Модели протяженных релятивистских частиц с нелинейными траекториями Редже тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

0.1 Частицы и траектории Редже.

0.2 Струны и гамильтонов формализм.

0.3 Цель работы, основные идеи.

0.4 Положения, выносимые на защиту; аннотации глав

Глава I. Модель "Тирринг х Лиувилль" в классической теории поля

1.1 Формулировка модели и задача Коши в классе сингулярных решений

1.2 Скобки Пуассона и спектральная задача.

1.3 Регулярные канонические переменные.

1.4 N-солитонные решения.

Глава II. Локально-минимальные поверхности и модель

Тирринг х Лиувилль"

2.1 Редукция 3D струны к модели SL(2,R)-3Ha4Horo ки-рального поля.

2.2 Описание локально - минимальных поверхностей в терминах (сингулярных) решений модели "Тирринг х Лиувилль". 2.3 Геометрия мирового листа в четырёхмерном пространстве-времени.

Глава III. Гамильтонова динамическая система "Протяжённая частица"

3.1 Основные структуры гамильтонова формализма

Ф 3.2 Струнное действие и дополнительные условия

3.3 Формулировка основного результата главы.

3.4 Геометрические объекты на мировом листе.

3.5 Отображение V И* и топологический заряд

3.6 Реконструкция V* И , динамика.

Глава IV. Квантование и модели частиц

4.1 Общая схема и выбор квантовой статистики внутрен

0 них мод.

4.2 Редукция ja(£) = 0 • Модель массивной частицы с нулевым изоспином.

4.3 Редукция /(£) = 0, ja(£) = const. Модель массивной частицы с произвольным спином s, изотопическим спином I и гиперзарядом Y.

0.1 Частицы и траектории Редже

Создание теории, описывающей спектр наблюдаемых адронов, О давно является глобальной проблемой теоретической физики. Экспериментальное достижение на ускорителях все более и более высоких энергий с последующими открытиями новых "элементарных" частиц постоянно стимулировало и новые теоретические исследования. Так, один из наиболее заметных всплесков интереса к этому вопросу последовал в 60-е годы, когда экспериментально была обнаружена большая серия новых частиц - резонансов. В это же ф время Гелл-Манном была предложена кварковая модель, согласно которой адроны, считавшиеся в то время элементарными, наделялись определенной внутренней структурой. Данная гипотеза, объединённая с идеями локальной калибровочной инвариантности полевых уравнений, привела впоследствии к созданию квантовой хро-модинамики - теории, которая в настоящее время наиболее адекватно описывает физику сильных взаимодействий на расстояниях ф x<^h-QlCD~(l№M3e)-\

Вместе с тем попытки теоретического осмысления свойств адронов приводили к созданию иных содержательных концепций. Одна из них - это построение амплитуды рассеяния i) по некоторым её свойствам, которые заранее постулируются. Так, накопленный к началу 60-х годов экспериментальный материал по свойствам амплитуд различных реакций свидетельствовал о возможности описания одной и той же функцией A(s,t) как прямого канала

А + В —> С + D, так и "перекрёстных":

А + С—>B + D, A + D —>В + С, где С, В,. - частицы, зарядово сопряженные к соответствующим частицам С, В,При определённых предположениях об аналитичности и асимптотическом поведении функции A(s,t) отсюда следует принцип дуальности [1], согласно которому процесс эквивалентным образом может быть описан либо с помощью ред-жевских полюсов t-канала, либо с помощью реджевских полюсов s-канала. Математическим выражением данного принципа является "перекрёстное" разложение амплитуды: п a(s) — п т a(t) — т Не раз отмечалось [1, 2, 3], что определение явного вида функции а(£), называемой траекторией Редже, является важной физической задачей. Данная функция связывает между собой резонансы, отличающиеся (только) значениями спина S и массы м - так, что в пределах семейства S; = с*(м?). Согласно точке зрения, возникшей ещё в 60-х годах [2] ". траектории в любом одном канале в принципе определяют всю амплитуду". Если, например, сделать дополнительное (по отношению к принципу дуальности) предположение о линейности траекторий, положив а(р2) = а'р2 + а(0), о где наклон а' и интерсепт а(0) постоянные величины, то процедура восстановления амплитуды приводит к известной формуле Венеци-ано [4]

Г(-а(«))Г(-а(0) Л(М)- Г(-в(.)-а(«)) •

Как следствие постулата о форме траекторий, спектр модели эквидистантный и содержит бесконечное число резонансов с нулевой шириной. Вскоре было обнаружено [5, 6], что подобный спектр генерируется квантовой теорией одномерного протяжённого объекта -релятивистской струны, классическая динамика которой задаётся простым геометрическим действием:

SNG = -^Jdt»ZV-det(hij). (1)

Переменные hij здесь являются компонентами внутренней метрики мирового листа - времениподобной поверхности, заметаемой струной при движении в D-мерном пространстве-времени Еп^п и параметризуемой некоторыми координатами и Действие, эквивалентное (1), впервые было предложено в иной модели теории поля в двумерном пространстве - времени [7].

