Микро- и макроскопическая динамика стохастических вихревых структур в сверхтекучем гелии тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

На правах рукописи

Недобойко Михаил Владимирович

МИКРО- И МАКРОСКОПИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА СТОХАСТИЧЕСКИХ ВИХРЕВЫХ СТРУКТУР В СВЕРХТЕКУЧЕМ ГЕЛИИ

01.04.14 - теплофизика и теоретическая теплотехника

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 2003

Работа выполнена в Институте теплофизики Сибирского отделения РАН

Официальные оппоненты.

доктор физико-математических наук профессор Григорьев Юрий Нико-

лаевич

доктор физико-математических наук Кузьмин Геннадий Андреевич

Ведущая организация:

Институт физики твердого тела РАН (г. Черноголовка, Московская обл.)

Защита состоится «

2004 г.

в_час на заседании диссертационного совета К 003.053.01 по присуждению ученой степени кандидата наук в Институте теплофизики СО РАН (630090, Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 1)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теплофизики СО РАН Автореферат разослан «_» _2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.т.н.

Ярыгин В.Н.

2004-4 21944

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. К настоящему времени в некоторых областях науки и техники широкое применение получили различные системы, функционирующие при температурах ниже 2 К. В такой ситуации единственным реальным хладоагентом является сверхтекучий гелий (Hell). При конструировании подобных систем весьма важным является достоверное знание процессов теплообмена в Hell. Первоначально макроскопическое поведение сверхтекучего гелия описывалось уравнениями двужидкостной гидродинамики или уравнениями Ландау. Однако достаточно быстро стало ясно, что такой подход не в состоянии описать многие существенные эффекты, возникающие в Hell. Причина этого очевидна. Уравнения Ландау никаким образом не учитывают наличие вихрей сверхтекучей компоненты, возникающих в объеме жидкости при определенных условиях. Видимо, первый пример влияния вихрей на свойства Hell это случай вращающегося сверхтекучего гелия. Именно вихревая структура, аналогичная двумерному кристаллу, является, в этом случае, ответственной за приведение жидкости в твердотельное вращение.

В дальнейшем был осознан тот факт, что специфические вихревые конфигурации, типа прямых, слабо изогнутых линий или колец не реализуются в общем случае. В реальности полная вихревая картина представляет собой хаотически запутанную структуру, эволюционирующую во времени. Термин "вихревой клубок" (ВК) впервые появился в известной работе Р. Фейнмана 1955 года. Там же впервые был предложен качественный сценарий развития ВК. Дальнейший прогресс в данном направлении связан с работами Вайнена, который из общих соображений, феноменологически получил эволюционное уравнение на плотность вихревых линий в единице объема (ПВЛ).

В последствии уравнение Вайнена было связано с двужидкостной гидродинамикой Ландау. В результате, в настоящее время имеется полная система уравнений, описывающая гидродинамику сверхтекучей турбулентности (ГСТ), которая широко применяется для объяснения многочисленных экспериментальных результатов, а также в инженерных приложениях.

В действительности, некоторая проблема заключается в том, что, по сути, уравнение Вайнена нельзя назвать точным. Оно получено с использованием различного рода предположений, которые хотя и

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БЙЫШОТЬКА

представляются правдоподобными, но, в то же время не являются строго доказанными. Видимо, полностью корректный подход заключался бы в рассмотрении полных стохастических уравнений вихревой динамики, основанных на законе Био-Савара, описывающем межвихревое взаимодействие. Кроме того, необходимо также принимать во внимание взаимодействие вихревых нитей со нормальной компонентой и изменения топологии ВК, происходящие при перезамыкании линий в момент их (само)пересечения. Однако, таким образом поставленная задача крайне сложна, и на настоящий момент не видно путей ее полного решения. В то же время, некоторые выводы относительно сверхтекучей турбулентности, возможно сделать исходя из непосредственного рассмотрения свойств вихревого клубка.

В общем случае вихревая динамика относится к такому разделу физики неупорядоченных систем, как хаотическая динамика протяженных объектов. Диапазон примеров достаточно широк. Теория полимеров, мембран, физика релятивистских струн, теория линейных дефектов в твердых телах и многое другое. Кроме того, имеются основания считать, что многие свойства классической турбулентности могут быть описаны в терминах, так называемых, вихревых трубок. Представляется естественным проникновение и объединение результатов из одной области исследований в другую. Что касается непосредственно Hell, то, как известно, влияние вихрей на свойства сверхтекучей жидкости достаточно сильное. В данной области существуют весьма развитые экспериментальные методы исследований. Таким образом, в данном контексте сверхтекучая турбулентность может служить некоторым "полигоном" для тестирования возможного аналитического развития теории динамики протяженных объектов. Учитывая все вышесказанное, изучение свойств ВК в сверхтекучем гелии представляется достаточно актуальной задачей.

Целью работы является изучение свойств вихревого клубка в Hell. Кроме того, в работе содержится часть, посвященная численному исследованию распространения мощных тепловых импульсов в сверхтекучем турбулентном гелии. Последнее позволяет сделать заключение о применимости теории Фейнмана-Вайнена близи точки фазового перехода Hell-Hel, а также прояснить вопрос, связанный с первоначальным зарождением вихревого клубка.

Научная новизна. На основе феноменологической Гауссовой модели ВК, обобщающей многие известные экспериментальные факты, рассмотрены, а также предсказаны некоторые физические эффекты, связанные с клубком. Рассчитана полная энергия, связанная с вихревым движением. Сделаны определенные выводы относительно формы вихревых нитей.

На основе точных уравнений стохастической вихревой динамики, определены некоторые общие черты эволюции хаотической вихревой структуры, что позволяет дополнить существующие в настоящий момент взгляды на природу сверхтекучей турбулентности.

Выявлены некоторые характерные специфические особенности уравнений вихревой динамики.

Проведено численное исследование распространения мощных тепловых импульсов второго звука в Hell вблизи точки фазового перехода, что позволило установить применимость теории Фейнмана-Вайнена в данной температурной области, а также прояснить вопрос, связанный с первоначальным возникновением вихревого клубка в объеме жидкости.

Научная и практическая ценность. На основе микроскопических уравнений динамики вихрей, а также, опираясь на известные экспериментальные и численные результаты, получена новая информация о свойствах вихревого клубка в сверхтекучем гелии и, соответственно, сверхтекучей турбулентности.

Исследование нелинейной эволюции импульсов второго звука позволило определить достоверность теории Фейнмана-Вайнена и, следовательно, уравнений гидродинамики сверхтекучей турбулентности вблизи точки фазового перехода Hell-Hel. Кроме того, определено, что начальная эволюция вихрей удовлетворительно описывается генерирующим слагаемым в уравнении Вайнена, а предположение о постоянном существовании фоновой завихренности может быть снято.

Автор представляет к защите следующие результаты:

Исследование различных свойств вихревого клубка на основе Гауссовой модели. Вычислена энергия, связанная с вихревым движением, сделаны определенные заключения об усредненной форме вихревой линии, предсказана возможность существования волн плотности вихревых линий. Кроме того, вычислен гидродинамический импульс ВК, оп-

ределено затухание сверхтекучей компоненты в присутствии клубка, а также изменение скорости второго звука в Hell.

