Многомерные интегрируемые операторы Шредингера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение

1. Рациональные потенциалы

1.1. Рациональная функция Бейкера-Ахиезера связанная с конфигурацией гиперплоскостей.

1.2. Монодромия и функции Бейкера-Ахиезера

1.3. Существование функции Бейкера-Ахиезера и локусные уравнения.

1.4. Анализ локусных уравнений и конфигураций. Системы Кокстера.

1.5. Локусные конфигурации на плоскости.

1.6. Локусные конфигурации в многомерии.

2. Тригонометрические потенциалы

2.1. Общие конструкции.

2.2. Примеры конфигураций и соответствующих функций Бейкера-Ахиезера.

2.2.1. Системы корней.

2.2.2. Система Ап>1(т).

2.2.3. Система Сп(1,т).

2.2.4. Система An^,{rri).

2.3. Обоснование аксиоматики функций Бейкера-Ахиезера

2.4. Ограничения на возможные конфигурации.

3. Интегрируемые операторы в пространствах с метрикой

3.1. Сингулярности потенциалов, допускающих сплетающее соотношение.

3.2. Сплетающее соотношение на сфере и в пространстве

3.3. Сферические части обобщенных потенциалов Калодже-ро-Мозера.

3.3.1. Группа диэдра /дт.

3.3.2. Система Ап.

3.3.3. Система Dn.

3.3.4. Система Вп.

3.3.5. Произвольная группа Кокстера.

Открытие интегрируемости уравнения Кортевега-де Фриза в 70-е годы привело к бурному исследованию соответствующих операторов Шредингера, оказавшихся интересными с разнообразных точек зрения.

После решения обратной задачи рассеяния в классе быстроубыва-ющих функций и обнаружения представления Лакса для КдФ последовала знаменательная работа С.П. Новикова [1], посвященная периодическому случаю. Было показано, что периодические неособые решения стационарных уравнений КдФ обладают замечательным спектральным свойством — спектры соответствующих операторов содержат конечное число лакун. Обратное утверждение было доказано Б.А. Дубровиным [2] и Г. Фляшкой [3]: конечнозонность спектра для

L — —d2 + и(х) влечет существование коммутирующего оператора А нечетного порядка

L,A} = 0. (1)

А.Р. Итс и В.Б. Матвеев открыли явную формулу, выражающую потенциал и через гиперэллиптические ^-функции [4]. И.М. Кричевер предложил красивую конструкцию получения конечнозонных потенциалов с помощью функций Бейкера-Ахиезера римановых поверхностей (см. [5]). Стартуя с уравнения коммутативности (1), риманова поверхность определяется уравнением R(u,v) = 0, где многочлен R таков, что R[L,A) = 0. Функция Бейкера-Ахиезера 'ф является общей собственной функцией операторов L и A, tp определена на так называемой спектральной кривой R(u, v) = 0.

Детальное исследование рациональных решений КдФ было проведено в известной работе Э. Эро, Г. МакКина и Ю. Мозера [6]. Авторы показали, что такие решения u(x,t), убывающие на бесконечности, в общем положении имеют вид п 1 причем точки Xj при любом t удовлетворяют уравнениям

Зфг

Такое множество точек авторы называли локусом ("the locus"), а уравнения (2) — локусными уравнениями.

Вскоре после работы Эро, МакКина и Мозера, М. Адлер и Ю. Мо-зер [7] предложили красивое построение рациональных потенциалов в терминах преобразования Дарбу. Любой рациональный потенциал u(x,t), решающий уравнение КдФ и обнуляющийся на бесконечности, может быть получен конечным числом преобразований Дарбу из нулевого потенциала. Эквивалентно, существует дифференциальный оператор D(x, что выполняется соотношение

-d2 + u)D = D(-d2). (3)

Спустя почти 10 лет новое понимание рациональных решений в терминах монодромии было найдено Дюйстерматом и Грюнбаумом [8]. В частности, они показали, что если соответствующее уравнение Хилла (Штурма-Лиувилля) имеет тривиальную монодромию в С при любом спектральном параметре, то есть если все решения ф уравнения

