Множественность решений краевых задач для квазилинейных эллиптических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи 40Э oiw-

Колоницкий Сергей Борисович

МНОЖЕСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

О 3 ОЕЗ 2011

Санкт-Петербург — 2010

4853762

Работа выполнена на кафедре математической физики

математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

доктор физико-математических наук, доцент Назаров Александр Ильич

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук, профессор Ивочкина Нина Михайловна (Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет)

доктор физико-математических наук Коньков Андрей Александрович (Московский государственный университет)

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Математический институт РАН им. В.А. Стеклова (Москва)

Защита состоится ^^¿ЛЛ- 2011 года в « ^_» ч. на заседании диссер-

тационного совета Д 212.232.49 по защите кандидатских и докторских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199178, Санкт-Петербург, 14-я линия В.О., д. 29, ауд. 22.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор у^Сри^г*^—-' А. А. Архипова

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Качественные свойства решений дифференциальных уравнений в частных про-зводных активно исследуются в последние полвека. Разнообразным аспектам каче-твенной теории посвящены работы Похожаева, Серрина, Ниренберга, Кондратьева, ерона, Скрыпника, Конькова, Каволя и многие другие.

Диссертация посвящена эффекту возникновения множественных положитель-ых решений задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений вариа-ионной структуры. Впервые этот эффект был открыт в 1984 году С. Коффманом 11], который показал, что при п = 2 задача

-Д и = ич~1 в П, и|эп = 0, (1)

кольце П = Вп+1 \ В,я С Кп имеет любое наперед заданное количество неэквива-ентных (то есть не получающихся друг из друга при помощи поворотов) положи-ельных решений при д > 2, если Я достаточно велико.

В 1990 году Я.-Я. Ли [14] этот результат был обобщен на случай п ^ 4, 2 < <7 < 2* = ^21 а также построены нерадиальные решения задачи (1) в достаточно тонком слое при некоторых д ^ 2*. Отметим, что в коротком замечании в конце работы Коффмана была сделана попытка обобщения основного результата на случай произвольного четного п, но, как указано в работе А.И. Назарова [2], это замечание нельзя считать обоснованным.

В 1993 С.-С. Лин [15] предпринял попытку усилить результаты Ли и, в частности, получить соответствующее утверждение при п = 3. Однако в доказательствах имеются серьезные пробелы. Более того, как показал в 1997 году Ж. Бьен [5] с использованием результатов Н. Мизогучи и Т. Сузуки [16], «грубый» метод, который использовали Я.-Я. Ли и С.-С. Лин, вообще не может дать при п = 3 более пяти неэквивалентных нерадиальных решений.

В 1997 году трехмерная задача была решена Ж. Бьеном [5] с помощью существенно более деликатной техники — минимизации функционала энергии для задачи (1) при специальных дополнительных ограничениях, с использованием принципа

концентрации Лионса и тонких поточечных оценок решений. В 1999 Ф. Катрина и Ж.-К. Ванг [9] предложили несколько иной метод, основанный на той же идее, который позволяет строить решения (1) при любом п ^ 2 с предписанной группой симметрий.

Заметим, что авторы перечисленных работ рассматривают лишь уравнения с оператором Лапласа в главной части. В то же время, как показал в 2004 году А.И. Назаров [2], при п ф 3 «грубая» техника дает возможность не только усилить результаты [14], но и распространить их на задачу

-Ари = и4'1 в П, и|еп = 0, (2)

где Др и = div (| V«|p-2 Vu) - р- лапласиан, при произвольных 1<р<ооир<д<р* (при q < р положительное решение задачи (2) единственно). Также в А.И. Назаровым был обнаружен "двойственный" эффект множественности при четных пир ^ п — для фиксированного R и достаточно больших q. Кроме того, А.И. Назаровым были построены нерадиальные решения задачи (2) для произвольного 1 < р < оо, 2<mt% ¡ и р < 9 < Pn-m- Именно, существует такое До = Ro(n,p,q,m), что при всех R> Ro существует как минимум два неэквивалентных решения. Решения, построенные в этой работе, концентрировались не в окрестности точек, а в окрестности некоторых многообразий. При [(n + 1)/2] + 1 ^ р < п нерадиальное решение существует для любых q 6 (р, оо), в то время как радиальные решения существуют при всех р и всех q < оо.

В 2005 году А.П. Щегловой [4] была установлена множественность положительных решений для задачи Неймана

—Apii + up_1 = 0 в BR, |Vu|p-2(Vií; п) = и4'1 на dBR (3)

также в двух случаях: при фиксированном q > р и достаточно больших R или (для четных пир^п) при фиксированном R и достаточно больших q.

В статье [3] изучались положительные решения задачи Дирихле

—Ари = |x|a,u9-1 в Bi, u = 0 на дВи (4)

также задач для уравнения с радиальным весом более общего вида. В частности, ыла изучена потеря симметрии решения (4) с минимальной энергией при фикси-ованном д > р и достаточно больших а или при фиксированном а и достаточно олыпих q. При р = 2 (в этом случае уравнение (4) именуют уравнением Хенона, см. [12]) часть результатов [3] была получена также в [18]. Еще один пример задачи, в оторой "центробежный" вес приводит к потере симметрии решения, - задача о точ-ой константе в неравенстве Каффарелли - Кона - Ниренберга ([10], [19]). Отметим ще работы, в которых (также при р = 2) исследуются асимптотические профили решений задачи (4) с минимальной энергией: в [19, 6, 7] для заданного 2 < д < 2* и —> со, в [8] для заданного а > 0 и —> 2*.

В качестве следствия основных теорем в [3] были выявлен эффект множественности положительных решений задачи (4) в двумерном случае.

Цель работы.

1. Исследование эффекта множественности решений задачи Дирихле для уравнения обобщенного уравнения Хенона (краевая задача (4)).

2. Исследование эффекта множественности решений задачи Дирихле для модельного уравнения с р-лапласианом (краевая задача (2)) в трехмерном сферическом слое.

3. Исследование эффекта множественности решений задачи Дирихле для модельного уравнения с р-лапласианом (краевая задача (2)) с д > р*.

Методы исследования.

В диссертационной работе используются классические методы функционального анализа и вариационного исчисления, метод априорных оценок и принцип концентрации-компактности.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно и состоят в следующем:

1. Доказана неединственность решений задачи (4) при некоторых q ^ р* и больших а.

2. Доказана множественность решений задачи (4) при фиксированном q € (р,р*) и больших ос.

3. Доказана множественность решений задачи (4) при фиксированном а, р > п и больших q.

4. Доказана множественность решений задачи (2) при п = 3, q € (р, р*) и больших R.

