Замкнутые локально минимальные сети на замкнутых двумерных поверхностях постоянной гауссовой кривизны тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ЮСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И 1ЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ *ВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

РГ6 0/1

На правах рукописи-УДК 514.77

ПТИЦЫНЛ Инга Вячеславовна

ЗАМКНУТЫ!) ЛОКАЛЬНО МИНИМАЛЬНЫЕ СЕТИ

НА

ЗАМКНУТЫХ ДВУМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ ПОСТОЯННОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ

(01.0].04. -— геометри.т я топология')

АВТОРЕФЕРАТ диссертация на соискание ученой степени кандидата фиэихо-иатема.тичсских наук

Москва — 1994

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрия и ее приложения мехакико-математического факультета Московского государственного университета я мен я М. В. Ломоносова.

У,

•у ■ Научный руководитель: члсп-корр. РАН,

доктор физико-математических наук, ... , • профессор А. Т. Фомепко

'Официальные онионенты: доктор фязи ко-математических наук,

профессор Э. Б. Ванберг, кандидат физико-математических наук, А, В. Тыряя

Ведущая организация: Московский Математический институт

имени В. Л. Стекжова АН Россия

Защита диссертации состоится иЗ.У Л^И^И^... 1994 г. в 16 час. 05 мин. на заседания специализированного совета Д.053.05,05 нрн Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова но адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

' С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке мехагшко-матема-тнче ского факультета МГУ (М этаж).

Автореферат разослан 1УУ4 г.

Ученый секретарь специализированного совета Д.053.05.05,

доктор фаз и к о- и и,тё ы кт ил е с к ах ттук Б. Н. Чубарикоп

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена решению проблемы Штейнера и классе замкнутых локально минимальных сетей на замкнутых двумерных многообразиях постоянной гауссовой кривизны, а также на тетраэдрах как примерах метрических пространств более общего вида.

Сетью Г в метрическом пространстве V/ называется образ одномерного клеточного комплекса Г при его вложения у> в уз: Г —» ТУ, <р(Г) — Г. Сеть называется локально минимальной^ если она не уменьшает своы длину при произвольных малых по амдлитуде я носителю деформациях.

Актуальность темы. Изучение локальпо минимальных сетей на ри-маловых многообразиях является ¡юным направлением п теории минимальных сетей. До сих яор активно изучались лишь глобально минимаяь-ные сети произвольной. (С. Ярннк, О. Кесслер) или заданной топологии (П. Ферма, Э. Торичелли, Т. С ли неон, Хейнея, Я. Штейнер), затягивающие фиксированное множество М точек плоскости. Ясно, что решение задачи зависит как от множества Л/, так и от топологии сети.

Переход к изучению локально минимальных сетей на плоскости и даже па гладко:/ риманлпом многообразии, а затем я я я двумерных многогранниках явился обобщением задачи Штейнера, так как ясно, что глобально' минимальные сети являютси локально мнпимальными. Более того, лО-' кальная и глобальная структуры локально минимальных сетей в других метрических пространствах могут быть совершенно иными, чем на плоскости.

Локально минимальные сети часто встречаются в природе: в пчелиных сотах, скелетах радиолярий, различных мембранах (в частности, мыльных пленках) ж в других природных образованиях.

В предположении, что проблема Штейнера в классе замкнутых (М = ; {0}) локально м.инималышх сетей ив. замкнутых двумерных поверхностях может оказаться- проще, тем проблема Штейнера па плоскости, А. Т. Фоменко поставил задачу : классифицировать такие сети на замкнутых двумерных ориентируемых поверхностях ненулевого рода, имеющих постоянную кривизну. А, О. Иванов и Л. А.. Тужялин предложила: провести классификацию замкнутых локально минимальных сетей на плоских бутылках Клейна.

А. О. Иванов и А. А. Тужияин перешли от гладких многообразий в , ,■ задаче Штейнера к двумерным многогранникам, как гладким многообразиям с особенностями. Автору было предложено классифицировать все замкнутые локально минимальные сети на правильных многогранниках.

Цель работы. Целью настоящей диссертации является: полная: классификация замкнутых локально митгямальтах сетей на гладких замкнутых двумерных многообразиях ¡госто.тнной неотрицательной кривизны и тетраэдрах, описание таких сетей на гладких замкнутых двумерных поверхностях.отрицательной кривизны.

Методы исследования. В дкт-ртадии используются методы дифференциальной геометрии, математического анализа, вариационного исчисления, топологии, теории гр'улл.'

