Модели пластичности при конечных деформациях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. СЕМЕЙСТВО НОВЫХ ТЕНЗОРНЫХ МЕР КОНЕЧНЫХ

ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ.

§ 1. Кинематика конечных деформаций. Классические тензоры деформаций и напряжений.

§2. Объективные тензорные меры деформаций и напряжений.

§3. Объективные производные. Связь с тензорными мерами конечных деформаций и напряжений.

§4. Объективные производные коротационного типа. Коротационные

§5. Новое семейство коротационных производных.

ГЛАВА II. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ПЛАСТИЧНОСТИ ПРИ КОНЕЧНЫХ

ДЕФОРМАЦИЯХ.

§1. Использование известных форм определяющих соотношений материалов при малых деформациях для описания механических свойств сред при конечных деформациях.

§2. Некоторые элементы теории определяющих соотношений.

§3. Обобщение определяющих соотношений на случай конечных деформаций.

§4. Модель гипоупругости.

§5. Обобщение теории малых упруго пластических деформаций.

§6. Обобщение теории процессов малой кривизны.

§7. Обобщение теории пластического течения с изотропным упрочнением.

§8. Обобщение теории пластического течения с кинематическим упрочнением.

§9. Обобщение теории пластического течения с изотропнокинематическим упрочнением.

§10. Обобщение моделей пластического течения с трехчленным дифференциальным уравнением для центра поверхности текучести.

ГЛАВА III. КИНЕМАТИКА ТИПИЧНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭКСПЕРИМЕНТАХ С ОДНОРОДНЫМ И НЕОДНОРОДНЫМ

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННЫМ СОСТОЯНИЕМ.

§1. Движение совместного простого сдвига и трехосного растяжения сжатия) плоского слоя.

§2. Движение одновременного растяжения и кручения сплошного цилиндра.

§3. Сравнение кинематики движения простого сдвига и одноосного растяжения плоского слоя и движения кручения-растяжения сплошного цилиндра.

§4. Построение траекторий деформации.

ГЛАВА IV. ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ.

§ 1. Общий вывод уравнений.

1. Растяжение - сдвиг плоского слоя.

2. Растяжение - кручение сплошного цилиндра.

§2. Гипоупругость.

1. Растяжение - сдвиг плоского слоя.

2. Растяжение - кручение сплошного цилиндра.

3. Численные эксперименты.

§3. Теория пластического течения с кинематическим упрочнением

1. Растяжение - сдвиг плоского слоя.

2. Растяжение - кручение сплошного цилиндра.

3. Численные эксперименты.

§4. Теория пластического течения с изотропно-кинематическим упрочнением.

1. Растяжение - сдвиг плоского слоя.

2. Растяжение - кручение сплошного цилиндра.

3. Численные эксперименты.

§5. Трехчленная теория пластического течения.

1. Растяжение - сдвиг плоского слоя.

2. Растяжение - кручение сплошного цилиндра.

3. Численные эксперименты.

§6. Предложения по согласованию полученных данных с экспериментом.

Проблема описания поведения материалов при конечных упругопластиче-ских деформациях в последние десятилетия приобретает все большее научное и прикладное значение в механике сплошной среды. Это вызвано как потребностями практики, так и логикой развития механики материалов. Процессы, происходящие в материалах в условиях больших деформаций и высоких давлений, широко распространены при обработке давлением, резанием, в химической технологии высоких давлений (инициирование и ускорение химических реакций и полиморфных превращений путем пластического сдвига при высоком давлении), в физических исследованиях, в геофизике, при трении. Таким образом, потребности современной инженерной практики, связанные с использованием новых материалов, с расчетами новых технологий, усложненных режимов работы конструкций и сооружений, сопровождающихся значительными деформациями, обусловливают необходимость развития и систематизации исследований свойств материалов при конечных деформациях.

Важный для современной технологии пластического формоизменения вопрос об определяющих соотношениях пластичности при конечных деформациях связан с общими подходами к изучению физических и математических основ описания механических свойств деформируемых сред. Основополагающая роль в создании и становлении определяющих соотношений деформируемых сред принадлежит фундаментальным работам А.А.Ильюшина [1825], обобщающим известные к 50 гг. исследования по пластичности и выражающим основу современного подхода к построению определяющих соотношений сред при малых и конечных деформациях в лагранжевом (материальном, отсчетном) описании. В работах У.Нолла [104-106] дан общий теоретический подход к построению определяющих соотношений сред при произвольных конечных деформациях в описании с точки зрения пространственного наблюдателя. Определяющие соотношения А.А.Ильюшина и У.Нолла являются основой современных теоретико-экспериментальных исследований механических свойств материалов.

