Многообразия Римана-Картана

Гордеева, Ирина Александровна

Многообразия Римана-Картана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Гордеева, Ирина Александровна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Владимир МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Многообразия Римана-Картана»

Автореферат диссертации на тему "Многообразия Римана-Картана"

005055568 На правах рукош,си

Гор^е^.

Гордеева Ирина Александровна

МНОГООБРАЗИЯ РИМАНА-КАРТАНА

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 2 НОЯ 2012

КАЗАНЬ - 2012

005055568

Работа выполнена в ФГБОУВПО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых»

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Степанов Сергей Евгеньевич,

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Амниона Лея Васильевна, ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет»;

доктор физико-математических наук, профессор Смоленцев Николай Константинович, ФГБОУ ВПО «Кемеровский государственный университет».

Ведущая организация: ФГБОУВПО «Московский педагогический

государственный университет»

Защита диссертации состоится "20" декабря 2012 г. в 14 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д.212.081.10 в ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35, ауд. 610.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Казанского (Приволжского) федерального университета.

Автореферат разослан" / " ноября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук --Липачев Е.К.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Метрически-аффинным пространством называется тройка (Л/, g, V), где M - дифференцируемое многообразие размерности п > 2 с метрикой g некоторой сигнатуры и линейной связностью V с ненулевым кручением S, которая, вообще говоря, не зависит от д. Начало теории таких пространств было положено в 20-х годах прошлого века Э. Картаном1. который предложил вместо связности Леви-Чивита V в общей теории относительности (ОТО) рассматривать несимметричную линейную связность V, обладающую свойством метричности Vg = 0. В результате пространство-время получало в дополнение к кривизне еще и ненулевое кручение S. Кроме того, им была выдвинута идея пространства абсолютного параллелизма. Позднее Э. Картан указал2, что эта идея была переоткрыта А. Эйнштейном в 1928 г., положившим ее в основу единой теории поля, в которой тензор электромагнитного поля совпадает с тензором кручения пространства абсолютного параллелизма3. Данная теория получила в дальнейшем название Einstein-Cartan Theory of Gravity (ЕСТ)4. В начале 60-х годов Т. Киббл5 и Д. Шама6 установили связь между кручением S связности V и спин тензором материи s. Затем были найдены и другие физические приложения ЕСТ7,8.

Впоследствии теория Эйнштейна-Картана была обобщена9 за счет введения требования неметричности Q :— —Vg ф 0 для линейной связности V. Новая теория получила название Metric-Affine Gauge Theory of Gravity или сокращенно MAG4. Число работ, опубликованных в рам-

1 Cart an Е. Sur les variétés, à connexion affine et la théorie de la relativé généralisée / Б. Cartan // Ann. Éc. Norm. - 1923 - 1925. - V. 40. - P. 325 - 412 V 41 - P 1 -25, V. 42. P. 17 - 88. -

2 Cart an E. Notice historique sur la notion de paraH'elisme absolu / E. Cartan // MA.Bd. - 1930. - V. 3. - P. 1121 - 1129.

3Акивис M.A. Эли Картал / M.A. Акивис, Б.А. Розеифельд - M: МЦНМО, 2007.

"Trautman A. The Einstein-Cartan theory / A. IVautman // Encyclopedia of Mathematical Physics / Edited by Françoise J.-P.. Naber G.L., Tsou S.T. - 2006 -V. 2. - P. 189 - 195.

'Kibble T.W.B. Lorenz invariance and the gravitational field / T.W.B. Kibble // J. Math. Phys. - 1961. - Vol. 2. - P. 212 - 221.

6Sciama D.W. On the analogy between charge and spin in general relativity / D.VV. Sciama // Recent developments in General Relativity. - 1962. - P. 415 - 439.

'Penrose R. Spinors and torsion in General Relativity ! R. Penrose // Fond. Of Phys. - 1983. - V. 13. - P. 325 - 339.

8 Ruggiero M.L. Einstein-Cartan theory as a theory of defects in space-time / M.L. Ruggiero, A. Tartaglia //Amer. J. Phys. - 2003. - V. 71. - P. 1303 - 1313.

9Hehl F.W. On a New Metric-Affine Theory of Gravitation / F.W. Hehl, P. Heyde // Physics Letters B. - 1976. - V. 63. - № 4. - P. 446 - 448.

ках ЕСТ и MAG, исчисляется уже сотнями, причем опубликованные результаты имеют в большей степени прикладной физический харак-

тер.

£е°метрии из всех видов метрически-аффинных пространств (M,g,V) последовательно в течение длительного времени изучались только четверть-симметрические метрические пространства и их частный вид полусимметрические метрические пространства10'11

Геометрия "в целом" метрически-аффинных пространств застыла на результатах К. Яно, С. Бохнера и С. Гольдберш'*^." середины прошлого века. В принятой современной физикой терминологии4 их работы относятся к Riemann-Cartan Theory (RCT). Геометрия Римана-Картана -это геометрия метрически-аффинного пространства (М, <,, V), с (псев-до)римановой метрикой д и линейной связностью V с ненулевым кручением S такой, что Q = 0.

Цель диссертационной работы состоит в изучении геометрии пространств Римана-Картана.

Научная новизна исследования. Все основные результаты представленные в настоящей работе и выносимые на защиту, являются новыми.

Методы исследования. Изучение многообразий Римана-Картана проведено классическими методами дифференциальной геометрии почерпнутыми нами из монографий14,15'16'17. Классификация многообразий Римана-Картана проведена с использованием теории представлений групп, изложенной в классической монографии Г. Вейля18 а также с помощью некоторых модификаций этой теории, содержащихся в

' К- Yan° " Math.

"¡^ E; TotaI1>' шпЬШЫ Mghtlite hypersurfaces in scmi-Riemannian manifold with

AlÄ^^^r^rr^ Yano K-

withCtor!LnS/S4T r°,rd»r°f a:,d PSeUd(>Kming i" metric manifolds

¡"2h ™збД з73 " ТЬе AlmaIs °f ^hematics, 2nd Ser. - 1956. - V. 64. -

|4Яно К Кривизна и числа Бетти / К. Яно, С. Бохнер. - М: ИЛ, 1957 1 Бессе А. Многообразия Эйнштейна: В 2-х т. / А. Бессе. - М.: Мир, 1990

/ А. Б^еЛТ: МирПэвГ Р"МаНОВа "ММСТрИЯ: СеминаР АРТУРА Бессе 1978/1979

''Кобаяси Ш Основы дифференциальной геометрии: в 2 т. /Ш. Кобаяси К Номидзу. - М.: Наука. Гл. ред. ф„з.-мат. лит. 1981. '

М.: HÍ lSÍ7.K'1aCÍ;H',CCKHe ГРУППЫ' "Х ШШаРиа"ты " представления / Г. Вейль. -

статьях сборника16. Глобальный аспект геометрической теории многообразий Римана-Картана изучен с помощью "техники Бохнера"15'19,20 -аналитического метода, основанного на применении интегральных формул Вайценбека.

Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие результаты.

1) Проведена алгебраическая классификация многообразий Римана-Картана и установлена связь с классификацией почти эрмитовых многообразий Грея-Хервеллы.

2) Даны определения скалярной и полной скалярной кривизн многообразия Римана-Картана и установлена их связь со скалярной и полной скалярной кривизнами риманова многообразия.

3) Найдены условия препятствия существованию некоторых из выделенных классов многообразия Римана-Картана.

4) Изучена локальная и глобальная геометрии псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей на многообразиях Римана-Картана.

5) Изучена геометрия симметрических тензорных полей на многообразии Римана-Картана двух выделенных нами классов.

Достоверность полученных в диссертации результатов обусловлена тем, что:

- применяются проверенные, точные и строго обоснованные методы исследо вания;

- многие результаты диссертации являются обобщением полученных ранее результатов и совпадают с этими результатами в частных случаях;

- все основные результаты диссертации доказаны и опубликованы.

Теоретическое и прикладное значение исследования. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер. Они могут быть использованы для дальнейших исследований метрически-аффинных пространств и пространств Римана-Картана. Часть результатов может быть использована в теоретической физике при изучении свойств гравитации с кручением.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на следующих семинарах и конференциях:

- международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 10 - 15 июля 2006 г.);

"Petersen P. Riemannian geometry / P. Petersen. - New York: Springer. - 1997. "°Wu H. The Bochner technique in differential geometry. / H. Wu // Mathematical Reports. - 1988. - V. 3. - Part 2.

