Многомерная обратная задача для уравнения Шредингера с нелокальным потенциалом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ НАЦИОНАЛЬНОЙ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

РГ8 Ой

Г'

2 3 ' На права* рукописи

АДИЛБЕКОВ Ермек Нурсагатович

МНОГОМЕРНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА С НЕЛОКАЛЬНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

01.01.03 - уравнения математической физики

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

АЛМАТЫ - 1994

Работа выполнена в Институте прикладной математики ¡1АН и ШЮ РК Научные руководители: член-корреспондент ИДИ РК, доктор

фкзико-математичзскта наук, профессор М.О.Отелбаев, кандидат физико-математических наук Дурмагамбетов А.Л. Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Кабзюшш СЛ*.

кандидат физико-математических наук Сакабеков А.

Ведущая организация: Казахский Национальный Государственный

Университет

Звщата состоится "_ 1994г. в ~ _час.

на заседании специализированного совета Д 53.04.01. в Институте теоретической и прикладной математики НАН РК: 480021, г. Алматы, ул. Пушкина, 125.

О диссертацией моано ознакомится в библиотеке Института таретическлй и прикладной математики НАН РК.

•г; С - л 2>

Автореферат разослан " " - 1994г..

Ученый секретарь специализированного совета ' ь

^ацщадат^зико-мэтемати^еских наук —А.Т.Кулахметова

-3-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА Р/ЛЮТЦ Актх§шьндсть_теш. В квантовой механике, по существу, всего лишь две задачи: прямая и обратная. Прямая задача - это нахождение волновой функции как решения уравнения Шредкнгера при заданном потенциале взаимодействия. Волновой функцией определяются все наблюдаемые свойства исследуемоЛ системы. Обратная ч:в задача заключается в восстановлении потэнциала по денным рассеяния, извлекаемым из эксперимента.

Обратная задача для уравнения Шр&дангера подразделяется на два типа: первый - обратная задача о локальшдм потенциалом, второй -- обратная задача с нелокальным потенциалом.

Один класс нелокальных, взаимодействий фактически уже широко применяется в ядерной физике, - это сепараСольныо потенциалы. Дело в том, что с такими потенциалами уравнение Шредингера решается в явном виде через квадратуры. Во многих приложениях и модельных вычислениях данное обстоятельство оказывается большим преимуществом. В случае сепарабэльгах взаимодействий схема решения обратной задачи рассеяния значительно проще, чем в случае локальных потенциалов, и в одномерном случав задача была решена Гурденом и Мартеном и в более общем заде Шаданом Г11. Однако, недостатком этих, работ является то, что нэ било найдено необходимых условий на амплитуду рассеяния.

f. Шадан К., Сабатье П. Обратные задачи в квантовой теории рассеяния. - М.: Мир - 1980. - 408 с.

Рэшенио обратной задачи для уравнения Шрэдашг&ра, само по сзбе, является серьезной математической проблемой, имеющей огромно» практическое примэяэнив. Однако, не менее важным аспектом необходимости исследования дачной проблемы является следующее:

В последние года, во всем миро, при исследовании нелинейно: уравнений, большую популярность приобретает метод пар Лакса (или метод обратной задачи рассеяния), который заключается в том, что изучение нелинейных уравнений может быть эквивалентным образом сведено к анализу системы линейных уравнений. : В этой область следует отметить такие известнее научные школы, как:

Прнстонская группа, в составе Гарднер, Грин, Крусиал и Миура;

Нью-Йркская группа - Лаке, Кейс и Трубовиц;

Московская группа,представителями которой являются - Захаров, «знаков, Новиков, Кричивер, Дубровин. и Михайлов;

Потсдамская груша - Абловитц, Кауп, Ньювл, Сегур;

Ленинградская грлша - Феддеев, Тахтааджян и др.

В Караганде - группой Дурмагамботова достигнуты существенные успехи з этом направлении. Так, нащжмер, в раоотах [2], £3 3 впервые возникли паш Лаксв для уравнения Навье-Стокса. Ваншым отличием этих пар Лакса являэтея использование в них уравнения Шредкнгера с нелокальным сепаребчлышм потенциалом.

