Многократная дифракция Френеля-Кирхгофа в задачах распространения волн тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

Дмитриев Алексей Валерьевич

МНОГОКРАТНАЯ ДИФРАКЦИЯ ФРЕНЕЛЯ-КИРХГОФА В ЗАДАЧАХ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН

01 04 03 - радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003445462 ^п

у ъ ид

г е ЬВГ 2008

Иркутск - 2008

003445462

Работа выполнена в лаборатории радиофизики Отдела физических проблем при Президиуме Бурятского научного центра Сибирского Отделения РАН, г Улан-Удэ

Научный руководитель

кандидат физико-математических наук, доцент Дагуров Павел Николаевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

проф Якубов Владимир Петрович

кандидат физико-математических наук, Кулижский Андрей Владимирович

Ведущая организация

Институт физики имени Л В Киренского

СО РАН

Защита диссертации состоится 11 сентября 2008 года в ] 2 часов на заседании диссертационного совета Д 212 074 04 при Иркутском государственном университете по адресу 664003, г Иркутск, бульвар Гагарина, 20

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Иркутского государственного университета

Автореферат разослан «24» июля 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук,

доцент

Мангазеев Б В

I ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Для решения многих задач распространения, дифракции и рассеяния волн различной природы, не имеющих строгих решений, широко используется теория дифракции Френеля-Кирхгофа, а также связанные с ней методы Кирхгофа и физической оптики Привлекательная особенность теории заключается в том, что решение сразу можно записать в виде дифракционного интеграла, а сам подход к решению достаточно прост и нагляден Несмотря на приближенность теории Френеля-Кирхгофа, многочисленные эксперименты показали, что она надежно работает, если размеры объектов, на которых происходит дифракция, велики по сравнению с длиной волны и углы дифракции малы

В последнее время в связи с бурным развитием сотовой связи и беспроводных систем телекоммуникаций и информатики увеличился интерес к применению многократной дифракции Френеля-Кирхгофа в задачах распространения радиоволн на трассах с естественными препятствиями и в городской застройке Впервые многократная дифракция рассматривалась в работе [1] применительно к расчету множителя ослабления на трассах с несколькими клиновидными препятствиями В ней был предложен эвристический метод, в котором общий множитель ослабления поля радиоволн находился как произведение множителей ослабления на отдельных препятствиях, полученных из решения задачи однократной дифракции Френеля Позднее был предложен другой метод [2], также использующий комбинацию множителей ослабления отдельных препятствий Эти методы ввиду своей простоты до сих находят применение для оценки поля на трассах с несколькими препятствиями Впервые строго (в смысле дифракции Френеля) многократная дифракция была рассмотрена в [3] для случая двух препятствий в виде поглощающих полуплоскостей с параллельными краями, и решение было представлено в виде суммы специальных функций - обобщенных интегралов Френеля В последующих работах была рассмотрена задача дифракции на N полуплоскостях, которая после последовательного применения интегральных формул Гельмгольца-Кирхгофа или Релея-Зоммерфельда ко всем апертурам и применения многомерного метода стационарной фазы сводится к /У-кратному дифракционному интегралу [4-7] Были получены решения для асимптотических случаев В дальнейшем в связи с развитием вычислительной техники был разработан ряд алгоритмов расчета дифракционных интегралов

Все рассмотренные задачи относятся к случаю, когда края препятствий являются прямыми линиями, параллельными друг другу, что позволяет осуществить интегрирование по поперечным координатам На практике края препятствий могут быть непараллельными друг другу или в общем случае иметь какую-либо другую форму, например, характерных для оптики круговых отверстий Многократные дифракционные интегралы при этом будут иметь размерность 2Ы, и для больших N расчет оказывается затруднительным Вследствие этого возникает задача уменьшения размерности этих интегралов Однако до настоящего времени такие задачи практически не рассматривались в литературе Метод граничной дифракционной волны [8], в развитие которого внесли вклад Юнг, Магги, Рабинович и другие исследователи и который позволяет уменьшить размерность дифракционных интегралов, не был обобщен на случай многократной дифракции Также в рамках теории Френеля-Кирхгофа не имела решения относящаяся к классу эталонных задач проблема рассеяния электромагнитных волн на проводящей ленте при произвольной ширине ленты и произвольных углах падения, при рассмотрении которой необходимо учитывать многократную дифракцию

Таким образом, является актуальным дальнейшее развитие теории Френеля-Кирхгофа с целью расширения пределов ее применимости и разработки эффективных методов расчёта дифракционных полей

Целью работы является дальнейшее развитие теории Френеля-Кирхгофа для решения задач многократной дифракции Эта цель достигается как обобщением теории, так и решением некоторых новых задач распространения и дифракции волн, связанных между собой общностью метода решения Более конкретно, для достижения цели ставятся следующие задачи

• исследовать задачу многократной дифракции волн на нескольких полуплоскостях с произвольно ориентированными ровными краями,

• получить и исследовать обобщенную граничную волну для решения задачи многократной дифракции на последовательно расположенных экранах (отверстиях) с произвольной формой краев,

• используя метод многократной дифракции Френеля-Кирхгофа решить задачу дифракции на проводящей ленте (щели) при произвольной ширине ленты и произвольных углах падения электромагнитной волны на неё

Научная новизна

1 Решена задача многократной дифракции Френеля-Кирхгофа на N непрозрачных полуплоскостях при произвольной ориентации их

краев Показано, что путем преобразования систем локальных координат 2Л-кратный дифракционный интеграл сводится к Л'-кратному интегралу Установлено, что взаимный наклон краев приводит к явлениям фокусировки и дефокусировки поля

2 Предложен физически наглядный вывод выражения для граничной дифракционной волны в области Френеля и получена новая формула для описывающего ее дифракционного интеграла На основе выражения для волны, рассеянной элементом края, введен эффективный элементарный коэффициент дифракции Впервые с помощью элементарного коэффициента дифракции построена теория обобщенной граничной волны при многократной дифракции Френеля-Кирхгофа, основанная на альтернативном классическому методу физическом подходе

3 Впервые проведено обобщение классической задачи дифракции волн на проводящей ленте на случай произвольной ширины ленты и произвольных углов падения на нее, включая скользящее падение Решение задачи основано на рассмотрении механизмов двукратной дифракции Френеля-Кирхгофа с учетом отражений от ленты и поляризации волны Показано, что результирующее поле представляет собой сумму геометрооптической волны, волн однократной дифракции и волн, испытавших двукратное рассеяние на краях ленты Получено простое выражение в элементарных функциях для ослабления поля при скользящем падении

Практическая значимость

Результаты работы имеют практическое значение для расчета распространения радиоволн на трассах с несколькими препятствиями Они позволяют уточнить влияние наклона краев препятствий на дифракционное поле Разработанный метод обобщенной граничной волны при многократной дифракции за счет уменьшения размерности дифракционного интеграла с 2И до N существенно уменьшает вычислительные затраты при численном решении дифракционных задач радиофизики, оптики и акустики Метод решения задачи дифракции электромагнитных волн на ленте может послужить основой для разработки эффективных методов расчета поля от поверхностей конечных размеров при скользящем падении волны

Основные положения, выносимые на защиту:

• Поле дифракции Френеля-Кирхгофа на N полуплоскостях с произвольно ориентированными краями, описываемое 2Л'-кратным дифракционным интегралом, возможно преобразовать в Л'-кратный

интеграл путем преобразования локальных систем координат и применения многомерного метода стационарной фазы Взаимный наклон краев приводит к явлениям фокусировки и дефокусировки дифракционного поля

• Предложенное описание граничной дифракционной волны Юнга-Магги-Рабиновича в области дифракции Френеля позволяет более наглядно представить ее формирование Метод, основанный на введении элементарного коэффициента френелевской дифракции и его применении для расчета многократного рассеяния на элементах краев последовательно расположенных экранов (отверстий), позволяет получить обобщенную граничную волну многократной дифракции Полученное решение существенно сокращает вычислительные затраты при расчете полей многократной дифракции