-d2 + и)ф = Хф мероморфны, то и(х) получается преобразованием Дарбу из нуля. Обратное утверждение о безмонодромности потенциалов КдФ следует непосредственно из (3). Другим крайне важным для нас моментом работы Дюйстермата и Грюнбаума было уточнение вида рациональных решений, установленного Эро, МакКином и Мозером лишь в общем положении. Именно, Дюйстермат и Грюнбаум обобщили локусные условия (2) для произвольного рационального решения, обнуляющегося на бесконечности. Такой потенциал имеет вид

Если все кратности тгц = 1, то получаем уравнения локуса (2).

Аналогичная задача для эллиптических потенциалов была исследована Ф. Гештези и Р. Викардом [9] доказавшими, что тривиальность монодромии соответствующего уравнения второго порядка эквивалентна конечнозонности потенциала.

Случай рациональных потенциалов, растущих как ж2, был исследован А. Обломковым [10], который показал, что все такие безмонодром-ные потенциалы получаются преобразованиями Дарбу из потенциа

Обобщение на матричный случай было сделано А.П. Веселовым и В.М. Гончаренко [11]. Для операторов Шредингера с постоянным скалярным старшим символом авторы нашли матричные уравнения локуса, эквивалентные тривиальности монодромии, а также показали, что рациональные убывающие безмонодромные потенциалы получаются матричными преобразованиями Дарбу из нулевого потенциала. Уравнение коммутативности для более общего класса матричных операторов, имеющих постоянный старший символ с различными собственными значениями, было исследовано ранее П.Г. Гриневичем [12].

Вариант конечнозонной теории в двумерном случае был предложен Б.А. Дубровиным, И.М. Кричевером и С.П. Новиковым в 1976 году в известной работе [13] (см. также [14], [15]), где был введен важный класс операторов, конечнозонных на одном уровне энергии.

Исследование коммутативных колец дифференциальных операторов в многомерном случае было начато И.М. Кричевером [5]. с условиями

5 = 1, . . . , ГГЦ. ла х2.

В тг-мерном пространстве он рассмотрел п + 1 попарно коммутирующий оператор Li,., Ln+1 с постоянными старшими символами Pi(£)> ■ ■ ■, Pn-t-i(£) и следующим условием независимости: Pi(£),., Рп(£) алгебраически независимые многочлены, и Рп+1(£) принимает различные значения на решениях системы Рг(£) = ^ ^ г ^ п. Оператор Шредингера L = Li, удовлетворяющий таким условиям, называется алгебраическим (или алгебраически интегрируемым в терминологии [16]). И.М. Кричевер показал, что для операторов Li,., Ln+1 существует многочлен i?(xi,., xn+i) такой, что R(Li,., Ln+1) = 0. Функция Бейкера-Ахиезера является общей собственной функцией операторов Li,. она определена на спектральной поверхности R(xi,., xn±i) = 0.

Первый пример алгебраически интегрируемого оператора Шредингера появился в работе А.П. Веселова и О.А. Чалых [17], которые показали, что оператор Калоджеро-Мозера

I—Е с целым значением параметра т € N является алгебраическим. Основным достижением [17] было введение функции Бейкера-Ахиезера, связанной с конфигурацией гиперплоскостей в Сп. А именно, для потенциалов вида ет—■ аеА 4 ' соответствующих набору векторов А в Сп и натуральных кратностей та, a G А, функция ф = ф(к, х), к,х (Е Сп определялась как функция вида ф — Р(к, х)еук'х\ (6) где Р — полином по к со старшим членом J}и удовлетворяющая соотношениям. s~Vl(A,a)=o = 0, s = l,.,mQ, а е А. (7)

Если такая функция ф существует, то она единственна, и соответствующий потенциал (5) является алгебраически интегрируемым. Любой полином /, удовлетворяющий условиям да lf\(k,a)=o = 0, s=l,.,ma, аеА, является старшим символом некоторого оператора Lf, коммутирующего с оператором L = — А + и{х)1 причем

