Минимум тета-функции трех переменных и решение проблемы Ранкина-Соболева в трехмерном пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

НКТ-ПЕТЕРБУРГСКЙЙ ГОСШРСТЙВННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукопиов

ШЯИМУМ ТШ-ФУНКЦИИ ТРЕХ ПЕРЕПИШИ' И РЕШИВ ПРОБЛЕМЫ РДНКйНА-СОБСЛЕВЯ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чиовл.

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ на ооиоканлв ученой степени кандидата физико-матомагичвоких наук

ОРЛОВСКАЯ Елена Викторовна

УДК 51Г.9

Санкт-Петербург, 1994

Работа выполнена не кафедре выошей алгебр» и теории чисел , Санкт-Петербургокого государственного универоитета

Научный руководитель - доктор физико-математичеокях наук, профеооор МАЛЫШЕВ Алекоандр Васильевич

. Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профеооор ГОЛУБЕВА Елена Петровна, кандидат физпко-математичеоких наук, доцент

ПОДСЫПАНИИ' Евгений Владимирович Ведущая организация - Петербургское отделение Математического инотитута им. В.А.Стеклова

Защита ооотоится "/>'и ^Л 1994 г. в чао,

на ваоедании специализированного оовета К 063.57.45 по присуждении ученой отепени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургоком гооударотвенном университете. Адрео оовета: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная площадь, д.2, ыатематико-маханичеокий факультет СПбГУ. Защита будет проходить по адреоу: 19ГО11, Санкт-Петербург, наб. реки Фонтанки, 27, 3-й атак, вал 311 (помещение ПОШ).

С диооертацией можно ознакомиться в библиотеке им. А.М.Горького СПбГУ, Санкт-Петербург, Универоитетокая наб., 7/Э.

Автореферат раэоолав "«;-', 1994Г.

* УЧеный оекретарь специализированного оовета, кандидат физико-математичеокях

наук, дсцент Р.Л.Шмидт

- 3 -

ОНШ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТИШ. В геометрии чиоел - одном из разделов математика, стояяем на границе между теорией чиовл и геометрией -имеется классическая проблема упаковки иаров, которой занималась Эрмиг, Коркин, Золотарев, Вороной и многие другио авторы. Сейчас она активно исследуется в трудах отечественных и: зарубежных математиков ( Барцо, Делоне, Рынков ).

Один из вариантов этой проблемы - проблема поотроения экстремальных решеток, соответствующих многомерной дзета-функции Эпшгейяа - оказался теоао овязанным о оптимизацией кубатурных формул, в чаонооти, кубатурных формул, предложенных академиком С.Л.Соболевым.

• Диссертация лоовяиена проблема Ранкина-Соболева о минимуме многомерной дзета-функции Эпштейна. эта проблема била полностью решена для п.= 2 (Ранкин^, Кассело^).'.Независимо близкие результаты были получены Б,Н.Делоне3\ С.С.Рытковым4\ Н.Н.Сандаковой.

Тесно связанной о проблемой Ранкина-Соболева оказалась задача, поставленная Монтгомери, касающаяся оптимальных решеток, связанных о многомерной тета-<$ункцией специального вида. Исоледо-

^ Ranina RA J¡ тлкмпит рг^Еет fot bht- ¿pslut г геЛч-$widiDn//pz¿i. íUsyvvs Мсик.Цное.. 1353. M.¡. Р.Ш-151.

2ka$sd.<; luí.S. On. oJ>vwí tta ípsIeÁn. -¿zlfi- '

Jantt¿Orv//Pwc.. frlascjoo; MaAJvJssos. 1353. 'MA./fíZ. Р. 73-&0.

■^Делоне Б.Н., Саядакова Н.5Г., Рышков C.C. Об оптимальной кубатурной решетке для воеоторонне гладких функций от двух переменных// Докл. АН СССР. ID65. Т. 163. Ж. С. 12.10-1233.

^Рншков С,С. О двумерной -функции о действительным параметром// Докл; АН СССР. 1969. Т. 184. I¡¡ 2. С. 200-291.

сЛ

вания Монтгомери половили начало новому направлению в проблеме Ранкина-Соболава, которому посвящена настоящая диссертация.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Работа имеет своею целью полное рекение проблем Ранкияа-Соболева и Монтгомери в случае а =3 , т.е. нахоаденио абсолютного минимума трехмерной дзета-функции Зпштейна и абсолютного минимума трехмерной тета-фуакции.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ. Пробйема Ранкина-Сойолева ( для а = 3) решается сведением к проблеме минимумов трехмерной тета-функции, для исследования которой совершенствуются и обобщаются методы оценок частных производных функции (ом. 5Ь.

НЛУШАЯ НОВИЗНА. Вое основные результаты диссертации (теоремы I, 2, 3 ) являются новыми.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результаты и методы диссертации могут быть использованы для дальнейших исследований по проблеме Ранкина-Соболева и в близких к ней задачах.

АПРОБАЦИЯ РАБОТ!). Результаты диссертации докладывалиоь на Мевдународной научной конференции "Современные проблемы теории, чиоел" (Тула, 1993) и на семинаре по теории чисел ПОТ® РАН.