Точное решение стохастического уравнения вихревой динамики в локальном приближении. Проверку полученных результатов в численном эксперименте.

Задачу о распространении мощных тепловых импульсов в Hell, при отрицательном коэффициенте нелинейности второго звука.

Апробация работы. Некоторые результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: The Second International Chemogolovka Workshop on Low Temperature Physics in Microgravity Environment, CWS'99; International Symposium on Quantum Fluids and Solids, qfs'98; 17th Cryogenic Engineering Conference and Exhibition.

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 8 работ.

Личный вклад автора. Постановка задач исследований осуществлена автором как самостоятельно, так и в соавторстве с д.ф.-м.н. С.К. Немировским и к.ф.-м.н. Л.П. Кондауровой.В опубликованных совместных работах лично автору принадлежит: 1) вычисление, на основе феноменологической Гауссовой модели вихревого клубка, всех рассматриваемых во второй главе диссертационной работы результатов; 2) постановка задачи, вычисления, интерпретация результатов, касающихся точного решения уравнения стохастической вихревой динамики в локальном приближении; 3) численная проверка упомянутых в предыдущем пункте результатов; 4) участие в постановке задачи, развитии соответствующих программных средств и интерпретации полученных результатов, касающихся распространения мощных тепловых импульсов в сверхтекучем гелии, при температуре, где коэффициент нелинейности второго звука принимает отрицательное значение.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы из 83 наименований. Диссертация изложена на 74 страницах, иллюстрирована 9 рисунками.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе диссертации представлен обзор теоретических, экспериментальных и численных работ, посвященных исследованиям вихревого клубка и сверхтекучей турбулентности. Там же приведен обзор основных аналитических инструментов, необходимых для дальнейшего изложения. Также рассматривается современное состояние ^ затрагиваемых в диссертации вопросов.

В 1955 году Р. Фейнман предложил следующую качественную картину эволюции вихревого клубка. Если разность скоростей нормальной и сверхтекучей компоненты превышает некоторую критическую величину, в объеме Hell возникает хаотическая вихревая структура сверхтекучей компоненты. При этом участки вихревой линии двигаются со скоростью, отличной от локальной скорости сверхтекучей компоненты и, таким образом, испытывают действие силы Магнуса. Возможно как увеличение длины некоторого участка, так и его сжатие. Предполагалось, что первый процесс преобладает, что в результате рано или поздно приводит к пересечениям вихревых нитей и перезамыканиям (реконнекциям) последних. В результате реконнек-ций вихревые петли дробятся на все более мелкие и, в конечном счете, трансформируются в тепловые возбуждения. На основе такого сценария Вайнен вывел эволюционное уравнение, описывающее изменение плотности вихревых линий (ПВЛ):

а ^- = av\Vm\T}n-ßvL2 (1)

. dt

При этом были использованы соображения размерности, аналогия с » классической турбулентностью и известные результаты для динамики

одиночного вихревого колечка. В дальнейшем уравнение Вайнена было использовано для построения гидродинамики сверхтекучей турбулентности.

В указанном подходе соотношение (1) нельзя считать абсолютно достоверным, поэтому представляется существенным вывод этого соотношения (или некоторого его аналога) на основе точных уравнений динамики вихревых линий. Рассмотрим эти уравнения более подробно. В общем случае скорость участка вихря описывается следующим образом:

<1 5 Т ■ ?

= ^ х(уП5 X — х(ут , (2)

Л Н |5 I I

где вектор 5 (£,0 определяет положение некоторой точки вихревой линии с параметризацией Е,; 1тЛ - скорость, наведенная всеми вихрями в некоторой точке вихревой линии; , тИт - соответственно внешняя скорость сверхтекучей компоненты и разность скоростей нормальной и сверхтекучей компонент; а, а' - некоторые определенные коэффициенты. В свою очередь, индуцированная скорость определяется законом Био-Савара:

ds

4л- > 001

Если предположить, что вклад в наведенную скорость от удаленных участков вихря незначителен, (3) может быть приближенно преобразовано к следующему виду:

ds,nd = к

dt 4л- 13

(4)

Последнее соотношение называют локальным (самоиндуцированным) приближением.

Как видно, уравнения вихревой динамики в Hell крайне сложны, и получить на их основе некоторый аналог уравнения Вайнена представляется затруднительным. В этой связи существенную значимость приобретают феноменологические модели ВК, а также численные исследования.

В существующей форме уравнение Вайнена является составной частью уравнений гидродинамики сверхтекучей турбулентности. Система уравнений ГСТ получена тремя различными авторами, которые, при выводе, использовали различные подходы. Уравнения ГСТ с хорошей точностью объясняют многочисленные эксперименты, а также используется в инженерных задачах.

Вторая глава диссертации посвящена изучению свойств вихревого клубка в рамках феноменологического подхода.

В пункте 2.1 описывается построение Гауссовой модели ВК. Основная идея заключается в следующем: на основании известных экспериментальных и/или численных результатов построить функцию распределения в пространстве вихревых петель, а также характеристический функционал ВК. В качестве основы были выбраны следующие параметры:

7 0

1 о

(7)

J KMXMi^j)=clLv

-v J о

Здесь Lv - плотность вихревых линий; Ia, Ii - параметры анизотро-

2

пии ВК; с2 - коэффициент, связанный с полной кривизной вихревых линий; е, - единичный вектор в направлении противотока. Усреднения предполагаются по всем возможным реализациям вихревых конфигураций, суммирования по всем вихревым петлям, присутствующим в системе, интегрирования по длине каждой из соответствующих петель. Далее предполагалось, что все состояния вихревых петель, дающие корректные значения параметров (5)-(8) имеют одинаковое распределение вероятности:

allowed

Учитывалась также нормировка параметра £ на длину дуги. В результате полное число допустимых конфигураций определялось следующим образом:

|%)|-1) (10) Далее использовалось известное в теории полимеров соотношение:

\^1п5{\ 11Ч) <и>

В результате, функция распределения вихревых петель принимала следующий вид:

(12)

с лагранжианом 3 квадратичного вида:

+ ъ + ^ +... (13)

J о

Далее было стандартным образом выполнено функциональное интегрирование и вычислен характеристический функционал системы. Исходя из определенных предпосылок, определялись и коэффициенты, входящие в характеристический функционал. В итоге, получен окончательный результат:

W{P|{k)} = QxV{YZL2J^{k)Na'3{k)Pf{-k)}, (14)

1 к

с полностью определенной матрицей (к) .