Обратим внимание на такой факт: с точки зрения проблемы построения амплитуды, существование динамической системы, приводящей к линейным траекториям Редже, является важным логическим звеном. Действительно, теория Венециано не отвечает на вопрос, почему зависимость S = а(м2) линейна и какие квантовые системы обладают таким спектром. Таким образом, задача построения теорий, моделирующих те или иные реджевские траектории S = а(м2), имеет фундаментальное значение. Актуальность создания новых теорий диктуется следующими обстоятельствами. Дав

Ф но известно, что линейное приближение S = а'и2 + с*(0) в целом воспроизводит наблюдаемые массы многих резонансов [3, 8]. Между тем адронная спектроскопия располагает в настоящее время информацией о частицах с "экзотическими" значениями таких квантовых чисел как масса м, спин s, изотопический спин I и т.д. [9]. Детальные исследования, как экспериментальные, так и теоретические, показывают, что описание спектра в терминах линейных реджевских траекторий с постоянным наклоном является приближённым и не учитывает ряд моментов. Во-первых, речь идёт о том, что спектры многих семейств хотя и аппроксимируются линейными функциями S = а(м2), но при этом, вообще говоря, соответствующие наклоны а' -ф 0.9 Гэв~2 (из ранних работ по этому вопросу см., например, [10]); во-вторых, линейность траекторий при малых массах и спинах нарушается. Последнее обстоятельство имеет причины, понятные в терминах существующих динамических моделей.

О Так, факт линейности функции S = о;(м2) означает наличие у резонанса нулевой ширины распада Г, поскольку Г ос 1та(м2) [1, 11]. Действительно, при соответствующих предположениях об аналитичности амплитуды рассеяния (см., например, [12]), для функции a(t) комплексного переменного t выполняется дисперсионное соотношение [3] ч t2 гоо 1таЫ , a{t) = а(0) + ai* + -/ 2( V J dv, fy 7Г Лт Vl\V — t) так что, если Im а(/л2) = lim Ima(t) = 0, то траектории линейны. С другой стороны, линейность траектории Редже отвечает линейному потенциалу межкваркового взаимодействия. Между тем хорошо известно, что для более точного феноменологического описания наблюдаемых частиц, рассматриваемых как связанные состояния кварков, соответствующий потенциал необходимо считать нелинейным на малых расстояниях [13], что и приводит к "загибу" траекторий. Что же касается наклона ас асимптотик, то различные типы потенциалов приводят, вообще говоря, к различным его значениям [14]. Для параметра ас в разных моделях были получены различные оценки. Так, в работе [15] на основе анализа экспериментальных данных и некоторых теоретических моделей (потенциальных, например) выведена формула где mi - массы кварков. Другой пример: в работах [16, 17] получены согласующиеся с экспериментом формулы, которые связывают массы как мезонов, так и барионов, содержащих тяжёлые кварки. При этом предполагалось, что наклоны a'ij траекторий семейств мезонов, которые отвечают комбинации кварков связаны соотношением:

Для барионов предполагалась справедливой аналогичная формула. Гипотеза о нелинейности реджевских траекторий возникала в динамических теориях сильно взамодействующих частиц и ранее. Так, в работе [18] рассматривалась модель полюсов Редже с нелинейными барионными траекториями, приводящая, в частности, к удовлетворительному описанию характеристик р - мезона в реакциях -kN —» N р. В этой связи уместно отметить также статью [19], в которой в рамках потенциальной кварковой модели исследованы (нелинейные) реджевские траектории тяжёлых кваркониев,

1 1 2 которые затем сопоставлены с имеющимися экспериментальными фактами. В данной работе, в частности, делался такой вывод: зависимость s = а(м2) почти линейна для серии высших возбуждённых состояний и существенно нелинейна в области малых масс и спинов.

Заметим, основная часть работ, посвященных рассмотренным выше вопросам, имеет дело с наблюдаемыми частицами - синглета-ми цветовой группы SU(3)C. Исследования экзотических объектов, которые таковыми не являются, также проводились. Например, в статьях [20], [21] рассмотрены адронные мультиплеты по цвету с кварковым составом 4qlq. Показано, что различные семейства частиц описываются траекториями Редже с различными наклонами. В частности, для секстета с*б = у2/5для октета с*8 = (2/3)аг\ Для общего случая ас ос Vk , где К - значение квадратичного оператора Казимира цветовой группы. В данных работах также отмечалось, что реджевские траектории являются, вообще говоря, нелинейными в области малых значений масс и спинов (моментов).

