Многообразия групп простого периода и тождества с высокими степенями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ЮСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА РГЯ О П

Механико-математический факультет ^ ^ ^

На правах рукописи УДК 512.543.2

Кожевников Павел Александрович Многообразия групп простого периода

и тождества с высокими степенями 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2000

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор АЛО. Ольшанский.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук,

профессор А.Н. Красильников; кандидат физико-математических нау! Н. В. Безверхний.

Ведущая организация — Омский государственный

университет.

Защита диссертации состоитсяг. в 16 ч. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.05 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).-

Автореферат разослан ¿2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

В. Н. Чубариков

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Различные решения проблемы конечного базиса тождеств d группах впервые появились в работах [01]1 [Al]2, [V]3. В дальнейшем было предложено много примеров многообразий групп без конечного базиса тождеств, обладающих дополнительным условием конечности периода (см. например [V], [New]4, [В]5, [Kl]6, [GK1]7, [GK2]8 и др.). Во всех известных примерах многообразий групп конечного периода без конечного базиса тождеств существенно использовался тот факт, что период многообразия есть составное число. Таким образом, история проблемы конечного базиса подвела к основному результату диссертации -доказательству существования многообразий без конечного базиса тождеств большого простого периода.

В диссертации рассматриваются также другие задачи теории групп, связанные с рассмотрением близких к степенным групповых соотношений и тождеств. Проблемы о существовании бесконечных конечно-порожденных периодических групп, сформулированные Берн-сайдом, положили начало для большого числа вопросов по данной теме. Большим достижением явилось доказательство существования бесконечных групп с двумя порождающими, в которых выполнено тождество х" = 1 для достаточно большого нечетного п, тем самым было получено отрицательное решение ограниченной проблемы Бернсайда для доста-

1 [01] Ольшанский АЛО.О проблеме конечного базиса тождеств в группах// Изв. АН СССР. Сер. мат. 1970. 34, № 2. 376-384.

2[А 1] Адян С.И. Бесконечные неприводимые системы групповых тождеств // Изв. АН СССР. 1970. 34, № 4. 715-734.

3[V] М R Vaughan-Lee, Uncoutably many varieties of groups// Bull. London Math. Soc. 2 (1970) 280-286.

4[New] M F Newman, Just non-finitely-based varieties of groups// Bull. Austral. Math. Soc. 4 (1971), 343-348.

5[B] R M Bryant, Some infinitely based varieties of groups// J. Austral. Math. Soc. 16 (1973), 29-32.

6[KlJ Клейман Ю.Г. О базисе произведения многообразий групп, I—II// Изв. АН СССР. Сер. мат. 37 (1973), 95-97; 38 (1974), 475-483.

7[GK1] С К Gupta & А N Krasil'nikov, Some non-finitely based varieties of groups and group representations// Int. J. Algebra and Comput. 5, № 2 (1995), 1-23.

S[GK2] С К Gupta & A N Krasil'nikov, Metanilpotent varieties without torsion and varietis of groups of prime power exponent// Int. J. Algebra and Comput. 6, № 3 (1996), 325-338.

точно большой нечетной экспоненты, см. [NA]" для п > 43G1, [А2]ш для п > 6G5. Большое число результатов в этом направлении было получено с использованием геометрического подхода в интерпретации вывода следствий из определяющих соотношений в группах, см. [02]п. Геометрический подход в комбинаторной теории групп используется и развивается также в настоящей работе, что позволяет решить несколько важных вопросов и надеяться на его дальнейшее успешное использование.

Цель работы.

Целью диссертации является дальнейшее развитие геометрического подхода в изучении соотношений, содержащих высокие степени, и его применение для получения ряда новых результатов в теории групп, в том числе построение многообразий простого периода, не имеющих конечного базиса тождеств.

Методы исследования.