5. Доказана множественность решений задачи (2) при четном п ^ 4, некоторых g ^ р* и больших R.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в различных вопросах теории дифференциальных уравнений в частных производных и ее приложениях в геометрии и математической физике.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на семинаре им. В.И. Смирнова по математической физике в Санкт-Петербургском отделении математического института им. В.А.Стеклова РАН (2007-2010), на семинаре по нелинейным дифференциальным уравнениям в Московском Государственном Университете (2008, 2010), на семинаре отдела теории функций Математического института им. В.А.Стеклова РАН (2010), на конференции NPDE-2007 (Алушта, 2007), на конференциях по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2008, 2010), на конференции Spring School in PDE (Лувен-ла-Нев, Бельгия, 2008).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах автора (две из них в соавторстве). Работа [1*] опубликована в журнале из перечня ВАК. Работа [2*] опубликована в журнале, удовлетворяющем достаточному условию для включения

перечень ВАК (переводная версия этого журнала "Journal of Mathematical Sciences" входит в системы цитирования Springer и Scopus) в соответствии с решением Пре-идиума ВАК № 9/11 от 07.03.2008.

В работах [2*] и [3*] научному руководителю А.И. Назарову принадлежит постановка задачи и общее руководство работой, а диссертанту - доказательство основных теорем.

Работа поддержана грантами РФФИ X« 08 - 01 - 00748 и НШ - 4210.2010.1. Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, списка обозначений, трех глав, включающих 7 параграфов, и списка литературы из 58 наименований. Общий объем диссертации составляет 103 страницы.

Список обозначений

При 1 < р < оо обозначим р^, предельный показатель в теореме вложения Соболева в Rm: ф- = m) ; Рп = р" ~ обычный предельный показатель вложения bR".

Для произвольной замкнутой подгруппы Q группы вращений 0(п) обозначим

о

Сд пространство ^-инвариантных функций из W^ (П).

Содержание работы

В диссертации исследуется эффект множественности решений задач (2) и (4). Под решением краевой задачи понимается обобщенное решение из пространства

О 1

Соболева WНорму функции и в пространстве Ьр(П) будем в дальнейшем обозначать ||и||р.

Доказательство множественности решений в модельных случаях обычно происходит по следующему плану:

Краевая задача зависит от некоторого параметра Т.

1) Строится набор групп Qk ^ О(п), зависящих от параметра к € N.

2) Рассмотрим Сдк — пространство функций из XVр (Г2д) с группой симметрии С/к• Докажем, что Сдк компактно вкладывается в некоторое (возможно, весовое) пространство Ья. Иногда (если, например, группа дискретная), достаточно обычной теоремы вложения Соболева. Если группа непрерывная, то фактически функция и € Сдк зависит от меньшего количества переменных и поэтому в некоторых случаях удается доказать вложение в Ьч с д ^ (см., например, [13], [1]).

3) Минимизируем функционал,/[«] = ||на замкнутом в норме Ьч множестве Ск С &к = {и 6 >СеЛМ1? = 1}- Так как вложение Сдк в Ьч компактно, минимум достигается. Легко показать, что минимайзер (обозначим его ит,к) неотрицателен.

4) Докажем, что при достаточно больших Т минимум достигается во внутренней (с точки зрения топологии на <5к) точке Ск (Если Ск = @к, то этот шаг тривиален). Таким образом, ит,к — точка локального минимума на 6к-

5) По принципу симметричной критичности (см. [17]) ит,к — критическая точка функционала J. Отсюда с использованием неравенства Харнака для р-гармонических функций получаем, что после подходящей перенормировки функция ит,к будет положительным решением краевой задачи.

6) Докажем, что при достаточно больших Т (т.е. Т > То (кг, кг)) функции ит,к, и ит,к2 различны (не эквивалентны).

7) Заметим, что, задавшись произвольным числом ЛГ, мы можем подобрать такой набор г и такое число ТЬ(ЛГ, к\,..., км), что при Т > То функции ит,кх,ит,кК различны.

Наибольшую сложность представляют шаги 1, 4, 6.

В главе 1 рассматривается краевая задача (4). Основные результаты главы 1 следующие:

Теорема 1. Пусть 1 < р < оо, п ^ 4, 2^т<^ир<д< р£_т+1- Тогда существует а о = ам(п, т,р, <?), такое, что при любом а > ао существует не менее двух неэквивалентных положительных решений задачи (4)-

Теорема 2. Пусть 1<р<оо, п = 2 или п^4ир<д<р*. Тогда для любого N € N существует ам = ам(п,Р,я), такое, что при любом а > алг существует

не менее N неэквивалентных положительных решений задачи (4).

'еорема 3. Пусть п ^ 2 четно, п < р < оо. Тогда для любого N £ N существует N = <lN{n,p,a), такое, что при любом q > длг существует не менее N неэквивалентных положительных решений задачи (4).

Решение задачи (4) при подходящей перенормировке будет критической точкой ля функционала

f \Vu\pdx

Jlu] = « = * (5) lluraIIS (/ \и\ЯГ«Я(1х)я'

В1

Пусть пара чисел т £ N, к € N U {0} удовлетворяет условиям т • L + к = п для некоторого I € N;

(6)

тп ^ 2; к = 0 или к^ т.

Тогда разложение пространства R" = (Km)£ © Rfc будем называть (т, /с)-разложени-ем. Отметим, что если т < п, то (6) влечет п ^ 4.

Пусть G — замкнутая подгруппа 0(т). Введем группы

Щт,к,а) = G х ... х G х 0{к), /C(m,fc) = {Ра ® InW ех 0{к) и G(m,k,G) = (T~l(m.k.G)ifc(m,k)) ■ Функцию и будем называть

- m-радиальной, если она инвариантна относительно Лт,к,о(т),

- (т, /г)-симметричной, если она инвариантна относительно ^,

- (т,/г)-радиальной, если она инвариантна относительно Gm,k,o(m)-

В [1] показано, что при 2 SJ т ^ пространство Сдт,к,о(т) компактно вкладывается в Lq(Bi, |ж|а?) с 1 ^ q < Рп-т+ъ если а > - = - 1)+.

В §1.1 вводятся группы симметрий Qm,k,o(m)i указанным образом доказываются пункты 3, 4, 5 для произвольной группы симметрий Q < О(п), и доказывается оценка для (т, &)-радиального решения:

При больших а эти оценки дают возможность отличить друг от друга (т, ^-радиальные решения при разных т, что доказывает теорему 1. Аналогичные оценки на порядок роста дают возможность отличить друг от друга (т, &)-радиальные решения при одинаковых т и различных к, за одним исключением: решения с к = 0 и с к = т различить не удалось.