Завершая раздел, заметим, что факт существования траекторий, имеющих наклоны а' ф 0.9 Гэв~2 обсуждался ещё в обзоре [3]. Что касается недавних исследований, обратим внимание на работу [22], в которой выполнена реконструкция Редже-спектра некоторых семейств частиц по последним экспериментальным данным. В ней показано, что мезонные траектории S = а(м2) нелинейны и, более того, пересекаются. Анализ адронного спектра на основании данных Particle Data Group 2000 проводился также в работе [23]. Вывод таков: только 12% траекторий могут быть аппроксимированы прямыми линиями с наклоном а' = 0.9Гэв~2.

Таким образом, экспериментальные данные требуют, чтобы теоретические модели приводили к зависимости S = а(м2) с определёнными свойствами. Эти свойства таковы:

• нелинейность при малых значениях момента и массы;

• средний (или, более строго, асимптотический) наклон разных траекторий, вообще говоря, различен;

• в рамках одной теории должны существовать траектории как с возрастающим, так и с уменьшающимся (при росте м2) наклоном.

Обратим внимание на такой факт: модели, предлагаемые в цитированных выше работах (а также в ряде работ, цитируемых далее), удовлетворяют лишь некоторым из данных пунктов.

0.2 Струны и гамильтонов формализм

Геометрическая естественность действия (1) говорит, в частности, о том, что такой объект, как релятивистская струна, представляет и самостоятельный интерес, вне связи с дуально - резонансными моделями. Это подтверждается бурным развитием теории струн, ранние этапы которой, отражены, например, в обзорах [24, 25, 26, 27], а также в книге [28]. Среди прочих, заметим, отмечается тот факт, что протяжённые (т.е. струноподобные) образования - квазичастицы - естественным образом возникают в различных реалистических моделях в трёхмерном пространстве [29].

Одним из магистральных направлений развития данного раздела теоретической физики являлось построение теорий, содержащих, кроме векторных, также и спинорные степени свободы. В результате возникли различные модели спиновых струн (см., например, [30]). Далее, плодотворным оказался синтез таких теорий и принципов суперсимметрии, интерес к которым в 70-е годы стал бурно возрастать [31]. В результате была создана теория суперструн, основные достижения которой на конец 80-х годов отражены, в частности, в книгах [32, 33, 34]. Здесь необходимо заметить, что математическая основа для построения теорий, содержащих как коммутирующие, так и антикомму тирующие переменные уже на классическом уровне, была к тому времени создана [35] и продолжала активно развиваться [36, 37].

Переход от (супер)струны как изолированного объекта, движущегося в пространстве - времени, к взаимодействующим струнам привел к созданию основ полевой теории струн [38, 39, 40]. Здесь имеется аналогия с переходом от теории квантованной частицы к теории (вторично) квантованного поля. Взаимодействующим струнам в таком подходе отвечают мировые листы, имеющие нетривиальную топологию, например, топологию сферы с ручками. Рассмотрение струнного поля и структуры амплитуд приводит к связи соответствующих моделей с с алгебраической геометрией [41, 42, 43]. Попытки осмыслить свойства статистической суммы Z, записанной для нетривиальных топологий мирового листа, приводит к понятию динамической триангуляции и возникновению матричных моделей [43, 44]. При исследовании различных струнных теорий оказалось, что некоторые из них могут быть естественно связаны между собой определенного рода преобразованиями. Исследование таких преобразований - струнных дуальностей [45] - позволяет сделать предположение о том, что многие из известных суперструнных моделей можно рассматривать как некоторые предельные случаи более общей М-теории. Здесь, в свою очередь, возникает нетривиальная связь с интегрируемыми системами [46], приводящая к новым подходам в исследовании непертурбативных свойств теории струн. Данные направления достаточно далеки от темы настоящей работы, так что мы не будем здесь делать соответствующего подробного обзора литературы. Отметим лишь, что одним из главных мотивов, стимулирующих развитие теории струн, является ограниченность квантовой хромодинамики (и, следовательно, Стандартной модели). Кроме отмечавшегося выше ограничения х -С Лд^, в рамках КХД остаётся открытым, например, вопрос о происхождении масс кварков.