В работе А.П. Веселова и О.А. Чалых [17] было доказано существование ф для системы Калоджеро (при та = 1), а в работе А.П. Веселова, K.JI. Стыркас и О.А. Чалых [16] — для ее обобщений, предложенных М.А. Олынанецким и A.M. Переломовым [18]. В этом случае А есть система нормалей к зеркалам группы Кокстера G, а функция кратности та целочисленна и G-инвариантна. При доказательстве существования ф авторы существенно использовали результаты Г. Хекмана и Э. Опдама об операторах сдвига (см. [19] и ссылки там). Заметим, что при условии та = 1 авторы показали, что системы Кокстера являются единственной возможностью для существования функции ф. В работе А.П. Веселова и О.А. Чалых [17] также была предложена аксиоматика функции Бейкера—Ахиезера для тригонометрических (гиперболических) потенциалов вида

Соответствующие условия на ф имеют вид ф{к + sa)\(kia)=Q = ф(к-sa)|(fcia)=o, s = 1,., та, а 6 А. (9)

Как было показано Веселовым, Стыркас и Чалых, такая функция ф существует, если А — система корней группы Вейля W, а та И^-инвариантна. Если та = 1, то других возможностей для системы А нет (см. [16]).

Несмотря на естественность гипотезы об алгебраической интегрируемости эллиптической задачи Калоджеро и ее обобщений, эта задача оказалась существенно сложнее. Формула для собственной функции для системы А2 была найдена В. Иноземцевым [20], и для системы

Lf{x, дх)Ф = /(к)ф.

Ап — Дж. Фельдером и А. Варченко [21]. Алгебраическая интегрируемость для системы А^ была доказана JI. Ходариновой непосредственно [22], для Ап — А. Браверманом, П. Этингофом и Д. Гэтсгори [23], используя формулы Фельдера-Варченко. Для системы В2 алгебраическая интегрируемость доказана А. Обломковым [24].

Перейдем к описанию результатов настоящей работы. В главе 1, следуя работе [25], проводится исследование рациональных алгебраически интегрируемых операторов вида где А — некоторый конечный набор неколлинеарных векторов, та Е £ N. Мы предлагаем новое определение функции Бейкера-Ахиезера модифицирующее определение функции (6) из работы [17]. При этом по-прежнему имеет место конструкция, позволяющая при условии существования ф по каждому полиному /, удовлетворяющему (8), построить дифференциальный оператор Lj так, что

Это обсуждается в разделе 1.1. В разделе 1.2 мы получаем условия, которым должен удовлетворять потенциал и(х), если ф- функция существует (см. теоремы 1.4, 1.5). Эти условия являются многомерным обобщением одномерных условий локуса и имеют следующий вид. Если разложение и(х) по нормали а возле гиперплоскости (а, х) = 0, то

В разделе 1.2 показывается, что условия (10) эквивалентны тривиальности монодромии уравнения Шредингера вокруг (а, х) = 0. Далее мы доказываем теорему 1.6 о симметрии ф(к,х) = ф(х, к) (ср. [16]).

Замечательным образом условия локуса (10) на потенциал и{х) оказываются достаточны для существования функции Бейкера-Ахиезера. та(та + 1)(ог, ск)

Lj(x,dx)^(k,x) = /(к)ф(к,х).

Ci = с3 = . = с2та-1 = 0 при (а, х) = 0.

10)

Эта теорема была установлена О.А. Чалых, мы приводим доказательство в разделе 1.3 (теорема 1.8). Отметим, что если ф существует, то она может быть задана явной формулой, найденной Ю. Берестом [26].

Таким образом, вопрос о наличии функции Бейкера-Ахиезера для системы Л = {А, та} сводится к разрешимости системы алгебраических уравнений (10), а пробегает А. Явное описание возможных конфигураций, удовлетворяющих (10), до сих пор является открытым вопросом. Доказаны следующие результаты:

1) Система является локусной тогда и только тогда, когда любая ее двумерная подсистема является локусной (теорема 1.9).

