Вычисление групп целочисленных автоморфизмов положительных квадратичных форм канонического вида, совершенных форм вороного и их приложение к одной задаче Ранкина-Соболева тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

3 од

ляк т

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

ТАШКЕНТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

МАКСУДОВА Мохира Курбоновна

ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ АВТОМОРФИЗМОВ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ КАНОНИЧЕСКОГО ВИДА, СОВЕРШЕННЫХ ФОРМ ВОРОНОГО И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ К ОДНОЙ ЗАДАЧЕ РАНКИНА-СОБОЛЕВА

(01.01.06 — Математическая логика, алгебра и теория чисел)

Автореферат

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ташкент — 1994

Работа выполнена в Ташкентском электротехническом институте связи.

доктор фиоико-матсматич^ских наук, профессор М. И. ИС1ЮИЛОВ,

кандидат сЬизико-математичсских наук, старший научный сотрудник С. Ш. ШУШБАЕВ.

член-корреспондент АН Республики Узбекистан, доктор физико-математических наук, профессор Дж. X. ХАДЖИЕВ.

кандидат физико-математических наук, доцент И. АЛЛАКОВ.

Самаркандский государственный университет им. Алишера Навои.

Д 067.02.21 при Ташкентском государственном университете по адресу: 700095, г. Ташксит-95, математический факультет, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в научно» библиотеке Ташкентского государственного университета (Вузгоро-док).

Автореферат разослан с » 1994 г.

Н¿1 укные руководители:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

1994 года в

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физ.-мат. наук

ОБЦЛ.: лЛ^иЛИлСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. .:дссвртация посвящена ннховдавню групп целочисленных автоморзх.^моэ (г.ц.а.) полояителыадх квадратичных форм (п.к.й.) ка"Л'';;шческого вида, совершенных форм Вороного решению задачи Ратшна-Соболева о минимуме дзета-Функции Зпштий-на.

Первой задачей занималась Гаусс, Золотарёв, Дирихле, Вороной, Долоне, Ршаков, Варне, Стаей, Шушбаев и другие авторы к она имеет свое широкое применение к задачам арифметики квадратичных форм (представление чисел посредством квадратичных форм, реионне диофантова уравнения второй степени и другие) и геометрии п.к.ф. (задача отыскания неэквивалентных совершенных форм Вороноп, задача Ранкина-Соболева "II другие).

Вторая задача возникла из работа Кенделла и Ранкина, оцепп-сзю\;зЗ погрешность формулы для количества цвгчх. точек в случайных эллипсоидах и в исследованиях С.Л.Соболева по кубатурннм формулам с регулярным логращчрш слоем.' • ' ! • ' *

Различным аспекта:.: задачи Ранкина-Соболева посвящены работы Ранкина, Кассельса, Диананды, Энколы, Делоне, Ршвкова, Исраи-лова, Эндибаева а ряд работ Шупбаева. . ' .

Цель работы. Исследование задачи отыскания г;ц.а. п.к.ф. канонического вида,, совершенных форм Вороного и того аспекта задача Ранкинэ-Соболеза, где оценивается начало луча финальной экстремальности главной совершенной формы Вороного от четырех переменных с-применением её г.ц.а.

Методика исследований. В доказательствах теорем'й'слользу-ются методы геометрии п.к.ф., теоретико-числовые метода, классические и современные методы алгебры и математического анализа.

Научная новизна. В работе найдена-г.ц.а. ряда совершенных форм Вороного от восьми переменных, г.ц.а. -т.к.й. канонического вида для произвольного к. ■ , и г.ц.а. одной серии п.к.ф., а такие получен? оценка сверху начала луча финальной экстремальности главной совершенной *орьы от четырех переменных,- лзтегд раиое известной. Все полученные розульгапг -являю' VI новыми.

Теоретическая и практическая значимое:'». Подученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы в Е'Дачех арифметики квадратичных форм, в задаче Ронкина-Ооболсэа и д дру-

- ч —

ni>: зь^чг-. recaovpsm и.к.б.