В §1.2 вводится группа ,к,в(1 гДе группа бч порождена поворотом на В пункте 2 для них используется обычная теорема вложения. Далее доказывается оценка

АЩт,к,С)] ^ С{в).

Таким образом, эти решения при больших а не (2, /с)-радиальны. Затем доказывается, что если решения с группой симметрии 5(2,)с,и различными Ь совпадают при всех а, то они (2, /с)-радиальны, что противоречит предыдущей оценке. Таким образом, решения с различными < различны, что доказывает теорему 2. Различить решения при различных к удается в силу того, что решения концентрируются в окрестности подпространства размерности п — к. Единственный случай, в котором не удалось доказать различие решений с такими симметриями, таков: ¿1 = 2, £г = 4 и 2к2 — кг = п. Таким образом, пункт 6 доказан.

В §1.3 исследуется эффект множественности решений при четных п, р > пи больших д. В качестве групп Ок выберем группы <?2,к,в{- Пункты 2-5 уже доказаны в предыдущих параграфах. Далее, решения с различными 4 могут совпадать только в том случае, если они (2, /с)-радиальны. Доказывается, что вторая вариация функционала 3 на минимайзере в классе (2, &)-радиальных функций не знакоопре-делена, и, следовательно,этот минимайзер не может быть минимайзером в классе (2, к, £)-инвариантных функций, а значит, для различных 4 (2, к, 4)-инвариантные минимайзеры различны при больших д, что доказывает теорему 3.

Отметим, что в работе [2*] результаты теорем 1 и 2 распространяются на более общие краевые задачи.

В главе 2 рассматривается краевая задача (2) в трехмерном пространстве. Основной результат этой главы следующий:

Теорема 4. Пусть 1 < р < оо, n=3up<q<p*. Тогда для любого N g N существует, Rn = Rn(ti, р, q), такое, что при любом R > Rn существует не менее N неэквивалентных положительных решений задачи (2).

В §2.1 собраны некоторые вспомогательные утверждения. Множественность решений задачи (2) при п = 3ир<д<р* доказывается по описанному алгоритму с использованием техники концентрации в §2.2.

Пусть группа Qk порождена вращениями на угол ^ в плоскости (xi,x2) и отражением относительно плоскости (xi,x2). У этой группы есть выделенные орбиты, порожденные, например, точками Nr = (0,0, Я) и Mr = (Л, 0,0). Орбиту точки Nr будем называть полярной орбитой, орбиту Мц — экваториальной (так же мы будем называть орбиты всех точек, для которых жз = 0). Отметим, что полярная орбита имеет кратность 2, экваториальная орбита имеет кратность к, и орбиты всех остальных точек сферы имеют кратность 2к. Минимизируем функционал J[u] = ]|Vu||£ на

множестве £к = {v е -CgJIMIq = 1, / u4dx ^ 1 — 5}, где А* — ^-инвариантное

А*

множество, содержащее Mr. В пункте 2 используется обычная теорема вложения Соболева. Пункт 3 доказывается стандартно. Пункт 4 доказывается следующим образом: сначала мы устанавливаем, что последовательность функций, ограниченная

о

в Wj, (Пя) и отделенная от нуля в L9(SIr), обязательно имеет точки концентрации. Затем мы доказываем, что последовательность минимайзеров функционала J на множестве Ск имеет не более чем одну последовательность концентрации в каждом из множеств IntA*, ExtАх и дАх. После этого доказывается, что ни для какой последовательности минимайзеров не может быть выполнено условие f u4dx =1 — 5. Таким образом, пункт 4 доказан. Попутно доказывается, что минимайзеры при разных к имеют разное количество точек концентрации, что доказывает пункт 6. Пункты 5 и 7 доказываются стандартно.

В главе 3 рассматривается краевая задача (2) при четном п ^ 4. Основной результат этой главы следующий:

Теорема 5. Пусть 1 < р < оо, n ^ 4 четно и р < q < р*_ j. Тогда для любого N € N существует Rn = RN{n,p,q), такое, что при любом R > Rn существует

не менее N неэквивалентных положительных решений задачи (2).

Решения, которые строятся в теореме 5, даже прир 6 (р,р*) отличаются от решений, построенных в [2], тем, что они концентрируются в окрестности не дискретного множества точек, а в окрестности некоторых кривых.

В §3.1 подробно рассматривается случай п = 4, в §3.2 рассматривается случай четного п ^ 6.

Именно, вводится некоторое семейство групп Qk, для каждой из которых орбита любой точки, кроме начала координат, имеет размерность 1. Выбираются исключительные орбиты этих групп, для которых длина квалифицированно меньше длины любой орбиты в некоторой окрестности, и Ç/fc-инвариантное множество Ах, содержащее некоторую исключительную орбиту. Далее на множестве J~k = {v £ £gj||t>||g = 1, f u4dx > 1 — <5} минимизируется функционал J[u] = ]|Vu||£. Результаты [13] гарантируют для (^-инвариантных функций необходимую в пункте 2 компактность вложения Cgk в Ьд(Пн) при р < q < p*n-i- Пункт 3 доказывается стандартно. Затем мы доказываем, что последовательность минимайзеров функционала J на множестве £к имеет не более чем одну последовательность орбит концентрации в каждом из множеств Int-A,,, ExtA* и дАх. После этого доказывается, что ни для какой последовательности минимайзеров не может быть выполнено условие f uqdx = 1 — 5.

л«

Таким образом, пункт 4 доказан. Попутно доказывается, что минимайзеры при разных к имеют разное количество компонент связности множества концентрации, что доказывает пункт 6. Пункты 5 и 7 доказываются стандартно.

Список литературы

[1] C.B. Иванов, А.И. Назаров. О теоремах вложения Соболева с весом для функций с симметриями // Алгебра и анализ, Т.18 (2006), N1, С.108-123.

[2] А.И. Назаров. О решениях задачи Дирихле уравнения, содержащего р-лапласиан, в сферическом слое // Труды СПбМО, Т.10 (2004), С.33-62.

[3] А.И. Назаров. О симметричности экстремали в весовой теореме вложения // Пробл. мат. ан. Т.23 (2001), С.50-75.

[4] А.П. Щеглова. Множественность решений для краевой задачи с нелинейным условием Неймана // Пробл. мат. ан., Т.ЗО (2005), С.121-144.

[5] J. Byeon. Existence of many nonequivalent nonradial positive solutions of semilinear elliptic equations on three-dimensional annuli //J. DifT. Eq., V.136 (1997), P.136-165.

[6] J. Byeon, Z.-Q. Wang. On the Henon equation: asymptotic profile of ground states.