• Метод решения задачи дифракции на проводящей ленте, основанный на учете двукратной дифракции Френеля-Кирхгофа в отличие от известных методов применим при произвольной ширине ленты и произвольных углах падения волны на нее, включая случай скользящего падения Полученное решение представляет собой сумму геометрооптической волны, волн однократной дифракции и волны двукратной дифракции, удовлетворяет принципу взаимности, равномерно относительно угла падения волн на ленту и выражается через известные специальные функции теории дифракции

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы были представлены на Байкальской школе молодых ученых по фундаментальной физике (Иркутск, 2001), XX Всероссийской конференции по распространению радиоволн (Нижний Новгород, 2002), Международной конференции «Современные проблемы физики и высокие технологии» (Томск, 2003), VII Международной школе-семинаре молодых ученых "Актуальные проблемы физики, технологий и инновационного развития" (Томск, 2005), международной конференции «Days on diffraction - 2006» (Санкт-Петербург, 2006)

Публикации

По теме диссертации опубликовано 14 работ, из них 2 работы в рецензируемых журналах из перечня ВАК

Личный вклад автора

Исследования, составляющие основу диссертационной работы, выполнены и опубликованы в соавторстве с научным руководителем Непосредственно автором разработаны алгоритмы и выполнены все численные расчеты, представленные в работе Ему также принадлежит основной вклад в проведении экспериментальных исследований

Объем и структура работы

Диссертация изложена на 111 страницах машинописного текста, иллюстрируется 35 рисунками и графиками, состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы из 106 наименований

II СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, поставлены цель и задачи исследования, изложены новые научные результаты, полученные в работе и положения, выносимые на защиту

Первая глава носит обзорный характер В ней проведен анализ литературных источников, в которых рассмотрены задачи распространения и рассеяния волн, при решении которых использованы методы многократной дифракции Френеля-Кирхгофа Обсуждены границы применимости полученных решений Также в связи с поставленной задачей применения многократной дифракции Френеля-Кирхгофа к классической задаче дифракции - дифракции на проводящей ленте (щели) - анализируется состояние вопроса по данной теме На основе проведенного анализа состояния вопроса формулируются задачи диссертационной работы

Вторая глава посвящена исследованию многократной дифракции волн на произвольном числе последовательно расположенных препятствий с произвольной формой и ориентацией краев

В первом параграфе главы рассмотрена задача дифракции на N непрозрачных полуплоскостях (рис 1) Полуплоскости перпендикулярны оси z, а их края ориентированы произвольным образом относительно друг друга В результате последовательного применения принципа Гюйгенса-Френеля дифракционное поле в точке наблюдения записывается в виде многократного интеграла Релея-Зоммерфельда В полученном 2/V-кратном интеграле проводится преобразование локальных систем координат, связанных с каждым препятствием Это преобразование позволяет устранить зависимость пределов интегрирования от поперечных координат, что дает возможность вычислить //-мерный интеграл по данным переменным в явном виде с помощью многомерного метода стационарной фазы Далее, после преобразований, основанных на

У[

\

Р(х*,ук,с1)

21 22 г3 2\

Рис 1 Геометрия в задаче о дифракции на препятствиях

свойствах матриц, исходный интеграл для дифракционного поля сводится к Л^-кратному интегралу, характерному для дифракции на последовательно расположенных препятствиях с параллельными краями

где пределы интегрирования И, и параметры rnIJ,nJ выражаются через

геометрические параметры задачи и длину волны

Полученное выражение анализируется для случая двух препятствий В этом случае поле можно вычислить с помощью однократного интеграла - обобщенного интеграла Френеля Результаты численных расчетов на примере двух препятствий показывают, что для небольших закрытий (углов дифракции) зависимость от угла наклона краев выражена слабо, однако с увеличением закрытия данная зависимость резко возрастает Установлено, что края полуплоскостей, перпендикулярные друг другу, не взаимодействуют между собой, а множитель ослабления поля в этом случае равен произведению множителей ослабления на одиночных препятствиях При касательном распространении через две полуплоскости, края которых наклонены по отношению к горизонтали на углы аъ а2, для множителя ослабления получено следующее простое выражение

(1)

4 ф-^соз^-а,)

где параметр /? связан с расстояниями от источника до первого препятствия от первого препятствия до второго с/2 и расстоянием и от второго препятствия до точки наблюдения d3 соотношением

Д =

d\d3

{dx + d2)(d2+di)

На рис 2 показаны рассчитанные по этой формуле зависимости множителя ослабления от угла взаимной ориентации препятствий а= «1 - а2 Для различных значений Д Из приведенных кривых следует, что наиболее заметно поле изменяется при близко расположенных друг к другу препятствий (большие Д) и слабо зависит от а при разнесенных препятствиях (малые /7)

_75 Х~Я)х 20 30 40 50 60 70 80 90 /3=0,9 """"Х- а градусы

-8,0 j

-8,5

-9,0

/6=0,7

Д -9,5 ф. • a —И.

-10,0 ! >3=0,5

-10,5 !

-И,0 I

-11,5 4-12 0

/3=0,1

Рис 2 Зависимость множителя ослабления от угла взаимной ориентации

Иная картина наблюдается в теневой области, результаты для которой представлены на рис 3 Отличие в характере поведения кривых на рис 2 и рис 3 объясняется следующим

Кривые на рис 3 получены при a¡ = 0 Поэтому, при увеличении угла а= а2 уменьшается величина Н2 eos а, что приводит к уменьшению затенения пространства вторым препятствием, рассматриваемым отдельно С другой стороны, с ростом а увеличивается общее затенение При малых значениях Д когда препятствия разнесены, преобладает первый механизм и уровень поля растет, а при больших Д наоборот,

падает Отмечено, что изменения поля при умеренных значениях угла а оказываются невелики Для значений < 0,7 и а< 30° они не превышают 2 дБ При а< 10° данные изменения меньше 0,5 дБ для всех значений р, те при расчете дифракционных трасс умеренные наклоны прямолинейных краев препятствий можно не учитывать

О 10 20 30 40 50 60 70 80 90

>«• а градусы

Рис 3 Зависимость множителя ослабления от угла взаимной ориентации препятствий при

3

Второй параграф главы посвящен обобщению понятия граничной дифракционной волны на случай многократной дифракции волн на нескольких препятствиях В начале параграфа приводится новый физически наглядный вывод выражения для граничной волны Юнга-Магги-Рабиновича для случая дифракции Френеля Предпола1 ается, что край препятствия I может быть описан произвольной кусочно-гладкой функцией, имеющей кусочно-непрерывную первую производную На рис 4 показана геометрия задачи

Рис 4 Геометрия в задаче о граничной дифракционной волне а) общий вид, б) вид в плоскости препятствия

В приближении Френеля получено поле, рассеянное элементарным участком края (источником Юнга), при падении на край сферической волны

и, соответственно, поле всех гюйгенсовских источников

и = (4)

2л №+¿2)1 Я

где и,о - поле, которое создает источник в точке наблюдения в отсутствии препятствия, е = 1, если между источником и точкой наблюдения есть прямая видимость и £ = 0 в противном случае

Сравнение выражения (4) с известным результатом для граничной волны [8] показывает их согласие при малых углах дифракции, т е когда собственно и работает теория Френеля-Кирхгофа Получено выражение для поля в случае края, заданного параметрическими уравнениями х -(р(!), у = цА,1) (г е [/0, Т]), которое имеет вид

и = и г

!ехр{'тт Ь» - ■*1 )2+- Й )2

.-г,

2 л-/ [6-

«I

Преимуществом предложенного способа получения граничной волны является то, что в юнговские источники на крае экрана (отверстия) непосредственно преобразуются гюйгенсовские источники самого отверстия, тогда как в классическом варианте используются гюйгенсовские источники конуса, образованного границей «свет-тень» Приведены примеры применения полученного выражения для экранов с различной формой края и их сравнение с известными результатами

В следующем пункте впервые проведено обобщение понятия граничной дифракционной волны на случай многократной дифракции на нескольких препятствиях с произвольной формой краев С этой целью вводится элементарный эффективный коэффициент дифракции (Ю, на элементе края Ш, Записывая волну, рассеянную на элементе первого препятствия в виде

сШ| = и0<Юх £ХР(<^2) г2

где и0 =ехр(гЛг|)//-| - падающая на край сферическая волна, из выражения (3) получим

