К проблеме Ранкина-Соболева об экстремумах дзета-функции Эпштейна. Окрестности Вороного совершенных форм от семи переменных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГ В ОД

1\ ДЩСИШБО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

ТАШКЕНТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНШЗЕРСИТЕТ

На правах рукописи

■ ШУШБАЕВ САРСЕН

К ПРОБЛЕМЕ РАНКИНА - СОБОЛЕВА ОБ ЭКСТРЕМУМАХ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ ЭПШТЕЙНА. ОКРЕСТНОСТИ ВОРОНОГО СОВЕЩЕННЫХ ФОБ! ОТ СЕМИ ПЕРЕМЕННЫХ

01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ТАШКЕНТ - 1994'

Работа выполнена в Институте математики имени В.И.Романов-ского Академии наук Республики Узбекистан.

Официальные оппоненты:

член-корреспондент АН Республики Узбекистан,

доктор физико-математических наук, профессор А.Ф.Лаврик

доктор физико-математических наук, профессор Е.П.Барановский

доктор физико-математических наук, профессор. В.И.Половинкин

Ведущая организация - Институт прикладной математики Дальйе-восточного отделения Российской Академии Наук.

Защита состоится " " Я-Ур^ЛЯ- 1994 года

в .Л х часов на заседании специализированного совета Д 067.02.21 при Ташкентском государственном университете по адресу: 700095, г.Ташкент - 95, математический факультет, ауд. г-303

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ташкентского государственного университета (Вузгородок).

Автореферат разослан " , " , , ,, 1994 года.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физ.-мат.наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В диссертации речь идет о классической проблеме Эрмита арифметических минимумов положительных квадратичных форм (равносильной вопросу о плотности плотнейшей решетчатой упаковки шаров) и о проблеме Ран-кина-Соболева о минимизации дзета-функции Эпштейна.

Первая проблема является одной из классических задач геометрической теории чисел, которой занимались многие известные автора (Эрмит, Коркин, Золотарев, Минковский, Вороной, Делоне, Рышков, Варне, Стаей, Барановский и др.).

Вторая пр'облема тесно связана с проблемой Эрмита. Она возникла'в работе Кендалла и Ранкина, посвященной оценке числа целых точек в случайном эллипсоиде. Позднее она появилась в работах Соболева С.Л. в связи с построением оптимальных решетчатых кубатурных формул. В этом направлении известны также работы Касселса, Делоне Б.Н., Рышкова С.С., Исраилова М.И.,<»-. Сказанное свидетельствует об актуальности этих проблем.

Цель работы. Диссертация посвящена разработке методов отыскания начала луча экстремальности положительных квадратичных форм, которые являются точками локального минимума дзета-функции Эпштейна и развитию метода вычисления окрестностей Вороного совершенных форм.

Методика исследования. В доказательствах основных теорем широко используются различные методы • геометрии положительных квадратичных форм, методы аналитической теории чисел, в особенности, теория финально экстремальных форм Делоне-Рышкова, алгоритм Вороного отыскания совершенных форм, метода оценок тригонометрических суш.

Научная новизна. В работа получены следующие новые научные результаты:

1. Разработан метод оценки сверху начала луча экстремальности дзета-функции Эпштейна данной совершенной формы.

2. Получены оценки сверху начал луча экстремальности для первых двух совершенных форм Вороного.

3. Вычислены все финально-экстремальные формы от семи переменных.

4. Создана теория дзета-отделяющих форм. Для таких форм получены неулучшаемые оценки начала луча экстремальности дзета-функции Эпштейна.

5. Разработан усовершенствованный алгоритм Вороного. Он позволяет найти новый подход для исследования соседних совершенных форм.

6. Разработан метод для установления целочисленной эквивалентности совершенных форм от УЬ переменных при й. $ 8 и нахождения соответствующей целочисленной унимодулярной подстановки переменных XI ( = I,...,!%).

7. Разработан алгоритм для вычисления группы целочисленных автоморфизмов данной положительной квадратичной формы и он реализован на примерах совершенных форм от семи переменных.

