Минимум тета-функции трех переменных и решение проблемы Ранкина-Соболева в трехмерном пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГб од

1 5 110 йЛ1ИТ-ПЕГЕРБУРГС?иЙ ГОСУДАРСТВЕННА I УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ОРЛСШСАЯ Клена Викторовна

уда 511.9

ЙШИ) ТШ-ЗУТПСШ ТРЕХ ПЕРЕЖШГй И РЕШИВ ПРОЕЛШ РАНКША-СОБОЯЕВА 3 ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

0Г.01.С6 - магвкатяческэя логика, алгебра я теория чисел АВТОРЕФЕРАТ

даооертапнп но оококаняэ явной отвпвня капдидага фязико-матемятЕчвСЕИХ наук

Санкт-Петербург, 1993

Работа ьыполяева ка кафедрэ высшей алгебры и теории чсоел Савкт-Пегербургакого государственного университета

Научный руководитель - доктор физико-математических ваук, профессор Малый8ь Александр Васильевич

Официальные оппонеаты - доктор физико-ыатачатичеоких наук, профеооор Голубева Елена Петровна, кандидат фиэико-математичеоких наук, доцент

Подсыпании Евгений Владимирович

Ведущая организация - Петербургское отделение Математического инотитута им. В.А.Стеклова

Защита ооотоится " /О-_ 1993 г. в 4 & чао.

на заседании специализированного оовета К 063.57.45 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете, Адрео оовета: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная плояадь, д.2, ма*ема1ако-механичвокиЯ факультет СПбГУ. Защита будет проходить по адресу: 191011, Санкт-Петербург, наб. реки Фонтанки, 27. 3-й эта*, зал 311 (помещение ПСШ).

С диссертацией можно озвакомлтьоя в библиотеке им. Л.М.Горького СПбГУ, Санкт-Петербург, Унавероитетская наб., 7/9.

Автореферат разослан ' Ю93г.

Ученый секретарь

специализированного ровэта,

кандидат физико-математических

иаук, доцеят Р./.Ег.щдт

- 3 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. В геометрия чииел - одном из разделов математики, стоящем на границе мекду теорией писая и геометрией -имеется клаосичеокая проблема упаковки паров, которой занимались Эрмит, Коркин, Золотарев, Вороной и многие другие авторы. Сейчас она активно наследуется в трудах отечественных п зарубежных математиков (Барка, Делоне, Рышкоэ).

Одкн из вариантов этой проблемы - проблема построения экстремальных решеток, сиотзегогвувдих многомерной дзета-Функция Эпагейна - оказался теоно овязанным о оптимизацией кубатурннх формул,- в чаоткооти, кубатурных формул, предложенных академиком С. Л.Соболевым.

Диссертация посвящена проблеме Ранкина-Соболева о минимуме

многомерной дзета-функции ЭцлтеЭна. Эта проблема была полностью

О i) v

репена для п-% (Раякин , Касоелз ). Независимо близкие резуль-

i) А

таты были получоны Б.Н.Делоне , О.С.Ркиковым , H.H.Сандаловой.

Тесно связанной с проблемойПанкина-Соболева оказалась задача, поставленная Монтгомери, касающаяся оптимальных реыетоК', связанных с многомерной тета-ФункциеЗ специального вида. Исследо-

ц.л.А f"

//Ргос. jUcJSx.. А»сс. <953. ЛЬ 1- Р. i*9-fSZ.

J.tfj Сч а. pegfo* aW tk. fcpst*«. ьеЛл-funUim.

/p^cc. jjuM. .w. ose. W. р. тз-го.

i

Делоне Б.Н., Сандакова H.H., Рьгаков С.С» Об оптимальной ку-батурной решетке для всесторонне гладких функций от двух переменных// Докл. АН СССР. IS65. Т. 162. И 6- С» 1230-1233.

.^Рынков С.С. О двумерной £ -функции о действительным параметром// Докл. АН СССР. 1969. Т. 184. Д 2. С. 288-291.

О

вания Монтгомери половили начало новому направлению в проблеме Ранкина-Соболева, которому поовящена настоящая диссертация.

ЦЕЯЬ РЛБОТЦ. Работа имеет своею целью полное решение проблем Рашшна-Собалева и Монтгомери в случае п.-3 , т.е. наховдение абсолютного минимума трехмерной дзота-функции Эпштейна и абсолютного минимума трехмерной тега-функции.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛВДОВАНИИ. Проблема Ранкина-Соболева (для «=3 ) решаетоя сведением к проблеме минимумов трехмерной тета-функции, для исследования которой совершенствуются и обобщаются мотоды оценок чаотных производных функции & (см. 5) ).