/.;1т;о-.1')Г';:-" работтг. Резулыьт^; i ./jotn: дз:,-,пда1валр.сь на Всизо-'шно" с огшюрс. "Вопросы оптимизации вычиеленпЗ" (г.^гшта, I207V), !Ш иаучдах сзмлнарах "Операторные sr-edpa ух. лрплгсеп'д" огр, л алгебр:; и анализа 1М АН Р/з под ру^зводотвап члвяо-корр-зсполдс!1 и АН РУз О.А.Аквова, "Алгебре и теория чисел" ка£сдрк алгебры а тоори чисел Ташкентского гооудзрстз~ш1ого уштсоревгота под ГУ-'-лодс'гбгм чл"Нз-каррс-спондонта АН FYs Д~.Х.Хсдзоь;! п по пора получения результатов 'на семинере но тосрин чисел в шчзсл?.толи:о;! математике отдела "Еичпсяитолышо мсгодн" И: зг.;тута штсмогшп; АИ F/з, проводимом под руководством проа.Исроидсза 'Л.'Л., ?:гг нэу«:-кои сешньро кафедры "Ъио:<.ш математика" и по ьпучпо-техкпчсс;;^ конференциях Ташкентского электротехнвчоокого ш.стптута сгяггл.

Публикация. По то;.;о диссертации опубликовано 5 patio;, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и обьем. Диссертация состоит из в?од&1«;я, трех глаз, состяцих из II параграфов, двух таблиц и списка литератури. Бцблксгра£ая содеркат 40 каименоваиий отечестьопких м зорубеакшс авторов, 0бцз2 объем работы - 120 страниц. «

СОДЕРлАНИЕ PAE0TJ •

'jo введении данн необходимые определения, сформулированы аадечн, связанные с темой диссертации, приведены новостные на настоящее время результаты и основные, резулг.таты, полученные автором. . •

Пусть' адана л.й.ф.' от П. переменных

i=;hx)~- aijxt zJ < (i)

* J ~~

где- Д(( s Д.. с матрицей ' Л = j • и определителем -

detf Li det A-d>o. • /

Л.к.Д'. в пространства //(П-+ i)/2 ) коэффици-

ентов { DL-ij J действительных квадратичных форы составляют некоторый бесконечный открытый конус ¡^ , называемый конусом

ПОЛОЕШТеЛЬНОСТИ.

ОПРЗДОЛШЕ I. 'Дво п.к.с!:. XТЛ1Х и вида (I) называются цедочнсленно эквивалентными (просто эквивалентными), если существует целочисленная унимодудярная подстановка " .

пврвЕэгдаая /, ' з (2 I =

3 случае ^ •= Д = / это определение превращается в. определение целочисленного* автоморфизма '.-.к.у. / .

ОШ^ДИГЕШй 2. Целочисленная унымодулярная подстановка ВПДа пе£0Б0-ТГЛЕ'ая / в себя: = / ,

называется целочисдепшгл автоморфизмом (просто автоморфизмом)

Множество целочисленных автомог^иймов п,н.Ср. г об-

разует конечную группу относительно умножения матрац ( Я • (1 ). Она обозначается через 0-(т) •

ОПРЖЕДЫ2Ш 3. П.к.ф. вида -(I) называется совершенной, .если следующая система уравнений относительно О... имеет единственное решение ' ^

ZCL..УУL,'' т.. -щ (£=775* ) т

. . Ч с К У/С 4 ' ;> (3>

й <!

где УЯ - ^ (%) - арифметический минимум п.к.ф. 4 ,

Х£2"-\ {а}

а

• »¡-¡с* ,...,п.пк) (£= 77Т) -

точки, дающие этот .минимум, т.е. представления этого минимума. Здесь $ ^ ¿1 * .«В случае, когда , совер-

шенная форма / ' называется сашлпциальной.

Пусть 3 - комплексное число с Иг.$ > 1 ,. бесконечный

ряд

_ lié.

Z(f;s)* Z {fa)}*"

X£Zn\{0]

называется дзета-функцией Эпатейна.

ОПРВДаНЕКИЕ 'i. П.к.с]:. 40 вида (I) называется S -экстремальной, если она удовлетворяет неравенству

Z(f;sy * Z (/, ; s ) ,(4)

для всех /е ¿^ с dtt $ = dkt $Q - d0 приданном 5 , где Щ • -'некоторая окрестность точки ^ в .