Дальнейшее развитие теории связано с тензорным представлением механических характеристик (процессов и состояний), прежде всего, конечных деформаций и напряжений, с основами теории и общими приведенными формами связей между этими тензорами в определяющих соотношениях. Общие вопросы представления механических характеристик тензорами различных типов рассмотрены, например, в работах [78, 94, 107]. Исследования упругопластических процессов деформирования сред при конечных деформациях развиваются по нескольким направлениям. В первую очередь, существуют теории, учитывающие и не учитывающие упругую часть деформаций. К последним можно отнести, например, теорию Сен-Венана, некоторые теории вязкопластических течений. Если же теория учитывает упругие составляющие при конечных упругопластических дформациях, то возникает вопрос, как это сделать. Соответственно, в существующих теориях больших упругопластических деформаций исходным пунктом построения определяющих соотношений теории является разделение полных деформаций и скоростей деформации на упругую и пластическую составляющие. При этом предлагаются два основных типа разложения деформаций: аддитивное [70, 92] и мультипликативное [95, 96]. Аддитивное разложение тензора полных деформаций, предложенное Грином и Нахди [92], находит применение в сочетании с лагранжевой формулировкой задач теории больших упругопластических деформаций. Другой подход к разделению деформаций на упругие и пластические, предложенный E.H.Lee [95, 96], связан с определением тензоров деформаций через градиент места (аффинор), для которого принимается мультипликативное разложение на упругую и пластическую составляющие.

В целом исследования процессов и определяющих соотношений при конечных деформациях [6-13, 15, 44, 46, 52, 54, 58, 63, 64, 70, 71, 77, 79, 80, 8186, 90-92, 95-99, 100-105, 108-115] основываются в первую очередь на известных классических моделях для малых деформаций [17-37, 45, 47, 48, 51, 68, 69, 71, 76, 81, 84, 90]. В частности, одним из способов моделирования свойств пластичности при конечных деформациях является обобщение известных для случая малых деформаций моделей пластичности, в том числе моделей пластического течения [1, 18-37, 45, 47-49, 52, 57, 68, 69, 76, 81] на область больших деформаций. Такое обобщение предусматривает, как правило, сохранение формы определяющих соотношений, смысла входящих в них тензоров истинных напряжений и скоростей деформаций. При этом обычно такое обобщение происходит путем использования в моделировании определяющих соотношений различного вида так называемых объективных производных [6-13, 15, 44, 58, 64, 66, 67, 70, 72, 75, 77, 79, 80, 82-87, 90-92, 94-103, 108-115], которые берутся в качестве характеристики скорости изменения левых (пространственных) тензоров, и замещают собой материальные производные тензоров по времени в исходных моделях. При этом рассматривались лишь отдельные (известные исследователям) объективные производные, например, Яуманна, Коттер и Ривлина, Олдройда, Трусделла, «нейтральная» производная; систематическая реализация такого подхода отсутствовала. Последующее развитие теоретических исследований конечных деформаций привело к возможности построения, анализа и использования целых классов тензорных мер напряжений и конечных деформаций, что выдвигает на передний план актуальную теоретическую задачу упорядочения указанного подхода к построению моделей пластичности при конечных деформациях, систематизации его применения за счет целенаправленного рассмотрения определенных классов (семейств) тензорных мер. Таким образом, при конечных деформациях решающую роль играет выбор объективной производной, который естественным образом [6] порождает соответствующий вид тензорной меры конечной деформации и сопряженной ей тензорной меры напряжений. В дополнение к известным мерам [15, 18, 51, 72, 78] некоторыми исследователями предлагаются [8, 75, 94] голономные меры деформаций, но сложность их связи с тензором скоростей деформаций затрудняет построение энергетически сопряженных мер напряжений. В работах [7, 44, 52, 58] представлены энергетически сопряженные как голономные, так и неголо-номные меры деформаций и напряжений, в [9, 10] - целые семейства таких мер, включающие известные меры из [7, 8, 15, 18, 51, 58, 72, 75, 78, 94].

В 1903 году Заремба ввел свою производную для плоского случая деформации. Семью годами позже Яуманн рассмотрел эту производную для произвольного пространственного процесса больших деформаций, после чего ее стали называть его именем. Наряду с моделями гипоупругости и пластического течения, основанными на производной Яуманна, изучались определяющие соотношения, использовавшие и другие объективные производные [14, 52, 54, 66, 67, 70, 73, 83, 85-87, 108]. Но выбор объективной производной при посторении определяющих соотношений среды при конечных деформациях может привести к «аномальным» проявлениям, которые можно трактовать как нефизичное поведение модели. О неоправданности необдуманного использования объективной производной Яуманна в указанного выше рода обобщениях моделей пластического течения на конечные деформации предупреждали еще В.Прагер [66] и Л.И.Седов [73], предлагая либо модифицировать при этом форму определяющих соотношений, либо вообще использовать другие объективные производные. Действительно, при использовании производной Яуманна в определяющих соотношениях модели пластического течения при движении простого сдвига проявляется «аномалия» поведения компонент тензора напряжений, выражающаяся в колебательном характере их зависимости от степени сдвига. В 1982 году Де Джонг и Нагтегаал при использовании производной Яуманна в определяющих соотношениях модели пластического течения при движении простого сдвига обнаружили описанную выше «аномалию» поведения компонент тензора напряжений, и опубликовали свои результаты [100]. Таким образом, эта «аномалия», известная исследователям и ранее, получила широкое обсуждение в научной литературе. Появилось множество публикаций, содержащих попытки избежать этой «аномалии» в основном путем использования определяющих соотношений гипоупругости и пластического течения, основанных на использовании других объективных производных. В частности, разные исследователи независимо друг от друга неоднократно обращались к так называемой «нейтральной» производной, которая впервые была предложена Д.К.Динсом [87]. Исследовались особенности этих производных и их влияние на свойства моделей гипоупругости и пластичности при конечных деформациях [85, 93, 97, 110].