2. Дурмагамбетов A.A., Джечдагулов А.?. Метод нелокального потенциала / Дея. в КазГосИНШ. - )Н396 - КаЭЗ - 1933.

3. ДурмагтЗвгов A.A., Фазылова Л.С. Представление Лакса для ЗфйвН9НйГЯавьв^СтоксаЛ--Д9П»-а-КазГопШ£ГИ. - М550 - КаЧЗ -1993.

Ц1ЛЬ_рвботы.Исследопш1ио многомерного уравнения Шрй.щча^ра о нелокальннм сепарабелышм потенциалом, а именно: решение прямой и обратной задачи, изучение свойств амлитуда рассеяния, вопрсо полнота системы собственных функций, анчлиз эволюции спектра а случав потенциала, параметрически гшвксящего от вромоЕпт Ъ -- является вягашм звеном в создании математического аппарата д.чч исследования уравнения Навьэ-Стокса методом пар Дакса.

У^П^ая ^овизпа. в настоящей диссертационно!* работе пр'пдлпга-|эхся метод решения трехмерной обратной задачи для уравнения Шредингера с нелокальным сепарабвлышм потенциалом на всем пространстве. Важным моментом этого метода является усреднение по угловчм переменим, что позволяет сделать очень зажннй впвод гз ядерной физика о том, что информация о потенциале ц нелокальном случае содержится э сфаричаских волнах. Следствием атого является упрощение в измерении и контроле в процессах, описываемых нелокальным потенциалом. Эти результата являются следствием глубокого анализа свойств амплитуда. При отсм, выяснено необходимое и достаточное условие на амплитуду рассеяния, являющееся аналогом оптической твореш.

Но ^онее интересным результатом диссертации является исследование характера изменения спектра оператора Шредкнгора как в непрерывном,так и в дискретном случае.

Работа носит теорэти-

ческий характер. Результата работа могут быть приманены при исследовании нелинейных уравнений, в ядерной физике; в компьютерной томограф:?:!, при изучении проблемы турбулентности.

~с>-

Ооновнш результата диссертации докладывалась нэ семинарах под руководством член-^орр. НАК РК М.О.Отелбаоьа и академика ИА Ж Ш.С.Смагулова в КезГ/, профессора С.Н.Харина п ШПМ, профессора Д.У.Умбвтканова и профессора М.И.Гахшберлшша в КТШ, профессора Е.БидаЙбэкова в АТУ, профессора. С.Е.Темирбу.латона к доцента Т.Епьдеспаэва в КазГУ, на республиканской научной конкуренции, пооашдошюй юбилеи профосоора Амзнова, семинаре лас.ораторш мотвмитичоского моделировании теории переноса в ЙТ11М, на научном сошшарэ в Инконврцой Академии, на семинарах ДОМ.

Публикации. По теме диссертации опубликоваш четыро статьи, перечень которых приложен в конце рзферата.

Диссертационная работа состоит из вьодетш, трех глав, разбитых на 6 параграфов и списка литература, содержащего 34 наименования.

-7-

КРАТКОК СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. Рассматривается трехмерное скалярное уравнение И'редингера о нелокальным сепарайэлышм потеьциалом

(А + ка) Ф(к,х) = М(к). (1.1)

■гдо К(к) = \ С)(у)Ф(к,у)<1у, х, к, у € й3, А-ошрзтот) Лапласа.

Н9

Для уравнения (1.1) исследуются прямая и обратная задачи рассеяния. С этой целью выдадим два решения Ф±(к,х), такта, что функции Р±(к,х) = Ф±(к,х)-91<к,х> удовлетворяют, СООТЕЙТСТВЭННО, условиям излучения Зоммерфельда при (х,»« ;

ОТ ~ (к X}

¥±(к,х) = 0(|хГ1), -— ± (к,х) = 0(|хГЪ. '.1.2)

Построеше решена Ф±(к,х) - является прямой задаче?; рассеяния. При этом, 5>4(к,х) должна удовлетворять следующему асимптотическому представлению:

Ф*(к,х) = е{<к,:х> - В1 (К,К' )---+ с('х'~1), (1.3)

¡XI

X

гдо К'= |К|—-I ас I .