Уже на первых этапах развития теории стало ясно, что попытка распределить спиновые степени свободы вдоль струны, сохранив при этом присущую действию (1) репараметризационную инвариантность

1° = е I1 = и с необходимостью приводит к иной интерпретации струнного действия. Проблему удалось решить [47, 48], рассматривая преобразования (2) как общековариантные преобразования 2D общей теории относительности. При этом термин "теория струны" применяется, собственно, к теории взаимодействия полей XД^0,^1) и ^(f0,^1) с гравитацией в 1 + 1-мерном пространстве-времени. Гравитация при этом задается метрикой ЛУ = Лоренцевский индекс ц имеет смысл изотопического индекса, а физическое пространство-время Ed - смысл изотопического пространства. Соответствующее действие имеет вид

S = --L J dpdgyfm [tiidiXtdjX^ - te^VV/Ф^) • (3)

Данное действие обладает, кроме глобальной инвариантности относительно группы движений пространства Ed и локальной инвариантности (2), инвариантностью относительно локальных ло-ренцевских преобразований спиноров Ф, связанной с произволом в выборе репера е(, а также вейлевской (масштабной) инвариантностью в двумерном пространстве-времени: Нц h{j = \h{j. Отметим, что требование локальной суперсимметрии на мировой поверхности приводит к необходимости добавления к действию (3) дополнительных слагаемых, содержащих вспомогательные поля [32]. Современная формулировка теории спиновых струн предполагает, что классические спинорные поля Ф принимают значения в алгебре Грассмана. Между тем это, по-видимому, не всегда является принципиальным. Содержательные теории со спинорными полями, компоненты которых до квантования являются комплексными числами, известны давно (квантовая электродинамика). Теория струн не является исключением: соответствующие примеры здесь также изучались [49].

Перечисленный выше набор инвариантностей действия (3) позволяет выбрать калибровку hlJ = diag(l, —1) [30, 32]. При этом поля Хц и Ф^ - это свободные безмассовые поля в двумерном пространстве-времени, рассматриваемые, как правило, на интервале Е [0,7г]. Нетривиальность всей конструкции обусловлена равенствами

SS о следующими из условия SS = 0 и имеющими в указанной калибровке вид д±Х)2±г-*1д±*±» = 0. (4)

Здесь и везде далее д± = д/д£,± - производные по конусным параметрам £± = ± а = Фх и = Ф2 - компоненты 2-спинора Ф на мировом листе.

Каноническая" формулировка гамильтоновой динамики струны предполагает выбор исходных полей и Ф^^0,^1) в качестве независимых координат конфигурационного пространства Q. Фазовое пространство Hstr = T*Q является кокасательным расслоением конфигурационного [50]. Вместе с переменными I и Ф, его параметризуют обобщённые импульсы и П^^0,^1). Они определяются стандартным образом: г) fcO tfl4 5С(И ТТ (Со <rl\

W Л)- ' - sfy^^i) ' ^ где А = ^ и С - соответствующий тому или иному действию (напимер, (3)) лагранжиан. Стандартная на пространстве Tistr невырожденная симплектическая структура, определённая 2-формой ш2 = J dP(t) A dX(0 + сЯ1(0 А <*Ф(0, позволяет ввести на гладких функционалах А(Р, X; П, Ф),. невырожденную скобку Пуассона [51]

А, В} =-и2 (XdA,XdB). (6)

Здесь Х^л ~ векторное поле, которое ставится в соответствие 1-форме dA по правилу ixdAu2 = —dA, а величина ш2(-, •) есть значение соответствующей 2-формы на векторных полях Х^ и Х<ш О 0 символом i^, как обычно, обозначено внутреннее умножение на векторное поле X). В случае бесконечного числа степеней свободы векторные поля определены, вообще говоря, на некоторых всюду плотных подмножествах [52]; в этой связи область определения скобки Пуассона может нуждаться в уточнении в той или иной конкретной теории. С точки зрения гамильтонова формализма равенства (4) являются связями. Относительно скобки (6) их левые части образуют замкнутую алгебру (Вирасоро), так что соответствующие связи являются связями первого рода [53]. Отметим здесь, что классическая и квантовая динамика систем со связями (как первого, так и второго рода) вызывает, начиная с пионерских работ Дирака, неослабевающий интерес [54, 55, 56, 57]. Между тем инвариантная форма такой динамики изучалась лишь для частных случаев и в общем виде была исследована недавно [58].