Таким образом, встал вопрос о систематизации исследований объективных производных. В 1984 году С.Н.Этлури [83] впервые рассмотрел возможность применения разного типа производных в определяющих соотношениях гипоупругости и пластического течения. Он получил определяющие соотношения, обобщив обычные линейные определяющие соотношения гипоупругости путем включения в них некоторых членов нелинейности, и показал, что в этом случае для получения неосциллирующего решения задачи о простом сдвиге можно использовать любую из коротационных производных (в том числе и производную Яуманна). В 1978 году и позже А.А.Ильюшин в своих книгах по механике сплошных сред [18] рассматривал известные предложенные объективные производные, а также предложил вариант обобщений теории упругопластических процессов (постулата изотропии) на конечные деформации. Другие варианты были предложены В.И.Левитасом [44],

А.А.Поздеевым, П.В.Трусовым, Ю.И.Няшиным [64], Л.А.Толоконниковым и А.А.Маркиным [52, 77], Г.Л.Бровко [6-12], П.А.Моссаковским [53, 54].

В 1990 году Г.Л.Бровко рассмотрел [11] широкий класс производных кон-вективно-коротационного типа (пространственное и материальное представление): были изучены их свойства и показано, что ранее предложенные производные Яуманна, Коттер-Ривлина, Олдройда, Трусделла, нейтральная производная Динса и «косые» производные Седова принадлежат этому классу производных. В том же году в [6] понятие объективной производной было расширено на тензоры различных рангов (скаляры, векторы и тензоры второго ранга) и разных типов объективности. Кроме того, было показано [6, 9], что выбор объективной производной естественным образом порождает соответствующий вид тензорной меры конечной деформации и сопряженной ей тензорной меры напряжений; специально было выделено семейство чисто коротационных производных, обладающими наиболее богатым набором замечательных свойств.

В [79] на основе производной Яуманна было построено семейство новых объективных производных коротационного типа левых тензоров, параметризованное параметром j=const. Также было рассмотрено семейство такой же конструкции, но с параметром j экспоненциального вида. Используя новые производные в моделировании определяющих соотношений, в [13, 79, 80, 90] на примере движения простого сдвига плоского слоя было исследовано поведение соответствующих моделей гипоупругости и пластического течения с кинематическим упрочнением простейшего вида при конечных деформациях, и изучен вопрос о влиянии их использования в определяющих соотношениях гипоупругости и пластического течения с кинематическим упрочнением на наличие и отсутствие «аномалии» колебаний напряжений при простом конечном сдвиге плоского слоя. В результате из введенного семейства были выделены производные как вызывающие, так и исключающие указанную аномалию поведения компонент тензора напряжений Коши при простом сдвиге плоского слоя.

Настоящая работа посвящена развитию математических элементов теории определяющих соотношений пластичности при конечных деформациях, разработке и реализации метода, который, будучи основанным на использовании тензорных мер конечных деформаций и напряжений различных типов, позволяет обобщать определяющие соотношения, имеющие место при малых деформациях, на случай конечных деформаций. В качестве характеристики скорости изменения левых тензоров предлагается к использованию семейство объективных производных по времени коротационного типа, включающее известные производные Яуманна и Динса (нейтральную). На его основе построено соответствующее семейство энергетически сопряженных тензорных мер напряжений и конечных деформаций, представленное их материальными и пространственными аналогами, исследованы их свойства. Предлагается метод корректного формального обобщения известных при малых деформациях определяющих соотношений (алгебраического и дифференциального типов) на конечные деформации. Указанный метод систематически использует материальные и пространственные аналоги введенных тензорных мер, сохраняет математическую форму определяющего соотношения, обеспечивает выполнение принципа материальной объективности, а также предоставляет дополнительные возможности удовлетворения экспериментальных данных за счет выбора конкретной коротационной производной (пары тензорных мер напряжений и деформаций) из введенного семейства. Последнее позволяет, в частности, исключить проявление известной «аномалии» напряжений, свойственной подобным моделям с производной Яуманна. Предложенным методом построены для конечных деформаций обобщения известных моделей пластичности с поверхностями текучести (кинематическое, изотропное и изотропно-кинематическое упрочнение), деформационной модели, модели пластичности малой кривизны, модели Сен-Венана. В терминах введенных тензорных мер дано описание процессов конечной деформации одновременного трехосного растяжения и сдвига плоского слоя, а также одновременного растяжения и кручения круглого сплошного цилиндра из несжимаемого материала, построены соответствующие траектории деформации в пространстве Ильюшина. Для этих процессов в рамках построенных моделей пластичности выведены уравнения для описания напряженно-деформированного состояния, разработаны программы и проведены численные расчеты, моделирующие поведение этих тел в указанных процессах (численные эксперименты). Продемонстрировано существенное влияние выбора пары тензорных мер напряжений и деформаций из введенного семейства на свойства модели материала. Для исследуемых моделей рассмотрены возможные подходы к проведению необходимых определяющих экспериментов по выбору тензорных мер.