Щ- 1 Чг сИ,.-.■ 1 ^ ^ (<Р1~У\)А (6)

2Я-7-1+7-2 Р 1 2я-й?,+^2 1

После последовательного повторения процедуры для элемента края каждого препятствия получено выражение для поля многократной дифракции Результирующее поле многократной дифракции имеет вид суммы геометрооптической волны и обобщенной граничной дифракционной волны и№ которая в свою очередь является суммой граничных дифракционных волн различной кратности

+С/1,2Д ,А/. (7)

1=1 ',/=1 т,п,р=\ к/ т<п<р

Каждый член в сумме (7) описывает граничную дифракционную волну соответствующей кратности Например, третий член в (7) дает волну,

рассеянную последовательно всеми элементами dlm, dl„, dlp при последовательном выполнении условий прямой видимости между источником А и элементом dlm, элементами dl,„ и dlm элементами dl„ и dlp, элементом dlp и точкой наблюдения В

П - Г Г ¡eXMrAm+rmn+rnp+rpB§

Umr,p = J J J-EmnpdDAm,fDmnpdDnpB> (8)

L,„ L„Lp rAmrmt/nprpB

где выражения типа rA] и r¡} означают расстояния от точки А до элемента di, и от элемента di, до элемента dl¡, соответственно, обозначение dDAjK

представляет коэффициент дифракции на элементе dlj при распространении сферической волны от точки А до точки В, a dDmnp -коэффициент дифракции на элементе dl„ при распространении от элемента dl,„ до элемента dlp

dD 1 dmndnp <p'n {y„-4¡m„p)-y'„ {(Pn-<P„„p)^

m"P 2л" dmn + d„p (<p„-(p„,„pY+(if„-(pm„pf

~ _ <Pmdnp +<Pp ^mn ~ dmn

Фтпр ~ , ' Wmnp ~ 3 j

^tnn np ®mn ^ np

J

Здесь d,j = ^dq означает расстояние по оси z между í-ым и j-ым

9=Í+1

препятствиями (экранами) Множитель етпр в (8) описывает выполнение условия прямой видимости между соответствующими точками и элементами, он равен единице, когда эти условия выполняются, и нулю в случае их невыполнения Приведены условия отсутствия экранирования луча, распространяющегося между двумя точками, которые могут находиться как на краях препятствий, так и представлять собой месторасположение приемника или передатчика На рис 5 в качестве примера показан процесс распространения волн для случая двух отверстий Так, отрезок АВ показывает распространение прямой волны, ломаные Adl¡B и Adl¡B показывают путь, проходимый волнами, однократно дифрагировавшими на крае первого и второго отверстий соответственно, а ломаная Adl/dl2B - показывает распространение волны, последовательно дифрагировавшей на каждом крае

Рис 5 Распространение граничных волн различной кратности для случая двух отверстий

Таким образом, дифракционное поле за препятствиями имеет вид суммы многократных криволинейных интегралов с максимальной кратностью равной числу препятствий Данный подход позволяет в два раза снизить кратность дифракционного интеграла по сравнению с интегралом, получаемым обычным применением теории Френепя-Кирхгофа В случае препятствий с произвольной формой края, получающиеся интегралы в большинстве случаев невозможно выразить через известные специальные функции Для упрощения вычислений предлагается аппроксимировать край каждого препятствия кусочно-линейной функцией, описывающей его реальный профиль Число звеньев кусочно-линейной функции необходимо выбирать таким образом, чтобы обеспечить необходимую точность расчета Получено выражение для дифракционного коэффициента в этом случае Полное поле в точке наблюдения определяется суммой полей, переизлученных каждым отрезком каждого края В предельном случае, когда края вырождаются в прямые линии, получается решение задачи, рассмотренное в предыдущем параграфе Последнее более удобно для асимптотической оценки при больших закрытиях, так как пределы интегрирования по всем переменным являются бесконечными, и применение метода стационарной фазы в этом случае не вызывает затруднений

Рассмотрены частные случаи применения общей формулы к задачам дифракции на одном и двух препятствиях с кусочно-линейной границей В случае одного препятствия формула совпадает с выражением, полученным ранее с помощью формулы Френеля-Кирхгофа

Проведены экспериментальные исследования дифракции на системе из двух последовательно расположенных круговых и эллиптических отверстий в непрозрачных экранах Измерения проводились на частоте 30

ГГц (длина волны X = 0,01м) На рис 6 показана зависимость относительного уровня поля

12 10 8 6 4 2 0

\и/и0\, дБ

Г ♦*

♦ Эксперимент - — Расчет

й2/Х

0

10 12 14 16

Рис 6 Зависимость уровня поая от расстояния между двумя круговыми отверстиями ¿1=9,¿2+ <Л=18,7Х, радиусы отверстий Л|= /?2=2,5Л.

на оси за двумя круговыми отверстиями одинакового радиуса от расстояния (¡2 между ними, при фиксированном расстоянии до первого На следующем рисунке (рис 7) представлена аналогичная зависимость поперек трассы распространения за двумя одинаковыми эллиптическими отверстиями Приведенные результаты показывают хорошее согласие между экспериментальными и расчетными данными

8 ] \и/иа\, дБ 6

Г

р

к

2

—0-2 9

-4 -6 -8 -10 -12

-Л

4 ^

♦ Эксперимент - - Расчёт

х3 IX

Рис 7 Зависимость уровня поля за двумя эллиптическими отверстиями поперек направления распространения £/|=10Х, с1->=10Х Большая полуось первого и второго

эллипсов А 1=Л2=4Х, малая В,=В2=2Х

Численное моделирование с помощью метода Монте-Карло показывает, что он обеспечивает многократный выигрыш по времени вычислений по сравнению с методом интегрирования по апертурам

В конце главы на основе полученных результатов формулируются выводы

Третья глава посвящена изучению классической задачи дифракции электромагнитных волн на бесконечно протяженной, идеально проводящей ленте, которую обычно относят к числу так называемых эталонных задач теории дифракции

В параграфе 3 1 предлагается модификация теории Френеля-Кирхгофа для решения задачи дифракции электромагнитных волн на идеально проводящей ленте при произвольных углах падения Суть предлагаемого метода состоит в введении двух дополнительных плоскостей 5"| и (рис 8), проходящих через образующие ленты и

параллельных друг другу Согласно принципу Гюйгенса-Френеля поле в точке В определяется суммарным воздействием всех гюйгенсовых источников на 52 В свою очередь поле в текущей точке Рг плоскости 52 равно сумме полей всех гюйгенсовых источников на плоскости 51! с учетом влияния ленты Для учета этого влияния используется принцип зеркального изображения, согласно которому вводится зеркальное изображение Р\ источника Р\

Записывая интеграл Кирхгофа отдельно для части пространства над и под лентой и используя приближение Френеля, получаем выражение для дифракционного поля в приемной точке В Последнее, после

интегрирования по поперечным координатам и ряда упрощений, приводится к следующему виду

110 - поле, которое создает источник в точке В в отсутствии ленты, Ф -коэффициент отражения Коэффициент отражения для идеально проводящей ленты может принимать два значения Ф = -1, когда падающая волна поляризована параллельно краям ленты (горизонтальная поляризация), и Ф = 1 в противоположном случае (вертикальная поляризация) Слагаемые У\ и У2 входящие в формулу выражаются через комбинацию обычных и обобщенных интегралов Френеля, причем слагаемое У\ описывает волны, приходящие в точку В без отражения, а У2 - описывают отраженные от ленты волны Показано, что результирующее поле в итоге имеет вид суммы геометрооптической волны, волн однократной и двукратной дифракции Полученное выражение является равномерным относительно угла падения и удовлетворяет принципу взаимности

На основании формулы (9) получено выражение, описывающее дифракционное поле при скользящем падении волн на ленту Как и следовало ожидать при поляризации, перпендикулярной плоскости ленты, и(В) = и0л е волна не «замечает» ленту Для поляризации, параллельной краям ленты получено следующее простое выражение

Оказывается, что выражение (10) правильно описывает поле как при ширине ленты, стремящейся к нулю (те при с12=0), так и в случае, когда лента занимает все пространство между источником и точкой наблюдения, тогда как теория предполагает, что ширина ленты и расстояния от источника и приемника до краев ленты много больше длины волны

В следующем пункте приведены результаты численного моделирования дифракции волн на ленте при различной поляризации падающего излучения и различных положениях источника Результаты, представленные в виде уровней равного ослабления, показывают, как изменяется поле, рассеянное лентой в зависимости от вышеупомянутых параметров

Последний пункт § 3 1 посвящен экспериментальному исследованию дифракции волн на ленте В начале описывается экспериментальная установка и излагается методика измерений Далее приведены результаты

и(В) = и0-[у]+Ф У2 ехр^оУз/Л)!