Квантование струн в терминах фундаментальных гамильтоно-вых переменных, параметризующих каноническое фазовое пространство Hstr? приводит к целому ряду проблем (см., например, [28, 32]). Рассмотрим в качестве примера теорию бозонной струны в калибровке светового конуса [59]. Для определённости выберем исходное действие в виде, аналогичном (3):

S = ^ J d^dpVmtitdiXrdjXr (7)

После наложения условий h%3 = diag(l, —1) теория обладает остаточной калибровочной инвариантностью относительно конформных преобразований: ь —> L = ЛьК±), 0 < А'± < оо. (8)

Её можно нарушить, потребовав, чтобы при всех допустимых значениях параметров и выполнялось равенство pf0 + с, где Пц - фиксированный светоподобный вектор, компоненты которого обычно полагаются равными (1,0,0,., —1), а р и с - заданные константы. Данная калибровка позволяет разрешить связи (д±Х)2 = 0 (ср.: (4)) относительно "продольных" компонент Xq+Xd радиус-вектора Xц мирового листа и перейти, таким образом, к независимым "поперечным" компонентам. Однако при этом оказывается, что (квантовая) алгебра генераторов группы движений пространства - времени Ed замыкается лишь при D = 26. Такой же результат получается и в ряде других способов построения квантовой теории бозонной струны, не использующих калибровку (9), но основывающихся на фазовом пространстве 7i3tr• Соответствующие обобщения на теорию спиновых струн и суперструн дают иные нефизические (хотя и более низкие) значения критической размерности. Кроме этого, в квантовом спектре большинства моделей содержатся тахионы, что, конечно, также осложняет физическую интерпретацию получаемых результатов. Здесь следует отметить, что рассматриваемая теория представляет собой классический пример динамической системы с бесконечным числом связей первого рода.

Появление в той или иной струнной модели дополнительных пространственно-временных измерений вступает в явное противоречие с четырехмерностью окружающего мира, которая в настоящее время считается надежно установленным экспериментальным фактом. Действительно, расчёты сечений наблюдаемых процессов в рамках ортодоксальной квантовой теории поля (в первую очередь, в рамках Стандартной модели) существования каких-либо "лишних" измерений не требуют. Многие теоретические модели также существуют и непротиворечивы при D = 4. Так, например, критическая размерность отсутствует в топологически нетривиальных конфигурациях SU(N) - калибровочной теории поля, интерпретируемых естественным образом как некоторые хромоэлектрические струны, связывающие кварки адронах [60]. Другой пример: теория точечной релятивистской частицы в пространстве Е^з, которая существует без всяких предположений о дополнительных измерениях [61].

Таким образом, избежать противоречия здесь возможно только с привлечением дополнительных конструкций. Многие из них связаны с возрождением идей Калуцы [62] о ненаблюдаемости "лишних" измерений, по крайней мере, при энергиях, достижимых современными ускорителями. Такая ситуация возможна, например, если считать, что .D-мерное пространство - время имеет топологическую структуру EhZ х К, где К - некоторое компактное многообразие планковских размеров, имеющее специальные топологические свойства. Установлено, что в качестве К должно быть выбрано многообразие Калаби - Яо - трёхмерное комплексное многообразие с Риччи-плоской метрикой Кэлера (см., например, работу [63], где, в частности, исследуются проблемы единственности такого выбора). Между тем струнные модели, предсказывающие критические значения размерности D > 4, формулируются изначально для плоского линейного векторного пространства Ej). Компактификация же Ed —> з х К вводится "вручную" и не следует из каких-либо динамических уравнений (краткое обсуждение этого вопроса можно найти в книге [33]; количество работ, посвященных конкретным моделям, здесь достаточно велико, см., например, [64, 65, 66]). Другой подход, позволяющий сочетать (истинную, как предполагается) размерность пространства - времени D > 4 и наблюдаемую D — 4 - это концепция "мира на бране" [67]. Однако здесь теория так же содержит большое число открытых вопросов.

Вышесказанное питало и продолжает питать поиски содержательной квантовой теории струн, существующей непосредственно в четырехмерном пространстве-времени. К настоящему времени различными авторами построен целый ряд таких струнных моделей. Одним из первых, по-видимому, подходов к решению данной проблемы был предложен Рорлихом в работах [68, 69]. Уже здесь было замечено, что иной выбор калибровочных условий может привести к нестандартным следствиям. Как результат, струна Рорлиха существовала при D = 4, а её спектр описывался линейными траекториями Редже и не содержал тахионов. Предложенный подход изучался впоследствии и в иных работах (см., например, [70]). Возможность построения 4D струнных моделей, основанных на нестандартных калибровках, использовалась также в статьях [71, 72]. В серии работ [73, 74, 75] теория бозонной струны в четырехмерном пространстве-времени строилась с использованием метода обратной задачи рассеяния [76, 77]. В рамках предложенного подхода, в частности, была высказана идея такого способа параметризации исходного фазового пространства Hstr, при котором "внешние" переменные, описывающие движение струны как целого, отделяются от некоторых "внутренних" переменных. Отделение координат центра масс струны от локальных степеней свободы было выполнено также в работе [78]. При этом, отметим, была установлена связь с теорией Рорлиха. Алгебраический подход к описанию динамики D = 1 + 3 замкнутой струны Намбу - Гото развивался в статье [79]. Классическая алгебра наблюдаемых строилась здесь при помощи некоторых специальным образом определяемых (нелокальных, вообще говоря) генераторов; затем классической алгебре сопоставлялась квантовая. Отдельное направление теории струн с некритическими размерностями пространства - времени было положено работой [48], в которой существование подобных объектов связывалось с построением содержательной квантовой теории известного уравнения Лиувилля