Практическая значимость. Работа носит теоретический характер, ее результаты могут быть использованы в дальнейшем для точного вычисления или оценки сверху начал луча экстремальности дзета-функции Эпштейна данной совершенной формы, построения новых совершенных форм от многих переменных, вычисления групп целочисленных автоморфизмов положительных квадратичных форм, построения оптимальных решетчатых кубатурных формул. С.Л.Соболева и в других задачах геометрии положительных квадратичных форм и вычислительной математики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались: на Всесоюзных: конференциях, и симпозиумах по теории чисел, проведенных в городах Алма-Ате (сентябрь 1969 г.), Самаркзнде (октябрь 1972 г.), Душанбе (сентябрь 1977 г.), Тбилиси (сентябрь 1985 г.), Минске (сентябрь 1989 г.); на Всесоюзнь.х коллоквиумах по теории кубатурных формул, проведенных в города Ташкенте (октябрь 1971 г., сентябрь 1974 г., октябрь 1977 г.). Результаты диссертации обсуждались но научно-методических семинарах профессоров А.В.Малышева (ЛОМИ АН СССР), С.С.Рышкова (МИ АН СССР), М.И.Исраидова (Институт киберпет"ки АН РУ, Институт математики АН РУ), М.Л.Тулягаяовой (Институт математики АН РУ), члена-корреспондента АН РУ А.Ф.Лаарика (Ташкентский институт микшеров железнодорожного транспорта), члена-кпрреспондентп АП

РУ Ж.Х.Хадкиева (Ташкентский государственный университет).

Публикация. По теме диссертации опубликовано 60 статей. Основные результаты содержатся в 20 работах, список которых приводится в конце автореферата. Одна из них выполнена совместно с С.С.Рышковым.

Структура и обьем. Диссертация состоит из вводной главы, четырех глав, трех приложений и списка литературы, содержащего 75 наименований. Общий обьем диссертации 239 страниц.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ

1.1. Проблема Ранкина-Соболева. Пусть задана положительная квадратичная форма (п.к.ф.) от П. переменных

{ = X ацх.х. о

1*^*11 '

о вещественными коэффициентами <Хц - с определителем

Каждой п.к.ф. £ вида (I) в

Ш+О/я - мерном евклидовом пространстве Е- соответствует точка £ — - (0-11) • • ''уПП > >'У> Я-ц-1 к) • Множество всех

п.к.ф. вй. образует конус положительности ¡К

Пусть в - комплексное число; рассмотрим дзета-функцию Эпитейна , задана алую при Не3 > i рядом

со

2 ¡( (ъ,..^хЛ

т- _ __-1

г"ч Х^-ао

Это - аналитическая функция, продолжаемая на всю плоскость комплексного переменного 3 единственным плюсам первого порядка в точке 3 .

Фиксируем вещественное число 5 и для данного вещественного числа с1о >0 рассмотрим % 6) как вещественную функцию Форш [(0.Ц,..., СЬкл » (Ьц Си и.-1ц) > заданнув на дискрнминантной поверхности конуса полоаитель-

настп ¡^ пространства коэффициентов, » ,

Говорят, что п.к.ф. определителя ^(^о) ="0 • является £ - оптимальной, если есть точка абсолютного минимума функции (, 4) на поверхности ПРИ данном -5 ,

то есть

2 ({о И) , для /еУ^0(

. Говорят, что п.к.ф. является - экстремальной, если (|0 есть точка локального минимума функции ^ на

. поверхности при данном ^ . ю есть если в найдет-

ся такая окрестность точки |-0 , что

2(|-оИ) .-ли (овУ^0П •

Определения - оптимальности и -?> - экстремальности по существу принадлежат Ранкину. о о!

Если ■. п.к.ф. формы 1-0 и эквивалентны (над 2 )

(,|-0— |-о.)и(1Г>0 - вещественное число, то из 3 - экстремальности ф0 следует 5 - экстремальность Т (и обратно); то ке верно для £ - оптимальности. Иначе говоря, свойство § -экстремальности ( - оптимальности) - инвариант луча классов квадратичных форм, так что, не нарушая общности, ш ноаем ограничиться рассмотрением п.к.ф. любого заданного определителя с|0 >0 в выбрать из класса эквивалентных форм любой его представитель.

Задачу нахождения при данном -?> > 1 всех £ - экстремаль- ■' шх форм от П. переменных (точнее, лучей классов ' - экстрра-ыальности форм) называют проблемой Равкина-Соболевв.

1.2. Проблема Эрмита. Предельные форда Коркина-Золотарева. Совершенные формы Вороного. Проблема Ранкина-Соболева тесно овязана с известной проблемой Эрмита арифметических минимумов положительных квадратичных форм.