(9)

(10)

экспериментов и их сравнение с результатами численных расчетов по полученным формулам На рис 9 представлены результаты измерений на волне длиной 0,03м для ленты шириной 0,085м Из них следует, что при малых углах скольжения теория Френеля-Кирхгофа в своем классическом виде не в состоянии правильно описать дифракцию волн на ленте, тогда как расчет, основанный на предложенной модификации теории, удовлетворительно согласуется с экспериментом

В следующем параграфе 3 2 рассмотренный выше подход применен к решению задачи дифракции электромагнитных волн на щели Рассмотрен общий случай, когда образующие щель полуплоскости не лежат в одной плоскости Получено решение, аналогичное решению (9) для ленты, которое также записывается в виде комбинации обычных и обобщенных интегралов Френеля и описывает различные типы волн, приходящих в точку наблюдения В конце главы на основе полученных результатов формулируются выводы

+-Г

/

/ N

N

\

—

-0,2/ -0,18 -0,15 -0,Т2-/

\

--о-.еб—-однг,"!"' -2 ■

\

\

♦ Эксперимент --Расчет

-----Классическая теория

V

-з -

-4 •

♦

♦ -5

-6 -1

|С//Е/„|,дБ

N

/

—.-.-. ■ о •-г—^

""тг,г)з-е^б-доя-е;Г2 015 о 18 ^21 /

/

у

Рис 9 Уровень поля за лентой шириной 0,085м, угол скольжения

Основные результаты и выводы

1 В приближении Френеля-Кирхгофа решена задача многократной дифракции волн на N последовательно расположенных поглощающих полуплоскостях с произвольно ориентированными краями Показано, что многократный дифракционный интеграл размерностью 2М можно преобразовать в М-кратный интеграл Получены частные решения для случаев двух препятствий с наклонными краями в аналитическом виде Результаты численного

моделирования показали, что взаимный наклон краев препятствий приводит к появлению областей фокусировки и дефокусировки поля

2 Предложен метод описания граничной дифракционной волны в зоне Френеля, основанный на преобразовании поля гюйгенсовских источников на отверстии в непрозрачном экране в поле юнговских источников от краев отверстия На основе полученного решения введено понятие элементарного коэффициента дифракции на крае экрана, описываемого произвольной кусочно-гладкой функцией Полное поле в точке наблюдения записывается в виде криволинейного интеграла по краю (контуру) экрана

3 Проведено обобщение теории граничной дифракционной волны на случай многократной дифракции на N препятствиях Путем последовательного применения элементарного дифракционного коэффициента получена граничная волна многократной дифракции Показано, что результирующее поле имеет вид Л'-к ратного дифракционного интеграла по краям препятствий в отличие от известного 2И кратного интеграла Проведенные экспериментальные исследования подтверждают справедливость предложенного метода, а численное моделирование показывает, что он обеспечивает многократный выигрыш по времени вычислений в сравнении с методом интегрирования по апертурам

4 В рамках теории дифракции Френеля-Кирхгофа разработан новый метод решения задачи дифракции электромагнитных волн на проводящей ленте и щели Данный метод позволяет учесть векторный характер электромагнитной волны и, в отличие от известных методов, применим при произвольной ширине ленты и при произвольных углах падения волны на ленту, включая случай скользящего падения

5 Установлено, что полученное выражение для поля дифракции на ленте имеет ясный физический смысл, являясь суммой геометрооптической волны, волн однократной дифракции и волны двукратной дифракции Полученное решение удовлетворяет принципу взаимности, равномерно относительно угла падения волн на ленту и выражается через известные специальные функции теории дифракции Экспериментальные исследования дифракции волн на проводящей ленте при произвольных углах падения подтверждают эффективность предложенного метода

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах:

1 Дагуров П H Многократная дифракция Френеля-Кирхгофа на полуплоскостях с произвольно ориентированными краями / П H Дагуров, А В Дмитриев // Электромагнитные волны и электронные системы - 2008 - №6 - С 4-11

2 Дагуров П H Применение метода Кирхгофа к задаче дифракции волн на ленте при малых углах скольжения /ПН Дагуров, А В Дмитриев // Письма в ЖТФ - 2005 - Т 31, вып 19 - С 22-27

3 Dagurov PN Multiple Knife-Edge Diffraction by Obstacles With Unparallel Edges / PN Dagurov, AVDmitriev // The 8lh URSI Commission F Tnenmal Open Symposium on Wave Propagation and Remote Sensing Proceedings - Aveiro, Portugal, 1998 - P 75-78

4 Дагуров П H Дифракционное распространение волн на трассах с несколькими препятствиями /ПН Дагуров, А В Дмитриев // XIX Всеросс конф «Распространение радиоволн» Тез докл - Казань, 1999-С 200-201

5 Дмитриев А В Дифракция волн на двух препятствиях с неровными краями / А В Дмитриев // I конференция по фундаментальным и прикладным проблемам физики Тез докл - Улан-Удэ, 1999 - С 5-6

6 Dagurov PN Boundary diffraction wave at multiple kmfe-edge diffraction / PN Dagurov, AV Dmitriev // Proc of ISAP2000, Fukuoka, Japan - 2000, vol 3 - pp 1219-1222

7 Дагуров П H Поле радиоволн на кусочно-регулярных и кусочно-однородных трассах /ПН Дагуров, А В Дмитриев // Вестник ВСГТУ - 2001 - №3 - С 113-117

8 Дмитриев А В Расчет поля земной волны на нерегулярных и неоднородных трассах / А В Дмитриев // Байкальская школа молодых ученых по фундаментальной физике Тез докл - Иркутск, 2001 - С 33-34

9 Дагуров П H Трехмерная модель многократной дифракции на нескольких препятствиях с неровными краями /ПН Дагуров, А В Дмитриев // Труды XX Всеросс Конф по распространению радиоволн - Нижний Новгород, 2002 - С 441-442

10 Дагуров ПН Расчет граничной волны при многократной дифракции / П H Дагуров, А В Дмитриев // Материалы междунар. конф «Современные проблемы физики и высокие технологии» -Томск, 2003 - С 432-435

11 Дагуров П H Применение метода Кирхгофа к задаче дифракции электромагнитных волн на ленте при малых углах скольжения / П H Дагуров, А В Дмитриев // Материалы междунар конф

«Современные проблемы физики и высокие технологии» - Томск, 2003 - С 429-432.

12. ДагуровПН Дифракция Кирхгофа-Френеля на проводящей ленте / П Н Дагуров, А В Дмитриев, Н А Дремухина // Сб докладов III конф по фундаментальным проблемам физики - Улан-Удэ, 2004 -С 100-105

13 Dagurov PN 3D model of multiple diffraction on the obstacles with irregular edges / P N Dagurov, A V Dmitriev // Proc of ClimDiff 2005 -Cleveland, USA - 2005 - ClimDiff 24

14 Dagurov PN Kirchhoff-Fresnel diffraction on a conducting strip / P.N Dagurov, A V Dmitriev // International Seminar «DAYS ON DIFFRACTION'2006» Abstracts - St Petersburg, 2006 - P 24-25

Список цитируемой литературы

1 Epstein J An experimental study of wave propagation at 850 Mc / J Epstein, D W Peterson // IRE - 1953 - vol 41, no 5 - pp 595-611

2 Deygout J Multiple knife-edge diffraction of microwaves / J Deygout // IEEE Trans Antennas Propag - 1966 - AP-14, no 4 - pp 480-489

3 Millmgton G Double knife-edge diffraction in field-strength predictions / G Millmgton, R Hewitt, F S Immirzi // Proc IEE - 1962 - Part C, 109C(507E) - pp 419-429