2) Если в произвольной локусной системе Л выбрать подсистему векторов В с "большими" кратностями тр, то подсистема В является кокстеровской, а система Л инвариантна под действием соответствующей группы Кокстера (теорема 1.10).

3) Вещественные локусные системы, в которых все кратности одинаковы, являются системами Кокстера (теорема 1.11).

Заметим, что если отказаться от условия вещественности, то уже в простейшем случае трех прямых на плоскости кратности 1 возникает однопараметрическое семейство локусных конфигураций (см. теор. 1.13). Тем самым функция ф существует для некоторых конфигураций, не допускающих существование функции ф. То, что аксиоматика ф наиболее общая, следует из теорем 1.8, 1.5 — функция Бейкера-Ахиезера ф существует при условиях локуса, которые выполняются в предположениях теоремы 1.5.

В разделе 1.5 описываются двумерные локусные конфигурации. Угловые части соответствующих потенциалов являются одномерными тригонометрическими потенциалами, получающимися преобразованиями Дарбу из нуля. Это семейство потенциалов ранее рассматривалось Ю.Ю. Берестом и И.М. Луценко в контексте проблемы Адамара [27]. Близость проблемы Адамара и условия существования ^-функции была обнаружена Ю.Ю. Берестом и А.П. Веселовым [28]. В заключение главы мы приводим все известные многомерные локусные конфигурации. Помимо кокстеровских это три серии Апд(т), Сп(т,1): Ап^{т). Первые две из них возникли в работе [25] в двумерной ситуации и исследовались в [29], [30]. Конфигурация Ап^(т) была недавно найдена О.А. Чалых.

Отметим, что имеется некоторая связь между локусными конфигурациями и решениями обобщенных уравнений WDVV. В работе [31] А. Маршаков, А. Миронов и А. Морозов построили специальные решения этих уравнений, связанные с классическими системами корней. Далее Р. Мартини и П. Грагерт обобщили этот результат на произвольные системы корней [32]. Как показал А.П. Веселов [33], также можно построить решения обобщенных уравнений WDVV, соответствующие произвольной системе Кокстера, а также решения, соответствующие системам Апд(ш) и Сп(т:1).

В главе 2 обсуждается тригонометрическая версия аксиоматики функции Бейкера-Ахиезера, связанной с системой векторов А С Сп и набором кратностей тпа, а £ А. Предлагается новое определение функции Бейкера-Ахиезера. При этом если функция тр существует, то она единственна, и по-прежнему выполняется основная конструкция [17], при которой каждому полиному /(&), удовлетворяющему (9), соответствует оператор Lf со свойством

Все такие операторы Lf образуют коммутативное кольцо, причем

Обсуждению этой конструкции посвящен раздел 2.1. В разделе 2.2 рассматриваются все известные примеры конфигураций, допускающих функцию Бейкера-Ахиезера в указанном смысле, а также строятся соответствующие функции. Построения основаны на введении и использовании разностного оператора по спектральному параметру, для которого функция Бейкера-Ахиезера оказывается собственной. Эти

Lfip = f-ф.

П) операторы являются аналогами операторов Макдональда, введенных им в случае систем корней [34].

Так как теорема 1.5 может быть применена к операторам (11), допускающим функцию Бейкера-Ахиезера, для та{та -hi) (ог, а) и м = Е sh2(a,:r) аеА 4 ' ' выполняются локусные соотношения (10) на любой гиперплоскости, где sh(ai, х) = 0. Теорема Чалых [35] в тригонометрическом случае утверждает, что из локусных соотношений (10) следует наличие собственной функции у оператора L вида ф = Р(к, х)е^к'х\ однако априори неясно, является ли ф функцией Бейкера-Ахиезера. Наша теорема 2.4 утверждает, что это так при некоторых дополнительных предположениях. В заключение главы мы преобразовываем локусные условия к более наглядному геометрическому виду. Полученные условия могут играть решающую роль в проблеме классификации.

