Многомерные задачи Стефана и Флорина в весовых гельдеровских пространствах функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

Р Г Б О А На правах рукописи

УДК 517.95

БИЖАНОВА Галича Иржановна

МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДА ЧИ СТЕФАНА И ФЛОРИНА В ВЕСОВЫХ ГЕЛЬДЕРОВСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Алматы, 1994

Работа выполнена. в лаборатории уравнений математической физики Института теоретической я прикладном математики ПАИ РК и в лаборатории математической физики Санкт-Пстербуртского отделения Математического института им.Н.Л.Стеклопи РАН

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор В.Л .Сололников Ведущая организация; Санкт-Петербургский государственным университет Официалыплс оппояеяты: академик НАН КР, член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор М.И.Иманалиев; член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук,

профессор П.И.Плотников; доктор физико-математических наук, профессор III.С Смпгулоп.

Защита диссертации состоится 22 ноября 1994г. к 15 час. на заседании Специализированного совета Д - 53.04.01 при Институте теоретической и прикладной Л1атсматики НАН РК по адресу: 480021, Алматы, ул. Пушкина, 125.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЙТЛМ НАН РК. Автореферат разослан 1994 г.

Ученый секретарь Специализированного совета Д - 53.04.01, кандидат физико-математических наук

'V

•у

А.Т.Кулахмстоиа'

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Работа посвящена исследованию классических реакций нелинейных многомерных ::адач с неизвестными (свободными) границами Стефана и Флорина для линейных и квазилинейных параболических уравнени й второго порядка.

Задачи Сгефана и Флорина возникают при математическом описании тепловых процессов, связанных с изменением arpera гного состояния вещества, движения жидкости в пористой среде. ГЗ связи с этим они находят широкое применение в металлургии, при изучении процессов сварки, электронной и плазменной обработки материалов, в теории электрических контактов, в геотермии, мерзлотоведении, теории фильтрации и т. д.

Одномерная задача Стефана изучена достаточно полно в работах Л.И.Рубинштейна, А.Фридмана, И.И.Данилюка, Б.В.Баэалия и В.Ю. Шелепова, А .М.Мейрманова, В.В.Пухначева, С.В.Салея, А.Фазано и М. Яримичерио и др.

Новый этап в изучении проблемы Стефана связал с интенсивным развитием теории краевых задач в 50 - 60 г.г. В работах О.А.Олейник (1960 г.), С.Л.Каменомостской (1961 г.), О.А.Ладыженской, В.А.Солон-иикова, Н.Н.Уральцевой (1967 г.), А.Фридмана (1968 г.) были доказаны существование и единственность обобщенного решения многомерной задачи Стефана, а также показано, что всякое классическое решение задачи является и обобщенным, и тем самым устанавливалась единственность классического решения многомерной задачи Стефана.

Дальнейшее продвижение в изучении многомерной задачи Стефана связано с развитием теории вариационных неравенств. В 1975 г. А.Фридманом и Д.Киндерлерером была установлена липшмцевость свободной границы в однофазной задаче Стефана. Используя результа-

ты Л.Каффареллм о гладкости свободной границы, Д.Киндерлерер и Л.Нирелберг в 1978 г. доказали аналитичность свободно» границы в однофазной задаче Стефана и, следовательно, существование классического решения задачи. Другим методом, привлекая е-регуляриэацию условия Стефана и переменные Миэеса, А.М.Мейрманов в 1980 г. доказал существование классического решения многомерной двухфазной задачи Стефана. При помощи теоремы о неявной функции Мозера-Нэша аналогичный результат для однофазн"' »адачц Стефана установил в 1981 г. Е.И.Хь.нэава. Большое продвижение многомерная задача Стефана получила в работах Б.В.Базалия (1982, 1983, 1986 гл .). Исследуя двухфазные и однофазные двумерные задачи Стефана для уравнений теплопроводности в случае, когда свободная граница является графиком функции на отрезке прямой, он уточнил понятие решения многомерной задачи Стефана, выделил и изучил линейные модельные задачи с производной до времени в граничном условии и условии сопряжения, имеющие принципиальное значение при решении многомерных задач Стефана, доказал в пространстве Гсльдера для малых времен существование решения двумерной однофазной задачи Стефана, а совместно с С.П.Дегтяревым (1987 г.) - трехмерной двухфазной задачи Стефана с конвекцией. При помощи метода Роте и вариационных методов классическая разрешимость трехмерной задачи Стефана для уравнения теплопроводности в областях специального вида на произвольном промежутке времени исследовалась М.А.Бородиным (1992 г.). Отметим также, что в исследованиях А.М.Мейрманова и Е.И.Хаизавы был допущен большой "зазор" меж,¿у гладкостью решений и заданных функций, уменьшенный или сведенный к нулю в работах Б.В.Базалия, С.П.Дегтярева и М. А.Бородина, в которых, однако, рассмотрены задачи в менее общей постановке.

Со леем короткую историю имеет задача Флорина, сформулирован-

нал ь 19,'jJ i'. л одномерном однофазном варианте российским учении А.В.Флорилым. Это снятию прежде исего с "вырожденностью" ;и1ффе-ренциалi.)ioiо ураинения на с »обидной щляице {чсловия Флорина) и отсутствием общих иегодов решения многомерных задач со сиободными границами. Одномерная шдача Флорина исслсдоиалась Т.Д.Веатцсль, 11 .В.Ьочаровой, Нгуеном Липом Чи, А.Фаза»« я М.Примичерио. Классическая разрешимость многомерных однофазных задач Флорина для кьалилньейпых и линейных параболических уравнений второго порядка изучалась А.М.Мейрманоиым (Ш1 г.) в случае, когда свободная граница яилаеня графиком функции на отрезке прямой, и А.Фазано, hi Примичерио и К.ВЛ'адкевмчем (\9У2 г.), при этом ими била допущена большая ноiеря гладкости 'заданных функций.

