Обратная спектральная задача для операторов Штурма-Лиувилля с разрывными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

005047353

Седипков Айдыс Алексеевич

Обратная спектральная задача для операторов Штурма-Лиувилля с разрывными коэффициентами

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 7 СЕН 2012

Новосибирск — 2012

005047353

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет» (Новосибирский государственный университет, НГУ)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Белоносов Владимир Сергеевич

Официальные оппоненты: Кабанихин Сергей Игоревич, доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, заведующий лабораторией математических задач геофизики Дятлов Глеб Владимирович, кандидат физико-математических наук, доцент, Российский научный центр «Baker Hughes, Новосибирский технологический центр», ведущий научный сотрудник

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН

Защита состоится 25 сентября 2012 г. в 16 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.174.02 при Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, г. Новосибирск, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан «_» августа 2012 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.174.02. доктор физико-математических наук

Старовойтов В.Н.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Обратные задачи спектрального анализа состоят в восстановлении дифференциальных операторов по некоторым их спектральным данным. Подобные задачи играют фундаментальную роль в различных разделах математики и имеют много приложений в механике, физике, электронике, геофизике, метеорологии и других областях естествознания и техники. Интерес к этой тематике постоянно возрастает благодаря появлению все новых приложений, и в настоящее время теория обратных задач интенсивно развивается во всем мире.

Наиболее полные результаты в теории обратных спектральных задач установлены для операторов Штурма-Лиувилля, определенных дифференциальным выражением

-ихх + q(x)u, (1)

где коэффициент q(x) называют потенциалом.

Обратные спектральные задачи для таких операторов исследовались в работах В.А. Амбарцумяна, В. Гайзенберга, Г. Борга, М.Г. Крейна, В.А. Марченко, И.М. Гельфанда, Б.М. Левитана, Н. Левинсона, З.Л. Лей-бензона, М.А. Наймарка, Ф.С. Рофе-Бекетова, М.Г. Гасымова, А.Н. Тихонова, Л.Д. Фаддеева, В.А. Юрко и других авторов. Ими были разработаны: метод оператора преобразования, метод Гельфанда-Левнтана, метод спектральных отображений, позволяющие восстановить оператор Штурма-Лиувилля, заданный на всей числовой оси, полуоси или конечном интервале.

Все эти результаты, имеющие нелокальный характер, являются следствиями теоремы о восстановлении дифференциального оператора по его спектральной функции. К сожалению, в многомерном случае точные аналоги этой теоремы пока отсутствуют, что затрудняет получение нелокальных результатов в теории многомерных обратных задач. Тем не менее, здесь также получены фундаментальные результаты, среди которых отметим работы М.М. Лаврентьева, В.К. Иванова, В.Г. Романова, С.И. Кабанихи-на, Ю.Е. Аниконова, Д.С. Аниконова, Ю.М. Березанского, А.Л. Бухгейма, Г.В. Дятлова, Д.Г. Орловского, А.И. Прилепко, И.А. Васина, A.M. Денисова, В.В. Дубровского, В.А. Садовничего, В.М. Исакова, В.А. Шарафутди-нова, А.Г. Яголы и других авторов.

Многие приложения связаны с краевой задачей 1

(а(х)-шх)х = х > 0, (2)

<х(х)

и>х\х=о = 0, (3)

где коэффициент сг(х), называемый импедансом, является строго положительной и локально суммируемой на полуоси (0, оо) функцией.

Положим Л = и1 и будем предполагать, что при х > х* > 0 коэффициент а(х) постоянен. Обозначим через £(х,ш) решение уравнения (2), совпадающее с ехр(шх) при х > х*. Функцию £(х,ш) называют решением Йестпа уравнения (2), а функцию ¿Г(и>) = £х(0,ш) — функцией поста системы (2)-(3).

В диссертации исследуется обратная спектральная задача, состоящая в восстановлении импеданса <т(х) по функции Йоста 3{ь1).

Эта задача в случае дважды непрерывно дифференцируемого импеданса сг(х) с помощью замены

и = у/а(х)ъи (4)

сводится к обратной спектральной задаче

- ихх + д[х)и = Ли, х > 0, (5)

{их - Ли) |1=0= 0. (6)

с непрерывным потенциалом д(х) = и коэффициентом Н =

которая в свою очередь может быть решена приведенными выше методами.

Допустим, что коэффициент сг(х) является кусочно-гладкой функцией такой, что

сг(х) € С2(хк+ь хк), где хк+1 <хк,к = 0,..., п; хп+х = 0, х0 = оо, хг < х„

причем ее производные сг^'(х), 3 = 0,1,2, имеют разрывы первого рода в точках XI,...,хп. Тогда краевая задача (2)-(3) перепишется в виде уравнения

1 " ---Гг{а{х)тх)х = Лгу, х 6 М^+ьх*;), (7)

сг(х) ^

к=0

с условиями склейки

х=х(г-0

1 0

0 ак

и>

х=х*+0 4

^^Шг"-1.....№

и краевым условием

гу*и=о =

(9)

Обратные спектральные задачи с разрывными коэффициентами исследовались в работах А.Н. Тихонова, В.Б. Гласко, И.М. Гусейнова, Р.Т. Па-шаева, Д.Г. Шепельского, В.А. Юрко и других авторов. В данной постановке задача восстановления разрывного импеданса а(х) изучалась в работах Д.Г. Шепельского и А.И. Шестакова. Однако в этих работах исследовался либо случай кусочно-постоянного импеданса а(х), либо случай с одним разрывом, т.е. п = 1, причем точка разрыва х\ и величина сг\ предполагались известными. Поэтому актуальным остается вопрос восстановления импеданса о(х) с произвольным конечным числом разрывов, при этом число п, точки разрыва хг, ...,хп и величины сть..., ап также подлежат восстановлению.

Решать эту задачу мы будем с помощью замены (4). Тогда система (7) (8) приводится к уравнению Штурма-Лиувилля

-ихх + q{x)u = Ли, хе У(жа..+1,хк), с условиями склейки

к=0

к = 1,.... п,

х=хк+0

г=Хк-0

а краевое условие (9) запишется в виде

(их — Ни) |а:=о= о.

(10)

(П)

(12)

Здесь д(х) =

-у^р ^ - мо). ^ - V"*. -свойств импеданса сг(х), коэффициент д(х) является кусочно-непрерывной функцией с разрывами первого рода в точках х\,...,хп, причем д(а:) = 0 при х > х*.

Введем функцию Е(х.ш), удовлетворяющую уравнению (10) с условиями рклейки (11) и совпадающую с ехр(шх) при х > я». В дальнейшем функцию Е(х,и) будем называть решением Йоста системы (10)—(11), а функцию J{ш) = Ех(0,и]) — НЕ(0.си) — функцией Йоста системы (10)—(12).