4 Хомяк E M К дифракции Френеля на п полуплоскостях /ЕМ Хомяк // Радиотехника и электроника- 1968 - Т 13, №9 - С 15491561

5 Vogler L Е An attenuation function for multiple knife-edge diffraction / LE Vogler // Radio Sci - 1982 -vol. 17, no 6- pp 1541-1546

6 Xia H H Diffraction of cylindrical and plane waves by an array of absorbing half-screens / H H Xia, H L Bertom // IEEE Trans Antennas Propag - 1992 - vol 40, no 2-pp 170-177

7 Whitteker J H Evaluationof the field on a uniform array of knife edges using edge reflection / J H Whitteker, Y L Helloco, В Breton // IEEE Trans Antennas Propag - 2007 - vol 55, no 3 - pp 997-999

8 Борн M Основы оптики / M Борн, Э Вольф - М Наука, 1973 - 720 с

Подписано в печать 17 07 2008 Формат 60x84 1/8 Печать офсетная Уел печ л 1,3 Уч -изд л 32,9 Тираж 100 Заказ № 15

Отпечатано в типографии Изд-ва БНЦ СО РАН 670047 г Улан-Удэ, ул Сахьяновой,6

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. Обзор работ по многократной дифракции волн и задаче дифракции на проводящей ленте.

1.1. Многократная дифракция Френеля-Кирхгофа.

1.2. Граничная дифракционная волна.

1.3. Дифракция электромагнитных волн на ленте (щели).

1.4. Вычисление многократных дифракционных интегралов.

Глава 2. Многократная дифракция Френеля-Кирхгофа на препятствиях с произвольной формой краев.

2.1. Дифракция на N полуплоскостях с произвольно ориентированными краями.

2.1.1. Постановка задачи и метод решения.

2.1.2. Частные случаи.

2.1.3. Численные результаты.

2.2. Граничные дифракционные волны при многократной дифракции Френеля-Кирхгофа.

2.2.1 Граничная дифракционная волна при однократной дифракции. Коэффициент дифракции на крае.

2.2.2 Обобщенная граничная волна при многократной дифракции.

2.2.3 Многократная дифракция на препятствиях с кусочно-линейными краями.

2.2.4. Результаты численного и экспериментального моделирования

Глава 3. Дифракция на ленте и щели при произвольных углах падения электромагнитной волны.

3.1. Дифракция на ленте.

3.1.1 Постановка задачи и метод решения.

3.1.2 Анализ полученного решения, частные случаи.

3.1.3. Численные результаты.

3.1.4. Экспериментальное исследование дифракции волн на ленте.

Сравнение теоретических и экспериментальных результатов.

3.2. Дифракция на щели.

3.2.1 Постановка задачи и метод решения.

3.2.2 Анализ полученного решения и численные результаты.

Для решения многих задач распространения, дифракции и рассеяния волн различной природы, не имеющих строгих решений, широко используется теория дифракции Френеля-Кирхгофа, а также связанные с ней методы Кирхгофа и физической оптики. Привлекательная особенность теории заключается в том, что решение сразу можно записать в виде дифракционного интеграла, а сам подход к решению достаточно прост и нагляден. Несмотря на приближенность теории Френеля-Кирхгофа, многочисленные эксперименты показали, что она надежно работает, если размеры объектов, на которых происходит дифракция, велики по сравнению с длиной волны и углы дифракции малы.

В последнее время в связи с бурным развитием сотовой связи и беспроводных систем телекоммуникаций и информатики увеличился интерес к применению многократной дифракции Френеля-Кирхгофа в задачах распространения радиоволн на трассах с естественными препятствиями и в городской застройке. Впервые многократная дифракция рассматривалась в работе [1] применительно к расчету множителя ослабления на трассах с несколькими клиновидными препятствиями. В ней был предложен эвристический метод, в котором общий множитель ослабления поля радиоволн находился как произведение множителей ослабления на отдельных препятствиях, полученных из решения задачи однократной дифракции Френеля. Позднее был предложен другой метод [2], также использующий комбинацию множителей ослабления отдельных препятствий. Эти методы ввиду своей простоты до сих находят применение для оценки поля на трассах с несколькими препятствиями. Впервые строго (в смысле дифракции Френеля) многократная дифракция была рассмотрена в [3] для случая двух препятствий в виде поглощающих полуплоскостей с параллельными краями, и решение было представлено в виде суммы специальных функций - обобщенных интегралов Френеля. В последующих работах была рассмотрена задача дифракции на N полуплоскостях, которая после последовательного применения интегральных формул Гельмгольца-Кирхгофа или Релея-Зоммерфельда ко всем апертурам и применения многомерного метода стационарной фазы сводится к iV-кратному дифракционному интегралу [4-7]. Были получены решения для асимптотических случаев. В дальнейшем в связи с развитием вычислительной техники был разработан ряд алгоритмов расчета дифракционных интегралов.

Все рассмотренные задачи относятся к случаю, когда края препятствий являются прямыми линиями, параллельными друг другу, что позволяет осуществить интегрирование по поперечным координатам. На практике края препятствий могут быть непараллельными друг другу или в общем случае иметь какую-либо другую форму, например, характерных для оптики круговых отверстий. Многократные дифракционные интегралы при этом будут иметь размерность 2N, и для больших N расчет оказывается затруднительным. Вследствие этого возникает задача уменьшения размерности этих интегралов. Однако до настоящего времени такие задачи практически не рассматривались в литературе. Метод граничной дифракционной волны [8], в развитие которого внесли вклад Юнг, Магги, Рабинович и другие исследователи и который позволяет уменьшить размерность дифракционных интегралов, не был обобщен на случай многократной дифракции. Также в рамках теории Френеля-Кирхгофа не имела решения относящаяся к классу эталонных задач проблема рассеяния электромагнитных волн на проводящей ленте при произвольной ширине ленты и произвольных углах падения, при рассмотрении которой необходимо учитывать многократную дифракцию.

Таким образом, является актуальным дальнейшее развитие теории Френеля-Кирхгофа с целью расширения пределов ее применимости и разработки эффективных методов расчёта дифракционных полей.

Целью работы является дальнейшее развитие теории Френеля-Кирхгофа для решения задач многократной дифракции. Эта цель достигается как обобщением теории, так и решением некоторых новых задач распространения и дифракции волн, связанных между собой общностью метода решения. Более конкретно, для достижения цели ставятся следующие задачи:

• исследовать задачу многократной дифракции волн на нескольких полуплоскостях с произвольно ориентированными ровными краями;

• получить и исследовать обобщенную граничную волну для решения задачи многократной дифракции на последовательно расположенных экранах (отверстиях) с произвольной формой краев;

• используя метод многократной дифракции Френеля-Кирхгофа решить задачу дифракции на проводящей ленте (щели) при произвольной ширине ленты и произвольных углах падения электромагнитной волны на неё.

Диссертация изложена на 111 страницах машинописного текста, иллюстрируется 35 рисунками и графиками, состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы из 106 наименования.

Выводы к главе 3

1. В рамках теории дифракции Френеля-Кирхгофа разработан новый метод решения задачи дифракции электромагнитных волн на проводящей ленте и щели. Данный метод позволяет учесть векторный характер электромагнитной волны и, в отличие от известных методов, применим при произвольной ширине ленты и при произвольных углах падения волны на ленту, включая случай скользящего падения.

2. Установлено , что полученное выражение для поля дифракции на ленте имеет ясный физический смысл, являясь суммой геометрооптической волны, волн однократной дифракции и волны двукратной дифракции. Полученное решение удовлетворяет принципу взаимности, равномерно относительно угла падения волн на ленту и выражается через известные специальные функции теории дифракции.

3. Экспериментальные исследования дифракции волн на проводящей ленте при произвольных углах падения подтверждают эффективность предложенного метода.

97

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Резюмируя результаты работы, можно сделать следующие выводы.

В приближении Френеля-Кирхгофа решена задача многократной дифракции волн на N последовательно расположенных поглощающих полуплоскостях с произвольно ориентированными краями. Показано, что многократный дифракционный интеграл размерностью 2N можно преобразовать в ./V-кратный интеграл. Получены частные решения для случаев двух препятствий с наклонными краями в аналитическом виде. Результаты численного моделирования показали, что взаимный наклон краев препятствий приводит к областям фокусировки и дефокусировки поля.