При линеаризации однофазной и двухфазной многомерных задач Стефана возникают содержательные линейные задачи с производной но времени и граничном условии и условии сопряжения. Они не вкладывается в общую теорию краевых задач для параболических уравнений, так как для пи.ч не выполняется условие дополнительности. Как было показано С.И.Темирбулатовыи, такие задачи, вообще говоря, не являются корректными но Лдамару. Для их однозначной разрешимости необходимо, чтобы ь граничном условии и условии сопряжения присутствовали также наклонные (некасательные) производные строго определенного направлении. В.В.Вадалием били изучены в гельдероаских пространствах функций задачи для уравнений теплопроводности с производной но времени в граничном условии и условии сопряжения а полупространств н пространстве в двумерном случае, а трехмерном - сопмеско с С.П.Дегтяревым. В.Л.Солошшкозш! получены оценки ргшеидя модельной задачи с производной по времени з граничном условии э геяьдерсв-ских нормах при помспы теоремы о мульгпплнкагорах а иитегр&как Оу-

рье - Лапласа. 1

Все задачи, линейные и нелинейные, изучаются в весовых гельдеров-

^ I

ских пространствах функций C7J(Qr) с весом в виде степени t, что позволяет рассматривать решения, производные которых DktD™v, при s < < 2к+\т\ < I могут иметь особенность при t ~ О порядка г'^г1^. Это дает возможность понизить гладкость заданных функций, уменьшить или свести к нулю порядок условий согласования начальных и краевых данных, а в случае s ~ I получить результаты, как следствие, для аниэотрол-

! - - I 1

ных пространств Гельдера Cx'2t(Qr). Пространство CV'(Qt) было введено в рассмотрение В.С.Белоносовым. 2 Начально - краевые задачи для параболических уравнений и систем в весовых пространствах Гельдс-ра исследовались В.С.Белоносовым, Т.И.Зелеияком, В.А.Солошшковым, А.Г.Хачатряном, В.В.Пухначсвым и др. Отметим, что другие весовые пространства функций, например, с весом в виде отрицательной степени t, рассматривались И.И.Данилюком, С. В. С алеем, М.О.Отелбаевым, Т.Е.Омаровым, Е.И.Кимом и Г.И.Бижанояой и др.

Цель работы. Доказать существование и единственность решений в малом по времени в весовых гельдеровских пространствах функций многомерных двухфазных и однофазных задач Стефана и Флорина для линейных и квазилинейных параболических уравнений второго порядка в ограниченных звездных областях, получить коэрцитивные оценки решений в нормах этих пространств. Изучит!, в весовых гельдеровских пространствах функций возникающие при линеаризации многомерных однофазных и двухфазных задач Стефана начально-краевые задачи с производной по времени » граничном условии и условии сопряжения для параболических уравнений второго порядка в ограниченных областях на

'Здесь ухиш тодькс рь/оты, в которых 3M0.1l рьсс*&тризм>гсл s регулярных области к в

срсстрадстзях Гельдера.

^глиосоа B.C., Зегедех Т.Н. Н-сзтсь'ы-' ip'/j'us » ттог*» трийолпескис

ypxBimil. Horcci^Ï1575, 155 с.

произвольном промежутке времени. Получить годные результаты для рассматриваемых задач.

Научная новизна и теоретическая ценность. Получены точные результаты для нелинейных многомерных задач Стефана и Флорина и связанных с ними линейных начально-краевых задач с производной по времени в граничном условии и условии сопряжения.

Доказаны в весовых гельдеровских пространствах функций, в частности, в пространствах Гельдера существование и единственность решений в малом по времени многомерных двухфазных и однофазных задач Стефана и Флорина для линейных и квазилинейных параболических уравнений второго порядка в ограниченных звездных областях, получены коэрцитивные оценки решений в нормах этих пространств. Показано, что в задачах со свободными границами в результате преобразования неизвестных областей в фиксированные заданные функции }т{х,1) в правых частях уравнений становятся коэффициентами о Ф квазилинейных параболических уравнений, где -функция, описывающая свободную границу, аналогичную роль играют заданные функции дт{х, I) в правых частях условий на свободной границе. Вследствие этого не представляется возможным при наличии функций /Г11(х,0 и дт(х,1),т = 1,2, получить точные результаты в пространствах с] для минимальных по-

казателей Гельдера / 6 (0,1).

Доказаны в весовых гельдеровских пространствах функций, в частности, в пространствах Гельдера существование и единственность решений на произвольном промежутке времени начально-Краевых задач с производной по времени в граничном условии и условии сопряжения для параболических уравнений второго порядка, получены коэрцитивные оценки решений в нормах этих пространств.

Для произведений и суперпозиций функций из весовых гельдеровских

пространств СУ3(<Уг) установлены опенки. из которых, в частости, вытекают оценки произведений и суперпозиций функций ил пространств Гслъдера.

Исследование эалач п вегоных 1члъдерппскнх пространствах функций позволило понизить гладкость заданных функций, уменьшить или снести к нулю порядок условий согласования начальных и краевых данных, которые, как известно, ограничивают произвол эй данных функций в пределах тех множеств, которым они принадлежат.

Методика исследования и степень достоверности. В работе применяются методы теории дифференциальных уравнений с частными производными и методы функциональною анализа и теории функций. При решении начально-краевых задач с производной по времени в граничном условии и условии сопряжения строятся функции Грина модельных задач в полупросд раистве и пространстве соответственно в явном вида, устанавливаются оценки в весовых гсльдеровсхих номах потенциалов, порожденных этими функциями. При помощи решений модельных задач строятся регуляриэаторц и доказывается однозначная разрешимость задач в ограниченных областях на произвольном промежутке времени. Нелинейные задачи со свободными границами (в неизвестных областях) сладятся к нелинейным задачам в фиксированных областях. После обращения линейных частей они преобразуются к задачам, для которых становится возможным применение принципа сжимающих отображений при малых значениях времени.