Неумная поиизна. Все результат и работы являются новыми. В диссертация- получена полна* классификация замкнутых локально минимальных сетей на плоских двумерных торах, плоских бутылках Клейна, двумерной проективной плоскости. RPa кривизны 1, тетраэдрах. Доказана конечность числа возможных топологий сетей из то-угольников, где m — фиксированное целое число, на гладких замкнутых поверхностях постоянной отрицательной кривизны.

О

Практическая и теоретическая ценнос ть. Диссертация имеет те-Ч,

оретическии характер. Ее результаты могут быть полезны специалистам, занимающимся изучением сетей Штейнера,

Апробация работы. Результаача диссертации докладывались на се-' мин'арах механико-матем^тичсского факультета МГУг "Современные геометрические методы" под руководством чдг.-корр. РАН, д.ф.-м.а. А. Т. Фо&гелио, д.ф.-м.лг. В. В. Трофимова, к.ф.-м.н. Л. В. Болгсияова, "Сети Штейпера" под руководством х.ф.-м.н. Л. О. Иванова., к.ф.-м.н. А. А. Тужияина; на семинаре "Комбинаторная геометрия" иод руководством д.ф.-м.и. В. Г. Болтянского в Московском. Математическом институте имени В. А. Стеклоаз. АН России.'

Публикации. По теме диссертации, опубликовано 5 научных работ, две из которых -- в соавторстве с А. О. Ивановым и А. А. Тужилюши, две статьи находятся а печати. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертации состоит иа введения и четырех глав, включающих в себя 1 0 параграфов. В тексте диссертации содержится 6 рисунков. Список лятерату ры содержит 40 наименовании. Общий объем диссертации Г2А страницы.

Содержание диссертации

• Во введении обосновав а актуальность темы диссертации и кратко изложено ее содержание но главам.

В параграфе 1 главы 1 содержатся основные определения теории сетей Штейнера, сделан обзор литературы о сетях Штейпера на гладких римЛ-новых многообразиях. Н&пошпга, что сетыгаэывается сетью Штейнера, если степени ее вертил не 6олыне трех. Поэтому каждая минимальна!

з

сеть является сетью ШтеЙнера..

^Замкнутые сетя разбивают поверхность W на многоугольники (ячейки сети) , стороны которых являются геодезическими:, а внутренние углы равны

В параграфе 2 главы I приведена полная классификация замкнутых локально минимальных сетей на двумерных римаповых многообразиях постоянной положительной кривизны. В этом; случае ячейки сети являются не более чем пятиугольникам и. Полный список замкнутых локально минимальных сетей на стандартной сфере 52 известен давно. Их сугце-, ствует ровно десять. В данном параграфе найдены все замкнутые локально минимальные сети на проективной длоскости КР2. Таких сетей ровно три.

В параграфе 3 главы I рассматриваются замкнутые локально минимальные сети на двумерных ориентируемых многообразиях постоянной отрицательной гауссовой кривизны, ячейки сетей на таких поверхностях являются не менее чем семиугольниками. Сделан ,обзор результатов Э. Эдмондса, Дж. Эвинга, Р. Кулкарни о сетях, состоящих из изоме-... тричных правильных тп-уголытиков, на таких поверхностях.

В параграфе 3 получены опенки числа лерпгин, ребер и граней замкнутых локально минимальных сетей, все ячейки которых являются т-угольнккамк для ас которого фиксированного т. Доказано, что число возможных топологий таких сетей на гладких замкнутых поверхностях отрицательной кривизны конечно.

Глава II посвящена полной классификации: замкнутых локально минимальных сетей на плоских двумерных торах. Эти результаты получены автором совместно с А. О. Ивановым и А. А. Ту жилиным. Такие сети классифицированы элементами однородного пространства &Т1 = где — пространство целочисленных 2x2 матриц

с положительным, определителем, а (.7) — циклическая (по умножению)

, /о -А .

группа шестого порядка, натянутая на матрицу ./ = I } ^ I, действующая на умножением справа, ! •

В главе Ш полностью классифицированы все замкнутые локально минимальные сети на плоских бутылках Клейна. Классифицирующим пространством является множество = Ъ-х х где через Ъ+ обозначены целые положительные числа.