Пусть (ос,) п.к.й. вида (I). Точная нижняя граница

(2)

г ее2лГ\и'

взятая по всем целым точкам , называется арифметиче-

ским минимумом формы £ . Зта точная нижняя граница достигается, ибо множество ф(Х) ¿С ограничено для любого С. >0 . Пусть

- все представления минимума: + Е — • • • =• ) — (Т\ (<£) •

Отсюда, в частности, следует, что У" 0 . Та!: как

тело ^(ЗС) )Т) строго выпукло, то ¿.2.п— 1 .

Ввиду того, что - Д/ , Д/ >0 ,

естественно рассматривать нормированный арифметически;! мини-

мум U (г^) — • Нормированный арифметиче-

ский минимум есть непрерывная функция от ф (Ct ^ > ■ • •, CL и. .> tГ

(Х,^^» •• • » iw.) ' за^анная на конусе положительности

если

Говорят, что п.к.ф. ^ - предельная (экстремальная) форма Коркина-Золотарева, если rjl есть точка локального максимума функции > если существует такая окрестности

И| точки , что ш(') <J¿(|-) ,

Говорят, что п.к.ф. Х- - оптимальная предельная :сорма, если ^L есть тпч::а абсолютного максимума функции JU. C-f) в

области , т.о. если (^(Г) ¿ U. (Д) дои всех

J'éK*.

Задачу нахождения всех предельных форм Коркина-Золотарева от И. переменных называют "проблемой Эрмита.

Отметим одно важнейшее свойство предельных форм:представ- ■ делая (3) минимума (2) предельной формы определяют форму с точностью до пропорциональности. На основе этого свойства Вороным Г.Ф. создана теория совершенных, форм.

П.к.ф. называется совершенной формсгй Вороного, если следующая система уравнений с неизвестными О,;,', имеет единственное решение

'Ч

ОД; 3 6

(4)

Если £ - совершенная форма и

то - совершенная форма. Любая совершенная -

форма есть кратное формы с целыми рациональными коэффициентами.

Так как линейная система (4) однозначно определяет / - Л (П + 1)Д ' неизвестных ( О.Д ), то ¿Г< $ $ Ц11-.

Из вышеупомянутого свойства предельной формы и определения совершенной формы следует, что всякая предельная форма является совершенной. Обратное не верно. Таким образом, проблема Эрмита сводится к задаче перечисления всех совершенных форм от И. переменных.

Вороной Г.Ф. доказал, Что число классов совершенных форм от V}. переменных (в частности, число классов предельных форы) данного определителя конечно. Поэтому существует оптимальная продельная ^орма |-0 , для которой -

Число ^ называется постоянной эрмита..^ есть

наибольшее из чисел , • • .Я-С^)» где <|"1 »•••> ^ ~

суть представители всех лучей классов предельных форм.

1.3. Проблема перечисления совершенных форы. Из конечности числа классов совершенных форм от П. переменно естостзеиннм образом вытекает проблема отыскания для данного Ц неэквивалентных совершенных форм. Методы разыскания совершенных форм берут свое начало в работах Ш.Эрмита, Е.II.Золотарева, АЛ1.Корина, Г.Ышжовского. Особенно значителен вклад в развитие этгх

методов Г.В.Вороного, построившего алгоритм вывода совершенных форм при любом данном Ц_ . Он интерпретирует совершенные Форш гранями полиэдра Вороного П( Ц. ) в пространстве коэффициентов -границы выпуклой оболочки точек Вороного (ЭС^...

Г,Ф.Вороной предлагает систематический способ перехода от одной грани полиэдра П( П. ) (скакем, от грани, отвечающей совершенной форме у)^ ), к другой, "соседней" к ней а определяет момент завершения алгоритма, когда он дает все неэквивалентные совершенные формы.

Другой алгоритм отыскания для данного Л всех соверши,.-ь/. форм от И, переменных принадлежит А.Н.Коркину и Е.И.Золотого-ву и связан с рассмотрением возможных матриц представлений минимума и выделением среди них приведенных матриц.

Третий алгоритм связан с теоремой Мцнковского-Ршакова : всякая совершенная форма лежит на ребре области приведения

£ ¡^ Эрмята-Минковского положительных квадратичных форм от Ц, переменных.

2. ИЗВЕСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

2.1. Проблема Ранкина-Соболева. Этой проблемой занимались' многие авторы: Ранкин, Кассело, Эннола, Делоне, Рышков и др. Проблема Ранкина-Соболева, как известно, имеет приложения в теории кубатурных формул, такие в теории целых точек в случайном эллипсоиде. Эту задачу мокно ставить и для < £ . Проблема Ранкина-Соболева исчерпывающе решена лишь в случае ■" . Ддя общего Ц. важнейшие результаты получены С.С.Рышковым. _ ^^

Рассмотрим функцию

Она однородна, то есть % ~ ■ и вопрос о

локальных минимумах функции %( / -5) при фиксированном определителе с10 сводится к вопросу о, локальных минимумах

функции 'ХС^ в пространстве коэффициентов.'

Ев пути решения задачи Ранкина-Соболева Б.Н.Делона ц С.С.Ршков построили теории ^ - сильно критических (мы бу-

дем называть сильно стационарной) и ^ - финально экстремальных (мы будем называль финально экстремальной) форм. Решая задачу Ранкина-Соболева как задачу на условный экстремум методом неопределенных мноаителей Лагранна при фиксированном 3 , они получили следующие необходимые условия экстремальности формы ^(С^,...,СЬц»--. О-ц-щ,)

где —

форму Ди-m) • Удовлетво-

ряющую условию (5), называют о - стационарной. ' П.к.ф. называется сильно стационарной, если найдется такая неограниченно возрастающая последовательность вещественных чисел (t^lAi • ) * ~> при "Ь что форма ^ является ^^ - стационарной для всех ■,-"" Говорят, что форма <*- финальна экстремальна, если существует такое число ^ 1 , Ч1'0 для всех -8 > форма X. является ■$> - экстремальной; наименьшее число о ~ & (/f) обладающее этим свойством, называют началом луча экстремальности. Аналогично определяются финально оптимальные формы и для них начало луча оптимальности Т(|-) . Ясно, что'речь идет обо всем луче классов финально экстремальных или финально оптимальных форм. Ясно также, что всякая финально оптимальная форма финально экстремальна и что S(<f) ~T(<f') (верно ли, что Т(£) S(<f) , неизвестно).

Понятия совершенности, сильной стационарности и финальной экстремальности п.к.ф. тесно связаны меащу собой следующей теоремой Делоне-Рышкова. .

П.к.ф. финально экстремальна тогда и только тогда, когда .

она совершенна и сильно стационарна. • ...... ......

Следовательно, всякая финально экстремальная форма являет-' .ся совершенной формой Вороного. Рытковым .С.С. получены условия: ■

„ - II -

необходимое и достаточное и просто достаточное, при которых совершенная форма является финально экстремальной.

Доказано (Рышковнм С.С.), что первая и вторая совершенные формы Вороного

(^И ,<?Ч) финально экстремальны; что все предельные формы ,для И 4 б , кроме формы + ЭСз^Сц-V 0ls3C.&) < финально экстремальны.

Доказано так;ке (Райковым С.С.), что формы 0 —

отвечающие плотнейиим-решетчатым упаковкам равных шаров в KL -мерном пространстве ( ), финально оптимальны. Из упомяну-

той выше теоремы Делоне-Ркшшова естественным образом возникает задача (как часть проблемы Ранкина-Соболева) о вычислении или. оценке луча экстремальности S(^) для финально экстремаль-ига форм и начало луча оптимальности Т(^) финально оптимальных форм, предложенная А.Б.Малышевым на Всесоюзном коллоквиуме по теория кубатурных формул, Ташкент, 18-22.X.1977 г. Доказано (Ранкиным), что Т(^) - и что - представи-

тель единственного луча классов 3 - экстремальных форм при для всех ■$ > 1 . Доказано такие, что

S (. S£o ) - 1. (Эннола) • (6)

$( ^ ) ~ 1 (Эвдпбаев) (7)

(Эндибаев.Шушбаев) (8)

(Эндибаев.Шушбасв) . (Э)

' 2.2. Проблема перечисления предельных п совершенных йорм. Понятие предельной форка ввели Е.И.Золотарев и А.Н.Коркпп. Они такке доказали конечность числа предельных форм при данном Ц ,, установили, что кидая предельная форма является и совершенно:?, и шглп все иредолыше формы при П. = 2,3,4,0. Их оказалось

SC^)-!

соответственно 1,1,2,3:

^о ><io>se! ,Чо '^i

Г.Ф.Вороной провел глубокое исследование свойств совершенных Форм и построил алгоритм их отыскания при данном И^ • Пользуясь этим алгоритмом, Вороной нашел все совершенные формы от переменных. Оказалось, что при YLizS совершенные и предельные формы совпадают (см.(10) ). Однако, начиная с , такое

совпадение не имеет места (Вороной Г.&., Владимиров B.C.,'Барно).

