Минимальные торы в R3 с плоскими концами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На п:

ах рукописи

ШАМАЕВ Эллэй Иванович

Минимальные торы в К3 с плоскими концами

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск — 2004

Работа выполнена в НИИ математики при Якутском государственном университете.

Научный руководитель:

чл.-корр. РАН, д. ф.-м. н.,

профессор Тайманов Искандер Асанович

Официальные оппоненты:

д. ф.-м. н., профессор Миклюков Владимир Михайлович, д. ф.-м. н., профессор Чуешев Виктор Васильевич

Ведущая организация:

Механико-математический факультет Московского государственного университета

Защита состоится " ноября 2005 года в на заседа-

нии диссертационного совета Д 003.015.03 при Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, проспект академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института маг-тематики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан " ^ "_2005 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Гутман А. Е.

Шг ¿/899^

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение минимальных поверхностей с плоскими концами было инициировано Брайантом в связи с изучением уиллморовских поверхностей в К3 — экстремалей функционала Уиллмора

ЩМ) = [ J^

НЫц,

м

где Н — средняя кривизна, аф- индуцированная мера.

Брайант [3] показал, что образы полных минимальных поверхностей с плоскими концами под действием инверсии К3 являются уиллморовскими поверхностями. При этом плоские концы переходят в кратную точку поверхности, а функционал Уиллмора на торе равен Ажп, где п — кратность точки (или число плоских концов).

Брайант также доказал, что все уиллморовские сферы получаются как образы минимальных сфер с плоскими концами при инверсии [3].

В настоящее время имеется полное описание уиллморовских сфер. Минимальная сфера с одним плоским концом (п = 1) — это стандартная плоскость. В [7] Брайант, используя методы алгебраической геометрии, показал, что не существует минимальных сфер с плоскими концами для п — 2,3,5,7. В [8] Пенг построил примеры минимальных сфер с п плоскими концами для четного п > 4 и для нечетного п > 9.

Образы минимальных поверхностей рода один с плоскими концами задают класс уиллморовских торов, называемых суперми-нималъными, а другие уиллморовские торы описываются с помощью решений 4-частичных уравнений Тоды (см., например, [9]).

Суперминимальные торы оказались более сложным объектом для исследования, чем уиллморовские сферы. До сих пор было известно существование минимального тора с четырьмя плоскими концами, построенного Костой [10], Куснером и Шмиттом [11].

I РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ( 3 I БИБЛИОТЕКА ] | С.Пеи^г }

"' I и» М

Главной сложностью в построении минимальных торов оказалась задача обнуления периодов — проблема периодов.

Минимальных торов с одним и двумя плоскими концами не существует по очевидным соображениям. Куснер и Шмитт [11] доказали, что не существует минимальных торов с тремя плоскими концами.

Целью работы является построение минимальных торов в К3 с плоскими концами.

Основные результаты. Для любого четного числа п > 6 построены примеры полных минимальных торов в!3сп плоскими концами.

Методы исследований. Примеры построены с помощью представления Вейерштрасса и с использованием методов эллиптических функций и алгебраической геометрии.

Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Результаты являются новыми. Они носят теоретический характер. Разработанный в работе метод разрешения проблемы периодов может быть использован в дальнейших исследованиях минимальных торов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались:

— на семинаре «Геометрия, топология и их приложения» Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН под руководством чл.-корр. РАН И. А. Тайманова,

— на семинаре отдела анализа и геометрии ИМ СО РАН под руководством академика РАН Ю.Г. Решетника,

— на IV международной конференции по математическому моделированию, проходившей летом 2004 г в г. Якутске,

— на Международной конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю.Г. Решетняка, проходившей осенью 2004 г. в Новосибирске.

Публикации. Результаты диссертации изложены в работах [25, 26, 27].

Структура диссертации. Диссертация изложена на 67 стра-

ницах и состоит из введения и двух глав, каждая из которых разбита на пункты. Библиография содержит 27 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описываются основные результаты диссертации (Теорема 1, 2 и 3) и дается краткий обзор по теме диссертации.

В первой главе нами доказана следующая теорема Теорема 1. Существует трехпараметрическое семейство полных регулярных минимальных торов в Ш3 с шестью плоскими концами, конформно эквивалентных римановьш поверхностям рода 1, заданным уравнениями вида

w2 = 4(z-pi)(z-p2)(z-p3), Р1ЕШ, р2=р3ес, (1)

с выколотыми точками (0,jîi), (0,р2), (0,рз), oo, (wa,a) и (—wa,a), где

а = \/-(PiP2 +PiP3 +Р2Рз)/3, wa = 2v/(o ~Pi)(a - P2)(a -рз).