В первой Главе рассматривается кинематика деформируемой среды, выделяются два типа объективности тензоров, приводится обзор существующих объективных производных и мер деформации, как голономных, так и него-лономных. Даются определения объективной производной, объективной производной коротационного типа, их свойства и примеры известных производных. Также строится новое параметрическое семейство объективных производных коротационного типа, охватывающего как частные случаи известные "нейтральную" производную Динса и производную Яуманна. Вводятся соответствующие указанным производным правые и левые меры деформаций, скоростей деформаций и напряжений, и связь между ними.

Во второй Главе предлагается метод построения определяющих соотношений материалов при конечных деформациях, в терминах введенных в Главе I и правых, и левых коротационных мер; приводятся элементы теории определяющих соотношений. Построены обобщения на конечные деформации известных моделей пластичности с определяющими соотношениями алгебраического типа (деформационная модель, модель пластичности малой кривизны) и дифференциального типа (модели пластического течения с поверхностями текучести с кинематическим, изотропным и изотропно-кинематическим упрочнением). В следующих Главах на примере двух движений демонстрируется разнообразие получаемых таким образом моделей пластического течения с кинематическим упрочнением при конечных деформациях.

В Главе III, в терминах введенных тензорных мер, дано описание процессов конечной деформации одновременного трехосного растяжения и сдвига плоского слоя, а также одновременного растяжения и кручения круглого сплошного цилиндра из несжимаемого материала. Рассматривается и сравнивается друг с другом кинематика этих движений. Кроме этого, строятся соответствующие траектории деформации для введенных в Главе I пар правых мер.

В Главе IV для исследованных в предыдущей Главе процессов (в рамках некоторых из построенных в Главе II моделей пластичности) выведены уравнения для описания напряженно-деформированного состояния тела (слоя, цилиндра). Разработаны программы и проведены численные расчеты, моделирующие поведение этих тел в указанных процессах (численные эксперименты). Расчеты проведены для монотонных процессов деформации в диапазоне степеней деформаций до 600% и более. Кроме этого, рассмотрены некоторые возможные подходы к проведению необходимых определяющих экспериментов для исследуемых моделей. В качестве результатов численных экспериментов по указанным моделям для движения совместного сдвига и одноосного растяжения плоского слоя приводятся графики зависимостей ненулевых компонент тензора напряжений Коши от степени сдвига, полученные численно из соответствующих систем дифференциальных уравнений. В качестве результатов численных экспериментов по указанным моделям для произвольного фрагмента сплошного цилиндрического образца получены графики зависимостей компонент тензора истинных напряжений Коши от степени растяжения и крутки; кроме этого, для некоторых заданных режимов совместного растяжения и кручения цилиндра построены графики зависимостей растягивающей силы и крутящего момента от времени.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы представленной работы.

Таким образом, основными задачами настоящей работы являются следующие:

1) построение нового семейства пар энергетически сопряженных правых (материальных) и левых (пространственных) тензорных мер напряжений и конечных деформаций коротационного типа, исследование их основных свойств;

2) разработка метода построения определяющих соотношений пластичности при конечных деформациях путем корректного (отвечающего принципу материальной объективности и постулату макроскопической определимости) формального обобщения соотношений, известных при малых деформациях, на область конечных деформаций с систематическим использованием правых и левых аналогов введенных тензорных мер;

3) применение предложенного метода к известным при малых деформациях соотношениям пластичности (алгебраического и дифференциального типов) и построение соответствующих семейств обобщений этих соотношений на конечные деформации, выраженных в терминах как правых, так и левых тензорных мер напряжений и конечных деформаций;

4) представление в терминах введенных тензорных мер процессов конечной деформации в типичных экспериментах по пластичности с однородным и неоднородным напряженно-деформированным состоянием образцов: сравнительное изучение одновременного трехосного растяжения и сдвига плоского слоя и одновременного растяжения-кручения сплошного цилиндра при больших деформациях;

5) исследование основных свойств построенных семейств моделей пластичности, выявление степени влияния выбора тензорных мер (коро-тационных производных) на поведение модели в широком диапазоне больших пластических деформаций в простейших численных экспериментах с плоским слоем и сплошным цилиндром.

За обсуждение результатов работы, замечания, консультации и поддержку автор благодарит Г.Л.Бровко, И.А.Кийко, Д.Л.Быкова, Р.А.Васина, И.Н.Молодцова, других преподавателей и сотрудников кафедры теории упругости, а также А.А.Маркина и П.А.Моссаковского. Особую признательность автор выражает своему научному руководителю Г.Л.Бровко, благодаря чуткому руководству которого была написана эта работа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в диссертационной работе предложен и реализован метод, позволяющий обобщать определяющие соотношения пластичности, имеющие место при малых деформациях, на область конечных деформаций, используя при этом тензорные меры конечных деформаций и напряжений различных типов.