Все результаты работы сформулмровыаны в виде теорем, лемм и их слс!'.;твнЛ к строго доказаны.

Яовложешга. Работа косит теоретический характер. Результаты ис--лг.попа.1шк могут найти применение в линейных и нелинейных задачах

1-смзтяческой физики, в частности, при рассмотрении задач со свобод-

ны11и границами. Кроме того, задачи Стефаиа и Флорина могут быть использованы при изучении тепловых процессов с изменением агрегатного состояния вещества, в металлургии, мерзлотоведении, геотермии, теории фильтрации и так далее.

Что выносится на защиту. Доказательства теорем сущеглъования и единственности в весовых гельдеровских пространствах функций и, в частности, в пространствах Гельдера для малых значений времени решений нелинейных многомерных двух- и однофазных задач Стефана и Флорина для линейных и квазилинейных параболических уравнений второго порядка.

Доказательства теорем существования и единственности в весовых гельдеровских пространствах функций и, в частности, в пространствах Гельдера для произвольных промежутков времени решений линеаризованных многомерных двух- и однофазных задач Стефана - задач с производной по времени в условии сопряжения и в граничном условий.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на конференциях по нелилейным задачам математической физики (г.Донецк, 1987, 1989, 1991, 1993 г.г.); на совместном заседании семинара им.И.Г.Петровского и Московского математического общества (г.Москва, январь 1994 г.); на Международном математическом конгрессе (г.Цюрих, Швейцария, август 1994 г.); на научных семинарах под руководством: академика HAH PK В.М. Амербаева; чл.-корр. HAH PK Н.К.Блиева; академика HAH KP, чл.-корр.РАН М.И.Иманалиева; чл.-корр. НАД PK Е.И.Кима, чл.-корр. HAH PK С.Н.Харина и доцента М.О.Орынбасарова; академика РАН O.A. Ладыженской (г.Санкт-Петербург, семинар им.В.И.Смирнова); чл.-корр. HAH PK М.О.Отелбаева и академика ЙА PK Ш.С.Смагулова; профессора В.В.Нухначева (г.Новосибирск); чл.-корр. HAH PK Д.У.Умбетжанова.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[9].

Объем и структура работы. Диссертация выполнена на 260 страницах машинописного текста и состоит из введения, двух глав, которые разделены на 8 параграфов. Список литературы содержит 140 наименований.

Во введении дан обзор имеющихся результатов по теме диссертационной работы и изложено ее краткое содержание.

В § 1 приведены основные обозначения и определения функциональных пространств Гельдера, в частности, весовых гельдеровских пространств

Определение. Пусть 1-нецелое положительное число, з < I. Под

деленных в области <3т = Ю х (0,Т) и имеющий конечную норму

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

функций С« (<5т)-

С7ЧФг) будем пойиыать банахово пространство функций и(х,<), опре-

о,

я <о

где 4; = ах (1,о,

1Ч-Н']) «,<?г '

-а

вир

\v\qt = sup |i>0,<)l, (*,t)et}r

- норма пространства Гельдера C't'\(Qr)

-(«!$ + E \d\d?u\Qt

ИеЦт1<«

При s — I Ci'(Qt) сонпадает с пространством При л > О

О'.J ¡L,

определим С, (Qt) как подпространство функций из Ct'3(Qr), удовлетворяющих нулевым начальным условиям ffti^o — 0, 2к < з. При

в'. J U

s < О положим С, (Qj)=C;s(Qr).

Пусть Lm и К,п, т = 1,2, линейный и квазилинейный параболические

операторы второю порядка

(1)

v I 4 п 0 9 \ ди™ »»/ , п ^ а%и™

Кт(х, t, ит, Dxum, —, = -ar-.bbiy

«»»£>.«»), (2) коэффициенты которых удовлетворяют условиям

Е > аое, а\? = af V(r, *) € Q™, ( G Я\

ij'=i

E > = V(x,0 € g^, (fl.p) G Д x д\

где ao = const >0, p = ...,p„), A~(d,-d), d= const >0,

Q{t] = П„ x (0,T).

Глава I. ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ ЗАДАЧИ СТЕФАНА И ФЛОРИНА

Первая глава посвящена исследованию начально-краевых задач, возникающих при линеаризации нелинейных многомерных задач Стефана и Флорина.

и

При изучении нелинейных задач Стефана и Флорина, а также связанных сними линейных начально-краевых задач появляется необходимость оценки произведений и суперпозиций функций из пространств

Пусть p¡{x,t) ее,"* (QT),a¡ < *¡; ®(®,<) 6 C&V^Wt), íj+í < h+i,

i = 1,2; f(í,í)ed(?r); p{z',t)ec,y ш, se<le; <p(x,t)e

í- k

G Cs,'2 (Rt), З7 < /7, где Я-гиперплоскость xn = 0, Rj = Rx [0,T].

В § 2 установлены оценки в весовых пространствах Гельдера произведений функций p¡qf, Р1Г2, <7i?2> Pi9 и суперпозиций функций p¡ о р, Pi°<P, qi°P, qi°<p, где F от] = F{x', хп +• т?(х', t),t) к F oq = = F(x',xnr}{x',t),t).

В § 3 и § 5 изучаются начально-краевые задачи с производной по времени в условии сопряжения (5 3) и в граничном условии (§ 5) для параболических уравнений второго порядка в ограниченных областях. Сформулируем их.