- пятая молодежная научная школа-конференция "Лобачевские чтения - 2006"(Казаль, 1 - 6 ноября 2006 г.);

- шестая молодежная научная школа-конференция "Лобачевские чтения - 2007"(Казань, 16 - 19 декабря 2007 г.);

- международный геометрический семинар им. Г.Ф. Лаптева (Пенза, 2007 г.);

- XIX международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики "Волга-2007" (Казань, 22 июня - 3 июля 2007 г.);

- международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 27 июня - 2 июля 2008 г.);

- международная конференция "Геометрия в Одессе - 2008"(0десса, 19 мая - 24 мая 2008 г.);

- международная конференция "Petrov 2010 Anniversary Symposium on General Relativity and Gravitation"(Казань, 1-6 ноября 2010).

Публикации и вклад автора в разработку исследованных проблем. Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в 17 работах, общим объемом 8,5 печатных листов, в том числе 4 из них в журналах, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией (ВАК) Министерства образования и науки Российской Федерации для публикации результатов научных исследований. В работах, написанных в соавторстве с научным руководителем, С.Б. Степанову принадлежат постановка задачи и историческая часть введения. И. А. Гордеевой принадлежит доказательство основных и вспомогательных утверждений.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы. Нумерация параграфов производится двумя символами, а нумерация результатов производит^ ся тремя символами. Например, теорема 1.2.3 означает теорему 3 из второго параграфа главы 1.

Библиографический список содержит список из 109 наименований, включающих работы автора. Полный объем диссертации составляет 112 страниц машинописного текста.

Краткое описание содержания работы по главам. Во введении обосновывается актуальность темы исследования, формулируется цель исследования и приводятся основные результаты диссертации, дается общая характеристика и краткое содержание работы.

В первой главе диссертации вводятся базовые понятия и основные обозначения. Рассматривается n-мерное С°°-многообразие М с линейной связностью V с кручением S Ф 0. В первом параграфе приводятся определения линейной связности V как отображения X —* Vx, сопоставляющего каждому векторному полю X е С°°ТМ оператор

V* в пространстве С°°ТМ векторных полей, тензорного расслоения T(p-q)M -у М типа (p,q) над М, и, в частности, SPM := SV(T*M) и АРМ ~ АР(Т*М) - расслоения ковариантных симметрических и косо-симметрических тензоров над М, где Sp и Лр - известные операторы симметризации и альтернации.

Во втором параграфе дается определение и рассматриваются частные виды метрически-аффинных пространств. Многообразие М с аффинной связностью V с ненулевым кручением S называется метрическим пространством, если на М задано поле симметрического невырожденного тензора д € £*М. Метрическое пространство называется многообразием (пространством) Римана-Картана, если Чд = 0. Если многообразие М - компактное и ориентированное, то для векторного поля X е С°°ТМ справедлива известная теорема Грина15 JMdivXdv = 0. Для метрической связности V в диссертации приводится аналог этой теоремы вида /м(trace ЧХ - 2(trace S)X)dv = 0, где S - тензор кручения связности V.

В третьем параграфе приведены необходимые факты из теории представлений групп. В частности, рассматривается тензорное расслоение Г(р'0)Л/ над С°°-многообразием М размерности п со стандартным слоем Т^Е, где Е = ТХМ для произвольной точки х е М, как пространство представления ортогональной группы 0(п, R). Тензорное расслоение Т(р^М является поточечно приводимым относительно действий группы 0(п, R) и содержит вследствие этого 0(n,R)-инвариантные подрасслоення. Для определения максимального числа неприводимых относительно действия 0(п, R) подпространств пространства 7'(?,,0)£ приводится теорема Вейля об инвариантах16-18 и дополняющие ее утверждения16.

В качестве приложения данной теории приводятся неприводимые действия ортогональной группы в слоях тензорных расслоений Т*М <8 Л2М и А2М ® Т*М. Уточняется формулировка и приводится более тщательное доказательство теоремы Ж.-П. Бургиньена16.

Теорема 1.3.1. Тензорные расслоения Т*М ® АРМ —> М и АРМ ®Т*М —> М над римановым многообразием (М,д) допускают поточечно неприводимые относительно действия ортогональной группы 0(п, R) изоморфные разложения вида

Т*М ® АРМ = АР+1М © (С°°М ■ g Л Л^М) © (ker traceg Г) кегЛрИ);

АРМ ® Т'М = Л^'Л/ © (Л""1 Л/ Л (<C°°M)g) © (ker traceg П кег Лр+1).

Во второй главе приводятся два способа классификации многообразий Римана-Картана. В первом параграфе на многообразии

Римана-Картана (M,g,V) определяется тензор деформации Т = V—V, где V - связность Леви-Чивита. На основании Теоремы 1.3.1. приводятся два способа классификации многообразий Римана-Картана с использованием поточечно 0(п, Н)-неприводимых разложений тензорных расслоений А2М ® Т'М и Т*М ® Л2М, гладкими сечениями которых являются тензор кручения S и деформации Т соответственно. При этом следующими равенствами определяются ортогональные проекции S на компоненты первого из этих разложений:

(1>5b(X, Y, Z) = З-Ч^СХ, Y, Z) + Sb(Y, Z, X) + Sb(Z, X, ¥))■

™Sb{X, Y, Z) = g(Y, Z)6{X) - д{Х, Z)0(Y); (3^(Х, Y, Z) = Y, Z) -0) S(X, Y, Z) -») S(X, Y, Z),

где Sb(X, Y, Z) := g(S(X, Y), Z) и 9 := (n - 1 )~4race S. _

Будем говорить, что многообразие Римана-Картана (M,g,V), равно как и его присоединенная связность V, принадлежат классу ра или ра © р,в для a,ß = 1,2,3 и а < ß, если в каждой точке х е М тензор Sb является сечением соответствующего тензорного расслоения ра(М) или ра{М) © pß(M), которые отвечают компонентам неприводимого разложения.

Ортогональные проекции Т на компоненты второго разложения определяются аналогичным образом. В диссертации доказывается эквивалентность двух классификаций.

Во втором параграфе приводятся примеры многообразий Римана-Картана различных классов. Первым примером является однородное риманово многообразие21, то есть связное риманово многообразие на котором задается тензорное поле Т как гладкое сечение тензорного расслоения ТМ®Л2М. В отличие от общей теории метрически-аффинных пространств, на (М,д,Ч) накладываются дополнительные условия в виде VR = 0 и VT = 0, которые, согласно теореме Амброуза-Зингера22, вместе с условием Чд = 0 дают критерий однородности ри-манова многообразия (М,д).

Вторым примером многообразия Римана-Картана (М, д, V) является почти эрмитовое многообразие (M,g,J), то есть римано-вое 2т-мерное многообразие (М.д) с почти комплексной структурой J2 = —Иль которая является гладким сечением тензорного расслоения ТМ ® Т*М, совместимой с метрикой д, т.е. g(J, J) = д, если в качестве

21 Tricerri F. Homogeneous structures on Riemaimian manifolds / F. Tricerri, L. Vanhecke // London Math. Soc.: Lecture Note Series. - 1983. - V. 83.

22 Ambrose W. On homogeneous Riemannian manifolds / W. Ambrose, I.M. Singer // Duke Math. J. - 1958. - V. 25. - P. 647 - 669.

связности V взять связность V = V 4- V J. В диссертации доказывается частичное совпадение классов многообразий Римана-Картана с классами почти эрмитовых многообразий классификации Грея-Хервеллы23.

Третьим примером многообразия Римана-Картана служит (S2, g, V), где S2 - сфера без полюсов радиуса R евклидова пространства Е3, связность V определяется непосредственно и определяет геометрию абсолютного параллелизма, то есть (S2, g, V) являют пример пространства с метрической несимметрической связностью нулевой кривизны и ненулевого кручения. Многомерные обобщения (S2, g, V) носят название пространств Вайценбека24.

В третьем параграфе дается определение скалярной крип _

визны многообразия Римана-Картана s(х) = Y1 ff(fi(eiiej)ej>ei)

ij = 1

по аналогии со скалярной кривизной риманова многообразия

s(x) ~ g(R(ei,ej)ej,ei) Для произвольного ортонормированно-

м=1

го базиса {ci,e2,... ,е„} касательного пространства ТХМ. Доказана

Лемма 2.3.1. Скалярные кривизны sus многообразия Римана-Картана (А/, g, V) и риманова многообразия (M, g) связаны равенством

s = s- ipSH2 - 2 (п - 2)\\™S\\2 + 2||<3>S||2 - Adiv(trace Sb) с неприводимылш компонентами ^S, ^S и тензора кручения Ь.

