в рассматриваемой схеме не ривязана к частотам собственных колебаний. Так как собственные ко-збания не возбуждаются, зона нагрева локализована непосредственно Злнзи антенны (в ближней зоне), но, разумеется, из-за движения частиц даль магнитного поля прогревается весь плазменный шнур.

В условиях, типичных для газодинамической лопушки, для которой редназначена описываемая схема нагрева, столкновительная длина про-гга частиц не слишком велика (или даже мала) по сравнению с длн-эй ловушки. Поэтому нелинейные эффекты, связанные с корреляцией ежду последовательными пролетами частиц через зону нагрева, несу-(ественны, так что при анализе можно ограничиться линейным прибли-;ением.

В §2.1 вычислен импеданс внтковой антенны. При его получении с щественным образом использована малость искажения ВЧ поля пла мой при выполнении условия (2), когда "параметр квазистатики" ма В нулевом приближении по этому параметру поле, создаваемое анте ной, можно считать вакуумным, т.е. вообще не учитывать плазму щ его расчете. В следующем приближении можно найти поправку к пол] обусловленную присуствием плазмы. По известному полю легко рассч тывается мощность ВЧ колебаний, поглощаемая в плазме, которая, Ki известно, пропорциональна антиэрмитовой части тензора диэлектрич ской проницаемости eaß-

Для случая бесстолкновителыюй плазмы вид этой части привел« в §2.2. В §2.3, для случая силыюстолкновительной плазмы методе Чепмена-Каулинга, применявшемся ранее для расчета кинетических к эффициентов в плазме, найдено решение кинетического уравнения и bi числена антиэрмитова часть тензора диэлектрической проницаемост Влияние неоднородности магнитного поля на полученные результат обсуждается в §2.4.

В §2.5 настоящей диссертации рассмотрены возможные режимы и сц нарий нагрева. В согласии с известными ранее результатами, нагрев i циклотронной частоте w,- ионов основной компоненты оказывается мал эффективен по той причине, что именно при и> = иц исчезает поляриз ционная составляющая ВЧ поля, вращающаяся в направлении вращеш ионов. При ы = ш,- импеданс становится чисто мнимым (индуктивные Эффективный нагрев оказывается возможным на циклотронной частота примесных ионов, если их плотность не настолько велика, чтобы п рестроить поляризацию ВЧ колебаний. При этом активная часть ими данса антенны, ответственная за поглощение, может стать порядка р активной, а ВЧ мощность, соответственно, использоваться максималы эффективным образом.

В третьей главе рассмотрено влияние пондеромоторной силы, ин циируемой ВЧ колебаниями, на плазму в ситуации, когда ВЧ по. используется преимущественно для нагрева, плазмы и, следовательн должна быть принята во внимание диссилацня ВЧ мощности. Бол! конкретно: рассматривается устойчивость мелкомасштабных желобк вых мод в осесимметричной двухкомпонентной плазме, которая подверг ется ИЦР нагреву на циклотронной частоте ша малой добавки ионов. Кг и в главе 2 предполагается, что ВЧ поле возбуждается витковой антенне с частотой ш много меньшей собственной частоты магнитозвуковь колебаний плазменной колонны.

Известно, что влияТш^ВЧ поля на МГД устойчивость плазмы выра-ается через пондеромоториую силу, которая является нелинейной по ВЧ лплитуде низкочастотной частью полной силы, действующей на плазму ) стороны ВЧ поля. После нахождения возмущения пондсромоторной 1лы, индуцируемого МГД колебаниями, дальнейшее исследование МГД :тончивостн сводится к хорошо известной процедуре. Таким образом, ьдача теории состоит в определении возмущения нондеромоторной силы, >торое можно найти в квазилинейном приближении. Это приближение )ляется точным для большинства экспериментов по ВЧ стабилизации, )скольку ВЧ спектр имеет большой разброс по ¿ц.

Упрощенный вывод уравнений теории ВЧ стабилизации приведен в ¡.1, причем принято во внимание изменение ВЧ поля вдоль оси ловушки, ! учитывавшееся ранее.

В §3.2 проведен расчет ВЧ поля на основной и комбинационных ча-'отах. Использование 'приближения квазистатики, позволяет получить юстые аналитические формулы для зависимостей полей от координат.