Алгоритм Вороного вывода совершенных форм не сводится к тривиальным вычислениям, с ростом числа переменных квадратичных форм его сложность и громоздкость сильно возрастают. Этим объясняется то, что посредством алгоритма Вороного были найдены совершенные формы от 6 переменных почти полвека спустя Варнсом - в 1957 году. Варне установил, что всего имеется 7 классов совершен-Т'х форм от 6 переменных, из которых 6 предельны:

-V -vloc^^ .

Значения и соответствующие оптимальные формы найдены для"

и 2 3 4 5 6 7 0

€ с чПГ W \У1Г 2

причем представителями единственных лучей классов оптимальных является: ^(Л^&Л,*) .

Хпт1 Б;ш::Т'олс,цт и иаиод значегпя постсшшоГг С;рмита прп И.-С,7,8 из ином пута, без предварительного виат'-д првлелмг-'Х

форм, интерес математиков к предельным и совершенным формам не уменьшился, в частности, это связано с их применением к теории приведения п.к.ф. и ропэров, в теории решетчатых покрытий. Предельным и совершенным формам посвящены работы многих авторов- : Еоркин, Золотарев, Вороной, Коксетер, Варне, Владимиров, Рышков, Блихфельдт, Ватсон, Ветчинкин, Скотт, Лармоут, Стаей, Анзип и др.

Последним наиболее значительным достлгсением в проблеме вывода всех совершенных форм при данном являются работы и диссертации (1973) Стаей, опубликованные в 1974-1975 гг. и посвященные случаю Ц =?• К этому времени разными авторами было построено 22 совершенные формы от семи переменных. Опираясь на результаты Вэтсона, Стаси развила метод перечисления совершенных форм, основанный на исследовании структуры матриц, составленных из представлений минимумов. Этим методом она (при•существенном использовании ЭВМ) получила еще II совершенных форм от семи переменных. Следовательно, для 11=7 известны 33 неэквивалентные совершенные формы, однако не известно, исчерпывают ли они все ■ совершенные формы от семи переменных. На основании своих вычислений Стаси сделала предположение, что найденные 33 класса совершенных форм от семи переменных представляют в^е классы совершенных форм от семи переменных. Таким образом, вопрос о полноте списка совершенных форм от семи переменных оставался открытым.

3. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

Тема диссертации принадлежит одному пз современных разделов геометрической теории члеел - геометрии п.к.ф. Термин п.к.ф." и выделение этого раздела из геометрии чисел впервые встречаются в капитально-;'! работе Б.Н.Делоно (Геометрия полоштольных квадратичных форм. ЛШ.. Виц.III, 17. 1937-38). В работе Рыакова С.С., " Барановского Е.П. (Классические методы теории решетчатых упаковок. ЛШ. 1379. Т.31, Вып.4(208).) перечислены основные в настоящее врегл задачи геометрии п.к.ф. и классические методы подходя к этим задлчам.

Диссертация состоит из четырех глав и списка использованной литературы. Главы I и П посвящены проблеме Ранкша-Ссболева об экстремумах дзета-функции Эпштейна. В главе Ш предлагается конструктивный метод выяснения целочисленной эквивалентности п.к.ф. Глава 1У посвящена развитию метода Стаей по отысканию всех совершенных форм от семи переменных.

Опишем содержание диссертация по параграфам. В первом параграфе главы I на основе теории сильно стационарных и финально экстремальных форм Делоне-Рышкова дается ойдая методика оценки начало луча экстремальности для финально экстремальных форм. Применение этой методики к конкретным формам (см.§§ 2,3,6,7) привело к следующим результатам. Получены оценки начала луча экстремальности для всех финально экстремальных форм от пяти переменных и для финально экстремальных форм от шести, семи и восьми переменных, для которых оценки начала луча экстремальности до сих пор оставались неизвестными:

ЬО^М •

Оценка ) ^ ¿,М является уточнением известной

оценки £.1,6 .

Для любого доказано, что

где ^^ - корень уравнения

(Л+1)5- /У/, „и- V V V. J

г- частности

12,04| 2,7412,СС10,02|3, I • Ц 3,261 3,85 | З.ЗЭ

10 . 3,46

II

доказано также, что

так что для любого /I ? й

5(%п)<ч.