WVK0,e1) + 2exp^K°,e1) = O (10) в двумерном пространстве-времени. Впоследствии развитию теории таких струн было посвящено значительное количество работ (см., например, [80, 81, 82, 83, 84]). Следует также отметить существование иных подходов, позволяющих строить соответствующую теорию при произвольных размерностях пространства - времени [85, 86, 87].

Широкий спектр разнообразных работ, посвящённых теории струн в пространстве E\f3 и выполненных в различные периоды, свидетельствует о следующих обстоятельствах. Во-первых, вывод, что ковариантная квантовая теория простого, в общем то, объекта -кривой, эволюционирующей в евклидовом пространстве Ет- может существовать лишь при нефизических значениях размерности D — 1 + т, вызывал и вызывает некоторую неудовлетворённость. Такая неудовлетворённость лишь усиливается уже упоминавшимся отсутствием каких-либо экспериментальных подтверждений существования дополнительных измерений пространства-времени. Во-вторых, существующее здесь разнообразие подходов говорит о том, что проблема, по-видимому, не нашла своего окончательного решения.

Релятивистская струна являлась и является основой для построения различных моделей в физике адронов [28]. Мотивацией здесь является как связь с дуально - резонансным подходом, так и тот факт, что кривая в пространстве - простейшее и естественное обобщение понятия (материальной) точки. Отметим, что несомненный интерес здесь представляет исследование релятивистской струны с массами на концах [28]. Не останавливаясь на данном направлении подробно, укажем на нетривиальнось возникающих здесь геометрических конструкций даже для частных решений [88]. Струнные модели барионов рассматривались также в работах [89, 90]; в работе [91] были исследованы реджевские траектории таких нетривиальных конфигураций, как "треугольник". Струнные модели, приводящие, при тех или иных предположениях, к нелинейным траекториям Редже, изучались, например, в статьях [92, 93]. Заметим, что найденные там зависимости S = a(t) нелинейны как при малых массах и спинах, так и асимптотически. Помещение ненулевых масс на концы струны так же приводит, вообще говоря, к искривлению Реджевских траекторий. Так, например, в работе [94] детально исследованы классические решения для случая, когда мировые линии концов струны имеют постоянные значения кривизны. В статье [95] рассмотрены два кварка, связанные (прямолинейной) струной; здесь явный вид траекторий задается некоторой выводимой из теории связью. В работе [96] делалось предположение о зависимости натяжения 7 = 1/2тта' струны с массами на концах от координаты. При этом показывалось, что в нерелятивистском пределе это соответствует некоторому потенциалу взаимодействия масс, вообще говоря, нелинейному.

Каноническое квантование струнных теорий требует предварительной гамильтонизации соответствующих классических уравнений движения, выведенных из принципа наименьшего действия. Сопоставление исходной лагранжевой динамической системе гамиль-тоновой системы делается, напомним, в соответствии со стандартными правилами (5), в соответствии с которыми гамильтоново описание рассматривается как "вторичное" (см. общее обсуждение на стр. 16). Между тем фундаментальность гамильтонова формализма, его первичность в общем случае по отношению к лагранжеву описанию динамики не раз отмечалась, например Дираком [97], а также Березиным [98]. Дирак подчеркивал также и общетеоретическую значимость построения каких-либо новых (релятивистских) гамильтоновых динамических систем. Так, он писал, что "все существующие теории взаимодействия частиц и полей неудовлетворительны с точки зрения одного или другого. Несовершенство вполне могло бы возникнуть из-за использования для представления атомных явлений неправильных динамических систем, т.е. неверных гамильтонианов и неверных энергий взаимодействия. Поэтому приобретает большое значение предложение новых динамических систем и рассмотрение того, не будут ли они лучше описывать атомный мир" [99] (внутри цитаты - курсив Дирака). Действительно, квантование различных гамильтоновых версий одних и тех же уравнений движения приводит, вообще говоря, к различным результатам. В случае простых систем, по-видимому, нет необходимости искать иную, отличную от стандартной, форму гамильтоно-вой динамики. Для таких объектов, как гармонический осциллятор, атом водорода и т.п., подобные построения хотя и возможны, но будут выглядеть явно искусственными: квантование в "обычных" переменных приводит здесь к результатам, которые хорошо согласуются с экспериментом. Между тем изучение систем более сложных дает интересные примеры существования неэквивалентных (в смысле отсутствия канонического преобразования) гамильтоновых динамик. Так, при изучении нелинейных эволюционных уравнений (НЭУ) в гамильтоновой форме [100] было обнаружено, что фазовые пространства уравнения Кортевега - де Фриза (КдФ) и нелинейного уравнения Шредингера (НШ) имеют бесконечную иерархию симплектических форм, канонически неэквивалентных друг другу [101, 102]. Например, для уравнения НШ стандартная гамильтоно-ва структура определяется скобкой Пуассона в то время как "вторая гамильтонова структура" задается редукцией скобки шалы}-1 = jWK -ri)- sometime - (и) на многообразие ф = ji + ij'2> Зъ = 0, так что

