Минимальные условия основания решений смешанных и краевых периодических задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНА АКАДЕШЯ НАУК УКРАГНИ г, г г л 1НСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

"Го ОД

!* 1'

На правах рукопису

ХОМА ЛАРИСА ГРИГОР1ВНА

М1НШАЛБН1 УМОВИ 1СНУВАННЯ РОЗВЯЗК1В М1ШАНИХ I КРЛЙОВИХ ПЕРЮДИЧНИХ ЗАДАЧ

01.01.03 — математнчна физика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертацп на здобуття вченого ступени кандидата ф1зико-математичиих паук

Кшв—1994

Дисертащею е ру'копис.

Робота внконана у видЫ математичноГ ф1зики i теорп нелшй-них коливань шститу! у математики HAH Украши.

Науковий KepißHiiK — акаде\ик МИ'ГРОПОЛЬСЬКИЙ Ю. О.

Офодйш опонентн:

доктор ф!зико-математичннх наук МИХАЙЛЕЦЬ В. А., кандидат ф1зико-математнчиих наук ГОРДИНСЬКИИ Л. Д.

Провщна установа —

Льв'шськнн держашшй ушверситет im. 1. Я. Франка

Захист в¡дбудеться «j3/» 0i?C£>&/?UCd 1994 р. о год.

на зааданш спещал1зовано-1 ради Д 016.50.01 при 1нститут1 математики HAH Украши за адресою: 252601, Кшв 4, ГСП, вул. Тере-щеншвська, 3.

3 дисертаиию можна ознайомитисл б öiö.iioieui шституту. Автореферат розклано 1994 р.

Бчений секретар спешал1зовано'1 ради

ЛУЧКА А. Ю.

ЗАГЛ1ЛЫ1А ХАРАКТЕРИСТИКА УОБОТИ

Акттэльн1сть роботи. Вяжливе м!сце в теор!I дифереяц1аль-них р1внянь займають методи в1дшукання наЗлшених розв'язк1в нелШйних р!внянь. У випадку нршн1йних'р!вшнъ з малкм параметром, як! виникають при досл!дженн1 явищ t процес!в в'мехчн!-Ц1. г1дромехан!ц1, астроном I, акустищ, оптлц], електрон1ц1, сказала в повн1й Mtpt стосуетъся асиштотичких метод!в Крилова--Боголюбова-Митропольського.

Як показують результату роб 1т Митрогольського Ю.О., Мос-еен-кова Б. Iклас нел!н!йних р!внянь з частинниш пох!дншя г1-горбол1чного типу, до якого застосовн! назван! асюттотичн1 метода, становлять р!вняння виду ' .'

Utt ~ 3Чх + AU = eP(il,Ut,Uxl, (1/

де ilu.u ) - яелиийний оператор, якиа конну гладку фунюпю и е С1'1 (п)п с к2, переводить у скалярну функШп Ftu>ut,uxUz,t) е 0(п), в - малий параметр, \ = const.

Але виявляеться, що цей клас можна розширити за рахунок р!в-вяяня

utt - агихх + Slo(xit)u = i(x,t) + cPfu,ut,u„], 0 1." (2)

яке в деяких випадках прл умов!, що !снуе класичний розв'язок В1ДПОВ1ДН01 не^бурекоТ (е ^ п) м:;аэно! г,бо краЯовоГ задачи

вводиться до [ibhiuifl;? ей®' (1).

Зяичэйро, ыпшеае питания, при якях ушвэх, до того ж Шя1-маяьши, юнуе вкйзгша розв'ягюк. -

< 3 1ншого боку, умовл (снування неперервного (клзсичкого) розв'язку рIвкяння (1) (в!дпэв!дного усерэдяеного р!вняюи), HiKom точно не г,чазувагася в ясготтотичн!й теорП Крютпэ -

Боголюбова - ОДитропольського. Тому цей. аспект асимптотичнот те-орП вимагае додаткових досл!даень.

МШан! задач! для г!пербол1чних рtенянь i систем розглядали-ся в працях AöoJitHl В. Е., Артем'ева М. А., 1лына В. А., Мельника 3. .0., Мишкюа А. Д., Неймарка Ю. I. Зокрема, встановлен-нш шншалытх удав tснування класичного розв'язку окретх ви-д!в вказаних задач займалися Лев!тан Б. М., Михайлов В. П., Легровський I,. г., Стеклов Б. А., Черняиш В. А.