Известно15, что полной скалярной кривизной компактного риманова многообразия (А/, g) называется число s(M) = fM s dv, тогда по аналогии в диссертации определяется полная скалярная кривизна компактного многообразия Римана-Картана (А/, g, V) как число s(M) = fMsdv. Из Леммы 2.3.1. и теоремы Грина следует, что справедлива

Теорема 2.3.1. Полные скалярные кривизны s(M) us(M) компактных ориентированных многообразий Римана (M, g) и Римана-Картана (M, g. V) связаны равенством

s(M) = s (M) - [ (ipSII2 + 2 (n - 2)||<2>S||2 - 2||(3>S||2)rfv. Jm

В четвертом параграфе описываются основные инвариантные характеристики классов многообразий Римана-Картана. Так, например, об условиях принадлежности многообразия Римана-Картана к классу Pi © р2 свидетельствует следующая

23Gray A. The sixteen class of almost Hermitean manifolds / A. Gray, L. Hervella // Ann. Math. Рига Appl. - 1980. - V. 123. - P. 35 - 58.

24Pestov I.B. Kahler fermions on the Weitzenbok space-time/ I.B. Pestov - 1999. -arXiv:hep-th/9911247vl 30 Nov 1999.

Лемма 2.4.2. Связность V принадлежит классу р\ Q р2 тогда и только тогда, когда ее тензор кручения удовлетворяет алгебраическому уравнению вида

S(X, Y, Z) + S(X, Z, Y) = g(X, Z)B{Y) + g(X, Y)B(Z) + g{Y, Z)A(X)

для некоторых гладких 1-форм А и В и произвольных гладких векторных полей X,Y и Z на М.

Для многообразий этого класса на основании Теоремы 2.3.1. доказана

Теорема 2.4.6. Полные скалярные кривизны s{M) us(M) компактных ориентированных многообразий Римана (М,д) и Римана-Картана (М,д, V) класса рх © р2 связаны неравенством s{M) < s(M). Для dim M > 3 равенство возможно, когда связность V совпадает со связностью Леви-Чивита V метрики g, а для случая dim M — 2, когда связность V будет полусимметрической.

Для многообразия Римана-Картана (M,g,V) со связностью Вайцен-бека s = 0, поэтому справедливо

Следствие 2.4.6. Не существует связностей Вайценбека V класса pi Ф рг па римановом многообразии с s(M) < 0.

С учетом определения скалярных кривизн s и s и положительной определенности метрики g верно

Следствие 2.4.7. На компактном ориентированном римановом многообразии (М,д) с неположительно (соответственно отрицательно) определенной скалярной кривизной s не существует несимметрической метрической связности V класса рчФрг с положительно (соответственно неотрицательно) определенной квадратичной формой Ric{X,X) для тензора Риччи Rie связности V и любого гладкого векторного поля X.

Наряду с описанным выше классом р\ ® рд, также подробно в диссертации описана геометрия многообразий Римана-Картана классов pi,p2 и р3.

В третьей главе изучаются псевдокиллинговы и псевдогармонические векторные поля, определение которых принадлежит С. Бохнеру и К. Яно, а также определяемые в диссертации псевдокиллинговы и псевдокодацциевы симметрические тензорные поля на многообразиях Римана-Картана некоторых выделенных нами классов.

В первом параграфе по аналогии с киллинговым векторным полем приводится

Определение13'14. Псевдокиллинговым векторнъии полем на многообразии Римана-Картана (M,g,V) называется такое Ç, которое удовлетворяет уравнению

9(VxÇ,Y)+g(X,VY0= 0.

Данное дифференциальное уравнение, определяющее псевдокиллинго-во векторное поле, на многообразии Римана-Картана (M, <;,V) класса pi ф р2 на основании Леммы 2.4.2. может быть представлено в форме

Li3(X, Y) = 2(2д(Х, У)в(0 - д(Х, ИЩУ) - g(Ç, УЩХ)),

где L? - производная Ли относительно 0(Х) = (п — l)~ltrace S для произвольного гладкого векторного поля X на М. И отсюда (Lçg)(X,Y) = 4<jpf, Y)0(£) для произвольных гладких векторных полей X и Y, принадлежащих гиперраспределению ортогональному векторному полю Ç. Доказана

Теорема 3.1.1. Псевдокиллинговое (неизотропное) векторное поле на многообразии Римана-Картана (M,g,V) класса pi Ф р2 является инфинитезималъным (п — 1)-конформным преобразованием25'26.

Вторая фундаментальная форма Q1- гиперраспределения ^ имеет

в данном случае вид Q± = Ад ® Поэтому справедлива _

Теорема 3.1.2. На многообразии Римана-Картана (M, g, V) класса Pi © р2 гиперраспределение f-1, ортогональное (неизотропному) псев-докиллинговому векторному полю является омбилическим.

На компактном ориентированном многообразии (М,д) с глобально определенным омбилическим гиперраспределением, верна следующая интегральная формула27

J(Ric(C,С) - ll^f - (п - 1)(п - 2)\\H±\\2)dv = О, м

где С - единичное ортогональное этому гиперраспределению векторное поле, Fx - тензор интегрируемости гиперраспределения28 и Н1- - вектор средней кривизны этого гиперраспределения. На основании этой формулы в диссертации доказывается следующая "теорема исчезновения". _

Теорема 3.1.5. Пусть (M,g,V) - компактное ориентированное п-мерное (п > 3) многообразие Римана-Картана с положительно опре-

25Tanno S. Partially conformai transformations with respect to (m — l)-dimensional distributions of m-dimensional Riemannian manifolds / S. Tanno // Tôhoku Math. J. -1965. - V. 17. - № 17. - P. 358 - 409.

2еДубинкин A.B. К вопросу об инфинитезимальных обобщенно-конформных преобразованиях / A.B. Дубинкин, А.П. Широков // Труды геометрического семинара (КГУ, Казань). - 1983. - Т. 15. - С. 26 - 34.

27Stepanov S.E. An integral formula for a Riemannian almost-product manifold / S.E. Stepanov // Tensor, N.S. - 1994. - V. 55. - № 3. - P. 209 - 213.

28Reinhart B.L. Differential geometry of foliations / B.L. Reinhart. - - Berlin-New York: Springer-Verlag, 1983.

деленным метрическим тензором g принадлежит классу р\ ® р2. Если при этом тензор Риччи Rie связности Леви-Чивита V метрики g отрицательно определен, то на (M,g,V) не существует ненулевых псевдокиллинговых векторных полей.

Аналогичные результаты получены в диссертации для класса многообразий Римана-Картана р2.

Во втором параграфе на многообразии Римана-Картана по аналогии с гармоническим векторным полем на римановом многообразии приводится

Определение13'14. Псевдогармоническим векторным полем на многообразии Римана-Картана (M,g,V) называется такое Ç, которое подчиняется системе дифференциальных уравнений

Y) - g(X, VyO = 0, irace3(VÇ) = 0.

В диссертации доказываются "теоремы исчезновения" для псевдогармонических векторных полей на многообразии Римана-Картана Ш, 0, V) отдельных выделенных нами классов. Так, например, справедлива

Теорема 3.2.3. Пусть (M,g,V) - компактное многообразие Римана-Картана класса р2. Тогда каждое псевдогармоническое векторное поле £ на (M, g, V) имеет равную нулю ковариантную производную относительно несимметричной метрической связности V, если Лгс(£,£) > 0 для тензора Риччи Шс этой связности. Если же квадратичная форма Ric{X,X) является положительно определенной, то на многообразии не существует ненулевых псевдогармонических векторных полей.

Обобщением данной теоремы на случай некомпактного многообразия Римана-Картана служит следующая

Теорема 3.2.4. Пусть (M,g,V) - многообразие Римана-Картана класса рх®р2. Если функция длины f = 2~lg(Ç,Ç) псевдогармонического векторного поля £ илгеет локальный максимум в некоторой точке многообразия, где квадратичная форлш Ric(X, X) положительно определена, то поле £ обращается в нуль в этой точке и некоторой ее окрестности.