В работе применяются методы комбинаторной и геометрической теории групп, использование высоких степеней слов, восходящее к [NA], диаграммная техника в обобщенной теории малых сокращений.

Научная новизна.

Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1. Указано континуальное семейство различных многообразий периода р для достаточно большого нечетного р, обладающее следующими свойствами: каждые два различных многообразия семейства в пересечении дают многообразие абелевых групп периода р; каждое из многообразий рассматриваемого семейства задается в явном виде бесконечной независимой системой тождеств от двух переменных.

2. Для достаточно большого нечетного п, зависящего от к, строится группа, удовлетворяющая тождеству (\xi,yi\[x2,y2] ■ • • [^к,Ук])П = 1, коммутант которой непериодичен.

3. Доказана независимость бесконечной системы групповых тождеств

9(NA] Новиков П.С., Адян С.И. О бесконечных периодических группах, 1,11,111// Известия АН СССР. Сер. мат. 1968, 32, № 1, 212-244; № 2, 521-524; № 3 , 709-731.

10[А2] Адян С.И. Проблема Бернсайда и тождества в группах. — М., 1975.

11 [02] Ольшанский АЛО. Геометрия определяющих соотношений в группах. — М.: Наука, 1989.

{[.тр, ур}п = 1}, где п — фиксированное достаточно большое нечетное ■число, являющееся степенью простого числа, а р пробегает множество простых чисел.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы специалистами в области теории групп.

Апробация диссертации.

Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории групп и алгебраическом семинаре кафедры высшей алгебры в МГУ им. М.В. Ломоносова, в университете Вандербилт (Нэшвилл, США), на Международной конференции по алгебре памяти Куроша (1998 год).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения и четырех глав. Текст диссертации изложен на 59 страницах. Список литературы содержит 36 наименований.

Содержание работы

Введение.

Во введении формулируются результаты работы, а также приводится краткий обзор исследований, связанных с темой диссертации.

Глава 1.

В первой главе приводятся основные определения и известные факты, которые потребуются в дальнейшем. Определяются основные понятия градуированного копредставления и диаграммы над копредставлени-ем, рассматриваются специальные виды копредставлений — периодические копредставления, заданные соотношениями степенного вида, и так называемые копредставления с условием Я, в которых допуска-

ются нестепенные соотношения. Приводятся определения, касающиеся диаграмм над периодическими копредставлениями и копредставления-ми с условием Л. Изложены основные определения и факты, связанные с диаграммной техникой, а также другие известные предложения, на которые понадобятся ссылки в последующих главах. Особо отмечены необходимые для получения результатов диссертации изменения в уже имеющейся технике геометрического подхода.

Глава 2.

Во второй главе приводятся примеры групп, дающие, в частности, отрицательный ответ на вопрос 13.34 из Коуровской тетради нерешенных проблем в теории групп, [К]12, записанный В.Д. Мазуровым: периодичен ли коммутант группы, в которой выполнено тождество [х,у]п — 1? Более того, доказывается следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть к — натуральное число. Тогда найдется зависящее от к число Л*", такое, что при всяком нечетном п > N существует группа, в которой выполнено тождество ([аа,У1][а;2> У2] ■ ■ - [ж^У*:])" — 1> но некоторый элемент, являющийся произведением к+1 коммутаторов, имеет бесконечный порядок. В частности, коммутант такой группы непериодичен.

В связи с примерами, строящимися в доказательстве теоремы 1, отметим утверждение, доказанное П.В. Шумяцким, [БЬ]13: коммутант финитно аппроксимируемой группы, удовлетворяющей тождеству [х,у]р = 1, является локально конечной (и следовательно периодической) группой для любого простого р и натурального т. Интересно также было бы проверить утверждение теоремы 1 для п, не зависящего от к.

Глава 3.

В третьей главе рассмотрена бесконечная система групповых тождеств {[гср, ур)п = 1}, где п — фиксированное достаточно большое нечетное число, а р пробегает множество простых чисел. Доказывается следующая теорема.