Пусть О-ограличенлая область в Я", п >2, с границей S. Пусть Г С П-замкнутая поверхность, разделяющая П на две области: ííi ы flj, причем

= S U Г, öfl2 = Г, Г П S = ф. Положим = х (О, Г), ST = = 5x[0,rj, Гг = Г х [О, T¡.

Рассмотрим задачу сопряжения. Требуется определить функции tíi(x,t) и ú2(x,t) по условиям:

= /„(«,<) bQP, т = 1,2, . (3) «m|t-0 = «отл(ас) В íím, (4)

Ullsr = (5)

«i-«a|rr = <PÜM), (6)

= + ~ Ф.07»2 +

+60(a!,t)ui + с„(я,0«2|гт = V'OM)» (7)

гдеш(х,*) = {«ь u2}, 6(x,t) = (6i(x,t),...A(M)), ФМ) = (ci(x,i), Cn(x, ()), V = (gf-,..., j^-), операторы Ln определяются по формулам (1), коэффициенты которых подчиняются также неравенствам: aj}\x,i) ft * «£>(*, I) на ГТ.

Будем предполагать, что выполнены условия:

b(x,t)n(x) > S0, c(x,t)n(x) > S0 на Гг, (8)

где 60 = const > 0, п(х) - нормаль к поверхности Г в точке х, направленная внутрь области fij.

Теорема 3.1. Пусть I - нецелое положительног число, I < $ < 2 -f I, S, Г 6 С1+1, коэффициенты операторов Lm, т — 1,2, принадлежат пространству cl' '(Qj^), оператора В\ - м выполнены

условия (8).

Тогда при любых функциях fm(x, t) € ci'-aCQr^). uem(*) € С"(Пт) и u0i(*)|r G С*(Г), где/3 = тт{1 ±i,2+l), p(x,t) G

G C,1+''l+i(rr), i/>(x,t) e С^'^СГт), удовлетворяющих на поверхностях S и Г условиям согласования порядка [j], задача (3)-(7) имеет единственное решение ит

1+1 ш

G J (Гг), т = 1,2, для которого справедлива оценка

Ekff.. + l^.ia^c.iEd/J^,-, + |u0m|W)+ + W&" + +

Сформулируем задачу с производной по времени в граничном условии. Пусть il - ограниченная область в й*, п > 2, с границей Г. Положим QT= ttx(Q,T), Гт=Гх[0,Т).

Требуется найти функцию ti(a;, i) по условиям:

u|t=0 = Мя) в Q, (10)

13

3 д Он

= Т1 + + М*.<Нгг = ¥>(*,<), (")

где оператор Ь определяется по формулам (1) , в которых следует опустить индекс т.

Будем предполагать, что выполнено условие:

6(ж,«)п(х) > 61 иаГт, (12)

где ¿1 = сопл< > 0,п(х) - внешняя нормаль к поверхности Г в точке х.

Теорема 5.1. Пусть I - нецелое положительное число, I < я < 2 4- /, Г' € С2+', коэффициенты оператора Л принадлежат пространству Сх Н<Эт), оператора В - С^4'¿^(Гг) " выполнено условие (12).

I

Тогда при любых функциях /(х, /) € СУ_2(Фг)> "о(г) € и

«о(®)1г € С"(Г), гдер= тт(1 + л,2 + /), € с£,',1*4(Гг), удовле-

творяющих на поверхности Г условиям согласования порядка [5], задача (9)-(11) ш«еет единственное решение и(х,1) €

6 С,'4'1 3 (Гх), для которого справедлива оценка

+ \Diut1k < с2(1/|«-2,дг + |«0Й} 4 КГ +

Из теорем 3.1 и 5.1 в случае з = 2+1 вытекают теоремы об однозначной разрешимости задач (3) - (7) и (9) - (11) в анизотропных пространствах Гельдера.

Таким образом, при выполнении условий (8) н (12) задачи. (3)-(7) и

(9)-(11) будут коэрцитивными в пространствах функций ит(г, ¡) и и(ж, 1),

принадлежащих и С?+,'1+'(С?т) соответственно, производ-

1-Н

ные по времени которых Дн^ж, <) и 0,и(х, () принадлежат С, ' 3 (Гг).

При доказательстве теорем 3.1 и 5.1 существенно используются тепловые потенциалы - решения модельных задач в пространстве Д" с производной по времени в условии сопряжения и в полупространстве Л" с производной по времени в граничном условии.

При линеаризации многомерной двухфазной задачи Флорина возникает модельная задача сопряжения вида (3)-(7) без производной по ареме-1 ни в условии (5). В § 4 строятся функции Грина задачи сопряжения в явном виде, устанавливаются оценки потенциалов, порожденных этими функциями, в весовых гельдеровских нормах. Кроме того, построенные функции Грина используются при нахождении функций Грина задачи с производной по времени в условии сопряжения я § 3.

Глава И. МНОГОМЕРНЫЙ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ СТЕФАНА И ФЛОРИНА

Во второй главе исследуются многомерные задачи Стефана и Флорина, двухфазные в §§ 6,7 и однофазные в § 8.

Отнесем индекс к = 1 задаче Стефана, к - О - задаче Флорина. Пусть Г2< - ограниченная область в Rn, п > 2, с границей л,, 7^-замкнутая поверхность, содержащаяся в П<, 7* - ее начальное положение, причем dist(3,7,t) > do = const > 0, где з — 3t|i=o- Поверхность 7делит Qt на две области - с границей з, U и О[3J, при * = 0 имеем области П^1' и разделенные поверхностью 7*, причем diamfi^ > ¿о-

Положим Kic = {г | х € ii, у € 7k, \х - у\ < d1}, где d\ = const > > 0, а = П,|м>. Пусть QT = {(«,*) | х е п„ t е (О, Г)}, =

= {(«,01 > е n£>, t е (о, г)}, г*,т - <(«,*) | t е [о,т]}, nlm) =

= n^Ujrkt кк,т = ТГА х (0,Т), П($ = nim) х ,Т), {(®,<)| »6

€ Si, t е [0, Г]}, а — {<j} = (wi,...,o;n_i) | 0 < u>i < 2тг, -¿<Wi<§, i = = 2,..., n - 1}. Положим = 11$ x Д x Д\ где Д = J).