МО)

ак

= ^Гк,Ьк = в силу

Отметим, что функция J(ui) и функция Йоста J(w) системы (2)-(3) связаны соотношением

J{u)=KJ(u),K=]ß^. (13)

В диссертации показано, что коэффициент К однозначно определяется асимптотикой функции Йоста J(u) на бесконечности. Таким образом, исходная обратная спектральная задача сводится к восстановлению кусочно непрерывного коэффициента q{х) и величин h,xk, Ьк] к = 1,....п. по функции Йоста J (со). Эта задача полностью решается в первых двух главах диссертации.

Подходы, разработанные в первых двух главах, диссертации применяются далее к прикладным вопросам, возникшим в связи с задачей о восстановлении механических параметров межскважинного пространства по результатам измерений волновых полей, порожденных скважинными источниками. Эта проблема относится к классу динамических обратных задач, для которых пока не разработаны достаточно эффективные методы решения. Исключением является одномерный случай, где существуют алгоритмы, основанные на результатах спектральной теории дифференциальных операторов. Постановки обратных динамических зада.ч для системы дифференциальных уравнений упругости впервые рассмотрел A.C. Алексеев. Одномерные обратные динамические задачи исследовались работах A.C. Алексеева, В.Г Романова, A.C. Благовещенского, А.Г. Меграбова, B.C. Белоносова и других авторов. В многомерном случае применяются, главным образом, оптимизационные методы, требующие значительных вычислительных ресурсов и не допускающие использования "в реальном времени". Мы начнем изучение этой проблемы в модельной одномерной ситуации, предполагая в дальнейшем перейти к многомерному случаю.

Рассмотрим процесс распространения плоских волн в евклидовом пространстве R3, заполненном упругой средой, механические свойства которой зависят только от одной пространственной координаты у. Считается, что волны поляризованы вдоль некоторой прямой, параллельной плоскости у = 0, на которой равномерно распределен внешний источник возмущений. При этих условиях смещение w точек среды относительно положения равновесия зависит только от координаты у и времени t и удовлетворяет уравнению акустики

(fiwy)y = pwtt, ye R \ {0}. (14)

G

где р(у) — плотность, ц(у) — модуль сдвига. Положим

- 00 = у0 < у, < у- < ... < Ут < Ут+1 = о, О = Уп+г <Уп < - < Ух < У< Уо =

Предполагается, что параметры среды р{у),ц{у) являются строго положительными кусочно-гладкими функциями такими, что р{у),р.(у) постоянны вне промежутка [¡/7,2/^] и дважды непрерывно дифференцируемы на каждом из интервалов (у,-,^), I = 0,...,т; (¡/¡¡"+1,у*), к = 0,...,тг; причем их производные р^(у) и ц^ (у), ] = 0,1,2, имеют разрывы первого рода в точках Потребуем также, чтобы функции р{у),ц{у) были дважды непрерывно дифференцируемы на интервале (у~, у*).

Для того, чтобы уравнение (14) имело смысл, мы будем предполагать, что на каждом из интервалов (-оо, 0) и (0, оо) функции ги(у, £), ¡л(у)юу(у, ¿) принадлежат И^1^ относительно переменой у. Внешнее динамическое воздействие при у = 0 моделируется краевыми условиями вида

ги(+0,0 -Ц-О,«) =0, (15)

^(0)шу(+(М) - М(0)^(-0,£) = 51 (4), (16)

где функция обращается в нуль вне интервала (0,+оо). Условие (16) означает, что скачок напряжения при у = 0 пропорционален силе, внешнего воздействия рх (£), а условие (15) — непрерывность смещения ги при у = 0. Тогда уравнение (14) перепишется в виде

{цгиу)у = ри>и, у е У(уг ,у,+1) и У (у+н>Ук)>

1=0 к=О

с условиями склейки (15)—(16) и

и'ь

у=уГ+°

у=у, -о

ЖУк ~ 0)

- КУ1 ~ 0) А»(М + 0)

=

, I = 1 ,...,т.

Будем считать, что до начала воздействия среда покоилась, т.е.

го |(<о= 0. 7

(17)

(18)

(19)

Естественно также предположить, что на бесконечности выполнены условия отсутствия приходящих волн, называемые условиями излучения Зо-ммерфельда, которые записываются в виде

щ ~ = у - у:> №

где «(у) = V>(y)/P(y)

скорость распространения упругих волн в точке у.

Мы будем изучать формально более общую задачу, в которой в условны (15)

правая часть также может быть отлична от нуля

Ч+0,0-и>(-0,«)=Я>(«). (23)

где функция gQ(t) обращается в нуль вне интервала (О.+оо).

Прямой динамической задачей мы называем задачу об определении функции w.RxR —> R, удовлетворяющей системе (16) (23), если функции р(у), ц(у), g0(t) и gi(t) известны.

Задачу об определении механических параметров среды р(у) и ц{у) для системы (16)—(23), если известны четыре функции w(+Q,t), w(-0,t), wv(+0,t), viy(-O.t), будем называть обратной динамической задачей.

Цель работы.

1. Получить конструктивное решение обратной спектральной задачи для оператора А, состоящей в восстановлении кусочно-гладкого импеданса а(х) с конечным числом разрывов первого рода в точках хъ...,хп по функции Йоста J(uj), при этом число га, точки разрыва хи ...,х„ и величины oi, ...,стп также подлежат восстановлению.

2. Исследовать разрешимость прямой динамической задачи и получить конструктивное решение обратной динамической задачи.

Методы исследования. В диссертации развиваются идеи метода спектральных отображений, в основе которого лежит метод контурного интегрирования Коши-Пуанкаре. Также в работе используются асимптотические методы, аппарат теории почти-периодических, целых и мероморфных функций, теория интегральных уравнений, теория операторов в банаховых пространствах, теория гиперболических уравнений и другие методы вещественного, комплексного и функционального анализа.

Научная новизна. Результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

1. Установлено, что если точки разрыва хи...,хп несоизмеримы, т.е. никакая их линейная комбинация с целыми коэффициентами не равна нулю, то точки разрыва хи...,хп импеданса а{х) и величины аи...:ап однозначно определяются асимптотикой функции Йоста J(oj) при ш сю и и G R. Построен алгоритм позволяющий восстановить эти разрывы за конечное число шагов.

2. Доказано, что если хь...,хп несоизмеримы, то функция Йоста J (и) однозначно определяет импеданс сг(х) на всем множестве U^ofcfc+i.z*)- Показано, что восстановление импеданса а(х) сводится к решению некоторого интегрального уравнения. Построена процедура, позволяющая восстановить импеданс а{х).

3. Доказана однозначная разрешимость прямой динамической задачи в соответствующем функциональном пространстве и получено специальное представление для ее решения.