Теорема 2. При достаточно большом нечетном п (можно взять,

12(К] Коуровская тетрадь: нерешенные вопросы теории групп, 13 изд., Новосибирск, 1995.

l3[Sli] Р V Shumyatsky, On groups with commutators of bounded order// Proc. Amer. Math. Soc. 127 (1999), № 9, 2583-2586.

например, п > Ю10), равном любой степени простого числа, тождества {[жр, ур]п = 1}, где р пробегает множество простых чисел, независимы.

В доказательстве теоремы 2 строится группа (3,, в которой выполнены все тождества из условия теоремы 2, кроме одного тождества {[хч, уя]п = 1); здесь q — некоторое простое число. Пусть Р — свободная группа с базисом мощности не меньше двух, Р — множество всех простых чисел за исключением q. Рассмотрим в группе .Р систему вербальных подгрупп {Ир{Р) = Рр] ■ | р £ Р}.

Определим также подгруппу N группы Р, равную произведению всех подгрупп {Мр " } р е я. Д о к аз ы в а е т ся, что в качестве искомой группы Оч можно взять группу Р/Л^.

В работе [А1] была предложена независимая бесконечная система групповых тождеств, имеющая вид {[хрп, урп]п = 1}, где п — нечетное число, п > 4361 (в [А2] оценка снижена до п > 1003), р пробегает множество простых чисел. В теореме 2 рассматриваются тождества, в некотором смысле близкие к тождествам из [А1],[А2]; система тождеств из теоремы 2 доставляет пример простого вида многообразия групп без конечного базиса тождеств. А.Л. Шмелькин обратил внимание автора на тот факт, что системы тождеств, сходные с системой {[жр, ур}п ■= 1}, были рассмотрены также в [К2]14. Однако при простом п независимость системы тождеств {[хр, ур]п = 1} не следует из [К2].

Глава 4.

Четвертая глава является основной. В ней, в частности, положительно решается известный вопрос о существовании многообразий простого периода без конечного базиса тождеств. В полном объеме результат четвертой главы формулируется следующим образом.

Теорема 3. Пусть р — достаточно большое нечетное число. Тогда внутри многообразия Бернсайда Вр периода р имеется континуальное множество подмногообразий Ыа, обладающее следующими свойствами:

(1) и„Г\1Аа< — Лр при а Ф а', где Лр — многообразие абелевых групп периода р\

(2) каждое многообразие 1Ла задается бесконечной независимой системой тождеств от двух переменных.

14[К2] Клейман Ю.Г. О тождествах е группах// Тр. Моск. матсм. о-ва. 1982. № 44. 62-108.

Системы тождеств, задающих многообразия Ыа определяются следующим образом. Положим

VI (х, у) = [х,ух,1у~'>}, щ{х,у) = У2{х,у) = К (ж, у)ы, щ (г, у)4% и2(х,у) = [и1(х,у)~4с1,и1(х,у)-4'1],

= [Уг-1{х,у)~а,щ^1(х,у)-'1}, г > 3,

где й — достаточно большое число, являющееся степенью двойки (таким образом, с1 и р взаимно просты). Далее, для каждой последовательности а = (<Т2) 0з, ■ • •) из нулей и единиц определим

У) = [х, у]"' [х, ур 1Д(1,»)П+1 ...[*, уР У^х, уГ+к,

¿ = 2,3,...

где п, к достаточно велики (числа к, <1, п, р связаны системой неравенств, которые выполнены при достаточно большом р и соответствующем выборе чисел /г, ё, п), причем к = 0 (тос! 10) и

Е10га+1 = £10т+2 = ¿Ют+З = Е10т+5 = £Ют+6 = 1)

£10 т-И = £10т+Г = £10т + 8 = ЕЮт + 9 = £10т+10 = ~1

для т = 0,1,2,. ..,/1/10- 1.