Обратная задача заключается в асстановлении потенциала 0(х) ло известному коэффициенту В4(к,к').

Глава .1 состоит из двух параграфов. В ее §1 исследуется прямая задача на всем пространстве И3.

Пусть потенциал 0 - локально интегрируемая функция, удовлетворявшая условиям:

(Н|х|) 0(х) « Ь^И9) Л ЬгСЙ9) О-«)

вой)

(1 д о

г ЦП I) = (— )( — )( — ) - мультишдокс. дх1 (Зх2 их3

Для функции С!(х), удовлетворяющей условиям (1.4а) (1.46), рассмотрим праоОрагзовашш Фурье:

3(р) - |о(х)е{<р'х>с1х

И* • ~

Из условия (1.5а), следует, что СЦр) - непрерывна, а |р|0(р)-- дифференцируемая фунгадай.

Л о м м а 1.1. Вправедлина слодуюодо утверждения:

1?||3(р)! « 0(1) (1.5а)

1р|-»<»

|5(р)| = 0(1) И.56)

1рИО

Дадим слэдуицие

Определение 1.1. Обобщенной функцией медленного роста называется всякий линейный непрерывный Функционал на пространстве основных фупкций 3. 3 - пространство основных функций, 3 - пространство обобщенных функций медленного роста.

Определение 1.2. Пршшдлэвацая пространству 3 (В®), функция Ф(к,х) называется обобщенным решением ааднчи (1.1)-(1.2), если она удовлетворяет уравнению (1.1) и краевым _уадовшм_(и2)в^сшс^1Э функционала на пространстве основных функций 3(11г). ~ ~ —-—

Обозначим через И - мнокество всех функций Q, удовлетворяющих условиям (1.4а), (1.46).

Теорема!.!.. Пусть Q е И. Тогда существует и единственно решение Ф(к,х) уравнения (1.1), такое, что функция Р(к,х)=Ф(к,х)-в1<к,ж> удовлетворяет условиям излучения (1.2); Причем, имеет место представление Липпмана-Швингера:

т, N(K)rexp(t|K| |х-а|)

Ф(к,х) = et<k'x>--j --- Q(a) За, (1.6)

4х кэ |х-а|

Дальнейшие изыскания будут связаны со свойстртми решения Ф(к,х) задачи (1.1) - (1.2).

Существуют преобразования Фурье вида:

Ф(к,р) = Jü>(K,x)et<p,x>dx, (i.7a)

R3

Ф(к.х) = —3[5(K,p)e_i<p'a>dp, (1.7ö)

(210 кз

Q(p) = J Q(x)el<p,x><Ix, П.7В)

R9

Q(x) = —Jüipje-^'^dp, (1.7D

(2%) дЗ

где под выражениями (1.7а)-(1.76) понимаются преобразования Фурье обобщенных, функций медленного роста, т.е.

(Fiffli, ф) = (Ф, Иф]), ср е 3. <М з'.

-10В последующем нам понадобятся некоторые сведения. Полагая ф(х) € 3, введем на з' следукшде функционалы!

<B(s),'Ф>-9(0),

где ö(x) - дельта-функция Дирака;

1 .1 <■

<--, <р> = lim <--, ф> = ± iiup(O) + V.p.<-, cp>.

х i Ш Б-»О х ± (s х

где под V.p. понимается интеграл в сшсле главного значения.