4. С помощью результатов 1-3 решена обратная динамическая задача о восстановлении импеданса среды а = ,/рЦ.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в спектральной теории операторов и ее приложениях. На основе разработанной конструктивной процедуры могут быть построены численные методы решения обратных спектральных задач для операторов Штурма-Лиувилля с разрывными коэффициентами.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались

• на I и II Молодежных международных научных школах-конференциях «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Новосибирск, 2009 г., 2010 г.),

• на Международной конференции студентов и молодых ученых «Мир науки» (Алма-Ата, 2010 г.),

• на Международной конференции «The World congress оп Engineering and Technology» (Shanghai, 2011).

• на Международной конференции «Обратные и некорректные, задачи математической физики», посвященной 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева (Новосибирск, 2012),

9

а также

• на семинаре Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы анализа» (руководители семинара - д.ф.-м.н. В.С. Белоносов. д.ф.-м.н. М.В. Фокин),

• на семинаре отдела условно-корректных задач ИМ СО РАН (руководители семинара - чл.-корр. РАН В.Г. Романов, д.ф.-м.н. Д.С. Аниконов),

• на семинаре Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН «Математические модели механики сплошных сред» (руководитель семинара - чл.-корр. РАН П.И. Плотников),

• на семинаре лаборатории обратных задач математической физики ИМ СО РАН (руководитель семинара - д.ф.-м.н. Ю.Е. Аниконов).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 8 работах, 2 из которых — в журналах, рекомендованных ВАК, 5 — в тезисах и сборниках трудов конференций.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения и трех глав. Полный объем диссертации 93 страницы текста. Список литературы содержит 75 наименований.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, приводится обзор научной литературы по изучаемой проблеме, излагается краткое содержание работы, сформулированы основные результаты.

Первая глава посвящена вопросу восстановления разрывов импеданса сг(х), т.е. точек разрыва Х\,..., хп и величин <ть ..., ап.

В параграфе 1.1 установлено, что функция Йоста Ли) системы (10)-(12) при ш —► оо и и> е К представима в виде

М = 7>И + 0(±),

гш ш

где = Ах ехр(гшр!) + ... + А^-ехр(шр^), р\ = 0. Числа тть =

\%>к, к — 1,..., /V, условно будем называть периодами, а числа Аи =

к - - амплитудами. Все периоды образуют спектр перио-

дов БР = а вместе с амплитудами — полный спектр пар

= .....N.

В дальнейшем мы требуем, чтобы точки а?!,...,®,, были несоизмеримы: никакая их линейная комбинация с целыми коэффициентами не равна нулю. Тогда N = 2", т.е. количество точек разрыва п можно найти по N как

п = 1пАГ/1п2.

Привлекая теорию почти-периодических функций, а также преобразование Фурье удается однозначно восстановить спектр периодов БР, полный спектр пар ТБТ и число N.

Аналогичные рассуждения справедливы и для функции Йоста 3(и) системы (2)-(3). Функция Йоста при ш оо и ш 6 К имеет вид

«7М 1

-г— = В\ ехр(шр!) + ... + Вм ехр (гшр„) + О(-),

и

причем показатели и коэффициенты Фурье рк, Вк- к — определя-

ют в точности те же спектр периодов БР и полный спектр пар ТБР. Кроме того, для коэффициента Фурье Вх при нулевом показателе тгх имеет место представление

п

к=\

где К - коэффициент в формуле (13). Отсюда видно, что вопрос восстановления коэффициента К сводится к восстановлению величин а1,...,ап.

В параграфе 1.2 доказывается однозначность восстановления разрывов импеданса ст(х) по спектру периодов БР и полному спектру пар ТБР. Теорема 1. Если точки разрыва хь...,хп несоизмеримы, то величины ~ х2, ■■■, 1 — хп, хл однозначно определяются по спектру периодов БР с точностью до перестановки.

Теорема 2. Точки разрыва хи ...,хп и величины аи...,ап однозначно определяются по полному спектру пар ТБР при условии несоизмеримости XI, ..., хц.

В параграфе 1.3 построен алгоритм позволяющий восстановить разрывы импеданса а{х) по спектру периодов БР и полному спектру пар ТБР за конечное число шагов.

Таким образом, если точки разрыва хь ..., хп несоизмеримы, то

1. разрывы импеданса сг(х), т.е. точки х\,... ,хп и величины сгг,... , <тп, однозначно восстанавливаются по асимптотике любой из функций Йо-ста или J{bS) при ш —> оо и и> 6 Ж;

2. коэффициент К в формуле (13) восстанавливается по асимптотике функции Йоста ^(со) при и оо и ш 6 I.

Вторая глава посвящена посвящена вопросу восстановления импеданса. сг(х) на множестве \Л=о{хк+1,хк) по функции Йоста ¿7*(ш). С учетом результатов главы 1 эта задача сводится к восстановлению сг(х) по функции J(ш).

В параграфе 2.1 доказывается однозначность восстановления импеданса а(х) по функции Йоста J{ш). Условимся, что если некоторый символ С обозначает объект, относящийся к системе (7)-(8) с импедансом сг(х), то через С будем обозначать аналогичный объект, относящийся к системе (7)-(8) с импедансом <?(х).

Теорема 3. Пусть (х1:..., хп). (хх,..., х„) — вектора с несоизмеримыми компонентами. Тогда если J(ш) = 7(ш), то q{x) = д(х); к = к. хк — хк. ак = ак. Ьк = Ък\ к = 1,..., п.

Следовательно, если точки разрыва х\,...,хп несоизмеримы, то функция Йоста J{uJ) однозначно определяет коэффициенты д(х),/г, ак,Ьк\к = 1,..., п. Тогда в силу определений этих коэффициентов, функции л/сг(ж) и л/Щх) совпадают как решения системы (10)—(12) при Л = 0, удовлетворяющие условию

\Мг)|*=о =

В параграфах 2.2, 2.3 строится процедура восстановления импеданса сг(х). Условимся, что если некоторый символ £ обозначает объект, относящийся к системе (7)-(8) с импедансом сг(х), то через будем обозначать аналогичный объект, относящийся к системе (7)-(8) с кусочно-постоянным импедансом сг°(х), где ак = ак, к = 1,... ,п.

Для решения ф(х, А) уравнения (10) с условиями склейки (11), удовлетворяющего начальным условиям

Ф\х=О = 1> Фх\х=0 = К

получено соотношение

АО

ф»(х, А) = ф(х, А) + [ ПС)О0(х, А, С )ф(х, О ас, х € (_)(хш,хк), (24) { ы о

называемое основным, уравнением обратной задачи, где

x

А, О = / Ф% А)ф% СR ?(А) = -jfi— - А =

а функции ф°(х, A), J°(u;) соответствуют задаче с кусочно-постоянным импедансом и строятся с помощью точек разрыва хг,...,хп и величин 01,... ,<тп.