Пусть i) = О - уравнение свободной границы 7^, <$t(2:,0) = = $Qk\x) = 0 - уравнение поверхности 7*, причем вектор i/*(»,<) = _ t направлен внутрь области

Предположим, что коэффициенты при старших производных в опера-

торах Ьп и Кт, определенных формулами (1) и (2), подчиняются также следующим условиям:

а\}\х,1) ф в #к>г, Ь<Л\х,1,9,р) ф Щх,г,ч,р) в п,гх Д х ДЛ,

где р — (^1, ■■■,рп), 1,7 = 1,..., г», величина (1, определяющая интервал Д, предполагается такой, что |ц„| < (1, \Бхит\ < в

Сформулируем задачи Стефана и Флорина. Требуется определить функции 0 и 0 по условиям:

= /т(х,'} ™ = (13)

«(Л=0 - «-»(*) в П^, <М*,')|«=о = Ф^(*) на 7*. (14)

- р(М), (15)

«1 = «2 = 01 Ом) на Гл,г, (16)

при к—1

¿(-^"ММЫМ)?^ ~ = »(*,«) «а Г!,г (17')

т-1 °1

и при к=0

на Г0д-. (17")

т-1

Условия (17') и (17") объединим в одно

£ (-1)1+»Лт(«,<)Ы*,0 V «й} - = на к =1,0-

(17)

Рассмотрим еще две задачи Стефана и Флорина, являющиеся обобщением задач (13)-(17). Требуется определить функции и^(я,<)> О и Ф*.(х, <) по условиям:

««(»,<),^«ЙЧ*,0, = /»(*'«) П1=1'2'

(18)

«(тц|.-о = ит(х) в п{п\ на 7», (19)

и«^ = р(М), . (20)

И1 = «з = л(«.0 ла Гад-, (21)

Е (-1)1+пАт(«,1,м«(е,1))М*, I) V мЙ» - - »(«,<) на Г*,г,

т=1 о«

(22)

к=1,0.

Замечание. На границе 5г вместо условий (15) и (20) можно рассмотреть условие с косой (некасательной) производной и условие с производной по времени.

Итак, при к=1 условия (13)-(17) и (18)-(22) определяют двухфазные задачи Стефана, при к—0 - задачи Флорина.

С целью провести в наглядном виде все выкладки, оценки, строго доказать теоремы и тем самым сделать обозримыми доказательства теорем' для задач Стефана и Флорина в ограниченной области, в § б изучаются двухфазные задачи Стефана и Флорина в случае, когда П« есть все пространство Дп и свободная граница является графиком функции на гиперплоскости ха = 0 : х, = Ф*(я',*). Очевидно в этом случае будут отсутствовать условия (15) и (20).

§ 7 посвящен исследованию задач (13)-(17) и (18)-(22) в ограниченных звездных областях.

Предположим, что в области П^ найдется точка О такая, 'что луч, проведенный пз этой точки, пересекает каждую из поверхностей -у* и а( в одной точке, то есть области и - звездные. Пусть ^-единичная сфера с центром в точке О, £г = 2 х [0, Т]. Тогда уравнение свободной границы может быть задано в виде = - \х\ = 0, где •

< = (Ь....,{») е Е, 6 = = 1.....П, *£4,(*) = ЫО - 1*1 =' о -

уравнение поверхности 7ь

Определим банаховы пространства функций. Под С?+',1+а(Ег) будем понимать пространство функций принадлежащих С?+',1+а(Ег),

производные по времени которых ДФ^,!) принадлежат С^'^Ег). Пусть БУШ = С^М^) * х С^Н^т),

В^(Ят) = х С?+,'1+*(д$) х С?Н1+*(£х) есть простран-

ства функций и^х^) = {^(М),^1^,*),^!^,/)} И и>о(аг,<) = — (¡:;°'(х,Фо(^) 0} соответственно. Нормы в этих пространствах определим формулой

где при к=0 последнее слагаемое отсутствует.

Приведем условия, которым будут удовлетворять данные задач (13)-(17) и (18)-(22). . ;

Коэффициенты операторов Ьт принадлежат пространству

Лт 6 С.5+''1+4(п,г), причем Ат > А„ = сотЫ > 0 У(х,*) е £ т = 1,2.

Аз) Коэффициенты

операторов Х/771 принадлежат пространству С^(Я!$), Лт 6 сГ'-^^т), причем Ат> Ао <) € п,т> т = 1,2.

у4з) Коэффициенты операторов Кт по переменным хД принадлежат пространству по переменным q, р - пространству

С1+'(Д х Дд), коэффициент Ат(г,*,д) по переменным х, I принадлежит пространству по переменной д - пространству С3+'(Д),

причем Аго > А0 6 * Л, т = 1,2.

Бг) щт(х) е с"+'(^т)), ./„(*,*) е С^(ПЦ), РОМ) е е с?:;- (5Г), 31(м) б о е Т), т=1,2.

£2) и„т(х) 6 ^'(п«). /т(х,{) 6 р(х,<) е

ес^\%г), ^ = 1,2.

МОб&р), 0 = тт(2 + з,3 + 0, е 18

З+г Ш (%>

€ С1+|'а , па поверхнос тях -7, ' и 5, выполнены условия согласования порядка

В г) Фк({) С С3+'(£), € на поверхностях -у^ и л< выпол-

нены условия согласования порядка Ь = 1,0.