I // Ann. Inst. H.Poincare. Anal. Nonlin., V.23 (2006), P.803-828.

[7] J. Byeon, Z.-Q. Wang. On the Henon equation: asymptotic profile of ground states.

II // J. DifT. Eq., V.216 (2005), P.78-108.

[8] D. Cao, S. Peng. The asymptotic behavior of the ground state solutions for Henon equation // J. Math. Anal. Appl., V.278 (2003), P.l-17.

[9] F. Catrina, Z.-Q. Wang. Nonlinear elliptic equations on expanding symmetric domains // J. Diff. Eq., V.156 (1999), P.153-181.

[10] F. Catrina, Z.-Q. Wang. On the Caffarelli - Kohn - Nirenberg inequalities: sharp constants, existence (and nonexistence), and symmetry of extremal functions // Comm. Pure Appl. Math., V.54 (2001), P.229-258.

[11] C.V. Coffman. A non-linear boundary value problem with many positive solutions // J. Diff. Eq., V.54 (1984), P.429-437.

[12] M. Henon. Numerical experiments on the stability of spherical stellar systems // Astronomy & Astrophysics, V.24 (1973), P.229-238.

[13] E. Hebey, M. Vaugon. Sobolev spaces in the presence of symmetries //J. Math. Pures Appl., V.76, Issue 9 (1997), 859-881

[14] Y.Y. Li. Existence of many positive solutions of semilinear elliptic equations on annulus //J. Diff. Eq., V.83 (1990), P.348-367.

[15] S.-S. Lin. Existence of many positive nonradial solutions for nonlinear elliptic equations on an annulus // J. Diff. Eq., V.103 (1993), P.338-349.

[16] N. Mizoguchi, T. Suzuki. Semilinear elliptic equations on annuli in three and higher dimensions // Houston J. Math., V.l (1996), P.199-215.

[17] R.S.Palais. The principle of symmetric criticality //Comm. in Math. Phys. V. 69 (1979), P.19-30.

[18] D. Smets, J. Su, M. Willem. Non radial ground states for the Hénon. equation // Comm. Contemp. Math., V.4 (2002), P.467-480.

[19] D. Smets, M. Willem. Partial symmetry and asymptotic behavior for some elliptic variational problems // Cale. Var., V.18 (2003), P.57-75.

[20] J. Wei, S. Yan. Infinitely many solutions for the prescribed scalar curvature problem on Sw // Journal of Functional Analysis, V.258 (2010), P.3048-3081.

[Работы автора по теме диссертации]

[Статьи в журналах, рекомендованных ВАК]

[1*] С.Б.Колоницкий. Множественность решений задачи Дирихле для уравнения с р-лапласианом в трехмерном сферическом слое // Алгебра и анализ, Т.22, выпуск 3 (2010), С.206-221.

[Другие публикации]

[2*] С.Б. Колоницкий, А.И. Назаров. Множественность решений задачи Дирихле для обобщенного уравнения Хенона // Проблемы математического анализа, Т. 35. (2007) С.91-110.

[3*] S.B. Kolonitskii, A.I. Nazarov. The multiplicity of positive solutions for the Dirichlet problem to the generalized Henon equation // Int. Conf. "NPDE-2007"dedic. to the memory of I.V. Skrypnik. Book of abstracts. Donetsk (2007) P.39.

[4*] S.B. Kolonitskii. Multiplicity of solutions to the Dirichlet problem for generalized Henon equation // Summer School in Nonlinear Partial Differential Equations, Université catholique de Louvain, Louvain-la-Neuve (2008) P.43—44.

5*] С.Б.Колоницкий. Множественность решений задачи Дирихле для уравнения с р-лапласианом в трехмерном сферическом слое // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Владимир (2008) С.135-136.

6*] С.Б.Колоницкий. Множественность решений задачи Дирихле для уравнения с р-лапласианом с суперкритическим показателем // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. М. (2010) С.103.

Подписано к печати 16.12.2010. Формат бумаги 60 х 84 7i6. Бумага офсетная. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,00. Тираж 100 экз. Заказ 5029. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии Химического факультета СПбГУ. 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетский пр. 26

Введение

Список обозначений

1 Задача Дирихле для обобщенного уравнения Хенона

1.1 (га, /с)-радиальные решения при больших а

1.2 Множественность решений при больших а.

1.3 Множественность решений при больших . . '.

2 Множественность решений задачи Дирихле в трехмерном тонком сферическом слое

2.1 Некоторые вспомогательные утверждения.

2.2 Решение краевой задачи в трехмерном слое.

3 Суперкритическая множественность в четномерных тонких сферических слоях

3.1 Четырехмерный случай.

3.2 Случай произвольной четной размерности

Качественные свойства решений дифференциальных уравнений в частных производных активно исследуются в последние полвека. Разнообразным аспектам качественной теории посвящсны работы [12], [13], [46], [14], [29], [19], [32], [б], [8], [33], [51], [4], [3], [15] и многие другие.

Диссертация посвящена эффекту возникновения множественных положительных решений задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений вариационной структуры. Впервые этот эффект был открыт Коффманом [26], который показал, что при п = 2 задача

-Аи = и9-1 в а, и\дп = (О-1) в кольце = Вц+1 \ В л С Мп имеет любое наперед заданное количество неэквивалентных (то есть не получающихся друг из друга при помощи поворотов) положительных решений при д > 2, если Я достаточно велико.

В работе [34] этот результат был обобщен на случай п^ 4, 2 < д < 2* = —а также построены нерадиальные решения задачи (0.1) в достаточно тонком слое при некоторых д ^ 2*. Отметим, что в коротком замечании в конце работы [26] была сделана попытка обобщения основного результата на случай произвольного четного п, но, как указано в [9], это замечание в [26] нельзя считать обоснованным.

В [35] была предпринята попытка усилить результаты [34] и, в частности, получить соответствующее утверждение при п = 3. Однако в доказательствах [35] имеются серьезные пробелы. Более того, как показано в [20] с использованием результатов [39], «грубый» метод, использовавшийся в [34] и [35], вообще не может дать при п = 3 более пяти неэквивалентных нерадиальных решений.

В работе [20] трехмерная задача была решена с помощью существенно более деликатной техники — минимизации функционала энергии для задачи (0.1) при специальных дополнительных ограничениях, с использованием принципа концентрации Лионса ([36]) и тонких поточечных оценок решений. В [24] был предложен несколько иной метод, основанный на той же идее, который позволяет строить решения (0.1) при любом п ^ 2 с предписанной группой симметрий.

Дальнейшие статьи о множественности положительных решений (0.1) и других задач аналогичной структуры не поддаются учету; упомянем в связи с этим лишь недавние работы [40], [38], [41], [37], [52].