(id

Для начала луча экстремальности второй совершенной формы Вороного получена оценка:

В известной нам литературе оценки типа (II) и (12) не встречаются.

В § 4 вычислены все финально экстремальные формы от семи дероменных: из 33 совершенных форм от семи переменных только 5 форм оказались финально экстремальными. Аналогичные результаты до сих лор были получены для совершенных форм двух, трех, четырех, пяти и шести переменных (Рышков С.С.).

В первом параграфе главы Д даются начальные шаги в построении геометрической теории положительных форм четной степени аналогично геометрии положительных квадратичных форм. Второй параграф посвящен подробному исследованию естественно возникающего из первого параграфа понятия "многообразия Бравэ четной степени". В последующих параграфах рассматриваются приложения упомянутых выше понятий к задаче Ранкина-Соболева об экстремумах дзета-функции Эпштейна. Строится теория дзета-отделяю-щих п.к.ф. Даются достаточные условия для таких форм. Как следствие из этой теории получаются известные оценки (6)-(10) и

(12)

а такие неизвестная до сих пор новая оценка

Таким образом, из обзора результатов по проблеме Ранкпна-Соболева и из результатов первых двух глав прослеживаются два последовательных метода отыскания £ - экстремальных форм : методика оценки сверху начал луча экстремальности для любой' финально экстремальной формы; метод дзета - отделяющих форм, существенно основанный но богатстве групп целочисленных автоморфизмов п.к.ф. и дающий неулучшаеыые оценки начала луча экстремальности дзета-функции Эпштейна. "" ■

В § I главы Ш доказываются необходимое и достаточное условия эквивалентности, дающие метод, в частности, позволяющий • легче, чем любой из известных до сих пор методов, установить, ' эквивалентны ли две заданные совершенные формы от переменных или нет. При определенных условиях этот метод применим и для п.к.ф. Из результатов § I вытекают (см.С § 2,3) алгоритм для отекания целочисленной унимодулярной подстановки, переводящей две п.к.ф. друг в друга, и алгоритм вычисления групп ' целочисленных автоморфизмов большого масса совершенных форм. Параграф 4 посвящен реализации алгоритма параграфа 3 на конкретных примерах, в частности, вычислены группы целочисленных автоморфизмов совершенных форм от семи переменных, используемых нами для получения результатов главы 1У.

Как мы уже говорила, вопрос о полноте списка совершенных, форм от семи переменных остался открытым. ^Единственным видным в настоящее время методом доказательства такой полноты пред- ; ставляется метод вычисления окрестности" Вороного совершенных форм от семи переменных (вычисления всех совершенных форм, . смепшых с данной, совершенной формой). Эта работа проводилась' многими исследователями, в частности, той ке Стаей, но завершить ее пока никому не удавалось. Из 33 совершенных форм от семи переменных для 26 окрестностей Вороного известны (Стаей), Ди 7 совершенных форм Ц)^ , , ^ , ^

окрестности Вороного не были вычислена.

В главе 1У мы продолжаем эту работу, тем'самшл развиваем метод Стаей по вычислению окрестности Вороного совершенных форм от семи переменных. Первый параграф этой главы посвящен

усовершенствованному алгоритму Вороного, который позволяет ......

вычислять окрестности Вороного в тех случаях, когда это не уда-.лось сделать Стаей и ее предшественникам, Затем, в последующих

- IV -

параграфах (2,3,4,5,6,7) мы последовательно реализуем усовершенствованный алгоритм Вороного на конкретных совершенных формах . К} . . ^ао » • по меР0 Увеличе-

ния числа представлений их арифметических минимумов.

Использование Стаей вместо классической (у^ - эквивалентности (эквивалентность относительно группы (^(И; 2) )

К - эквивалентности (набор инвариантностей эквивалентности) заставило нас провести заново вычисления окрестностей Вороного 26 совершенных форм, тем самым повторив и подтвердив соответствующие результаты Стаей и ее предшественников. Дело в том, что из &Ц - эквивалентности вытекавт К - эквивалентность, но на наоборот. Было опасение пропуска новых совершенных форм, что не подтвердилось. Результаты этих вычислений приведены в §8. Относительно самой сложной окрестности совершенной формы§9 мы доказываем следующее предложение: все известные совершенные формы, кроме ^¿д , принадлежат окрестности Вороного совер-шенной_форда_

ОСНОВНЫЙ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОШБЛИКОВАШ В РАБОТАХ

1. Шушбаев С.Ш. К задаче Ранкина-Соболова об экстремумах дзета-функции Зпштейна. О начале луча экстремальности главной со. вершенной.формы// Изв.АН УзССР. 1978, й I. С.ЗЗ-Б9.