В третьем параграфе вводятся понятия дифференциального оператора симметрического дифференцирования S : C°°SPM —> C°°S^lM в локальной системе координат х\ х2,..., хп на M равенством 6* = sym о V. По аналогии с симметрическими р-тензорами Киллинга, которые активно изучаются в ОТО29, в диссер-

29 Крамер Д. Точные решения уравнений Эйнштейна / Д. Крамер, X. Штефанн М. Мак-Каллум, Э. Херльт. - М.: Энергоиздат, 1982.

тации определяется псевдокиллингова симметрическое тензорное поле £ 6 С°°5Л/ на многообразии Римана-Картана (М,д,Щ равенством 6 <р = 0. В диссертации изучены некоторые свойства псевдокил-линговых симметрических тензорных полей и доказана "теорема исчезновения" для псевдокиллинговых симметрических тензорных полей на многообразии Римана-Картана (М,д, V).

Теорема 3.3.2. Пусть (М,д,У) - компактное многообразие Римана-Картана класса р, ® р:1. Если для псевдокиллингова р-тензора <р неравенство Фр(у) < 0 имеет место всюду на (М, д, V), то р-тензор будет ковариантно постоянным. Не существует псевдокиллингова р-тензора у, для которого Фр(^) < 0 всюду на {М,д, V).

Здесь Фр(<р) - это квадратичная форма на £7'Л/,_чьи коэффициенты - тензоры кривизны, кручения и Риччи связности V.

Симметрическое тензорное поле у е С°°ЯГМ назовем псевдокодац-циевым30, если <р - сечение расслоения кел(зут{Т'М ® 5''М)). В этом случае

Фхо<Р)(ХиХа, ...,ХР) = (ЧХ11р)(Х10,Х2, ...,ХР)

для любых Х0,...,Хре С^ТМ. Аналогично представляются условия на псевдокодацциево тензорное поле в виде

Ту = (р + 1 )Чу.

Теорема 3.3.3. Пусть (М,д, V) - компактное многообразие Римана-Картана с тензором кручения Б связности V класса Ф р3. Если для псевдокодацциева р-тензора у _е С^ЯЦМ неравенство Фр(^) > 0 имеет место всюду на (М,д,У), то тензор будет ковариантно постоянным. Не существует псевдокодацциева р-тензора у 6 , для которого Фр(у) > 0 всюду на (М,д, V).

Аналогичные результаты получены в диссертации и для других выделенных нами классов многообразий Римана-Картана.

В заключение автор выражает глубокую и искреннюю благодарность научному руководителю, доктору физико-математических наук профессору Сергею Евгеньевичу Степанову за постановку задачи, руководство и постоянное внимание к работе.

30Смольникова М.В. О глобальной геометрии гармонических симметрических билинейных дифференциальных форм / М.В. Смольникова // Тр. МИАН - 2002 -Т. 236. - С. 328 - 331.

Публикации по теме диссертации

Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК РФ

1. Гордеева И.А. Псевдокиллинговы и псевдогармонические векторные поля на многообразии Римана-Картана / И.А. Гордеева, С.Е. Степанов // Математические заметки. - 2010. - Т. 87. - № 2. - С. 267 - 279. (диссертанта - 0,5 п.л.)

2. Гордеева И.А. Три класса многообразий Вайценбека / И.А. Гордеева, С.Е. Степанов // Изв. вузов. Матем. - 2012. - № 1. - С. 92 - 95. (диссертанта - 0,3 п.л.)

3. Гордеева И.А. Геометрия многообразий Римана-Картана /' И.А. Гордеева, С.Е. Степанов // Вестник КемГУ. - 2011. - Т. 47. -№ 3/1. - С. 168 - 181. (диссертанта - 0,0 п.л.)

4. Гордеева И.А. О некоторых классах пространств Вайценбека / И.А. Гордеева // Изв. Пенз. гос. ун-та им. В.Г. Белинского, Физ.-мат. и техн. науки. - 2011. - Л'« 26. - с. 70 - 75. (0,4 п.л.)

Публикации в других изданиях

5. Гордеева И.А. Теоремы исчезновения некоторых классов многообразий Римана-Картана / И.А. Гордеева // Фундамент, и прикл. матем. - 2011. - Т. 16. - № 2. - С. 7 - 12. (0,4 п.л.)

6. Гордеева И.А. Многообразия Римана-Картана / И.А. Гордеева, В.И. Паньженский, С.Е. Степанов // Итоги науки и техники (совр. матка и ее прил-я).- 2009. - Т. 123. - С. 110 - 141. (диссертанта - 1 п.л.)

7. Gordeeva I.A. On existence of pseudo-Killing and pseudo-harmonic vector fields on Riemannian-Cartan manifolds. / I.A. Gordeeva, S.E.Stepanov // Zb. Pr. Inst. Mat. NaN Ukr. - 2009. - V. 6. - Ж 2. -

P. 207 - 222. (диссертанта - 0,75 п.л.)

8. Гордеева И.А. О классификации несимметрических метрических связностей / И.А. Гордеева // Сборник трудов Международного геометрического семинара им. Г.Ф. Лаптева. - 2007. - С. 30 - 37. (0,4 п.л.)

9. Гордеева И.А. Две теоремы исчезновения для симметрических тензоров на многообразии Римана-Картана / И.А. Гордеева, A.A. Ры-лов // Диф. геом. мног. фиг.: Межвуз. темат. сб. науч. тр. - 2008. -Вып. 39. - С. 27 - 31. (диссертанта - 0,3 п.л.)

10. Гордеева И.А. Нули псевдокиллингова векторного поля / И.А. Гордеева, С.Е. Степанов // Диф. геом. мног. фиг.: Межвуз. темат. сб. науч. тр. - 2009. - Вып. 40. - С. 47 - 53. (диссертанта - 0,2 п.л.)

11. Гордеева И.А. Шесть классов несимметрических метрических связностей / И.А. Гордеева // Дифференциальная геометрия много-

образий фигур: Межвуз. темат. сб. научи, тр. - 2007. - Вып. 38. - С. 33 - 38. (0,3 п.л.)

12. Gordeeva I.A. Conditions for an Obstruction to Existence of Two Classes of Riemann-Cartan Manifolds / I.A. Gordeeva // Международная конференция "Petrov 2010 Anniversary Symposium on General Relativity and Gravitation"(Казань, 1-6 ноября 2010 г.): тез. докл. - Казань: Казан, ун-т, 2010. - С. 138 - 139. (0,1 п.л.)

13. Гордеева И.А. Теорема исчезновения для псевдогармонических векторных полей на многообразии Римана-Картапа / И.А. Гордеева, С.Е. Степанов // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 27 июня - 2 июля 2008 г.): тез. докл. - Владимир: Изд-во ВлГУ, 2008. - С. 71 - 73. (диссертанта - 0,2 п.л.)

14. Гордеева И.А. Псевдокиллинговые векторные поля на многообразиях Римана-Картаиа / И.А. Гордеева // Международная конференция "Геометрия в Одессе - 2008", (Одесса, 19 - 24 мая 2008 г.): тез. докл. -Одесса: Фонд "Наука", 2008. - С. 73 - 75. (0,2 п.л.)

15. Гордеева И.А. Классификация несимметрических метрических связностей / И.А. Гордеева // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 10-15 июля 2006 г., ): тез. докл. - Владимир, ВлГУ, 2006. - стр. 72 - 73 (0,1 п.л.).

16. Гордеева И.А. Несимметрические метрические связности и их классификация / И.А. Гордеева // Пятая молодежная научная школа-конференция "Лобачевские чтения - 2006" (Казань, 28 ноября - 2 декабря 2006 г.): тез. докл. - Казань: Изд-во Казанского математ. общества, 2006. - С. 62 - 64. (0,1 п.л.)

17. Гордеева И.А. Некоторые свойства различных классов пространств Римана-Картана / И.А. Гордеева // Шестая молодежная научная школа-конференция "Лобачевские чтения - 2007" (Казань, 16-19 декабря 2007 г.): тез. докл. - Казань: Изд-во Казанского математ. общества, 2007. - С. 60 - 61. (0,1 п.л.)

Подписано в печать 09.11.12. :. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз.

Заказ ¿05-¿06?г Издательство Владимирского государственного университета имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых 600000, Владимир, ул. Горького, 87.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Гордеева, Ирина Александровна

Введение

1. Многообразия и линейные связности

§1. Многообразия и связности.

§2. Метрически-аффинные пространства. Теорема Грина

§3. Представление ортогональной группы и теорема Ж.-П. Бургиньена.

2. Многообразие Римана-Картана

§1. Классификация многообразий Римана-Картана.