Заметим, что авторы перечисленных работ рассматривают лишь уравнения с оператором Лапласа в главной части. В то же время, как было показано в [10], при п ^ 3 «грубая» техника дает возможность не только усилить результаты [34], но и распространить их на задачу

-Ари = и4'1 в О, и\дп = 0, (0.2) где Ари = сИу (|\7и|р2Уи) - р-лапласиан, при произвольных 1 < р < оо и р < д < р* (при д < р положительное решение задачи (0.2) единственно). Также в [10] был обнаружен «двойственный» эффект множественности при четных пир>п- для фиксированного Я и достаточно больших q. Для п = 2 эти результаты были ранее получены в [9]. Кроме того, в [10] были построены нерадиальные решения задачи (0.2) для произвольного 1<р<оо,2^т^|ир<д< Рп-т• Именно, существует такое До = Н-о (п,р,д,т), что при всех Я > Яо существует как минимум два неэквивалентных решения. Решения, построенные в этой работе, концентрировались не в окрестности точек, а в окрестности некоторых многообразий. При [(п+ 1)/2] + 1 ^ р < п нерадиальное решение существует для любых q Е (р, оо), в то время как радиальные решения существуют при всех р и всех д < оо.

В работе [18] множественность положительных решений была установлена для задачи Неймана

-Ари + уР'1 = 0 в Вя, \Чи\р~2(Чщ п) = и9-1 на дВп (0.3) также в двух случаях: при фиксированном д > р и достаточно больших Я или (для четных п и р ^ п) при фиксированном Я и достаточно больших

В статье [11] изучались положительные решения задачи Дирихле

-Ари=\х\аЧ<1-1 в Ви и — 0 на дВъ (0.4) а также задач для уравнения с радиальным весом более общего вида. В частности, была изучена потеря симметрии решения (0.4) с минимальной энергией при фиксированном <? > р и достаточно больших а или при фиксированном а и достаточно больших д. При р = 2 (в этом случае уравнение (0.4) именуют уравнением Хенона, см. [30]) часть результатов [11] была получена также в [47]. Еще один пример задачи, в которой центробежный» вес приводит к потере симметрии решения, - задача о точной константе в неравенстве Каффарелли - Кона - Ниренберга ([25], [48]). Отметим еще работы, в которых (также при р = 2) исследуются асимптотические профили решений задачи (0.4) с минимальной энергией: в [48]—[22] для заданного 2<q< 2* иа—> оо, в [23] для заданного а > 0 и q 2*.

В качестве следствия основных теорем в [11] были выявлен эффект множественности положительных решений задачи (0.4) в двумерном случае.

Отметим, что при р — 2 из стандартной эллиптической теории (см., например, [7, гл. III]) следует, что обобщенные решения задач (0.2), (0.3) и (0.4) являются классическими. Это заведомо не так при р > 2 (предельная для этого случая гладкость обобщенных решений и € С1+7 была установлена в работах [27], [49]).

В диссертации исследуется эффект множественности решений задач (0.2) и (0.4). Под решением краевой задачи понимается обобщенное решео ние из пространства Соболева 1Ур(П). Норму функции и в пространстве Lp{£t) будем в дальнейшем обозначать

При 1 < р < оо обозначим р*т предельный показатель в теореме вложения Соболева в Rm: — — ^ — ^ ; р* = р* - обычный предельный показатель вложения в

Для произвольной замкнутой подгруппы Q группы вращений 0{п) обоо значим Сд пространство ¿/-инвариантных функций из (Г2). Кратностью орбиты точки х под действием группы Q будем называть количество компонент связности этой орбиты.

Доказательство множественности решений в модельных случаях обычно происходит по следующему плану:

Краевая задача зависит от некоторого параметра Т.

1) Строится набор групп Ок ^ 0(п), зависящих от параметра к £ N. о

2) Рассмотрим Сдк — пространство функций из (Г2д) с группой сим-метрий Як- Докажем, что Сдк компактно вкладывается в некоторое (возможно, весовое) пространство Ьч. Иногда (если, например, группа дискретная), достаточно обычной теоремы вложения Соболева. Если группа непрерывная, то фактически функция и € Сдк зависит от меньшего количества переменных и поэтому в некоторых случаях удается доказать вложение в с ц ^ р* (см., например, [31], [1]).

3) Минимизируем функционал J[u] = на замкнутом в норме Ья множестве Ск С <Е>к — {у € А/ЛМ1д = Так как вложение Сдк в Ьд компактно, минимум достигается. Легко показать, что минимайзер (обозначим его и?,к) неотрицателен.

4) Докажем, что при достаточно больших Т минимум достигается во внутренней (с точки зрения топологии на (5 к) точке Ск (Если Ск = © к, то этот шаг тривиален). Таким образом, ит,к ~~ точка локального минимума на &к

5) По принципу симметричной критичности (см. [43]) и^к — критическая точка функционала J. Отсюда с использованием неравенства Хар-нака для р-гармонических функций получаем, что после подходящей перенормировки функция иг,к будет положительным решением краевой задачи.

6) Докажем, что при достаточно больших Т (т.е. Т > То(&х, &2)) функции ит,кг и ит,к2 различны (не эквивалентны).

7) Заметим, что, задавшись произвольным числом ЛГ, мы можем подобрать такой набор ., км и такое число То(Л^, к±,., к]\т), что при Т > Т0 функции иг,Ли • • •, ит,к„ различны.

Наибольшую сложность представляют шаги 1, 4, 6. В главе 1 рассматривается краевая задача (0.4). Основные результаты главы 1 следующие:

Теорема 1. Пусть 1 < р < оо,

Тогда существует ао = ам(п,т,р, такое, что при любом а > ао существует не менее двух неэквивалентных положительных решений задачи (0.4)•

Теорема 2. Пусть 1 < р < оо, п = 2 или п^4:ир<д<р*. Тогда для любого N Е N существует а^ = а^(п,р, д); такое, что при любом а > существует не менее N неэквивалентных положительных решений задачи (0.4)

Теорема 3. Пусть п ^ 2 четно, п < р < оо. Тогда для любого N £ N существует qN = такое, что при любом д > фу существует не менее N неэквивалентных положительных решений задачи (0.4)■

Решение задачи (0.4) при подходящей перенормировке будет критической точкой для функционала f \Vu\Pdx HVnlP R

J [и] = = -г, (0.5)

IMI? (J \u\«r"*dx)V v ;

Si

Пусть пара чисел m е N, fc € N U {0} удовлетворяет условиям т • Z + к = п для некоторого I G N;

0.6) m ^ 2; А; — 0 или к ^ т. Тогда разложение пространства М.п = (Кт)г © Ж.к будем называть (т, А;)-разложением. Отметим, что если га < п, то (0.6) влечет п ^ 4. Пусть С — замкнутая подгруппа О (га). Введем группы

ЩтМ = G X . х G х 0(/с), /C(m,fc) = {Per (8) Jm|<7 e Si} x О (к) и 6(m,k,G) = (7~t(m.k.G)i £(тп,к)) ■ Функцию и будем называть

- m-радиальной, если она инвариантна относительно

- (га, /с)-симметричной, если она инвариантна относительно /С(т>&),

- (га, £)-радиальной, если она инвариантна относительно Qmjk,o(m)

В [1] показано, что при 2 ^ га ^ [|] пространство £gm,k,o(m) компактно вкладывается в Lq(Bi: с 1 ^ q < p*m+1, если а > — ^ — 1)+.

В §1.1 вводятся группы симметрий Gm,k,o{m)i указанным образом доказываются пункты 3, 4, 5 для произвольной группы симметрий Q ^ О(п), и доказывается оценка для (га, /с)-радиального решения:

Gl (^-^«s-i» ^ JHmd ^ CaP(M„m+1)(H),

При больших а эти оценки дают возможность отличить друг от друга (га, /с)-радиальные решения при разных га, что доказывает теорему 1.

Аналогичные оценки на порядок роста дают возможность отличить друг от друга (т, &)-радиальные решения при одинаковых т и различных к, за одним исключением: решения ск = 0иск = т различить не удалось.

В §1.2 вводится группа (72,А;А> где группа Сь порождена поворотом на В пункте 2 для них используется обычная теорема вложения. Далее доказывается оценка

МтАС)} < С (О).

Таким образом, эти решения при больших а не (2, &)-радиальны. Затем доказывается, что если решения с группой симметрий (7(2,ад) и различными £ совпадают при всех а, то они (2, /с)-радиальны, что противоречит предыдущей оценке. Таким образом, решения с различными £ различны, что доказывает теорему 2. Различить решения при различных к удается в силу того, что решения концентрируются в окрестности подпространства размерности п — к. Единственный случай, в котором не удалось доказать различие решений с такими симметриями, таков: ¿1 = 2, ¿2 = 4 и 2к2 — к\ = п. Таким образом, пункт 6 доказан.

В §1.3 исследуется эффект множественности решений при четных п, р > п и больших д. В качестве групп С//- выберем группы Я2■ Пункты 2 - 5 уже доказаны в предыдущих параграфах. Далее, решения с различными £ могут совпадать только в том случае, если они (2, &)-радиальны. Доказывается, что вторая вариация функционала J на минимайзере в классе (2, &)-радиальных функций не знакоопределена, и, следовательно,этот минимайзер не может быть минимайзером в классе (2, к, ¿)-инвариантных функций, а значит, для различных £ (2, к, ¿)-инвариантные минимайзеры различны при больших что доказывает теорему 3.

Отметим, что в работе [53] результаты теорем 1 и 2 распространяются на более общие краевые задачи.

В главе 2 рассматривается краевая задача (0.2) в трехмерном пространстве. Основной результат этой главы следующий:

Теорема 4. Пусть 1 < р < оо; п = 3ир<д<р*. Тогда для любого N 6 N существует Ддг = В-ы{Р",Р, я), такое, что при любом Я > Ддг существует не менее N неэквивалентных положительных решений задачи (0.2).

В §2.1 собраны некоторые вспомогательные утверждения. Множественность решений задачи (0.2) при п — Зир<д<р* доказывается по описанному алгоритму с использованием техники концентрации в §2.2.

Пусть группа 0к порождена вращениями на угол ^ в плоскости (жх, Х2) и отражением относительно плоскости Х2). У этой группы есть выделенные орбиты, порожденные, например, точками ТУд = (0, 0, Я) и Мд = (.Я, 0,0). Орбиту точки ЛГд будем называть полярной орбитой, орбиту Мд — экваториальной (так же мы будем называть орбиты всех точек, для которых хз = 0). Отметим, что полярная орбита имеет кратность 2, экваториальная орбита имеет кратность к, и орбиты всех остальных точек сферы имеют кратность 2к. Минимизируем функционал 3[и] = ЦУглЦ^ на множестве Ск — {г> € = 1, / ичйх ^ 1 — 5}, где А^ —

-инвариантное множество, содержащее Мц. В пункте 2 используется обычная теорема вложения Соболева. Пункт 3 доказывается стандартно. Пункт 4 доказывается следующим образом: сначала мы устанавливаем, о что последовательность функций, ограниченная в И^ (Пд) и отделенная от нуля в Ьд(£2д), обязательно имеет точки концентрации. Затем мы доказываем, что последовательность минимайзеров функционала J на множестве Си имеет не более чем одну последовательность концентрации в каждом из множеств ЕхЬА^ и дАх. После этого доказывается, что ни для какой последовательности минимайзеров не может быть выполнено условие / ияс1:тс = 1 — 5. Таким образом, пункт 4 доказан. Попутно доказывается, что минимайзеры при разных к имеют разное количество точек концентрации, что доказывает пункт 6. Пункты 5 и 7 доказываются стандартно.

В главе 3 рассматривается краевая задача (0.2) при четном п ^ 4. Основной результат этой главы следующий:

Теорема 5. Пусть 1 < р < оо; п ^ 4 четно и р < д < Тогда для любого N (Е N существует Длг = q), такое, что при любом Я >

Ду существует не менее N неэквивалентных положительных решений задачи (0.2).

Решения, которые строятся в теореме 5, даже при р £ (р,р*) отличаются от решений, построенных в [10], тем, что они концентрируются в окрестности не дискретного множества точек, а в окрестности некоторых кривых.

В §3.1 подробно рассматривается случай п — 4, в §3.2 рассматривается случай четного п ^ 6.

Именно, вводится некоторое семейство групп для каждой из которых орбита любой точки, кроме начала координат, имеет размерность 1.

Выбираются исключительные орбиты этих групп, для которых длина квалифицированно меньше длины любой орбиты в некоторой окрестности, и ^-инвариантное множество А^, содержащее некоторую исключительную орбиту. Далее на множестве Ck — {vE A/fc||M|g — lj f uqdx ^1 — 5} минимизируется функционал J [и] = || Результаты [31] гарантируют для ¿/¿-инвариантных функций необходимую в пункте 2 компактность вложения Сдк в при р < q < р*п 1. Пункт 3 доказывается стандартно. Затем мы доказываем, что последовательность минимайзеров функционала J на множестве Ck имеет не более чем одну последовательность орбит концентрации в каждом из множеств IntA^, Extи дА^. После этого доказывается, что ни для какой последовательности минимайзеров не может быть выполнено условие J uqdx — 1 — 5. Таким образом, пункт

А*

4 доказан. Попутно доказывается, что минимайзеры при разных к имеют разное количество компонент связности множества концентрации, что доказывает пункт 6. Пункты 5 и 7 доказываются стандартно.