Г) Пги0т(г,и>) - Огд1Л{г,ш,0) ф 0 при г = и 6 <т,

£>г170тл(г,<а») > £о ~ сопМ > 0 при г = ы Е с, к = 1,0. У

Д) «01(г)> <71(г,0) в щ^х) < <;,(*,0) в 9,[2\ к = 1,0,

В условии Г) через Vс,т{г91,1(Т>0> Фь(ш) обозначены функции «0т(«), 51 0> 'МО » полярных координатах (г,ш), о) — с центром в точке О.

Сформулируем основные теоремы.

Теорема 7.1. Пусть I - нецелог. положительное число, 3), < » < 2+1, во = 1, ¿1 ~ тах(1,/), « выполнены условия А\), £1), В\), Г) и Д).

Тогда найдется такое Та : 0 < То < Т, что каждая из задач (13)-(17) имеет единственное решение и)к(х,1) =

е вЩк(дТо).

При всех I < Го решение подчиняете! оценке

+ ы?лЧ + + о - ъшп * = 1,0. (гз)

Теоремп 7.2. Пусть I - нецелое положительное число, я» < л.< Ло ~ 2, ¿1 = тах(2,1), и выполнены условия Аз), Б1), В^, Г) и Д).

Тогда найдется такое, % : 0 < То < Т, что каждая из задач (18)-($.й) имеет единственное решение ть(х, 0 — 6 которое при всех I < Т0 подчиняется оценке (23).

1Е>

Из теорем 7.1 и 7.2 в случае л = 2+1 вытекает теорема о разрешимости задач (13)-{17) и (18)-(22) в пространствах Гельдера.

Теорема 7.3. Пусть I - нецелое положительное число. Пусть выполнены условия А!) (Аз)), Б2), #а), Г) и Д).

Тогда найдется такое % : 0 < То < Т, что каждая из задач (13)-(17) ((18)-(2£)) имеет единственное решение 0 €

**(*,0 6 А*!«,*) е

При всех / < То решение подчиняется оценке

е 4- + <

< Е + \uo~\V) 4-нГ" +

т«1 М

+ тП, *=1,о.

Пусть в задача (13)-(17) и (18)-(22) /т = 0, дт = 0, т = 1,2.

Теорема 7.4. Лусть1 - нецелое положительное число, < л < 2-Й, «о = 1, = тах(1,1) (10 = 2, = тах(2, /)). Пусть ув е С', 71 € 6 С, /? = шш(1 + Д| £ , коэффициенты операторов Ьт

и Ат пойчиняоп»« условиям Л1), либо либо постоянные (коэффициенты операторов Кт и Ат подчиняются условиям Аз)) и выполнены условия Г) и Д).

Тогда при любых функциях и0т б С'(П(кт)), р € удовле-

творяющих условиям согласования порядка [|] на поверхностях у^ и

наймете* такое Т1 : 0 < Т\ < Г, что каждая из задач (13)-(17) ((18)-(22)) имеет единственное решение и>*(г,*) =

»*«,<)} б^Ю«).

При всех t <То решение подчиняется оценке

ггиа! *

а

Е

гг=»1

Замечание. Из этой теоремы для задачи (13)-(17) следует, что при / G (0,1), 1 < s = 1 +- а < 2, а 6 (0,1), порядок условий согласования равен нулю, свободная граница yj^ принадлежит пространству С„ у (Иг)> то есть она является поверхностью Ляпунова. Кроме того, производные DiuW, D\v!$, D\4>k, А'Фо. т - 1,2, могут иметь особенность при 1 = 0 порядка /"г1.

Из теоремы 7.4 в случая s = 2 -f I вытекает следующая теорема.

Теорема 7.5. Пусть 1 - нецелое положительное число. Пусть уь G € C2+l, st S С'+МД коэффициенты операторов Lm u Лт подчиняются условиям Aj), либо постоянные (коэффициенты onepamopot Кт и Ат подчюшются условиям Аз)) и выполнены условия Г) и Д).

Тогда при любых функциях иот £ р 6 с'+,'|+'(5т), удо-

влетворяющих условиям согласования порядка 1 + [|] на поверхностях 7!*' и 4найдется такое Т\ : 0 < Т\ < Т, что каждая ид задач (13)-(17) ((18)-(22)) имеет единственное решение u$(x,t) 6 №((,*) 6 En).

При всех i < Т\ решение подчиняется оценке

+ ¡Ф.1Г" + AIA**^

mm 1 ч».<

^[¿Kjfc? + \pftl) + к = 1,0.

В § 8 изучаются однофазные задачи Стефана и Флорипа. Сформулируем их.

Пусть в ограниченной области в /Iя, п > 2, с границей s, содержится' замкнутая поверхность -/¡к\ делящая ее па две области - П*,» с границей и fl[3J, при t — 0 имеем области ¿ц с границей 3U74 и в и 7* г начальное положения границ st и у}к\ Пусть disl(s,74) > dj = const > 0, diamil^ > d}.

Предположим, что в области П-.3' найдется точка О такая, что луч,

проведенный из этой точки, пересекает каждую из поверхностей Ук и л, в одной точке.

Пусть QkiT = {(г,*) | х € t 6 (О, Г)}, = '{(«,<) | я Е 7<(4), t 6 е (0,21}, ST = {(*,*) | х в ц, t € (0,Г]}, пк - {я | х 6 О, у € 7*.