Предложен метод описания граничной дифракционной волны в зоне Френеля, основанный на преобразовании поля гюйгенсовских источников на отверстии в непрозрачном экране в поле юнговских источников от краев отверстия. На основе полученного решения введено понятие элементарного коэффициента дифракции на крае экрана, описываемого произвольной кусочно-гладкой функцией. Полное поле в точке наблюдения записывается в виде криволинейного интеграла по краю (контуру) экрана.

Проведено обобщение теории граничной дифракционной волны на случай многократной дифракции на N препятствиях. Путем последовательного применения элементарного дифракционного коэффициента получена граничная волна многократной дифракции. Показано, что результирующее поле имеет вид /^-кратного дифракционного интеграла по краям препятствий в отличие от известного 2N кратного интеграла. Проведённые экспериментальные исследования подтверждают справедливость предложенного метода, а численное моделирование показывает, что он обеспечивает многократный выигрыш по времени вычислений в сравнении с методом интегрирования по апертурам.

В рамках теории дифракции Френеля-Кирхгофа разработан новый метод решения задачи дифракции электромагнитных волн на проводящей ленте и щели. Данный метод позволяет учесть векторный характер электромагнитной волны и, в отличие от известных методов, применим при произвольной ширине ленты и при произвольных углах падения волны на ленту, включая случай скользящего падения.

Установлено, что полученное выражение для поля дифракции на ленте имеет ясный физический смысл, являясь суммой геометрооптической волны, волн однократной дифракции и волны двукратной дифракции. Полученное решение удовлетворяет принципу взаимности, равномерно относительно угла падения волн на ленту и выражается через известные специальные функции теории дифракции. Экспериментальные исследования дифракции волн на проводящей ленте при произвольных углах падения подтверждают эффективность предложенного метода.

99

1. Epstein J. An experimental study of wave propagation at 850 Mc / J.Epstein, D.W.Peterson// 1.E.- 1953.-vol. 41, no. 5.-pp. 595-611.

2. Deygout J. Multiple knife-edge diffraction of microwaves / J.Deygout // IEEE Trans. Antennas Propag.- 1966.- AP-14, no. 4,- pp.480-489.

3. Millington G. Double knife-edge diffraction in field-strength predictions / G. Millington, R. Hewitt, F.S. Immirzi // Proc. IEE.- 1962.- Part C, 109C(507E).-pp. 419-429.

4. Хомяк E.M. К дифракции Френеля на п полуплоскостях / Е.М. Хомяк // Радиотехника и электроника.- 1968.- Т. 13, №9.- С. 1549-1561.

5. Vogler L.E. An attenuation function for multiple knife-edge diffraction / L.E. Vogler//Radio Sci.- 1982.-vol. 17, no 6.-pp. 1541-1546.

6. Xia H.H. Diffraction of cylindrical and plane waves by an array of absorbing half-screens / H.H. Xia, H.L. Bertoni // IEEE Trans. Antennas Propag.- 1992.-vol. 40, no. 2.-pp. 170-177.

7. Whitteker J.H. Evaluationof the field on a uniform array of knife edges using edge reflection / J.H.Whitteker, Y.L. Helloco, B. Breton // IEEE Trans. Antennas Propag.- 2007.- vol. 55, no. 3.- pp. 997-999.

8. Борн M. Основы оптики / M. Борн, Э. Вольф.- М.: Наука, 1973.- 720 с.

9. Зоммерфельд А. Оптика / А. Зоммерфельд. М.: ИЛ, 1953.- 486 с.

10. Гудмен Дж. Введение в фурье-оптику / Дж. Гудмен.- М.: Мир, 1970.- 364 с.

11. Wolf Е. Comparison of the Kirchhoff and the Rayleigh-Sommerfeld theories of diffraction at an aperture / E. Wolf, E.W. Marchand // J. Opt. Soc. Am.-1964.- vol. 54, no. 5,- pp. 587-594.

12. Федорюк M.B. Метод перевала / M.B. Федорюк.- М.: Наука, 1977.- 368 с.

13. Furutsu К. On the theory of radio wave propagation over inhomogeneous earth / K. Furutsu // J. Res. Natl. Bur. Stan. D.- 1963.- vol. 67D.- pp. 39-62.

14. Furutsu К. A systematic Theory of Wave Propagation Over Irregular Terrain / K. Furutsu // Radio Sci.- 1982,- vol. 17, no. 5.- pp. 1037-1050.

15. Хомяк E.M. Дифракция радиоволн на горах / Е.М. Хомяк // Распространение ультракоротких волн в гористой местности.- Улан-Удэ, 1968.- С.3-29.

16. Whitteker J.H. Fresnel-Kirchhoff theory applied to terrain diffraction problems / J.H.Whitteker// Radio Sci.- 1990.- vol. 25, no 5.- pp. 837-851.

17. Whitteker J.H. Near-field ray calculation for multiple knife-edge diffraction / J.H.Whitteker// Radio Sci.- 1984.- vol. 19, no 4.- pp. 975-986.

18. Pogorzelski R.J. A note on some common diffraction link loss models / R.J.Pogorzelski // Radio Sci.- 1982.- vol. 17, no 6.- pp.1536-1540.

19. Walfisch J. A theoretical model of UHF Propagation in urban Environments / J. Walfisch, H.L. Bertoni // IEEE Trans. Antennas Propag.- 1988.- vol. 36, no. 12.- pp. 1788-1796.

20. Saunders S.R. Explicit multiple building diffraction attenuation function mobile radio wave propagation / S.R. Saunders, F.R. Bonar // Electronic Letters.- 1991.- vol. 27, no. 14.- pp. 1276 1277.

21. Xia H.H. Diffraction of cylindrical and plane waves by an array of absorbing half-screens / H.H. Xia, H.L. Bertoni // IEEE Trans. Antennas Propag.- 1992.-vol. 40, no. 2.-pp. 170-177.

22. Russel T.A. A deterministic approach to predicting microwave diffraction by building of microcellular systems. / T.A. Russel, C.W. Bostain, T.S. Rappoport // IEEE Trans. Antennas Propag.- 1993.- vol. 41, no. 12.- pp. 16401649.

23. Savov S.V. Efficient method for calculation of Fresnel double integral / S.V. Savov, J.B. Andersen // Electronic Letters.- 1995.- vol. 31, no. 6.- p. 435 437

24. Tzaras C. Rapid, uniform computation of multiple knife-edge diffraction. / C.Tzaras, S.R. Saunders // Electron. Lett.- 1999.- vol. 35, no. 3.- pp. 237-239.

25. Mokhtari H. A comprehensive double knife-edge diffraction computation method based on the complete Fresnel theory and a recursive series expansionmethod / H. Mokhtari // IEEE Trans. Veh. Tech.- 1999.- vol. 48, no. 2.- p. 589 -592

26. Nastachenko A.S. Asymptotic solution and factorization for multiple half-plane diffraction / A.S. Nastachenko // Electronic Letters.- 2000.- vol. 36, no. 21.-pp. 1754- 1756.

27. Tzaras C. Comparison of multiple-diffraction models for digital broadcasting coverage prediction / C.Tzaras, S.R. Saunders // IEEE Trans. Broadcasting.2000.- vol. 46, no. 3.- pp. 221 226.

28. Xiongwen Zhao Multipath propagation study combining terrain diffraction and reflection. / Xiongwen Zhao, P. Vainikainen // IEEE Trans. Antennas Propag.- 2001.- vol: 49, no. 8.- pp. 1204 1209.

29. Whitteker J.H. A generalized solution for diffraction over a uniform array of absorbing half-screens / J.H.Whitteker // IEEE Trans. Antennas Propag.2001.- vol. 49, no. 6.- pp. 934-938.

30. Savov S.V. Attenuation of waves behind a building. / S.V. Savov, J.H. Whitteker, R. Vasilev // IEE Proceedings Microwaves, Antennas and Propagation.- 1999.- vol: 146, no: 2,- p. 145-149.

31. Wei Zhang A practical aspect of over-rooftop multiple-building forward diffraction from a low source. / Wei Zhang; J. Lahteenmaki, P. Vainikainen // IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility.- 1999,- vol. 41, no. 2.-p. 115-119.