Пункт 2.2 посвящен вычислению энергии, связанной с вихревым движением:

г-МР^г)// У, м, (.5)

Очевидно, что (15) может быть эквивалентно выражено через (14):

A*2vf d3k Vf s2w

(2xfk2i {isp^&öp;^)

ik(s,(0)-s,(0)) r e J e | /1

xe d^d^ \т)=т)в(Ы1) (16)

Дальнейшие вычисления связаны с простыми, но достаточно громоздкими выкладками для определения интегралов, входящий в (16). Результат для единственной петли, определенной и фиксированной длины L имеет следующий вид:

„ psK2 R р.кгЬ 2 R

Е= л—In—-(1—r=(/2-y;))in—+

4л" ай 4 л- -у/я- а0

_Ш1_+_к_) (17)

где величины fx, f2, /3 определяются через структурные параметры

(5М8).

Рассмотрим слагаемые, входящие в (17). Первое из них в правой части соответствует энергии единицы длины прямого вихря, умноженной на полную длину. Третье и четвертое слагаемые возникают в связи с крупномасштабным взаимодействием вихрей. Третье слагаемое при этом связано с поляризацией петли, что подразумевает "упругость" ВК bvb- направлении, что, в свою очередь, предполагает принципиальную возможность существования некоторого трехмерного аналога волн Ткаченко, но уже для хаотического вихревого клубка. Логарифмическая особенность второго слагаемого означает, что оно возникло благодаря знаменателю: | s(£) — \. При этом соседним точкам кривой соответствует расходимость первого слагаемого. Таким образом, остается предположить, что второе слагаемое возникло благодаря случайным самопересечениям. При этом количество самопересечений пропорционально полной длине L .

В пункте 2.3 на основе (14) вычисляется гидродинамический импульс ВК:

¿ = (18)

1 j о

В Фурье-представлении последнее соотношение, аналогично (15), определяется через характеристический функционал. В результате показано, что вихревой клубок индуцирует дополнительный поток сверхтекучей компоненты, направленный против основного потока:

J, = ~{PsKlfanPs Уш d9)

Можно сказать, что такой эффект есть некоторый трехмерный аналог известного эффекта Костерлица-Саулесса. Расчет показывает, что подавление может быть порядка нескольких процентов, что вполне достаточно для экспериментального изучения.

По-видимому, большая часть экспериментальной информации о свойствах ВК получена при зондировании объема Hell вторым звуком, распространение которого имеет определенные особенности в присутствии ВК. Гауссова модель позволяет вычислить изменение скорости второго звука, имеющее место при наличии клубка. Получен следующий результат:

аи2_ ApKipw-ij v: (20)

«2 PÄß' 0)2

Пункт 2.4 посвящен обсуждению полученных при помощи Гауссовой модели ВК результатов. Соотношение для энергии вихревого движения представляет самостоятельный интерес. Кроме этого, пока- i

зана возможность существования упругих волн ПВЛ в клубке (трехмерный аналог волн Ткаченко). В рамках модели усредненная форма ВК должна быть такой, что количество самопересечений пропорционально полной длине линии.

В принципе, подавление сверхтекучей плотности в присутствии клубка может привести к ситуации, когда сверхтекучая компонента исчезает полностью. Очевидно, что последнее означает фазовый переход Hell-Hel. Таким образом, представляется возможным на основе Гауссовой модели определить некоторый не совсем стандартный взгляд на теорию фазовых переходов, а также исследовать свойства

системы вблизи критической температуры. К сожалению, недостаток экспериментальных данных не позволяет в полной мере рассмотреть указанный подход.

В третьей главе диссертации на основе точных уравнений вихревой динамики рассматриваются некоторые черты стохастической эволюции вихревой петли.

В пункте 3.1 определяются основные модельные уравнения. Предполагается, что динамика петли описывается локальным приближением (4) с добавочным стохастическим слагаемым, которое предполагается коррелированным как дельта-функция по времени (белый шум). В свою очередь, предполагается, что пространственная корреляция внешнего возмущения, степенным образом зависит от волнового вектора, полученного при одномерном Фурье-разложении петлевой конфигурации. Таким образом, основное уравнение динамики вихревой петли имеет следующий вид:

= + + (21)

ш

где коррелятор внешнего возмущения определяется в одномерном к -лространстве:

= +к2Щщ +со2) (22).

Пункт 3.2 посвящен постановке задачи и обоснованию соответствующей модели. Рассматривается единственная вихревая петля в безграничном трехмерном пространстве. Эволюция этой петли происходит согласно уравнению (21). Реконнекции, в данной постановке, полностью исключены из рассмотрения. Предполагается, что такой подход позволит в некоторой степени разделить два вклада (собственную динамику и реконнекции) в эволюцию вихревого клубка. Предполагается также отсутствие внешнего теплового потока. Таким образом, целью рассматриваемой модели является изучение исключительно собственной динамики вихревой петли при наличии в системе стохастического внешнего возмущения.

Пункт 3.3 посвящен конкретным вычислениям. В качестве основного аналитического инструмента использован метод ренормализаци-онной группы в формулировке Вильсона. Рассмотрим этот метод более подробно. Перепишем уравнение (21) в Фурье-представлении:

Я+к2-к)х хЗ(щ + а>2 - со) - Укг$10> + (23)

Или, для удобства, в более краткой форме:

= -УкХо, + /£,. (24)

где Г"^ означает соответствующий интегральный оператор. Далее разделим к -пространство на высокие и низкие гармоники, при этом:

? = (25)

В результате уравнение (24), например, для некоторой гармоники из низкочастотной области примет следующий вид:

(26)

Далее будем считать, что высокие гармоники оказывают некоторое усредненное влияние на низкие гармоники. Другими словами, мы не рассматриваем взаимодействие некоторой гармоники из низкочастотного региона с каждой гармоникой из высокочастотной области. Вместо этого учитывается влияние всего высокочастотного региона. Таким образом, высокие гармоники исключаются из непосредственного рассмотрения. В этом заключается первый этап РГ-метода. Такая процедура аналогична преобразованию Каданова. Проанализируем возможные преобразования параметров динамического уравнения на первом этапе преобразования. Например, в теории турбулентности усреднение высокочастотного региона приводит к увеличению вязкости. Причина этого явления очевидна. Два процесса влияют на эволюцию амплитуды любой гармоники. Первая часть это диссипация (второе

слагаемое в правой части уравнения (24)). Вторая часть, это нелинейное взаимодействие с другими гармониками. (Здесь мы не учитываем влияние случайного возмущения.) Для турбулентности, мы получаем, что усредненное влияние высокочастотного региона приводит к увеличению первоначальной диссипации в низкочастотной области. Последнее, в свою очередь, с необходимостью означает, что существует поток амплитуд гармоник по спектру, направленный в высокочастотную область, приводящий к увеличению первоначальной диссипации за счет второй части механизма эволюции для амплитуд гармоник. В теории турбулентности этот результат хорошо известен. Допустим, рассматривая некоторую динамическую задачу, мы получили бы в 1 аналогичной ситуации отрицательную добавку к вязкости. Последнее

с необходимость означало бы наличие потока по спектру в обратном направлении. (Именно такой случай реализуется при рассмотрении двумерной турбулентности). В свою очередь, нулевая добавка означала бы отсутствие потока по спектру.