- у| < d-d}, где d3 = const >0, « = , i. ■ J Л* = U jt*, = = жкх (0,Г), Щ,т = Щ х (0,Г), <г , ' ■= (ui, ...,o>n-i) | 0 < иц <

< 2тг, < и, < §, »=2.....п - 1}. Ну.: ■,. ФЦх.О = Vk(t,t) - |*| = 0 -

уравнение свободной границы 7^, где тч • . ( = ,..., £п) принадлежит сфере единичного радиуса Е с д.- , ,.иы в точке О, = j^, i = = 1,...,н, = фк{0 — |х| = 0 уравнение поверхности 7*. Вектор

■Л- ') -■■ {—..., 6*ijll'l)} направлен внутрь области пй. ii, i. I ч tv - линейный и квазилинейный параболические операторы второго порядка

коэффициенты которых подчиняются тем же условиям, что и коэффици-. енты операторов Бт и Кт

Сформулируем однофазные задачи Стефана и Флорина. Требуется

u*|<=0 = U0(js) в fit, Ф*(в,<)|ы)= Фо*'(«) на 7*1 (25)

определить функции ut(x,t) и Фк(х, t) по условиям:

dx'dt

(24)

= P(x,t),

U*=ffi(*.<) на ГАД-, • дФк

H*,t)vk{z,t)VUk - к— = frfx.t) на Гцг, к = 1,0.

at

(26)

(27)

(28)

Рассмотрим еще для задачи Стефана и Флорина, являющиеся обобщением задач (24)-(28). Требуется определит/, функции и /) но условиям:

и4(*, о, = Я*. О в£?*,т, (29)

и*Ь-о = ««,(*) в Пь Ф4(аг, 01«-о = Ф?}(») "а 7)1, (30)

«*к » яОМ). (31)

и» = й(®,0 на Г*,т, (32)

Эф.

" = на Гц,т, *=1,0. (33)

Определим банаховы пространства функций. Под будем

понимать пространство функций I), принадлежащих С?+',1+*(Ег), производные по времени которых А1?!^,^ принадлежат Пусть Б^.г) = С.г4Л1+'((?1,г) X В^'(<?о,г) - .

_ х С?+'|1+"(Ег) есть пространства функций ш^ж, <) =

— {«1(х,4), и шоОМ) ~ {«о0М)> ^о(С)')} соответственно. Нор-

мы в этих пространствах определим формулой

' = 1В*|Ж- + г + * = 1,0,

где при к ~ 0 последнее слагаемое отсутствует.

Приведем условия, которым будут удовлетворять данные задач (24)-(28) и (29)-(33).

А1) Коэффициенты оператора £ принадлежат пространству

Л 6 С?+',1+^(?г*1г), причем Л > Л0 = согсл< > 0 6

6 ?Гк,т, т = 1,2.

Л:) Коэффициенты оператора Ь принадлежат пространству

А € с1+1'1<+ЧЧт)> причем Л > Л0 *(*,«) € у!я) Коэффициенты оператора К по переменным принадлежат пространству по переменным ч, р - пространству ,

СЧ"'(Л х Д"), коэффициент А (ж, 1, д) по переменным х, X принадлежит пространству по переменной q - пространству С2+/(Д), причем Л > А0 Д.

Б,) щ(х) б с^'(йь), Дм) 6 с^-^ад, Р(х,г) 6 С^^т), ьМ е 92(х, о €

Б3) щ(х) е С3+'(П*), р(х,<) 6 (5т),

51) 01(0 е /? = т.п(2 4-л,3+1)| 5, €

€ 5 , на поверхностях ' и ¿1 выполнены условия согласования порядка

Бз) Фк(0 6 ^ Е , на поверхностях н зе выпол-

нены условия согласования порядка к = 1,0.

Г) Д.и0(г,ь;)- Д.01,1(г,и,О) ф 0 при г = ^(ш), ы € а,

> е0 = сопл* > 0 при г~11>к{и), ¿ = 1,2.

Д) ио(*)>й(*,0) в П*,

В условии Г) через ьо(г,ы), фь(и)) обозначены функции

«о(в)> МО в полярных координатах (г,ы).

Сформулируем основные теоремы.

Теорема 8.1. Пусть I - нецелое положительное число, ¿к < г <2 + 1, за = 1, 31 =тах(1,/), и выполнены условия А1), £¡1), В1), Г) и Д).

Тогда найдется такое Т0 : 0 < То < Т, что каждом из задач (Ц)--(28) имеет единственное решение — (и*(:г,<), €

£ Я14» к(Як,Та), которое подчиняется оценке

+Ы[+!ка +>|£$ + ШФ + (1-^о|(Е1+,}1, * = 1Л (34)

Теорема 8.2. Пусть I - нецелое положительное число, $к < з < 2 + 1, вй = 2, й! = тах(2,1), и выполнены условия Аз), Бх), Вх), Г) и Д).

24

Тогда найдется такое I'o : 0 < 'ГЬ < Т, что каждая из задач (Я9)--(S3) имеет единственное решение wic(x,t) — {«*(£,<),$*((,*)} 6 £ которое подчиняется оценке (34).

Из теорем 8.1 и 8.2 в случае л = 2+/ вытекает теорема о разрешшгастл задач (24) (28) и (2í))-(33) и пространствах Гсльдера.

Теорема 0.3. Пусть I - нецелое положительное число. Пусть выполнены условия Л2) (Л3)), Б2), Bj), Г) и Д).

Тогда найдется такое То : 0 < То < Г, что каждая из задач (Р,.Ц)-(И8)

з ¡-i Ш -

((29)-(33)) имеет единственное решение u*(r,í) Е Сх , (Qktr„), •f*(x,t) £ Cr1+'y (ЕТо), Dtt,(e,<) € Еп), для которого спра-

ведлиоа оценка

+ i^j, А = 1,0.

Пусть в задачах (24)-(28) и (29)-(33) / = 0, дт - 0.

Теорема 8.4. Пусть I - нецелое положительное число, < а < 2 + 1, л0 = 1, — шах(1, i) (л0 — 2, it = шах(2,1)). Пусть у0 6 С', 7i € 6 С, 0 — min(l + j, 2 + i), )t € C?H1+i, reos^u'jtíCfífíiM операторе L ti А подчиняются условиям A¡), либо Аз), либо постоянные (коэффициенты оператора К и А подчиняются условиям Аз)) и выполнены условия Г) и Д).