Многообразия и„ задаются системой тождеств {хр = 1; и;Дсг)(а:, г/) = 1, I = 2, 3,...}. Для доказательства утверждения (1) теоремы 3 достаточно доказать, что свободные 2-порожденные группы в каждом из многообразий Ыс неабелевы. В самом деле, для различных последовательностей а = [а2<?' = >°з>• ■ •) найдется индекс 5 £ {2,3,... }, такой что ф а'$. Из тождеств ги5(<т)(х, у) = 1 и ■Шц(а')(х, у) = 1 следует [а:, 2/] = 1, откуда получаем, что иаС\Ыа' = Лр и многообразия различны (так как каждое из них неабелево). На-

личие континуального семейства различных подмногообразий Вр уже решает положительно вопрос о существовании не конечно базируемых многообразий периода р. Далее доказывается независимость тождеств ш£(а)(х, у) = 1, < = 2,3,... внутри многообразия Бернсайда Вр, откуда следует свойство (2) из формулировки теоремы 3. Тем самым, система тождеств, определяющая не конечно базируемое многообразие периода р, может быть задана в явном виде.

В случае большого простого р результат четвертой главы был упомянут в анонсе C.B. Иванова, см. [I]15, однако анонс не был подтвержден текстом доказательства.

В доказательстве теоремы 3 рассматриваются 2-порожденные группы Gv.tÍ°°)> свободные в многообразиях, задаваемых системой тождеств {хр — 1; iut(a)(x, у) = 1,{ б Т}, где Т — некоторое подмножество множества {2,3,...}. Изучение диаграмм над копредставлени-ями этих групп проводится с использованием техники, содержащейся в книге [02]. Отметим также, что идея неограниченного увеличения "этажности" слов vt(z,y) в тождествах вида (1) встречалась в работе [S]16. Однако по сравнению с упомянутыми выше работами потребовалось существенное изменение вида тождеств, использующихся при задании многообразий, а также привлечение многих новых соображений в доказательстве. Эти изменения продиктованы необходимостью обеспечить конечность периода многообразий. Одна из трудностей, которые приходится преодолевать при работе в группах простого периода р с тождествами, содержащими высокие степени, заключается в следующем: с одной стороны, если показатель степени делится на р, то эта степень равна 1 в группе; с другой стороны, в группах периода р каждый элемент является любой степенью, взаимно простой с р (тем самым, степень в некотором смысле перестает быть высокой).

В заключение отметим несколько следствий теоремы 3.

Существование не конечно базируемых многообразий большого простого периода, заданных системами тождеств на двух переменных, влечет отсутствие условия максимальности для вербальных подгрупп группы В(2,р) (свободной 2-порожденной группы в многообразии Бернсайда периода р). Ранее было известно отсутствие условия максимальности и минимальности для нормальных подгрупп Б(2,р), см. [A3]17.

В качестве следствия теоремы 3 можно получить, что множество накрывающих многообразий для многообразия Лр (т.е. минимальных многообразий, содержащих Лр и не совпадающих с ЛР), где р — большое нечетное, континуально; это позволяет дать ответы на вопрос 6.16

1S[I] Иванов C.B. О нескольких вопросах теории многообразий групп// Междун. конф. по ал!\ Тезисы докл. по теор. групп, Новосибирск, 1989, 49.

!6[S] A St.orozhev, On abelian subgroups of relatively free groups// Comm. of algebra, 1994, 22(7), 267 7-2701.

17[A3] Адян С.И. Нормальные подгруппы свободных периодических групп // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1981. 45, 931-947.'

из [К], записанный в 1978 году, а также на вопросы 2.1, 2.3 из [Sv]18.