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты диссертации (теоремы 1,2,3,4 ) являются новыми.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ* Результаты и методы дисоертации могут быть попользованы для дальнейших исследований по проблеме Ранкина-Соболева и в близких к.ней задачах.

АПРОБАЦИЯ РЛБОТ11. Результаты диссертации докладывалиоь на Международной научной конференции "Современные проблемы теории чисел" (Тула, 1993) и на семинаре по теории чисел ГОШ РАН.

ПУБЛИКАЦИИ. По теме дисоертации опубликованы 3 работы.

СБШ1 РАБОТЫ. Диоаертация соотоит из введения, трех глав, разбитых на 9 параграфов и содержит вместе о литературой 160 отра-ниц мшинопионого текста. Кроме того, инеютоя два приложения вычислительного характера, содержащие 54 о границы мшинопионого текота. Библиография - 52 названия.

X <38?. ^.30. Р. »У.

- 5 -

СОДта/ШЕ РЛБОТЫ

Пуоть

г = {7«) * $(х......*«> * Ц ацл. **, ац го1£ € Я (1)

- пололштольпо определенная квадратичная фор,¡а о вещеотвевяши коэффициентами »а,-; а а определителем ^ Пусть

|р -'множество всех таких форм ("конуо пологительноста" в пространстве коэффициентов), а |Р ¿, - множество форм из 1Р фиксированного определителя . Нао интвреоупт I) дзета-функция Эп-штеЯна 2 *>) , эавиоящая от £ я вещественного параметра ь>о , определяемая дот 4 сходящимся рядом

а для о < 5 <I - аналитическим продолжением ( -5 -1 - полос) { 2) тета-ряд , зависящий от £ я вещественного параметра

еОО :

г -2*«1:К*>

(3)

Проблема Ранкяна-Соболева. Найти при данном $>о, воо локальные а абсолютно минимуш функции как функции

от £ на топологическом пространстве .

Дроблена Монтгомери. Найти пря данном <^>0 вез локальяыэ и абсолютные минимумы функции ^(^ы)-1X0 как функции от £ на топологическом пространстве .

Точки локального минимума в проблема Ранкина-Соболова мы будем называть (1,5) - экстремальна«! формами; точки абсолютного минимума - (2,5) - оптимальншя формами, Соответственно, точки локального минимума в проблема Монтгомери называем «О - экотре-мальнши формами, точи абсолютного минимума - ОХ оптимальными

{рортш. Лоно, что если две квадратичные фермы эквивалентны над Ж . т.е. относительно SL2 COS) и одна из них -эксг-

решльна (соответственно, C2,i) - оптимальна, ) -экстре-

!лшхьва, 0?,°0 - оптимальна), то такой ка будет п другая форма. Форма называется вполне Z -экстре альной, если f (Z, s)-экстремальна для всех 5>о , 4 Л . Аналогичные определения мотао ввеоти для вполне 2 -оптимальнооти, вполне ТУ -экстремально-огц, вполне ТУ - опгиыальиоати.

Преобразование Пеллина (ор. 5) )

о

показывает, что если ^ - вполне 2 - экстремальная (оптимальная) форма, го £ и вполне

- экстремальная форма. Во Введении диооертадии излагаются краткая история вопроса и ооноэные результаты работы. История вопроса содержат описание ряда результатов по проблеме Равкина-Сооолева. К наиболее значительным отнооятся аледувдио. В олучао м-=£ проблема Ранкина-Соболева была полноотью решена в работах D-4). Доказано, что класс формы

умноженной на подходящий положительный множитель, это - единственные (Z, s) - экстремальные (а, следовательно, и (Я,5)- оптимальные) формы для всех 5и> .

Проблема Монтгомери была полноогью решена для и-2. в статье i), что дало еше одао доказательство вполве ^ -оптвмйльпооти бормн ^ .

Для * = Ь Эааола доказал, что форма

( п ее положительные кратные ) (2,4)- экстремальна для всех ,

, т.е. вполне 2 - экстремальна.

Для имеется большое чиоло результатов о 2 - финаль-

ной экотремальвооти различных предельных Форм, о вычислении и об оценке начала луча экотремальвоотп, принадлежащих С.С.Рывкову, С.Ш.Шушбаеву, К.М.Эндабаеву.

Основным результатом диссертации является полное решение ( в случав п'З ) проблем Ранкина-Соболева я Монтгомери путем доказательства следующих предложений.

Теорема I. Класс формы и положительно кратной ей суть единственные 4)- экстремальные (а, следовательно, и (2,5) -оптимальные ) формы для всех 5>о,4£А. . Так что и кратно-эквивалентные ей - вполне 2 - оптимальны.