Оказалось, что в рассматриваемом случае возможно точно выполнить требуемые усреднения в (26). Причем все они оказываются равными нулю. Таким образом, в результате усреднения гармоник высокочастотного региона соотношение (24) точно воспроизводит само себя, что означает отсутствие перенормировок каких-либо слагаемых в данном уравнении. Последнее, как уже говорилось, означает отсутствие потока амплитуд гармоник по спектру при рассмотрении вихревой динамики на основе локального приближения.

В разделе 3.4 проводится численная проверка полученных ре! зультатов. Численный эксперимент предполагал рассмотрение развития достаточно сложной начальной вихревой конфигурации на основе локального приближения. При этом предполагалось наличие в (21) ч только нелинейного слагаемого, т. е. вязкость и диссипация полагались равными нулю. Показано, что после некоторого переходного процесса, означающего, очевидно, переход вихревой петли в некоторое стационарное состояние, упорядоченный перенос гармоник по спектру полностью прекращался. Таким образом, аналитические результаты предыдущего раздела полностью подтвердились. Кроме того, было выяснено достаточно необычное свойство нелинейного взаимодействия вида ?х?. Показано, что даже в нестационарной ситуации перераспределение амплитуд возможно только между уже существующими гармониками. В случае замкнутой кривой новые (изначаль-

но невозбужденные) гармоники под влиянием указанной нелинейности появиться не могут. Это несколько неожиданно, поскольку сами по себе уравнения (21), (24) не запрещают появления новых гармоник.

Раздел 3.5 посвящен обсуждению результатов и выводам. До сих пор существовал определенный взгляд на природу сверхтекучей турбулентности, основанный на идее прямого каскада по спектру. Другими словами, предполагалось, что возникшие в результате некоторых крупномасштабных возмущений низкие гармоники за счет нелинейных эффектов (нелинейное слагаемое в (21)) затем переносятся по спектру в высокочастотную область, где сильны диссипативные механизмы Таким образом, в принципе, возможно существование стабильных вихревых глобул, определяющих свойства сверхтекучей турбулентности. Представленное рассмотрение коренным образом меняет эту точку зрения. Действительно, исходя из полученного результата, следует заключение, что достигший некоторого стабильного состояния, вихревой клубок будет находиться в этом состоянии неопределенно долгое время. Кроме того, очевидно, что это состояние зависит от многих внешних (по отношению к уравнению (21)) факторов, но не зависит напрямую от нелинейного слагаемого в (21). К числу таких факторов можно отнести, например, внешний тепловой поток, граничные условия и т. д. В таком случае есть основания предполагать отсутствие универсальности для развитой сверхтекучей турбулентности. Другими словами, в рассмотренном случае свойства турбулентного состояния Hell должны во многом определяться упомянутыми внешними факторами. Безусловно, к последним относятся реконнекции. Кроме того, возможно именно этот процесс и восстанавливает универсальность сверхтекучей турбулентности. Таким образом, можно сделать вывод, что, по-видимому, невозможно адекватное описание стохастических вихревых структур, основанное на микроскопических уравнениях динамики вихрей, но не учитывающее процессы перезамыкания вихревых линий.

В четвертой главе на основе численной модели изучается распространение мощных тепловых импульсов, в том числе, и в температурной области, близкой к точке фазового перехода Hell-Hel.

Раздел 4.1 посвящен постановке задачи и обзору экспериментальных и аналитических работ на соответствующую тему.

В разделе 4.2 приведена система уравнений ГСТ, разложенная до второго порядка по отклонениям температуры и энтропии от равновесного значения. Кроме того, дается определение коэффициента не-

линейности второго звука, а также рассматриваются температурные области, где эта величина принимает соответственно положительное, нулевое и отрицательное значения.

Раздел 4.3 посвящен численному изучению распространения тепловых импульсов при температуре сверхтекучего гелия, где коэффициент нелинейности второго звука принимает положительное значение. Рассматриваются форма, амплитуда и место положения импульса в зависимости от времени. Сравнение полученных результатов с экспериментальными данными позволяет сделать вывод, что первоначальное зарождение ВК неплохо описывается затравочным членом в уравнении Вайнена. Если же в расчетах использовать некоторую величину фоновой плотности вихревых линий, то удовлетворительного согласия с экспериментом не наблюдается ни при каких значениях этой величины. Расчеты при различных комбинациях затравочного члена и фоновой завихренности также не согласуются с экспериментом. Таким образом, можно сделать вывод о том, что первоначальное зарождение ВК описывается генерирующем слагаемым в уравнении Вайнена с удовлетворительной точностью.

В разделе 4.4 численно изучается распространение тепловых импульсов при температуре невозмущенного Hell, такой что

1-77 Г, <10 . Полученные результаты — форма, амплитуда и расположение импульса в зависимости от координаты и времени, как и ранее, сравниваются с экспериментом. Кроме того, расчеты проводились с использованием генерирующего слагаемого в уравнении Вайнена. Сравнение расчетных и экспериментальных кривых показывает, что они, в значительной мере совпадают, во всяком случае, качественно. Таким образом, представляется возможным сделать вывод о применимости уравнений гидродинамики сверхтекучей турбулентности (в том числе и уравнения Вайнена) вблизи точки фазового перехода Hell-Hel. Также подтверждается справедливость подхода, когда первоначальное зарождение ВК описывается генерирующим слагаемым.

Раздел 4.5 посвящен окончательному обсуждению рассмотренных в четвертой главе результатов. Показано, что уравнение Вайнена с затравочным слагаемым более адекватно описывает распространение импульсов второго звука, а значит и свойства сверхтекучей турбулентности, чем предположение о существовании постоянного фонового значения ПВЛ. Показано также, что уравнения ГСТ в принципе применимы вблизи точки фазового перехода Hell-Hel.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ:

1. Кондаурова Л.П., Немировский С.К., Недобойко М.В. 1999 "Взаимное влияние квантованных вихрей и тепловых импульсов в сверхтекучем гелии", ФНТ №7, стр. 639-649.

2. Kondaurova L.P., Nemirovskii S.K., Nedoboiko M.V. 1999 "Mutual influence of quantum vortices and heat pulses in superfluid helium", Low Temp. Phys. №7, pp. 475-482.

3. Kondaurova L.P., Nemirovskii S.K., Nedoboiko M.V. 2000 "Interaction of Intense Heat Pulses and Vortices Hell.", J. of Low Temp. Phys. V. 119, №3/4, pp. 329-335.

4. Nemirovskii S.K., Nedoboiko M.V. 2000 "Applications of Gaussian model of the vortex tangle in the superfluid turbulent Hell", e-print cond-mat/0011102

5. Nemirovskii S.K., Nedoboiko M.V. 2001 "Applications of Gaussian model of the vortex tangle in the superfluid turbulent Hell", in "Quantized vortex dynamics and superfluid turbulence", ed. C. Baren-ghi (Springer Verlag, 2001, Berlin).

6. Кондаурова Л.П., Немировский C.K., Недобойко М.В. "Численное моделирование динамики уединенных интенсивных волн второго звука в турбулентном сверхтекучем гелии ", Вычислительные технологии №6, 2001.