Теорема 4. Для каждого фиксированного х е ULoO^+b^-) уравнение (24) имеет единственное решение ф{х, А) е С([0,оо)).

Таким образом, исходная нелинейная обратная задача сводится к решению линейного уравнения (24).

Решая основное уравнение (24) при каждом фиксированном х, находим решение ф{х, А). В силу определения решения ф(х, А), искомые коэффициенты q(x), h, bk; k = 1,..., n определяются формулой

q(x) - A = x g Ufa+ь^); A = 0*(0,A),

, _ fefa- ~ 0, A) + flfe^(.Tfc + 0, A) , , " Ф{хн — 0,A)-' =

Далее в силу определений коэффициентов q(x), h, ак, bk\ к = 1,... ,п, импеданс ст(х) восстанавливается по формуле

и

а(х) = a (O)02(z, 0), xe{J (хк+1, хк).

k=0

Третья глава посвящена вопросу о разрешимости одномерной обратной динамической задачи об определении механических параметров неоднородной среды по результатам измерений волновых полей, порожденных внешними источниками. В параграфе 3.1 прямая и обратная динамические задачи приводятся к каноническому виду. Далее в параграфах 3.2, 3.3 доказывается однозначная разрешимость прямой динамической задачи в соответствующем функциональном пространстве и выводится специальное представление для ее решения с помощью сведения исходной задачи к вспомогательной спектральной задаче для уравнения Штурма-Лиувплля.

В параграфе 3.4 изучается обратная динамическая задача. С помощью результатов глав 1. 2 и специального представления решения прямой

13

динамической задачи удается однозначно восстановить импеданс среды а{х) = y/p{y{x))(i{y{x)), х = rsgn(y),

где т — время пробега волны от начала координат до точки у.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н. профессору B.C. Белоносову за постановку задачи, постоянное внимание и помощь в работе.

Диссертационная работа была выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 09-01-00221), Президиума РАН (Программа фундаментальных исследований №2, проект №121), Министерства образования и науки Российской Федерации (проект №2.1.1.10133 «Развитие научного потенциала высшей школы»).

Публикации автора по теме диссертации

1. Седипков A.A. Прямые и обратные динамические задачи теории распространения волн в упругой неоднородной среде // Молодежная международная научная школа-конференция «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач». Тезисы докладов. Новосибирск. 2009. С. 89.

2. Седипков A.A. Прямые и обратные динамические задачи теории распространения волн в упругой неоднородной среде // Материалы Международной конференции студентов и молодых ученых «Мир науки». Алма-Ата. — 2010. — С. 57.

3. Седипков A.A. Обратная спектральная задача для операторов Штурма-Лиувилля с кусочно-непрерывными коэффициентами // II Молодежная международная научная школа-конференция «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач». Тезисы докладов. Новосибирск. — 2010. — С. 57-59. — URL: http://math.nsc.ru/confe.vence/onzlO/thesis/abstracts.pdf (дата обращения: 04.06.2012).

4. Sedipkov A.A. The inverse spectral problem for the impedance equation with piecewise continuous coefficients // Proceeding of 2011 World congress on Engineering and Technology. IEEE press. Shanghai. — 2011. — Vol. 1. - P. 509-511.

5. Sedipkov A.A. Direct and inverse problems of the theory of wave propagation in an elastic inhomogeneous medium // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. - 2011. - Vol. 19. - P. 511-523.

6. Седипков A.A. Восстановление разрывов оператора Штурма-Лиувилля с кусочно-гладкими коэффициентами // Вестник НГУ. Новосибирск. - 2012. - Т. 12, Вып. 1. - С. 114-125.

7. Седипков A.A. Обратная спектральная задача для оператора Штурма-Лиувилля с разрывным потенциалом // Препринт — 277. ИМ СОРАН. - 2012. - С. 26.

8. Седипков A.A. Обратная спектральная задача для операторов Штурма-Лиувилля с разрывными коэффициентами // Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева. Тезисы докладов. Новосибирск. — 2012. — С. 107.

Седипков Айдыс Алексеевич

Обратная спектральная задача для операторов Штурма-Лиувилля с разрывными коэффициентами

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать /¿.08.2012. Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л. 1. Уч. изд. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ №207

Редакционно-издательский центр НГУ. 630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2.

Введение.

ГЛАВА 1. Восстановление разрывов импеданса.

1.1 Свойства решения и функции Йоста.

1.2 Однозначность восстановления разрывов импеданса

1.3 Алгоритм восстановления разрывов импеданса.

ГЛАВА 2. Восстановление импеданса на всей полуоси

2.1 Однозначность восстановления импеданса.

2.2 Основное уравнение и ее разрешимость.

2.3 Процедура восстановления импеданса.

ГЛАВА 3. Прямые и обратные динамические задачи теории распространения волн в упругой неоднородной среде с разрывными параметрами

3.1 Канонический вид прямых и обратных динамических задач

3.2 Вспомогательная спектральная задача.

3.3 Разрешимость прямой динамической задачи.

3.4 Решение обратной динамической задачи.

Обратные задачи спектрального анализа состоят в восстановлении дифференциальных операторов по некоторым их спектральным данным. Подобные задачи играют фундаментальную роль в различных разделах математики и имеют много приложений в механике, физике, электронике, геофизике, метеорологии и других областях естествознания и техники. Интерес к этой тематике постоянно возрастает благодаря появлению все новых приложений, и в настоящее время теория обратных задач интенсивно развивается во всем мире.

Наиболее полные результаты в теории обратных спектральных задач установлены для операторов Штурма-Лиувилля, определенных дифференциальным выражением где коэффициент д(х) называют потенциалом.

Обратные спектральные задачи для таких операторов исследовались в работах В.А. Амбарцумяна, В. Гайзенберга, Г. Борга, М.Г. Крейна, В.А. Марченко, И.М. Гельфанда, Б.М. Левитана, Н. Левинсона, З.Л. Лей-бензона, М.А. Наймарка, Ф.С. Рофе-Бекетова, М.Г. Гасымова, А.Н. Тихонова, Л.Д. Фаддеева и других авторов (см. [1-22] и литературу в них). Первый результат в этом направлении принадлежит В.А. Амбарцумяну [1]. Он показал, что если собственные значения краевой задачи для уравнения Штурма-Лиувилля

-ихх + д(х)и,

1)

-ихх + д(х)и = Хи, X е (0, 7г) с краевыми условиями х|о;=0 — ^х\х=п — О 3 суть Л^ = к2, к > 0, то д = 0. Однако результат В.А. Амбарцумяна является исключением, и одного спектра, вообще говоря, недостаточно для однозначного восстановления потенциала д. Первое основательное исследование восстановления выражения (1) по спектральной информации было предпринято шведским математиком Г. Боргом [3]. Он доказал, что спектры операторов, порожденных краевыми задачами для уравнения (2), у которых краевые условия совпадают на одном из концов интервала (0,7г), однозначно определяют функцию д. Эти результаты носят условный характер, так как предполагается существование операторов, для которых данные две последовательности являются спектрами. В работе [10] М.Г. Крейн-ном доказано, что потенциал д однозначно восстанавливается по спектрам двух различных самосопряженных расширений симметрического оператора в пространстве £2(0,77), определяемого выражением (1).