2. Д.ушбаев С.Ш. К проблеме Ранкшш-Соболева об экстремумах многомерной дзета-функции (Оценка начала луча экстремальности главной совершенной формы) // Труды Ш АН СССР. 1980. Т.152. С.232-235.

3. Шушбаев С.Ш. Об экстремумах пятцмерной дзета-функции Эпштей-на // Изв.ВУЗов. Математика. 1980, № 12. С.60-66.

4. Ешаков С.С., Шушбаев С.Ш. Положительные формы степени й > £ и дзета-отдолявдие квадратичные формы // ДАН СССР. 1983.

Т.269, И 6. С.1316-1319.

5. Шушбаев С.111. О локальных минимумах дзета-функции Эпштейна // Математические заметки. Т.45. Выд.1. 1989. С.124-131.

6. Шушбаев С.Ш. О двух локальных минимумах дзета-функции Зпштейна // Изв.ВУЗов. Математика. 1990, й 5. С.78-83.

7. Шушбаев С.Ш. К проблеме Ранкина-Соболева об экстремумах дзета-функции Эпштейна. Оценка начала луча экстремальности второй совершенной формы Вороного // Сибирск.Матем.Жур. 1990. Т.31, № 5. С.157-168.

8. Шушбаев С.Ш. К задаче Раншлш-Соболева об экстремумах дзета-функции Зпштейна. Об одном трансцендентном уравнении //

В кн. Вопр.шч. и прикл.матем. Вып.82. РИСО АН УзССР. 1987. . С.108-113. .

9. Шушбаев С.Ш. Окрестность Вороного совершенной формы ^^(СС^, • Эс.^) // В кн.Вопр.выч. и прикл.матемз

. Выл.77. РИСО АН УзССР. 1985. С.48-56.

10. Шушбаев С.Ш. Окрестность Вороного совершенной фарш

// Тезисы докладов Всесоюзной конферен. "Теория чисел и ее приложения". Тбилиси. 1985. С.308-310.

11. Шушбаев С.Ш. Окрестности Вороного совершенных форм

^(ац..".,^) и ^«ДЗс^..., //ДАН УзССР.

1988, Ш I. С.5-6.

12. Шушбаев С.Ш. Окрестность Вороного совершенной формы

... , ^С^) // Деп.ВИНИТИ. 1988. Л 3257-В.88.

Деп.- 34 с.

13. Шушбаев С.Ш. Окрестность Вороного совершенной формы

// Изв.АН УзССР. Серия физ.-мат.наук.

1989, Л I. С.49-53.

14. Шушбаев С.Ш. Окрестности Вороного совершенных форм

Ч?^^!**"' и //Тезисы докл.

Всесоюзной шкоды-селшнарг "Консвруктивные метода и алгоритмы теории чисел". Шнек. 1989. С.174.

15. Шушбаев М.Ш. К проблеме выяснения целочисленной эквивалентности совершенных форм // ДАН УзССР. 1988, й 12. С.2-5.

16. Шушбаев С.Ш. Об одном методе выяснения целочисленной эквивалентности положительно определенных форм // Изв.АН УзССР. Сер.физ.-мат.наук. 1988, гё 5. С.39-44.

17. Шушбаев С.Ш, Об одном алгоритме вычисления групп автоморфизмов совершенных форм // В кн.: Численное интегрирование ц смежные вопросы. All УзССР. 1990. Ташкент. C-90-I08.

18. Шушбаев С.Ш. Окрестность Вороного совершенной формы

tv^Л^Сi> ••• > // Математические заметки. Т.49. Bun.2.

1991.. С. 124-132.

19. Шушбаев С.Ш. Окрестность Вороного совершенной формы

//Доп.ВИНИТИ. 1992. Jc 1У47-В92.

. Деп.19С. .

20. Шушбаев С.Ш. Финально экстремальные форш от сема переменных // ДАН №. 1992, ji 6-7. C.II-I3.