В работе введено новое семейство объективных коротационных производных и соответствующее семейство энергетически сопряженных тензорных мер напряжений и конечных деформаций. Для известных при малых деформациях соотношений пластичности (дифференциального типа) предложена методика их корректного формального обобщения на конечные деформации, использующая материальные и пространственные аналоги введенных тензорных мер, сохраняющая математическую форму определяющего соотношения, обеспечивающая выполнение принципа материальной объективности, а также предоставляющая дополнительные возможности удовлетворения экспериментальных данных за счет выбора конкретной коротационной производной (пары тензорных мер напряжений и деформаций) из введенного семейства, что, в частности, позволяет исключить проявление известной «аномалии» напряжений, свойственной подобным моделям с производной Яуманна. Предложенным методом построены для конечных деформаций обобщения известных моделей пластичности с поверхностями текучести (кинематическое, изотропное и изотропно-кинематическое упрочнение), деформационной модели, модели пластичности малой кривизны.

В терминах введенных тензорных мер дано описание процессов конечной деформации одновременного трехосного растяжения и сдвига плоского слоя, а также одновременного растяжения и кручения круглого сплошного цилиндра из несжимаемого материала, построены соответствующие траектории деформации в пространстве Ильюшина. Для этих процессов в рамках построенных моделей пластичности выведены уравнения для описания напряженно-деформированного состояния, разработаны программы и проведены численные расчеты, моделирующие поведение этих тел в указанных процессах (численные эксперименты). Продемонстрировано существенное влияние выбора пары тензорных мер напряжений и деформаций из введенного семейства на свойства модели материала. Для исследуемых моделей рассмотрены возможные подходы к проведению необходимых определяющих экспериментов по выбору тензорных мер.

1. Белл Дж. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. 4.1. Малые деформации. М.: Наука, 1984. 600 с.

2. Белл Дж. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел, 4.2. Конечные деформации. М.: Наука, 1984. 432 с.

3. Бондарь B.C. Решение нелинейных задач сложного нагружения оболочек вращения. // Расчеты на прочность и жесткость: Межвуз. сб./ М.: Мосстанкин, 1982. Вып. 4. Сс. 85-95.

4. Бондарь B.C., Титарев И.А. Вариант теории пластичности для пропорциональных и непропорциональных циклических нагружений. Проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сб. Вып. 63. Нижний Новгород: изд-во Нижегородского госуниверситета, 2001. Сс. 5-17.

5. Бондарь B.C. Вариант теории пластичности при сложном нагружении. Устойчивость и пластичность в МДТТ. Материалы IV международного научного симпозиума. Тверь, 16-19 июня 1998г. Тверь: ТГТУ,1999. Сс. 63-71.

6. Бровко Г.Л. Материальные и пространственные представления определяющих соотношений деформируемых сред. ПММ, 1990. Т.54. Вып. 5. Сс. 814-824.

7. Бровко Г.Л. Некоторые подходы к построению определяющих соотношений пластичности при больших деформациях. В кн.: Упругость и неупругость. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. Сс. 68-81.

8. Бровко Г.Л. Об одном семействе голономных тензорных мер деформаций и напряжений. Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика., №4, 1992. Сс 86-91.

9. Бровко Г.Л. Понятия образа процесса и пятимерной изотропии свойств материалов при конечных деформациях. Докл. АН СССР, 1989. Т. 308. № 3. Сс. 565-570.

10. Бровко Г.Л. Развитие математического аппарата и основ общей теории определяющих соотношений механики сплошной среды. Автореф. дисс. . д-ра физ.-мат. наук. М.: 1996. 32с.

11. Бровко Г.Л. Свойства и интегрирование некоторых производных по времени от тензорных процессов в механике сплошной среды. Известия АН СССР. Механика твердого тела, 1990. № 1. Сс. 54-60.

12. Бровко Г.Л. Следствия постулата макроскопической определимости для различных мер деформаций и напряжений. Проблемы механики деформируемого твердого тела: межвуз. сб. науч. тр./Калинин. политехи. ин-т. Калинин: КГУ, 1986. Сс. 96-102.

13. Васин Р.А., Ильюшин А.А., Моссаковский П.А. Исследование определяющих соотношений и критериев разрушения на сплошных и толстостенных трубчатых цилиндрических образцах. Изв. РАН. МТТ. 1994. №2. Сс. 177-184.

14. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. 456 с.

15. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. М.: Наука, 1979. 760 с.

16. Жермен П. Механика сплошных сред. М.: Высшая школа, 1983. 399 с.

17. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. 310 с. (См. также: М.: 1965-1966; М.: 1971; М.: 1978.)

18. Ильюшин А.А. О приращении пластической деформации и поверхности текучести. Прикладная математика и механика* 1960. Вып. 4, №24. Сс. 663-666.

19. Ильюшин А.А. О связи между напряжениями и малыми деформациями в механике сплошных сред. ПММ, 1954. Т. 18. Вып. 6. Сс. 641666.

20. Ильюшин А.А. Об основах общей математической теории пластичности // Вопросы теории пластичности. М.: Изд-во АН УССР, 1961. Сс. 3-29.

21. Ильюшин А.А. Пластичность. 4.1. Упругопластические деформации. M.-JL: ГИТТЛ, 1948. 376с.

22. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 271 с.

23. Ильюшин А.А., Ленский B.C. Сопротивление материалов. М.: Физ-матгиз, 1959. 371 с.

24. Ильюшин А.А., Ленский B.C. О соотношениях и методах современной теории пластичности. В кн.: Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975. Сс. 240-255.

25. Ильюшин А.А., Ломакин В.А., Шмаков А.П. Задачи и упражнения по механике сплошных сред. М.: Изд-во Московского ун-та, 1973. 200 с.