7. Nedoboiko M.V. 2001 "Local induction approximation in the theory of superfluid turbulence " e-print cond-mat/0302144.

8. Nedoboiko M.V. 2003 "Local induction approximation in the theory of superfluid turbulence. Numerical consideration", e-print cond-mat/0303631.

Подписано к печати 17 декабря 2003 г. Заказ № 168 Формат 60/84/16. Объем 1 уч.-изд. л. Тираж 100 экз.

Отпечатано в Институте теплофизики СО РАН 630090, Новосибирск, пр. Акад. Лаврентьева, 1

»--78 5

РНБ Русский фонд

2004-4 21944

ВВЕДЕНИИ 3 1.1 Концепция вихревого клубка в Hell. Основные положения и уравнения

1.2Состояние точной теории ВК

1.3 Метод ренормализационной группы

1.4 Численное моделирование вихревого клубка

1.5 Феноменологическая модель вихревого клубка

1.6 Общие положения гидродинамической теории Hell 22 ГАУССОВА МОДЕЛЬ ВИХРЕВОГО КЛУБКА В Hell

2.1 Основные положения и построение модели

2.2 Энергия вихревого клубка

2.3 Гидродинамический импульс вихревого клубка

2.4 Выводы к главе 2 39 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ВИХРЕВОГО КЛУБКА

3.1 Микроскопические уравнения для динамики вихрей

3.2 Постановка и модель задачи

3.3 Вычисления

3.4 Численный эксперимент

3.5 Выводы к главе 3 55 ЧИСЛЕННЫЕ РАСЧЁТЫ В ГИДРОДИНАМИКЕ СВЕРХТЕКУЧЕЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

4.1 Введение и постановка задачи

4.2 Уравнения гидродинамики сверхтекучей турбулентности

4.3 Распространение одиночных тепловых импульсов большой амплитуды при а2>

4.4 Распространение одиночных тепловых импульсов большой амплитуды при а2<

1.1 Концепция вихревого клубка в Hell. Основные положения и уравнения.

В настоящее время хорошо известно, что при определённых условиях в объёме сверхтекучего гелия возникают квантованные вихри сверхтекучей компоненты. влияющие пн многие гидродинамические' и термодинамические свойства Hell. В историческом плане, видимо, первый приме]) такою влияния представляет случай вращающегося Hell. Попятно, что при отсутствии силы трения, непосредственно механическим воздействием сверхтекучую жидкость невозможно привести во вращение. Тем не менее, именно такое поведение наблюдалось в 'жепернмеитах. Причина была найдена в том, что в результате взаимодействия нормальной и сверхтекучей компонент Hell, в объёме возникали регулярно выстроенные квантованные вихри сверхтекучей компоненты. Именно эти вихри и являются ответственными за вовлечение жидкости во вращение. При -»том расположение вихревых линий представляет собой упорядоченную структуру, похожую на двумерный кристалл. Исследованию таких структур посвящено большое количество работ, наиболее важные результаты которых изложены во многих обзорах и монографиях (см. например Donelly 1!)!М).

И дальнейшем был осознан тот- факт, что многие из явлений, наблюдаемых в различных 'JkcnepiiMeinах со сверхтекучим гелием и связанные с наличием вихрей, не могут найти обьяспеиия в рамках простых вихревых конфигураций. 1аких как кольца, прямые или слабо изогнутые линии и г. д. Дело в том, что в общем случае вихри в Hell представляют собой неупорядоченную, хаотически запутанную динамическую структуру, эволюционирующую во времени. Явление существования таких структур в объёме Hell получило название сверхтекучей турбулентности (CT).

Термин "вихревой клубок" (ПК) появился в известной работе Фейнмапа (Кеушнаи 1 !)•>")), где впервые было дано феноменологическое описание СТ. Фей-нман предположил, что если разность скоростей нормальной и сверхтекучей компонент Hell — vJIS превышает некоторое значение, возникают квантованные вихри, подобно тому, как они возникают во вращающемся гелии. Возникшая структура представляет собой хаотически ориентированные вихревые .пиши. Далее предлагался следующий сценарий эволюции. Участки вихревой линии, двигаются со скоростью, отличной от локальной скорости сверхтекучем"! компоненты и. гак им образом, испытывают действие силы Магнуса. В твпсимости от ориентации и других условий возможно как увеличение длины некоторою элемента вихря, так и её уменьшение. Предполагалось, что первая тенденции преобладает-. По мере роста общей длины, вихревые липни всё более плотно заполняют- объём, что рано пли поздно приводит к их пересечениям. При пересечении возможно перезамыкапис линий (рекоинекция), то есть либо слияние вихревых колец, либо их дробление. Фейнман предполагал, что последний процесс доминирует. Это приводит к каскадному образованию всё более мелких петель. В конечной стадии каскада размеры колец становятся порядка межатомных расстояний, и они, в конечном счёте, трансформируются в тепловые возбуждения. Таким образом компенсируется нарастание полной длины вихрен н возникает некоторое; статистически стационарное состояние ВК, а вместе с тем и Hell.

Качественная картина Фейимана была развита далее в классических работах Villen l'Jöii, Н)э7а, 1!)Г)71>, I!J">7c, 19-5S, где феноменологически было получено уравнение на динамику плотности вихревых линий в единице объёма (1IBJI). Ваннен рассматривал однородный вихревой клубок с плот ност ью вихревых линий в единице объёма /.(/)• Попятно, что говорить об однородности можно при условии, что характерное межвихревое расстояние S ~ /,-'/2 много меньше ха-ракм*рпых размеров системы. Предполагалось также наличие носюянного теплового ноIока, характеризуемого постоянным значением разности скоростей нормальной п сверх м'кучен компоненты гелия г,,,. Величина г., нредполагал an, некоторым фиксированным внешним параметром теории. Вайиен предположил, чю тмепеппе /,(/) во времени описывается уравнением первою порядка. При :>том производная dl,/dl представляет собой разность двух слагаемых, точно соответствующих рассмотренной выше качественной картин«; Фейпмаиа:

Здесь первое слагаемое соответствует росту ПИЛ, обязанному силе трения, второе - - уменьшению IIHJI, благодаря дроблению вихревых колен. Для определения вида обоих слагаемых использовались соображения размерности, аналогия с классической турбулентностью и известные результаты динамики одиночных вихревых нитей. Выло сделано предположение о том, что (IL/dt в некоторый момент времени является функцией только ПВЛ — L в тот же момент времени, силы взаимного трения /. плотности сверхтекучей компоненты ра и циркуляции к. 'Зависимость от спя предполагалась включённой в силу /. Далее анализ размерностей приводит к соотношению:

Где ó некоторая безразмерная функция своего аргумента. Для определения вида этой функции Ваш ich опирался на результат для динамики одиночного вихревого колечка, ориентированного поперёк противотока в Hell, полученный в работах Hall, Yinen l'JöOa, I'JöOb. Таким образом был определён вид слагаемого {dl,/dt),J(u. Второе слагаемое в (1.1) определялось при помощи аналогии с классической турбулептиостиыо, в предположении, что картина дробления вихрей вполне аналогична колмогоровскому каскаду турбулентных пульсаций. Диссипация энергии, связанной с пульсациями, описывается соотношением:

Здесь и -- характерная скорость пульсаций на масштабе границы вязкого интервала - - /,,„., \:( — некоторая константа. Полагая lv¡sc равным межвихревому расе гоянпю Л, а и скорости вращения жидкост и па расстоянии S, равной и — (к/2;г)/,'/-'. Вайпеи получил вид второго слагаемого в (1.1). В результате» уравнение Вайнена выглядит следующим образом:

1.1)

1.2) 2

1,1)

Некоторые константы о,, н ¡1,. должны определяться из чкеперимент а.