§2. Примеры многообразий Римана-Картана.

§3. Скалярная и полная скалярная кривизны многообразия

Римана-Картана.

§4. Характеристики многообразий Римана-Картана выделенных классов и теоремы исчезновения.

3. Векторные и тензорные поля на многообразии Римана-Картана

§1. Псевдокиллинговы векторные поля на многообразии

Римана-Картана.

§2. Псевдогармонические векторные поля на многообразии

Римана-Картана.

§3. Поля симметрических тензоров на многообразии Римана

Картана

Введение диссертация по математике, на тему "Многообразия Римана-Картана"

Актуальность темы исследования. Метрически-аффинным пространством называется тройка (М, д, V), где М - дифференцируемое многообразие размерности п > 2 с метрикой д некоторой сигнатуры и линейной связностью V с ненулевым кручением S, которая, вообще говоря, не зависит от д. Именно эти пространства в последние полвека стали объектом интенсивного изучения в теоретической физике, свидетельством чему сотни опубликованных статей. Напротив, в дифференциальной геометрии только частные виды метрически-аффинных пространств (М, д, V) время от времени попадали в поле зрения ученых, о чем мы скажем ниже, но в целом геометрия (М, д, V) никогда не вызывала их активного интереса.

Начало теории метрически-аффинных пространств было положено Э. Картаном в 1922 году (см. [11]), который предложил вместо связности Леви-Чивита V в GRT (сокращенное от General Relativity Theory) рассматривать несимметричную линейную связность V, обладающую свойством метричности Vg = 0. В результате пространство-время получало в дополнение к кривизне еще и ненулевое кручение S. Впоследствии в 1924 и 1925 годах им было опубликовано еще две работы (см. [12] и [13]) в развитие своей теории. Кроме того, им была выдвинута идея пространства абсолютного параллелизма. Позднее Э. Картан указал, что эта идея была переоткрыта А. Эйнштейном в 1928 г., положившим ее в основу единой теории поля, в которой тензор электромагнитного поля совпадает с тензором кручения пространства абсолютного параллелизма [9], [10], [67]. Данная теория получила в дальнейшем название Einstein-Cartan Theory of Gravity или сокращенно ЕСТ (см., напр., [4]; [59]). Идея Э. Картана о несимметрической метрической связности почти сразу нашла отражение в известных монографиях по дифференциальной геометрии первой половины прошлого века (см. [15]; [16]; [84] и др.).

Вплоть до начала 60-х годов предложение Э. Картана о применении несимметрической метрической связности в GRT не находила широкой поддержки у физиков-теоретиков. Толчком к изучению ЕСТ послужили работы Т. Кибла (см. [33]) и Д. Сциямы (см. [48]), которые независимо друг от друга установили связь между кручением S связности V и спин тензором материи s. Впоследствии были найдены и другие физические приложения ЕСТ (см., напр., [41] и [47] и др.). Так, например, установлено (см., [37]), что кручение S зависит от квантовых свойств материи и поскольку кручение является частью метрической связности V, то и сама связность V, следовательно, зависит от квантовых свойств материи. До последнего времени не стихают дискуссии о необходимости включения кручения в теорию гравитации (см. [18]; [19]).

Впоследствии теория Эйнштейна-Картана была обобщена (см. [26]) за счет введения требования неметричности Q := —Х7д Ф 0 для линейной связности V. Новая теория получила название Metric-Affine Gauge Theory of Gravity или сокращенно MAG (см. [28]; [59]). Классификация различных типов изучаемых сейчас метрически-аффинных пространств в рамках MAG представлена составленной нами следующей диаграммой.

Metric-affine spaces

Число работ, опубликованных в рамках ЕСТ и MAG исчисляется уже сотнями, причем опубликованные результаты имеют в большей степени прикладной физический характер (см. обзоры [25]; [28]; [30]; [44]). Все исходные формулы новой теории были позаимствованы физиками из работ Э. Картана вместе с его методом, который сейчас так и называется "метод внешних форм Картана" (см. [88]). Так же нетрудно проследить заимствования и из монографий по дифференциальной геометрии, например, из классических монографий И. Схоутена и Д. Стройка (см. [84]; [85]) изложение в которых ведется на тензорном языке. В итоге, современные теории ЕСТ и MAG излагаются на довольно причудливом языке, который соединяет в себе методы внешних форм и тензорного анализа одновременно.

В этом контексте характерна работа Мак Креа (см. [36]), где были выведены неприводимые относительно действия псевдоортогональной группы 0{q) разложения тензоров неметричности Q = —V д, кручения S и кривизны R связности V, основные соотношения на которые были приведены еще в монографии И. Схоутена и Д. Стройка (см. [84]). Более того, идею своей статьи Мак Креа также позаимствовал из дифференциальной геометрии, где уже давно и хорошо известны неприводимые разложения тензоров кривизны R риманова и кэлерова многообразий, что нашло отражение уже и в монографиях (см. [27]; [76]; [69] и др.).

Другой результат Мак Креа о неприводимом разложении тензора кручения S является простым следствием более общего результата (см. [69], доклад XVI) о поточечно 0(д)-неприводимом разложении соответствующего тензорного расслоения Т*М ® А2М, гладким сечением которого и является S.

Воспользовавшись результатом Мак Креа, целый коллектив авторов (см. [8]) так же как это делалось не раз в римановой геометрии, но по другим поводам (см. [23]; [24]; [60]; [68] стр. 585-620 и др.), за счет последовательного попарного обращения в нуль неприводимых компонент разложения тензора кручения S выделил 4 класса пространств (М, д, V) и провел систематизацию результатов, полученных в рамках ЕСТ для четырехмерного пространства (М, V). При этом авторами был учтен тот факт, что при задании локальной ориентации многообразия оператор Ходжа * : АРМ —> ЛПРМ, который на многообразии в размерности п переводит внешние р-формы во внешние (га — р)-формы, действует в размерности 4 на внешних 2-формах, определяя естественное разложение Л2М = А.2М 0 А2+М для представления группы SO(q), где А±М - пространства собственных 2-форм оператора Ходжа, соответствующие собственным значениям +1 или - 1. В итоге, вместо трех неприводимых компонент разложения, которые имеются у тензора S в размерностях га не равных 4, в размерности га = 4 их уже четыре.

Заметим здесь, что если последовательно применять отработанную в геометрии методику классификации (см. [23]; [24]; [60]; [68] стр. 585-620 и др.), то вместо выделенных трех классов, в реальности получается 14 классов пространств (М, g, V).

На контрасте со все увеличивающимся потоком работ физиков, геометры к настоящему времени почти потеряли интерес к теории, основы которой заложил Э. Картан. Наиболее яркими и, к сожалению, последними результатами геометрии пространств (М, д, V) являются результаты JI. Ванхекке и Ф. Тричерри начала восьмидесятых годов прошлого века по геометрии многообразий с однородной структурой (см. [60]). В принятой современной физикой терминологии (см. [27]; [59]) эта теория относится к Riemann-Cartan Theory или сокращенно RCT. Геометрия Римана-Картана это геометрия метрически-аффинного пространства (М, д, V), с (псевдо)римановой метрикой д и линейной связностью V с ненулевым кручением S такой, что Q = 0. Но в отличие от общей теории метрически-аффинных пространств JI. Ванхекке и Ф. Тричерри (см. [60]) накладывали на (М, д, V) дополнительные условия в виде S7R = 0 и VT = 0, которые согласно теореме Амброуза-Зингера (см. [3]) вместе с условием Vg = 0 дают критерий однородности риманова многообразия (М, д). Доказав теорему о неприводимом относительно действия ортогональной группы разложении тензора деформации Т — V — V, они так же как и в работах [23]; [24]; [60] и др. перешли к классификации многообразий (М, д, V) с однородной структурой (см. [61]). В этой и последующих работах ими была изучена геометрия пространств из выделенных классов. Итоги исследований авторы подвели в монографии [60]. Отметим, что J1. Ванхекке и Ф. Тричерри как особый случай рассмотрели классификацию в размерности п = 4 (см. [62]).

Следует заметить, что результат JI. Ванхекке и Ф. Тричерри о неприводимом разложении тензора деформации Т = V — V является простым следствием более общего результата (см. [69], доклад XVI) о поточечно 0(д)-неприводимом разложении соответствующего тензорного расслоения Л2М <g) Т*М, гладким сечением которого и является тензор Т.