Важные результаты в теории обратных спектральных задач принадлежат В.А. Марченко, И.М. Гельфанду, Б.М. Левитану Н. Левинсону, З.Л. Лейбензону, В.А. Юрко (см. [4-6,9,12,13,18,19,21,22]). Ими были разработаны: метод операторов преобразования, метод Гельфанда-Левитана, метод спектральных отображений, позволяющие восстановить оператор Штурма-Лиувилля, заданный на всей числовой оси, полуоси или конечном интервале.

Все эти результаты, имеющие нелокальный характер, являются следствиями теоремы о восстановлении дифференциального оператора по его спектральной функции. К сожалению, в многомерном случае точные аналоги этой теоремы пока отсутствуют, что затрудняет получение нелокальных результатов в теории многомерных обратных задач. Тем не менее, здесь также получены фундаментальные результаты, среди которых отметим работы М.М. Лаврентьева, В.К. Иванова, В.Г. Романова, С.И. Кабанихина, Ю.Е. Аниконова, Д.С. Аниконова, Ю.М. Березанского, A.JI. Бухгей-ма, Г.В. Дятлова, Д.Г. Орловского, А.И. Прилепко, И.А. Васина, A.M. Денисова, В.В. Дубровского, В.А. Садовничего, В.М. Исакова, В.А. Шара-футдинова, А.Г. Яголы и других авторов (см. [23-49] и литературу в них).

Вернемся к одномерному случаю и рассмотрим подробнее метод спектральных отображений для уравнения Штурма-Лиувилля

- ихх + q{x)u = А и, х > 0, (3) с краевым условием их - hu) 1^=0= 0. (4)

Известно [20], что если коэффициент q(x) вещественный и локально суммируемый на полуоси (0, сю), то краевая задача (3)-(4) порождает в пространстве ¿2(0,00) самосопряженный оператор Штурма-Лиувилля

L : и —» —ихх + q{x)u.

Он определен для всех функций и из ¿2(0, оо) таких, что hue W|jíoc(0,00), -ихх + q(x)u е L2(0, оо);

2. и удовлетворяет краевому условию (4).

Положим А = и2 и будем предполагать, что коэффициент q{x) равен нулю при х > х* > 0. Обозначим через е(х,и>) решение уравнения (3), совпадающее с ехр(гих) при х > х*. В теории рассеяния функцию е(х,ш) называют решением Йоста уравнения (3), а функцию j(u) = ех(0,ш) — he(0,u) — функцией Йоста системы (3)-(4) (см. [12,20-22,68-71]). В методе спектральных отображений в качестве одной из основных спектральных характеристик можно использовать функцию Йоста j{u). Для решения ф{х,Х) уравнения (3), удовлетворяющего начальным условиям

Ф\х= 0 = Фх\х=0 = К (5) справедливо соотношение со^х) = ф(х, А) +1 А, С)ф{х, С)ЙС, ® > 0, (6) О называемое основным уравнением обратной задачи, где X

О0(х, А, С) = / сов(и;г) К(Л) = , - —, Л = о/2, С =

7 тфМг ^ о

Основное уравнение (6) при каждом фиксированном х однозначно разрешимо относительно неизвестной ф(х, Л) в банаховом пространстве С([0,оо)) (см. [21,22]). С помощью решения ф(х,\) потенциал д(х) восстанавливается по формуле ч Фхх(х,0)

Ф{х, 0) *

Многие приложения связаны с краевой задачей

- ^¡^М31)™*)* = х> °> (7)

1»х |я:=о = 0, (8) где коэффициент а(х) называют импедансом. Известно [50], что если коэффициент а(х) строго положителен и локально суммируем на полуоси (О, оо), то краевая задача (7)-(8) порождает в весовом пространстве оо

2((0, со), о") = {/(х)\ I \Цх)\2а{х)(1х<ж} о со скалярным произведением оо

1,9) = У /{х)д(х)(т(х)(Ь гх о самосопряженный оператор

А : т ->--1~^(ст(х)юх)х. а(х)

Он определен для всех функций ги из Ь2((0, оо), <т) таких, что

1. V), а{х)тх е И^/ос(0,оо), ^(а(х)гих)х в 12((0,оо),а);

2. ги удовлетворяет краевому условию (8).

В дальнейшем будем предполагать, что при х > х* > 0 коэффициент <т(х) постоянен. Обозначим через £(х,си) решение уравнения (7), совпадающее с ехр(шх) при х > х*. Функцию £(х,ш) называют решением Йоста уравнения (7), а функцию Лш) = £х{<д,ш) — функцией Йоста системы (7)-(8).

Обратная спектральная задача для оператора А, которую мы будем рассматривать далее, состоит в восстановлении импеданса &(х) по функции Йоста и).

В случае дважды непрерывно дифференцируемого импеданса а{х) эта задача с помощью замены и фтЩи; (9) сводится к обратной спектральной задаче для оператора Ь с непрерывным потенциалом

9(х) = л/а(х) и коэффициентом

Ь-^М

2(7(0)'

При этом функция Ли) и функция Йоста ¿(ш) системы (3)-(4) связаны соотношением к= ш ц>|—>оо 1Си и импеданс а(х) однозначно восстанавливается по функции Йоста Луз) по формуле о(х) = сг(0) • ф2(х,0), ж>0, где ф(х,Х) — решение основного уравнения (6) (см. [20-22]).

Если же импеданс а{х) не является гладкой функцией, то описанная редукция не имеет места. Допустим, что коэффициент <т(х) является кусочно-гладкой функцией такой, что а(х) е С2(хк+г, хк); хк+1 < хк, к = 0,., щ хп+1 = 0,х0 = оо, < х*, причем ее производные 3 = 0,1,2, имеют разрывы первого рода в точках х1,.,хп. Тогда краевая задача (7)-(8) перепишется в виде уравнения

1 п -т-А(т(х)<шх)х = хе \^){хш,хк), к=о

10) с условиями склейки

О] и)-г х=хк~0 и краевым условием и)

ИЛг х=хк+о х\х=0 = 0. хк + 0)

12)

Обратные спектральные задачи с разрывными коэффициентами исследовались в работах А.Н. Тихонова, В.Б. Гласко, И.М. Гусейнова, Р.Т. Пашаева, Д.Г. Шепельского, В.А. Юрко и других авторов (см. [51-62] и литературу в них). В данной постановке задача восстановления разрывного импеданса а(х) изучалась в [58,59]. Однако в этих работах исследовался либо случай кусочно-постоянного импеданса сг(гс), либо случай с одним разрывом, т.е. п = 1, при этом точка разрыва Х\ и величина о\ предполагались известными. Поэтому весьма актуальным остается вопрос восстановления импеданса а{х) с произвольным конечным числом разрывов.