В книге [N]19 был поставлен вопрос о существовании неабелевых (т.е. содержащих неабелевы группы) многообразий, в которых все конечные группы абелевы. Примеры многообразий с указанным выше свойством были указаны в статье [ОЗ]20. В связи с этими примерами в книге [02] высказывается уверенность в существовании таких многообразий с дополнительным условием конечности периода (хотя бесконечность периода там существенно использовалась в доказательстве). Многообразия из семейства Ua доставляют пример континуального семейства неабелевых многообразий, в каждом из которых все конечные группы абелевы. Действительно, несложные рассуждения показывают, что в каждом из многообразий Ка, о ф (0,0,...), все конечные группы являются абелевыми.

В случае простого р согласно результатам из [Ко]21 найдется натуральное с, такое что все конечные 2-порожденные р-группы являются разрешимыми ступени с. Для последовательности а о — (0,0,...), состоящей из одних нулей, можно задать многообразие V бесконечной независимой системой тождеств {хр ~ l;w¿(ao)(x,¡/) = l,í = с,с+ 1,...}. Многообразие V будет содержать все конечные р-группы (поскольку в разрешимых группах ступени с выполнено vt(x,y) = 1 для t = с,с+1,...). Поэтому имеется континуум различных многообразий простого периода р (задаваемых тождеством хр — 1 и некоторым подмножеством множества тождеств {wt(ao)(x>y) = 1,£ = с, с+1, .-•}), каждое из которых содержит все конечные группы периода р.

Я хочу искренне поблагодарить своего научного руководителя профессора А.Ю. Ольшанского за постановку задач, полезные обсуждения и внимание к работе.

18[Бу] Свердловская тетрадь: нерешенные вопросы теории полугрупп, 2 изд., Свердловск, 1979.

19[Н] Нейман X. Многообразия групп: Пер. с англ. — М.: Мир, 1969.

20[ОЗ] Ольшанский А.Ю. Многообразия, в которых все конечные группы абелевы// Мат. сб. 1985. 126, № 1. 59-82.

21 [Ко] Кострикин А.И. Вокруг Бернсайда. — М.: Наука, 1986.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Кожевников П.Л. Об одной независимой бесконечной системе групповых тождеств// Вести. Моск. ун-та, сер.1, математика, механика, 1997, № 4, 13-16.

[2] G S Deryabina, Р A Kozhevnikov, The derived subgroup of a group with commutators of bounded order can be non-periodic// Comm. Algebra, 27, № 9 (1999), 4525-4530.

[3] Кожевников П.А. О тождествах степенного вида а группах/! Kurosh Algebraic Conference'98. Abstracts of Talks. МГУ им. M.B. Ломоносова, Москва, 1998, 180.

[4] Кожевников П.А. О многообразиях групп болъхиого нечетного периода// Дсп. в ВИНИТИ 05.06.2000, JV® 1612-В00 , 26 с.

Основной результат совместной работы [2] был получен авторами независимо; когда это выяснилось, они приняли решение подготовить совместную статью.

Введение

1. Основные определения и факты

1.1. Градуированные копредставления и диаграммы.

1.2. Периодические копредставления и.копредставления с условием Л . . . . .V.

1.3. Вспомогательные предложения

2. Группы с непериодичным коммутантом, в которых произведения к коммутаторов имеют ограниченный период

2.1. Градуированное копредставление группы С?(оо).

2.2. Проверка тождества ([яъглЦа^Ы • • • [хк,Ук])П = 1 и непериодичности коммутанта

3. Бесконечная независимая система тождеств {[хр, ур]п = 1}

3.1. Соотношения группы (оо).

3.2. Доказательство теоремы 2.

4. Многообразия групп большого нечетного периода

4.1. Задание группы С^^оо).

4.2. Проверка условия Я и выполнения тождеств.

4.3. Периодические подслова слов ^(а, Ъ)г и й7Д<7)(а,Ъ)

4.4. Независимость тождеств = внутри многообразия Бр.

Проблемы о существовании бесконечных конечно-порожденных периодических групп, сформулированные Бернсайдом, положили начало для большого числа вопросов, связанных с тождествами и соотношениями периодического вида в группах.