Как это показано автором (см. [100]), классификация J1. Ванхекке и Ф. Тричерри равносильна классификации, полученной на основе неприводимого разложения тензора кручения 5, притом, что последняя не предполагает обращения в нуль тензора неметричности Q, а потому является более общей и, следовательно, включает классификацию J1. Ванхекке и Ф. Тричерри.

Из всех видов метрически-аффинных пространств (М, д, V) в геометрии последовательно в течение длительного времени изучались только четверть-симметрические метрические пространства и их частный вид полусимметрические метрические пространства (см. [6]; [38]; [39]; [49]; [57]; [65] и др.). Четверть-симметрические метрические пространства существуют в рамках RCT и ЕСТ и выделяются дополнительным условием T(X,Y) := U{X)p(Y) - V(Y)p{X) - g(U{X),Y)Z, где g(U(X),Y) = (Sym F){X,Y)} g(V(X),Y) = (Alt F)(X,Y) для некоторого ковариантного 2-тензора F и р(Х) := g(Z,X). Полусимметрические метрические пространства определяются, в свою очередь, условием T(X,Y) := U(Y)X — U(X)Y для любых векторных полей X, Y и Z на М. Они были введены в рассмотрение К. Яно (см. [65]) и продолжают вызывать интерес исследователей вплоть до последнего времени (см., например, [63]; [66]).

Геометрия "в целом "метрически-аффинных пространств застыла на результатах К. Яно, С. Бохнера и С. Гольдберга (см. [7]; [22]; [92]) середины прошлого века. В их работах в рамках RCT доказывались "теоремы исчезновения" (vanishing theorems) для псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей и тензоров на компактных многообразиях Римана-Картана (М, д, V) с положительно определенным метрическим тензором д, выделяемых следующим условием trace S = 0 на тензор кручения S связности V. Даже не смотря на последующие попытки обобщения их результатов за счет введения в рассмотрение компактных метрически-аффинных пространств с границей (см. [34]; [45]) это, по-прежнему, было доказательство тех же теорем исчезновения для тех же векторных полей и тензоров.

При этом сформулированные в "теоремах исчезновения" (vanishing theorems) условия препятствия существованию псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей и тензоров поражают своей громоздкостью, в отличие от аналогичных теорем для киллинговых и гармонических векторных полей и тензоров на римановых многообразиях (см. [92]). Упрощения условий препятствия удавалось достичь только для случая многообразий Римана-Картана (М, д, V) с антисимметричным тензором кручения S связности V. Метрической связности с антисимметричным тензором кручения посвящена докторская диссертация, защищенная в Оксфорде в 2010 году, и работа [17] того же автора.

Симметрические тензоры, изучаемые нами, часто используются в ОТО (см., например, [86], стр. 339). При этом следует особо отметить, что геометрия таких векторов и тензоров ни до, ни после цитируемых нами работ никем не изучалась. Хотя аналогичные кососимметрические псевдокил-линговы тензоры были хорошо изучены (см. [7]; [92], стр. 86). Поэтому мы уделили симметрическим псевдокиллинговым и псевдокодацциевым тензорным полям отдельный параграф.

Цель настоящей работы - исследование пространств Римана-Картана.

Основные задачи диссертационной работы:

1) установить основные свойства многообразий Римана-Картана;

2) провести классификацию многообразий Римана-Картана;

3) установить основные инвариантные характеристики выделенных классов многообразий Римана-Картана;

4) исследовать геометрию псевдокиллинговых и псевдогармонических векторных полей, а также псевдокиллинговых и псевдокодацциевых симметрических тензорных полей на выделенных классах многообразий.

Научная новизна исследования. Все основные результаты, представленные в настоящей работе и выносимые на защиту являются новыми.

Методы исследования. Изучение многообразий Римана-Картана проведено классическими методами дифференциальной геометрии, почерпнутыми нами из монографий [68]; [69]; [74]; [75] и [92]. Классификация многообразий Римана-Картана проведена с использованием теории представлений групп, изложенной в классической монографии Г. Вейля (см. [70]), а также с помощью некоторых модификаций этой теории, содержащихся в статьях сборника [69]. Глобальный аспект геометрической теории многообразий Римана-Картана изучен с помощью "техники Бохнера"(см.

43], стр. 187-234; [64]; [68], стр. 77-83) - аналитического метода, основанного на применении интегральных формул Вайценбека.

Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту.

3) Найдены условия препятствия существованию некоторых из выделенных классов многообразия Римана-Картана.

Достоверность полученных в диссертации результатов обусловлена тем, что:

- применяются проверенные, точные и строго обоснованные методы исследования;

- все основные результаты диссертации доказаны и опубликованы.

Апробация работы. Основные результаты были анонсированы в докладах на следующих семинарах и конференциях:

- Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 10 - 15 июля 2006 г.);

- Пятая молодежная научная школа-конференция "Лобачевские чтения - 2006"(Казань, 1 - 6 ноября 2006 г.);

- Шестая молодежная научная школа-конференция "Лобачевские чтения - 2007"(Казань, 16 - 19 декабря 2007 г.);

- Международный геометрический семинар им. Г.Ф. Лаптева (Пенза, 2007 г.);

- XIX Международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики "Волга-2007"(Казань, 22 июня - 3 июля 2007 г.);

- Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 27 июня - 2 июля 2008 г.);

- Международная конференция "Геометрия в Одессе - 2008"(Одесса, 19 мая - 24 мая 2008 г.);

- Международная конференция "Petrov 2010 Anniversary Symposium on General Relativity and Gravitation" (Казань, 1-6 ноября 2010).

Публикации и вклад автора в разработку исследованных проблем. Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в 17 работах, общим объемом 8,5 печатных листов, в том числе 4 из них [94] - [93] в журналах Известия ВУЗов, Известия ПГПУ им. В.Г. Белинского, Вестник КемГУ, Математические заметки, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией (ВАК) Министерства образования и науки Российской Федерации для публикации результатов научных исследований. В работах, написанных в соавторстве с научным руководителем, С.Е. Степанову принадлежат постановка задачи и историческая часть введения, И.А. Гордеевой принадлежит доказательство основных и вспомогательных утверждений.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы. Нумерация параграфов производится двумя символами, а нумерация результатов производится тремя символами. Например, теорема 1.2.3 означает теорему 3 из второго параграфа главы 1.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Гордеева, Ирина Александровна, Владимир

1. Amari, S.-I. Differential geometry in statistical inference / S.-I. Amari, O. E. Barndorff-Nielsen, R. E. Kass, S. L. Lauritzen, C. Rao Institute of Mathematical Statistics: Hayward. - 1987.

2. Ambrose W. On homogeneous Riemannian manifolds / W. Ambrose, I.M. Singer // Duke Math. J. 1958. - V. 25. - P. 647-669.

3. Arkuszewski W. On the linearized Einstein-Cartan theory / W. Arkuszewski, W. Korczynski, V. Ponomariev // Ann. Inst. Henri Poincare. 1974. - V. 21. - P. 89-95.

4. Baekler P. Rotating black holes in metric-affine gravity / P. Baekler, F.W. Hehl //International Journal of Modern Physics D. 2006. - V. 15. - № 5. - P. 635-668.

5. Barua B. Some properties of semi-symmetric connection in Riemannian manifold / B. Barua, A.K. Ray // Ind. J. Pure Appl. Math. 1985. - V. 16. - № 7. - P. 726-740.

6. Bochner S. Tensor-fields in non-symmetric connections / S. Bochner, K. Yano //The Annals of Mathematics, 2nd Ser. 1952. - V. 56. - № 3 - P. 504 -519.

7. Capozziello S. Geometric classification of the torsion tensor in space-time. / S. Capozziello, G. Lambiase, C. Stornaiolo //Annalen Phys. 2001. -V. 10. - P. 713-727.

8. Cartan E. Notice historique sur la notion de parall'elisme absolu / E. Cartan // MA.Bd. 1930. - V. 3. - P. 1121-1129.

9. Cartan E. Le parallélisme absolu et la théorie unitaire du champ / E. Cartan // Revue Métath. Morale. 1932. - V. 3. - P. 1167-1185.

10. Cartan E. Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativé généralisée. Part I / E. Cartan // Ann. Éc. Norm. 1923. - V. 40. - P. 325-412.

11. Cartan E. Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativé généralisée. Part I. / E. Cartan // Ann. Éc. Norm. 1924. - V. 41. - P. 1-25.

12. Cartan E. Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativé généralisée. Part II. / E. Cartan // Ann. Éc. Norm. 1925. - Vol. 42. -P. 17-88.