Теорема 2. Класс формы и положительно кратной ей оуть

единственные - экстремальные (а, следовательно, п ОЗД - оп-

тимальные) формы для всех с<>о. Так что и кратно-эквивалент-

ные ей вполне - оптимальны.

Теорема I в силу преобразования Малляпа (4) непосредственно следует из теоремы 2.

3 первой главе диссертация излагаются необходимые оведения из теории классической одномерной тета-функции, а также даетоя описание эквивалентных граней (подобластей) облаата приведения тернарных квадратичных форм. Здесь же формулируются, две основные теоремы - теоремы 3 и 4.

Пуоть

£ с ^х>}1,г-) = ахг+еху. +суг«Ьсг /а)

- тернарная квадратичная ^орма определителя /а % Щ с1= ¿ф=сЬ1 -I Й с

о вагцеотвеннши коэффициентами, удовлетворяющими неравенствам

Эрмита-Шаковокого, г.е. принадлежавши области 2>С\Р .

Г ases К, о $ÉUa, Я): Л . , (7)

Облаоть SO являэтоя замыканием одноплатной оолаоти приведения. Известно, чю любая форма ив Р эквивалентна некоторой форме ( возможно, нэ единотвенной ) из ооласяи £> . Для формы (6) введем новые параметры:

___, „ . (8)

V Чос-в1- „ _

г!—'

Тогда, учитывая, что el(f)"J¿ , имеем предотавлепие формы,(6) в виде

Будем иокать. минимум функции ' s ^(«О

& -i^.t«1 f -е 2-е ¿..е. о)

г--.«,

в следующей области

! г г , ...у1* i ( ► -й- •

[■иг* р Si, ** и» >■»•* Ъ»'

Tiopena 3. Пусть

Cf^p , еолй -чГ * Ъ

«<о=1 Чиг . ЯД UJ-'

Lo,83 . если iiT" > 15"

Тогда при d . минимум функции , задаваемой формулой (9), достигается в области Л в точке г(з, i, i, % i) и в

эквивалентных ой точках.

(Ю)

Для исследования функции я?* при ы попользуем следующую формулу обращения ^ :

(12)

где {- форма, взаимная к £ . Рассмотрим форму

о о I \ / X.

л

эквивалентную {? . Имеем для оледующее представление:

Сделаем замену параметра: и будем искать минимум функции ^

0"= 2_е е а аз)

г-—

в алодупцей области „ г

а: | Овр*Л «Л, (14)

Д ^у^'Г^ 'г* г +

Теорема 4. Пусть </о задается формулой (II). Тогда при

а , .

минимум функции т5" , задаваемой формулой (13), доотигаетоя в облаоти 3 в точка (рА1*,2,"5) э^а; ь) Я;в 4очках," эквивалентных ей. \

В главе I оодерхитоя внвод теоремы 2 ив только что оформулированных теорем 3 и 4»

Малышев /.В. О представления чиоел полсхительнши кнздратич-нши форыамя// Труды МИЛН" СССР. 1962. Т. 65..

- го -

Вторая глава диссертации посвящена доказательству теоремы 3. В §1 формулируются 18 лемм, в которых исследуются чаотные производные функции , В §2 рассматривается разбиение области приведения на ряд подобластей, для кавдол из которых выводится из лемм теорема 3. В §3 леммы доказываются, причем, часть самых объемных вычислений вынеоена в приложение I. •

Третья глава яосвящена доказательству теоремы 4. Доказательство основывается на 13 леммах, сформулированных в §1, в которых

/ч

наследуются частные производные функции 1? . в §'2 дается разбиение

Л

области Л (преобразованной области приведения) на ряд подобластей, для кавдой из которой проверяется результат теоремы 4. В §3 доказываются леммы, причем, часть вычислений вынесена в приложение II.

• Приношу глубокую благодарность профессору Малышеву Л.В. за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

СсЕовные результаты диссертации опубликованы в следущих работах:

I..Орловская Е.В. Минимум тега-функции трех переменных// ■Аналитическая теория чисел: Меквузовсклй сборник научн. трудов. Петрозаводск. 1992." С. 52-63.

2. Орловская Е.В. Минимум тега-функции грех переменных и решение проблемы Ранкина-Сободева в трехмерном пространстве// Вестник СПбУ. Серия математика, механика, астрономия. 1993. Вып. 3. .'И.

3. Орловская Е.В. Минимум тега-фуикцлл грех переменных и ре-аение проблемы Ранкина-Собаяева в трехмерном пространстве// Современные проолемы теории чисел: Тезисы докладов Иевдународной конференции. Тула. 1993. С. 119. ■