ЭПШТЕЙН ДЗЕТА-ФУЖЦЩСИШНГ ЭКСТРЕМУМАМ адИДАГИ РАНКИН-СОБОЛЕВ МУАШОСИГА ДОИР. ЕГО1 УЗГАРУВЧИЛИ МШМШ Ф0РМА1АРНИНГ ВОРОНОЙ АТРОФИ

АННОТАЦИЯ

Диссертация мусбат аилушнган квадратик формадариинг арифметик минишумлари туррисидаги Эрмитнинг классик муаммо-сига ва Эпштейн дзета-функциясини ыинималлаштириш здвдцаги Ранкин-Соболев муаьшосига баришланган. Бу ыуаммолардан биринчиси геошетрик сошшр назариясидаги марказий масалалар-дан бира здсобланади. Инкинчи муашо эса иазарий шг^атдан Эрмпт муашоси билан гаыбарчас борлангаи. Бу масалалар билан ыашадр ыатематиклар шуруллаш?анлар.

Диссортациясида Зпштейн дзвта-функциясшшнг 40кал минимум нукуаси булган мусбат анивушнган квадратик формалар экстре-малгшк нуршшнг бошланрич нук^асини тодиш усули идшаб чирдган

ва мукаимал формаларнинг Вороной атрофлариаи хрсоблаш усул-лари тарааднй эттирилган.

Ыазкур ишда едйидаги янги шший натиналар олинган;

1. Берилгаи мукаммал форма учун Эпштейн дзета-функцияси экстремаллик вурининг бошланрич вдйматияи юкрридан бах;олаш усули ишлаб чивдлган. ......'.

2. Бцринчк'йхошта Вороной мукаммал формалари учун экстре-' маллик нурининг бошланрич .ийматини ювдшдад ба^олари топидгаа,

3. Етти узгарувчили барча финал - экстремал формалар вдсоблаб топилган. ■ ........

4. Дзста-ажралувча квадратик формалар наз^рияси яратилган. Шу формаларшшг Эцштейн дзета-фущщияси экстремаллик нурлари-никг бошланрич криматдари учун, яхщдаш мумкин булмаган бах,ола-ри одинган.

я

• 5. Мукаммаллаттирилган Вороной алгоритми ишлаб чицилган булиб, бу алгоритм биздан вввалги тадк^цотчилар текшираолмаган 1{ушни мукаммал формаларни тадад ¡ушга имконини беради.

6. И ( Ц 4 8) узгарувчили мукаммал формэларнинг бутун ЦИЙ-матли эквивалент (тенгкучли)лигини аншуааш ва унта мое келувчи,

Xi (С = I,...,И ) узгарувчиларни бутун цийматли унимодуляр олмаштирииларни топиш усули ишлаб чикилган.

7. Берилган мукаммал формаиинг бутун^ийматля автоморфизм-лари гурузда (групласи)ни хдасоблаш алгоритми яратилиб, уни етти узгарувчили мукаммал формалар мисолида тадбиц ^линди.

ON THE HANKIN-SOBOLEV PROBLEM ON EXTREi.WMS OP EPSTEINS ZETA FUNCTION. VCROHOi* S NEIGBOURS OP PERFECT FORMS OP SEVEN VARIABLES

SUMMARY

The dissertation ia devoted to Herralte^s classical problem about arithmetical minimums of positive quadratic forms and Rankin-Sobolev problem on extremuma of Epstein's Zeta function. The first problem ia one of central problems of geometrical number theory. The second problem is closely theoretically connected with Hermite's problem. Many famous mathematicians investigated these problems.

In the dissertation the methods are elobarated for determination the origin of the ray of extremality of positive quadratic forms, which are the points where the Epstein Zeta function has a local minimum, the methods are developed for calculation Voronoy's neigbours of perfect forms.

The following new resultB are obtained in the dissertation.

1. The method for the finding of upper bound the origin of the ray of extremality the Epstein's Zeta function is obtained for the given perfect forms.

2. Upper boundaries are obtained for the origin of the ray of extremality for the first two Voronoy's perfect forms.

3. All finally-extreme forms of seven variables are calculated.

4. The theory of ieta-eeparating quadratic forms is created.

The unimprovable estimations for the origin of the ray of ejctremality Epstein's Zeta function obtained for Buch forms.

5. Improved of Voronoy's algorithmis elobarated. This algorithm gives an approach for investigation neighours of perfect forms whoch our predecessors couldn't investigate,

6. The method is elabarated for the determination integer-valued equivalence of forms of tl -variables for (Z4 8 and for the corresponding unimodul substitution with the integer elements for the variables X^ (£=1,...,/Z ) to find.

7. The algorithm is elobarated for calculation the group of integer-numeral automorphisms of given perfect forms and

it is realized on examples of perfect forms of seven variables.