13. Deszcz R. Differential geometry in statistics and econometrics / R. Deszcz, K. Sawicz //Electronic Modeling. 2005. - V. 27. - № 2. - P. 139-143.

14. Eisenhart L.P. Continuous groups of transformations / L.P. Eisenhart. -Prinseton: Prinseton Univ. Press. 1933.

15. Eisenhart L.P. Non Riemannian geometry / L.P. Eisenhart. New York: Amer. Math. Soc. Coll. Publ. - 1927.

16. Ferreira A. Einstein Four-manifolds with skew torsion / A. Ferreira. // Journal of Geometry and Physics. 2011. - V. 61. - P. 2341-2351

17. Garecki J. Is torsion needed in a theory of gravity? A reappraisal I. / J. Garecki // Bulletin de la sosiété des sciences et des lettres de LckTz. -2011. V. 61. - № 2. - P. 57-67.

18. Garecki J. Is torsion needed in a theory of gravity? A reappraisal II. / J. Garecki // Bulletin de la sosiété des sciences et des lettres de Lodz. -2011. V. 61. - №. 3. - P. 23-37.

19. Garecki J. Teleparallel equivalent of general relativity: a critical review Janusz Garecki. arXiv:1010.2654v2 gr-qc] 25 Oct 2010.

20. Garcia A. Colliding waves in metric-affine gravity / A. Garcia , C. Lâmmerzahl, A. Macias , E.W. Mielke, J. Socorro //Physical Review D. 1998. - V. 57. - Issue 6. - P. 3457-3462.

21. Goldberg S.I. On pseudo-harmonic and pseudo-Killing vector in metric manifolds with torsion / S.I. Goldberg // The Annals of Mathematics, 2nd Ser. 1956. - V. 64. - № 2. - P. 364-373.

22. Gray A. Einstein-like manifolds which are not Einstein. / A. Gray //Geometriae deicata. 1978. - V. 7. - P. 259-280.

23. Gray A. The sixteen class of almost Hermitean manifolds / A. Gray, L. Hervella // Ann. Math. Pura Appl. 1980. - V. 123. - P. 35-58.

24. Hamond R.T. Torsion gravity / R.T. Hamond // Rep. Prog. Phys. 2002. - Vol. 65. - P. 599-649.

25. Hehl F.W. On a New Metric-Affine Theory of Gravitation / F.W. Hehl, P. Heyde // Physics Letters B. 1976. - V. 63. - № 4. - P. 446-448.

26. Hehl F.W. Metric-affine gauge theory of gravity: field equations, Noether identities, word spinors, and breaking of dilation invariance / F.W. Hehl, J.D. McCrea, E.W. Mielke, Y. Ne'eman // Physics Reports. 1995. - V. 258. - P. 1-171.

27. Hehl F.W. General relativity with spin and torsion: Foundations and prospects / F.W. Hehl, P. Heyde, G.D. Kerlick, J.M. Nester // Rev. Mod. Phys. 1976. - V. 48. - № 3. - P. 393-416.

28. Hehl F.W. Metric-affine gauge theory of gravity: II. Exact solutions / F.W. Hehl, A. Macias (15 Apl. 1999) 27 pages, arXiv:gr-qc/9902076v2.

29. Hehl F.W. Elie Cartan's torsion in geometry and in field theory, an essay / F.W. Hehl, Y.N. Obukhov // 2007. - arXiv:0711.1535vl gr-qc] 9Nov 2007.

30. Heinicke C., Baekler P., Hehl F.W. Einstein-aether theory, violation of Lorentz invariance, and metric-affine gravity / C. Heinicke, P. Baekler, F.W. Hehl (1 Apr 2005) 36 pages, arXiv:gr-qc/0504005vl.

31. Ho J.K. Some spherically symmetric exact solutions of the metric affine gravity theory / J.K. Ho, D.-C. Chern, M.J. Nester //Chiness Journal of Physics. 1997. - V. 35. - № 6-1. - P. 640-650.

32. Kibble T.W.B. Lorenz invariance and the gravitational field / T.W.B. Kibble // J. Math. Phys. 1961. - V. 2. - P. 212-221.

33. Kubo Y. Vector fields in a metric manifold with torsion and boundary / Y. Kubo // Kodai Math. Sem. Rep. 1972. - V. 24. - P. 383-395.

34. Macias A. Matching conditions in metric-affine gravity / A. Macias, C. Lammerzahl, L.O. Pimentel //Physical Review D. 2002. - V. 66 - Issue 6. - P. 104013-104021.

35. McCrea J.D. Irreducible decompositions of non-metricity, torsion, curvature and Bianchi identities in metric-affine spacetimes / J.D. McCrea // Class. Quantum. Grav. 1992. - V.9. - P. 553-568.

36. Megged O. Post-Riemannian Merger of Yang-Mills interactions with gravity / O. Megged //- 2001. arXiv:hep-th/0008135 - 54 p.

37. Muniraja G. Manifolds admitting a semi-symmetric metric connection and a generalization of Shur's theorem / G. Muniraja // Int. J. Contemp. Math. Sciences. 2008. - V. 3, № 25. - P. 1223-1232.

38. Nakao Z. Submanifolds of a Riemannian manifold semi-symmetric metric connections. / Z. Nakao //Proc. Amer. Math. Soc. 1976. - V. 54. - P. 261-266.

39. Obukhov Yu. Irreducible decompositions in metric-affine models / Yu. Obukhov, E.J. Vlachynsky, W. Esser, F.W. Hehl (14 May 1997) 27 pages, arXiv:gr-qc /9705039vl.

40. Penrose R. Spinors and torsion in General Relativity / R. Penrose // Fond. Of Phys. 1983. - V. 13. - P. - 325-339.

41. Pestov I.B. Kahler fermions on the Weitzenbok space-time / I.B. Pestov 1999. - arXiv:hep-th/9911247vl 30 Nov 1999.

42. Petersen P. Riemannian geometry / P. Petersen. New York: Springer. -1997.

43. Puetzfeld D. Prospects of non-Riemannian cosmology / D. Puetzfeld //Proceeding of the of 22nd. Texas Symposium on Relativistic Astrophysics at Stanford University (Dec. 13-17, 2004). California: Stanford Univ. Press, 2004. - P. 1-5.

44. Reinhart B.L. Differential geometry of foliations / B.L. Reinhart. Berlin-New York: Springer-Verlag, 1983.

45. Ruggiero M.L. Einstein-Cartan theory as a theory of defects in spacetime / M.L. Ruggiero, A. Tartaglia //Amer. J. Phys. 2003. - V. 71. -P. 1303-1313.

46. Sciama D.W. On the analogy between change and spin in general relativity / D.W. Sciama // Recent developments in General Relativity. 1962. -P. 415-439.

47. Segupta J. On a type of semi-symmetric connection on a Riemannian manifold / J. Segupta, U.C. De, T.Q. Binh //Ind. J. Pure Appl. Math. -2000. V. 31. - № 12. - P. 1650-1670.

48. Sert O. A solution to symmetric teleparallel gravity / O. Sert, M. Adak //Turk J. Phys. 2005. - V. 29. - P. 1-7.

49. Shouten J.A. Ricci-calculus / J.A. Shouten. Berlin: Springer Verlag, 1954.

50. Socorro J. Computer algebra in gravity: Programs for (non-)Riemannian spacetimes / J. Socorro, A. Macias, F.W. Hehl //Comput. Phys. Commun. 1998. - V. 115. - № 2-3. - P. 264-283.

51. Stepanov S.E. An integral formula for a Riemannian almost-product manifold / S.E. Stepanov // Tensor, N.S. 1994. - Vol. 55. - №3.-P. 209 213.

52. Stepanov S.E. On a conformal Killing 2-form of the electromagnetic field / S.E. Stepanov // Journal Geom. and Phys. 2000. - V. 33. - P. 191-209.

53. Tanno S. Partially conformal transformations with respect to (m — 1)-dimensional distributions of m-dimensional Riemannian manifolds / S. Tanno // Tohoku Math. J. 1965. - V. 17. - № 17. - P. 358-409.

54. Tarafdar D. On pseudo concircular symmetric manifold admitting a type quarter symmetric metric connection. / D. Tarafdar //Istambul Univ. Fen. Fak. Mat. Dergisi. 1996-1997. - V. 55-56. - P. 237-243.

