Многоточечная нелокальная спектральная задача для уравнения Штурма-Лиувилля на полуоси тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
Каримов, Миндиахмет Галимжанович
АВТОР
|
||||
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
Уфа
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
2005
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
На правах рукописи
Каримов Миндиахмет Галимжанович
МНОГОТОЧЕЧНАЯ НЕЛОКАЛЬНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ'УРАВНЕНИЯ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ НА ПОЛУОСИ
01.01.02 - дифференциальные уравнения
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математичес ких наук
УФА - 2005
Работа выполнена на кафедре матема1ическо! о анализа Башкирского государственного университета
Научный руководитель: доктор физико-математических наук.
профессор Муртазин Х.Х.
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Мукмянов Ф.Х.
кандидат физико-математических наук, доцент Валеев Н.Ф.
Ведущая организация: Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова
Защита состоится « 28 » октября 2005 г. в_14.00 ч. на заседании
диссертационного совета К-212.315.01 при Стерли гамакской
государственной педагогической академии по адресу: 453103,
г.Стерлитамак, Проспект Ленина, 37.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Стерли гамакской государственной педагогической академии.
Автореферат разослан " 27 " сентября 2005 г.
Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук, профессор
В.Н. Кризский
ш
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. При математическом моделировании различных процессов часто возникают задачи, когда вместо классических краевых условий задана определенная связь значении искомой функции на границе области и внутри нее. Особый интерес к таким нелокальным задачам вызван не только теоретическими достижениями в данном направлении, но и практической необходимостью Нелокальные задачи имеют важные приложения, возникающие в таких областях, как: теория плазмы1, биофизика теория диффузионных процессов2, теория многослойных пластин и оболочек3
В одномерном случае модели нелокальных задач изучали еще A Sommeifeld. Я.Д.Тамаркин, M Picone, А.М. Krall и др В работе Allana M Kralla4 изучается математическая модель спектральной задачи для уравнения Штурма-Лиувилля на полуоси, порожденным нелокальным интегральным условием.
В двумерном случае одна из первых работ, посвященных нелокальным задачам, принадлежит T.Carleman5 Он рассмотрел задачу о нахождении гармонической в ограниченной области функции, удовлетворяющей нелокальному краевому условию, связывающему значения искомой функции в различных точках границы.
В известной работе Бицадзе А.В и Самарского А. А1. впервые была сформулирована и исследована возникающая в теории плазмы задача о нахождении гармонической в прямоугольной области функции, з которой нелокальное ус ло-вие связывает значения искомого решения на част границы и на внутренней кривой (задача Бицадзе-Самарского) В теории упругости и теории оболочек" и достаточно ограниченных условиях, схожих с условиями Бицадзе-Самарскгн о доказана единственность решения нелокальной задачи в случае трехмерных уравнений теории упругости, в случае же круговых пластин поставленная нело-
1БицаЛзс А В , Самарский А А ДАН СССР 1909 T 135 ЛЧ С' 7.W-7H) г Feiler W Ann of Math 1952 V 55 P 408-519
гОнанов ГГ, Скубачсеский А Л Прикладная мпхачпка 1979 JC" ' С 3 Í-47 4Krall А.М Rocky Mountain J. of Math 1975 V > P 493 r>42
''Carleman T Verhandlungen des Internat Math kongi Zuucli 1912 IM 1 P 132 131 "ДГГордыuotiu Об одном методе решения задам Ьпцадэп-Сшяргко-о Докл <емнн ИПМ Тбилкнуни-врргитета, 1970, №2. С 289-292
кальная задача была ]>ошена эффективно. В произвольной области и общих нелокальных условиях задача была сформулирована как нерешенная
В работах В.А.Ильина7, Е.И.Моисеева8 исследовались спектральные свойства нелокальных задач проблемы базисности систем собственных и присоединенных функций, проблема сходимости спектральных разложений по этим си стемач, а также методы их решения; в работах А.А Шпаликова9, И И Ионкииа10 изучалась задача теплопроводности с интегральным нелокальным условием, в трудах Р.Ю.Чегиса, М П.Сапаговаса, В.В Буда11 - задачи физики полупроводников и гидромеханики. Следует отметить, что исследование нелокальных задач сопряжено с довольно большими трудностями, предстоит много сделать, хотя этой проблематике посвящено много интересных работ ряда авторов и в настоящее время ведутся активные исследования Мы ограничимся рассмотрением простых моделей, тем более, что в этих случаях ранее не были исследованы спектральные свойства в неограниченных областях.
В данной диссертации изучаются свойства спектральных проекторов и резольвенты, густота и оценка собственных значений, асимптотика дискретного спектра многоточечной нелокальной спектральной задачи на полуоси для уравнения Штурма-Лиукилия. Актуальность этой проблемы еотест пенным образом обусловлена тем, чтэ многие технические и физические процессы требуют рс шения задач на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений Например, одной из центральных задач определения собственных значений оператора энергии в области квантовой механики является стационарное уравнение Шредингера на полуоси О подует отметить, что квантовая механика находит широкое применение практически по всех областях физики, в частности, в современном направлении построения квантовых компьютером С развитием квантовой механики, проблема исследования собственных значений и собственных функций сингулярных операторов стала весьма актуальной При изучении нелокальной задачи оператора Штурмп-Лиувилля мы опираемся
''Илью, В /Гдиффсренц ч>.тнеиия 1986. Т 22 №12 С 2050-2071
ъМоисееВ И ДшМ«!«»" Ур.тнения 1994 Т30 №12 С 2082 2093
'Ш«ииш А.Л Вити О]» мат и мех 1982 .\> 6 С 12 21
1аИонк*т ИИ Дпффч/еиц -.р.шиення 1977. Т13 Л> 2, С 291-304
11БудпВВ Сппиговпг М II Ч(/не I'Ю Математич*'гк«е к .ыпнипкк1 ыодг'тпрои.нпк- п мпкртч^нтроннкт' Вильнюс 19Я5 С 36-43
на известные результаты Наймарка М.А., Ильина В.А., Моисеева Е.И., Лянце В.Э., Марченко В.А., Муртазина X X., Султанаева Я.Т. и других ученых.
Цель работы. Исследование спектральных свойств многоточечной нелокальной задачи для оператора Штурма-Лиувилля на полуоси Получение асимптотики спектра, разложение по собственным функциям, изучение спектральных проекторов нелокальной задачи оператора Штурма-Л иувилля на полуоси.
Научная новизна. Исследована многоточечная нелокальная спектральная задача для оператора Штурма-Лиувилля на полуоси без возмущения. Проведено обоснование расположения собственных значений, изучено резольвентное множество и разложение по собственным функциям данного оператора. При определенных ограничениях на возмущение для двухточечной нелокальной за-*дачи оператора Штурма-Лиувилля на полуоси исследованы спектральные свойства. получена асимптотика дискретного спектра. Проведен анализ собственных значений, спектральных особенностей, получены оценки отрицательных собственных значений при вещественном возмущении, изучены свойства спектральных проекторов данного оператора.
Методика исследования. В работе используется метод теории возмущений линейных операторов в гильбертовом пространстве
Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации могут найти применение в физических задачах для неоднородных сред и могут быть использованы в исследованиях по теории дифференциальных уравнений и в связанных с ней вопросах функционального анализа и математической физики.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах проф Сабитова К Б (Стсрлнтамакская государственная педагогическая акдемия, 2005 г), акад РАН Садовничего В А. (Московский государственный университет, кафедра математического анализа механдко-математического факультета, 2004 г), акад РАН Моисеева Е И (Московский государственный университет, кафедра общей математики факультета ВМиК. 2004 г.), проф. Муртазина Х.Х (Башкирский государственный университет кафедра матема-
тического анализа), проф Оултанаева Я Т. (Башкирский государственный университет кафедра дифференциальных уравнений), на IX Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам и III Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г Ростов-па-Дон у, 2002 г). на международной научной конференции, посвященной 70-летию академика В.А.Ильина "Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы" (г.Стерлитамак, 1998 г), на международной конференции "Комплексный анализ и смежные вопросы" (гНижний Новгород, 1997 г ), на международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения" (гУфа, 1996 г)
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы и работах [1] - [6].
Структура диссертации. Диссептация состоит из введения и двух глав, разбитых на 10 параграфов, списка литературы, содержащего 74 наименований Общий объем диссертации 91 страниц
Краткое содержание диссертации
Во введении дан об^ор рабсп по изучремой теме и приведено краткое содержание диссертации
В первой главе изучаются спектральные свойства оператора М°, действу ющсто в пространстве /'2( IR +), заданного дифференциальным выражением Е\и\ — —и"(х) и многоточеччым нелокальны.V условием
7 И
£ Aku{ka) = 0, (1)
А ~0
где постоянные А^ и о удовлетворяют следующим условиям Aq Ф 0, а > 0. Без ограничения общности будем считать что А,„ = 1.
При некоторых дополнительных енрлничениях на Ад для данного оператора М" изучаются cBOf'CTBa спектральных проекторов и резольвенты, разложение по спектру, спектральные особенности
В отличие от ограниченной области где спектр расположен на параболе, в сл'.-чае неограниченной области помимо спектра, расположенного на параболе,
С
появляются еще непрерывный сдажтр, совпадающий с положи i-слмюй полуосью и спектральные особенности лежащие на непрерывном спектре
Изложим более подробно содержание перпой главы Первый параграф носит вспомогательный характер В ном изучаются спектральные свойства оператора М" действующего в £2{ IR ,), порожденного дифференциальным выражением t[u] = —и" с областью определения Т>(М°), состоящей из функции и е R+) и удовлетворяющей условию (1). Справедлива следующая
Теорема 1.1. Ядро R°(x,t,z) оператора (M"-z)~l допускает представление
R°(x, t, z) = G%{x, t,z) ~ r°(x, t,z), (1.3)
где
1 f sin y/zt t < x,
Gv(x, t, z) =
V-г [ sin y/zx e'v , t > x, r4x,t,z) = ~^9(t,zl (1.4)
Im л/z > 0 при z (0, oo), rf"(A) =- p(ea"), если p{t) = jp Akil,
. ™ . 1 f sin y/zt e'v^b i < fca, . c4
Ф(«,г)= £ Л,, . v ' (1.5)
I sill v/afco t > ka
Из доказанной теоремы 1 1 следует, что при всех z, не принадлежащих полуоси (0;оо) и не совпадающих с нулями функции d"(y/z), резольвента оператора М° существует и является мероморфной функцией параметра г, полюсы которой совпадают с нулями d"(y/z) В частности отсюда следует, что оператор М° есть замкнутый оператор, причем легко проверить, пользуясь (1.3) и (1.4), что непрерывный спектр совпадает с полуосью [0,ос), а собственными значениями вне непрерывного спектш являются нули функции
В §2 изучаются особенности резольвенты оператора М". Основным результатом этого параграфа является следующая
Теорема 2.1. Пусть ui* — проппоА нуль многочлена p(t) — П (' — <±>i.)"'1■
такой, что | < 1. Тогда соответствующий собственный проектор
= / Щг)<1г (2.5)
(е > 0 — достаточно мало) имеет ядро
ф№(0, (2.6)
где
1 ш / \ Фг/, (г) = —_—-—_ V АТд%>(ь),
афк
Н (е-^-е'^').
^-ЦыГ-^) е'А"', *>та,
серил А;^ -- (/ € Ж ) — собственныс значения оператора М°, являю-
щиеся простыни полюсами резольвенты Я"(г).
В §3 получено разложение резольвенты оператора М" по непрерывному и дискретным спектрам. Сформулируем основной результат этого параграфа
Теорема 3.1. При каждом г $ а(М") ядро Я°(х, г) резольвенты Я(г) = (М° — г/)-1 представляется в виде суммы
Я°(хЛг) = Я^(х,1,г) + Щх,Ь,г), г $ <т{М"), (3.1)
где а(М°) = и а,,{М°), аа(М°) = {г^ I € 2, к0 - число серий
собственных значений при \и>к\ < 1, тк — кратность собственных значений,
Л К, т„ +оо
Щ,с{х,г) = / -г—-ф(х, 4, А) дХ, Щх, Г, £ 7^37; (3-2)
Ф(ж, А) = [Я°(х, t,X + гО) - И°(х, г, Х- гО)],
причем в выражение. (3.2) ряд и интеграл равномерно сходятся по (г,€
В §4 изучается двухточечная нелокальная спектральная задача для уравнения Штурма-Л иувилля на полуоси
Рассмотрим оператор Ь°, действующий в пространстве £2{ Н +), порожденном дифференциальным выражением £[и] — —и" с областью определения Т>{Ь°), состоящей из функций и € Ш +) и удовлетворяющей условию Аи(о) - и(а), где А — постоянная, А ^ 0 и а > О — фиксированное число.
Основным результатом этого параграфа является доказательство следующего утверждения.
Теорема 4.1. Пусть Ьк(Н) = 7Ч>кЦ)1гН)Ш, сЦк) = 7
о о
/г € Ь2( Ш +), |Л| < 1. Тогда существуют постоянные с\ > 0, Сг > 0 такие,
что для всех М С 2£ и /г € +) выполнены неравенства
£ |Ь*(А)12 < ^ПЛП8, £ К(Л)1Я < С2||А||2.
А<еЛ/ А.еМ
Доказательство теоремы основывается на использовании неравенств Весселя и Коши-Вуняковского.
В пятом параграф« получено разложение по дискретному и непрерывному спектрам оператора Ь°. Сингулярные точки оператора Ь" совпадают с нулями функции (!{:) — А — е1^"; непрерывный спектр оператора Ь" совпадает с полуосью [0, оо), а особенностями резольвенты являются числа г° — (XI)2; где А % = _ р = А, к € % . Если \А\ < 1, ю г% - простое
собственное значение оператора 1°\ если |Л| = 1, то имеем спектральные особенности на верхнем и нижнем берегах разреза [0, оо); если \А\ > 1, то нули <1(г) лежат на "нефизическом листе" и спектр абсолютно непрерывен.
Основным результатом этого параграфа является доказательство того, что любая функция и € £2(Й+) допускает разложение по собственным функциям абсолютно непрерывного и дискретного спектров оператора £", а именно справедлива
Теорема 5.1. Пусть |А| < 1 Тогда любая функция из £2(Ш+) допускает представление
оо
Е +
А.= -оо о
где
Т„ _ 2[ Авту/%1, Ь<а, А аА { (2г)~'(А - г > а.
I фд и (IX,
(5.8)
- вычеты, а ядро Фа имеет вид Фд — [Я"(А + гО) — Я"(Х — ¿0)1, причем ¡■■I/мма и интеграл в (5 8) сходятся в £ ( 1R 4).
Доказательство основывается на использовании свойств синус и косинус преобразований Фурье и равенства П арсенал я • *
Если же \А\ = 1, то дискретною спектра нет, но появляется бесконечное число спектральных особенностей, расположенных на верхнем и нижнем берегах разреза [0, оо). Для данного случая решена задача регуляризации спектрального разложения оператора L" , которая позволяет любую функцию u € £2( JR. +) разложить по собственным функциям абсолютно непрерывного спектра. Справедлива следующая
Теорема 5.2. Пусть А = ±1 Тогда для любой функции и(х) € £2( R +) справедливо разложение
1 f .....1 У ^ cos s/z
! \ 1 Г T\smvz, , 1 Г -T-.COSV"
Ф = - / «i(2)~7=-d2 + v.p.- / щ(г)— о Vz *i V2
■dz,
(5.9)
где
= g
J u(t) kîu \fztdt +• sin \fza j u(t) cos y/ztdt
a
ОС
J u{i) sin л/ztdt,
+
1 . 2 \ßa + 2ЗШ V
Mz) = 2
J~zd a
ctg—— J u(t) sin y/ztdt. + sin y/za J u(t) sin y/ztdt
+
(1 -r- cos y/za)
.v
I n(t.) cos y/ztdt,
второй интеграл в правой части (5 9) понимается в смысле главного значения Коши.
Отметим, что особая роль, принадлежащая спектральным особенностям, была впервые обнаружена в работе M А Наймарка12. Сам термин "спектральная особенность" был введен позже п работе Дж Шварца 13. Детальному исследованию операторов со спектральными особенностями посвящены работы
"Наймарк M А Труды Моек матем общества 1934 №3 С 181-270 ,3Schwartz I Т Comm.for pute д'н! appi Math ХШ 1060 P. 609-039
В.Э.Лянце м, B.C. Павлова 15 Спектральные особенности играют важную роль в анализе оператора L" и L.
В главе 2 изучаются спектральные свойства несамосопряженного оператора L, порожденного дифференциальным выражением l[v\ — —и"(х) -f g(х)и(х), действующим в пространстве £2( JR +) с условием Аи(0) =• и(а), где А — постоянная, А ф 0 и а > О — фиксированное число; q(x) — измеримая функция, удовлетворяющая определенным дополнительным условиям.
Получена асимптотика спектра для данного оператора при различных значениях А. Приведен анализ собственных значений, свойства спектральных особенностей. Изучена оценка отрицательного спектра при вещественном потенциале q(x), показаны свойства спектральных проекторов на собственные подпространства, соответствующие собственным значениям оператора L.
Перейдем к более подробному описанию результатов по параграфам
В §6 описывается область определения замкнутого оператора L.
Если функция д(х) удовлетворяет условию:
■г-И
ф) € £Ц К +), sup / \q(t)\2dt < 00, (6.1)
t>0 Jx
то, согласно теореме Като - Реллиха16, оператор L — L° + q будет замкнутым в области D(L) = D{L°). Если дополнительно известно, что
Х+1
Jim / \q{t)\4t = О, (6.2)
£
то оператор q компактен относительно L", и ct,(L) ~ a, [L") . a crj(L) не имеет точек накопления вне <Je(L). Иначе говоря, возмущения, удовлетворяющие условиям (6.1) - (6.2), сохраняют непрерывный спектр. Однако кулонов-ский потенциал q{x) = сх~~>, 0 < 7 < 2, при 7 > 1/2 не удовлетворяет условию q(x) € -С2[0,1] Поэтому возникает необходимость описания области определения замкнутого оператора L = — ¿ + q, для которого потенциал q имеет особенность в нуле, а при этом ae{L) = [0; 00) Имеет место следующая
"ЛяхцеВЭ Revvue roum de math pures ft appl Xi 8 1966 P 921-930; XI, 10 1966 P 1187-1224.
15Павлов Б С Спектральная теория и волновые процессы Изд-во ЛГ\. 1066. С 132-132
10M Рид, Б Сайлюп Методы современноЛ математической физики Гармонический анализ T2 M , 1982 С 358
Теорема 6.1. Пунш, - комплекснозначпая измеримая функция, такая, что при некотором -> > 0 выполняются условия'
7 х+1
а) 1х\я{х)\ёх < оо; Ъ) д(х) е -Сру, оо); с) 1дп / = О
Тогда оператор Ь = — ^ + д замкнут в области О(Ь). состоящей из
функций /(х), удовлетворяющих условиям,
1 При каждом е > 0 функция /€ +) Л^'Ця'.оо). 2 А/(0) = /(а).
3 \\т^х$'(х) = 0 При этом ае{Ь) = [0,оо).
В §7 получена асимптотика дискретного спектра оператора Ь.
Пусть д(х) подчинен условиям'
1 00 У х|д(а)|сЬс < оо,
/ \ц{х)\ё,х < оо, (7.1)
О 1
гэгда ядро Щх,1,г) резольвенты Я(г) — (Ь — г) можно задать по аналогии с К>(х^,г) (см. (1 3)).
Для этого введем вспомогательный оператор
Ьри(х) = -и"(т) + я{х)и(х), и{0) = 0 £2( Ш +)
Vзвестно, что ядро С-В(х, I г) оператора С(г) = (Ь-р — г)'1 представляется в виде17
где 1т л/г > 0 при г £ [0, ос); е(А) = р(0. А), а е(.т, А), у(х, А)— решения интегральных уравнений
е(.г. А) = ,'*< + ф) е(Ь, А) Л, (7.3)
у(х, А) = эш Ах + / ЬШ-Л^г </(0 ?у(г, А) Л. (7.4)
о А
Тогда ядро Я(а\/, г) представляется в виде
Я(х,*,2) = Л=)+г(, I = -) + г), (7 5)
17Нпйлифк И А Линейныр днф^р! лшильиые уривиепия \1. 1969 С 526
где
<1{\) = Ае(0. А) - е(а, А) (7 С)
Поскольку функция е(х, А) аналитична в верхней полуплоскости 1т А > 0, и у(х, А) — целая функция параметра А, то ядро Я(х,1, А) меромо<| -ная функция в комплексной г-плоскости с разрезом (0,оо) Полюсы ядрл Я(х, £, г) совпадают с точками дискретного спектра в,1\ ]<), то есть с нулям 1 функции ¿{у/г) при г £ [0, оо) В выражение (7.5) ядро Ст>(х, г) так же мероморфная функция, полюсы которой совпадают с точками дискретш -го спектра ^¿(Ь-р) оператора Ь-в, то есть с кучями функции е(у/г) пр-1 2^[0,оо). Нули с1(у/г) и е(у/г) совпадают только тогда, когда е(а, у/г) = Ь то есть когда г — точка спектра а(Ь^) оператора = — -£2 + q задал 1 Дирихле на отрезке [0,а]. Так как множество (7,;(Lx)) ограничено, то множс ство а^Ь) П о^Ьт) конечно Поэтому, если ¿{^[щ] / 0, = 0 . в (7 Е)
ядро Й(х, г) не имеет особенностей в точке го $ [0, оо), (в этом можно убг диться непосредственно, пользуясь представлением (7р(.г, г) в окрестности 2о ). Далее, кроме точек дискретного спектра, ррзольвента Я(г) может иметь особенности на верхнем и нижнем берегах разреза [0, оо), которым отвечают соответственно положительные и отрицательные нули функции ¿(у/г).
При больших |А| для нулей (¿(А) справедлива следующая
Теорема 7.1. Пусть ц(х) 6 £( Ш +). Тогда при |Л| < 1 функция Л{>) в верхней полуплоскости имеет нули вида
где А? = ^ - г^, = ей* А, к € Ж
Если оке д(х) £ £( И +), д'(х) € £( И +), то
А< = + ¿1 / + -9(0) + °{Ь)> I* I » 1' ^ >
Если > 1, то й(А) не имеет нулей прг |А| 1
Доказательство основывается на известной асимптотике18 функции с(х. А)
19Марченко В А Операторы Штурма - Лиувилли и и\ приложения М , 1977 С 324
В §8 изучается густота собственных значений оператора Ь. Совокупность вещественных нулей функции </(А) обозначим через сгл(Ь) , а совокупность вещественных нулей е(А) через аь(Ь-р) .
Основным результатом этого параграфа является следующая
Теорема 8.1. Пусть А = д(х) — д(х), (¡{х) 6 £( Ш +). Тогда*
1. Множество ол{Ь) при \А\ <1 не имеет точек накопления, отличных от нуля и бесконечности.
2. При \А\ > 1 множество <7,/(Ь) ограничено и не имеет точек накопления, отличных от нуля. *
3. При \А\ ф 1 множество ае{Ь) конечно.
V
4- При А = ± 1 множество ая{Ь) не имеет конечных точек накопления.
5. Если А = ±1 и дополнительно известно, что д'(х) € Ь{ Н +) и д(а) ф д(0), то множество сг„(Ь) конечно.
При доказательстве использована идея предложенная в работе Муртазина Х.Х.19 и основызается на свойствах функций е(х, А), е(0,А), асимптотики функции А).
В дальнейшем используются решения уравнений
со
<р{х, А) +1 С{х, А2)<?(4Мг, А)Л = е,Ах, 1ш А > 0, (8.5)
о
и
Кх) + ]с°{хЛ,\1)д{1)!{1)=П (8 8)
о
в классе ограниченных непрерывных функций.
В §9 изучаются оценки отрицательного спектра оператора Ь при вещественном потенциале д(х).
Справедливы следующие теоремы-
Теорема 9.1 Пусть д(х) = д(х), д(х)е£(И+), оператор Ь-р имеет собственные значения ци, АИ < < < /Л, < 0, а оператор не име-
ет отрицательно?/! спектра Тогда на иптерва тх {—оо,рц), (дь/^г), ■ > "Муртазш! X X Метематичегкие заметки 1982 Т31 №2 С 231-244
существуют собственные значения oneparnojxi L. Если при этом уравнение (8.8) имеет нетривиальное решение, то па интервале (/*„, 0) также есть собственное значение оператора L.
При доказательстве используется асимптотическое представление формулы (8.5).
Теорема 9.2. Пусть число А ф 0 — вещественно и
__х+1
q{x) = q(x), q(x) е 4*( В +), ^ / q2(t)dt = 0
Л.
и оператор Lv имеет бесконечный отрицательный спектр. Тогда оператор L также имеет бесконечный отрицательный спектр, причем собственные значения оператора L расположены между собственными значениями оператора Lv- Если А > 0, то существует собственное значение оператора L левее первого собственного значения оператора L-p.
Теорема 9.3. Пусть q{x) 6 <D ( M +), q{x) —» +oo при x —> oo, A = ~Â. Тогда оператор L имеет бесконечный вещественный дискретный спектр, причем собственные значения оператора L расположен-и между собственными значениями оператора 1ф.
В §10 изучается вопрос о разложении по собственным функциям дискретного и непрерывного спектров оператора L Этот вопрос можно изучать по традиционной схеме, характерной для несамосопряженных операторов Не останавливаясь на общем случае, мы здесь изучаем лишь вопрос о сходимости разложения по собственным функциям оператора L, соответствующим собственным значениям оператора L"
Пусть V — произвольный ограниченный линейный оператор в £2( M +), оператор L = L" + V и Vk — соответствующие им проекторы на собственные подпространства, соответствующие собственным значениям z" Имеет место
Теорема 10.1. Существует к„ € W, такое, что ряд Е Vmh
Н>л„
сходится в £2( 1R +), причем для любого h € £2( IR ) выполняется оценка
£ \\vmh\\2<c\\h\\. (10.1)
Н>А.„
При доказательстве используется методика, предложенная в работе X X Муртп.мша20
Автор выражает глубокую признательность с воему научному руководителю профессору Х.Х Муртдзину за постановку задачи и постоянное внимание к работе.
Публикации по теме диссертации
[1] Каримов М.Г. О задаче регуляризации одного не.самосопряженного оператора // Тезисы докладов международной конференции по комплексному анализу и смежным вопросам . .. ННГУ. Нижний Новгород. 1997. С. 31.
[2] Муртазин Х.Х., Каримов М.Г. О несамосопряженном операторе второго порядка на полуоси // Вестник БашГУ. 1998. №2(1). С. 8 - 12
[3} Муртазин Х.Х., Каримов М.Г. Об одной нелокальной спектральной задаче на полуоси / / Сборник научных трудов международной конференции по спектральной теории и смежным вопросам, посвященной к 70-летию В.А.Ильина. Стерлитамак 1998. Ч 1. С. 16 - 19.
[4] Каримов М.Г. О регуляризации одной нелокальной задачи на полуоси // Сборник научных статей Сибайского института ВГУ. Сибай. 1999. С. 4 - И.
[5| Муртазин Х.Х., Каримов М.Г. Об одной нелокальной спектральной задаче для уравнения Штурма-Лиувилля на полуоси // Дифференциальные уравнения. 2001. М. С. 27 - 35.
[6] Каримов М.Г. О неклассической задаче дифференциального уравнения II порядка // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. Т. 9 Вып. 1 С. 203 - 204
^Муртазин X X. В об "Ии ошишя по теории аппром нмации функций." Уфа 1981 С 51 56
Каримов лЫ'оиахмет Галимжашшич
МНОГОТОЧЕЧНАЯ НЕЛОКАЛЬНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШТУРМА Л ИУ ВИЛЛ Я НА ПОЛУОСИ
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Лицензия M 0225 от 10 06.ОН ?
PeiltihtniOHVv-и.чдат-ясский центр Бпчи-'аргкого цннас/н uwcmo Множительный участок Башкирского ynuveprнинтп 450074 Уфа, ул Фрунзе, 32 Три. (3472) ¿36-710
ГУПИПКМВДРБ-ТиД' Зак 6Э4 Тир 100x17 2QCj г
г
»1750«
РНБ Русский фонд
2006-4 18188
А.
Введение.
Глава 1. Спектральные свойства невозмущенных операторов м° и l0.
§1. Оператор М° и ее резольвента
§2. Особенности резольвенты оператора М°
§3. Разложение резольвенты оператора М°
§4. Спектральные свойства вспомогательного оператора L
§5. Разложение по спектру оператора Ь°
Глава 2. Спектральные свойства оператора L
§6. Определение возмущенного оператора L
§7. Асимптотика дискретного спектра оператора L
§8. Анализ множеств &d{L) и as(L).
§9. Асимптотическое поведение отрицательного спектра.
§10. О спектральных проекторах оператора L
В диссертации изучаются многоточечная и двухточечная нелокальная спектральная задача для уравнения Штурма-Лиувилля на неотрицательной полуоси.
При моделировании различных процессов физики, химии, экологии, биологии часто возникают задачи, когда вместо классических краевых условий задана определенная связь значений искомой функции на границе области и внутри ее. Задачи такого типа называют нелокальными задачами.
В настоящее время особый интерес к нелокальным задачам обусловлен, с одной стороны, значительными теоретическими достижениями в данном направлении и, с другой стороны, важными приложениями, возникающими в таких областях, как: теория плазмы [1, 58], биофизика, теория диффузионных процессов [73, 74], теория многослойных пластин и оболочек [52, 70], физики полупроводников и гидромеханики
4].
В одномерном случае нелокальные задачи изучали еще A.Sommerfeld [69], Я.Д.Тамаркин [62], M.Picone [72], A.M. Кг all [67] и др.
В работе Аллана М.Кралла изучается оператор L, порожденный в ,£2(0, оо) дифференциальным выражением £(у) — — у" 4- д(х)у и граничным условием вида оо K{x)y{x)dx - Ру{0) + ш/(0) = 0, о где К{х) G ,£2(0,оо), \а\2 + \/3\2 > 0. Если К{х), q{x) € ^(О.оо) и а 0, то строение спектра такое же, как в случае краевого условия у(0) =0. В частности, собственные значения образуют не более чем счетное ограниченное множество с предельными точками только на полуоси (заполненной непрерывным спектром) А > 0.
В двумерном случае, по-видимому, одна из первых работ, посвященных нелокальным задачам, принадлежит T.Carleman [68]. В его работе ищется гармоническая в области G функции, удовлетворяющей следующему нелокальному условию на границе Т области: значение неизвестной функции в точке у е Т связано со значением в точке ш(у), где и : Т —> Т — преобразование границы, удовлетворяющее требованию и(и(у)) = у, у 6 Т. С такой постановкой задачи связаны дальнейшие исследования нелокальных эллиптических задач со сдвигами, отображающими границу области на себя, и абстрактных эллиптических задач [6, 65, 66].
В 1969 году А.В.Бицадзе и А.А.Самарский [1] рассмотрели возникающую в теории плазмы математическую модель нелокальной задачи следующего вида: ищется гармоническая в прямоугольнике G — {у £ 1R2 : — 1<г/1<1, 0<2/2<1} и непрерывная на G функция и(У1)У2)? удовлетворяющая условиям и(уи0) = gi{yi), u(yi,l) = g2(yi), -1<уг<1, Ц-1,У2)=0зЫ, w(l,y2) = и(0,у2), 0<г/2<1, где gi,g2,9z — заданные непрерывные функции. Данная задача решена в работе [1] сведением к интегральному уравнению Фредгольма второго рода и применением принципа максимума. В случае произвольной • области и общих нелокальных условий задача была сформулирована как нерешенная (см. также [58, 67]). Впоследствии, сформулированная задача в [1], была названа задачей Бицадзе-Самарского, и были предложены методы решения задач указанного типа для достаточно общих эллиптических уравнений. В теории упрогости и теории оболочек граничные условия, схожие с условиями Бицадзе-Самарского, были рассмотрены в [9], где достаточно ограниченных условиях доказана единственность решения нелокальной задачи в случае трехмерных уравнений теории упругости, а в случае круговых пластин поставленная нелокальная задача решена эффективно.
Различные варианты и обобщения моделей нелокальных задач, которые содержат преобразования переменных, отображающие границу внутрь замыкания области, рассматривали Н.В.Житарашу и С.Д.Эй-дельман [12], Я.А.Ройтберг и З.Г.Шефтель [57], В.А.Ильин и Е.И.Моисеев [15] и др.; при этом особое внимание уделялось разрешимости соответствующих моделей нелокальных задач.
В работах В.А.Ильина [16], Е.И.Моисеева [38, 39] исследовались спектральные свойства математических моделей нелокальных задач: проблемы базисности систем собственных и присоединенных функций, проблема сходимости спектральных разложений по этим системам, а также методы их решения; в работах А.А.Шкаликова [64], И.И.Ионкина [20] изучалась задача теплопроводности с интегральным нелокальным условием; в трудах Р.Ю.Чегиса, М.П.Сапаговаса, В.В.Буда [4] — задачи физики полупроводников и гидромеханики. Впоследствии эта проблематика получила развитие в работах ряда авторов и в настоящее время ведутся активные исследования. Отметим, что в данных работах изучаются либо одномерный или двумерный случай, либо уравнение второго порядка, либо накладываются достаточно жесткие условия на геометрию носителя нелокальных членов.
В данной диссертации изучаются свойства спектральных проекторов и резольвенты, густота и оценка собственных значений, асимптотика дискретного спектра многоточечной нелокальной спектральной задачи на полуоси для оператора Штурма-Лиувилля. Актуальность этой проблемы естественным образом обусловлено тем, что многие технические и физические процессы требуют решения задач на собственные значения для обыкновенных дифференциальных уравнений. Например, одной из центральных задач определения собственных значений оператора энергии в области квантовой механики, является стационарное уравнение Шредингера на полуоси. Следует отметить, что квантовая механика находит широкое применение практически во всех областях физики, в частности, в современном направлении построения квантовых компьютеров. С развитием квантовой механики, проблема исследования собственных значений и собственных функций сингулярных операторов стала весьма актуальной. При изучении нелокальной спектральной задачи для оператора Штурма-Лиувилля мы опираемся на известные результаты М.А.Наймарка [49, 50], В.А.Ильина, Е.И.Моисеева[14,15,16,17,18], В.А.Марченко [37], Х.Х.Муртазина [48, 41], Я.Т.Султанаева[60] и других [8, 29, 30, 31, 35].
Данная.работа состоит из двух глав. Первая глава содержит §§1-5, вторая - §§6-10.
В первой главе изучаются спектральные свойства оператора, действующего в пространстве £2( JR +), заданного дифференциальным выражением £[и] = —и"(х) и многоточечным нелокальным условием т Аки(ка) = 0, (1) fc=0 где постоянные А^ и а удовлетворяют следующим условиям: Aq ф 0, а > 0. Без ограничения общности будем считать, что Ат — 1.
При некоторых дополнительных ограничениях на А& изучаются свойства спектральных проекторов и резольвенты, разложение по спектру, спектральные особенности.
В отличие от ограниченной области, где спектр расположен на параболе, в случае неограниченной областей помимо спектра, расположенного на параболе, появляются еще непрерывный спектр, совпадающий с положительной полуосью и спектральные особенности, лежащие на непрерывном спектре.
Изложим более подробно содержание первой главы. Первый параграф носит вспомогательный характер. В нем изучаются спектральные свойства оператора М° действующего в пространстве £2( М +), порожденного дифференциальным выражением £[и] — —и" с областью определения Т>(М°), состоящей из функций и 6 М +) и удовлетворяющей условию (1). Справедлива следующая
Теорема 1.1. Ядро R°(x,t,z) оператора (М° — допускает представление
R°(x, t, z) = G°v(x, t, z) - r°{x, t, z), (1.3) где
G°v{x,t,z)
1 | sin y/zt t<x, sin y/zx е1у/*1, t > x, iy/zx
L4)
Im yfz > 0 при z^, [0, oo), d°(A) = p{eiXa), если = E Aktk, k=0 m i sin Jzt Q^ka t < ka,
Ф(M^E^-U v ' (1-5)
1 V^ ^ sin y/zka e^, t > ka.
Из доказанной теоремы 1.1. следует, что при всех не принадлежащих полуоси (0, со) и не совпадающих с нулями функции d°(y/z), резольвента оператора М° существует и является мероморфной функцией параметра г, полюсы которой совпадают с нулями d°{y/z). В частности, отсюда следует, что оператор М° есть замкнутый оператор, причем легко проверить, пользуясь (1.3) и (1.4), что непрерывный спектр (см. например, [11]) совпадает с полуосью (0, со), а собственными значениями вне непрерывного спектра являются нули функции
В §2 изучаются особенности резольвенты оператора М°. Основным результатом этого параграфа является следующая V
Теорема 2.1. Пусть - простой нуль многочлена p(t) ----- П (t— fc=i
LOk)mk, такой, что \и>к\ < 1. Тогда соответствующий собственный проектор
-p°«k) = J- j R°(z) dz (2.5) m\z-zfk\=e e > 0— достаточно мало) имеет ядро
V°f\x,t)=eiX°^lk(t), (2.6) где
1 771 , , lk(t) = тг l. .МП, Е^аМ.
IT(wfc-we)m' T=i вфк штк (e~iX°kt - eiA°fc<) , t <ra, wa7t - ul) £ > та. серил = v^zfcj £ Ж ) — собственные значения оператора М°, являющиеся простым полюсом резольвенты R°(z).
В §3 получена разложение резольвенты по непрерывному и дискретным спектрам оператора М°. Сформулируем основной результат параграфа.
Теорема 3.1. При каждом z ^ а(М°) ядро R°(x,t,z) резолъвенты R(z) = (М° — zl)~l представляется в виде суммы
R°(x, t, z) = R°ac(x, t, z) + R°d(x, t,z), cr(L°), (3.1) где a{L°) = R+ U<rd(L°), ad{L°) = {zfk}f=I e Z, k0 - число серий собственных значений при \шк\ < 1, = / z^li^l dAj t,z) -EE E
0 Л ~ z k= 1 i=1 г=-оо — 2 J
3.2)
Ф(я, t, A) = —^ £, A + г0) - t, А - г0)],
27гг
0(г/г) L I v-i ро/ причем интеграл и ряд в (3.2) равномерно сходятся по (х, t) € IR + х JR+.
В §4 изучается двухточечная нелокальная спектральная задача для уравнения Штурма-Лиувилля на полуоси.
Рассмотрим оператор L°, действующего в пространстве £2{TR+), порожденном дифференциальным выражением £[и] — —и" с областью определения V{L°), состоящей из функций и 6 wf (IR+) и удовлетворяющей условию Аи(о)—и(а), где А — постоянная, Аф 0 и а > 0 — фиксированное число.
Основным результатом этого параграфа является доказательство следующего утверждения. оо оо .
Теорема 4.1. Пусть bk{h) = f Vk(t)h(t)dt, dk(h) = / e^htydt, h E L2( IR +), |A| < 1. Тогда существуют постоянные c\ >0, C2 >
О такие, что для всех М С 2Z и h € £2( М +) выполнены неравенства
Е |ВД|2<С1|Н|2, Е < с2||/г||2. кем кем
Доказательство теоремы основывается на использовании неравенств
Бесселя и Коши-Буняковского.
В пятом параграфе получено разложение по дискретному и непрерывному спектрам оператора L0. Сингулярные точки оператора L0 совпадают с нулями функции d(z) = А — ег^а\ непрерывный спектр оператора L0 совпадает с полуосью [0, оо), а особенностями резольвенты являются числа z°t = (А£)2; arg Аке Если < ^ то простое собственное значение оператора L°\ если \А\ = 1, то имеем спектральные особенности на верхнем и нижнем берегах разреза [0,оо); если |А| > 1, тонули d(z) лежат на втором листе римоно-вой поверхности и спектр абсолютно непрерывен.
Основным результатом этого параграфа является доказательство того, что любая функция и Е £2( М +) допускает разложение по собственным функциям абсолютно непрерывного и дискретного спектров оператора Lа именно справедлива
Теорема 5.1. Пусть |Л| < 1 . Тогда любая функция из £2( М +) допускает представление оо 00 и= Е V°ku+[$xud\, (5.8) где V^ - вычеты, определенные в ( 4-5), а ядро Фд имеет вид Фл = ^[Я0(А + гО)-Д0(А-гО)], причем сумма и интеграл сходятся в £2{ JR +).
Доказательство основывается на использовании свойств синус и косинус преобразований Фурье и равенства Парсеваля (см., например, [26]).
Если же |А| = 1, то дискретного спектра нет, но появляется бесконечное число спектральных особенностей, расположенных на верхнем и нижнем берегах разреза [0, оо). Для данного случая решена задача регуляризации спектрального разложения оператора L° , которая позволяет любую функцию и Е £2( Ш +) разложить по собственным функциям абсолютно непрерывного спектра. Справедлива следующая
Теорема 5.2. Пусть А = ±1 . Тогда для любой функции и(х) G
2{ М +) справедлива разложение . Iе)? ^.smybx 1 °r cosл/zx . и(х) = — / u\(z)--=—az + v.p.— / U2[z)-—az, yfz ttI y/z
5.9) где
Mz) = \ u2(z) 1
J u(t) sin y/ztdt + sin \fza J u(t) cos y/ztdt о 'a
1 fzQ, °°
- sin2 —— / u(t) sin y/ztdt,
2 2 I fza a 00 ctg——— I u(t) sin л/ztdt + sin \/za j u(t) sin y/ztdt о о
1 + cos Jza) f , . r- , +--—^—>- j u(t) cos y/ztdt, второй интеграл в правой части (5.9) понимается в смысле главного значения Коши.
Отметим, что особая роль, принадлежащая спектральным особенностям, была впервые обнаружена в работе Наймарка М.А. [50]. Сам термин "спектральная особенность" был введен позже в работе Дж. Шварца [11]. Они играют важную роль в анализе оператора L0. Детальному исследованию операторов со спектральными особенностями посвящены работы Лянце В.Э. [30]- [34], Павлова B.C. [53]- [55], Гасы-мова М.Г. [8].
В главе 2 изучаются спектральные свойства несамосопряженного оператора L порожденного дифференциальным выражением 1[и] — —и"(х) + q(x)u(x) действующего в пространстве £2( М +) с условием у4и(0) = и(а), где а > О, А — постоянная, А 0, q(x) — измеримая функция, удовлетворяющая определенным дополнительным условиям. Изучаются асимптотика дискретного спектра, густота собственных значений, свойства спектральных проекторов.
Перейдем к более подробному описанию результатов по параграфам.
В §6 описывается область определения замкнутого оператора L .
Если q(x) удовлетворяет условию: ж+1 q{x) е £lc{ я +), sup / \q(t)\2dt < оо, (6.1) ж>о i то, согласно теореме Като - Реллиха, оператор L — L° + q будет замкнутым в области D(L) = D(L°). Если дополнительно известно, что ж+1
Jim / \q(t)\2dt — 0, (6.2) ж то оператор q компактен относительно L°, и сге(1/) = cre(L°) , а (7d(L) не имеет точек накопления вне ae(L) . Иначе говоря, возмущения, удовлетворяющие условиям (6.1) - (6.2), сохраняют непрерывный спектр. Однако уже кулоновский потенциал q{x) — сж-7, 0 < 7 < 2, при 7> 1/2 не удовлетворяет условию q{x) Е <£'2[0,1]. Поэтому возникает необходимость описания области определения замкнутого оператора L = — + <?, для которого потенциал q имеет особенность в нуле, а при этом сте(Ь) — [0, оо) . Имеет место следующая
Теорема 6.1. Пусть q(x) — комплекснозначная измеримая функция, такая, что при некотором 7 > 0 выполняются условия: 7
• fx\q(x)\dx < 00;
• q{x)e£Lb, 00); 0
Тогда оператор Lu — —+ <? замкнут в области D{L), состоящей из функций /(ж), удовлетворяющих условиям:
1. При каждом £ > 0 / G Ф( М +)Пw2[e,00).
В. Л/(0) = /(а).
3. lim xf'(x) = 0.
При этом ae(L) = [0, с»).
Доказательство теоремы разбито на ряд лемм (леммы 6.1- 6.2). Вначале определяется банохово пространство В ограниченных непрерывных функций, суммируемых квадратом на JR + . Норма в В определяется равенством
11/11!= SUP |/(Ж)| + Ц/Ц, а;>0 где || • || - норма в пространстве £2{ Ж +) .
В §7 получена асимптотика дискретного спектра оператора L.
Пусть q(x) подчинен условиям:
1 00
Jx\q(x)\dx < оо, J \q(x)\dx < оо, (7.1) о 1 тогда ядро R(x,t,z) резольвенты R(z) = (L — z)~1 можно задать по аналогии с R°(x, t, z)
Для этого введем вспомогательный оператор
Lvu(x) = -и"(х) + q(x)u(x), u(0) = 0 £2( R +).
Известно (см., например, [49]), что ядро Gv{%,t,z) оператора G{z)— (L-d — z)~l представляется в виде 1 y{t, y/z), t<x,
Gv(x,t,z) = (7.2)
VzeWz) [ e(t,y/z) y(x,y/z), t > x, где Im y/z > 0 при z ^ [0, oo), e(A) = e(0,A), e(x, A), y(x, A)— решения интегральных уравнений e(x, A) = е'аж + A)dt,. (7.3) у{х, А) = sin Хх + / SmA(\X—-q(t)y(t, A)dt. (7.4) о Л
Тогда R(x, t, 2;) представляется в виде
2г) = Gv(x, t, z) + r(x, t, 2) = Gv(x, t, 2:) + \ ' y*Gv{a, t, z), d(y/z)
7.5) где d(A) = Ле(0,А)-e(a,A). (7.6)
Поскольку e(£, А) (см., н-р, [36]) аналитичнав верхней полуплоскости Im А > 0 и А) — целая функция параметра то R(x, t, А) меромофная функция в комплексной 2; -плоскости с разрезом [0,оо) . Полюсы R(x,t,z) совпадают с точками дискретного спектр сг^(Ь), то есть с нулями функции d(^) при £^[0,оо). В (7.5) (?£>(ж, t, z) также мероморфная функция, полюсы которой совпадают с точками дискретного спектра UdiLv) оператора Ьт>, то есть с нулями функции e(v/i) при 0,00). Нули d{yfz) и е(л/5) совпадают только тогда, когда е(а,л/г) ='0, то есть когда г точка спектра cr(L$) оператора = — ^ + q задачи Дирихле на отрезке [0,а]. Так как множество crd(I/£>) ограничено, то множество <Jd(L) П aci(Lx>) конечно. Поэтому, если 0, е(л/5о) = 0 , в (7.5) ядро R(x,t,z) не имеет особенностей в точке zq 0 [0,00), (в этом можно убедится непосредственно, пользуясь представлением Gx>(x,t,z) в окрестности zq ). Далее, кроме точек дискретного спектра, резольвента R{z) может иметь особенности на верхнем и нижнем берегах разреза [0,оо), которым отвечают соответственно положительные и отрицательные нули функции d(А). При больших |Л| для нулей d(А) справедлива следующая Теорема 7.1. Пусть q(x) е £(М+). Тогда при \А\ < 1 функция d(А) е верхней полуплоскости имеет нули вида А*= А*+ dv? /+ ° Ш' |А;| >> h (7-7) с Q где Х% - - ip = arg'Л, /с G Ж определен в (44).
Если же q(x) Е £( М +), q'(x) е £(Ш +), то
At =+ i^Jq{t)dt-+ '9(0)1+0Ш> '*> >>L
7.8)
Если |А\ > 1, то d(А) не имеет нулей при |А| 1. Доказательство основывается на известной асимптотике функции е(х,А) ( [36], гл.З, §1]) и равенстве (4.4).
В §8 изучается густота собственных значений оператора L. Совокупность вещественных нулей функции d(А) обозначим через множество crs(L), а совокупность вещественных нулей функции е(А) через множество crs(Lx>). Справедлива следующая
Теорема 8.1 Пусть А = A, q(x) — q(x), q(x) € £(JR+). Тогда:
1. Множество crd(L) при \А\ < 1 не имеет точек накопления, отличных от нуля и бесконечности.
2. При \А\ > 1 множество crci(L) ограничено и не имеет точек накопления, отличных от нуля.
3. При ф 1 множество as{L) конечно.
4. При А — ±1 множество crs(L) не имеет конечных точек накопления.
5. Если А = ±1 и дополнительно известно, что q'(x) G L{ JR +) и д(а) ф то множество &S(L) конечно.
Доказательство основывается на свойствах функций е(х, Л), е(0, Л) и асимптотики функции d(А).
В дальнейшем используется решение уравнения [40] оо ф, А) + / g°(x, t, X2)g{t)(p(t, A)dt = Im A > 0. (8.5) о
Если Л ф 0, Im Л > 0 Л2 ^ <Jd{Lv) или если, Л ф 0, Im Л = 0 Л 0 <ta.(Z/£>), то при условии q(x) G £'( jR +) уравнение имеет единственное решение в классе ограниченных непрерывных функций. При этом <р(х, A) G £2(lR+)i если Im Л > 0, следовательно, <р(х,Л) = В(А)е(х,Л), Im Л > 0, А2 0 o-d(Lp), где Б(А) -постоянная. Для функции у?(а;, Л) справедлива следующая
Лемма 8.2. Допустим, что q{x) G £( JR +). Пусть либо Im А0 > 0, A2 G ad{Lv), либо \0 ф 0, Im А0 = 0, А0 G as(Lv), a f(x) - решение однородного уравнения оо f(x) + J G°(xXX20)q(t)f(t) = 0 (8.8) о в классе ограниченных непрерывных функций. Тогда, при каждом х >
0, f(x) 0 имеет место lim \tp{x, Л)| = +00. (8.9)
А—>Ао
Основной результат этого параграфа.
Теорема 8.2. Пусть xq(x) G £(М+),~ и выполнено одно из следующих условий:
1. уравнение (8.8) имеет нетривиальное решение при А = 0. Функция q(x) вещественна на [0,а].
3. Оператор не имеет нулевого собственного значения.
Тогда точка нуль не является точкой накопления множеств ad(L) и as(L).
При доказательстве использована идея, предложенная в работе [40] и результаты лемм 8.2 и 8.4.
Замечание 8.2 В условиях теоремы 2 работы [40] функция <р(а, Л) допускает аналитическое продолжение в некоторые углы, содержащие положительную и отрицательную полуоси как мероморф-ная функция параметра Л. Поэтому в этом случае справедливы утверждения теоремы 8.1 для комплекснозначного потенциала.
В §9 изучаются оценка отрицательного спектра оператора L при вещественных ,q(x).
Справедливы следующие утверждения
Теорема 9.1. Пусть q(x) = q(x), q(x) € £(]R+), оператор Lx> имеет собственные значения Mi < № < ••• < Mn < 0, a> оператор не имеет отрицательного спектра. Тогда на интервалах (—oo,/^i), (/^1,^2);., (Мп-1>существуют собственные значения оператора L. Если при этом уравнение (8.8) имеет нетривиальное решение, то на интервале 0) также есть собственное значение оператора L.
При доказательстве используется асимптотическое представление формулы (8.5) и результаты леммы 8.2.
Теорема 9.2. Пусть число А ф 0 - вещественно, и х+1 q{x) = q(x), q(x) € £2loc{ M +), Jm^ / q2(t)dt = 0, X оператор Lp имеет бесконечный отрицательный спектр. Тогда оператор L также имеет бесконечный отрицательный спектр, причем собственные значения L расположены меоюду собственными значениями оператора Lv. Если А > 0, то существует собственное значение оператора L левее первого собственного значения оператора Lp.
Замечание 9.2. Ограничение на оператор (ограничение на а), использованное в теоремах 9.1 и 9.2 не имеет принципиального характера. Эти теоремы легко переформулируются на случай произвольного а .
Теорема 9.3. Пусть q(x) £ (D{1R+), q(x) —> +00 при х —» оо, А — А ф 0. Тогда оператор L имеет бесконечный вещественный дискретный спектр, причем собственные значения оператора L расположены между собственными значениями оператора Lp.
В §10 изучается вопрос о разложении по собственным функциям дискретного и непрерывного спектров оператора L. Эти вопросы можно изучать по традиционной схеме, характерной для несамосопряженных операторов (см., н-р, [50]- [8]). Не останавливаясь на общем случае, мы здесь изучаем лишь вопрос о сходимости разложения по собственным функциям оператора L, соответствующим собственным значениям оператора L0.
Пусть V — произвольный ограниченный линейный оператор в £2(Ш +), оператор L = L° + V. Так как \zk+i — Zk\ —»■ оо при \к\ —> оо, то по теории возмущений [25] при \к\ >>1 оператор L имеет простые собственные значения Zk, такие, что \zk~z%\ < c0||F||. Пусть Vk — соответствующие им проекторы на собственные подпространства, соответствующие собственным значениям z£ . Имеет место
Теорема 10.1. Существует к0 € IN , такое, что ряд Е Vmh m\>k0 сходится в £2{ 1R +), причем для любого h € £2{ JR +) выполняется оценка №Ж < с\щ\. (юл) m\>k0
При доказательстве используется метод, предложенный в работе Х.Х.Муртазина [41].
Основные результаты диссертации докладывались на семинарах проф. Сабитова К.Б. (Стерлитамакская государственная педагогическая академия, 2005 г.), акад.РАН Садовничего В.А. (Московский государственный университет, кафедра математического анализа механико-математического факультета, 2004 г.), акад.РАН Моисеева Е.И. и проф. Ломова И,С. (Московский государственный университет, кафедра общей математики факультета ВМиК, 2004 г.), проф. Каменского Г.А. и Скубачевского А.Л.(Московский авиационный институт, 2003 г.), проф. Муртазина Х.Х. (Башкирский государственный университет, кафедра математического анализа), проф. Султанаева Я.Т. (Башкирский государственный университет, кафедра дифференциальных уравнений). Отдельные рузультаты были доложены на международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения" (г.Уфа, 1996 г.), на международной конференции "Комплексноный анализ и смежные вопросы" (г.Нижний Новгород, 1997 г.), на III международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения." (г.Саранск. 1998 г.), на международной научной конференции "Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы" (г.Стерлитамак, 1998 г.), на IX Всероссийском школе-коллоквиуме по стахостическим методам и III Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г.Ростов-на-Дону, 2002 г.).
Обозначение, использованные в диссертации, стандартны. Через £(R+) обозначим совокупность всех измеримых в неотрицательной полуоси функций, квадрат модуля которых интегрируем. Символом a{L) обозначается спектр оператора L. Для обозначения положительных постоянных, конкретные значения которых безразличны, используется символ с, снабженный иногда для удобства индексами.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [42]-[47].
В заключение считаю своим долгом выразить благодарность профессору Х.Х.Муртазину, который с большим вниманием осуществлял научное руководство исследованиями по тематике работы.
1. Бицадзе А.В., Самарский А.А. О некоторых простейших обобщенных линейных эллиптических краевых задачах// ДАН СССР. 1969. Т.185. № 4. С.739-740.
2. Бицадзе А.В К теории нелокальных краевых задач//ДАН СССР. 1984. Т.277. № 1. С.17-19.
3. Бицадзе А.В Об одном классе условно разрешимых нелокальных задач для гармонических задач// ДАН СССР. 1984. Т.280. № 3. С.521-524.
4. Буда В.В., Сапаговас М.П., Чегис Р.Ю. Математическое и машинное моделирование в микроэлектронике. Вильнюс. 1985. С.36-43.
5. Божинов Н.С. О теоремах единственности и полноте для разложения по собственным и присоединенным функциям нелокального оператора Штурма Лиувилля на конечном интервале// Дифференциальные уравнения. 1990. Т.26. № 5. С.741-753.
6. Вишик М.И. Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных уравнений// Труды ММО. 1952. Т. 1. С. 187-246.
7. Воронина С.К. Необходимые условия базисности в £2(0\ 1) системы собственных и присоединенных функций обыкновенного дифференциального уравнения// Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14. № 3. С.407-417.
8. Гасымов. Спектральный анализ одного класса несамосопряженного дифференциального оператора второго порядка// Функциональный анализ и приложение. 1980. Т.14. Вып.1.С.14-19.
9. Гордезиаии Д. Г. О методах решения одного класса нелокальных задач. Тбилиси. Тбилгосунивериздат, 1981. С.345.
10. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М. 1965. С.324.
11. И Дан,форд, Дж.Шварц. Линейные операторы. Спектральная теория. Т.2. М.,1966. С.1063.
12. Житарашу Н.В., Эйделъман С.Д. О нелокальных граничных задачах для эллиптических уравнений// Математические исслед. 1971. Т. 6. Вып. 2(20). С. 63-73.
13. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Нелокальная краевая задача первого рода для оператора Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках// Дифференциальные уравнения. 1987. Т.23. № 7. С.534-539.
14. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Нелокальная краевая задача второго рода для оператора Штурма-Лиувилля// Дифференциальные уравнения. 1987. Т.23. № 8. С.1422-1431.
15. Ильин В.А., Моисеев Е.И. Априорная оценка решения задачи, сопряженной к нелокальной краевой задаче первого рода// Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24. № 5. С. 795-804.
16. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка// Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22. № 12. С. 20592071.
17. Ильин В.А. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций дифференциального оператора II порядка// ДАН СССР. 1983. Т.273. № 5. С. 10481053.
18. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов II порядка// Дифференциальные уравнения. 1983. Т.22. № 12. С.2059-2071.
19. Ионкии Н.И. О нахождении численного решения одной неклассической задачи// Вест. Моск. ун-та. Выч. мат. и кибернетика. 1979. № 1. С.64-68.
20. Ионкин И. И. Решение одной краевой задачи теории теплопровод-ф ности с неклассическим краевым условием// Дифференциальныеуравнения. 1977. Т.13. № 2. С.294-304.
21. Ионкин И.И. О собственных значениях и собственных функциях одной неклассической краевой задачи// Математическое мадели-рование. 1996. Т.8. № 1. С.53-63.
22. Карим,ов М.Г. О задаче регуляризации одного несамосопряженного оператора/'/ Тезисы докладов международной конференции по комплексному анализу и смежным вопросам . ННГУ. Нижний Новгород. 1997. С.31.
23. Каримов М.Г. О регуляризации одной нелокальной задачи на по® луоси// Сборник научных статей Сибайского института БГУ. Сибай. 1999. С.4-11.
24. Каримов М.Г О неклассической задаче дифференциального уравнения II порядка// Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. Т9. Вып.1. С.203-204.
25. Т.Като. Теория возмущений линейных операторов. М.,1972. С.740.
26. Колмогоров А.Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., '1968. С.981.
27. Коддингтюн Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифферен-Ф циальных уравнений. М.:1958. С.475.
28. Лаврентьев М.А.,Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. С.584.
29. Левитан Б.М. Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка. М.,1950. С.356.
30. Лянце В.Э. Разложение по главным функциям оператора со спектральными особенностями. I// Rev.Roumaine Math. Pures Appl. I. 1966. T.ll. № 8. С.921-950.
31. Лянце В.Э. Разложение по главным функциям оператора со спектральными особенностями. II// Rev.Roumaine Math. Pures Appl. II. 1966. Т.Н. № 10. С.1187-1224.
32. Лянце В.Э. О дифференциальном операторе со спектральными особенностями. I// Матем.сборник. 1964. вып.64(106). № 4.С.521-561.
33. Лянце В.Э. О дифференциальном операторе со спектральными особенностями. II// Матем.сборник. 1964. вып.65(107). № 1.С.47-103.
34. Лянце В.Э. О несамосопряженном дифференциальном операторе второго порядка на полуоси// ДАН СССР. 1964. Т.154. № 5. С.1030-1033.
35. Маркус А.С., Мацаев B.C. О сходимости по собственным векторам оператора, близкого к самосопряженному// В сб. "Линейные операторы и интегральные уравнения."Кишинев, 1981 с.104 129.
36. Марченко В.А. Операторы Штурма Лиувилля и их приложения. М.,1977. С.324.
37. Марченко В.А. Разложение по собственным функциям несамосопряженных сингулярных операторов второго порядка// Матем. сборник. Т.52(94):2. С.739-788.
38. Моисеев Е.И. О спектральных характеристиках одной нелокальной краевой задачи// Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. № 5. С. 864-872.
39. Моисеев Е.И. Об отсутствии свойства базисности у системы корневых функций одной нелокальной краевой задачи// Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. № 12. С. 2082-2093.
40. Муртазин Х.Х. О свойствах резольвенты дифференциального оператора с комплексными коэффициентами// Матем.заметки. 1982. Т.31. № 2. С.231-244.
41. Муртазин Х.Х. О базисности корневых подпространств одного класса операторов// В сб."Исследования по теории аппроксимации функций". Уфа. 1981. С.51-56.
42. Муртазин Х.Х., Каримов М.Г. О базисности корневых функций дифференциальных операторов// Вестник БашГУ. 1997. № 2(1). С.4-9.
43. Муртазин Х.Х., Каримов М.Г. О несамосопряженного операторе второго порядка на полуоси// Вестник БашГУ. 1998. № 2(1). С.8-12.
44. Муртазин Х.Х., Каримов М.Г. О спектре оператора IV порядка нелокальной задачи// Тезисы докладов III международной конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям. Саранск. 1998. С.198.
45. Муртазин Х.Х., Каримов М.Г. Об одной нелокальной спектральной задаче на полуоси// Сборник научных трудов международной научной конференции по спектральной теории и смежным вопросам, посвященной 70-летию В.А.Ильина. Стерлитамак. 1998. 4.1. С.16-19.
46. Муртазин Х.Х., Каримов М.Г. Об одной нелокальной спектральной задаче для уравнения Штурма-Лиувилля на полуоси// Дифференциальные уравнения. 2001. №1. С.27-35.
47. Мустафин М.А. О базисе Рисса одной системы синусов// Дифференциальные уравнения. 1989. Т.25. №10. С.1832-1833.л 1
48. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные уравнения. М., 1969. . С.550.
49. Наймарк М.А. Исследование спектра и разложение по собственным функциям несамосопряженного дифференциального оператора 2-го порядка на полуоси// Труды Моск. матем. общества. 1954. № 3. С.181-270.
50. Наймарк М.А. О разложение по собственным функциям несамосопряженных сингулярных дифференциальных операторов второго порядка// ДАН СССР. 1953. Т.89. № 2.С.213-216.
51. Онанов Г.Г., Скубачевский А.Л. Дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами в стационарных задачах механикиШ деформируемого тела// Прикладная механика. 1979. Т. 15. № 5.С. 39-47.
52. Павлов B.C. О несамосопряженном операторе —у" + р(х)у на полуоси// ДАН СССР. 1961. Т.141. № 4. С.807-810.
53. Павлов Б. С. К спектральнной теории несамосопряженных дифференциальных операторов// ДАН СССР. 1962. Т.146. № 2. С.1267-1270.
54. Павлов Б. С. О несамосопряженном операторе Шредингера. // Спектр.теория и волновые процессы. Изд-во ЛГУ. 1966. С.124. С.102-132.
55. М.Рид, Б.Саймон. Методы современной математической физики.Гармонический анализ. Т.2. М., 1982. С.358.
56. Ройтберг Я.А., Шефтелъ З.Г. Нелокальные задачи для эллиптических уравнений и систем// Сиб. матем. журн. 1972. Т. 13, № 1. Р. 165-181.
57. Самарский А.А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений// Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16. №11. С. 1925-1935.60