Л е м м а 1.2. Из существования представления Яшшмана-Швингера задачи (1.1)-<1.2), следует, что для преобразования Фурье реиешя Ф(к,х) справедливо соотношение:

tv-

ф(к,р) - оск+р) - И(к)---~5--11' ^

lp| -|к| -to

Л е м м в 1.3. Пусть Q е U. Тогда для К(к) справедлива следующая формула:

N(K) = Q(K) í 1 + —- J-'Q(P)f ■ dp 1 1 U 9)

1 (2тс)э Ipl -|к| -tO V >

.. 1

Утверждение!. Функционал —---— e 3' (R3) оппедолен

. ■ ^ iPl |к| -10

на функциях |Q(p)¡2, где Q e M

Л e м м a 1.4. Построенное решение Ф(к,х), имеет асимптотику (1.3) и справедлива формула

В(к,к') = Н(к) Q(K'). Зам в ч а н и <з. В(к,к' ) - называется шгсшитудой рассеяния.

Рассмотрим вопрос о необходимых условиях на Б(к,к'). Лемма 1.5. Пусть В(к,к) - амплитуда рассеяния. Тогда необходимым условием на амплитуду является соотношение:

ТС/21К1 1В(1к|)|г = - 1тВ(1к1) (1.11)

гдо

В(|к|) - |к|2ВС(>( |н|), Вср(|к|) = I |В(р,р) | йр.

|Р|=|к1

Замечание. Условие (1.11) является аналогом ; оптической теоремы для трехмерного случая.

Связанные состояния. Определение. Состояния ьнергш ,\=к2, птщ которых существует решение уравнения (1.1) из Ьг(К3), назывются связанными.

Отметим,что связанные состояния могут существовать как при отрицательной так и при положительной энергии.

Пусть существуют связанные соотояшп о энергией X безотносительно к знаку Л. "'огда, имеем уравнение для собственного значения:

1 Г №<р>1

ва>в.1+—з \—г——йР = 0 (1-12>

(2иг) ^э |р|2- А. -40

Уравнение (1.12) можно записать в виде: 00

г /ПР|)

0 (р| -10 .

где /ПрП = 7~"а . 1 10(р) ¡?" ¿р. (2х)

IрI = 1 к1

Е силу формулы Сохоцкого, перепишем (1.12а) оледугщим образом:

со

1

Приравнивал к нулю действительную и мнимую части, получаем:

со

Г Л(Р1)

о. 1р1 " л (1.13)

/(У"Т~) = 0. Второэ равенство в (1.13) выполнено при Х>0.

Таким образом, связанные состояния А. определяются системой (1.13).

В §2 Главы 1 решается обратная задача, заключается в том что зная амплитуду рассеяния, необходимо восстановить потенциал С](£).

Рассмотрим В(|к)) - непрерывную по Гельдеру функцию, удовлетворявшую следующим условиям:

1к|аВ(|к1) е Ь4(«"■>, (2.1а)

й •

--В(|к|) € Ь (К3), (2.16)

Справедлива следующая Тео.ром а 2.1. Пусть известны амплитуда рассеяния Б (к,к) и В(к,-к) и вклолноны условия (1.11\ (2.1а), (2.16). 'Тогда потенциал 0(х) - полностью определяется этими данными рассеяния'и удовлетворяет условиям (1.4а), (1.46).

Глава 2 состоит из двух параграфов. В ее §3 исслэдутся вопрос полноты системы собственных функций для уравнения Шредингера с

нелокальным сэпарабельным-погвнщалом._Иктерес к этой проблеме

возник а связи с построением пар Лакса для уравнения Иавье-Стокса.

Основным результатом этого парзграфа является следующая т е о р о м а 3.1. Для дайой ве"лор-*упки?и / € и АЛЯ

собственных функций оператора Н = - Л + 0, спектр которого состоит как из непрерывной, тек и из дискретной частей, выполнено равенство Парсевалл:

5Пъ -Е1/п1а + 1 1/(2)|? По, 2 1

где и /. - коэффициенты Фурьэ, соответственно, в случае дискретного и непрерывного спектра; что и доказывает полноту системы собственных функций, и §4 Главы 2 исоледуетсч еадечр для уравшгчя Шрэдингорв о нелокальным сопараоелышм потенциалом во внешности ограниченной области П. Яри этом, используется обобщенное преобразование Фурьб

? = <Р , ©> - [ Р(у) Ф(к,у) йу ■П»

гдо О» = ИЭ\П, а система С®) - собственные функции внешней задачи Дирихле для уравнения Лапласа.

Глава 3 состоит из двух параграфов.

Уравнение Шредингора с нелокальным потенциалом используется в при построении пар Лакса для уравнения Навье-Отокса. При этом, возникает проблема эволюции спектра.

В §5 Главы 3 произведен анализ непрерывного спектра. Рассмотрим задачу (1.1) - (1.3). Пусть потенциал 0 € М и й - параметрически зависит от времени г. Тогда, вообще говоря, собственные функции и спектральный параметр токе зависят от г.

Основным результатом етого параграфа является следующая

Теорема 6.1. Непрерывный спектр задачи (1.1) - (1.2) неподвижен, т.е. |К|1. = О.

3 а м е ч а.и и е. Во многих работах по парам Лакса свойства непрерывного спектра устанавливались как следствия эволюции потенциала, являющегося решением специальных нелинейных уравнений. !3 данной теореме впервые доказывается свойство к^О, как свойство самого оператора.

В §6 Главы 3 произведен анализ дискретного спектра. Доказана следующая

1 е о р в м а 6.1. Пусть X - дискретное собственное знамение уравнения (1.1), Ф - соответствующая собственная функция. Тогда для эволюции дискретного спектра оператора Н - -Д + <2 справедливо соотношение:

(Яг)^ = 2<01.,Ф> N.

гд& н = <(}, Ф>.

-15-

1ШШ1ШЩМ ПО ТЕМЯ ДИССЕРТАЦИИ

1. Лдилбеков E.H., Джвндигулов А.Р. Обратной задача для урввнэнпя Шрадангера с нелокальным потенциалом в многомерном случае / Сб. тр. Новые исследования в вычислительной и прикладной математике. - Караганда: КарГУ. - 1993. - С. 87-90.

2. Лдилбеков E.H. Об амшаг.уде рассеяния в нелокальных обратных задачах /Об. тр. Новые исследования в вычислительной и прикладной математика. - Караганда: КарГУ. - 1S93. - С. 83-87.

3. Лдилбеков E.H. Полнота системы собственных функций для уравнения Шродингера с нелокальным потенциалом / Тезисы на республиканской научной конференции посвященной юблл&ы профессора Аманово. - Алматы - 1993. - С. 1Б--16.

4. Дурмагамбетов A.A., Адалбеков E.H. Анализ спектра оператора Шредингэра с нелокальным потенциалом / Деп. в КазГосШТИ. №4639 - Кп94 - 1994.

тощидатк ШЕС Д9РМЕН VUHH БЕР1ЛП2Г КбГЮЛШЩД!

ШРЕДЫЙГЕР ГЕ11ДЕУ1ПН IiEPI ECEGI.

■ Эд1лГ)вксш Ермэк Нурсагатуля

Диссертация;!!« жгаыста барлыц kphIotIkto ¡сараотырылган ■юи.1рокт1к емоо дармэн уш1н СерЕлген глелшемд! Шредингер ToiurayiHil:. кер.1 есэб1и ашгаруншн од!с1 бвр1лген.

Шчшрыу амчлятудаоы уш1е кпхотт1 жэне жетк1л1кт1 карт тиСылган. :

Уатшттан твувлд1 тен!рект1к емес дармен Yiiiiit берЕлген "гшелш9мд1 Шрэдмнгор тендеу1н1н нгагырнныц oorapici аныкталган.

THE mriDIMi3i2IONAL REVERSE PROBLEM TOR THE SCHRODINGER EQUATION WITH KONLObAL POI'EJSIONAl.

Adilbekoy Ermek Nursagatovich

In the dissertation is proposed tho method of solving the revorse problem for the three dimensional■ Sckrodingar equation with nonlocal potensional.

For the a-iplit'jde of scattering is ellcidated the necessary ил:! sufficient condition.

To maVid the an a lis of the spectrum of the Schrodinger equation with nonlocal potensional, which is dependent on the parametr t