В доказательстве Теоремы 1 мы рассматриваем римановы поверхности Г рода один с голоморфной и антиголоморфной инволюциями, заданные в С2 уравнением (1). Пусть фх и ф2 мероморф-ные функции на Г и ¡фЦ + \ф2\ Ф 0 на Г.

Тогда спинорное представление Вейерштрасса

ru J

Щи) = Re / {ф21-ф1{(ф21+ф22),2ф1ф2)--:Т^Ш3, (2) Ju о w

где щ € Г — фиксированная точка, задает полную минимальную поверхность в К3 (см., например, [11, 12]).

В односвязных областях U С Г, где ф\ и ф2 голоморфны, интеграл (2) не зависит от пути интегрирования, но периоды

Re [ {ф\ - ф1) 1ш [ (ф2 + ф1) * Re [ фхф2 ± (3)

J'у W J'у W J'y W

по нетривиальным циклам 7 = 71,72 тора могут быть ненулевыми. Задача подбора и -02 таких, что периоды (3) по нетривиальным циклам тора равны нулю, называется проблемой периодов.

В условиях Теоремы 1 найден критерий разрешимости проблемы периодов — условие на ^i, и конформный класс тора. Мы приводим пример тора, для которого критерий разрешимости проблемы периодов выполнен.

Кроме этого, в Главе 1 мы приводим доказательство ключевого технического утверждения из доказательства теоремы Куснера и Шмитта о несуществовании полных минимальных торов в К3 с тремя плоскими концами, опущенное в их оригинальной работе [11]. Объясним, в чем заключается это утверждение. Куснер и Шмитт показали, что если Л = {2win 4- 2ш2тп | n,m € Z} С С — решетка, Im ^ >0, (,{и) — ^-функция Вейерштрасса на торе С/Л, — суммирование по ненулевым элементам решетки w € Л и о = f (C(w2)^i - <(u'i)o>2), то условие

Г |а|2 - |а|4 = 20а2(Шгш2 - ЩшгГТ.'^ ш

X м > 1, (4)

является критерием разрешимости проблемы периодов на торе С/Л с тремя плоскими концами. Нами доказано следующее утверждение, сформулированное в [11]:

Теорема 2. Для любого тора С/Л условие (4) не выполнено. В доказательстве Теоремы 2 использованы различные оценки и факты из теории эллиптических функций.

Глава 1 устроена следующим образом. В п. 1.1 и п. 1.2 приведены основные определения, представление Вейерштрасса и необходимые факты из теории эллиптических функций. В п. 1.3 приводится доказательство Теоремы 1. В п. 1.4 доказана Теорема 2. Во второй главе доказана следующая Теорема 3. Для каждого 2п > 6 существует полный минимальный тор в М3 с 2п плоскими концами, конформно жвива-

лентпный римановой поверхности вида

■ш2 = 4(г - рг){г - р2)(г - р3), Рг,Р2,Рз € К, (5)

с выколотыми точками (0,р1), (0,р2), (0,рз)> со и 2п - 4 выколотыми точками на вещественной оси.

Априори построенные торы могут иметь точки ветвления, в которых индуцированная метрика вырождается. Для малого числа концов (п = 6,8,10) мы показываем, что существуют торы без таких точек, хотя, по-видимому, это верно для произвольного четного 2п.

Заметим, что конформные классы торов из Теоремы 1 и Теоремы 3 не пересекаются.

Доказательство Теоремы 3 конструктивное. Мы рассматриваем римановы поверхности Г вида (5) с выколотыми точками в точках ветвления и на вещественной оси.

Показано, что существует трехмерное (над С) пространство мероморфных функций V такое, что для ф1,фг € У представление (2) задает минимальные поверхности (погружение универсального накрытия) с плоскими концами.

Далее доказано существование базиса £1, £г,£з пространства V такого, что следующие периоды

[ 6^ = 0, гфь Л = 1,2,

где 71, 72 — базис Я^Г^), равны нулю. После этого мы можем выписать достаточное (но не необходимое) условие разрешимости проблемы периодов: для каждого 7 = 71, 72 следующие интегралы

(6)

7 7 7

попарно различны. В предложении 4 построено однопараметриче-ское семейство торов, где проблема периодов разрешима.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Blaschke W. Vorlesungen über Differentialgeometrie III. Berlin: Springer, 1929.