Задачу нахождения при данном S>{ всех S - экстремальных 5орм от 1 переменных называют проблемой Ронкяна-Собо-лева. р

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. П.к.ф. ? называется финально-экстремальной, если найдется такое S0 i , что / будет экстремальной для всех £ ? 5С . Наименьшее 5tï4, облад-лдео этим свойством, называется началом луча финальной экстремальности формы /0 а обозначается S(f) .

■ • Это BQEHC6 понятие вводится в работе Делоне Б.Н. и Рылшова С.С. (К теории экстремумов многомерно:; Ç - функции.//ДАН СССР. 1967. Т. 173, & 5. С.9Э1-9Э4).

OliPffiEEEfflE 6. Множество всех n.K.iJ. -f , и."еацпх одинаковый определитель ' с/0 называется доскркминантной поверхностью и обозначается чехоз det f с cIq , de - постоянна1!.

Perpaff г/ippg посвядена нахождению г.ц.а. квадратичных. £орм, приведенных■к сушо квадратов от Ai переменных.

В первом параграфе главы I обобщается для произвольного Ц результат К.Ф.Гаусса (Труда по теории чисел. Собр.соч. Ы.: Изд. All СССР. 1953. 978 е.), который полностью релил задачу отыскания г.ц.а. п.к.ф., приведенных к каноническому виду для И - 3.

З.-есь предлагается общая схема, с помощью которой вычисляется г.д.а. п.к.ф. f вида

/г CLÎ xf 1- а2%1 + ... 4 при п? 2.

Во втором параграфе главы I решена одна задача ко.\:л'нато-рияп о количество зозыоаяых вариантов для наборов коэф$тшентиз формы квноническогэ вида, связанних о эй г.ц.а.

ртогяч ¡гдввп посещена, в основном, отысканию г.ц.а. совершенных форм Вороного_о-2 восьми переменных.

В § I этой главы для полноты изложения приводится алгоритм из работы Шушбаева С.Ш. (Об одном алгоритме вычисления групп це-'лочисленных автоморфизмов совершенных <|орм.//Численное интегрирование и: смежные вопросы, Ташкент: ФАН. 1990. С.90-108), позволяющий вычислять г.ц.а. совершенных $орм от И переменных для

В §§ 2-3 на основе этого алгоритма находятся г.ц.а. всех известных симплициальных совершенных форм (§2):

о

и всех известных совершенных форм с числом представлений минимума ¿=3? (§3):

етд , Упьн, $¿(3,2,2.1, о

от восьми переменных. ■

В качестве примера приведем одну из"этих теорем. Т Е О Р'Е М А I.. Группа автоморфизмов 2, ¿)}

совершенной формы '

имеет порядок 4,и следующие преобразования переменных ^(¿г ^ $ ) являются образующими элементами:

А,: х1 осг , хг — х1;

А3\ 'Хз-'Ху , , .

При этом А^ = А, - единичная метрпцз, >4« вместе с А^ ., Аг представляют все элементы <> ¡"£,2, {, 1)\ ,

о 5 4 посвящен вычислению хчц.б. ( } одной серии со-вериёшшх <|орм

для любого и ? G , где

У** Ф - + ». - «А (6)

главная (плрвая) совершенная £оргла Вороного, определенная для ' fit 2. ■ «

Аналогичные результаты получены BopoiiÙM Г.Ф. (О некоторых свойствах подозрительных совершенных квадратичных у,орм. Со'бр.соч. Т.2. Киев: Изд.Ali УССР. 1902. C.I72-238) для групп G- ) и <? (</<* ; , где (1

вторая совераенная форма Вороного. Относительно J До сих

пор были известны ТОЛЬКО случаи Я. = 6 ( Баг: ;з E.S. The complet« enuaoratica of0eitremc осшгу forma. //Philoa .Trano.Roy .Soc.Lon-o don. 1967. V.249. p.461-506) и «■=? (Шушбаев С.Ш. Об одном ал-горитые вычисления групп автоморфизмов совершенных $орм. // Численное интегрирование п смежные вопроси. Ташкент: ФАН. 1390. С. 90-108).

Поэтому ~§ 4 является их обобщением. В доказанных теоремах по море возможности г.ц.а. представляются в виде гбьедпнения смежных классов по специально выбранной подгруппе, что удобно для применения их к задаче Ранкина-Соболева.