Основная часть диссертации посвящена обратной спектральной задаче для оператора А, состоящей в восстановлении кусочно-гладкого импеданса а{х) с конечным числом разрывов первого рода в точках х1,.,хп по функции Йоста J{uj), при этом число п, точки разрыва х\,.,хп и величины а\,. ,ап также подлежат восстановлению.

Решать эту задачу мы будем путем сведения оператора А к соответствующему оператору Штурма-Лиувилля. С помощью замены (9) система (10)—(11) приводится к уравнению Штурма-Лиувилля ихх + q{x)u = А и, х в (Jfcfc+i, хк),

13) fc=0 с условиями склеики и их

J x=xk~0 а краевое условие (12) запишется в виде и и X к — 1,. ,п,

14) х=хк+0 их - hu) |х=о= 0.

15)

Здесь ч/^У "" 2<7(0)' г— , стх(хк + о)/у/а1 - сгх(хк - 0) ак = \/ак, Ок = -/-^-• а{хк - 0)

В силу свойств импеданса а(х), коэффициент д(х) является кусочно-непрерывной функцией с разрывами первого рода в точках х\,.,хп, причем ц(х) = 0 при х > х*. Краевая задача (13)—(15) порождает в пространстве 1/2 (0, оо) оператор Штурма-Лиувилля

Ьп : и -> -ихх + я(х)и, который определен для всех функций и из 0, оо), таких что п

1. и е П У/%{хк+ъхк)-, к=О

2. и удовлетворяет условиям склейки (14), краевому условию (15).

Введем функцию Е{х,ш), удовлетворяющую уравнению (13) с условиями склейки (14) и совпадающую с ехр(гшх) при х > х*. В дальнейшем функцию Е(х,ш) будем называть решением Йоста системы (13)—(14), а функцию J {и) — Ех(0,ш) - hE(0,u) — функцией Йоста системы (13)-(15). Отметим, что функция J (и) и функция Йоста J (и) системы (7)-(8) связаны соотношением

J(u) = KJ(u), К = лЩ. (16)

В дальнейшем будет показано, что коэффициент К однозначно определяется асимптотикой функции Йоста J {и). Таким образом, исходная обратная спектральная задача сводится к восстановлению оператора L71, т.е. кусочно непрерывного коэффициента q(x) и величин h,ak,bk',k = 1,п, по функции Йоста J(ш). Эта задача полностью решается в первых двух главах диссертации.

Подходы, разработанные в первых двух главах, диссертации применяются далее к прикладным вопросам, возникшим в связи с задачей о восстановлении механических параметров межскважинного пространства по результатам измерений волновых полей, порожденных скважин-ными источниками. Эта проблема относится к классу динамических обратных задач, для которых пока не разработаны достаточно эффективные методы решения. Исключением является одномерный случай, где существуют алгоритмы, основанные на результатах спектральной теории дифференциальных операторов. Постановки обратных динамических задач для системы дифференциальных уравнений упругости впервые рассмотрел A.C. Алексеев [64,65]. Одномерные обратные динамические задачи исследовались работах A.C. Алексеева, В.Г Романова, A.C. Благовещенского, А.Г. Меграбова, B.C. Белоносова [64-71] и других авторов. В многомерном случае применяются, главным образом, оптимизационные методы, требующие значительных вычислительных ресурсов и не допускающие использования "в реальном времени". Мы начнем изучение этой проблемы в модельной одномерной ситуации, предполагая в дальнейшем перейти к многомерному случаю.

Рассмотрим процесс распространения плоских волн в евклидовом пространстве R3, заполненном упругой средой, механические свойства которой зависят только от одной пространственной координаты у. Считается, что волны поляризованы вдоль некоторой прямой, параллельной плоскости у — 0, на которой равномерно распределен внешний источник возмущений. При этих условиях смещение w точек среды относительно положения равновесия зависит только от координаты у и времени t и удовлетворяет уравнению акустики сßwy)y = pwtu уе м\{0}, (17) где р{у) — плотность, ц{у) — модуль сдвига.

Положим

-00 = У0 <У7 <У1 < •••<Ут< Ут+1 = 0. о = Уп+1 < Уп < ■ • • < У\ < yt < Уо =

Предполагается, что параметры среды p(y),ß(y) являются строго положительными кусочно-гладкими функциями такими, что р(у),ц(у) постоянны вне промежутка [у~, у+] и дважды непрерывно дифференцируемы на каждом из интервалов причем их производные р^\у) и j = 0,1,2, имеют разрывы первого рода в точках ,., yf,., у+. Потребуем также, чтобы функции р(у),р(у) были дважды непрерывно дифференцируемы на интервале (2/т»2/Й

Для того, чтобы уравнение (17) имело смысл, мы будем предполагать, что на каждом из интервалов (—оо, 0) и (0, оо) функции т(у, £), ^(у)и)у(у, £) принадлежат относительно переменой у. Внешнее динамическое воздействие при у = 0 моделируется краевыми условиями вида ю(+0, ¿) - Ц-0, ¿) = 0,

18)

Д0К(+0, ¿) - /¿(оК(-о, г) = (19) где функция <71 (¿) обращается в нуль вне интервала (0,+оо). Условие (19) означает, что скачок напряжения при у = 0 пропорционален силе внешнего воздействия д^), а условие (18) — непрерывность смещения ги при у = 0. Тогда уравнение (17) перепишется в виде т п

П)у = Р™и, У € [](у1 , у1+1) и У (у£+1,

0 к=0

20) с условиями склейки (18)—(19) и

IV и> V),,

У=У1 +0 ги

IV

IV ад =1.

2/=2/*+0

2/=г/( -о

1 =

Ук ~ 0)'

Мм - о) п, (21)

Л + 0) / = 1,.,т. (22)

Будем считать, что до начала воздействия среда покоилась, т.е. ш |ко= 0

23)

Естественно также предположить, что на бесконечности выполнены условия отсутствия приходящих волн, называемые условиями излучения Зо-ммерфельда, которые записываются в виде 1

Щ = о, у > у+,

24) где v(y) = у/ШШ — скорость распространения упругих волн в точке у.

Мы будем изучать формально более общую задачу, в которой в условии (18) правая часть также может быть отлична от нуля w(+0,t)-w(-0,t)=9o(t), (26) где функция go(t) обращается в нуль вне интервала (0, +оо).

Прямой динамической задачей мы называем задачу об определении функции w : Rx R —> R, удовлетворяющей системе (19)—(26), если функции р(у), ц(у), g0(t) и gi(t) известны.

Задачу об определении механических параметров среды р(у) и ц{у) для системы (19)—(26), если известны четыре функции ги(+0,£), w{—0,£), wy(+Q,t), Wy(—0,i), будем называть обратной динамической задачей.

В диссертации развиваются идеи метода спектральных отображений, в основе которого лежит метод контурного интегрирования Коши-Пуанкаре. Также в работе используются асимптотические методы, аппарат теории почти-периодических, целых и мероморфных функций, теория интегральных уравнений, теория операторов в банаховых пространствах, теория гиперболических уравнений и другие методы вещественного, комплексного и функционального анализа. Остановимся кратко на содержании работы.

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Установлено, что если точки разрыва х\,.,хп несоизмеримы, т.е. никакая их линейная комбинация с целыми коэффициентами не равна нулю, то точки разрыва xi,.,xn импеданса сг(х) и величины cri,., ап однозначно определяются асимптотикой функции Йоста J(oS) при и —> оо и ш G R. Построен алгоритм позволяющий восстановить эти разрывы за конечное число шагов.

2. Доказано, что если xi,.,xn несоизмеримы, то функция Йоста J{bS) однозначно определяет импеданс сг(з;) на всем множестве [)• Показано, что задача восстановления импеданса о(х) на всем множестве UaUoO^+I' хк) сводится к решению некоторого интегрального уравнения. Построена процедура, позволяющая восстановить импеданс о(х).

3. Доказана однозначная разрешимость прямой динамической задачи в соответствующем функциональном пространстве и получено специальное представление для ее решения.

4. С номощыо результатов 1-3 решена обратная динамическая задача о восстановлении импеданса среды а(х) = у/р{у(х))ц{у(х)), х = тщп{у), где г — время пробега волны от начала координат до точки у. На основе этих результатов могут быть построены численные методы решения обратных спектральных задач для операторов Штурма-Лиувилля с разрывными коэффициентами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Ambarzumian V.A. Ueber eine Frage der Eigenwerttheorie // Zs.f. Phys. - 1929. - Vol. 53. - P. 690-695.

2. Heisenberg W. Die «beobachtbaren Grossen» in der Theorie der Elementarteilchen // Zs.f. Phys. 1943. — Vol. 120. - P. 513538; 673-702.

3. Borg G. Eine Umkehrung der Sturrn-Liouvilleschen Eigenwertaufgabe // Acta Math. 1946. - Vol. 78. - P. 1-96.

4. Levinson N. The inverse Sturm-Liouville problem // Math. Tidsskr. 1949. - Vol. 13. - P. 25-30.

5. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго порядка // ДАН СССР. — 1950. — Т. 72, № 3 — С. 457-460.

6. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории линейных дифференциальных операторов второго порядка // Труды Моск. матем. о-ва. 1952. - Т. 1. - С. 327-420.

7. Марченко В.А. Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля // Киев: Наукова Думка. — 1972.

8. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения // Киев: Наукова Думка. — 1977.

9. Гелъфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Известия АН СССР. Сер. матем. 1951. - Т. 15. - С. 309-360.

10. Крейн М.Г. Решение обратной задачи Штурма-Лиувилля // ДАН СССР. 1951. - Т. 76, № 1. - С. 21-24.

11. Крейн М.Г. Об одном методе эффективного решения обратной задачи // ДАН СССР. 1954. - Т. 94, № 6. - С. 987-990.

12. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля // М.: Наука. — 1984.

13. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака // М.: Наука. — 1988.

14. Рофе-Векетов Ф.С. Спектральная матрица и обратная задача Штурма-Лиувилля на оси // Теория функций, функц. анализ и их приложения. Харьков. — 1967. — Вып. 4. — С. 189-197.

15. Тихонов А.Н.О единственности решения задачи электроразведки // ДАН СССР. 1949. - Т. 69, № 6. - С. 797-800.

16. Фаддеев Л.Д. О связи Б-матрицы и потенциала для одномерного оператора Шредингера // ДАН СССР. 1958. - Т. 121, № 1. -С. 63-66.

17. Фаддеев Л.Д. Свойства Б-матрицы одномерного уравнения Шредингера // Труды ин-та им. В.А. Стеклова. — 1964. — Т. 73. — С. 314-336.

18. Лейбензон З.Л. Обратная задача спектрального анализа для дифференциальных операторов высших порядков // Труды моек, ма-тем. о-ва. 1966. - Т. 15. - С. 70-144.

19. Лейбензон З.Л. Спектральные разложения отображений систем краевых задач // Труды моек, матем. о-ва. — 1971. — Т. 25. — С. 15-58.

20. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы // М.: Наука. — 1969.

21. Юрко В.А. Обратные спектральные задачи и их приложения // Изд-во СПИ. Саратов. 2001.

22. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач // М.: Физ-матлит. — 2007.

23. Алексеев Г.В. К теории многомерных задач синтеза излучаютцих систем // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1982. — Т. 22, №3.- С. 663-670.

24. Алексеев Г.В., Чеботарёв А.Ю. Обратные задачи акустического потенциала // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1985. — Т. 25, №8. С. 1189-1199.

25. Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений // Новосибирск: Наука. — 1978.

26. Аниконов Ю.Е., Лаврентьев М.М. Условно-корректные задачи радиационной томографии // Сиб. электрон, матем. изв. — 2010.- Т. 7. С. 73-80.

27. Березанский Ю.М. О теореме единственности в обратной задаче спектрального анализа для уравнения Шредингера // Тр. Моск. матем. о-ва. — 1958. — Т 7. — С. 3-51.

28. Бухгейм A.JI. Введение в теорию обратных задач // Новосибирск: Наука. — 1988.

29. Бухгейм А.Д., Дятлов Г.В. Единственность в одной обратной задаче определения памяти // Сиб. матем. журн. — 1996. — Т. 37, т. С. 526-533.

30. Бухгейм А.Л., Дятлов Г.В., Исаков В.М. Устойчивость восстановления памяти по оператору Дирихле-Неймана // Сиб. матем. журн. 1997. Т. 38, №4. - С. 738-749.

31. Denisov A.M. Elements of the Theory of IPs // Inverse and Ill-posed Problems Series. Utrecht: VSP. — 1999.

32. Дубровский В.В., Садовничий В.А. Некоторые свойства операторов с дискретным спектром // Диф. уравнения. — 1979. — Т. 15, № 7. С. 1206-1211.

33. Isakov V. Inverse Problems for Partial Differential Equations // New-York: Springer-Verlag. — 1998.

34. Кабанихин С.И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений // Новосибирск: Наука. 1988.

35. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи // Сибирское научное издательство. — 2008.

36. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Васильев В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений // Новосибирск: Наука. — 1969.

37. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики // Новосибирск: Наука. — 1994.

38. Лаврентьев М.М., Савелев Л. А.: Теория операторов и некорректные задачи // Новосибирск: Институт математики. — 1999.

39. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики // М: Наука. 1984.

40. Romanov V.G., Kabanikhin S.I. Inverse Problems for Maxwell's Equations // Inverse and Ill-posed Problems Series. Utrecht: VSP. 1994.

41. Romanov V.G. Investigation Methods for Inverse Problems // VSP, The Netherlands. — 2002.

42. Романов В.Г. Устойчисвость в обратных задачах // М: Научный Мир. 2005.

43. Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics // New-York: Marcel Dekker. — 2000.

44. Шарафутдинов В.А. Обратная задача определения источника в стационарном уравнении переноса для гамильтоновой системы // Сиб. матем. журн. 1996. - Т. 37, №1. - С. 211-235.

45. Белишев М.И. Об одном подходе к многомерным обратным задачам для волнового уравнения // ДАН СССР. — 1987. — Т. 297, № 3. С. 524-527.

46. Белишев М.И. Уравнения типа Гельфанда Левитана в многомерной обратной задаче для волнового уравнения // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1987. - Т. 165, Вып. 17. -С. 15-20.

47. Рамм А.Г. Многомерные обратные задачи рассеяния // Москва: Мир. — 1994.

48. Гончарский A.B., Черепащук A.M., Ягола А.Г. Некорректные задачи астрофизики // М.: Наука. — 1985.

49. Ягола А./".Некорректные задачи с априорной информацией // Сиб. электрон, мат. изв. — 2010. — Т. 7.— С. 343-361.

50. Weidmann J. Zur Spektraltheorie von Sturm-Liouville-Operatoren // Math. Zeitschr. 1967. - Vol. 98. - P. 268-302.

51. Тихонов A.H. К математическому обоснованию теории электромагнитных зондирований // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1965.- Т. 5, т. С. 545-548.

52. Гласко В. Б. О единственности некоторых обратных задач сейсмологии // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1970. — Т. 10, №6. С. 1465—1480.

53. Гласко В. Б. К вопросу единственности определния струкутуры земной коры по поверхностным волнам Релея // Ж. вычисл. ма-тем. и матем. физ. — 1971. — Т. 11, №6. — С. 1498-1509.

54. Гласко В.Б., Худак Ю.И. Аддитивные представления характеристик слоистых сред и вопросы единственности решения обратных задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1980. — Т. 20, №2. С. 482-490.

55. Andersson L.-E. Inverse eigenvalue problems with discontinuous coefficients // Inverse problems. — 1988. — Vol. 4, no. 2. — P. 353397.

56. Andersson L.-E. Inverse eigenvalue problems for a Sturm-Liouville equation in impedance form // Inverse problems. — 1988. — Vol. 4, no. 4. P. 929-971.

57. Carlson R. An inverse spectral problem for Sturm-Liouville operators with discontinuous coefficients // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1994. — Vol. 120, no. 2. P. 475-484.

58. Shepelsky D.G. The inverse problem of reconstruction of the medium's conductivity in a class of discontinuous and increasing functions // Advances in Soviet Math. 1994. - Vol. 19. - P. 209231.

59. Шестаков A.M. Обратная спектральная задача для операторов Штурма-Лиувилля с разрывными коэффициентами // Сибирский математический журнал. — 2003. — Т. 44, N2 5. — С. 11421162.

60. Гусейнов И.М., Пашаев Р. Т. Об одной обратной задаче для дифференциального уравнения второго порядка // УМН. — 2002. — Т. 57, Вып. 3. С. 147-148.

61. Freiling G., Yurko V.A. Inverse spectral problems for singular non-selfadjoint differential operators with discontinuities in an interior point // Inverse Problems. — 2002. — Vol. 18. — P. 757-773.

62. Юрко В.А. Обратные задачи для дифференциальных операторов произвольных порядков на деревьях // Матем. заметки. — 2008.- Т. 83, Выи. 1. С. 139-152.

63. Левитан Б.М. Почти периодические функции // М.: Гостехиздат.- 1953.

64. Алексеев A.C. Некоторые обратные задачи теории распространения волн // Изв. АН СССР, Сер. геофиз. 1962. - Вып. 11. -С. 1515-1522.

65. Алексеев A.C. Обратные динамические задачи сейсмики // в кн. «Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных». М.: Наука. — 1967. — С. 9-48.

66. Алексеев A.C., Меграбов А.Г. Прямая и обратная задачи рассеяния плоских волн на неоднородных слоях // Математические проблемы геофизики. Новосибирск. — 1972. — С. 8-36.

67. Благовещенский A.C.: О локальном методе решения нестационарной обратной задачи для неоднородной струны // Тр. МИАН СССР. 1971. - Т. 115. - С. 28-38.

68. Алексеев A.C., Белоносов B.C. Спектральные методы в одномерных задачах теории распространения волн // Труды ИВМиМГ. Мат. модел. в геофизике. Новосибирск. — 1998. — Вып. 6 — С. 739.

69. Alekseev A.S., Belonosov V.S. The scattering of plane waves in inhomogeneous half-space // Appl. Math. Lett. — 1995. — Vol. 8, no. 2. P. 13-19.

70. Alekseev A.S., Belonosov V.S. Direct and inverse problems associated with inclined passing of SH-waves through ID inhomogeneous medium // Bull. NCC. Ser. Num. Anal. 1994. - Iss. 8. - P. 1-25.

71. Alekseev A.S., Belonosov V.S. Direct and inverse problems of wave propagation through a one-dimensional inhomogenious medium // Euro. Jnl of Appl. Math. 1999. - Vol. 10. — P. 79-96.

72. Винер H., Пэли P. Преобразование Фурье в комплексной области // М.:Наука. 1964.

73. Sedipkov A.A. Direct and inverse problems of the theory of wave propagation in an elastic inhomogeneous medium // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2011. — Vol. 19. — P. 511-523.

74. Седипков А.А. Восстановление разрывов оператора Штурма-Лиувилля с кусочно-гладкими коэффициентами // Вестник НГУ. Новосибирск. 2012. - Том 12, Вып. 1. - С. 114-125.

75. Седипков А.А. Обратная спектральная задача для оператора Штурма-Лиувилля с разрывным потенциалом // Препринт — 277. ИМ СОРАН. 2012. - С. 26.1. F)