Полна! классификация замкнутых локально минимальных сетей на тетраэдрах ■ проведена я главе IV. Мы называем тетраэдром такой вы. пухлый четырехгранник, зсс грани которого являются конгруэнтными: треугольниками. Минимальные сети на тетраэдрах классифицированы элементами определенного выпге множества Сх.

Будем нааыиать типами замкнутых минимальных сетей элементы [</] € бч, % — 1,2.

Теорема 1. Для каждого типа [(/] 6 С,, г — 1,2 существует соответствующая поверхность ('плоский двумерный тир У3, плоская бутылка Кленна К3 или тетраэдр) и такал .замкнутая локально ыинии&льная сеть Г на нен, что \д\ является тшюи сети Г.

Поясним геометрический смысл типа сети на У3.

Фиксируем в 7/1(Т3,2<) некоторый базис [2?1][Еа]. Тогда в каждом [2?ц] -в качестве предстал и теля можно выбрать единственную, ориентированную замкнутую геодезическую ^ в метрике , проходящую через произвольную фиксированную точку О' тора У2. Разрезав тор У2 но щ ж Уд, мы получим ориентированный параллелограмм V. Вложим его в плоскость Е2 так, чтобы точка О' совпала с началом координат, направление 1>1 — с положительным направлением оси абсцисс, а ориентация параллелограмма 1/ совпала с ориентацией плоскости К". Полученный парал-

лелограмм на К2 будем называть каниничепким параллелограммом, из которого склеен плоский тор (Г2 ,<?»,).

Плоские торы (Т2,д^) подобны тогда ж только тогда, когда они имеют .подобные канонические параллелограммы. Классы подобия плоских торов можно описывать точками верхней полуплоскости, из которой выброшена ось абсдисс. Проведем классификацию замкнутых минимальных сетей с точностью до подобия плоских торов. , . . ■

. Пусть Т2 — двумерный плоский тор, и Г С Г2 — произвольная замкнутая минимальная сеть . Пусть т : Е3 -+ Г1 — универсальное накрытие, являющееся локальной изометрией, и Г' = 1г~5(Г) — поднятие сети Г на плоскость К2.

. Отношение параллельности разбивает ребра замкнутых минимальных сетейГ и Г'на три класса параллельности. Пути 7 и 7' назовем, сетевыми 1 геодезическими, если и:-: ребра принадлежат не более чей двум классам параллельности.

Пару 7172 различных ориентированных сетевых геодезических, проходящих через произвольную фиксированную вершину сети Г, будем называть базисом сети Г. Пусть [7,] б Я|(Т2, Щ — классы гомологичных кривых, содержащие ориентированные замкнутые кривые 7;, к = 1, 2. Разложим их по базису [Ь'гЛЪ'г]: [71] — р[Вг] + 7[/2з]> [72] = г[Ех\ + *[£?з].

Поскольку каждая сетевая геодезическая 7» состоит из четного числа ребер, то через тип обозначим число пар ребер, составляющих и 72 соответственно. Пусть М— ^ ^, я Д -— определитель матрицы М.

Предложение. Пары (р, д) и (т, я) являются парами взаимно простых чисел. Определитель А матрицы М отличен от нуля. Числа тип

делятся на Д.

' I:

Пары (р,д)и(г,з) называют типами сетевых геодезических 71 и 73 со-

ответственно. Числа тип называют длинами сетевых геодезических 7х и 12• Матрицу М называют матрицей типа_сети Г, а тройку (М,т,уп) — типом сети Г на торе в базисе 71, 72 сети Г.

Пусть (МуТП, п) — тип сети, Д = ¿е1(М) > 0, Поставим в соответствие этой тройке матрицу у С по следующему правилу. Пусть и = га/Л, V = и/Д. Тогда ■ -

_ / 4P ит \

\ vq us / '

Пусть, наоборот, g ~ ^q sj^ GL%(b) — произвольная матрица, v —наибольший общий делитель чисел Р и Q> и и — наибольший общий делитель чисел R ж S. Рассмотрим матрицу М = яусть

. Д = det(A^), Положим тп = иД, п = vA. Тогда тройка (Mtmtn) допустимая. Построенные два отображения (яз множества троек (М,ш,п) в GL^ib) и обратно) взаимно обратны.

Матрицы из GL$( Z) также ня.зы пают типами замкнутых минимальных сетей на торе в соответствующих базисах этих сетей из сетевых геодезических.

Основным наблюдением в глапя.х TII а IV явллотся существование двулистных накрытий плоской бутылки Клейна KJ и тетраэдра плоским двумерным. тором Т2. . В случае тетраэдра накрытие является разветвленным. Пусть е: Т2 —» W -дв-улкстяое накрытие, где W являете*., либо нлоской бутылкой Клейна А'2, либо тетраэдром, и тг: К2 —+ Т2, чг: К3 —► W — универсальные накрытия. Пусть Г — сеть на Г2, Г'ч== тг-1(Г) — ее поднятие на плоскость К'-1. Пусть G — группа накрытия т.. • Ясно, что проекция Г = ■7г(Г') является сетью на К2 тогда и только тогда, когда Г' инвариантна относительно G,. Кроме того, хорошо известно, что любая плоская бутылка Клейна изометрячна бутылке Клейна, склееной

нэ прямоугольника.. Будем считать, что одна сторона этого прямоугольника совпадает с е;, где е] — стандартный ортонормирований базис плоскости К2, а другая сторона, направлена в верхнюю полуплоскость и имеет'длину с£ Обозначим через К'л(г1) бутылку Клейна, склеетгую из такого прямоугольника. Тогда дли ТУ = К2 имеем с: Т2(2й) —? Кх(с1). ■ ■■ Минимальную .сеть Г на IV назовем правильной, -если все ее ячейки сети Г' = 7г-1(Г) на Ж3 могут быть подучены из фиксированной ячейки некоторыми сдвигами плоскости К2.

Две сети Го и Г] на поверхности IV назовем эквивалентным^ если ' существуют параметризации и ¥>1 сетей Г(> и 1*1 одним, и.тем же комплексом Г : <р,(Т) = 1\, г = 0,1, и непрерывное семейство вложений (деформация) ! Г —► ТУ, £ 6 ¡0,1], такая что = Ро, ¥>¡¡=1 •= Щ-

Теорема 2. Для любой замкнутой локально минимальной сети Г на поверхности существует единственная (с точностью до изометрии №) эквивалентная ей правильная шппшяъпы сеть Гт.

• Эквивалентные замкнутые локально хкняиаявше сети я г. IV' имеют одинаковые типы из соответствующего клясс'кфхцкрующего множества.

Ф.

"Длины эквивалентных сетей равны.

Каждая зшкпутая локально иииимальиях сеть ни № может быть про-дефориирована в произвольную эквивалентную ей сеть в классе минимальных сетей на ТГ.

Пусть (Г2,/;^) — плоский тор, /"— его канонический базис, и Г С Т2 — замкнутая минимальная сеть тина у 6 д —

Положим А = Р 7, +<? / э, В = Я 7, +5 7з-

. ; Треугольник ОАВ на плоскости I2 называется агл^дкгле^игя'гичвекил ' треугольником сети Г типа д € СЬ^('&) « Назиее е I }.

а

(д я)

В главе П доказано, все шесть характеристических треугольников сети ' Г типов Pi 6 [</] конгруэнтны. •

Теорема 5. На фиксированном: плоской торе Т2 существует замкнута я минимальная сеть да иного типа g тогда и только тогда, когда, Bces-углы характеристического треугольника типа g в канонической базисе тори Т3 меньше 120°.

В главе III показано, что псе характеристические треугольники сетей на плоских бутылках Клейна К7 равнобедренные. п ■ •

Обозначим через G подмножество ОЬ%(Ъ) вида ■ > :

I

Утверждение 1. Если сеть Г на горе Т3 порождает cefb Г = = с(Г) на бутылке'Клей я a К2, то она имеет тип g € G. Обратно, если сеть Г на торс Т~ имеет тип g G G, то в классе эквивалентности [Г] сетей этого тина всегда существует правильная сеть Гг, которая, возможно после некоторого сдвига", накроет некоторую правильную сеть IV = е(Гг) на бутылке Клейна.

Будем говорить, что эамкнутал минимальная сеть на плоской бутылке Клейна К2 имеет тип (1 ) или (2), если она накрывается: сетью на Topè

(Р -Р\ i Р Р\

типа I Q )' КЛЖ I — Q Q ) соответстве!1Я0-

Теорема .'> '. На фиксированной плоской бутылке Клейна суще-

ствует замкнутая локально минимальная сеть типа (1) тогда я только тогда, когда

ä> Р

t

и существует замкнутая локально минимальная сеть типа (2) тогд& 'я

только тогда, когда

уДР

¿<

Пусть № = Д — тетраэдр. В классе [Д] тетраэдров, подобных тетраэдру Д, выберем такой тетраэдр, чтобы канонический параллелограмм накрывающего тора, был порожден векторами «1 /, где / — некоторый вектор из верхней полуплоскости. Таким образом, классы подобных.тетраэдров, также как ж подобных плоских торов, можно описывать точками открытой верхней полуплоскости, сопоставляя каждому такому тетраэдру точку, соответствующую плоскому тору, накрывающему этот тетраэдр.

Пусть Г — минимальная сеть на тетраэдре. Так как минимальная: сеть не проходит через вершины тетраэдра, и достроенное нами накрытие является локальной изометрией, то сеть Г = £-1(Г) также будет минимальной сетью на накрывающем торе.

Утверждение 2. Если сеть Г гхла д = ^^ ^ 6 \д] 6 (Е)/(Л) на длосКои:двумерной торе Т2 накрывает, возможно после некоторого сдвига, сеть Р на тетраэдре, то все элементы матрицы тина Р, (¿, Я и Ц — четные. Обратно, если сеть на Та имеет тип д = ^^ ^^ и Р, С?, Л я 8. — четные, то в классе эквивалентности сетей ткла [д] на Г2 всегда существует сеть Г, которая накроет некоторую сеть Г на тетраэдре.

; Положим Р' =. Р/2, <?' = 9/2, Л' = Л/2 и 5' = 5/2.

Типом замкнутой минимальной сети Г ка тетраэдре мы назовем ма-гтргду,

достроенную описанным выше каноническим способом. н

ю

Теорема 3". На.фккскрованноы тетраэдре существует замкнутая ия- ■ нииальнах сеть данного типа, у' тогда, и только тогда., когда все утлы характеристического треугольники тиля д' в каноническом базисе накрывающего тора меньше 120°. ; п

В главах ГГ, ТГГ, IV описаны множества всех поверхностен РР (плоских двумерных торов Т2, плоских бутылок Клейна К3, тетраэдров), на которых существуют замкнутые локально минимальные сети любого фиксированного типа [¡7] 6 С?1, \д\ € Сг или \д] 6 соответственно, '

Подмножество плоскости, соответствующее множеству всех (йе подобных) плоских торов Т3, па которых существует замкнутая минимальная' есть типа д, назовем областью устойчивости типа д. ж

Положим а = тт—пр, Ь = тз — и?. Обозначим через а, (3 ж у отношения

в г а

—, — и — - соответственно и рассмотрим два случая.

д з Ъ . . =

Случай 1. Нее « и Ь не ранни одновременно нулю. Тогда числа

" р /' а г Н а Н - Р

а.= = /? = -- = -- и 7 = -- = определены. От-

ложиы на оси абсцисс точки А — (а,0), В = (/?,0) и С = (7«0). Вез

ограничения- общности можно считать а < /0 < 7. Для каждой пары то- -

чек Л,/?; В, С ж Л, С построим правильный треугольник, две вершины

которого совпадают с точками пары, а третья вершина лежит в нижней

полуплоскости. Опишем вокруг построенных треугольников окружное .

сти, и пусть Кг, К? ж Кз — круги, ограниченные этими окружностями

соответственно. Рассмотрим внешности ®2 \ Кх, К3 \'Кз кругов Кх ж Кз

соответственно я внутренность К° круга. К^. Обозначим через Й Пересе- '

чение (К3\К%)П(К2\К?)ПК?. ПустьИ' — часть множестваЙ, ¿ежащая

в верхней полуплоскости.

Случай 2, Пусть одно из чисел д, з или Ь равно рулю. Тогдл.¡определены хотя бы два из чисел о, 0 или 7. Вез ограничения общности можно считать, что это а и 0, Отложим на оси абсцисс точки А = (а, 0)

г В = (/3,0) и построим на отрезке АВ правильный треугольник, третья вершина которого лежит в нижней полуплоскости. Опишем вокруг этого треугольника окружность, и пусть К* — круг, ограниченный этой окружностью. Обозначим через 1а и 1в лучи, выходящие из точек А к В соответственно и направленные в верхнюю полуплоскость, причем /л составляет с положительным направлением оси абсцисс угол в 120°, а 1ц -в 60°. Пусть Ц' --.открытое множество между лучами.¡л я 1ц, лежащее вне круга К+.

Для каждого фиксированного типа [у] е единственным об-

разом можно построить область

Теорема 4. На плоском торе, склеенном из параллелограмма е 1 /, существует з&икнутах ияннизльк&я сеть типа \д\ е СЬ* (%)/№) тогда у только тогда, когда, вектор / лежит в области £У.

Подмножество плоскости, соответствующее множеству всех плоских бутылок Клейна, на которых существует замкнутая локально минимальная сеть типа д £ Ъз х назовем множествам устойчивости типа

9- ' : л

■ Рассмотрим на плоскости К2 области устойчивости типов (1) или- (2) для сетей.Г = е-1 (Г) с Г2, накрывающих сети Г С ЛГ2 типов (1) и (2) соответственно. Пусть (ах, +оо) и (0, аз) —т сечения областей устойчивости,осью ординат. -Положим = ¡3 — Тогда интерналы (62, +оо) и (Оуб}) будут.множествами устойчивости сетей Г С К3 типов (1) и (2) соответственно. Таким образом, множества устойчивости сетей Г С К2 одномерны, в отличие от областей устойчивости сетей на Г2.

Подмножество плоскости, соответствующее множеству всех квазиправильных тетраэдров, на которых существует замкнутая минимальная сеть типа дназовем областью устойчивости типа д'.

Ясно, что область устойчивости типа д' сети на тетраэдре совпадает" с областью устойчивости типа 7 дли сети на накрывающем торе.

Для каждой замкнутой локально минимальной сети на тетраэдре, плоских торе Т2 или бутылке Клейна К2 вычислена длина сети как функция эт параметров типа сети к От параметров поверхности.

Пусть Г — замкнутая минимальная сеть на плоском Т2, ОАВ — характеристический треугольник сети Г. Так как все углы треугольника ОЛВ меньше 120°, то существует невырожденная минимальная сеть Гх, натягивающая вершины этого треугольника. ' '-"/ " J

Сеть Гх называется хар актперистпической сетью, соответствующей сети Г. ' '

Пусть Т2 — плоский отмеченный тор, ег / —' канонический базис его решетки, Г — замкнутая минимальная сеть на Т2 тина д = ^^ s)'

-ч —*

Пусть / = (с, d) — координаты вектора / в стандартном ортонормя-рованнои базисе ej. Положим F = ^ и пусть Е s= Тд =

матрица, по столбцам которой стоят координаты (в базисе е j й 3) вершин Л ж В характеристического треугольника ОАВ сети —*

Г в базисе е j /.

Теорема 5. Пусть Г — замкнутая минимальная сеть на плоском торе Т3, и Г'у —характеристическая сеть, соответствующая Г. Тогда Длины сетей Г я равны. Длина £ сети Г pama:

С2 = К2 - КМ + М2 + I? - LN + N2 + y/3 det(£).

Теорема 5'. Длина сети Г типа (1) на плоской бутылке Клейна равна

\/3Р 4- 2 iQ

(К М\ \Ь К)

Длина сети Г тала (2) яа плоской бутылке Клейн а равна.

Р + 2у/зdQ

■ г-•

Пусть Г — замкнутая; минимальная сеть па тетраэдре типа д\ О А'В' — характеристический треугольник тина д'. Положим К' — А'/2, L' ~ Lf2, М' = М/2, N' = ЛГ/2, и det £' = det £/4 для определенных выше А', L, М, N я £.

Теорема 5". Длина I' ссти Г может быть вычислена, л о формуле I'2 = К'7 - К'М' + м'2 + L'2 - L'AT' + ДГ,3 + v^det

Автор приносит глубокую благодарность научному руководителю члену-корреспонденту РАН, профессору, доктору ф.-м наук А. Т. Фоменко, к.ф.-и.н. А. О. Иванову к к.ф.-м.н. А. А. Тужиякну за постановки, задач и постоянное внимание к работе.

Публикации автора по теме диссертации

1. Шхлянко И. В., Минимальные сети на замкнутых ориентированных поверхностях, Сб.:Избраяные вопросы алгебры, геом. и дискр.мат.,

., М.: Изд-во Моск. ун-та., 1988.

2. Шклянко И. В., Одномерная проблема Плато на поверхностях, Вестник МГУ сер. малгем. 40 (1989), N. 3.

3. Пткцына И. В., Классификация плоских торов, допускающих замкнутые минимальные сети данного типа, Успехи мат. наук 47 (1992), N. 3(287), 169.

4. Иванов А. О., Итидына И. В., Тужилин А. А., Классификация замкнутых минимальные сетей на плоских .двумерных торах, Матен. сборник 183 (1992), N. 12, 3-44.