26. Ишлинский А.Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочнением. Укр. матем. журн., №3, 1954. Сс. 314-325.

27. Ишлинский А.Ю. Прикладные задачи механики. Книга 1. Механика вязкопластических и не вполне упругих тел. М.: Наука, 1986. 360 с.

28. Кадашевич Ю.И. О различных тензорно-линейных соотношениях в теории пластичности // Исследования по упругости и пластичности / Л.: Изд-во ЛГУ, 1967. Вып. 6. Сс. 39-45

29. Кадашевич Ю.И., Клеев B.C. Об одной гипотезе В.В.Новожилова. Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения: Всесоюзный межвуз. сб. /Горьковский университет, 1990. Сс. 11-17.

30. Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Теория пластичности и ползучести, учитывающая наследственные свойства и влияние скорости пластического деформирования на локальный предел текучести материала // ДАН СССР, 1978. Т. 238, №1. Сс. 36-38.

31. Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Теория пластичности, учитывающая остаточные микронапряжения // ПММД958. Т. 22, вып. 1. Сс. 7889.

32. Качанов JI.M. Основы теории пластичности. М.: Гостехиздат, 1956. Переизд.: М.: Наука, 1969. 420 с.

33. Кийко И.А. Теория пластического течения. М.: Изд-во Московского ун-та, 1978. 75 с.

34. Кийко И.А. Теория пластического течения (в приложении к процессам обработки металлов давлением). В кн.: Вопросы прочности и пластичности. М.: Изд-во Московского ун-та, 1984. Сс. 53-64.

35. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979. 207 с.

36. Клюшников В.Д. Физико-математические основы прочности и пластичности. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1994. 189 с.

37. Койтер В.Т. Общие теоремы теории упруго-пластических сред. М.: Иностранная Литература, 1961. 80 с.

38. Коларов Д., Балтов А., Бончева Н. Механика пластических сред. М.: Мир, 1979. 302 с.

39. Кондауров В.И. Конечные деформации упруговязкопластических сред. Автореф. дисс. . докт. физ.-мат. наук. М., 1987. 44 с.

40. Кондауров В.И., Никитин JI.B. Теоретические основы реологии геоматериалов. М.: Наука, 1990. 205 с.

41. Коротких Ю.Г. О базовом эксперименте для модели термовязкопластично-сти // Прикладные проблемы прочности и пластичности: Всесоюзный межвуз. сб. / Горьковский университет, 1977. Вып. 6. Сс. 3-20.

42. Кукуджанов В.Н. Неустановившиеся задачи динамики упругопласти-ческих сред. Автореф. дисс. . докт. физ.-мат. наук. М., 1981. 35 с.

43. Левитас В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении. Киев: Наукова думка, 1987. 231 с.

44. Лейбензон Л.С. Элементы математической теории пластичности. М.-Л.: ОГИЗ, ГИТТЛ, 1943. 112 с.

45. Леманн Т. О теории больших неизотермических упругопластических и упруго-вязкопластических деформаций. В кн.: Проблемы теории пластичности. М.: Мир, 1976. Сс. 69-90.

46. Ленский B.C. Введение в теорию пластичности. Вып. 1. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1968. 109 с. Вып. 2 . М.: Изд-во Моск. ун-та, 1969. 91 с.

47. Ленский B.C., Ленский Э.В. Трехчленное соотношение общей теории пластичности. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1985. №4. Сс. 111-115.

48. Ленский B.C. Физическая достоверность в современной теории пластичности. В кн.: Упругость и неупругость. 4.1. М.: Изд-во Моск. унта, 1993. Сс. 95-119.

49. Ленский B.C. Экспериментальная проверка законов изотропии и запаздывания при сложном нагружении. Изв. АН СССР. ОТН, 1958. №11. Сс. 15-23.

50. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

51. Маркин А.А. Вариант определяющих соотношений и постановка граничных задач при конечных упругопластических деформациях. Авто-реф. дисс. . д-ра физ.-мат. наук. М.: 1988. 38с.

52. Моссаковский П.А. Постулат изотропии в классах физически эквивалентных процессов. Автореф. дисс. . к-та физ.-мат. наук. М.: АО «Диалог-МГУ», 1996. 18с.

53. Моссаковский П.А. О новой формулировке постулата изотропии. Вестн. Моск. ун-та. Матем., механ., 1996. №5. Сс. 68-74.

54. Муравлев А.В. Экспериментальное построение функционалов пластичности для траекторий деформаций типа двухзвенных ломаных в опытах на сплошных цилиндрических образцах. Вестн. Моск. ун-та. Матем., механ., 1996. №5. Сс. 74-80.

55. Новожилов В.В. О сложном нагружении и перспективах феноменологического подхода к исследованию микронапряжений // ПММ, 1964. Т. 28, вып. 3. Сс. 393-400.

56. Новожилов В.В., Черных К.Ф. Об "истинных" мерах напряжений и деформаций в нелинейной механике деформируемого тела. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1987. №5. Сс. 73-80.

57. Огибалов П.М., Кийко И.А. От упругости к неупругости. В кн.: Проблемы механики деформируемого твердого тела. Калинин: Изд-во Калининского ун-та, 1986. Сс. 24-34.