[2] Thomsen G. Uber konforme Geometrie I: Grundlagen der konformen Flächentheoremrie. // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1924. Vol. 3. P. 31-56.

[3] Bryant R. L. A duality theorem for Willmore surfaces. // J. Differential Geometry. 1984. Vol. 20. P. 23-53.

[4] Gackstatter F. Uber die Dimension einer Minimalfläche und zur Ungleichung von st. Cohn-Vossen. // Arch. Ration. Mech. Anal. 1976. Vol. 61. No. 2. P. 141-152.

[5] Osserman R. A survey of minimal surfaces. N.Y.: Dover Publ., 1986.

[6] White J.H. A global invariant of conformal mappings in space. // Proc. Amer. Math. Soc. 1973. Vol. 38. P. 162-164.

[7] Bryant R. L. Surfaces in conformal geometry. // Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 1988. Vol. 48. P. 227-240.

[8] Peng C.-K., Xiao L. Willmore surfaces and minimal surfaces with flat ends. // Chen. W. H. (ed.) et al, Geometry and topology of submanifolds X. Proceedings of the conference on differential geometry in honor of S.S.Chen. Singapore: World Scientific, 2000. P. 259-265.

[9] Babich M. V. Willmore surfaces, 4-particle Toda lattice and double coverings of hyperelliptic surfaces. // Amer. Math. Soc. Ttansl. Ser. 2. 1996. Vol. 174. P. 143-168.

[10] Costa C. Complete minimal surfaces in M3 of genus one and four planar embedded ends. // Proceedings of American Mathematical Society. 1993. Vol. 119. P. 1279-1287.

[11] Kusner R., Schmitt N. The Spinor Representation of Minimal Surfaces in Space. University of Massachusetts in Amherst, GANG preprint 111.27, 1993.

[12] Taimanov I. A. Modified Novikov-Veselov equation and differential geometry of surfaces. // Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2. 1997. Vol. 179. P. 133-151.

i

[13] Минимальные поверхности. Под ред. Оссермана Р. М.: Физматлит, 2003.

[14] Hoffman D., Meeks W.H. The strong half-space theorem for minimal surface. // Invent. Math. 1990. Vol. 101. P. 373-377.

[15] Schoen R. Uniqness, symmetry and emdedness of minimal surfaces. //J. Differential Geometry. 1983. Vol. 18.

P. 791-809.

[16] Willmore T.J. Note on embedded surfaces, // An. Sti. Univ. "Al. I. Cuza" Iasi Sect. I a Mat. 1965. Vol. 11. P. 493-496.

[17] Li P., Yau S.T. A conformal invariant and applications to the Willmore conjecture and the first eigenvalue for compact surfaces. // Invent. Math. 1982. Vol. 69. P. 269-291.

[18] Simon L. Existence of surfaces minimizing the Willmore functional. // Comm. Anal. Geom. 1993. Vol. 1. P. 281-326.

[19] Hoffman D., Meeks W.H. The asymptotic behavior of properly embedded minimal surfaces of finite topology. // J. Amer. Math. Soc. 1989. Vol. 2. No. 4. P. 667-682.

s [20] Hsu L., Kusner R., Sullivan J. Minimizing the squared mean

curvature integral for surfaces in space forms. // Experimental Math. 1992. Vol. 1. No 3. P. 191-207.

[21] Тужилин А. А., Фоменко А. Т. Элементы геометрии и топологии минимальных поверхностей. М.: Наука, 1991.

[22] Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М.: Наука, 1968.

[23] Дубровин Б. А. Римановы поверхности и нелинейные уравнения. М., Ижевск: НИЦ "РиХД", 2001.

[24] Тайманов И. А. Лекции по дифференциальной геометрии. М., Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2002.

Работы автора по теме диссертации

[25] Шамаев Э. И. Минимальные торы с шестью плоскими концами. // Вестник НГУ. Серия "Математика, механика, информатика". 2004. Т. 4. №4. С. 68-73.

[26] Шамаев Э. И. Минимальные торы в К3 с малым числом плоских концов. // Математические заметки ЯГУ. 2005. Т. 12. №1. С. 121-133.

[27] Шамаев Э.И. Об одном семействе минимальных торов в К3 с плоскими концами. Новосибирск, 2005. 24 С. (Препринт / РАН Сиб. отделение. Ин-т математики; ЛП60.)1

'В печати: Сиб. мат. журн. 2005. Т. 46, №6. С. 1407-1426.

Шамаев Эллэй Иванович

Минимальные торы в К3 с плоскими концами

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 07.10.2005. Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л. 0,6 Уч.-изд. л. 0,6 Печать офсетная. Тираж 70 экз._Заказ № 131._

Отпечатано в ООО «Омега Принт» 630090, Новосибирск, пр. Лаврентьева, 6

»19797

РНБ Русский фонд

2006-4 18252

Введение

1 Минимальные торы в R с малым числом плоских концов

1.1 Основные определения.

1.2 Эллиптические функции.

1.3 Минимальные торы с шестью выколотыми точками

1.4 Минимальные торы с тремя выколотыми точками

2 Минимальные торы в R с четным числом плоских концов

2.1 Минимальные торы с четным числом выколотых точек.

В данной работе для каждого 2п > 6 построены первые примеры полных минимальных торов в трехмерном евклидовом пространстве R3 с 2п плоскими концами.

Изучение минимальных поверхностей с плоскими концами было инициировано Брайантом в связи с изучением уиллморовских поверхностей в Е3 — экстремалей функционала Уиллмора где Н — средняя кривизна, a dfi — индуцированная! мера.

Этот функционал изучали еще до Уиллмора Герман как "энергию изгибания" поверхности, Бляшке и Томсон как конформную площадь поверхности в сферической геометрии [1, 2].

Брайант [3] показал, что образы полных минимальных поверхностей с плоскими концами под действием инверсии R3 являются уилл-моровскими поверхностями. При этом плоские концы переходят в кратную точку поверхности, а функционал Уиллмора на торе равен 47гп, где п — кратность точки (или число плоских концов). Действительно, Гакштаттер [4] и Оссерман [5] показали, что имеет место равенство fMK dfi = —47г(д + п— 1), где К — гауссова кривизна, для полной минимальной поверхности рода д с п вложенными концами, а Уайт [6] показал, что форма (Н2 — К) dfi инвариантна относительно конформных преобразований R3 U {оо}. Поэтому справедливо равенство fM H2 dfi = 4тгп для тора.

Брайант также доказал, что все уиллморовские сферы получаются как образы минимальных сфер с плоскими концами при инверсии [3].

В настоящее время имеется полное описание уиллморовских сфер. Минимальная сфера с одним плоским концом (n = 1) — это стандартная плоскость. В [7] Брайант, используя методы алгебраической геометрии, показал, что не существует минимальных сфер с плоскими концами для п = 2,3,5,7. В [8] Пенг построил примеры минимальных сфер с п плоскими концами для четного п > 4 и для нечетного п > 9.

Образы минимальных поверхностей рода один с плоскими концами задают класс уиллморовских торов, называемых суперминимальными, а другие уиллморовские торы описываются с помощью решений 4-частичных уравнений Тоды (см., например, [9]).

Суперминимальные торы оказались более сложным объектом для исследования, чем уиллморовские сферы. До сих пор было известно существование минимального тора с четырьмя плоскими концами, построенного Костой [10], Куснером и Шмиттом [11]. Главной сложностью в построении минимальных торов оказалась задача обнуления периодов — проблема периодов. Объясним в чем заключается эта задача.

Рассмотрим риманову поверхность Г рода один с глобально определенным параметром и. Пусть мероморфные функции ф\ и тр2 на универсальном накрытии v : Т —> Г такие, что ф2, ф\, Ф1Ф2 опускаются на Г и \ф\\ + \ф1\ ф 0 на Г.

Тогда спинорное представление Вейерштрасса

Ф(и) = Re Г (ф\ - ф1 г(ф\ + Ф1), 2ф1ф2) du : Т R3, (1)

Juo где щ ЕГ — фиксированная точка, задает полную минимальную поверхность в R3 (см., например, [11,12]). Индуцированная метрика имеет вид {\ф\\ + 1)2dzdz.

Всякий полный минимальный тор такой, что \ j К dfi\ < оо, может быть задан с помощью спинорного представления Вейерштрасса.

В односвязных областях U С Г, где ф2 и ф\ голоморфны, интеграл (1) не зависит от пути интегрирования, но периоды

Re / (ф2 - ф1) du, Im / (ф2 + ф2) du, Re / фхф2 du, (2) J 'У J у J'у по нетривиальным циклам 7 тора могут быть ненулевыми. Задача подбора ф\ и Ф2 таких, что периоды (2) по нетривиальным циклам тора равны нулю (в этом случае (1) является погружением тора Г) называется проблемой периодов [13].

Полюсы функций ф\ и ф2 называются концами или выколотыми точками. Если Ф является вложением, то ф2 и имеют полюсы только второго порядка. В этом случае, если в выколотой точке полюсы ф^и, ф^и и Ф1Ф2 du имеют нулевой вычет, то конец асимптотичен плоскости и конец называется плоским, иначе конец асимптотичен поверхности вращения, полученной вращением графика логарифмической функции к In ж, х 6 (1, оо), для некоторой константы логарифмического роста к Е (0, оо). В последнем случае конец называется катеноидальным [13, 11].

Минимальных торов с одним и двумя плоскими концами не существует по очевидным соображениям. Действительно, если п = 1, то тор лежит в полупространстве. Из теоремы о полупространстве Хоффма-на и Микса [14] следует, что такие полные минимальные поверхности не существуют. Шоен [15] показал, что полная минимальная поверхность с двумя выколотыми точками может быть только катеноидом — поверхностью вращения, заданной уравнением ch2 кх = к2(у2 + z2) для некоторого к G (0, оо).

Минимальные торы с тремя плоскими концами исследовали Куснер t и Шмитт [11]. Они нашли критерий разрешимости проблемы периодов на торах с тремя выколотыми точками, но опустили доказательство того, что проблема периодов не разрешима.

В Главе 1 нами доказана следующая теорема

Теорема 1. Существует трехпараметрическое семейство полных регулярных минимальных торов в R3 с шестью плоскими концами, конформно эквивалентных римановым поверхностям рода 1, заданным уравнениями вида

W2 = 4{z-Pi)(Z-P2)(Z-P3), PI<ER, Р2=Р3еС, (3) с выколотыми точками (0,pi), (0,p2)j (0,р3), а) и (—wa,a), где а = у/ (Р1Р2 + Р№ + Р2Рз)/3, wa = 2у/(а - pi)(a - р2)(а - р3).

В доказательстве Теоремы 1 мы рассматриваем римановы поверхности Г рода один с голоморфной и антиголоморфной инволюциями, заданные в С2 уравнением (3) и специальный вид функций и ф2 :

1 , (z - а)3 + ф - а)2 + d . ,

Ф2 ~ ) = --\r \ -» a,b,c,deR. w b(z — a)w

В этом случае, найден критерий разрешимости проблемы периодов.

Приведем этот критерий. Пусть а — один из нулей полинома P'{z), определим периоды по нетривиальным циклам тора 71 и 72

S*= [ ^——j^—dz, П*= [ ^——^—dz, k = -2,0, .,4,

J 71 w6 J-T2 W и A — определитель матрицы

Е3П2 — Е1П0 — ЕоЩ + Е2П3 Е2П2 — 2ЕоПо + Е2П2 Е4П2 - 2Е1П1 + Е2П4 Е3П2 - ЕхП0 - Е0Пх + S2n3j Пусть также

Е3П2 - Е1П0 - ЕоЩ + Е2П3 - у/А с =

Е2П2 - 2Е0П0 + Е2П2 b = у (S4 + 2cE3 + c2E2 + 2dEi + 2cdE0 + d2E2). Тогда условие

-!- (S4 + 2cE3 + c2E2 + 2dEi + 2cdE0 + d2E2) >0, A < 0, bGl, является критерием разрешимости проблемы периодов на Г.

Мы приводим пример тора, для которого критерий разрешимости проблемы периодов выполнен. В доказательстве теоремы 1 были использованы методы из анализа комплексных функций, теории эллиптических функций.

Кроме этого, в Главе 1 мы приводим доказательство ключевого технического утверждения из доказательства теоремы Куснера и Шмитта о не существовании полных минимальных торов в R3 с тремя плоскими концами, опущенное в их оригинальной работе [11].

Объясним, в чем заключается это утверждение. Куснер и Шмитт показали, что если Л = {2ш\п + 2w2m | n, т Е Щ С С — решетка, Im^ > 0, — С-Функция Вейерштрасса на торе С/Л, I суммирование по ненулевым элементам решетки из е А и а —

- C(wi)w2), то условие а|2 - И4 = 20а2(й7ю;2 - a72Wi)2E'^; (4)

И > является критерием разрешимости проблемы периодов на торе С/Л с тремя плоскими концами. Нами доказано следующее утверждение, сформулированное в [11]:

Теорема 2. Для любого тора С/Л условие (4) не выполнено. В доказательстве Теоремы 2 мы оцениваем |а| и Х)'^' используя так называемые g-разложения — ряды с экспоненциально убывающими членами. Была найдена область конформных классов торов, где условие |а| > 1 не выполнено. Далее показано, что вне этой области равенство из (4) не выполнено. В доказательстве Теоремы 2 использованы различные оценки и факты из теории эллиптических функций.

1. Blaschke W. Vorlesungen uber Differentialgeometrie 1.I. Berlin: Springer, 1929.

2. Thomsen G. Uber konforme Geometrie I: Grundlagen der konformen Flachentheoremrie. // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1924. Vol. 3. P. 31-56.

3. Bryant R. L. A duality theorem for Willmore surfaces. // J. Differential Geometry. 1984. Vol. 20. P. 23-53.

4. Gackstatter F. Uber die Dimension einer Minimalflache und zur Ungleichung von st. Cohn- Vossen. // Arch. Ration. Mech. Anal. 1976. Vol. 61. No. 2. P. 141-152.

5. Osserman R. A survey of minimal surfaces. N.Y.: Dover Publ., 1986.

6. White J. H. A global invariant of conformal mappings in space. // Proc. Amer. Math. Soc. 1973. Vol. 38. P. 162-164.

7. Bryant R. L. Surfaces in conformal geometry. // Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 1988. Vol. 48. P. 227-240.

8. Babich M. V. Willmore surfaces, J^-particle Toda lattice and double coverings of hyperelliptic surfaces. // Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2. 1996. Vol. 174. P. 143-168.

9. Costa С. Complete minimal surfaces in R3 of genus one and four planar embedded ends. // Proceedings of American Mathematical Society. 1993. Vol. 119. P. 1279-1287.

10. Kusner R., Schmitt N. The Spinor Representation of Minimal Surfaces in Space. University of Massachusetts in Amherst, GANG preprint 111.27, 1993.

11. Taimanov I. A. Modified Novikov-Veselov equation and differential geometry of surfaces. // Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2. 1997. Vol. 179. P. 133-151.

12. Минимальные поверхности. Под ред. Оссермана Р. М.: Физматлит, 2003.

13. Hoffman D., Meeks W. Н. The strong half-space theorem for minimal surface. // Invent. Math. 1990. Vol. 101. P. 373-377.

14. Schoen R. Uniqness, symmetry and emdedness of minimal surfaces. //J. Differential Geometry. 1983. Vol. 18. P. 791-809.

15. Willmore T. J. Note on embedded surfaces, // An. Sti. Univ. "Al. I. Cuza" Iasi Sect. I a Mat. 1965. Vol. 11. P. 493-496.

16. Li P., Yau S.T. A conformal invariant and applications to the Willmore conjecture and the first eigenvalue for compact surfaces. // Invent. Math. 1982. Vol. 69. P. 269-291.

17. Simon L. Existence of surfaces minimizing the Willmore functional. // Comm. Anal. Geom. 1993. Vol. 1. P. 281-326.

18. Hoffman D., Meeks W. H. The asymptotic behavior of properly embedded minimal surfaces of finite topology. // J. Amer. Math. Soc. 1989. Vol. 2. No. 4. P. 667-682.

19. Hsu L., Kusner R., Sullivan J. Minimizing the squared mean curvature integral for surfaces in space forms. // Experimental Math. 1992. Vol. 1. No 3. P. 191-207.

20. Тужилин А. А., Фоменко А. Т. Элементы геометрии и топологии минимальных поверхностей. М.: Наука, 1991.

21. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М.: Наука, 1968.

22. Дубровин Б. А. Римановы поверхности и нелинейные уравнения. М., Ижевск: НИЦ "РиХД", 2001.

23. Тайманов И. А. Лекции по дифференциальной геометрии. М., Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2002.Работы автора по теме диссертации

24. Шамаев Э. И. Минимальные торы с шестью плоскими концами. // Вестник НГУ. Серия "Математика, механика, информатика". 2004. Т. 4. №4. С. 68-73.

25. Шамаев Э.И. Минимальные торы el3 с малым числом плоских концов. // Математические заметки ЯГУ. 2005. Т. 12. №1. С. 121-134.

26. Шамаев Э. И. Об одном семействе минимальных торов в R3 с плоскими концами. Новосибирск, 2005. 24 С. (Препринт / РАН Сиб. отделение. Ин-т математики; JO 160.)1ХВ печати: Сиб. мат. журн. 2005. Т. 46, №6. С. 1407-1426.