Как буде» нидии из дальнейшею изложения, уравнение (1.1) играет существенную роль дли описания гидродинамики сверхтекучей турбулентности (ГСТ). Однако, можно заметить, что теория Вайнепа имеем- некоторые сложности. Отмет им некоторые из них. Во-первых, с помощью (Ы) нетрудно определим» шпеграл для вычисления времени развития ВК, начиная от пулевою значения ПВЛ, причём ре$ультат расходится на нижнем пределе. Другими слонами, время развития клубка оказывается бесконечным. Происхождение ;>той расходимости связано с тем, что (1.1), будучи уравнением баланса между ростом и распадом уже существующего клубка, не содержит никакой информации о первоначальном зарождении вихрей. Для исправления возникшей сложности, опираясь па экспериментальные данные, Вайиеи ввёл в уравнение дополнительное слагаемое вида |i'„s|,/'2, которое учитывает механизм начального возникновения вихрей (-, — некоторая сильно зависящая от температуры функция). В различных расчётах также применяется другой подход, а именно, предполагается сушест вованпе некоторого фона ПВЛ — Lq. Вопрос о том какой из подходов более корректен для описания динамики ПВЛ остаётся открытым и подробнее будет обсуждаться в четвёртой главе диссертации. Следующий момент, который хотелось бы отметить, связан с тем, что вид функции ф, существенно влияющей на вывод уравнения Вайнепа, вообще говоря, неопределён. Разброс эксперимеп гальиих данных в принципе допускает альтернативную форму слагаемого, ответственного за генерацию вихрей, что, в свою очередь, приводит к "альтернативному" уравнению Вайнепа (Nemirovskii, Schmidt 1990):

-=«au\vlM<-ßallL2 (1.5)

В настоящее время считается общепризнанным и используется в различных приложениях уравнение (1.1). Но точный ответ на этот вопрос, видимо, был бы возможен лишь при наличии развитой микроскопической теории ВК.

Теория Фейпмана, являясь, в своё время, серьёзным научным достижением, носит чисто описательный характер. Никаких количественных результатов, касающихся свойств ВК. она не содержит. Уравнение Вайнена (1.1) опнсывае! эволюцию ПВЛ. по получено из самых общих соображений без учёта микроскопических уравнений динамики вихрей. В то же время, поскольку свойства вихревых с I рук Iур в I lel I во многом определяют свойства гидроднпампческих и термодинамических процессов в самой сверхтекучей жидкости, представляется весьма важным исследование ра злпчных статистических харак и'рш 1 пк ПК' на основе именно точных уравнений динамики вихрей. Обратимся к подробному рассмотрению )Т их ¿'равнений.

Скорост ь движения точек вихревой нити складывает ся из векторной суммы общей (внешней) скорости движения сверхтекучей компоненты г, и скорости, индуцированной всеми присутствующими в системе вихревыми нитями в данной точке;. Кроме того, присутствует взаимодействие с нормальной компонентой. Уравнение для индуцированной скорости приводится в огромном количестве учебников, монографий, обзоров и т. д. Это уравнение представляет собой закон Бпо-('авара: й = ± /-(¿UVi-irté, 0) xP(Q ,е, и -1-У |sU',f)-¿tf.QI3 di' (1.6) di

Здесь н далее "обозначает радиус-вектор, направленным к некоторой точке вихря. Вихревая линия произвольным гладким образом параметризована вдоль кривой переменной — производная радиус-вектора вдоль кривой, другими словами, касательный вектор. Величиной к обозначен квант циркуляции, для Iiell это строго фиксированная величина. Интегрирование производится но всем вихревым шггям, присутствующим в рассматриваемой системе. Как видно, интеграл логарифмически расходится на нижнем пределе. Для того чтобы избежать расходимости при при s(£,t) ¿T(f',/). делаются различные приближения. Чаще всего в знаменатель дописывается некоторая малая добавка, соответствующая радиусу ядра вихря: - «(01 -К UU') - ЭД)а + <2)"2 (1-7)

По-иоводу этой добавки существую т некоторые вопросы (см. например Agisleiu. Aligdal 1!)S(>). по в любом случае необходимо, по-возможпост и корректно, устранить расходимость интеграла в (1.G).

При значениях £ близких к (1.6) можно записать в виде:

1~П1,1 к Р х .s7' Г d(i - i')

77~ ~ --■ ,ц / "77-77Г + нелокальная чисть (1.8)

11 ЛТТ l.s'l' J {£-£,')

Па нижнем пределе интеграл в (1.8) по-прежнему считается ограниченным радиусом ядра вихря <. ограничение на верхнем пределе обычно выбирается равпы.м усреднённому радиусу кривизны вихревой линии < Н >, которым по порядку величины равен где L — полная длина вихревой линии. IVnvn.iai интегрирования следующий:

I,Г(| у ,7' х а"

Г"- = + пс.иокальпая часть, (1-9) dl |.S»|J где = £/»1*7*. Опенка покачивает, нелокальная часть но порядку величины в 1п меньше, чем локальная (Schwarz 1988). Описание динамики ПК в пренебрежении нелокальными членами называется локальным (самоиндуцированным) приближением. Достаточно сложно определённо ответить на вопрос

0 достоверности этою подхода. Существуют оценки (Schwarz 1988), что точность локальною приближения при численном расчёте динамики хаотического вихревого клубка составляет примерно 90%.