32. Xia H.H. A simplified analytical model for predicting path loss in urban and suburban environments / H.H. Xia // IEEE Trans. Veh. Tech.- 1997.- vol: 46, no. 4,-p. 1040- 1045.

33. Constantinou C.C. Urban radiowave propagation: A 3-D path-integral wave analysis / C.C. Constantinou, L.C. Ong // IEEE Trans. Antennas Propag.-1998.- vol: 46, no. 2.- p. 211 217.

34. Constantinou C.C. Evaluation of multiple diffraction integrals: computation speed and accuracy consideration / C.C. Constantinou, L.C. Ong // IEEE Proc. Microw. Antennas Propag.- 1997.- vol: 144, no. 1.- p. 35 41.

35. Parsons J.D. The mobile radio propagation channel / J.D. Parsons.- London: John Wiley and Sons LTD, 2000.- 413 p.

36. Chung H.K. Range-dependent path-loss model in residential area for the VHF and UHF bands / H.K. Chung, H. Bertoni // IEEE Trans. Antennas Propag.-2002.-vol: 50, no. l.-p. 1- 11.

37. Whitteker J.H. Evaluationof the field on a uniform array of knife edges using edge reflection / J.H.Whitteker, Y.L. Helloco, B. Breton // IEEE Trans. Antennas Propag.- 2007.- vol. 55, no. 3.- pp. 997-999.

38. Fresnel-Kirchhoff integral for 2-D and 3-D path loss in outdoor urban environments. / Ying Xu, Qiwu Tan, D. Erricolo, P.L.E. Uslenghi // IEEE Trans. Antennas Propag.- 2005.- vol: 53, no. 11.- p. 3757 3766.

39. Maggi G.A. Sulla propagaxione libera e perturbato delle onde luminose in un mezzo isotropo. / G.A. Maggi // Ann. Math.- 1888.- vol. 16.- pp. 21-48.

40. Rubinowicz A. Die Beugungswelle in der Kirchhoffschten Theorie der Beugungserschinungen / A. Rubinowicz // Ann Physik.- 1917.- vol. 53, pp. 257-258.

41. Солимено С. Дифракция и волноводное распространение оптического излучения / С. Солимено, Б. Крозиньяни, П. Ди Порто.- М.: Мир, 1989.664 с.

42. Miyamoto К. Generalization of the Maggi-Rubinowicz theory of the boundary diffraction wave. Part I-II. / K. Miyamoto, E. Wolf // J. Opt. Soc. Am.- 1962.- vol. 52, no. 6.- pp. 615-637.

43. Marchand E.W. Boundary diffraction wave in the domain of the Rayleigh-Kirchhoff diffraction theory / E.W. Marchand, E. Wolf // J. Opt. Soc. Am.-1962.- vol. 52, no. 7.- pp. 761-767.

44. Diffracted waves in the shadow boundary region / G. Otis, J.L. Lachambre, J.W.Y. Lit and P. Lavigne // J. Opt. Soc. Am.- 1977.- vol. 67, no. 4.- pp. 551553.

45. Asvestas J.S. The physical optics field of an aperture on a perfectly conducting screen in terms of line integrals / J.S. Asvestas // IEEE Trans. Antennas Propag.- 1986.- vol. 34, no. 9.- pp. 1115 1159.

46. Ganci S. An experiment on the physical reality of edge-diffracted waves / S. Ganci // Am. J. Phys.- 1989.- vol. 57.- pp. 370-373.

47. Anokhov S.P. New interpretation of the boundary diffracted wave origin /S.P. Anokhov // Semiconductor Physics, Quantum Electronics & Optolectronics.-2000.- vol. 3, no. 2,- pp. 254-257.

48. Langlois P. Simultaneous laser beam profiling and scaling using diffraction edge wave (DEW) / P. Langlois, R.A. Lessard // Proc SPIE.- 1986.- vol. 661, pp. 315-321.

49. Polyanskii P.V. Young hologram a fifth type of hologram / P.Y. Polyanskii, G.Y. Polyanskaya // J. Opt. Technol.- 1997.- vol. 64, pp. 321-330.

50. Structure of an edge-dislocation wave originating in plane-wave diffraction by a half-plane / A.I. Khizhnyak, S.P. Anokhov, R.A. Lymarenko, M.S. Soskin, M.V. Vasnetsov // J. Opt. Soc. Am. A.- 2002.- vol. 17, pp. 2199-2207.

51. Gordon B.G. Reduction of surface integrals to contour integrals / B.G. Gordon, Bilow H.J. // IEEE Trans. Ant. Prop.- 2002.- vol. 50, no. 3.- pp. 308 -311.

52. Knife-edge diffraction pattern as an interference phenomenon: An experimental reality. / R. Kumara, S.K. Kauraa, A.K. Sharmaa and others // Optics & Laser Technology.- 2007.- vol. 39, no. 2.- pp. 256-261.

53. Direct visualization of Young's boundary diffraction wave / R. Kumara, S. K. Kauraa, D.P. Chhachhiaa, A.K. Aggarwal // Optics Communications.- 2007.-vol. 276, no 1.- pp. 54-57.

54. Liu P. Diffraction of spherical waves at an annular aperture in the use of the boundary diffraction wave theory: a comparison of different diffraction integral approaches / P. Liu, B. Lu // Optik.- 2005.- vol. 116, pp. 449 453.

55. Sieger В. Die Beugung einer ebenen elektrischen Welle an einem Schirm von elliptischem Querschnitt / B. Sieger // Annalen der Physik.- vol. 332, Issue 13.- pp.626-664.

56. P.M. Morse The diffraction of waves by ribbons and by slits / Morse P.M., Rubenstein P.J. // Phys. Rev.- 1938.- vol. 54.- pp.895-898.

57. Мак-Лахлан H.B. Теория и приложение функций Матье / Н.В.Мак-Лахлан.- М.: И.Л.- 1953.- 476 с.

58. Морс Ф.М. Методы теоретической физики. Т.2 / Ф.М. Морс, Г. Фешбах.-М.:И.Л.- I960.- 886 с.

59. Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма / Дж.А. Стрэттон.- М.: ОГИЗ.- 1948.- 539.

60. Yu J-S. On higher order diffraction concepts applied to a conducting strip / J

61. Yu, R.C. Rudduk // IEEE Trans. Antennas Propag.- 1967.- vol. 15, no. 5.-pp. 662 668.

62. Stamnes J.J. Exact two-dimensional scattering by perfectly reflecting elliptical cylinders, strips and slits / J.J. Stamnes // Pure Appl. Opt.- 1995.- vol. 4, no.6.- pp. 841-855/

63. Stamnes J.J. Exact and approximate solutions for focusing of two-dimensional waves. I. Theory / J.J.Stamnes, H.A.Eide // JOSA A.- 1998.- vol. 15, no. 5.-pp. 1285-1291.

64. Eide H.A. Exact and approximate solutions for focusing of two-dimensional waves. II. Numerical comparisons among exact, Debye, and Kirchhoff theories / H.A.Eide, J.J.Stamnes // JOSA A.- 1998.- vol. 15, no. 5.- pp.12921307.

65. Eide H.A. Exact and approximate solutions for focusing of two-dimensional waves. III. Numerical comparisons between exact and Rayleigh-Sommerfeld theories / H.A.Eide, J.J.Stamnes // JOSA A.- 1998.- vol. 15, no. 5.- pp.13081319.

66. Шанин А.В. К задаче о дифракции на щели. Некоторые свойства ряда Шварцшильда / А.В. Шанин // Записки научных семинаров ПОМИ.-2001.- Т.275.- С.258-285.

67. Нефедов Е.И. Асимптотическая теория дифракции электромагнитных волн на конечных структурах / Е.И.Нефедов, А.Т.Фиалковский.- М.: Наука, 1972.- 204 с.

68. Хаскинд М.Д. Дифракция плоских волн на щели и ленте / М.Д.Хаскинд, Л.А.Вайнштейн // Радиотехника и электроника.- 1964.- № 10.- С.1800-1811.