55. Thompson G. Killing tensor in spaces of constant curvature / G. Thompson // Journal of Mathematical Physics. 1986. - V. 27. - № 11. - P. 2693-2699.

56. Trautman A. The Einstein-Cartan theory / A. Trautman // Encyclopedia of Mathematical Physics / Edited by Françoise J.-P., Naber G.L., Tsou S.T. Oxford: Elsevier. 2006. - V. 2. - P. 189-195.

57. Tricerri F. Homogeneous structures on Riemannian manifolds / F. Tricerri, L. Vanhecke // London Math. Soc.: Lecture Note Series. V. 83. - London: Cambridge University Press. - 1983.

58. Tricerri F. Homogeneous structures. Progress in mathematics / F. Tricerri, L. Vanhecke //Differential geometry. 1983. - V. 32. - P. 234-246.

59. Tricerri F. Self-dual and anti-self-dual homogeneous structures / F. Tricerri , L. Vanhecke //Lecture notes in mathematics. 1984. - JVQ 1045. - P. 186-194.

60. Vysal S.A. On weakly symmetric spaces with semi-symmetric metric connection / S.A. Vysal, R.O. Laleoglu // Publ.Math. 2005. - V. 67. -№ 1-2. - P. 145-154.

61. Wu H. The Bochner technique in differential geomtry. / H. Wu // Mathematical Reports. 1988. - Vol. 3, - Part 2.

62. Yano K. On semi-symmetric metric connection / K. Yano // Rev. Roum. Math. Pure Appl. 1970. - V. 15. - P. 1579-1586.

63. Yasar E. Totally umbilical lightlike hypersurfaces in semi-Riemannian manifold with semi-symmetric metric connection / E. Yasar, A.C. Côken, A. Yucesan // Int. J. Pure Appl. Math. 2005. - V. 23. - № 3. - P. 379-391.

64. Акивис M.А. Эли Картан / M.А. Акивис, Б.А. Розенфельд М: МЦ-НМО, 2007.

65. Бессе А. Многообразия Эйнштейна: В 2-х т. Т. 1 / А. Бессе М.: Мир, 1990. 318с.

66. Бессе А. Четырехмерная риманова геометрия: Семинар Артура Бессе 1978/1979 / А. Бессе М.: Мир, 1985.

67. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления / Г. Вейль. М.: ИЛ, 1947.

68. Де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / Ж. Де Рам М.: ИЛ, 1956.

69. Дубинкин A.B. К вопросу об инфинитезимальных обобщенно-конформных преобразованиях / A.B. Дубинкин, А.П. Широков // Труды геометрического семинара (КГУ, Казань). 1983. - Т. 15. -С. 26-34.

70. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси М: Наука. - 1986.

71. Кобаяси. Ш. Основы дифференциальной геометрии: в 2 т. Т. 1. /Ш. Кобаяси, К. Номидзу. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981.

72. Кобаяси. Ш. Основы дифференциальной геометрии: в 2 т. Т. 2. /Ш. Кобаяси, К. Номидзу М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981.

73. Крамер Д. Точные решения уравнений Эйнштейна / Д. Крамер, X. Штефанн, М. Мак-Каллум, Э. Херльт. М.: Энергоиздат, 1982.

74. Норден А.П. Пространства аффинной связности / А.П. Норден М: Наука. - 1976.

75. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр IV. Дифференциальная геометрия / М.М. Постников М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.

76. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр V. Риманова геометрия / М.М. Постников М.: Изд-во "Факториал", 1998.

77. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П.К. Ра-шевский М.: Наука. - 1967. - 664 с.

78. Смольникова М.В. О глобальной геометрии гармонических симметрических билинейных дифференциальных форм, / М.В. Смольникова // Тр. МИАН. 2002. - Т. 236. - С. 328-331.

79. Степанов С.Е. Поля симметрических тензоров на компактном рима-новом многообразии / С.Е. Степанов // Математические заметки. -1992. Т. 52 № 4. - С. 85-88.

80. Степанов С.Е. Аффинная дифференциальная геометрия тензоров Киллинга / С.Е. Степанов, М.В. Смольникова // Изв. вузов. М-ка. 2004. - № 11. - С. 82-86.

81. Схоутен И.А. Введение в новые методы дифференциальной геометрии, Т.1.: / И.А. Схоутен, Д.Дж. Стройк М.:ИЛ. - 1948.

82. Схоутен Я.А. Тензорный анализ для физиков / Я.А. Схоутен М.: Наука. - 1965).

83. Точные решения уравнений Эйнштейна /Д. Крамер, X. Штефани, Э. Херльт, М. Мак-Каллум. Под ред. Э. Шмутцера: Пер. с англ. М.: Энергоиздат, 1982. - 416 с.

84. Трофимов В.В. Римаиова геометрия / В.В. Трофимов, А.Т. Фоменко // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2002. - Т. 76. - С. 5-262.

85. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана дифференциальной геометрии / С.П. Фиников М.-Л.: ГИТТЛ, 1948.

86. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства / С. Хелгасон М.: Мир, 1964.

87. Шапиро ЯЛ. О некоторых полях геодезических конусов /ЯЛ. Шапиро // Доклады АН СССР. 1943. - Т. 39. - № 1. - С.6-10.

88. Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия / Л.П. Эйзенхарт М.: ИЛ, 1948.

89. Яно К., Бохнер С. Кривизна и числа Бетти / К. Яно, С. Бохнер. М.: ИЛ, 1957.Публикации автора по теме диссертации

90. Гордеева И.А. Псевдокиллинговы и псевдогармонические векторные поля на многообразии Римана-Картана / И.А. Гордеева, С.Е. Степанов // Математические заметки. 2010. - Т. 87. - № 2. - С. 267—279. (диссертанта - 0,5 п.л.)

91. Гордеева И.А. Геометрия многообразий Римана-Картана / И.А. Гордеева, С.Е. Степанов // Вестник КемГУ. 2011. - Т. 47. - № 3/1. - С. 168-181. (диссертанта - 0,6 п.л.)

92. Гордеева И.А. О некоторых классах пространств Вайценбека / И.А. Гордеева // Изв. Пенз. гос. ун-та им. В.Г. Белинского, Физ.-мат. и техн. науки. 2011. - № 26. - С. 70-75. (0,4 п.л.)

93. Гордеева И.А. Теоремы исчезновения некоторых классов многообразий Римана-Картана / И.А. Гордеева // Фундамент, и прикл. матем.- 2011. Т. 16. - № 2. - С. 7-12. (0,4 п.л.)

94. Гордеева И.А. Многообразия Римана-Картана / И.А. Гордеева, В.И. Паньженский, С.Е. Степанов // Итоги науки и техники (совр. мат-ка и ее прил-я)2009. Т. 123. - С. 110-141. (диссертанта - 1 п.л.)

95. Gordeeva I.A. On existence of pseudo-Killing and pseudo-harmonic vector fields on Riemannian-Cartan manifolds. / I.A. Gordeeva, S.E.Stepanov

96. Zb. Pr. Inst. Mat. NaN Ukr. 2009. - V. 6. - №. 2. - P. 207-222. (диссертанта - 0,75 п.л.)

97. Гордеева И.А. О классификации несимметрических метрических связностей / И.А. Гордеева // Сборник трудов Международного геометрического семинара им. Г.Ф. Лаптева. 2007. - С. 30-37. (0,4 п.л.)

98. Гордеева И.А. Две теоремы исчезновения для симметрических тензоров на многообразии Римана-Картана / И.А. Гордеева, A.A. Рылов // Диф. геом. мног. фиг.: Межвуз. темат. сб. науч. тр. 2008. - Вып. 39. - - С. 27-31. (диссертанта - 0,3 п.л.)

99. Гордеева И.А. Нули псевдокиллингова векторного поля / И.А. Гордеева, С.Е. Степанов // Диф. геом. мног. фиг.: Межвуз. темат. сб. науч. тр. 2009. - Вып. 40. - С. 47-53. (диссертанта - 0,2 п.л.)

100. Гордеева H.A. Шесть классов несимметрических метрических связностей / И.А. Гордеева // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. научн. тр. 2007. - Вып. 38. - С. 33-38. (0,3 п.л.)

101. Гордеева И.А. Псевдокиллинговы векторные поля на многообразиях Римана-Картана / И. А. Гордеева // Тезисы докладов Международной конференции "Геометрия в Одессе 2008", 19-24 мая 2008 г. - Одесса: Фонд "Наука", 2008. - С. 73-75. (0,2 п.л.)