Прежде, чем переходить к результатам последней главы, сделаем замечание о связи функций Бейкера-Ахиезера с многомерными преобразованиями Дарбу. Для оператора Шредингера L = —А + и(х) наличие собственной функции ф вида ф(к,х) — Р(к,х)екх, где Р — полином по к, эквивалентно выполнению сплетающего соотношения

LD = £)(—А), (12) где оператор D = P(J^,x) получается заменой к{ на ^ в многочлене Р, причем дифференцирования в Р(д,х) пишутся справа. При выполнении сплетающего соотношения (12) говорят, что оператор Шредингера L получается (многомерным) преобразованием Дарбу из оператора Lq = —А, или что оператор L является D-интегрируемым (см. [36]). Очевидно, что если для рационального или тригонометрического потенциала и(х) существует функция Бейкера-Ахиезера, то и{х) D-интегрируем. При некоторых естественных аналитических предположениях Ю.Ю. Берест и А.П. Веселов показали, что особенности D-интегрируемого потенциала и(х) сосредоточены на гиперплоскостях [36]. В соответствии с теоремой 1.5 монодромия L вокруг этих гиперплоскостей тривиальна, то есть и{х) удовлетворяет условиям локуса. Если при этом и(х) — рациональная функция, убывающая на бесконечнос \ v^ ma(ma+l)(a,a) г л ти, то и\х) = (axY Для некотоРого набора А, причем по aGA { ' J теореме 1.8 для Л = {А,та} существует функция Бейкера-Ахиезера. Таким образом, в рациональном случае из D-интегрируемости следует существование функции Бейкера-Ахиезера. Предположительно это верно и в тригонометрической ситуации.

Последняя глава работы посвящена исследованию сплетающего соотношения

LD = DL0 на римановом многообразии, где Lq — оператор Лапласа-Бельтрами, записанный в локальных координатах; L = Lq + и(х). В разделе 3.1, следуя Ю.Ю. Бересту и А.П. Веселову, мы доказываем обобщение теоремы о сингулярностях D-интегрируемых потенциалов. В работе [36] авторы доказали, что в плоском случае особенности и{х) образуют гиперплоскости и предположили, что в случае произвольной метрики особенности будут сосредоточены на вполне геодезических подмногообразиях. В теореме 3.1 мы доказываем это предположение для особенностей коразмерности 1. В разделе 3.3 показывается, что сферические части обобщенных операторов Калоджеро-Мозера (операторов Олыпанецкого-Переломова), связанных с классическими системами Кокстера, являются D-интегрируемыми при целых значениях параметра (теоремы 3.3, 3.4, 3.6). Некоторые результаты относительно общих систем Кокстера приведены в теореме 3.7. При построениях мы существенно используем идею Г. Хекмана [19] построения операторов сдвига с помощью операторов Данкла [37].

Благодарности.

В первую очередь я выражаю огромную благодарность моим научным руководителям А.П. Веселову и О.А. Чалых. Вся диссертация является продуктом нашего совместного труда. На протяжении всей работы исключительный энтузиазм А.П. Веселова являлся неисчерпаемым источником для моих сил и интереса, а многочисленные беседы с О.А. Чалых помогали преодолевать всяческие трудности от чисто технических до идейных. Я также благодарен А. Обломкову, В. Гон-чаренко и С. Локтеву за многие стимулирующие и поддерживающие обсуждения.

1. Новиков С.П. Периодическая задача для уравнения Кортвега-де Фриза // Функц. анализ и его прил. 1974. Т. 8, № 3. С. 54-66.

2. Дубровин Б.А. Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза в классе конечнозонных потенциалов // Функц. анализ и его прилож. 1975. Т. 9, № 3. С 41-51.