69. Гринберг Г.А. О дифракции электромагнитных волн на полосе конечной ширины / Г.А.Гринберг // ДАН СССР.- 1959,- Т. 129, №2.- С.295-298.

70. Саутбеков С.С. Ещё раз о дифракции на ленте и щели: метод Винера-Хопфа-Фока / С.С.Саутбеков // Радиотехника и электроника.- 2000.-Т.45, №10.- С.1202-1209.

71. Nye J.F. Numerical solution for diffraction of an electromagnetic wave in a perfectly conducting screen / J.F. Nye // Proc. R. Soc. Lond. A.- 2002.- vol. 458.- pp.401-427.

72. Эминов С.И. Обоснование метода моментов в теории дифракции / С.И.Эминов // Письма в ЖТФ.- 2003.- Т.29, №16.- С.80-88.

73. Уфимцев П.Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции / П.Я.Уфимцев.- М.: Сов. Радио, 1962.- 244 с.

74. Уфимцев П.Я. Асимптотическое исследование задачи о дифракции на ленте / П.Я.Уфимцев // Радиотехника и электроника.- 1969.- Т. 14, №7.-С. 1173- 1185.

75. Уфимцев П.Я. Асимптотическое решение задачи о дифракции на ленте в случае граничных условий Дирихле / П.Я.Уфимцев // Радиотехника и электроника.- 1970.- Т. 15, №5.- С. 914 923.

76. Ломухин Ю.Л. Ослабление волн, скользящих вдоль плоского экрана / Ю.Л.Ломухин; Изв. Вузов «Радиофизика» №3.- 1988,. Деп. в ВНТИИ 27.01.88, №743-886.

77. Горгошидзе А.Н. Эталонные расчеты и оценка некоторых приближенных решений для задачи о дифракции на ленте / А.Н.Горгошидзе // Радиотехника и электроника.- 1975.- №7.- С.1354-1361.

78. Senior Т.В.А. Comparison between Keller's and Ufimtsev's theories for the strip / T.B.A.Senior, P.L.E.Uslenghi // IEEE Trans. Antennas Propag.- 1971.-vol. 19, no. 4.- pp. 557- 558.

79. Lee S.W. Path integrals for solving some electromagnetic edge diffraction problems / S.W. Lee // J. Math. Phys.- 1978.- vol. 19, no. 6.- pp. 1414-1422.

80. Haber S. Numerical Evaluation of Multiple Integrals /S. Haber // SIAM Rev.-1970.- vol. 12, pp. 481 -526.

81. Каханер Д. Численные методы и программное обеспечение /Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш.- М.: Мир, 2001.- 575 с.

82. Sadiku M.N.O. Numerical methods in electromagnetic (2nd ed.) / M.N.O. Sadiku.- CRC Press, 2001.- 750 p.

83. Бахвалов H.C. Численные методы / H.C. Бахвалов, Н.П. Жидков, Кобельков Г.М.- М.: Бином. Лаборатория знаний, 2006.- 636 с.

84. Hahn Т. CUBA a library for multidimensional numerical integration / Т. Hahn // Computer Physics Communications.- 2005.- vol. 168, pp. 78 - 95.

85. Hahn T. The CUBA library / T. Hahn // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research A.- 2006.- vol. 559, pp. 273 278.

86. Hahn T. Cuba a library for multidimensional numerical integration Электрон, ресурс. / Т. Hahn. - 2008. - Режим доступа: http ://www. feynarts. de/cuba

87. GSL GNU Scientific Library Электрон, ресурс. - Режим доступа: http:// www.gnu.org/software/gsl

88. Galassi M. GNU scientific library. Reference manual Электрон, ресурс. / M. Galassi, J. Davis, J. Theiler and others.- Режим доступа: http://www.network-theory.co.uk/gsl/manual/

89. Дагуров П.Н. Многократная дифракция Френеля-Кирхгофа на полуплоскостях с произвольно ориентированными краями/ П.Н.Дагуров, А.В.Дмитриев // Электромагнитные волны и электронные системы.-2008.- №6

90. Dagurov P.N. Multiple Knife-Edge Diffraction by Obstacles With Unparallel Edges / P.N. Dagurov, A.V.Dmitriev // The 8th URSI Commission F Triennial Open Symposium on Wave Propagation and Remote Sensing: Proceedings.-Aveiro, Portugal, 1998.-P.75-78.

91. Дагуров П.Н. Дифракционное распространение волн на трассах с несколькими препятствиями / П.Н.Дагуров, А.В.Дмитриев // Труды XIX Всеросс. конф. по распространению радиоволн.- Казань.- 1999.- С.200-201.

92. Курош А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош.- М.: Наука, 1968.- 431 с.

93. Каратыгин В.А. Метод стационарной фазы для двойного интеграла с произвольно расположенной точкой стационарной фазы / В.А. Каратыгин, В.А. Розов // Журнал вычислительной математики и мат. Физики.- 1972.- Т.12, №6.- С.1381-1405.

94. Чимитдоржиев Н.Б. Распространение и регулирование дифракционных УКВ полей / Н.Б. Чимитдоржиев, П.Н. Дагуров, Ю.Л. Ломухин.-Новосибирск: Наука, 1987.- 152 с.

95. Дагуров П.Н. Модель многолучевого дифракционного распространения УКВ / П.Н. Дагуров, А.С. Заяханов, Н.Б. Чимитдоржиев // Радиотехника и электроника.- 1994.- Т.20. №2.- С. 199-207.

96. Dagurov P.N. Boundary diffraction wave at multiple knife-edge diffraction / P.N. Dagurov, A.V. Dmitriev // Proc. of ISAP2000, Fukuoka, Japan.- 2000, vol. 3.-pp. 1219-1222.

97. Дагуров П.Н. Расчет граничной волны при многократной дифракции / П.Н.Дагуров, А.В.Дмитриев // Материалы междунар. конф. «Современные проблемы физики и высокие технологии».- Томск, 2003.-С.432-435

98. Dagurov P.N. 3D model of muitt^rTdiffraction on the obstacles with irregular edges / P.N.Dagurov, A.V.Dmitriev // Proc. of ClimDiff 2005.- Cleveland, USA.- 2005.- ClimDiff.24

99. Дмитриев A.B. Дифракция волн на двух препятствиях с неровными краями / А.В.Дмитриев // I конференция по фундаментальным и прикладным проблемам физики: Тез. докл.- Улан-Удэ, 1999.- С.5-6.

100. Дагуров П.Н. Трехмерная модель многократной дифракции на нескольких препятствиях с неровными краями / П.Н.Дагуров, А.В.Дмитриев // Труды XX Всеросс. конф. по распространению радиоволн.- Нижний Новгород, 2002.- С.441-442.

101. ЮО.Хёнл X. Теория дифракции / X. Хёнл, А. Мауэ, К. Вестпфаль.- М.: Мир, 1964.- 428 с.

102. Ахманов С.А. Физическая оптика. / С.А. Ахманов, С.Ю. Никитин.- М.: МГУ, Наука. 2004.- 656 с.

103. Дагуров П.Н. Применение метода Кирхгофа к задаче дифракции электромагнитных волн на ленте при малых углах скольжения / П.Н.Дагуров, А.В.Дмитриев // Материалы междунар. конф. «Современные проблемы физики и высокие технологии».- Томск, 2003,-С.429-432.

104. Дагуров П.Н. Дифракция Кирхгофа-Френеля на проводящей ленте. / П.Н.Дагуров, А.В.Дмитриев, Н.А.Дремухина // Сб. докладов III конф. по фундаментальным проблемам физики.- Улан-Удэ, 2004.- С.100-105.

105. Дагуров П.Н. Применение метода Кирхгофа к задаче дифракции волн на ленте при малых углах скольжения / П.Н.Дагуров, А.В.Дмитриев // Письма в ЖТФ.- 2005.- Т.31, вып. 19.- С.22-27.

106. Dagurov P.N. Kirchhoff-Fresnel diffraction on a conducting strip / P.N.Dagurov, A.V.Dmitriev // International Seminar «DAYS ON DIFFRACTION'2006»: Abstracts.- St. Petersburg, 2006.- P.24-25.

107. Юб.Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С.Градштейн, И.М.Рыжик.- М.: Физматгиз, 1962.- 1100 с.