Ть:;им образом, результаты глаш II могло квалифицировать как развитие результатов Барнса:, Вороного, Стаей « Шугбаова.

Глава^ 21 посвящена детальному доказательству оценки ¿2,3 сверху начала луча экстремальности главной

соворпъ-шюй йорми Вороного от четырех переменных (см.(6)).

Оценка S (У/) ¿2,3 означает, что <|орма является точкой локального минимума дзета-дункцпи ОпштоИна в

- У -

фостранстве коэффициентов всех действительных квадратичных ¡¡оры от четырех переменных для всех 6 > 2,3 .

Эта оценка уточняет известный результат 5

Шушбаева С.Ш., полученный другим методом.

Применение г.ц.а. совершенной формы к производным

юрвого и второго порядков позволят.!; получить более точную оценку.

Кратко изложим идею метода доказательства основного результата главы Ш. Из определения финальной экстремальности ясно, что [узд того", чтобы получить оценку 3(4в) & ¿д надо ■доказать, это даА всех 5 > 50 эта форма является тонкой локального минимума дзета-функции Эпш'-'ейна в пространстве коэффициентов , г.е. установить неравенство (4) для всех / из окрестности

У^у с1({)-с( ) и для всех .С этой целью

функцию % 6 ) , рассматривая ее. как функцию коэффициентов квадратичной формы (I), приведенной методом Якоби к суше квадратов, разлагаем в ряд Тенора в окрестности точки У^ , лекацей на дискрш,пикантной поверхности с1е£ ( Л ¿у ) =. ~с1(Мв ) - . Далее, с помощью £ ) доказываем, о что все производные первого порядка в точке ^ равняются нули, а члены второго порядка образуют п.к.ф. с коэффициентами, зависящими от параметра 5 '. Тогда, учиткхэя, что все остальные члены разложения малые величины порядка О ( £2) , где £ -расстояние от точки до самой удаленной точки рассматрива-

емой окрестности ¿Р^у , получим значения параметра <5 , при которых выполняется наравенство (4).-

•Отметим результаты по оценке начала луча экстремальности главной совершенной формы Вороного для различных Ч на настоящее врегл:

, (Ранксн, 1953 г.),

^ (У/ ) ~ * ° (Эннола, 1964 г.),'

5 ( Уд ) £ 2,5 ' (Иузбаов; 1978 г.),

(п.%54) (Шушбаев, 1980 г.).

ОСЫПЕЙ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОЕУБХИКОВАШ В РАБОТА!

1. Вичисдихельная схема для групп автоморфизмов полокктоаышх квадратичных форм. //Вопросы вычисл. и прикл.матем. Ьип.-]?. Ташкент. 1977. С.16-25 (совм. 1 С.Ш.Шушбаевым).

J

2. Об одной-.задаче комбинаторикисвязанной с вычислением групп автоморфизмов полоштельных квадратичных форы. //Вопроси вычнсл. и прикл.матем. Вип.54. Ташкент. 1У79. С.47-54.

3. К оценке начала.луча экстремальности главной.совершенной форш Вороного от..четырех переменных. //Вопросы выиисл, и црикл.матем. .Вып.£¡4. Ташкент. 1984. С.24-40 (совм. с С.Ш.Ыуы-баевым и К.М.Эндибаевщ). ' о

4. О группе автоморфизмов симплрдцальных совершенных квадра-, • ТИЧНЬГХ форм. //УзЩ. Ташкент:.ФАН. Аг 4. 0.68-95 (совм. с

С.Ш.Шушбаезым и Х.Х.Абдуразакозым).

5. Вычисление групп автоморфизмов совершенных форм от восьми переменных. Деп. в ВИШНИ. К 1865-В 93. 25 с.

КАНОНЖ КУРИШЗДГИ Р.1УСБАТ КВАДРАТИК ЗШЛАЛАР ЕА ВОРОНОЙ ЬШаММАЛ ФОИЛАЛАБШИНГ БУТУЩ1ЙДАТЛ1 AET0M0Pi'iI3w'JIAPII

ГРЛШШРИШ ХИСОБЛАШ ВДМ УЛАРНИНГ РАШШ-СОБОЛЕВНИЗГ BIP ».lACAiLiraTA ТАДБИШ

Ш CA

Диссертация каноник куришнздаги мусбат апшукшган квадратик Тормалар'на Вороной мукеммал формадарининг бутунцийматлр автоиор-физыларпни топишга во Злштейн дзета-функциясннинг мшшмуми зфцп-цзги Ранкпн-Соболов масэласининг ечимига баяашлаиган.