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликованы 4 работы.

ОБЪЁМ РАБОТЫ. Диосертация соотоит из введения, двух глав, разбитых на 6 параграфов и содержит шесте о литературой 142 страницы машинописного текста. Кроме того, имеетоя приложение вычислительного характера, содержащее 57 страниц машинописного текота. Библиография - 50 иавваний.

Мспкуотегу Н. (ШпшоХ Ш\а, ]цди// С¿<л$у<л<г Ма1к. 1 1988. \foLi0.mi. Р. 75-85

ООДЕРКЛКИЕ РЛБОТЦ

Пусть

Г1.

- $«{£*:) = ¿С*г.0 = (I)

положительно опрекелэнкая квадратичная форма о Евдаотвеннига коэЭДгщиентама и о -определителей Д ■ДС^-с/.е.^а.^хх

Пусть Р - множество всех таких йорм ("конус положительности" в пространстве коо^ицаенюв), о - множество форм из Р фиксированного определителя Д . Нао интересует: I) дзота-функиия Зпштейна . завааяиая от | и веодотвенного па-

раметра $>О , определяемая для оходпщиноя рядом

-Г<-Д*/{о} 7

а для о < 6 < 1 - аналитическим продолжением (5=1- лолюо);

2) тега-ряд , зависящий от ^ и вещественного пара-

метра <Ч>о ;

-2п <*-{(х)

= л е • о)

« Я'1

Проблема Ранкига-Соболева. Нййти при данном ¿>о , вое- локальные и абсолютнне минимумы функции £ (^.ь)как функции от £ на топологическом проотранатве .

Проблема Монтгомери. Найти при данном о(>0 вое локальннэ и абсолютные минимумы функции как функции от £ на,'

топологичеоком пространстве1 (Рд .

Точки локального минимума в проблеме Раннина-Соболева мн будем навивать $)— экстремальными формами; точки абоодют-ного минимума - оптимальными формами. Соотввютввнно,

точки локального минимума в проблеме контгомзри называем экстремальная формами, точки абсолютного минимума - ('О^-оп-

тимальныш формами. Ясно, что еола две квадратичные формы эквивалентны над Ж , т.е. относительно SL/H) и одна из них зкстремальна ( соответственно, (£,ь)-оптимальна, О^«0-экотрв-мальна, (Т^оО-опткмальна), то такой не будет и другая форма.

Форла f называется ^ -финально-экстремачьной (соответственно, ^-финально-оптимальной ), волк найдется такое число 50 , что форма является -экстремальной ( соответ-

ственно, ^-оптимальней ) для всех S>S0 • В случае £о=0 форглу называем вполне -экстремальной ( вполне -оптимальной ). Для -экстремальности эти понятия требуют некоторой модификации. Ввиду формулы обращения

= -fe-VU*. (4)

где форма, взаимная к f , в проблеме Монтгомери

^ __L ( . .1

.необходимо различать случаи сО ¿г [Д] и oC-S^Läj

Еола форма - Сф*)-экстрамальная ( сс)-опгимальная )

форма для воех et 2 jrl&] то взаимная к ней форма f'

в оилу (4) будет ^-экстремальной ( ь) -оптимальной) i

для воех О < d < -г-— .

Поэтому мы называем форму £ Ч?'-финально-экстремальной ( 1?"-финально-опгимальной ), если оуцеотвует такое число , о10 > [Д1 ^ что £ является 0^с*)-зкстремальной( ((t^.oi.)-оптимальной ) для воех оl^do . Если Ы0 - i; С то форму

•f называем вполне 1/ -экстремальной ( вполне

-оптимальной).

Функции я £d) тесно связаны. Действительно,

®Ь,Талн'чев A.B. О представлении' чисел положительными квадратич- • ными формами// Труда ШШ1 СССР. I9G2. Т. 65.

нетрудно покязагь( ор. что оо

С помощью этого интегрального преобразования легко доказывается следующая лемма:

. Логлма Д. Любая вполне '¿^оптимальная форма является вполне ^-оптимальной.

Во Введения диссертации излагаются краткая история вопроса и основные результаты работы. Иотория вопроса подераит опиоаниа ряда результатов по проблеме Ранкина-Соболева. К наиболее значительным отяосятоя следувдие. В олучае (1= 2 проблема Ранкина-Соболева бала полностью ресена в работах ^ ~ Доказано, что клаоо формы

^ (6)

умноженной на подходящий полокательный множитель, - это единственные ( )-экстре,чальнне ( а, оледовате-ьно, и )-

оптимальные ) формы для всех 3>о , .

Проблема Монтгомери была полноотыо решена для п-^. в работе что дало еще одно доказательство вполне 5-оптпняль-нооти формы •

Для а= 3 Эянола доказал, что форма

^"^-гц + х*+х.1-'хгх2 +х211+зс1хл (7)

( и её положительные кратные )-($,5 )-экотремачьна для ваех ¡>>о , £ ^ I. , т.е. вполне > -экстремальна.