Большим достижением явилось доказательство существования бесконечных групп с двумя порождающими, в которых выполнено тождество хп = 1 для достаточно большого нечетного п, тем самым было получено отрицательное решение ограниченной проблемы Бернсайда для достаточно большой нечетной экспоненты [12] (для п ^ 4361), [2] (для п ^ 665). Используя геометрическую интерпретацию вывода соотношений в группах, А.Ю. Ольшанский получил более короткое по сравнению с оригинальным решение ограниченной проблемы Бернсайда для нечетных п > Ю10 [16], [26], [13]. Геометрический подход, использовавшийся в [15] и в упомянутых работах, оказался эффективным при решении многих других вопросов.

Целью диссертации является дальнейшее развитие геометрического метода в изучении соотношений, содержащих высокие степени, и применение этого метода для получения некоторых новых результатов в теории групп.

Диссертация состоит из четырех глав.

В первой главе приводятся основные определения и известные факты, которые потребуются в дальнейшем. В параграфе 1.1 определяются основные понятия градуированного копредставления и диаграммы над ^представлением, формулируются леммы ван Кампена и Шуппа, являющиеся базовыми для геометрического метода в изучении соотношений в группах. В параграфе 1.2 рассматриваются специальные виды копредставле-ний — периодические копредставления, содержащие соотношения вида АПА = 1, а также копредставления с условием Я, в которых допускаются также соотношения нестепенного вида. Приводятся определения, касающиеся диаграмм над периодическими копредставлениями и копредставле-ниями с условием Я. В отдельный параграф 1.3 включены утверждения из [13], а также некоторые другие известные предложения, на которые понадобятся ссылки в главах 2-4. Используемые в диссертации понятия (за исключением нескольких видоизменений, о которых будет упомянуто особо) подробно и в большей полноте описываются в [13, гл. 4-8]. Поэтому в первой главе делается упор лишь на материал, непосредственно используемый для получения результатов диссертации.

Во второй главе приводятся примеры групп, дающие, в частности, отрицательный ответ на вопрос 13.34 из [9], записанный В.Д. Мазуровым: периодичен ли коммутант группы, в которой выполнено тождество [х,у]п = 1? Более того, для достаточно большого нечетного п, зависящего от к, строится группа, удовлетворяющая тождеству ([жь У1][х2, У2] • • • Ук])П - 1, коммутант которой непериодичен. В связи с упомянутыми примерами отметим утверждение, доказанное П.В. Шумяцким [28]: коммутант финитно аппроксимируемой-группы, удовлетворяющей тождеству [х,у]рП> = 1 является локально конечной (и следовательно периодической) группой для любого простого р и натурального т.

В третьей главе рассмотрена бесконечная система групповых тождеств {[хр, ур]п = 1}, где п — фиксированное достаточно большое нечетное число, являющееся степенью простого числа, а р пробегает множество простых чисел. Доказывается, что данная система тождеств независима, т.е. никакое из тождеств не является следствием остальных. Тем самым многообразие групп, заданное этой системой тождеств, является еще одним примером многообразия групп без конечного базиса тождеств. Различные решения проблемы конечного базиса тождеств в группах были даны в работах [16], [1], [30]. Независимая бесконечная система групповых тождеств, предложенная в [1],- имеет вид {[хрп, урп]п = 1}, где п — нечетное число, п ^ 4361 (в [2] оценка снижена до п ^ 1003), р пробегает множество простых чисел. А.Л. Шмелькин обратил внимание автора, что системы тождеств, сходные с системой {[хр, ур]п = 1}, были рассмотрены также в [6]. Однако при простом п независимость системы тождеств {[хр, ур]п = 1} не следует из [6].