В §3.3 выведено и проанализировано дисперсионное уравнение для глкомасштабных желобковых мод. Показано, что квазилинейная теория >едсказывает сильную неустойчивость в наиболее эффективном режиме 1грева в схеме ИЦР нагрева на малой добавке и, что эта неустойчивость ¡условлена сильным взаимодействием ВЧ волна - резонансные частицы, казывается, однако, что квазилинейная релаксация функции распределил ионов добавки при достаточно высоком уровне ВЧ мощности пода-:яет неустойчивость. Для случая, когда неустойчивость на резонансных птицах подавлена, найден простой критерий, разграничивающий слу-1Н стабилизирующего и дестабилизирующего влияния нондеромоторной лы на плазму.

В четвертой главе проанализировано влияние на устойчивость же-бковых возмущений собственных ВЧ колебаний цилиндрического плаз-:ниого шнура, в случае, когда диссипация ВЧ мощности мала, т.е. для бственных ВЧ колебаний.

Решение задачи ВЧ стабилизации низкочастотных (НЧ) МГД не-тойчивостен плазмы путем расчета возмущения нондеромоторной лы требует весьма громоздких вычислений. В данной главе пеполь-ется другой известный подход к проблеме ВЧ стабилизации, приме,ш->ш именно при малой диссипации ВЧ мощности. При достаточно малом глощении плазмой энергии ВЧ колебаний и вследствие существенного зличия частот ВЧ и НЧ колебаний при их взаимодействии сохраняется иабатический инвариант, характеризующий ВЧ степень свободы. Он

равен IV/ш, где IV — энергия ВЧ колебаний, а ш — нх частота. Разв! тие НЧ возмущений, перестраивая профиль плотности плазмы, вызыва< изменение частоты ВЧ колебаний. Если частота ВЧ колебаний измен ется на ёш, то их энергия изменяется на 6\¥ — (бш/ш) • [V. Плазма буж устойчивой при условии, что суммарная энергия НЧ возмущений и В колебаний положительна: ДИ7 + > 0. Хотя расчёт частоты ВЧ кол баний необходимо проводить с точностью до квадратичных по амплиту. НЧ колебаний поправок, иногда вычисление 6ш оказывается проще, н жели прямолинейное вычисление ПМ силы. Именно так обстоит дел если принять предположение о резкой границе плазмы.

Рассмотрение, на примере плазмы с резкой границей, влияния ] устойчивость желобковых возмущений собственных ВЧ колебаний ц линдрического плазменного шнура показывает, что существуют Е моды, которые могут быть использованы для стабилизации плазмы.

В §4.1 обсуждается приближение плазмы с резкой границей и пр ведено решение уравнений Максвелла для плазменного шнура с невс мущённой границей, а также изложены предварительные сведения, I обходимые для определения в §4.2 собственных колебаний плазменна шнура с возмущенной границей.

Расчет поправки к частоте, обусловленной желобковымн возмун ниями границы плазмы проведен в §4.2. Решаемая задача эквш лентна квантовомеханическому расчету возмущения собственного з^ чення энергии уравнения Шредингера и решается стандартным спо< бом. Расчет возмущения частоты даже при использовании приближен квазистатики весьма громоздок. В окончательном виде полученное вы{ женне для Ьи имеет обозримую форму и проанализировано в конце §4 Основной результат состоит в возможности стабилизации желобков: мод |/| > 2 при ш < и!х- На глобальную моду ¡/| = 1, как оказывается, I поле всегда оказывает дестабилизирующее влияние.

В §4.3 рассмотрен случай вырождения, когда собственные часто двух ВЧ колебаний совпадают. В такой ситуации фактическим реи нием системы уравнений Максвелла является некоторая комбинация эт ВЧ колебаний, а возмущение частоты должно определяться из секул: ного уравнения, решенного в §4.3. В §4.2 найдено, что у этих ВЧ коле! ний азимутальные модовые числа ть тч должны быть различны. Ле1 видеть, что квадратичная по амплитуде ВЧ поля невозмущенная п< деромоторная сила, рассчитанная по комбинации таких ВЧ колебан: будет иметь компоненты, зависящие от и, следовательно, аксиаль симметричного равновесия в этом случае не существует. Практичес