Дгся иыеетоя большое количество результатов о

финальной экстремальности разллчннх: предельных форм, о вычисления и об сценке начала луча экотремсльноати, прлнадаенадих С.С.Рмякову, С.Ш.ШукЗаеву и К.М.Эндибаеву.

Основни,: результатом диссертации: является полноо репанае ( а случае п.» 5 ) проблей Ранкина-Соболева и Монтгомери путем доказательства следующих продлокений.

Творена I. Класо формы и положительно кратных ей суть единственное л) -оптимальные формы для всех 6>0 , 5. Так что я кратно-эквивалентные ей вполне ^ -оптималь-

ны.

Теорема 2. Клаоо формы ^о4 и положительно кратных ей суть единственные 0?*,ы)-от1тимальные формы дам всех Ы>|-сЛ> 5 . Клаоо Оорглы (<£з0,)>д~ 5,

(8)

и положительно кратных ей оуть единственные С^ы.)-оптимальные формы для вовх О <*< При ) 5 вое (я^и^-опти-

мальные формы принадлежат классам форт,! и

Так что Ц>0(!) и кратно-эквивалентные ей вполне "О" -оптимальны.

Теорема I непосредственно вытекает из теоремы 2 и леммы I.

В первой главе диссертации излагаются необходимые сведения из теории клаозической одномерной тета-функции, а таете даетая опиоание эквивалентных граней ( подобластей ) области приведения тернарных квадратичных форм, Вдеоь ке формулируется основная теорема - теорема 3.

Пуоть

тернарная квадратичная форма определителя

/(I I- fr д= &(■$)= det l с &.

U ir

i. z

а вещественными коэффициентами, удовлетворяющими неравенствам Эрмита-Кянковского, г.а. принадлежащими. облаоти S) с- 'R^ , задаваемой неравенствами:

а с < Я , о s S «сх, 2).- " (10) loll « cl , а+с-б+c¿^е

Область 5) являотся замыканием однократной облаоти приведения- Извеотно, что любая форма из /Яу^ эквивалентна некоторой форме ( возможно, не единственной ) из области

Таким образом, для доказательства теоремы 2 достаточно найти вое абсолютные минимумы функции . на облаоти ■З) .

Дяя этого введем1 новые параметры: p=i-

Г 2cv > тг га. . ту* [Час -

л/Час- б3-' „ _ 2oe-6cL и = Та ' Час-б2- '

Тогда, учитывая, что д *Д(-С) = jj , имеем представление

форма (9) в виде а область

в этих параметрах переходит в ойлаоть <*> u ^ и2- V ,

-V

Л):

(11) i

(12)

2-U'

- ю -

т , .,< I < Л Iх

причем форме ' соответствует точка 2, Г, л)

л,

области'

-'л

Теорема 3. При всех оС > 2 существует единственный ( о точностью до эквивалентнсоти ) абсолютный минимум функции,

задается равенством (II), в области ей , а

именно:

Г, г, 7, з)

при , ^

о1 >2 , Л.

Знак равенства имеет меото тогда и только тогда, когда форма £ ,

-ч-

ооотватотвущая точке у) ё ¿0 , эквивалентна

форме у0 ,

а

При О < ос < 2 абоолютннй минимум г^С^^) достигается в точках, эквивалентных точкам (р,^»'-" Са',^, 'з, %

В главе I содержится вывод теоремы 2 из сформулированной выше тооремы 3,

Вторая глава диссертации посветана доказательству теоремы 3. В §1 формулируется 20 лемм, в которых иооледуются частные производные функции . В §2 рассматривается разбиение области приведения с£) на ряд подоблаотей, для каждой из которых выводагол о помощью лемм теорема 3. В параграфе 3 леммы доказываются, причем часть самых объемных вычислений вынесена в приложение.

Приношу глубокую благодарность профессору Л.В.Малышеву за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

-т II -

Ооновиыа результаты диооертации опубликованы в работах I, 2, 3, 4. В первых трех работах оодеркитоя ряд упущений, которые устранены в работе 4.

1. Орловокая Е.В. Минимум тега-функция трех переменных// Аналитическая теория чиоел: Иежвузовокий сборник научн, трудов, Петрозаводск. 1992. С. 52-63.

2. Орловокая Е.В. Минимум тета-функции трех переманных а решение проблемы Ранкиаа-Соболева в трехмерном проотранотве// Современные проблемы теории чиоел: Тезисы докладов Международной конференция. Тула. 1993. С. 119.

3. Орловокая Е.В. Минимум тета-функции трех переменных и решение проблемы Района-Соболева в трехмерном проотранотве// Веотник СПбУ. Серия математика, механика, астрономия, 1993. Вып. 3. № 3. С..23-27.

4. Орловокая Е.В. Минимум тета-функции трех переменных и решение проблемы Ранкина-Соболева в трехмерном проатранатве// В кн.: Вопрооы теории представлений алгебр и групп. 3. Зап. яаучн. семинаров ГОШ. 1994. Т. 211. О. 150-157.

Подписано к печати II.I0.91». Заказ 338 Тираж 100 Объем 0,5н,л,' ПМЛ СПГУ. 19903И, Санкт-Петербург, наб. Макарова,б.