ШШ} ^ ШШ}-! индекс d означает здесь соответствующую скобку Дирака). Вскоре аналогичные построения были сделаны и для более широкого класса НЭУ [100, 103, 104].

Теория струн, связанная, как уже отмечалось, с теорией поля в двумерном пространстве - времени, приводит к различным НЭУ. Наиболее популярные примеры здесь - это уравнения нелинейной а-модели [105], а также уравнение Лиувилля. Последнее возникает как в связи с цитированной выше работой [48], так и в связи с развитием геометрического подхода в теории релятивистской струны [28, 106, 107]. Такой подход предполагает рассмотрение в качестве фундаменталных динамических переменных коэффициентов первой квадратичной формы I, определяющих внутреннюю метрику мирового листа в "пространстве погружения" Ed- При этом роль уравнений движения играют хорошо известные в дифференциальной геометрии уравнения Гаусса и Петерсона-Кодацци (см., например, [108]). В физически интересных случаях Z> = l+ 2nZ) = l-|-3 данные уравнения сводятся, при определённых предположениях1, к единственному уравнению (10), где в качестве неизвестной считается вещественая либо комплексная функция уК^0?^1) соответственно. Интересно заметить, что скобки Пуассона, канонические для теории (10), не следуют из скобок, канонических для действия (1). Фазовые пространства и гамильтонианы указанных моделей также различны. Таким образом, классическая релятивистская струна здесь естественно связывается с другой гамилътоновой динамической системой. Как обсуждалось в [28] (стр. 111), квантование струны в терминах геометрической переменной (р, приводит, вообще говоря, к иной теории, причем ". .решающим критерием здесь может быть только физическая оценка конечных результатов".

1 Касающихся второй квадратичной формы - см. [28], а так же Главу II.

0.3 Цель работы, основные идеи

Как уже отмечалось, построение и исследование новых релятивистских динамических систем представляет общетеоретический интерес. С точки зрения приложений к физике частиц, аргументы, приведённые выше, показывают, что особую значимость имеют системы, мотивированные в том или ином смысле 4D струнами и имеющие реджевский спектр с указанными в § 0.1 особенностями (см. стр. 12). В этой связи главная цель предлагаемой работы - это построение и квантование гамилътоновой динамической системы с бесконечным числом степеней свободы - такой, что:

• классическая система может быть интерпретирована как одномерный протяжённый объект, локализованный в конечной области пространства Минковского

• соответствующая теория является Пуанкаре - инвариантной как на классическом, так и на квантовом уровне;

• все состояния системы характеризуются квантовыми числами, интерпретируемыми как масса м, спин s, изотопический спин I, гиперзаряд Y, а так же чётность р.

• зависимость S = с*(м2) в общем случае является нелинейной (в том числе в области малых значений величин S и м2);

• в области больших значений величин s и м2 реджевский спектр является спектром струнного типа s ~ супм2, но так, что при фиксированных in-put константах теория предсказывает различные наклоны ап.

В ходе построения указанной гамильтоновой динамической системы исследуются вопросы, связанные с такими областями, как теория нелинейных эволюционных уравнений и теория струн. Заметим, получаемые здесь результаты имеют и независимую (от основной цели) ценность. Что касается конструируемых в работе моделей релятивистских частиц, то они возникают при выполнении редукции общей теории на ту или иную область фазового пространства. При этом возможно появление дополнительных квантовых чисел (по отношению к "главным" числам м, s, i, Р и y).

На классическом уровне в построенную гамильтонову динамическую систему существует вложение (всюду плотное, в определённом смысле) открытой 4D струны со спиновыми степенями свободы. Именно этот факт делает естественной интерпретацию конструируемой динамической системы как одномерного протяжённого объекта в четырёхмерном пространстве - времени. Что касается соответствующей струнной модели, то она здесь формулируется и далее исследуется геометрическими методами. При этом делается обобщение геометрического подхода (см. § 0.2), которое заключается в нетривиальном расширении класса допустимых мировых листов: в нашем случае таковые могут иметь не только особенности метрики, но и локально - нулевые коэффициенты вторых квадратичных форм pij. Последние, заметим, являются в теории динамическими переменными, хотя явно в исходное действие не вводятся. В этой связи уместно обратить внимание на работу [109], в которой рассмотрена струна с жесткостью посредством добавления к исходному действию слагаемых, зависящих от коэффициентов pij. В работе [110], в которой рассматривается определённый класс поверхностей в евклидовом пространстве так же строится действие, зависящее от коэффициентов второй квадратичной формы как от динамических переменных.