Тогда при любых функциях щ 6 С'{й{), р б c1+<'Hí(St), удовле-, творяющих условиям согласования порядка [jj на поверхностях ti

найдется такое 1\ : (! < 7\ < Т что каждая из задач (24)-(28) ((29)-(33)) имеет единственное решение w+(.r,f) — {«¿(г, í), *)} S € D'it'(Cfe,Ti), которое подчиняется оценке

Из этой теоремы в случае з — 2+1 вытекает теорема о разрешимости задач (24)-(28) и (29)-{33) в пространствах Гельдера.

. Теорема 8.5. Пусть I ■ нецелое положительное число. Пусть с € С3+1, 6 коэффициенты оператора Ь и X подчиняют-

ся условиям Аа), либо постоянные (коэффициенты оператора К и X подчиняются условиям Аз)) и выполнены условия Г) и Д).

Тогда при любых функциях и0 6 С3+'(П*), р 6 Сг+',(+'(£,"г). удовлетворяющих условиям согласования порядка 1 + на поверхностях и найдется такое Тх : 0 < < Т, что каждая из задач (24)-(28) ((£9)-(33)) имеет единственное решение иь(х, () 6

**(*,<) е Еп), вяли) 6

При всех % < 71 решение подчиняется оценке

ы(Н + + ^М^ <

< СвЦио!^) + + * = М-

Автор выражает глубокую благодарность профессору В.А .Солонникову за внимание к работе и ценные советы.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Бижанова Г.И. Решение одной n-мерной задачи сопряжения для уравнения теплопроводности в гельдеровском пространстве функций // Известия АН КазССР. Сер.фиэ.-матем.-1991.-Ы.5.-С.21-27.

2. Бижанова Г.И., Солонников В.А. Об одной начально-краевой задаче для параболического уравнения в весовом гельдеровском пространстве функций // Республ.конф. по нелинейным задачам матем.физики: Тезисы докл.-Донецк, 1991.-С Л 6.

3. Бижанова Г.И. Оценки решения а-мерной задачи сопряжения для уравнения теплопроводности в вессзых гельдеровских нормах. I, II // Известия АН PK. Cep4m.-MfiTeM,-1992.-N.5.-C.7-13; Известия HAH РК.Сер. физ.-матем.-1993.-М.1.-С.И-17.

4. Бижанова Г.И., Солонников В.Л. О разрешимости начально-краевой задачи для параболического уравнения в весовом гельдеровском пространстве функций у/ Алгебра и анализ 5.-1993.-N.1.-C.99-134.

5. Бижанова Г.И. Об одной задаче для параболического уравнения с производной по времени в условии сопряжения в весовом гельдеровском пространстве функций // Докл.ПАП PK.-1993.-N.3.-C.14-19.

G. Бижанова Г.И. Решение в весовом пространстве Гельдера начально-краевой задачи для параболического урапнения второго порядка с производной по времени я условии сопряжения // Алгебра и анализ 6.-1.994. -N.1.-C.62-92.

7. Бижанова Г.И. Исследование разрешимости в весовом гельдеровском пространстве функций многомерных двухфазных задач Стефана и нестационарной фильтрации Флоргла для параболических уравнений второе порядка (задачи Коши-Стефана и Коши-Флорина) // Записки лаутл. се-ыНнароп ПОМИ.-1Я94.-Т.213.-С.14-47.

8. Bizhanova G.I., Solonnikov V.A. On the initial boundary value problems

for sccoiiii order parabolic equations with time derivative in the boundary and conjugate conditions in weighted Holder spaces of functions // Intern. CongTess of Matliematisions, Zurich 3-11 Aug. 1994: Abstracts.-Zurich, 1994.-P.164.

9. Бившюва Г.И. О классической разрепшмосли многомерных двухфазных и однофазных задач Стефана м Флорина // Ин-т теор. и нрикл. матем. HAI1 РК.- Алматы, 1994.-30 с.-Библиогр.: 31 назв.-Рус.-Деп. в КазгйсИНТИ 13.09.94. Регисграц. N 5316-Ка94.

Вижанова Галина Ержан кызы Б»рнелерд1н з!лд{ Гелъдор кен1ст1тер1ндог} Стефан,жэне Флорин кошлшмд! есэптер!

Бвр1шл?ф,д1ц з!лд! Гельдор к0н1сг1ктер1нде уакиттнц аз мзпдор1 yraltt Стофапшд жэяе Фж>ртш1ц беЙснзшс кадэлшовд! ек! жанэ OJр-каримды ocerrropi moiuiMintii табилуи жэне жшадлыгм туралы тоорома-лар дэлелденгон.

Шош1мдерд1п дал багалари плшп'ан. Косымшалнк шарты орнвдялмагап, туй1вдест1к жапо шокаралш шарттарияда увкнт бойшпла тунпда алиня-тнп снзикти 900птврд1н козколгпп уакыт аралигылда б!рмэнд1 шегим! болатьпщнгн дэлолдонгвн.

31дд1 Гельдор iconicTiKTopJ бэршлерШл кэб8йт1пд1с1м£Ш суперпозициям railn (Загалар алынган.

BIZHANOVA Galina Irzhanovna Multidimensional Stefan and Florin problems in weighted Holder spaces of functions

The theorems of the existence and uniqueness for the solutions of th<" nonlinear multidimensional two- and one-phase Stefan and Florin problems for the small times in the weighted Holder spaces of functions are proved, the coercive estimates for the solutions are obtained.

There is established the unique solvability of the linear problems with the, time derivatives in the conjugate and boundary conditions, the complimented conditions for wich are not fulfilled.

The estimates for the functions products and compositions in weighted Holder spaces are obtained.