Результаты диссертации докладывались на семинаре им. В.И. Смирнова по математической физике в Санкт-Петербургском отделении математического института им. В.А.Стеклова РАН (2007-2010), на семинаре по нелинейным дифференциальным уравнениям в Московском Государственном Университете (2008, 2010), на семинаре отдела теории функций Математического института им. В.А.Стеклова РАН (2010), на конференции NPDE-2007 (Алушта, 2007), на конференциях по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2008, 2010), на конференции Spring School in PDE (Лувен-ла-Нев, Бельгия, 2008).

Результаты диссертации опубликованы в работах [53] — [58].

Работа [54] опубликована в журнале из перечня ВАК. Работа [53] опубликована в журнале, удовлетворяющем достаточному условию включения в перечень ВАК (переводная версия этого журнала "Journal of Mathematical Sciences" входит в системы цитирования Springer и Scopus).

В работах [53, 55], написанных в соавторстве, научному руководителю А.И. Назарову принадлежит постановка задачи и общее руководство работой.

Работа поддержана грантами РФФИ № 08 - 01 - 00748 и НШ - 4210.2010.1.

Список обозначений

Под решением краевой задачи понимается обобщенное решение из проо странства Соболева Норму функции и в пространстве Ьр(0,) будем в дальнейшем обозначать ЦиЦр.

При 1 < р < оо обозначим р^ предельный показатель в теореме вложения Соболева в Ет: = — , где (а)+ = тах{а, 0}. р*п = р*

Ут \У у обычный предельный показатель вложения в Мп. Ари = с!1у (| Ум|р-2Угг) — р- лапласиан.

Для произвольной замкнутой подгруппы <3 группы вращений 0(п) обозначим вд(х,р) = {ду\у е В(х,р),д е 0}, где В(х,р) — открытый шар радиуса р с центром в х. Обозначим Сд о пространство (/-инвариантных функций из \¥р (О). Кратностью орбиты точки х под действием группы 0 будем называть количество компонент связности этой орбиты. группа перестановок. Матрицей перестановок мы будем называть матрицу (Ра)ч - к,<т{з), где о е Бп. COS íp sin ip

Tip = I у — sin (р cos <р матрица вращений в М2.

1п - единичная матрица размера п. Символ <8> означает кронекеровское произведение матриц, символ ф -прямую сумму. = од( 1) означает, что lim / = 0. Все функции с нижним индексом

R—> оо

R имеют носитель в Пд и считаются продолженными нулем на Mn \ Од.

Различные абсолютные (зависящие только от n, р, q) константы будем обозначать буквой С. В случае зависимости константы от других параметров они перечисляются в скобках.

Нам, кроме этого, понадобится неравенство а + b\s ^ К + C(s) (|а|а1|6| + |6|5), (0.7) верное для любых a,öeRN, s > 1.

1. C.B. Иванов, А.И. Назаров. О теоремах вложения Соболева с весом для функций с симметриями // Алгебра и анализ, Т. 18 (2006), N1, С. 108-123.

2. JI.B. Канторович, Г.П. Акилов. Функциональный анализ // Изд. 3, М., Наука (1984)

3. В. А. Кондратьев, Е. М. Ландис. О качественных свойствах решений одного нелинейного уравнения второго порядка // Матем. сб., Т.135(177), вып. 3 (1988) С.346-360.

4. В. А. Кондратьев. О положительных решениях слабо нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в цилиндрических областях // Тр. МИ АН, Т. 250 (2005) С.183-191.

5. В. А. Кондратьев. Об асимптотических свойствах решений полулинейных эллиптических уравнений второго порядка в цилиндрических областях // Труды семинара им. И.Г.Петровского No. 25 (2006), С.98-111.

6. Коньков А. А. Об оценках для решений квазилинейных эллиптических неравенств // УМН. Т. 50. Вып. 4 (304) (1995) С. 79.

7. O.A. Ладыженская, H.H. Уральцева. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа // Изд. 2, М., Наука (1973)

8. Э. Митидиери, С. И. Похожаев. Отсутствие положительных решений для квазилинейных эллиптических задач в Исследования по теории дифференцируемых функций многих переменных и ее приложениям. Часть 18 // Тр. МИАН, Т. 227, Наука, М. (1999), С. 192-222

9. А.И. Назаров. Об «одномерности» экстремали в неравенстве Фридрихса для сферического и плоского слоя, Пробл. мат. ан., Т.20 (2000), С.171-190.

10. А.И. Назаров. О решениях задачи Дирихле уравнения, содержащего р-лапласиан, в сферическом слое, Труды СПбМО, Т. 10 (2004), С.33-62.

11. А.И. Назаров. О симметричности экстремали в весовой теореме вложения, Пробл. мат. ан. Т.23 (2001), С.50-75.

12. С. И. Похожаев. О собственных функциях уравнения Аи + X/(и) = 0 // ДАН СССР, Т. 165, вып. 1 (1965), 36-39

13. С. И. Похожаев. О собственных функциях квазилинейных эллиптических задач // Матем. сб., Т.82(124), выи.2(6) (1970), 192-212

14. И. В. Скрыпник. Разрешимость и свойства решений нелинейных эллиптических уравненийю // Итоги науки и техн., Сер. Соврем, пробл. мат., Т.9, ВИНИТИ, М. (1976) С. 131-254

15. Сурначев М.Д. Асимптотическое поведение на бесконечности решений уравнения типа Эмдена-Фаулера // Вестник Московского Университета, серия 1 (математика, механика), N0.2 (2009), С.53-56.

16. М. Д. Сурначев, И. В. Филимонова. Существование положительных решений полулинейного недивергентного эллиптического уравнения в конической области // Дифференциальные уравнения, У.43, N0.1 (2007), С.138-140.

17. А.П. Щеглова. Множественность решений для краевой задачи с нелинейным условием Неймана, Пробл. мат. ан. Т.ЗО (2005), С.121-144.

18. Н. Brezis, L. Nirenberg. Positive solutions of nonlinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents // Comm. Pure Appl. Math. V.36 (1983), 437-477.

19. J. Byeon. Existence of many nonequivalent nonradial positive solutions of semilinear elliptic equations on three-dimensional annuli //J. Diff. Eq., V.136 (1997), P.136-165.

20. J. Byeon, Z.-Q. Wang. On the Henon equation: asymptotic profile of ground states. I, Ann. Inst. H.Poincare. Anal. Nonlin. V.23 (2006), P.803-828.

21. J. Byeon, Z.-Q. Wang. On the Henon equation: asymptotic profile of ground states. II // J. Diff. Eq., V.216 (2005), P.78-108.

22. D. Cao, S. Peng. The asymptotic behavior of the ground state solutions for Henon equation // J. Math. Anal. Appl., V.278 (2003), P. 1-17.

23. F. Catrina, Z.-Q. Wang. Nonlinear elliptic equations on expanding symmetric domains // J. Diff. Eq., V.156 (1999), P.153-181.

24. F. Catrina, Z.-Q. Wang. On the Caffarelli Kohn - Nirenberg inequalities: sharp constants, existence (and nonexistence), and symmetry of extremal functions // Comm. Pure Appl. Math., V.54 (2001), P.229-258.

25. C.V. Coffman. A non-linear boundary value problem with many positive solutions // J. Diff. Eq., V.54 (1984), P.429-437.

26. E. DiBenedetto. C1+a local regularity of weak solutions of degenerate elliptic equations // Nonlin. Anal., V.7 (1983), P.827-850.

27. U. Gianazza, M. Surnachev, V. Vespri. A new proof of the Ho lder continuity of solutions to p-Laplace type parabolic equations // Adv. Calc. Var., V.3 (2010), no. 3, 263-278.

28. B. Gidas, Wei Ming Ni, L. Nirenberg. Symmetry and related properties via the maximum principle // Comm. Math. Phys. Volume 68, Number 3 (1979), 209-243

29. M. Henon. Numerical experiments on the stability of spherical stellar systems, Astronomy & Astrophysics, V.24 (1973), P.229-238.

30. E. Hebey, M. Vaugon. Sobolev spaces in the presence of symmetries //J. Math. Pures Appl. V.76, No.9 (1997), 859-881

31. B. Kawohl // Rearrangements and convexity of level sets in PDE // Springer Lecture Notes in Math., V.1150, (1985).

32. B. Kawohl. Symmetry results for functions yielding best constants in Sobolev-type inequalities // Discr. and Cont.Dynam. Systems. V.6 (2000) N3, P.683-690.

33. Y.Y. Li. Existence of many positive solutions of semilinear elliptic equations on annulus // J. Diff. Eq., V.83 (1990), P.348-367.

34. S.-S. Lin. Existence of many positive nonradial solutions for nonlinear elliptic equations on an annulus // J. Diff. Eq., V.103 (1993), P.338-349.

35. P.L. Lions. The concentration-compactness principle in the calculus of variations. The locally compact case // Ann. Inst. H.Poincare. Anal. Nonlin. V.l (1984), P.109-145, 223-283.

36. A. Malchiodi. Consrtuzione di spike-layers multidimensionali // Bolletino U.M.I. V.8, N0.8-B (2005), 615-628

37. A. Malchiodi, W.-M. Ni, J. Wei. Multiple clustered layer solutions for semilinear Neumann problems on a ball // Ann. Inst. H.Poincare. Anal. Nonlin. V.22 (2005), P.143-163.

38. N. Mizoguchi, T. Suzuki. Semilinear elliptic equations on annuli in three and higher dimensions // Houston J. Math., V.l (1996), P.199-215.

39. R. Molle, D. Passaseo. Positive solutions of slightly supercritical elliptic equations in symmetry domains // Ann. I. H. Poincare, V.21 (2004), P.639-656.

40. R. Molle, D.Passaseo. Concentration phenomena for solutions of superlinear elliptic problems // Ann. Inst. H.Poincare. Anal. Nonlin. V.23 (2006), P.63-84.

41. Z. Nehari. On a class of nonlinear second-order differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. V.95 (I960), P. 101-123.

42. R.S.Palais. The principle of symmetric criticality // Comm. in Math. Phys. V. 69 (1979), P. 19-30.

43. G. Polya. Sur la symetrisation circulaire // CRASP, V.230 (1950), P.25-27.

44. E. Serra. Non radial positive solutions for the Henon equation with critical growth // Calc. Var. and PDE, V.23 (2005), P.301-326.

45. J. Serrin. A symmetry problem in potential theory // Arch. Ration. Mech. 43, 304-318 (1971)

46. D. Smets, J. Su, M. Willem. Non radial ground states for the Henon equation // Comm. Contemp. Math., V.4 (2002), P.467-480.

47. D. Smets, M. Willem. Partial symmetry and asymptotic behavior for some elliptic variational problems // Calc. Var., V.18 (2003), P.57-75.

48. P. Tolksdorf. Regularity for more general class of quasi-linear elliptic equations //J. diff. Eq., V.51 (1984), p.126-150.

49. N.Trudinger. On Harnack type inequalities and their application to quasilinear elliptic problems // Comm. in Pure ad Appl. Math. V. 20 (1967), P.721-747

50. J.L. Vazquez, L. Veron. Singularities of some elliptic equations with an exponential nonlinearity // Math. Annalen V.269, (1984) P.119-135.

51. J. Wei, S. Yan. Infinitely many solutions for the prescribed scalar curvature problem on S^ // Journal of Functional Analysis, V.258 (2010), P.3048-3081.Работы автора по теме диссертации.

52. С.Б. Колоницкий, А.И. Назаров. Множественность решений задачи Дирихле для обобщенного уравнения Хенона // Проблемы математического анализа. № 35. (2007) С.91-110.

53. С.Б.Колоницкий. Множественность решений задачи Дирихле для уравнения с р-лапласианом в трехмерном сферическом слое // Алгебра и анализ, Т.22, выпуск 3 (2010), С.206-221.

54. S.B. Kolonitskii, A.I. Nazarov. The multiplicity of positive solutions for the Dirichlet problem to the generalized Henon equation // Int. Conf. «NPDE-2007» dedic. to the memory of I.V. Skrypnik. Book of abstracts. Donetsk (2007) P.39.

55. S.B. Kolonitskii. Multiplicity of solutions to the Dirichlet problem for generalized Henon equation // Summer School in Nonlinear Partial Differential Equations, Université catholique de Louvain, Louvain-la-Neuve (2008) P.43-44.

56. С.Б.Колоницкий. Множественность решений задачи Дирихле для уравнения с р-лапласианом в трехмерном сферическом слое / / Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Владимир (2008) С. 135-136.

57. С.Б.Колоницкий. Множественность решений задачи Дирихле для уравнения с р-лапласианом с суперкритическим показателем / / Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. М. (2010) С. 103.