58. Олыпак В., Мруз 3., Пэжина П. Современное состояние теории пластичности. М.: Мир, 1964. 244 с.

59. Победря Б.Е. К теории определяющих соотношений в механике деформируемого твердого тела. В кн.: Упругость и неупругость. 4.1. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1993. Сс. 119-127.

60. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во Московского ун-та, 1986. 263 с.

61. Победря Б.Е. Понятие простого процесса при конечных деформациях // Прочность и пластичность. М.: Наука, 1971. Сс. 129-135.

62. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластиче-ские деформации. М.: Наука, 1986. 232 с.

63. Постников М.М. Лекции по геометрии. 4.1. Аналитическая геометрия. 4.2. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия. М.: Наука. 4.1. 1986. 414 с. 4.2. - 1986. 399 с.

64. Прагер В. Элементарный анализ определений скорости изменения напряжений // Сб. пер. и обзоров иностр. период, лит. Механика, 1960. №З.Сс. 69-74.

65. Прагер В. Конечные пластические деформации // Реология / Под. ред. Ф.Эйриха. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. Сс. 86-126.

66. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. М.: Изд-во иностр. лит., 1963.312 с.

67. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.

68. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962. 284 с.

69. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1973. Т.1. 536 с. Т.2.-584 с.

70. Седов Л.И. О понятиях простого нагружения и возможных путях деформации. ПММ, 1959. Т. 23. Вып. 2. Сс. 400-402.

71. Седов Л.И. Понятие разных скоростей изменения тензоров. ПММ, 1960. Т. 24. Вып. 3. Сс. 393-398.

72. Седов Л.И., Эглит М.Э. Построение неголономных моделей сплошной среды с учетом конечности деформаций и некоторых физико-химических эффектов. ДАН СССР, 1962. Т. 142. 1. Сс. 54-57.

73. Сетх Б.Р. Понятие меры деформации в технике высокоскоростного деформирования. В кн.: Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975. Сс. 528-531.

74. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. М.: Высшая школа, 1979. 318 с.

75. Толоконников Л.А., Маркин А.А. Определяющие соотношения при конечных деформациях. В кн.: Проблемы механики деформируемого твердого тела: межвуз. сб. науч. тр. / Калинин, политехи, ин-т. Калинин: КГУ, 1986. Сс. 49-57.

76. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975, 592 с.

77. Финошкина А.С. Использование новых объективных производных в простейших моделях гипоупругости и пластического течения с кинематическим упрочнением. В сб.: Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика 2000. Т. 6. Вып. 2. Сс. 160-166.

78. Финошкина А.С. Моделирование пластического течения с кинематическим упрочнением при конечных деформациях. Всероссийская научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики»: тезисы докладов. ТулГУ, Тула, 2002. С. 149.

79. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехиздат, 1956г. 407 с. (перев. С англ.: The mathematical theory of plasticity by R. Hill. Oxford, At the Clarendon Press, 1950)

80. Черных К.Ф. Введение в анизотропную упругость. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 192 с.

81. Atluri S.N. On constitutive relations at finite strain: hypoelasticity and elastoplasticity with isotropic or kinematic hardening. Сотр. Meth. Appl. Mech. and Eng., 1984. V.43. No 2. Pp. 137-171.

82. Brovko G.L. Invariance types of tensors, tensor processes and their transforms in classical continuum mechanics. Proceedings of the 5th International Seminar: Geometry, Continua & Microstructures. Sinaia, Romania, 2001. Pp. 13-24.

83. Cotter B.A., Rivlin R.S. Tensors associated with time-dependent stress. Quart. Appl. Math., 1955. V. 13. No2. Pp. 177-188.

84. Dafalias Y.F. Corotational rates for kinematic hardening at large plastic deformations. Trans. ASME: Journ. Appl. Mech., 1983. V.50. №3. Pp. 561-565

85. Dienes J.K. On the analysis of rotation and stress rate in deforming bodies. Acta Mech., 1979. V.32. №4. Pp. 217-232.

86. Durban D. Simple shear at finite strain of anisotropic plastic solids. Eur. Journ. Mech. A/Solids, 1994. V.13. №>6. Pp. 783-792.

87. Eringen A.C. Elastodynamics. Inc. (London) Ltd: Academic Press, 1974. V.l. 341 p.

88. Finoshkina A.S. Usage of the new objective derivatives in models of plasticity at finite strain: the theory and numerical experiments. V International Congress on Mathematical Modeling: Book of Abstracts, Vol. 1, JINR, Dubna, 2002. P. 35.

89. Green A.E., Naghdi P.M. A general theory of elastic-plastic continuum. Arch. Rat. Mech. Anal., 1965. V.18. №4. Pp. 251-281.

90. Green A.E., Naghdi P.M. Some remarks on elastic-plastic deformation at finite strain. Int. Journ. Eng. Sci., 1971. V.9. №12. Pp. 1219-1229.

91. Gurtin M.E., Spear K. On the relationship between the logarithmic strain rate and the stretching tensor// Int. J. Sol. Struct, 1983. V. 19, №5. pp. 437-444.