Четвертая глава является основной. В ней указано континуальное семейство 1Ла различных многообразий периода р для достаточно большого нечетного р, обладающее следующими свойствами: каждые два различных многообразия семейства в пересечении дают многообразие абелевых групп периода р\ каждое из многообразий рассматриваемого семейства задается бесконечной независимой системой тождеств. Тем самым, в частности, решается вопрос о -существовании не конечно базируемых многообразий большого простого периода. Во всех известных ранее примерах многообразий конечного периода без конечного базиса тождеств (см. примеры в работах [30], [24], [18], [5], [7], [13, § 31], [20], [21] и др.) существенно использовался тот факт, что период многообразия есть составное число. Существование не конечно базируемых многообразий большого простого периода, заданных системами тождеств на двух переменных, влечет отсутствие условия максимальности для вербальных подгрупп группы В(2,р) (свободной 2-порожденной группы в многообразии Бернсайда периода р). Ранее в работе [3] было показано отсутствие условия максимальности и минимальности для нормальных подгрупп В(2,р).

В книге [11] был поставлен вопрос о существовании неабелевых (т.е. содержащих неабелевы группы) многообразий, в которых все конечные группы абелевы. Примеры многообразий с указанным выше свойством были построены в статье [15]. В связи с этими примерами в книге [13] высказывается уверенность в существовании таких многообразий с дополнительным условием конечности периода (хотя бесконечность периода там существенно использовалась в доказательстве). Многообразия из семействаиа доставляют соответсвующие примеры. Будет показано, что среди многообразий семейства Ыа имеется континуум различных неабелевых многообразий, в которых все конечные группы абелевы.

Отметим, что в случае простого р результат четвертой главы был анонсирован С.В, Ивановым в работах [4], [22], однако доказательство не было опубликовано. Таким образом, даже вопрос о существовании не конечно базируемых подмногообразий Вр для большого простого р оставался открытым (и автор анонса подтверждает это). Как показано в работе [22], из теоремы 3 следует, что множество накрывающих многообразий для многообразия Ар (р — большое нечетное) континуально; это позволяет дать ответы на вопросы 6.16 [9], 2.1, 2.3 [17].

По теме диссертации опубликованы работы [32]—[35]. Основной результат совместной работы [33] был получен авторами независимо; когда это выяснилось, они приняли решение подготовить совместную статью. Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории групп и алгебраическом семинаре кафедры высшей алгебры в МГУ им. М.В. Ломоносова, в университете Вандербилт (Нэшвилл, США), на Международной конференции по алгебре памяти Куроша (1998 год).

Автор искренне благодарит своего научного руководителя профессора А.Ю. Ольшанского за постановку задач, полезные обсуждения и внимание к работе.

1. Адян С.И. Бесконечные неприводимые системы групповых тождеств // Изв. АН СССР. 1970. 34, № 4. 715-734.

2. Адян С.И. Проблема Бернсайда и тождества в группах. — М., 1975.

3. Адян С.И. Нормальные подгруппы свободных периодических групп Ц Изв. АН СССР. Сер. мат. 1981. 45, 931-947.

4. Иванов C.B. О нескольких вопросах теории многообразий групп// Междун. конф. по алг. Тезисы докл. по теор. групп, Новосибирск, 1989,49.

5. Клейман Ю.Г. О базисе произведения многообразий групп, I-II// Изв. АН СССР. Сер. мат. 37 (1973), 95-97; 38 (1974), 475-483.

6. Клейман Ю.Г. О тождествах в группах// Тр. Моск. матем. о-ва. , 1982. № 44. 62-108.

7. Клейман Ю.Г. О базисах тождеств некоторых произведений многообразий групп// Сиб. мат. журн. 1985, т. 26, № 1, 104-124.

8. Кострикин А.И. Вокруг Бернсайда. — М.: Наука, 1986.

9. Коур о в екая тетрадь: нерешенные вопросы теории групп, 13 изд., Новосибирск, 1995.