3. Flasehka Н. On the inverse problem for Hill's operator // Arch. Rat. Mech. Appl. 1975. V. 59. R 293-309.

4. Итс A.P., Матвеев В.Б. Операторы Хилла с конечным числом лакун // Функц. анализ и его прилож. 1975. Т. 9, № 1. С. 69-70.

5. Криневер И.М. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений // Успехи матем. наук. 1977. Т. 32, № 6. С. 183-208.

6. Airault Н., McKean Н.Р., Moser J. Rational and elliptic solutions of the Korteweg-de Vries equation and a related many-body problem // Comm. Pure Appl. Math. 1977. V. 30. P. 95-178.

7. Adler M., Moser J. On a class of polynomials connected with the Korteweg-de Vries equation ]/ Commun. Math. Phys. 1978. V. 61. P. 1-30.

8. Duistermaat J.J., Griinbaum F.A. Differential equations with the spectral parameter // Comm. Math. Phys. 1986. V. 103. P. 177-240.

9. Gesztesy F., Weikard R. Elliptic algebro-geometric solutions of the KdV and AKNS hierarchies — an analytic approach // Bulletin of AMS. October 1998. V. 35, № 4. P. 271-317.

10. Обломков А.А. Безмонодромные операторы Шредингера с квадратично растущим потенциалом Ц Теор. и матем. физика. 1999. Т. 121, №3. С. 374.

11. Goncharenko V.M., Veselov А.P. Monodromy of the matrix Schrodmger equations and Darboux transformations // J. Phys. A: Math. Gen. 1998. Y. 31. P. 5315-5326.

12. Гриневич П.Г. Векторный ранг коммутирующих матричных дифференциальных операторов. Доказательство критерия С.П. Новикова J Известия АН СССР. Серия Матем. 1986. Т. 50, № 3. С. 458-478.

13. Дубровин Б.А., Кричевер И.М., Новиков С.П. Уравнение Шредингера в периодическом поле и римановы поверхности // Доклады АН СССР. 1976. Т. 229, вып. 1. С. 15-18.

14. Веселов А.П., Новиков С.П. Конечнозонные двумерные периодические операторы Шредингера: явные формулы и эволюционные уравнения // Доклады АН СССР. 1984. Т 279, вып. 1. С. 20-24.

15. Веселов А.П., Новиков С.П. Конечнозонные двумерные периодические операторы Шредингера: случай потенциала // Доклады АН СССР. 1984. Т. 279, вып. 4. С 784-788.

16. Веселов А.П., Стыркас K.JL, Чалых О.А. Алгебраическая интегрируемость для уравнения Шредингера и группы, порожденные отражениями // Теор. и матем. физика. 1993. Т. 94, № 2. С. 253275.

17. Chalykh О. A., Veselov А.P. Commutative rings of partial differential operators and Lie alrebras // Commun. Math. Phys. 1990. V. 126. P. 597-611.

18. Olshanetsky M.A., Perelomov A.M. Quantum mtegrable systems related to Lie algebras // Phys. Rep. 1983. V. 94. P. 313-404.

19. Heckman G.J. Л remark on the Dunkl differential-difference operators // Prog, in Math. 1991. V. 101. P. 181-191.

20. Inozemtsev V.I. Solution to three-magnon problem for s = 1/2 periodic quantum spin chains with elliptic exchange // J. Math. Phys. 1996. V. 37, № 1. C. 147-159.

21. Felder G., Varchenko A. Three formulas for eigenfunctions of inte-grable Schroedinger operators // J. Compos. Math. 1997. V. 107, № 3. P. 143-175.

22. Ходаринова JI.А. О квантовой эллиптической задаче Калодже-ро-Мозера // Вестник Моск. Ун-та. Сер. 1. 1998. № 5. С. 16-19.

23. Braverman A., Itingof P., Gaitsgory D. Quantum integrable systems and differentional Galois theory // Transformation Groups. 1997. V. 2, № 1. P. 31-57.