Следующим факюр. влияющий на движение нитей — взаимодействие между квантовыми вихрями и нормальной компонентой. Согласно Халатиикову (Халатников 1971), движение нормальной компоненты со скоростью Г„ но сути есть дрейф квазичасищ (фонопов, ротонов), которые и формируют >ту компоненту. 'Знергпя 01 их квазичастиц есть функция vs. Эта зависимость станови тся очень сильной вблизи вихревой линии. Другими словами, существует некоторый эффективный потенциал, и, соответственно, сила взаимного трения между квазмчастнцамп и вихрями. Соответствующая теория описана во многих обзорах (Сопии I98.'{, Harenglii et al., 19S3, Donnely 1991). Приведём здесь, опираясь па локальное приближение, золько наиболее важные резулмати. Сила, действующая на единицу длины вихревой линии, имеет вид: fD = (щ х (r'n - ¿г.)) х (v'n - (l.io)

Чдесь означает скорость сверхтекучей компоненты и, таким образом, вихревой нити: -W + v„ + vStb (1-11)

Обозначения следующие: — полная скорость вихревой нити; • вклад скороеi и, нндуцированнной вихревыми нитями; vs — внешний поток сверхтекучей компоненты; r,.i, некоторая коррекция полной скорости, возникшая от

1 раннц об|.ёма Hell. Плагодаря прису тствию //.>, .4*5 отличается 01 значения .ч,-,„/ и уравнении (1.9). Достаточно много патей посвящено вычислению Пj и 1)> см. например Baren^lii et al., 1983, Donnelly 1991). От и коэффициенты зависят не только от давление и температуры, no и от скоростей (Suanson et al. 1987), а также от производных скоростей А^-, ~ (МеЫ 1971), то ecu. они нелокальны по времени. Однако, эти эффекты малы и могут рассматриваться как поправки. 1>удем далее считать, что Dt, D2 некоторые феноменологические константы. Дрейфовая скорость квазичастиц вблизи вихря должна отличаться oí усреднённой в объёме скорости сверхтекучей компоненты г„. 1>удем, однако, предполагать, что они равны, а отличие учитывается коэффициентами D1, D¿-Для того, чтобы найти необходимо знать какая сила действует на вихревую линию, когда скорость "»той линии отличается от скорости сверхтекучей компоненты. Результат найден в работах Hall, Vinen 1956а, 19501): s' fv = P>kt~tí x * (1-12)

Величина JM называемся силой Магнуса. Далее, conocíавляя н /и, пренебрегая эффектами, связанными с границей объёма, окончательно получим:

Is ■ .к' . , s' >7'

-77 = ■»,■„,/ + i», + о— > (í'iu - л,;r,j) - о — х — х - .sí,,,,) (1.13)

Коэффициенты о, о' определённым образом выражаются через 1)|, /J¿. Урав-иенне (1.13) используется для решения многих вопросов, связанных с вихревой динамикой. Oí метим, что вишмодействие вихрей в (1.13) может быть выражено (и по было бы более верным) через полный закон Био-Савара (1.6), а не через локальное приближение (1.9).

Уравнение динамики вихрей (1.13) никаким образом не учитывает nepeja-мыканпе линий. Однако, даже исходя из качественного описания Фейнмапа. реконнекцпя оказывает существенное влияние на эволюцию ВК. Но поскольку в настоящее время этот процесс аналитически практически не изучен, количественно учесть его влияние па динамику нитей представляется возможным только в численных моделях ВК.

4.5 Выводы к главе 4.

Вопрос об описании первоначального зарождения вихревого клубка имеет важное значение для оценки достоверности различных численных, а возможно. и аналитических расчётов для Hell с использованием уравнений гидродинамики сверхтекучей турбулентности. Вероятно, полиостью достоверное описание эволюции вихревых структур могло бы быть получено при использовании точной теории В К. основанной на микроскопических уравнениях вихревой динамики. Как уже неоднократно отмечалось, в настоящее время такой теории не существует. По этой причине приходится ограничиваться некоторыми »мпприческими закономерностями, например, введением в уравнение Вайпена дополнительного слагаемою, либо предположением наличия постоянной фоновой завихренности в объёме сверхтекучей жидкост и. Последнее предположение имеет в принципе фундаментальное значение. Действительно, при этом возникают вопросы первоначальной генерации фоновой завихренное i и (возможно при фактом переходе обычно! о гелия в сверхтекучее сое юяппс). а |акже вопрос о iicKoiopoM посюянном механизме поддержания 'Ион завихренноеi и. л щест ву ют более ранние по сравнению с вышеописанными эксперименты (Kizdon et. al. 1990) и соогветс гвукнцие им расчёты, основанные на уравнениях 14"Г. относящиеся к случаю, когда тепловые импульсы запускались в периодическом режиме при незначительном временном интервале между импульсами. (Подробности можно найти в работе Кондаурова, Немировскнй. Недобойко 1!)!)!)). И такой ситуации вихревой клубок очевидно не успевал распадаться за короткий интервал времени. Как следствие, в объеме присутствовала значительная фоновая плотность, расчётное значение которой составляло порядка /.о = х 10b<;«-2. Поня тно, что такая величина Lq не может соответствовать физической реальности при отсутствии внешнего теплового потока. Эксперименты Kizdon et al. 1999 воспроизводились в расчетах также при Л0 = 0 для значений коэффициент при затравочном члене о» увеличенных в 10' раз, по сравнению со значением, предложенным Вайнеиом. Такую ситуацию также цель »я считать физически нравдоноподобной.

Результаты раздела -1.2 позволяют с определённой уверенностью у гверждать, ч ю предположение о существовании фоновой завихренности может быть снято, а ситуация с первоначальным развитием ПК эмпирически описывается путём введения дополнительною слагаемого в уравнение Вайиена. (-делать такой вывод стало возможным только после появления экспериментальной работы Sliimazaki, Miirakami, Iida 1995. где впервые наблюдалось распространение одиночных тепловых импульсов. Именно для этой ситуации экспериментальные данные совпадают с расчётными, представленными в разделе -1.2.

В разделе 1.'5 рассматривается численное решение уравнений ГСТ для тепловых импульсов, распространяющихся в Hell с температурой вблизи 7 д. В этой температурной области вследсгвии близости температуры фазового перехода сверхтекучий гелий обладает многими характерными особенностями, и, в принципе, бы.то не совсем ясно в какой степени применимы уравнения 14- Г в данной области.

Рассмотрение экспериментальных и численных результатов показывает их значительное сходство. Форма кривых, значения максимумов, значения величины обрыва импульсов во многом совпадают- или близки но своим значениям. * > in факты позволяют сделать определённый вывод о том, что уравнения ГСТ могут нснользова гься в раыичиых расчётах для температуры вблизи фа итого перехода. Кроме тою. указанные расчёты проводились с учёюм iеперпрующек» слагаемого в уравнении Найнена. Последний факт вновь иодт верждает справедливость такого подхода. Некоторые отличия в форме экспериментальных н расчётных кривых, видимо, возникают вследствии неопределённости в данной температурной области различных коэффициентов, присутствующих в уравнениях Г('Т. Н настоящее время не существует прямых экспериментальных измерений, определяющих указанные коэффициенты в данном интервале температур. Для расчётов использовалась экстариоляция их известных значений из более низкой температурной области. Такой подход неизбежно приводит к некоторым погрсишос/гям. 13 то же вре.мя форма импульсов в значительной степени зависит от этих коэффициентов. По этой причине добиться полного совпадения было достаточно трудно.