10. Лин дон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп: Пер. с англ. — М.: Мир, 1980.

11. Нейман X. Многообразия групп: Пер. с англ. — М.: Мир, 1969.

12. Новиков П.С., Адян С.И. О бесконечных периодических группах, 1,11,III// Известия АН СССР. Сер. мат. 1968, 32, № 1, 212-244; № 2, 521-524; № 3, 709-731.

13. Ольшанский А.Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах.— М.: Наука, 1989.

14. Ольшанский А.Ю. О проблеме конечного базиса тождеств в группах// Изв. АН СССР. Сер. мат. 1970. 34, № 2. 376-384.

15. Ольшанский А.Ю. Бесконечные группы с циклическими подгруппами// ДАН СССР. 1979. 245, № 4. 785-787.

16. Ольшанский А.Ю. О теореме Новикова-Адяна// Мат. сб. 1982. 118, № 2. 203-235.

17. Ольшанский А.Ю. Многообразия, в которых все конечные группы абелевы// Мат. сб. 1985. 126, № 1. 59-82.

18. Свердловская тетрадь: нерешенные вопросы теории полугрупп, 2 изд., Свердловск, 1979.

19. R M Bryant, Some infinitely based varieties of groups// J. Austral. Math. Soc. 16 (1973), 29-32.

20. С С Edmunds, A short combinatorial proof of the Vaught conjecture// Canad. Math. Bull. 18 (1975), 607-608.

21. С К Gupta & A N Krasil'nikov, Some non-finitely based varieties of groups and group representations// Int. J. Algebra and Comput. 5, № 2 (1995), 1-23.

22. С К Gupta & A N Krasil'nikov, Metanilpotent varieties without torsion and varietis of groups of prime power exponent// Int. J. Algebra and -Comput. 6, № 3 (1996), 325-338.

23. S V Ivanov & A Yu Ol'shanskii, Applications of graded diagrams// London Math. Soc. Lect. Note, Ser. 160, 258-308.

24. E R van Kampen, On some lemmas in the theory of groups// Amer. J. Math., 55 (1933), 268-273.

25. M F Newman, Just non-finitely-based varieties of groups// Bull. Austral. Math. Soc. 4 (1971), 343-348.

26. A Yu Ol'shanskii, On a geometric method in the combinatorial group theory// Proc. Int. Congress Math. 1, 1983, 415-424.

27. P E Schupp, On Dehn's algorithm and the conjugacy problem// Math. Ann. 178, № 2, 119-130.

28. M P Schiitzenberge, Sur l'équation a2+nb2+m = c2+p dans un group libre// С. R. Acad. Sci. Paris 248 (1959), 2435-3436.

29. P V Shumyatsky, On groups with commutators of bounded order// Proc. Amer. Math. Soc. 127 (1999), № 9, 2583-2586.

30. A Storozhev, On abelian subgroups of relatively free groups// Comm. of algebra, 1994, 22(7), 267 7-2701.

31. M R Vaughan-Lee, Uncoutably many varieties of groups// Bull. London Math. Soc. 2 (1970) 280-286.

32. M J Wicks, Commutators in free groups// J. London Math. Soc. 37 (1962), 433-444.

33. Кожевников П.А. Об одной независимой бесконечной системе групповых тождеств// Вестн. Моск. ун-та, сер.1, математика, механика, 1997, № 4, 13-16.

34. G S Deryabina, Р A Kozhevnikov, The derived subgroup of a group with commutators of bounded order can be non-periodicfj Comm. Algebra, 27, № 9 (1999), 4525-4530.

35. Кожевников П.А. О тождествах степенного вида в группах// Kurosh Algebraic Conference'98. Abstracts of Talks. МГУ им. M.B. Ломоносова, Москва, 1998, 180.

36. Кожевников П.А. О многообразиях групп большого нечетного периода// Деп. в ВИНИТИ 05.06.2000, № 1612-В00 , 26 с.