92. Hill R. Aspects of invariance in solid mechanics // Adv. Appl. Mech., 1978. 18. Pp. 1-75.

93. Lee E.H. Elastic-plastic deformation at finite strains. Trans. ASME: Journ. Appl. Mech., 1969. V.36. №1. Pp. 1-6.

94. Lee E.H. Some comments on elastic-plastic analysis. Int. Jorn. Sol. and Struct., 1981. V.17. №10. Pp. 859-872.

95. Lee E.H., Mallett R.L., Wertheimer T.B. Stress analysis for anisotropic hardening in finite-deformation plasticity. Trans. ASME: Journ. Appl. Mech., 1983. V.50. №3. Pp. 554-560.

96. Metzger D.R., Dubey R.N. Corotational rates in constitutive modeling of elastic-plastic deformations. Int. Journ. Plast., 1987. V.3. №4. Pp. 341-368.

97. Miyauchi K. Deforming behavior of sheet metals in planar simple shear deformation. Sci. Pap. Inst. Phys. and Chem. Res., 1987. Y.81. №2. Pp. 27-38.

98. Nagtegaal J.C., de Jong J.E. Some aspects of nonisotropic work hardening in finite strain plasticity. Plasticity of metals at finite strain: Theory, Experiment and Computation. Stanford Univ. and Dept. Mech. Eng., R.P.I., 1982. Pp. 65-102.

99. Nemat-Nasser S. Decomposition of strain measures and their rates in finite deformation elastoplasticity. Int. Journ. Solids and Struct., 1979.V.15. №2. Pp. 155-166.

100. Nemat-Nasser S. On finite deformation elasto-plasticity. Int. Journ. Sol. and Struct., 1982. V.18. №10. Pp. 857-872.

101. Noll W. A mathematical theory of the mechanical behavior of continuous media. Arch. Rat. Mech. Anal., 1958. V.2. Pp. 197-226.

102. Noll W. A new mathematical theory of simple materials. Arch. Rat. Mech. and Anal., 1972. V.48. №1. Pp. 1-50.

103. Noll W. Lectures on the foundations of continuum mechanics and thermodynamics. Arch. Rat. Mech. and Anal., 1973. Y.52. №1. Pp. 62-92.

104. Ogden R.W. On eulerian and lagrangean objectivity in continuum mechanics. Arch. Mech., 36, 2, Warszawa, 1984. Pp. 207-218.

105. Oldroyd J.G. On the formulation of rheological equations of state. Proc. Roy. Soc. London. A., 1950. V.200. Pp. 523-541.

106. Reed K.W., Atluri S.N. Constitutive modeling and computational implementation for finite strain plasticity. Int. Journ. Plast., 1985. V.I. №1. Pp. 6387.

107. Seth B.R. Generalized strain measures with applications to physical problems. In: Second Order Effects in Elasticity, Plasticity and Fluid Dynamics (edited by M. Reiner and D. Abir). Oxford: Pergamon Press, 1964. Pp. 162-172.

108. Simo J.C. On the computation significance of the intermediate configuration and hyperelastic stress relations in finite deformation elastoplasticity. Mech. Mater., 1985. V.4. №3-4. Pp. 439-451. Discuss. (J. Nagtegaal): Pp. 453-455.

109. Simo J.C., Ortiz M. A unified approach to finite deformation elastoplastic analysis based on the use of hyperelastic constitutive equations. Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng., 1985. V.49. №2. Pp. 221-245.

110. Tsakmakis Ch., Haupt P. On the hypoelastic-idealplastic constitutive model. Acta Mechanica, 1989. V.80. Pp. 273-285.

111. Van der Giessen E. Continuum models of large deformation plasticity. Part

112. Eur. J. Mech. A/Solids, V.8, №1, Pp. 15-34,1989.

113. Van der Giessen E. Continuum models of large deformation plasticity. Part1.. Eur. J. Mech. A/Solids, V.8, №2, Pp. 89-108,1989.

114. Доказательство Теоремы 1.1.

115. Пусть $ и Л пара энергетически сопряженных правых тензорных коротационных мер деформаций и напряжений. Тогда из (1.4.3), (1.1.9), (1.3.17) и (1.1.14) следует:= R (ру R,2:=RTLV R.

116. Но R, <cv, Lv изотропно зависят от X (1.1.3), следовательно:

117. П'=К'ТЗГ R' =(QoRQo)T(Q0 <^'Qo) (QoRQo) =1. Q0(R<fv* R)Qo=Q0 £'Qo,1.=R'T2VR' (QoRQo)T(Q0 Sv Qo) (QoRQo)=1. Q0(RT Lv R)Qo =Q0SQl

118. Т.е. пара правых коротационных мер $ и £ изотропна по отношению к паре «скоростных» мер Lv:

119. Доказательство Теоремы 1.2.

120. Пусть $ и Е соответственно, правая и левая тензорные коротационные меры деформации из введенного в Главе I семейства. Тогда из (1.5.6) и (1.1.9) следует:

121. QR) <Г (QR)T = Ql(X*X +Х X')QT R $' RT = 1(X'X~1+X~,X')$ = ifRT(X'X"1+X"1X')RAи

122. Если главные оси деформации фиксированы, то X, Х*,Х~.- соосны, т.е. (из (1.5.1)) R'= 0. Значит R = I. Тогда: