Многоквантовая динамика ЯМР в дипольно-упорядоченных и неоднородных спиновых системах в твёрдых телах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.17 ВАК РФ

□03493314

На правах рукописи

Кузнецова Елена Игоревна

Многоквантовая динамика ЯМР в дипольно-упорядоченных и неоднородных спиновых системах в твёрдых телах

01.04.17 - химическая физика, в том числе физика горения и взрыва

АВТОРЕФЕРАТ диссертации иа соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

11 мар гт

Черноголовка - 2010

003493314

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте проблем химической физики РАН.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Защита состоится « онного Совета Д 002.082.01 жеином по адресу: Ц2432, Семёнова, д. 1, корпус 1/2,

доктор физико-математических наук, Фельдман Эдуард Бенъяминович.

доктор физико-математических паук, профессор, Ацаркцн Вадим Александрович, Институт радиотехники и электроники им. В.А. Ко-тельникова РАН.

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, Лундин Андрей Арнольдович, Институт химической физики им. H.H. Семёнова РАН.

'Институт общей и неорганической химии имени Н.С. Курнакова РАН.

. 2010 г. в.

. часов на заседании диссертаци-

при Институте проблем химической физики РАН, располо-Московская обл., г. Черноголовка, проспект академика H.H. актовый зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем химической физики РАН.

2 к .. ст&глсоЯ,

Автореферат разослан «J

>2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, канд. физ.-мат. наук

Безручко Г.С.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Многоквантовая (МК) динамика взаимодействующих ядерных спинов является теоретической основой МК спектроскопии ЯМР в твердом теле [1], в рамках которой развились мощные методы для изучения распределения ядерных спинов в различных системах (например, в жидких кристаллах [2], в органических соединениях [1], в аморфном гидрогенизировашюм кремнии [3] и т.д.). В ряде случаев удается определить с помощью МК ЯМР число ядерных спинов в примесных кластерах [4], увеличить информативность релаксационных методов и упростить обычные спектры ЯМР [о]. МК ЯМР широко используется для изучения роста многоспиновых кластеров [б, 7] в процессе облучения системы периодической последовательностью резонансных ВЧ импульсов на подготовительном периоде МК эксперимента ЯМР [1]. Уникальные возможности МК ЯМР для изучения динамики ишогосяшювых кластеров используются для измерения скорости декогеренции сильно коррелированных спиновых состояний [8, 9|. В частности, удалось найти зависимость скорости декогеренции от числа спинов в кластере [8], что важно для решения вопроса о принципиальной возможности создания квантовых компьютеров [10].

Хотя экспериментальные методы МК ЯМР к настоящему времени хорошо разработаны, теория МК ЯМР еще далека от завершения. Феноменологическая теория МК экспериментов ЯМР [1], построенная практически одновременно с созданием экспериментальных методов МК спектроскопии ЯМР в твердом теле, фактически сводит МК динамику к комбинаторной задаче, оставляя в стороне квантово-механический аспект проблемы. Единственным исключением является МК динамика ЯМР одномерных систем (цепочек, колец), где в приближении взаимодействий ближайших соседей удалось найти точное кван-тово-механическое решение задачи [11-13]. Эта теория предсказывает появление в МК эксперименте ЯМР только МК когерентностей нулевого и плюс/минус второго порядков. МК когерентности высших порядков удается получить численными методами с использованием алгоритмов распараллеливания на суперкомпьютере [14[.

Развитые аналитические методы МК динамики ЯМР одномерных систем [11-13] применимы к исследованию однородных систем, когда расстояния между всеми спинами цепочки (кольца) одинаковы и внешнее магнитное поле однородно. Исследование неоднородных одномерных систем, когда расстояния между разными спинами различны и исследуемый образец помещен в неоднородное магнитное поле расширяет возможности МК спектроскопии ЯМР как для решения различных физико-химических задач, так и для

решения задач квантовой теории информации. В неоднородных системах появляется возможность решить проблему адресации различных кубитов [15], организовать передачу квантового состояния в цепочках с ббльшим числом кубитов, чем в однородном случае, создать запутанные состояния концевых спинов в длинных цепочках [16], организовать неидеальный (с большой вероятностью) перенос квантовых состояний между различными узлами цепочки [А2].

Методы МК динамики развивались для многоспиновых систем, которые первоначально находились в состоянии термодинамического равновесия во внешнем магнитпом поле. В этом случае в начальный момент времени в системе возникала только МК когерентность нулевого порядка. МК когерентности высших порядков возникали при больших временах облучения системы периодической последовательностью резонансных высокочастотных (ВЧ) импульсов, что создает значительные экспериментальные проблемы. В то же время современные методы магнитного резонанса дают возможность в качестве начального состояния МК эксперимента ЯМР использовать дипольно упорядоченное состояние [17, 18], позволяющее создать корреляции спинов, необходимые для формирования МК когерентностей высокого порядка, уже на малых временах и ведущих к появлению МК когерентностей еще больших порядков значительно раньше, чем это происходит в обычных МК экспериментах ЯМР [1].

Целью диссертационной работы является разработка методов многоквантовой динамики ЯМР в неоднородных одномерных системах взаимодействующих ядерных спинов, применение этих методов в задачах квантовой теории информации, создание методов многоквантовой динамики ЯМР в системах, находящихся в дипольно-упорядоченном состоянии.

Научная новизна: Впервые удалось аналитически диагонализовать гамильтониан, описывающий многоквантовую динамику в открытой альтернированной цепочке с конечным числом спинов (б=1/2) в приближении взаимодействий ближайших соседей (многоквантовый ХУ-гамильтониан). Впервые исследована многоквантовая динамика ЯМР и перенос квантового состояния в открытой конечной альтернированной спиновой цепочке в приближении взаимодействий ближайших соседей с использованием найденного спектра гамильтониана такой цепочки. Впервые изучена многокваитовая динамика ЯМР в системах в дипольно-упорядоченном состоянии.

Практическая значимость: Разработанные теоретические методы многокваито-

вой динамики ЯМР могут использоваться для интерпретации многоквантовых экспериментов ЯМР и получения структурной и динамической информации при исследовании твердотельных объектов, предложенные методы многоквантового ЯМР для исследования дипольно-упорядоченных систем позволят сократить время проведения эксперимента и усилить сигналы от многоквантовых когерентностей высоких порядков.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Разработка метода диагонализации многоквантового гамильтониана открытых альтернированных спиновых цепочек в приближении взаимодействий ближайших соседей. Получение аналитических выражений для уровней энергии и собственных состояний этого гамильтониана.

2. Исследование многоквантовой динамики ЯМР в открытых альтернированных спиновых цепочках и вычисление интенсивностей возникающих многоквантовых когерентностей.

3. Разработка метода переноса квантового состояния между концами открытой альтернированной спиновой цепочки с большой вероятностью.

4. Установление связи между дипольной температурой и интенсивностямн многоквантовых когерентностей в многоквантовом эксперименте ЯМР систем в дипольно упорядоченном состоянии.

5. Разработка методов многоквантового ЯМР для исследования систем в дипольноупо-рядоченном состоянии.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации докладывались на Амперовской школе по ЯМР (Польша, Виежба, 2006), Международной конференции "Новые достижения магнитного резонанса. Завойский - 100"(Казань, 2007), Х-ой Международной школе молодых ученых "Actual problems of magnetic resonance and its applications"(Казань-2006), IV-ой Международной конференции "Quantum physics and computations"(Дубна-2007), V-ой Зимней молодежной Школе-конференции "Магнитный резонанс и его приложеш1я"(Санкт-Петербург- 2008), Международной конференции "NMR in condensed matter" (Санкт-Петербург - 2009), Международной конференции "Mathematical modelling and computational physics" (Дубна -2009).

Личный вклад автора: Автором диссертации разработан метод диагонализации многокваптового гамильтониана (ХУ-гамильтониана) одномерной альтернированной открытой спиновой цепочки в приближении взаимодействий ближайших соседей, вычислены интенсивности многоквантовых когерентностей, проанализирован перенос квантовых состояний в альтернированных цепочках, разработаны теоретические методы многоквантового ЯМР дипольно-упорядоченных систем, подготовлены публикации по теме диссертации.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из Введения, 4-х глав, библиографии и Выводов. Объём диссертации 102 страницы, включая 26 рисунков и одну таблицу. Библиография диссертации содержит 86 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

Первая глава носит.обзорный характер. В этой главе обсуждаются основные экспериментальные и теоретические методы многоквантовой (МК) спектроскопии ЯМР и МК динамики, а также обсуждаются применения МК спектроскопии ЯМР в физико-химических исследованиях свойств твердых тел и рассматривается использование МК ЯМР в задачах квантовой теории информации.

Во второй главе найден спектр и собственные состояния ХУ-гамильтониана И альтернированной открытой цепочки спинов 5=1/2 N N-1

Ж — + ^ Е'п,п+1(1п,х1п+1,х + (1)

п=1 п=1

где ~ оператор проекции полного спина п на ось а (п = 1,2, ...,Аг;а = х,у,г), шп -ларморова частота спина на узле п (п— 1,2, равна

п — нечётно

(2)

Ш2> п — четно,

и константы спин-спинового взаимодействия Д,,„+1 спинов пип + 1 определяются следующим образом

02к-«к = 01, А: = 1,2,...,

; 02кЛМ = к = 1,2,...,

Д'-1

(3)

Преобразования Иордаиа-Вигнера [19] позволяют перейти от спиновых операторов к бесспиновым фермиопам. В результате гамильтониан (1) принимает вид билинейной формы с трёхдиагональной матрицей. Эту матрицу можно диагонализовать методом подстановки или апзаца, который был применён в классической работе [20] для гамильтониана однородной конечной цепочки. В работе [15] были развиты идеи [20] для альтернированных конечных цепочек с нечётным числом частиц. В нашей работе [А1] мы дополняем результаты [15] диагонализацией цепочки с чётным числом частиц.

В фермионном представлении гамильтониан (1) принимает вид билинейной формы N ,

И = Х^« (с"с" ~ 2/ + 2 ^ + с«+1с">> (4)

где операторы рождения и уничтожения с£,с„ удовлетворяют антикоммутационным соотношениям = [с£,с+]+ = 0, [с^,ср]+ = 0. В матричных обозначениях уравнение (4) можно переписать так

И =5<:Ч1> + 2П)С-^¿аь.

(5)

п-1

В (5) под с+ мы подразумеваем вектор-строку с+ = (с}",... а с = (с1,... Мат-

рица Б + 2(1 для чётного числа спинов N имеет вид

/ О. . Г) п л п \

В + 2П =

2и>1 Вх 0 Вг 2^2 В2 0 В3 2и>!

(6)

0 0 О ••• 2и>1 А 0 0 0 • ■ • А 2Ш2

Нам нужно найти собственные вектора и собственые значения этой матрицы, то есть найти решение системы уравнений

(В + 2Г2) К) = А„|и„), и = 1,2...ЛГ. Компоненты собственных векторов \и„) мы искали с помощью аизацев

= А1/вт2кри, «2= В„иш2 ^ - ^ Р">

к — 0,1,2,..., 2 )

(7)

где р„ - безразмерный волновой вектор, а А„ и В„ - нормировочные константы. Анзац (8) и уравнения (7) позволяют получить спектр матрицы + 2П в виде

А'« = ип + ад, ± у/(ш1-ыгГ + В1К,

(9)

где Д„ = 1 + б2 + 25соз(2р„) и 5 = Сг/А обозначает отношение констант спин-спино-вовых взаимодействий в альтернированной цепочке. Для удвоенных компонент х„ = 2 волнового вектора |р) мы получили следующее трансцендентное уравнение:

г . N . (Ы \ д вт ~х„ + эш I — + 1 I х„ = О,

(10)

которое имеет N/2 решений, и каждому решению (10) соответствует два собственных значения. Один корень (10) может быть комплексным при <5 > (Лт + 2)/ЛГ. Когда 6 < (./V + 2)/Ы, то все необходимые решения действительны и находятся в интервале (0, гг). Если-действительных решений не хватает, то недостающий корень ищется в виде у = х+гтт, что приводит к следующему выражению относительно у

г ъ N ■ ^ Л ¿8ЬуУ = 8Ь1 у+ 1 \у.

(И)

Окончательные выражения для собственных значений и собственных векторов матрицы Б + 2П при чётном числе спинов N могут быть представлены следующим образом. При 5 < (IV + 2)/]У спектр матрицы £> + 2П определяется формулами

А„ = ■

Ш! + Ш2 + у/(Ш1 - Ш2)2 + £>? + + 2А 02 сое N

Ш1+Ш2 — - Ш2)2 + + £>| + 20^2 СОЭХу,

(12)

где х„(1■/ = 1,2,..., N/2) - решения уравнения (10), а хлг+1-1/ = £„(«/ = 1,2,..., N/2). Компоненты собственных векторов равны

А„ ейп^, А = 2,4,

+ А = 1,3, - 1,

(13)

«' = 1,2.....N.

Нормировочные константы равны

1/2

б

= у = 1,2, ...,ЛГ. (15)

В том случае, когда <5 > (М 2)/ЛГ и уравнение (10) имеет недостаточное количестве действительных корней, два собственных значения с номерами М/2 и И/2+1 будут выглядеть

А^/2 = Ш! + и2 + \/(^1 - + + 1>2 _ 2/>1 Д2 сЬ 2/, Алг/2+1 = ч>1 + и>2 - \/(ш1 _ + + Щ ~ 2 А £>2 ей у, а компоненты собственных векторов

(16)

¡М- * = 2,4,...,^

= ^ и

^ £ = 1,3,...,ЛГ-1, (17)

ММ,

(18)

В формулах (16), (17) и (18) у является решением уравнения (11).

МК эксперимент ЯМР обычно состоит из четырех частей (периодов) (Рис. 1). На первом периоде МК эксперимента (подготовительном периоде) система ядерных спинов облучается специально подобранной последовательностью резонансных ВЧ импульсов. В результате [18, 21] динамика системы описывается несекулярным двухспиновым/двухкван-товым гамильтонианом [1], ответственным за возникновение многоквантовых когерентно-стей, который может быть записан как

= + !К~2 = + ТО- (19)

По существу, подготовительный период является основным в МК эксперименте ЯМР. Именно на этом периоде в процессе эволюции спиновой системы возникают МК когерентности различных порядков. Вслед за подготовительным периодом идет период эволюции (Рис.1), на котором динамика системы определяется только ДЦВ. Этот период используется для того, чтобы "пометить"сигналы от различных МК когерентностей с целью их детектирования в дальнейшем. Следующим периодом эксперимента является период смешивания, на котором система облучается такой последовательностью импульсов, что средний гамильтониан на этом периоде противоположен по знаку среднему гамильтониану на периоде эволюции, в результате чего информация о многокваптовых когерентностях переходит в намагниченность [21, 22). И, наконец, на четвертом периоде эксперимента

подготовите- период

льный период скмшиъания

свободная

зволюцмя

X 4. Т время

М

Рис. 1. Структура многоквантового эксперимента ЯМР

происходит детектирование МК спектра ЯМР. В простейшем случае можно представить, что этот период состоит из одного 90- градусного импульса, поворачивающего намагниченность в плоскость, перпендикулярную внешнему магнитному полю.

Полученный спектр гамильтониана (1) позволил нам изучить МК динамику ЯМР в альтернированной конечной цепочке в приближении взаимодействиий ближайших соседей точно и получить аналитические выражения для интенсивностей многоквантовых когерентностей. Мы можем это сделать благодаря связи многоквантового и ХУ гамильтонианов, которая осуществляется через преобразование У = ехр (—¿7г/211) ехр (—¿тт!^)..., являющееся композицией тг-импульсов, поворачивающих вокруг оси х вращающейся системы координат (ВСК) все спины, занимающие чётные узлы цепочки. Нетрудно проверить, что

У«М(,У+ = Щ Eq.fl); шп = 0, п = 1,2.....Щ. (20)

После подготовительного периода матрица плотности может быть записана так

Рргер(т) = 5>„(т), (21)

п

где рп(т) - та часть матрицы плотности, которая содержит информацию о когерентности порядка п. Интенсивности многоквантовых когерентностей выражаются через эти составляющие матрицы следующим образом:

Сп(т) = Тг{рп(т)р-п(т)}/2""2. . (22)

Для альтернированной цепочки с чётным числом спинов N мы получили такие же выражения для интенсивностей МК когерентностей, как и в [15]: '

<?о(т) = 1£со32(А,{), С±2(Г) = ^£>П*(АД). . ' ,(23)

У=1 у—1

Заметим, что как и в однородном случае [13], здесь возникают только ненулевые когерентности нулевого в0(т) и плюс/минус второго порядков С?±2(т). Других МК когерентностей в этой системе не возникает.

В третьей главе мы рассмотрели перенос квантового состояния по цепочке с гамильтонианом (1). Отдельно были рассмотрены идеальный перенос квантового состояния и перенос с большой вероятностью.

Рассмотрим простейший случай, когда один спин направлен против поля. Если п-ый спин в альтернированной цепочке направлен против внешнего поля, а остальные направлены по полю, то это состояние обозначается как

|п) = 100.. 1 • • -0). (24)

к .

Вероятность Р(1) того, что система первоначально была в состоянии ]1), а в момент времени I оказалась в состоянии ¡./V) определяется по формуле

Р(4) = |(Я|е-да|1)|2, (25)

где гамильтониан !К определяется уравнением (1) и ларморовские частоты и>п = 0, п = 1,2.....N.

Мы подробно исследовали идеальный перенос квантового состояния (со 100%-ой вероятностью) вдоль четырёхспиновой альтернированной цепочки.

Используя формулы (15) - (18), для вероятности такого переноса мы показали, что

Р4(г) =

4эЬ2 2у .

8121 [А г^Х+ё2 -25сЪу\

эЪу 2 (26)

4зш22Х

этох

5 —

вт [£?!«%/! + + 2<5созх]

БШХ

где х, у - решения уравнений (10) и (11) при N = 4:

5вт2х-(-8тЗа: = 0, (Ы12у = 5ЬЗу. (27)

Идеальный перенос кубита, когда максимальное значение вероятности переноса РДй) = 1,

происходит при временах I и значениях 3, удовлетворяющих соотношениям

_(3 + 4к)тг_

А? =

Иг! =

2(2 + 6 (б+у/4 + 62^ (1 + Ак)тт_

п,к — 0,1,...,

п,к = 0,1,...

Из соотношений (28) можно найти величину <5, при которых такой идеальный перенос квантового состояния возможен

|1 + 2к - 2п|

6 = 2

\/(3 + 4А:)(1 + 4п)

, п,к = 0,1,...,

(29)

я „ \1-2к + 2п\ 5 = 2—7==========, п, £ = 0,1

А

\л /V/

Рис. 2. Вероятность переноса квантового состояния между концами четырёхспиновой цепочки (ЛГ = 4) и <5 = 2.272; максимальная вероятность переноса Ртах = 0.999 достигается при Р^т« = 8.303.

\/(3 + 4п)(1 + Ак)

Отметим, что идеальный перенос квантового состояния возможен и в одномерной цепочке, в которой не больше трёх спинов [23|.

Далее мы изучили неидеальный перенос квантового состояния в альтернированных цепочках спинов. Целью наших исследований было найти оптимальные условия для переноса с большой вероятностью, под которым мы подразумеваем такой перенос, когда

Рпаг = ттма,,Р(М) > 0.9.

(30)

Здесь существенно, чтобы время было как можно меньшим. Мы нашли приемлемые значения вероятности переноса для отношения констант спин-спинового взаимодействия 8 > 2. В частности, в четырёхспиновых цепочках (И = 4) оптимальное значение вероятности Р(£М) достигается при = 2.272. Первый максимум Рта = 0.999 в этом случае наблюдается при = 8.303. Результаты численных расчётов представлены на Рис. 2.

Собственные значения в этом случае следующие: А1 = ±2.6491)1, Л2 = ±0.377£>1. Для ше-стиспиновой цепочки оптимальным для квантового переноса является 5 = 2.373. Теперь первый максимум вероятности Ртах = 0.997 достигается при П^тах = 10.714. Собственные

Таблица I.

N р 1 тах А'таг А1/А Аа/01 Аз/А А4/А

4 0.990 8.084 . 2.744 0.364

6 0.997 10.689 3.067 2.214 0.147

8 0.957 28.827 3.194 2.668 . 1.915 0.061

значения в этом случае А1 = ±3.06£>ь-Л2 = i2.208.Di, = ±0.148£>1- В восьмиспиновой цепочке (Лг = 8) оптимальным для переноса значением отношения констант спин-спиио-вого взаимодействия является <5 = 2.560, при этом первый максимум Ртах = 0.989 достигается при А*™* = 29.483. Собственные значения таковы: А[ = ±3.3661)1, А2 = ±2.828£>ь А3 = ±2.070, А4 = ±0.051/?!.

Для цепочки с заданным числом спинов N, в принципе, можно подобрать значения констант взаимодействий ближайших соседей, когда возможен идеальный перенос квантового состояния между концами цепочки [23]. Однако при изменении числа N все константы межспиновых взаимодействий должны быть пересчитаны. В рамках метода [23] невозможно также включить взаимодействия удалённых спинов.

Мы нашли, что перенос квантового состоя1шя с большой вероятностью возможен для альтернированных цепочек различной длины при одном и том же отношении констант спин-спинового взаимодействия <5. В Таблице 1 приведены результаты наших расчётов в цепочках сЛГ = 4,6,8и5 = 2.380.

Предложенный в этой главе метод также позволяет передать квантовое состояние с большой вероятностью за заданный промежуток времени. Пусть, например, N = 8, и мы хотим передать состояние между концами цепочки к моменту времени А^т! = 30. Вероятность переноса Р(6) при 4 = ¿,„, показана на Рис. 3. Мы видим, что максимум вероятности Ртах = 0.973 достигается при <5та1 = 2.510. Именно при этом значении 8 передача квантового состояния будет осуществлена за вре-

Рис. 3. Вероятность переноса состояния между концами цепочки, состоящей из N = 8 спинов в момент £ = 30/А; максимальная вероятность Ртах = 0.973 достигается для 6тах = 2.510.

МЯ tint.

В четвёртой главе аналитически и численно исследована МК динамика ЯМР в системах ядерных спинов s = 1/2, связанных дяполь-дилольными взаимодействиями, когда система приготовлена в дипольно-упорядоченном состоянии [24]. При этом матрица плотности ро системы может быть записана в виде

/°о = А>Я<ь, (31)

где fid; - секулярная часть диполь-дипольного взаимодействия (ДЦВ) [18, 21]. Мы предлагаем два новых метода МК ЯМР, для исследований МК динамики системы в дипольно-упорядоченном состоянии. Один из них основан на измерении дипольной температуры в квазиравновесном состоянии, устанавливающемся через время определяемое ДЦВ (иJtm - локальная дипольная частота), после трёх периодов МК экперимента ЯМР. Другой метод представляет собой модифицированную схему стандартного МК эксперимента ЯМР. Мпогоспиповые кластеры и корреляции в таких экспериментах возникают раньше чем в обычном МК эксперименте ЯМР и могут быть использованы для исследования многоспиновой динамики ядерных спинов в твёрдых телах.

Первая схема, как обычно, содержит четыре периода многоквантового эксперимента ЯМР: подготовительный, в течение которого создаются многоквантовые когерентности; период эволюции; период смешивания и период, на котором производятся измерения [1]. Мы показали, что в квазиравновесном состоянии, устанавливающемся через время t fa u, после трёх периодов МК эксперимента ЯМР в квазиравновесной матрице плотности

peq = ащ1г + ft, (32)

обратная зеемановская температура а обращается в 0. Таким образом, система снова оказывается в дипольно-упорядоченном состоянии, в котором и была приготовлена первоначально. Три периода МК эксперимента могут теперь выполняться снова с изменёнными фазами ВЧ импульсов па подготовительном периоде и изменённой длительностью периода эволюции. В этом состоит метод TPPI [1], применяемый в двумерных эксперимента^ ЯМР. Обратная температура /3 может быть измерена как компонента намагниченности (1Х) которая находится в фазе с возбуждающим высокочастотным (ВЧ) импульсом, другая компонента. (1У) пропорциональна обратной температуре а [18]. Мы показали, что фурье-компоненты обратной дипольной температуры /3 для разных частот дают МК когерентности различных порядков.

(a)

t

Рис. 4. Временная зависимость интенсивностей многоквантовых когерентностей четвёртого, шестого и восьмого порядков в линейной цепочке из восьми спинов, связанных ДЦВ: (а) интенсивность многокванговой когерентности четвёртого порядка, J4, (непрерывная линия) для р(0) = (штриховая) для р(0) = Hdz;

(b) интенсивность МК когтерентности шестого порядка, Je, (непрерывная линия) для р(0) = (штриховая) для р(0) = На вставке показана интенсивность МК когерентности восьмого порядка, Jg, для р(0) = fí¿z. Заметим, что интенсивность J& =0 для р(0) = Iz.

Другая схема МК эксперимента ЯМР включает в себя добавочный импульс фу, поворачивающий спины вокруг оси у па угол ф после подготовительного периода. ТРР1-метод [1] применяется в этой схеме на периоде смешивания, в отличие от описанного выше, когда он применяется на периоде эволюции. Хорошо известно, что в обычной МК динамике ЯМР сумма сигналов интенсивностей МК когерентностей не зависит от времени [25]. Мы показали, что в нашем случае этот закон принимает специфическую форму. Здесь сумма интенсивностей порядков п и — п равна нулю для любого п, а интенсивность когерентности нулевого порядка равна нулю. Таким образом, сумма интенсивностей всех МК когерентностей в этом эксперименте равна нулю в процессе эволюции.

Мы провели численные расчёты МК динамики ЯМР для квазиодпомерных цепочек гидроксильных протонов в гидроксиапатите кальция Са5(0#)(Р04)з [26], цепочек фтора во фторапатите кальция Са5Р(РС>4)з [26] и десятисшпювой системы молекулы циклопен-тана С5//10, содержащей два пятиспиновых цикла [27]. Это очень удобные системы для исследования МК динамики ЯМР.

Численные расчёты для метода с измерением дипояьной температуры были проведены для МК динамики ЯМР линейной цепочки из 8 (Рис. 4) и 10 спинов (Рис. 5). Константа ДДВ для ближайших соседей при проведении расчётов была равна О = Константа взаимодействия спинов ] к к равна Л>/|^ — /с]3. На Рис. 4 и Рис. 5 представлены зависимости интенсивностей МК когерентностей от безразмерного времени 4 = Ют в цепочках спинов, содержащих 8 и 10 спинов. На этих рисунках можно сравнить интенсивности МК когерентностей в первой схеме эксперимента для системы в дипольно упорядоченном состоянии, когда интенсивности МК когерентностей являются фурье-гармониками дипольной температуры, и сигналы от МК когерентностей в стандартном МК эксперименте ЯМР. Очевидно, что предложенный метод можно рассматривать как полезное дополнение к стандартным методам МК ЯМР. Интенсивности МК когерентностей четвёртого, шестого и восьмого порядков в линейной цепочке из восьми спинов связалных ДДВ (Рис. 4) в предложенном методе больше, чем в обычном МК эксперименте ЯМР [1]. В отличие от эксперимента, в котором начальное состояние является термодинамически равновесным в сильном внешнем магнитном поле [1], в МК эксперименте ЯМР с начальным дипольно упорядоченным состоянием уже содержатся двухспиновые корреляции, что ведёт к указанному увеличению интенсивностей МК когерентностей. Тенденция к росту МК когерентностей высоких порядков проиллюстрирована тал: же и на Рис. 5.

(•) -1 0.002

O.OOI 0.000

<ь> -,«

0.0004 0.DD03 0.0002 0.0001 О.ОООО

Рис. 5. Временная зависимость интенсивно-стей МК когерентностей шестого и восьмого порядков в линейной цепочке из десяти спинов, связанных ДЦВ :(а) интенсивность МК

Мы проверили обнаруженные особенности наблюдаемых МК спектров ЯМР, проводя численные расчёты на кластере из десяти спинов с 1024 квантовыми состояниями. В качестве модельной системы мы взяли молекулы циклопентана СЬНю с десятью атомами водорода, растворённые в жидкокристаллическом растворителе. Так как ДДВ различных молекул усредняется из-за быстрого молекулярного движения, МК динамика ЯМР определяется внутримолекулярными взаимодействиями.

го порядка (непрерывная линия) для р(0) = /г; и (штриховая линия), полученные новым методом.

Молекула циклопентана имеет два пятиспино-

когерентности шестого порядка (непрерывная ,„_, ттттп

вых цикла [27]. Приведенные константы ДДВ

линия) для а(0) = 1г\ Je (штриховая), полу- „ ;г.

Dij = Dij/Dn' имеют следующие значения:

ченные новым методом; ^ = +1; ^ = _0Л?8; ^ = _Q 002;

(Ь) интенсивность МК когерентности восьмо- -=■ „„„ „

4 £>13 = -0.093; Di3> = -0.026. Здесь штрихо-

ванные и нештрихованные индексы относятся к протонам разных циклов. На Рис. 6 представлены интенсивности МК когерентностей шестого и восьмого порядков, полученные для молекулы циклопентана. Рис. 6 подтверждает наши выводы, полученные в одномерных системах. Интенсивности МК когерентностей, найденные предложенным в работе методом, в несколько раз больше, чем в стандартном МК эксперименте ЯМР (см. Рис. 6). Эти когерентности возникают в МК ЯМР в дипольно упорядоченных системах при меньших временах эксперимента, чем в обычных экспериментах [1].

Результаты, изложенные в четвёртой главе, опубликованы в работах [A3], [A4].

(Ь) .8 о.оооа ■ 0.0006 -0.0004 -0.0002 ■ 0.0000 - -

I

\

/ N I

М ■ , I I . I /

I

—V-

2

Рис. 6. Временная зависимость интенсивностей МК когерентностей шестого и восьмого порядков в молекуле циклопентана (С^Нщ) содержащей 10 спинов 1Н, связанных ДЦВ:(а) интенсивность МК когерентности шестого порядка, (непрерывная линия) для р(0) = 1г , (штриховая линия) для р{0) = Н^ ;

(Ь) ИЕ1тенсвв!!ость МК когерентности восьмого порядка, ^, (непрерывная линия) для р{0) = 1г , (штриховая линия) для р(0) = Н

Основные результаты и выводы.

1. Разработан метод диагонализации XY-гамильтопиана открытых альтернированных спиновых цепочек в приближении взаимодействий ближайших соседей. Получены аналитические выражения для уровней энергии и собственных состояний этого гамильтониана.

2. Исследована многоквантовая динамика ЯМР для открытых альтернированных спиновых цепочек. Показано, что в приближении взаимодействий ближайших соседей возникают только многоквантовые когерентности нулевого и плюс/минус второго порядков. Вычислены интенсивности этих когерентностей.

3. Разработан метод переноса квантового состояния между концами открытой альтернированной спиновой цепочки с большой вероятностью. Изучен перенос квантовых состояний в четырёх-, шести- и восьмиспиновых цепочках.

4. Установлена связь между дипольной температурой и интенсивностями многоквантовых когерентностей в спиновой системе, приготовленной в диполыю упорядоченном достоянии,

5. Предложены методы, позволяющие исследовать мпогоквантовую динамику ЯМР в системах, приготовленных в дипольноупорядочениом состоянии. Показано, что в многоквантовой спектроскопии ЯМР дшюльноупорядоченных систем многоквантовые когерентности высоких порядков возникают значительно быстрее, чем в обычной многоквантовой спектроскопии ЯМР.

Список публикаций по теме диссертации

[А1] Кузнецова Е.И., Фельдман Э.Б. Точные решения в динамике альтернированных открытых цепочек спинов s = 1/2 с XY-гамильтонианом и их применение к задачам многоквантовой динамики и квантовой теории информации // ЖЭТФ. -2006. -Т.129,-С. 1006-1017.

[A2j Kuznetsova E.I. and Zenehuk A.I. High-probability quantum state oransfer in an alternating open spin chain with an XY Hamiltonian // Phys. Lett. A. -2008. -Vol. 372. -P.6134.

[A3] Doronin S.I., Fel'dman E.B., Kuznetsova E.I., Furman G.B., Goren S.D. Multiple quantum NMR dynamics in dipolar ordered spin systems // Phys. Rev. B. -2007.- Vol.76.-P. 144405.

[A4] Doronin S.I., Fel'dman E.B., Kuznetsova E.I., Furman G.B., Goren S.D. Dipolar temperature and Multiple Quantum NMR Dynamics in Dipolar Ordered Spin Systems // Письма в ЖЭТФ. -2007. -T.86.- вып.1.- стр.26-29.

Цитируемая литература

[1] Baum J., Munowitz М., Garroway А. N. et. al. Multiple-quantum dynamics in solid state NMR // J. Chem. Phys. -1985.-Vol. 83. -P.2015-2025.

|2] Baum J., Pines A. Multiple-quantum NMR studies of clustering in solids // J. Am. Chem. Soc.-1986.-Vol.108.-P.7447.

[3] Multiple-Quantum NMR Study of Clustering in Hydrogenated Amorphous Silicon / J. Baum, K.K. Gleason, A. Pines, A. N. Garroway, J. A. Reimer // Phys. Rev. Lett. -1986. -Vol.56. -P.1377-1380.

[4] Hughes C.E. Spin Counting // Progr. Nucl. Magn. Reson. Spectros. -2004. -Vol.45. -Issue 3-4. -P.301-313.

[5] Warren W.S., Weitekamp D.P., Pines A., Theory of selective excitation of multiple-quantum transmission // J. Chem. Phys. -1980. -Vol.73. -N.5. -P.2084-2099.

|6] Lacelle S., Hwang S.J., and Gerstein B.C., Multiple quantum nuclear magnetic resonance of solids: A cautionary note for data analysis and interpretation. //J. Chem. Phys. -1993. -Vol.99. -P.8407.

[7] Tomaselli M., Hedier S., Suter D., Ernst R.R. Nuclear magnetic resonance polarization and coherence echoes in static and rotating solids //J. Chem. Phys. -1996. -Vol.105. -P.10672.

[8] Krojanski H.G. and Suter D. Scaling of Decoherence in Wide NMR Quantum Registers //Phys. Rev. Lett. -2004,-Vol.93. -P.090501.

[9] Cho H., Cappellaro P., Cory D.G., Ramanathan C.. Decay of highly correlated spin states in a dipolar-coupled solid: NMR study of CaF2 // Phys. Rev. B. -2006. -Vol.74. -P.224434.

[10] Майкл А. Нильсен, Исаак Л. Чанг. Квантовые вычисления и квантовая информация, М.: Мир, 2006.

[11] Fel'dman Е. В., Lacelle S. Multiple quantum NMR spin dynamics in one-dimensional quantum spin chains // Chem. Phys. Lett. -1996. -Vol.253. -P.27-31.

[12] Fel'dman E.B., Lacelle S. Multiple quantum nuclear magnetic resonance in one-dimensional quantum spin chains // J. Chem. Phys. -1997.-Vol.107. -P.7067.

[13] Доронин С.И., Максимов И.И., Фельдман Э.Б. Многокваитовая динамика одномерных систем ядерных спинов в твердых телах // ЖЭТФ. -2000. -Том.91. -Х'.З. -стр. 597-609.

[14] Doronin S.I., Maximov I.I., Fel'dman Е.В., Guinzbourg I.Y. Supercomputer analysis of one-dimensional multiple-quantum dynamics of nuclear spins in solids // Chem. Phys. Lett. -2001.- Vol.341. -P144-152.

[15] Fel'dman E. В., Rudavets M. G. Exact results on spin dynamics and multiple quantum NMR dynamics in alternating spin-1/2 chains with XY-Hamiltonian at high temperatures // Письма в ЖЭТФ. -2005.-T. 81.-C. 54-59.

[16] Campos Venuti L. et. al. Long-distance entanglement and quantum teleportation in XX spin chains // Phys. Rev. A. -2007.-Vol.76. -P.052328.

[17] Jeener J., Brokaert P. Nuclear Magnetic Resonance in Solids: Thermodynamic Effects of Pair of rf-Pulses //Phys. Rev. -1967. -Vol.157. -P.232.

[18] Гольдман M. Спиновая температура и ЯМР в твердых телах. М.: Мир, 1972. С.342.

[19] Jordan P., Wigner Е. Über das Paulische Äquivalenzverbot // Z. Phys. -1928. -Vol.47. -P.631.

[20] Lieb E., Schultz T. and Mattis D. Two Soluble Models of an Antiferromagnetic Chain // Ann. Phys. (N. Y.) -1961. -Vol.16. -P.407-466.

[21] Абрахам А., Гольдман M. Ядерный магнетизм: порядок и беспорядок.. ".: Мир, 1984. Т. 1-2.

[22] Сликтер Ч. Основы теории магнитного резонанса. М.: Мир, 1981. 448 с.

[23] Perfect State TVansfer in Quantum Spin Networks / Christandl M., Datta N., Ekert A. et. al. // Phys. Rev. Lett. -2004. -Vol. 92. -P.187902.

[24] Furman G. B., Goren S. D. NMR multiple-quantum dynamics with various initial conditions // J. Phys.: Condens. Matter. -2005. -Vol.17. -P.4501.

[25] Lathrop D.A., Handy E.S., Gleason K.K. Multiple-Quantum NMR Coherence Growth in Single Crystal and Powdered Calcium Fluoride // J. Magn. Reson. A. -1994.-Vol.lll. -P.161.

[26] Cho G., Yesinowski J. P. 1H and 19F Multiple-Quantum NMR Dynamics in Quasi-One-Dimensional Spin Clusters in Apatites // J. Phys. Chem. -1996. -Vol.100. -P.15716.

[27] Poupko R., Luz Z., Zimmermann H. Pseudorotation in cyclopentane. An experimental determination of the puckering amplitude by NMR in oriented solvents //J. Am. Chem. Soc. -1982,-Vol. 104. -P. 5307-5314.

Сдановпечать 11.02.10. Подписано в печать 11.02.10. Формат 60x90 1/16 Объем 1,25 п.л. Заказ 53. Тираж 100

Отпечатано в типографии ИПХФ РАН 142432, Московская обл., г. Черноголовка, пр-т ак. Семенова, 5 Тел.: 8(49652)2-19-38

1 ГЛАВА I. Многоквантовая спектроскопия ЯМР в твёрдом теле и её применение для исследования физико-химических свойств твёрдых тел (литературный обзор).

1.1 Экспериментальные методы многоквантовой спектроскопии ЯМР в твёрдых телах.

1.2 Теоретические методы многоквантовой спектроскопии ЯМР однородных спиновых систем в твёрдых телах.

1.3 Применение методов многоквантовой спектроскопии ЯМР для исследования физико-химических свойств твердых тел и к задачам квантовой теории информации.

2 ГЛАВА II. Теоретическое исследование многоквантовой динамики ЯМР в открытых альтернированных цепочках cmraoB(s=l/2).

2.1 Диагонализация XY-гамильтониана открытой альтернированной цепочки спинов.

2.2 Интенсивности многоквантовых когерентностей ЯМР в открытой альтернированной цепочке спинов.

2.3 Многоквантовая динамика ЯМР в альтернированных цепочках с различным числом спинов и при разных отношениях констант диполь-дипольного взаимодействия соседних спинов.

3 ГЛАВА III. Использование открытых альтернированных цепочек для передачи квантовой информации

3.1 Идеальный перенос квантового состояния между концами открытой альтернированной цепочки спинов 1/2.

3.2 Перенос квантового состояния с большой вероятностью между концами открытой альтернированной цепочки.

3.2.1 Перенос состояния по цепочке с нечётным числом спинов.

4 ГЛАВА IV. Многоквантовая динамика ЯМР в системах в дипольно упорядоченном состоянии

4.1 Методы получения дипольно упорядоченного состояния в ЯМР твёрдого тела.

4.2 Многоквантовая динамика в системах в дипольно упорядоченном состоянии.

4.3 Интенсивности многоквантовых когерентностей в дипольно упорядоченных системах.

4.3.1 Численный анализ МК динамики ЯМР системы, приготовленной в дипольно-упорядоченном состоянии

Многоквантовая (МК) динамика взаимодействующих ядерных спинов является теоретической основой МК спектроскопии ЯМР в твердом теле [1], в рамках которой развились мощные методы для изучения распределения ядерных спинов в различных системах (например, в жидких кристаллах [2], в органических соединениях [1], в аморфном гидроге-низированном кремнии [3] и т.д.). В ряде случаев удается определить с помощью МК ЯМР число ядерных спинов в примесных кластерах [4], увеличить информативность релаксационных методов и упростить обычные спектры ЯМР [5]. МК ЯМР широко используется для изучения роста многоспиновых кластеров [6, 7] в процессе облучения системы периодической последовательностью резонансных ВЧ импульсов на подготовительном периоде МК эксперимента ЯМР [1]. Уникальные возможности МК ЯМР для изучения динамики многоспиновых кластеров используются для измерения скорости декогеренции сильно коррелированных спиновых состояний [8, 9]. В частности, удалось найти зависимость скорости декогеренции от числа спинов в кластере [8], что важно для решения вопроса о принципиальной возможности создания квантовых компьютеров [10].

Хотя экспериментальные методы МК ЯМР к настоящему времени хорошо разработаны, теория МК ЯМР еще далека от завершения. Феноменологическая теория МК экспериментов ЯМР [1], построенная практически одновременно с созданием экспериментальных методов МК спектроскопии ЯМР в твердом теле, фактически сводит МК динамику к комбинаторной задаче, оставляя в стороне квантово-механический аспект проблемы. Единственным исключением является МК динамика ЯМР одномерных систем (цепочек, колец), где в приближении взаимодействий ближайших соседей удалось найти точное квантово-механическое решение задачи [11, 12, 13]. Эта теория предсказывает появление в МК эксперименте ЯМР только МК когерентностей нулевого и плюс/минус второго порядков. МК когерентности высших порядков удается получить численными методами с использованием алгоритмов распараллеливания на суперкомпьютере [14]

Развитые аналитические методы МК динамики ЯМР одномерных систем [11, 12, 13] применимы к исследованию однородных систем, когда расстояния между всеми спинами цепочки (кольца) одинаковы и внешнее магнитное поле однородно. Исследование неоднородных одномерных систем, когда расстояния между разными спинами различны и исследуемый образец помещен в неоднородное магнитное поле расширяет возможности МК спектроскопии ЯМР как для решения различных физико-химических задач, так и для решения задач квантовой теории информации. В неоднородных системах появляется возможность решить проблему адресации различных кубитов [15, 16], организовать передачу квантового состояния в цепочках с большим числом кубитов, чем в однородном случае, создать запутанные состояния концевых спинов в длинных цепочках [17], организовать неидеальный (с большой вероятностью) перенос квантовых состояний между различными узлами цепочки [18].

Методы МК динамики развивались для многоспиновых систем, которые первоначально находились в состоянии термодинамического равновесия во внешнем магнитном поле. В этом случае в начальный момент времени в системе возникала только МК когерентность нулевого порядка. МК когерентности высших порядков возникали при больших временах облучения системы периодической последовательностью резонансных ВЧ импульсов, что создает значительные экспериментальные проблемы. В то же время современные методы магнитного резонанса дают возможность в качестве начального состояния МК эксперимента ЯМР использовать дипольно упорядоченное состояние [19, 20], позволяющее создать корреляции спинов, необходимые для формирования МК когерентностей высокого порядка, уже на малых временах и ведущих к появлению МК когерентностей еще больших порядков значительно раньше, чем это происходит в обычных МК экспериментах ЯМР [1].

Целью настоящей диссертации является разработка теоретических методов МК динамики ЯМР неоднородных одномерных систем взаимодействующих ядерных спинов, применение этих методов в задачах квантовой теории информации, создание методов МК динамики ЯМР в системах, находящихся в дипольно-упорядоченном состоянии.

Первая глава диссертации носит обзорный характер.

Во второй главе разработан метод диагонализации гамильтониана, описывающего МК динамику ЯМР в альтернированных цепочках спинов, получены формулы для интенсивностей МК когерентностей, изучена МК динамика в альтернированных цепочках с разным числом спинов и различными отношениями констант спин-спинового взаимодействия.

В третьей главе диссертации изучены возможности альтернированной цепочки с конечным числом спинов для передачи квантовой информации. Показана возможность изучения в альтернированной цепочке переноса квантового состояния между концами цепочки с большой вероятностью.

В четвертой главе диссертации МК динамика ЯМР изучена в системах в дипольно упорядоченном состоянии. Установлена связь между дипольной температурой и МК динамикой ЯМР в дипольно упорядоченных системах. Изучена эволюция МК когерентностей в таких системах.

В выводах сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [16] (Глава 2), [18] (Глава 3), [21, 22] (Глава 4) и доложены на Амперовской школе по ЯМР (Польша, Виежба, 2006), Международной конференции "Новые достижения магнитного резонанса. Завойский -100" (Казань, 2007), Х-ой Международной школе молодых ученых "Actual problems of magnetic resonance and its applications"(Казань-2006), IV-ой Международной конференции "Quantum physics and computations" (Дубна-2007), V-ой Зимней молодежной Школе-конференции "Магнитный резонанс и его приложения" (Санкт-Петербург - 2008), Международной конференции "NMR in condensed matter"(Санкт-Петербург - 2009), Международной конференции "Mathematical modelling and computational physics" (Дубна -2009).

Основные выводы

В результате проведённых исследований можно сделать следующие выводы:

1. Разработан метод диагонализации XY-гамильтониана открытых альтернированных спиновых цепочек в приближении взаимодействий ближайших соседей. Получены аналитические выражения для уровней энергии и собственных состояний этого гамильтониана.

2. Исследована многоквантовая динамика ЯМР для открытых альтернированных спиновых цепочек. Показано, что в приближении взаимодействий ближайших соседей возникают только многоквантовые когерентности нулевого и плюс/минус второго порядков. Вычислены интенсивности этих когерентностей.

3. Разработан метод переноса квантового состояния между концами открытой альтернированной спиновой цепочки с большой вероятностью. Перенос квантовых состояний изучен в четырёх-, шести- и восьмиспиновых цепочках.

4. Установлена связь между дипольной температурой и интенсивно-стями многоквантовых когерентностей в спиновой системе, приготовленной в дипольно упорядоченном состоянии.

5. Предложены методы, позволяющие исследовать многоквантовую динамику ЯМР в системах, приготовленных в дипольноупорядо-ченном состоянии. Показано, что в многоквантовой спектроскопии ЯМР дипольноупорядоченных систем многоквантовые когерентности высоких порядков возникают значительно быстрее, чем в обычной многоквантовой спектроскопии ЯМР.

Благодарности

Автор диссертации выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук Фельдману Эдуарду Беньяминовичу за его профессиональное руководство, постоянное внимание к работе и терпение.

1. Multiple-quantui11 dynamics in solid state NMR / J. Baum, M. Munowitz, A. N. Garroway et. al. // J. Chem. Phys. -1985.-Vol. 83. -P.2015-2025.

2. J. Baum, A. Pines. Multiple-quantum NMR studies of clustering in solids // J. Am. Chem. Soc. -1986.-Vol.108. -P.7447.

3. Multiple-Quantum NMR Study of Clustering in Hydrogenated Amorphous Silicon / J. Baum, K.K. Gleason, A. Pines, A. N. Garroway, J. A. Reimer // Phys. Rev. Lett. -1986. -Vol.56. -P.1377-1380.

4. C.E. Hughes. Spin Counting // Progr. Nucl. Magn. Reson. Spectros. -2004. -Vol.45. -Issue 3-4. -P.301-313.

5. Warren W.S., Weitekamp D.P., Pines A., Theory of selective excitation of multiple-quantum transmission //J. Chem. Phys. -1980. -Vol.73. -N.5. -P.2084-2099.

6. S. Lacelle, S.J. Hwang, and B.C. Gerstein, Multiple quantum nuclear magnetic resonance of solids: A cautionary note for data analysis and interpretation. // J. Chem. Phys. -1993. -Vol.99. -P.8407.

7. M. Tomaselli, S. Hedier, D.Suter, R.R. Ernst, Nuclear magnetic resonance polarization and coherence echoes in static and rotating solids // J. Chem. Phys. -1996. -Vol.105. -P.10672.

8. H.G. Krojanski and D. Suter. Scaling of Decoherence in Wide NMR Quantum Registers //Phys. Rev. Lett. -2004.-Vol.93. -P.090501.

9. H. Cho, P. Cappellaro, D.G. Cory, C. Ramanathan. Decay of highly correlated spin states in a dipolar-coupled solid: NMR study of CaF2 // Phys. Rev. B. -2006. -Vol.74. -P.224434.

10. Майкл А. Нильсен, Исаак JI. Чанг. Квантовые вычисления и квантовая информация. М.: Мир, 2006.

11. Е. В. Fel'dman, S. Lacelle. Multiple quantum NMR spin dynamics in one-dimensional quantum spin chains // Chem. Phys. Lett. -1996. -Vol.253. -P.27-31.

12. E.B. Fel'dman, S. Lacelle. Multiple quantum nuclear magnetic resonance in one-dimensional quantum spin chains // J. Chem. Phys. -1997.-Vol.107. -P.7067.

13. С.И. Доронин, И.И. Максимов, Э.Б. Фельдман. Многоквантовая динамика одномерных систем ядерных спинов в твердых телах / / ЖЭТФ. -2000. -Том.91. -ЖЗ. -стр.597-609.

14. S.I. Doronin, I.I. Maximov, E.B. Fel'dman, I.Y. Guinzbourg. Supercomputer analysis of one-dimensional multiple-quantum dynamics of nuclear spins in solids // Chem. Phys. Lett. -2001-Vol.341. -P144-152.

15. Fel'dman E. В., Rudavets M. G. Exact results on spin dynamics and multiple quantum NMR dynamics in alternating spin-1/2 chains with XY-Hamiltonian at high temperatures // Письма в ЖЭТФ. -2005.-T. 81.-C. 54-59.

16. Кузнецова Е.И., Фельдман Э.Б. Точные решения в динамике альтернированных открытых цепочек спинов ,s = 1/2 с XY-гамильтонианом и их применение к задачам многоквантовой динамики и квантовой теории информации // ЖЭТФ. -2006. -Т. 129-С. 1006-1017.

17. Long-distance entanglement and quantum teleportation in XX spin chains / Campos Venuti L. et. al. // Phys. Rev. A. -2007.-Vol.76. -P.052328.

18. Kuznetsova E. I. and Zenehuk A. I. High-probability quantum state transfer in an alternating open spin chain with an XY Hamiltonian // Phys. Lett. A. -2008. -Vol. 372. -P.6134.

19. J. Jeener, P. Brokaert. Nuclear Magnetic Resonance in Solids: Thermodynamic Effects of Pair of rf-Pulses //Phys. Rev. -1967. -Vol.157. -P.232.

20. Гольдман M. Спиновая температура и ЯМР в твердых телах. М.: Мир, 1972. С.342.

21. Multiple quantum NMR dynamics in dipolar ordered spin systems / S.I. Doronin, E.B. Fel'dman, E.I. Kuznetsova, G.B. Furman, S.D. Goren // Phys. Rev. B. -2007.- Vol.76.-P. 144405.

22. Dipolar temperature and Multiple Quantum NMR Dynamics in Dipolar Ordered Spin Systems / S.I. Doronin, E.B. Fel'dman, E.I Kuznetsova, G.B. Furman, S.D. Goren // Письма в ЖЭТФ. -2007. -Т.86 вып.1.- стр.26-29.

23. Lieb Е., Schultz Т. and Mattis D. Two Soluble Models of an Antiferromagnetic Chain // Ann. Phys. (N. Y.) -1961. -Vol.16. -P.407-466.

24. Perfect State Transfer in Quantum Spin Networks / Christandl M., Datta N., Ekert A. et. al. // Phys. Rev. Lett. -2004. -Vol. 92. -P.187902.

25. E. B. Fel'dman, A.I. Zenehuk. High-probability quantum state transfer along nodes of an open XXZ spin chain.// Physics Letters A. -2009-Vol.-373. -P. 1719-1728.

26. Абрагам А., Гольдман М. Ядерный магнетизм: порядок и беспорядок. М.: Мир, 1984. Т. 1-2.

27. Cruz Н. В. and Gonsalves L. L. Time-dependent correlations of the one-dimensional isotropic XY model //J. Phys. C: Solid State Pliys. -1981.-Vol.14. -P. 2785.

28. Сликтер Ч. Основы теории магнитного резонанса. М.: Мир, 1981. 448 с.

29. Ландау JI. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нереля-тивисткая теория. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. Ч. 1-2.

30. Negative time development of a nuclear spin system / R.H. Schneider, H. Schmeidel // Phys. Lett. A. -1969. -Vol.30. -P.298.

31. W. K. Rhim, A. Pines, J. S. Waugh, Violation of the spin-temperature hypothesis // Phys. Rev. Lett. -1970. -Vol.25. -P.218.

32. S. Lacelle. On the growth of multiple spin coherences in NMR of solids // Advances in magnetic and optical resonance. -1991. -Vol.16. -P. 173.

33. Эрнст P. P. и др. ЯМР в одном и двух измерениях. М.: Мир, 1990. 709 с.

34. Product operator formalism for the description of NMR pulse experiment / O.W. Sorensen, G.W. Eich, M.H. Levitt, G. Bodenhausen, R.R. Ernst // Prog. NMR Spectrosc. -1983.-Vol.16. -P.163.

35. S. Lacelle, S.J. Hwang, B.C. Gerstein. Multiple quantum nuclear magnetic resonance of solids: A cautionary note for data analysis and interpritation // J. Chem. Phys. -1993. -Vol.99. -Issue 11. -P.8407-8413.

36. Distribution of hexamethylbenzene in a zeolite studied by l29Xe and multiple-quantum NMR / R. Ryoo, S.B. Liu, C. de Menorval, K. Takegoshi, B. Chmelka, M. Trecoske, A. Pines //J. Phys. Chem. -1987.-Vol.91. -P.6575-6577.

37. Multiple quantum NMR excitation with a one-quantum Hamiltonian / D. Suter, S.B. Liu, J. Baum, A. Pines // Chem. Phys. -1987,-Vol.114. -P.103.

38. Phase-incremented multiplequantum NMR experiments / D.N. Shykind, J. Baum, S.B. Liu, A. Pines and A.N. Garroway //J. Magn. Reson. -1988. -Vol.76. -P.149.

39. Multiple-quantum NMR in a mixture of liquid crystals: differential coherence development / Gerasimowicz, A.N. Garroway, J.B. Miller // J. Am. Chem. Soc. -1990. -Vol.112. -P.3726-3730.

40. NMR Study of the Distribution of Aromatic Molecules in NaY Zeolite /B.F. Chmelka, J.G. Pearson, S.B. Liu, R. Ryoo, L.C. de Menorval, A. Pines // J. Phys. Chem. -1991,-Vol.95. -P.303-310.

41. Multiple-quantum NMR study of the distribution of benzene in NaY zeolite / J.G. Pearson, B.F. Chmelka, S.B. Liu, D.N. Shykind, A. Pines // J. Phys. Chem. -1992. -Vol.96. -P.8517-8522.

42. D.H. Levy, K.K. Gleason. Multiple quantum nuclear magnetic resonance as a probe for the dimensionality of hydrogen in polycrystalline powders and diamond films //J. Phys. Chem. -1992. -Vol.96.- P.8125-8131.

43. B.E. Scruggs, К.К. Gleason. Multiple-quantum NMR coherence growth in polycrystalline salts containing 19F // J. Magn. Reson. -1992. -Vol.99. -P.149.

44. G. Cho, J. P. Yesinowski. lH and 19F Multiple-Quantum NMR Dynamics in Quasi-One-Dimensional Spin Clusters in Apatites // J. Phys. Chem. -1996. -Vol.100. -P.15716-15725.

45. Multiple quantum NMR dynamics of spin-1/2 carrying molecules of a gas in nanopores / S.I. Doronin, A.V. Fedorova, E.B. Fel'dman, A.I. Zenchuk // J. Chem. Phys. -2009. -Vol.131. -P.104109.

46. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике. Москва. Наука. 1970.

47. М. Munowitz, A. Pines, М. Mehring. Multiple quantum dynamics in NMR: A direct walk through Liouville space // J. Chem. Phys. -1987. -Vol.86. -P.3172-3182.

48. D. Y. Levy, K.K. Gleason. Multiple quantum nuclear magnetic resonance as a probe for the dimensionality of hydrogen in polycrystalline powder and diamond films // J. Phys. Chem. -1992. -Vol.96. -P.8125-8131.

49. B.E. Зобов, A.A. Лундин. Второй момент многоквантового спектра в твёрдом теле // Химическая физика. -2008. -Т.27. -Ж 9. -Стр.1825.

50. А. К. Roy, K.K. Gleason. Analitical solution for multiple-quantum coherence dynamics among two or three dipolar-coupled spin 1/2 nuclei // J. Magn.Res. A. -1996. -Vol.120. -P.139.

51. Warren W., J.B. Murdoch. Computer simulation of multiple-quantum

52. NMR experiments // J. Magn.Res. -1984. -Vol. 60. -P.205.

53. NMR multiple quantum coherences in quasi-one-dimensional system: Comparison with ideal spin-chain dynamics / W. Zhang, P. Capellaro, N. Autler, B. Pepper, D.B Cory, Dobrovitski, C. Ramanathan, L. Viola // Phys. Rev. A. -2009.-Vol.80. -P.052323.

54. Годен M., Волновая функция Бёте. M.: Мир, 1987. 352 с.

55. P. Jordan, Е. Wigner. Uber das Paulische Aquivalenzverbot // Z. Phys. -1928. -Vol.47. -P.631.

56. D.A. Lathrop, E.S. Handy, K.K. Gleason. Multiple-Quantum NMR Coherence Growth in Single Crystal and Powdered Calcium Fluoride // J. Magn. Reson. A. -1994.-Vol.111. -P.161.

57. S.I. Doronin, E.B. Fel'dman. Multiple-quantum NMR spin dynamics of inhomogeneous one-dimensional systems in solids / / Solid State Nuclear Magnetic Resonance. -2005. -Vol.28. -P.lll-116.

58. Confinement effect on dipole-dipole interactions in nanofluids / J. Baum, A. Kleinhammer, D. Han, Q. Wang, Y.Wu // Science. -2001.-Vol.294. -P.1505-1507.

59. M. Munowitz. Coherence and NMR. New York. Willey. 1988.

60. Multiple-quantum NMR dynamics in the quasi-one distribution of proton in hydroxiapatite / G. Cho, J.P. Yesinowski // Chem. Phys. Lett. -1993.-Vol.205. -P.l-5.

61. E. Rufeil Fiori, C.M. Sanchez, F.Y. Oliva, H.M. Pastawski, P.P. Levstein. Effective one-body dynamics in multiple-quantum NMR experiments // Phys. Rev. A. -2009. -Vol.79. -P.032324.

62. А. Вах, R. Freeman, S.P. Kempsell. Investigation of Long-Range 13C—13 C— Coupling in Natural-Abundance Samples // J. Magn. Res. -1980. -Vol.41. -N.2. -P.349-353.

63. High Resolution NMR Spectra in Inhomogeneous Magnetic Field: Application of Total Spin Coherence Transfer Echoes / D.P. Weitekamp, J.R. Garbow, J.B. Murdoch, A. Pines // J. Am. Chem. Soc. -1981. -Vol.103. -P.3578-3579.

64. J.R. Garbow, D.P. Weitekamp, A. Pines. Total spin coherence transfer echo spectroscopy // J. Chem. Phys. -1983. -Vol.79. -N.ll. -P.5301-5310.

65. J. Tang, A. Pines. Multiple quantum NMR and relaxation of an oriented CH3 group j I J. Chem. Phys. -1980.-Vol.72. -P.3290-3297.

66. K.K. Gleason, M.A. Petrich, J.A. Reimer. Hidrogen microstructure in amorphous hydrogenated silicon // Phys. Rev. B. -1987.-Vol.36. -P.3259.

67. S. Mitra, K.K. Gleason, H. Jia, J. Shinar. Effects of annealing on hydrogen microstructure in boron-doped and undoped rf-sputter-deposited amorphous silicon // Phys. Rev. B. -1993.-Vol.48. -P.2175.

68. J. Zhang, X. Peng, N. Rajendran, D. Suter. Effect of system levelstructure and spectral distribution of the environment on the decoherence rate // Phys. Rev. A. -2007.- Vol.75. -P.042314.

69. M. Munowitz. Approaches to high resolution 1H NMR in solids // Trends Anal. Chem. -1990.-Vol.9. -P.253.

70. Distribution and motion of organic quest molecules in zeolites / S.B. Hong, H.M. Cho, M.E. Davis // J. Phys. Chem. -1993. -Vol.97. -P.1622-1628.

71. Distribution and motion of trifluoromethanesulfonate anions in poly(p-hydroxystyrene) and polystyrene films studied by multiple-quantum NMR / S. J. Limb, B.E. Scruggs, K.K. Gleason // Macromolecules. -1993. -Vol.26. -P.3750-3757.

72. K.K. Gleason. Applications of solid state multiple quantum NMR // Trends in Analytical Chemistry. -1995. -Vol.14. -P.104-112.

73. В. E. Scruggs, К. K. Gleason. Computer-simulation of the multiple-quantum dynamics of one-, two- and three-dimensional spin distributions //Chem. Phys. -1992.-Issue.3. -Vol.166. -P.367-378.

74. Feldman К. E. Exact diagonalization of the XY-Hamiltonian of open linear chains with periodic coupling constants and its application //J. Phys. A: Math. Gen. -2006. -Vol.39. -P.1039.

75. S. Bose. Quantum Communication through an Unmodulated Spin Chain // Phys. Rev. Lett. -2003.-Vol.91 -P.207901.

76. Ландау Jl. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. М.: Физ. Мат. Лит., 2002. Ч. 1-2.

77. Fel'dman Е. В., Bruschweiler R., Ernst R. R. From regular to erratic quantum dynamics in long spin 1/2 chains with an XY Hamiltonian / / Chem. Phys. Lett. -1998. -Vol. 294. -P.297-304.

78. Warren W., Gershenfeld N., Chuang I. The Usefulness of NMR Quantum Computing // Science. -1997. -Vol.277. -P. 1688-1690.

79. W. K. Rhim, A. Pines and J. S. Waugh. Time-Reversal Experiments in Dipolar-Coupled Spin Systems // Phys. Rev. B. -1971.-Vol.3. -P.684-696.

80. Fel'dman E. В., Maximov I. I. Multiple Quantum Dynamics in Linear Chains and Rings of Nuclear Spins in Solids at Low Temperatures // J. Magn. Reson. -2002. -Vol.157. -P.106.

81. Карлин P. Магнетохимия / Перевод с англ.; под ред. В. В. Зелен-цова. М.: Мир, 1989. 399 с.

82. Doronin S.I. Multiple quantum spin dynamics of entanglement // Phys. Rev. A. -2003. -Vol. 68. -P. 052306.

83. Multiple quantum coherence in dipolar relaxation measurements /S. Emid, A. Bax, J. Konijnendijk, J. Smidt, A. Pines // Physica B. -1979. -Vol.96. -P.333.

84. C. P. Slichter, W. C. Holton. Adiabatic Demagnetization in a Rotating Reference System // Phys. Rev. -1961. -Vol.122. -P.1701.

85. Spin counting experiments in the dipolar-ordered state /Н. Cho, D. G. Cory, C. Ramanathan // J. Chem. Phys. -2003. -Vol.118. -P3686-3691.

86. G. B. Furman, S. D. Goren. NMR multiple-quantum dynamics with various initial conditions //J. Phys.: Condens. Matter. -2005. -Vol.17. -P.4501-4509.

87. Pseudorotation in cyclopentane. An experimental determination of the puckering amplitude by NMR in oriented solvents / R. Poupko, Z. Luz, H. Zimmermann //J. Am. Chem. Soc. -1982.-Vol.104. -P. 5307-5314.