1. Aarls K. C. K. M., de Waele A. T. A. M. 1994 Phys. litv. B 50. 1009.

2. A gist du M. I-:. Migdal A. A. 1980 Mod. Phys. Lett. A 1, 221.

3. Barenghi C. F., Donnelly R. .J., Vinen W. F. 1983 ./. Low Temp. Phys. 52, 1S9.

4. Barengln C. F., Samuels I). C. 19!)!) Phys. Rev. B 60, 1252.

5. Barengln C. F. et al. 1997 Phys. Fluids, 9, 2631.

6. BnttkeT. F. 15)88 J. of Cotnput. Phys. 76, 301.

7. Copcland I-:. .J. Kihl.le T. YV. B., Steer D. A. 199S Phys. Rev. 1) 58. 1350S.

8. Cuniiniligs J. ('., Sclimidl I). W., Wagner W. J. Phys. Fluids 21. 713.

9. De Dominic-is (.'., Martin P. C. 1979 Phys. Rev. A 19, 419.

10. De Waele A. T. A. M. Aarts R. G. K. M. Phys. Rev. Lett. 72, 182.

11. Doi M., Fdwards S. F. 1986 The Theory of Polynitr Dynamics. MIT, Cambridge,1. MA, Vol. II.

12. Donnelly R.). 1991 Quantized Vortices in Helium //. Cambridge University, Cambridge. England.

13. Feynman R. P. 1995 Progress in Low Temperature Physics. 1, 17, C. J. (¡orler (.ed.), Xoi tli-Holland.

14. Fisdon et al. 1990 J. Fluid Xlech. 212, 663.

15. Foster 1)., Nelson 1). Stephen M. 1977 Phys. Rev. A 16, 732.

16. Frish IJ. 1995 Turbulence. The. Legacy of A. N. Kolmogorov. Cambridge University

17. Press, Cambridge. Fnglaiid.

18. Cell-Mann M., Low F. F. 1951 Phys. Rev. 95, 1300. (¡iierst .1. A. 1989 Phy-ica B 154, 327. (¡iierst J. A. 1992 Phy-ica A 183. 280.

19. MeComb W. I). I!I!H) Jin Physic* of Fluid TurbuUnce. Clarendon I'ivss. Oxford.

20. Mehl .). B. 1971 Phy.s. Rev. A 10, 601.

21. Nedohoiko 200:} (-print coiicl-niat/0303031.

22. Nemirovskii 1998a Phys. R< v. B 57, No. 9.

23. Neniirovskii 1998b Phys. ¡it v. B 57, No. 10.

24. Neniirovskii S. K., Fisdon \V. 1995 Rev. Mod. Phys. 67, 37.

25. Neniirovskii S. K., Nedoboiko M. V. 2000 c-print cond-mat/0011102

26. Neniirovskii S. K., Nedohoiko M. V. 2001 in: "Quatizid vortex dynamics and sitpo fluidttu buh nrc(d. C. Bartnyhi, Springer Verlag, Berlin.

27. Neniirovskii S. K., Pakleza.J., Poppe E. 1993 Russian Joxirnal of Enyineeriny Th(.vmophysi( 3. 369-391.

28. Neniirovskii S. K., Schmidt I). W. 1990 Max-Planck-Institute, Report No. S.

29. Pumit A. Si—ia K. I). Phys. Fluids 30. 1606.

30. Pokrovskii V. L. Klialatnikov I. M. JETP Lett. 9, 119.

31. Samuels D. (/. 1992 Phys. Rev. B 46, 11714.

32. Samuels 1). C. 1993 Phy*. Rev. B 47, 1107.

33. Samuels D. C., Donelly H. .J. 1990 Phys. Rev. Lett. 64, 13S5.

34. Schwarz K. W. 1978 Phys. Rev. B 18, 245.

35. Schwarz K. W. 1982a Phys. Rev. Lett. 48, 1204.

36. Schwarz K. YV. 1982!) Phys. Rev. Lett. 49, 283.

37. Schwarz K. W. 1985 Phys. Rev. B 31, 5782.

38. Schwarz I\. W. 198S Phys. Rev. B 38, 2398.

39. Schwarz K. W. 1990 Phys. Rev. Lett. 64, 1130.

40. Schwarz K. W. Kozen .1. K. 1991 Phys. Rev. B 44, 7563.

41. Shiinazaki T., Murakami M., Iida T. 1995 (-ryoycnics 35, 645.

42. Sig»ia K. D. 1985 Phys. Fluids 28, 794.

43. Stueckelherg K. Petermaii A. 1953 Ilelr. Phys. Acta 26, 499. • SvisUmov 1}. V. 1995 Phys. Rev. B 52. 3647. Swanson (!. K. et al. 1987 J. Low Temp. Phys. 66, 263. Toic/.ynskii J. H. 1981 Phys. Fluids 27. 2636.

44. Tsulmta M. Araki I'. Neniirovskii S. I\. 2000 Phys. Rev. B 62, 11751.

45. Turner I . N. 1983 Phys. Fluids 26,3227.

46. Vachaspat i I-. Vilenkin A. 1981 Phys. Rev. I) 30, 2036.

47. Vidal 1972 Stance* Acad. Sri. Ser. B, 275, 60!'.

48. Viiien W. I'. 1950 I'h.l). till sis (Cainl)ii(lge University).

49. Villen \Y. F. I957a hoc. И. Soc. London А 240, IM. Vinen W. F. I957l> ¡'vor. lt. -Vor. London А 240, 128. Vinen W. F. 1957c I'roc. iL Hoc. London А 242. -193.U

50. Vinen \Y. F. 1958 Proc. IL Sur. London А 243, 400.

51. Wilson K. G. 1971 Phy.s. Her. В 4, 3174.

52. Wilson K. C5. 1975a Adv. Math. 16, No.2 170.

53. Wilson К. G. 1975b Ihv. Mod. Phys. 47, No.4, 773.

54. Yakliol V. Ors'/ag S. A. 198G J. Sei. Comput. 1, 1.

55. Yamada k\, Kashiwaniura S. 19S7 Jpn. J. Appl. Phys. 26, 95.

56. Yamada K., Kashiwaniura S., Miyake K. 1989 Physica В 154, 318.

57. Аджемяи JI. Ц. Антонов Н. В. Васильев А. II. 1996 УФН 166, 1257.

58. Иекаревич И., Халатиков И. М. 19G1 ЖЭТФ 40, 920.

59. Вотлюбов II. П., Шнрков Л. В. 1984 Введение в теорию кьантоышшлт no.ieii. Москва. Наука.

60. Иггчелор Дж. 1973 Ве>едсние г> динамику жидкости. Москва, Мир. Вильсон К. Д. 1983 Hochлеьская лекция. УФН, 141, 193.

61. Годунов С. К. (ред.) 197G Численное решение многомерных задач газовой ди-* иамики. Москва, Наука.

62. Л у пет М. С). Цой А. II. 198G <> кн. "Кипение и конденсация (Гидродинамака ипк плообме н),". ред. Гогоиии И. И., Маленков И. Г. 91, Новосибирск.

63. Ма III. 1980 Goe>.)(Mtnuiui теория критических яе,лений. Мир, Москва (1980).

64. Иемировскпй С. К. Лебедев В. В. 1983 ЖЭТФ. 84, 1729.

65. Халатиков И. М. 1971 Ти»рия сырхше куче сти. Москва, Наука.