збужденне ВЧ поля на, частоте, достаточно близкой к частоте-выро----------

[ения, всегда должно приводить к неустойчивости. В §4.4 проведено краткое сравнение известных экспериментов но ВЧ абилизацни с результатами расчетов. Оно показывает, что проведен-:е расчеты имеют в основном методическое значение, поскольку усло-я экспериментам по ВЧ стабилизации не соответствуют нспользован-[М в данной главе приближениям. Во-первых трудно разделить вклад в гойчивость желобковых колебаний от несобственных и собственых ВЧ лебаний (они одного порядка). Во-вторых параметр квазистатнкн ;пернментах имееет значение близкое к единице, а не много меньше ее. I качественном уровне результаты §4.2 подтверждают результат проченных ранее численных расчётов, предсказавших отсутствие стабили-рующего эффекта ВЧ поля в пределе ш^а/с <С 1 при ш > ы,-. Следует метить, что эти расчеты были проведены лишь для частот ВЧ поля [ше циклотронной, вследствие чего были "утеряны" зоны устойчивости :лобков при и < полученные в §4.2.

В заключении приведены основные результаты и выводы работы, ляющнеся одновременно и положениями, выносимыми на защиту.

Основные результаты работы

1. Решена задача об устойчивости крупномасштабных желобковых возмущений в плазме с резкой границей при наличии интенсивной инжекции атомарных пучков. Проведенный анализ показывает, что такие возмущения оказываются устойчивыми при достаточно хорошей фокусировке пучков на ось плазмы.

2. В рамках квазистатического приближения, предполагающего малость длины волны ВЧ поля по сравнению с радиусом плазменного шнура, рассмотрена схема нагрева на несобственных колебаниях ВЧ поля, возбуждаемых полнооборотной антенной на частотах меньших нижнего края спектра частот системы плазма-кожух. Найден импеданс системы плазмп-пнтенна как для случая, когда преобладает столкновнтелыюе затухание ВЧ волны, так и для случая доплеровского затухания. На пределе своей применимости теория, развитая в диссертации, предсказывает высокую эффективность циклотронного нагрева на малой примеси тяжелых или легких ионов: до половины подводимой к антенне мощности поглощается в плазме. Высокая эффективность нагрева ионов возможна

также на частоте ион-ионного гибридного резонанса (в том числе равнокомпонентнон плазме).

3. Рассмотрено влияние пондеромоторной силы, индуцируемой В' полем при ИЦР нагреве на устойчивость мелкомасштабных мо в осесимметричных открытых ловушках. Для схемы нагрева н несобственных колебаниях ВЧ поля показано, что поглощение В1 мощности приводит к сильной неустойчивости на резонансных ч; стицах, если используется схема нагрева на ионах добавки. Тем и менее при достаточно высоком уровне ВЧ мощности квазилинейна релаксация функции распределения ионов добавки подавляет эт неустойчивость. Для случая, когда неустойчивость подавлена, iiaí ден простой критерий стабилизирующего влияния пондеромоторно силы на плазму. Показано, что при ы < u¡ граница плазмы стаб! лизирована, в то время как внутренняя часть плазменной колонн] подвержена мелкомасштабной желобковой неустойчивости.

4. Исследовано влияние собственных высокочастотных (ВЧ) колебг ний плазменного шнура с резкой границей в цилиндрическом провс дящем кожухе на устойчивость желобковых возмущений. Развити желобков вызывает изменение частоты и> ВЧ колебаний, которо связано с изменением их энергии W условием постоянства адиабг тического инварианта W/ш = const; последний сохраняется вслед ствие относительной медленности желобковых возмущений. В рам ках адиабатического приближения найдены области параметро! где ВЧ поле оказывает стабилизирующее влияние.

Публикации по теме диссертации.

1. И.А. Котельников, И.Е. Маслиев, Д.Д. Рютов, И.Ф. Шайхисламо! С.Г. Яковченко. Желобковая неустойчивость в открытых ловуш ках с интенсивной инжекцней атомарных пучков. Физика плазмх 16(10): 1155-1166, 1990; Sov. J. Plasma Phys. 16(10): 669-675, 199C

2. И.А. Котельников, С.Г. Яковченко Квазистатнческая теория ион ного циклотронного резонанса в открытых ловушках. Препринт, ИЯФ 90-49. 1990. Новосибирск: ИЯФ; Физика плазмы 17(3): 301 308, 1991.

3. I.A. Kotelnikov and S G. Yakovchenko. Ponderomotive stabilization с interchange modes in mirror plasmas at ICRF heating. Preprint IN,