24. Обломков А.А. Интегрируемость некоторых квантовых систем, связанных с системой корней В^ Ц Вестник Моск. Ун-та. Сер. 1. 1999. № 2. С. 6-9.

25. Веселов А.П., Феигин М.В., Чалых О.А. Новые интегрируемые деформации квантовой задачи Калоджеро-Мозера // Успехи ма-тем. наук. 1996. Т. 51, № 3. С. 185-186.

26. Berest Yu. Huygens' principle and the bispectral problem // CRM Proceedings and Lecture Notes. 1998. V. 14. P. 11-30.

27. Berest Yu.Yu., Lutsenko I.M. Huygens'principle in Minkowski spaces and soliton solutions of the Korteweg-de Vries equation // Commun. Math. Phys. 1997. V. 190. P. 113-132.

28. Берест Ю.Ю., Веселов А.П. Проблема Адамара и группы Кокс-тера: новые примеры гюйгенсовых уравнений // Функц. анализ и его прил. 1994. Т. 28, № 1. С. 3-15.

29. Veselov А.P., Feigin M.V., Chalykh О.A. New integrable generalizations of Calogero-Moser quantum problem jf J. of Math. Phys. 1998. V. 39, № 2. P. 695-703.

30. Chalykh О.A., Feigin M.V., Veselov A.P. Multidimensional Baker-Akhiezer Functions and Huygens' Principle // Commun. Math. Phys. 1999. V. 206. P. 533-566.

31. A. Marshakov, A. Mironov, A. Morozov More evidence for the WDVV equations in N = 2 SUSY Yang-Mills theories // hep-th 9701123.

32. R. Martini, P.K.H. Gragert Solutions of WDVV equations in Seiberg-Witten theory from root systems // J. Nonl. Math. Phys. 1998. V. 6, № 1. P. 1-4.

33. A.P. Veselov Deformations of the root systems and new solutions to generalised WDVV equations // Physics Letters A 1999. V. 261, P. 297-302.

34. I.G. Macdonald Orthogonal polynomials associated with root systems // Preprint 1988.

35. Чалых О.А. Преобразования Дарбу для многомерных операторов Шредингера // Успехи матем. наук. 1998. Т. 53, № 2. С. 167-168.

36. Берест Ю.Ю., Веселов А.П. О сингулярностях потенциалов точно решаемых уравнений Шредингера и проблеме Адамара // Успехи матем. наук. 1998. Т. 53, № 1. С. 211-212.

37. Dunkl C.F. Differential-difference operators associated to reflection groups // Trans. AMS. 1989. V. 311. P. 167-183.

38. Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Харьков: Гос. науч.-техн. изд. Украины, 1939.

39. Oshima Т. A definition of boundary values of solutions of partial differential equations with regular singularities // Publications of the RIMS, Kyoto Univ. 1983. V. 19. P. 1203-1230.

40. Berest Yu., Veselov A. On the Structure of Singularities of Integrable Schrodinger Operators // Submitted to Letters in Math. Physics. 1998.

41. Березин Ф.А. Операторы Лапласа-Белътрами на полупростых группах Ли // Труды ММО. 1957. Т. 6. С. 371-463.

42. Bourbaki N. Groupes et algebres de Lie. Chap. VI. — Masson, 1981.

43. Calogero F. Solution of the one-dimensional n-body problem with quadratic and/or inversely quadratic pair potential // J. Math.Phys. 1971. V. 12. P. 419-436.

44. Crum M.M. Associated Sturm-Liouville systems // Quart. J. Math. 1955. Ser. 2. V. 6. P. 121-126.

45. Chalykh O. Bispectrality for quantum Ruijsenaars model and its in-tegrable deformations // J. Math. Phys.

46. Фейгин M.B. О сингулярностях операторов, удовлетворяющих сплетающему соотношению // Теор. и матем. физика. 1999. Т. 121, № 2. С. 264-270.

47. Taniguchi К. Differential operators that commute with the r~2-type Hamiltonian jj in Calogero-Moser-Sutherlend models, CRM series in Math. Physics.