Биринчи масала билан цадимдан Maucçyp матеыатикдар шурудда-ниб колган будиб, уви квадратик формалар арифметикаси масаладари (масадан, сонларни квадратик форма воситасида ийрдалага, иикзнчи царакали дпофант тенгламаларшш ечиш ва боищалар) га ва мусбат квадратик формалар геометриясн гласалалари (Воронойнинг ноэквпва-дент мугакмал формадаршш гдздуиш масаласи, Ранкин-Соболев гласа-ласц ва бошкрлар) га кенг вдллаш мумкин.

Иккинчи масала Кенделл ва Рсйкиннинг тасодифпй эдлнпсоидлар-догя бутун ну1угадар сонини Хисоблаи формуласп хатосцни баз^олаш-дан за Соболевнинг рогуляр чегаравий чатламга эга булган кубатур форыуладарпга дойр тадк;пузтларидан кели^ чиздвн. Бу масала билан куп математик олпмлар шурулланнб келмовдалар. "

Длссертацияда чуйидаги квадратик формаларнинг бутушрйматли автоморфизмлари группалари дасобланган: 0

1. Каноник куршшшдаги ихтиёрий /1. (m 2) узгарувчили мусбат квадратик формалар;

2. Бугунги кунда мэьлум булган саккиз узгарувчили' барча сиып-лициал 1«?каммал формалар,

3. ^озиргача маьлум минимум берувчи нуг^алар сони 37 га

токг булган барча с&Ккиз узгарувчпль Вороной мукаммал формалари.

4. (fj1 (Ц } S ) туркумдаги Вороной мукаммал формалари.

Турт узгарувчили Вороной бол (биринчи) мукаммал формасини.нг бутункцймвтли автошрфизмлари группасини Ранкпн-Соболов масала-сига цуллаб, бу-форма экстремаллик нурининг бошлангич циймати учуй лиги (аницроц) юг,ори бо\о топилган: S ) é 2,3.

- X/i -

THE CALCULATION OP THE OR CUPS OP INTEGER-HUMERAL AUTOMCRPHiSUS OP POSITIVE QUADRATICAL FORMS OP CANONIC AT,. TYPE, THE VGRONOY'S PERFECT FORMS AND THEIR APPLICATIOH TO OTIS OP THE nAUKIK-flOEOIJJV* 3 PROBLEM

S U M U A R Y

; The groupB of integer-numeral automorphiBr.fi of canonical ■type positive quadratical form3 and Voronoy*B perfect fo«№ are found. The Hankin-Sobolev' e problem on i.iiniinui.i of Eputtdr/o seta-function -is solved.

The famous mathematicians studied the firot problem long ago It too Y<ide applications in arithmetical of quadratical forme (representation of numbers by means of quadratical forme, solution of second degree diofant equations etc.) and in geonoUy of positive quadratic forma (to find unequivalerit Voronoy*B perfect forma, the Rankin-Sobo2ev*s problem etc.).

T1..2 cecond problem came up out of work by Kendell and Ranki»; estimating the error of a formula for the number of integer points in accidental ellipBoida and out of S.L.Sobolev*b researc on cubature formulas with regular boundary layer. Thin problem lias been stutying by many mathematicians now.

The groups 0f integer-numeral automorphisms of the next quadratical forme which are fount in the dissertation are following:

1. Canonical type positive-defined quadratical forma on

) variableo. ,

2. All known at'present simple perfect quadratical forni3 on eight variables.

3. All known at present perfect forms on eight variables wich 37 numbers of representatives of minimums.

4« One eerie of Voronoy'e perfect forma

While applying groups of "integer-numeral automorphisms of Voronqy'e main perfect form on fpur variables, the new (more exact) upper est; lation of the crigin of extremal ray for the form, which is connected with Hankin-Sobolev*s problem was • found; i (O ¿2,3. jtff