Досл1джвнню крайових перЮдичшпс задач присвячен! робота Арнольда B.I.-, Брез!са X., Вайнберга М.М., Вейвода 0., Бульпе М.М., Горбачука М.Л., Кирилича В.М., Корона Й.М., Лади-кенськоГ O.A., НахушеваА.М., Н!ренбврга Л., Пташника Б.Й., Ра-б!новича П., Рудакова I.A., Самойленка' A.M., Скрипника L.B.,. Соболева С.Л.

Иета робота. Встановити м!н1ыальн1 умови 1снування (гладких, класичних) розв'язк!в окремих вид!в лШйно! I нел!н1йно1 ишано! t крайово1 перюдачног задач. Розширити клас р!внянь, до, яких застосовн! асимлтотичн! метода Нрилова-Боголюбова-.-Митропольського.

Метода дося1дження. При до^еденц! наведених в робот! результат^ використовуеться метод зведення г!пербол1чного р!рня-йня другого порядку до шстёт першого порядку, метод *эракте-ристик, чисвльно - анал!т!ичний метод побудови перЮдкчних розв*язк!в крайових задач, елементи функцюнального аншзу.

Наукова новизна.

- Встановлено м!н!ыальн! умоги 1снування класичного-розв'язку окремих вид!в лШйно! м!шано! 1 крайово1 перЮдачно! аадач.'Дпя М1иашх задач доведено-един!сть вказаного розв'язку. Для крайових визиачен! конкрйтн! просторч функцШ, в .-'их 1 снуе

клаеичннй розв'язок.

- Отримано умови Юнування класмчного (гладкого) розз'язку нвлшшно! м Пеане! (нелппйно! крайово! иорюдично!)задач!.

- Теоретично, обгрунтована мозшшсть эастосувашя аслмпто-ТИЧНИ1 метод!в Прилова - Боголюбова - Митропольського до кваз!-ЛНИЙНОГО г! параличного р!ЕНЯННЯ (2).

Теоретична 1. практична ц1нн1стъ. Результата дасертрцП вносять вклад в загальну теорПо г№йрбол!чних м1шаних I крайо-вих задач, а такса - в асиштогичну теор1ю Крило'ва-Боголюбов а ~ -Митропольського. Вони можутЬ/знайти свое застосувяння як в теоретичных, так 1 б практичних питаниях.

■ АпроСэц1я робота. Результата робота долов!далися на Всо-союзн!И конференцп "№л!Шйн! проблеют диференц!альгах р1внянь I матвматично! ф1зики" (м. ТерноШль); на конференцп "Налш!;-н1 проблеми дго$еренц1альних р!внянь I математично! ф!эт.и" (м.Кшв); на Всеукра!нськ!й конференцп "Нов! Шдходи до

I

розв'язания диференц!альних р1вняш." (м, Дрогобич); на сем!нар! в!дд!лу теори н'.'лШйних коливвнь I мэ^енятичнот ф1зцки 1нотк туту математики НЛП Укра!нк (кер1вник - академ1к р.О.Митрополъ-«ькйП; на сем!нз[' в1дц!лу теорЦ р!внянь з частдашя похитим 1нстМтуту мата-.з^гга м»Н УкраЩи (кер1вго« - доктор.ф?зи-.уо-математачнга наук, »фофооср Н Л.Горйчук). •

Публ! кац51. Основа! результата д.гсэртацП спубл!копан! в роботах [ ¡-5 1, г'тисок гких подано в кпщ! автореферату.

Структура 1 оо'ем робота. Дисертащйна робота смадз-еться з! вступу, трьох глое, висновку ! списку л!тератури, би-кладених на 117 стор!нках машинописного тексту. Слисок ливра-тури м1стать 122 найыбнуЕажя,

- 4 -ЗМ1СГ ГОБОТИ

У встул! дано обгрунтувзння актуальност! питань, досл!дженню яких присвячена дасертац!я, проанал!зовано сучасний стан проблем! 1 коротко виклэдено основн1 результата.

В глав! I вивчаеться л1Шйна (нел1н!йна) м1шана задача. Спочатку в §§ 1 -6 розглядаеться м!шана задача для л!н!й-

ного неоднор1дного р!вняння виду

~ &г = х е (о..), г'« (0,Т), (3)

и(од) = и(теД) = о, г с [0,Т], (4)

и(х,0) = <р(х), и4(х,0) = ф(х), х е 10,*], (5)

и(ХД) С Сг(П), П = { 0 < X ^ те, 0 ^ г « Т }. (6)

» .

3 постановки даноГ задач! випливае необх1дн!сть таких умов нч ?.;гасцП <Р(з), Ф(Х), Г(ХД):

Г(хД) € С(П), (7.)

'ф(х) б С2[0,ге], (8)

ф(Х) € С1 ГО,тс], (9)

<Р(0). = ч>(п) = д, ф(0) = = о, (Ю)

аУ(0) = 1(0,0), -аУы = 1(*,0). (11)

Прдто для 1СНУЕЯ1ШЯ розс'язку задач! (3)-(6) на функцП у(гь .'('), Цх,1) зэлеюго -в!д штод!в доведения нэклздали'ся р!гп! диэтэтв! функщонзлып вимоги.

. Для всталоглэиня Мншэлмох уиов Юнування' класичного розв'язку !!!иан01 ЗЭДЯ'Ц (З)-(б) I формулювання ОСНСВНИХ рй-у випадку '

Г(0-,г) а ГЫЛ) =0. г с. Г0.Т1, (12)

в йй 2, 4, 6 глави I дисертац!йнсг робота введено так! позна^е-

нея! f(x,t) - непарна 2я-пер1одичне продовження функцИ fix.tj

пб 3MtHHta х з в!др!зка [О,тс] на всю числову пряму R;

t ~

р*(x,t,a) = J f(x+a(t-t) ,-с) dx. [13)

о t ~

p~(x,t,a) = J f(x-a(t-t),x) dx. (14)

о

T e ар в м a 1. Нехай виконуються уиови (7)-(12) t

p+<r*t,«0 e С1'°(П)', p~(x,t,a) t С1,0(H). (15)

Тод! 1скуе единий класичний розв'язок м1иано1 задач! (З)-(б) в пряиокутнику П.

Теорема 2. Нехай виконуються умоеи (7)-(12) I

p+(x,t,a) fC0'1(tt), p"(x,t,a) € С°-'(П). ' (16)

Toflt юнуе единий класичний розв'.язок м1шано! задач! (3)-(6) в прямокутнику П.

Теорема 3. Для розв'язнаси м1шако! задач); (3)-(6) в прямокутнику П йри <р(х) ~ з о н0обх!дно 1 достатки), ЩОб функшя Их, t) эадовольняла умову нэрерервност! (7) 1 умову (12), а кожний з м 1нтеграл!в, як! визначаються зг!дао р!внос-тей (13), (14), налепив хоч би одному з клас!в С,,0(1Т) або С°'1 (П). При цьому шукшжй .роев" язок едюшй.

Теорема 4. Якщо виконуються умоеи теореми 1 або 2, то розв'язок мМано1 задач!. (З)-(б) мохна записати у виг ляд!

x-at

+ I i dx f UZ,x) dZ,

о x-a(t-t)

да i;:), ¡¡i(x) - непарна 2-г-перЮдично проделает..! футШИ f(z), 4>(х) з в!др!зка СО,«! на IF.

Для обгрунтувзкня теорем (-4 в 5 3 доведено 9 лем про дифе-рэнщйовашсть !нтеграл!в, що стоять в правШ "ч'-тин! р!вност1 (17).

При доведянн! теорем 1-4 використано методику зведення ква-31ЛШ1ЙНИХ р!ВНЯНЬ другого порядку ДО Г1перб0Л1ЧН01 СПСТеМИ пэршого порядку (§ 1), а також метод характеристик.

Як насл1дки (5 5) одэржуються твердженна, як! дають достатн1 умови 1снування класичного розв'язку м1шано! задач! (З)-(б) б 1лм жорстк!, н1ж (7), (15), (16), але виражен! в -б1лия зшч-них термшах в пор!впянн1 з (7), (15), (16), як1 в деяких випадках повн1стю зснгаоться з в!домши результатами.

В § 7 вивчаеться мшана задача для л1н!йного одасп'яного р!вяяння виду

и^ - агиза{ + с(хД)и =■ о, I £ (0,.), \ е (О.Т)* (18)

ц(од) =и(1г,г) = о, . г е ю,тз« (19)

и(.-К.О) = <р(Х), . и^Х.О) = (|)(Х), .. X € (20)

-и{1,4) С С2(П)., .П = ( О <; х ^ К, О ^ Т }. (21)

3 постановки задач! (18)-(21) випяивае иеос5х! дають

еикснзння умов (8), (10) 1, уковп

<, '

<р" (О) = •<>"(«) = О. (22)

Але. длч розв'язност! Мшано! задач! (18)-(21) потрЮнэ, щоб . функдИ ф(х), ф(х),' 1(хД) задовольняли додатков! умозп. Вони вказшп в нэступккх теоремах.

'Теорема 5. Пехай виконувться умови <8)-(<0). (22) 1 с(х,и ч С-"''°(П). Тод! 1 сруе сдкккй класичний розв'ялок мпаано! заддч! (1&)-{21) в прямокугшку П.

■ : 7 е о р с « в 6, Нэх&й ст.кс«>тго«Я умоэи (Й)-ОО), .<22) 1

€ С°'ЧП). (23)

Тод! 1снуе единий класичниИ розв'язок MtmanoT задач! (1-8)-(?.1) в прямокутгожу П.

Зауваюшо, що умова (23) теореми 6 одержана вперше.

В 5 В в прямокучтпгу Я вивчена нэл1н1йпа м1шана задача 'виду

utt - '12UXK = fix,1) + eF[U,Ut,U,,el, . (24)

U(0,t) - U(*,t) = 0, U(X,0) = <p(X),- ut(x,0) = <|>(X), (25)

.для якеI справедливе чакз твердження:

Теорема 7. Iloxafl функцп q>(x), ф(х) Еизначен! на в!д-pt-зку [0,^], функц!я i(x,t) - на прямокутнику П, оператор Р пэре водить кожну гладку функции u(x,t), визначену в П, в непе-рчрвну скэлярну вункцт FCU,Ut,Ux,el (x, t); i. виконупться tp.kt умови:

1) т(') € Сг(0,тс], ф(Х) € с' ro.iel;

2) р+ (?;,t,a) е с1-°,-а(П), p-U,t,a)'€ С1~а'а(П), а = 0,1;

з; оператор Р переводить кожну гладку функц!» U(x,t), еиз-1г,че-;у в И, в скаллрну функц!» 7tu.u^.u^.el (x,t), де^рейцШо-ючну по х або по t;

I) погЛдШ iJF/Su, 0F/<3u , dF/dux задовольняють умЪву Л1ш!-цз iiO 11, ut, u з стзлс« К;

5) П1ДН0В1ДН! y^OFIT погодження. Год! при достятньо ¡лалому за модулем е задача (24), (25) мае зданий клаашшй резв'язок в П.

Для л.'нШпого n::i'v:." У rFtu,utе](х,t) - -c(x,t)u мае Mtc-це нчетутгна теорема.

Теорема 8. Hex all виконуються умоЕИ 1), 2) теореми 7 t умоли: 3) f(0,t) = f(r;, t) - 0, t б !0,'Г], i(x,t) 6 С(П); •i)c(x,t> С (И -«.<»(П). -7. г 0,1. TOAt ICHjre еД!ПШЙ клзеичний розв'язок мГшаноГ эалач< ¿24), (25) при EFni,ut,u^,cI(r,t=

= - c(x,t)u.

ВЩИтимо, що для вкладку c(x,t) = q(x) з теореми 8 одержу-еться результат, встановлений Черняттшм Б.А.

В § 9 на основ! теореми 7 одержано аналог формули (17) для нел!н!йно1 мШано! задач! (24), (25).

Глава II- присвячена крайовим перюдичним задачам. В § 1 розглядаеться л!н)Ена крайова задача

utt ~ a2ujcx = S(x.t), (x,t) (26)

u(0,t) = u(TC,t) = О, t е R, (27)

u(x,t+T) = u(x,t), . (x,t) e К * R. (28)

На основ! теореми 4 1 чисельно-анал! тачного методу побудови розв'язк!в крайових перЮдичних: задач встановлено умови розв'язност! задач! (26) -(28) I подано явнэ зображещи розв'язку при певних сп!вв!дношеннях utx тяслами а t Т.

Для формулювання t' доведения основного результату введено так! позначення: С - прост!р функц!й двох зм!шдас х 1 t, нэпе-рервних I обмежених на IR2, G npocTtp функц1й двох зм!нних х - J t, нэпе рервних I обмежених на (R2 разом з шх!даою по х;

Q2tc = rB(x.t): g(x.t) =-g(-x,t) -g(xf2«,t) >;

а,, = { g(x,o; g(x..t); = g(2. t+D r(x,ay,x) = ^ (g(x+a(y-t),..x) + g(x-a(y-c),t)); = { g(x,t): r(x,ay,b+t) = -r(x,ay,*), о ь

J Üt X Г(Х,а(г-И»),Ь+т;) ÜW = О }J -t o

4t. b t

j(x,t]MPg)(xft,atb) = Jdx/r(x,aj^t)dy - JltJr(x,ay,.T)<ly. (29)

О X t T

1' e оI p e u а 9. Идя g k G^ n П Qj П Hab Ф^нкШя u=Pg,

назначена за допомогою формул! (29), е единою функц1еп-з простору С2, яка задовольняе умови задач! (26)-(28).

В § 2 розглядаетъся npocTtp фушц1й

В^ = { g(x,t): g(x,t) = -g(-x.t) = gU-x.t) - gu.t+т^ >,

Ti = {Paq1 )K- (2p-1 ,aq) = 1, T^ = b.

Доведено ряд властиЕостей, я'кими володють функцП з даного •простору, 1 на ц!й основ! - наступну теорему.

Теорема 10. Для g <= G п В^функц1я u=Pg, вязначека за допомогою формул* (29), де Ъ = T,q, Т, = (2p-1)*/aq, е функцию з простору С2 п В^, яка задовольняе умови крайово! пьр!с-дйчно! задач1 (2б)-(28).

В §§ 3,4 досл1джуеться питания зобракення розв'язку задан (26)-(28) за. допомогою узагальнешх оператор1в Вейводи-'итедри.

При формулюванн! 1 доведет« основних теорем використано та-к1 позначення: Ct- прост1р фу'нкцШ двох зм!нних х t t, непе-рервних 1 обмежених на [0,гс]*К, Gt - npocTtp функц!Й двох зм!н-них х 1 t, неперервних ! обмеяених на разом з гкшдною

по t; ( .

'u(x,t)=(Hg)(x,t,a) э s2 {(S^Xx.t.a) + (S2g)(x,t,aP +

о t-Б/¡т, о t-(t-E)/a

< x t+(x-|}/a

(S g)(x,t,a) - ^ f (Ii J g(e,t) dx.

о t-U-t)/a

(s g)(x,t,a) = . j- de J . g(t,x) dx.

- ( g(x-t): g(x.t) = g(*-x,t) - gfx.t+T,) }, A* - < EU," •:• gU,t/'= g(*-x,t4-V?) ^ g(x,t+T-) },

Ï1 = */a, Ï2 = 2«/&, a = (2ii-1 )/p, К € Z, pe ni.

ï e о p e и a 11. Для функцп g € n ФункЩя u(x, t)-(Eg)(x,t,a). e функцией з простору с2 п яка задоволь-няе умоей (26)-(28).

•Теорема 12. Для функцП g £ Gt n ¿f. функц!а u(x,t)=(Hg)(x,t,a) e функщею з простору G2 n a|, яка аадоволь-няе уыови (2б)-(28). ,

Доведения теорем 11 t 12 проведено на основ! встановлених в ро0от1 властивостей оператора R.

В § 5 розглядаеться нел!н!йна мшана задача виду

u.. - a2u = <t>(x,t,u), (x,t) ç R * К, u e к, (30)

WU A*

u(0,t) = u(iv,t) 0. tçR, (31)

U(X,t+T) = U(X,t), (X,t) 6 К * R, (32)

t досл!дауыться умови {снування гладкого (u € С1 ) 1 класи"нога (u е С2) розв'язку дано1 задач! в клас! функщй

Дм рведено! норми | u 1с = sup {¡u(x,t)i; (x,t) e R2 ) до-i";i.bi|o наст^тшу теорему.

6 о р в м а 13. Шхай ф^жц!я ii>(x,t,u) садовольняе умови: .

!) q;{i,t,ur€ CiR2»» < « );

2) О < |<i>(x,t,0)J » Г < ® ;

?.) (x,t,0) ç Bl ; ,

4) |Ф(х,1:,и") - fi>(x,tsii' )j « и ju* - u'j, u' é R, u" ^ Ш;

5)'для V u € B^, 4>(xft,u(x,t>) t B*.

Тод! при доотатньо малm kohct&hti Л!пш!ца ы задача (30)-(32) цав еднний гладкий розв'язок u(x,t) е вЧ

Обгрунтування теореми 13 зд!йснветься за допоморою принципу

стиснених вгдображеаь, який §aciv -¿уеться до оператора Х^, но

визначаеться правою частиноы такого штегральнсго ртвняння:

t t ъ L

u(x,t)= /сЬ^(х,ау,х,и(х,ау,х))(1у - J"1 cUj'i-(x,ay,т (x,ay,x) )dy,

ox "t x

де b^q, ¡Hx.ay.-c.iHx.ay.x)) = j[-(i|>(5C+a(y-t),x,u(x-ta(y-i),x))+

* Ф(х-а(у-т),x,u(x-a(y-x),x))).

Для ф(х,t,u) = g(x,t_) +■ ei(u) 3 теореми 13 одержано наступив твердження.

*

Ее op е на. 14. Нехай функд!г g(x,t) l'.f(u) задовольняють так1 умови:

1) g(x,t) е C(R2) n В^;

2) 0 < lg(x,t)l = Г2 < «о ; -3) Г(-и) = f(u);

+) f(O) = О;

,5) f(U) € Lip (N1?R), N, = const.

Тод! при достатньо малому за модулем е. нелШйна шшана задача (30)-(32) при ii>(x,t,u) = g(x,t) + 'ef(u) мае единий гладкий розв'язок u(x,t) е вЧ

1Ьыдено приклада р!внячь, як1 задовольняють I на „адоволь-няють умови теореми 14.

В глав! III показано заетосування одержашх результату в аснвдтотнчн1й теорИ нелШйшг мэхашки.

• В § 1 розглядаються ocHOBHt IдеГ ьикористання окрсмих мато-д1в асимптот-чо! тоерП нелИИйно! мехэШки для знаходтонш) наближегапс розв'язк!в м1шаних (крайових) заду для кБазШШЯ-яих I пер&шчнкх р!внянь другого порядку 1..ду ( ). Бказуегься, що без теоретичного оОгрунтуЕашя дан! мс.'оди даыть лисе фор-

мальн! схеми побудови наближених розв'язк!в.

§ 2 нрисвячений обгрунтуванню можлнвост1 зве;;,"п'!л квэзШ-Н1Й1ЮГО р(вняння (2) 3 ШВИДКИМИ 1 пов1льними ЗМШШШ до р!вня-ння стандартного виду у^ - а2чхх = , для якого роз-

роблек! асюетготичн! метода иобудови розв'яз^в.

В § 3 доведено теорему, коли I при яких умовах можливе зоб-раження неперервного (и(хД) < С) розв'язку МШйно! задач! (2), '4), (5) у БИГЛЯД1 ряду Фур'е.

Основн! положения дисертацп онусЗл1Кован1 в настутшх роботах:

1. Громяк М.И., Хома Л.Г. Об .одном свойстве решений

квазилинейной смешанной задачи// Всесоюэ. конф. "Нелинейные

».

проблею дифференциальных уравнений и математической физики", Тернополь, 12-15 сент. 1989 г.: Тез. докл. Териополь, 1989.-С.111. '

2. Митролольський Ю.О., Хома Л.Г. -Юнування класнчного розв'язгу мипаног задач! для л!н!йного г1пербол!чного рявня-шя .другого порядку// Укр. мат. журн. - 1993. - 45, * 9. С. 1232-1239. ' ■•

3. Хека Л.Т, ПрЬ зястосування теорем 2снувэння до асиштотичних Г: шгад1и// Укр. мат. жури. - 1994. -46, Я 4. - С.468-470. '

4. Л.Г., Хот н.Г. Про властив1сть розв'язк1в однш.кра-г. и I - г.адач!// Доп. НАК Украти. - 1994. - Л 3.. -

5. Хома Л.Г.. Пар1одачн1 рогв'язкк ода1еТ над1н!йно1 крайово!

/; уклияешви /¡уагёнем&наиисгнагес -кеи узидкш и их /угшеш^шХ-. -' Ш-м лаипс-иссашиг Ш Усрсшм, ~ 0.