Квантовую теорию построенной гамильтоновой системы можно рассматривать как обобщение известного вигнеровского подхода [111], согласно которому "элементарная", т. е. бесструктурная релятивистская частица - это система, задаваемая неприводимым представлением группы Пуанкаре. (Далее нам будет удобнее говорить о соответствующем представлении алгебры Пуанкаре V). Заметим, теория элементарных релятивистских систем, основанная на таких представлениях, в дальнейшем интенсивно развивалась [112]. В данной работе частица связывается с представлением Aq алгебры (скобок Пуассона)

Ad = W®V, (12) где Wi - бесконечномерная алгебра, отвечающая внутренним степеням свободы. В общем случае Wi не есть алгебра Гейзенберга - Вейля; генерируют её поля, определённые в некотором ("внутреннем") 2D пространстве - времени. Обратим внимание, что на квантовом уровне построенная теория не связана, вообще говоря, с какими-либо квантованными струнами. Данный факт, однако, не противоречит интерпретации модели как протяжённого 4D объекта: как известно [113], понятие пространственно - временных координат элементов, образующих сложные квантовые частицы, является достаточно условным.

В фазовом пространстве обсуждаемой гамильтоновой динамической системы имеется конечное число связей первого рода. Одна из них имеет вид где Р2 и

S2 - функции Казимира алгебры Пуанкаре, а многоточием обозначены релятивистски инвариантные переменные, интерпретируемые как "внутренние". После квантования данная связь -согласно общим рецептам Дирака - приводит в пространстве представления алгебры Ad к уравнению (в нашем случае релятивистски - инвариантному), определяющему допустимые состояния и спектр масс. Нельзя не упомянуть, что сама проблема конструирования релятивистских волновых уравнений с внутренними степенями свободы имеет давнюю историю. Не ставя перед собой цель делать какой-либо детальный обзор, отметим книги [114, 115], где собраны многие известные результаты на эту тему. Так, в [114] было замечено, что подойдет, вообще говоря, . .любое условие на волновую функцию, наложенное с помощью любого скалярного оператора ." Поэтому, рассматривая в диссертации задачу построения моделей частиц в данном аспекте (как задачу получения новых релятивистских уравнений), ключевыми необходимо считать такие вопросы: во-первых, что является основанием для введения связи $1 = 0 в фазовом пространстве, и, во-вторых, чем фиксирован явный вид функционала Фх(Р2,52; .) ? Краткие ответы таковы: основанием является требование соответствия теории (12) и теории 4D струны, а явный вид Ф1 определён струнным действием.

Допустимые состояния, найденные как решения построенных уравнений, характеризуются квантовыми числами м, s, I, Y и Р, а также, возможно, некоторыми дополнительными q, n,При этом такие состояния можно сопоставить как известным стабильно наблюдаемым частицам, так и, вообще говоря, иным, "экзотическим", объектам. Заметим, что и те, и другие возникают в предложенной теории единым образом. Возвращаясь к общему виду связи Ф1 = О, представляется уместным привести известную точку зрения (А. М. Балдин) о том, что ". реализация в природе траектории Редже свидетельствует о наличии . функциональной взаимосвязи между двумя казимировскими инвариантами и может быть связана с существованием более высокой симметрии, чем симметрия Пуанкаре " (цит. по работе [116]; см. также [117]).

Феноменологической основой предлагаемой конструкции может служить, по-видимому, модель "струнного" мешка [118] (см. также работу [119] и её краткое обсуждение здесь на стр. 80). Действительно, струнный мешок может рассматриваться как результат некоторого предельного перехода - "вытягивания" объёмного мешка. Результат при этом существенным образом будет зависеть как от исходной модели, так и от способа выполнения такого предельного перехода (более детальные замечания по этому поводу см. в работе [120]). Этот факт делает естественным описание адронного спектра не только в терминах канонической релятивистской струны, но и в терминах иных струноподобных динамических систем.

0.4 Положения, выносимые на защиту; аннотации глав

В диссертации получены и выносятся на защиту следующие новые научные результаты:

I Доказана гамильтоновость и полная интегрируемость нелинейных уравнений модели классической 2D теории поля - модели

Тирринг х Лиувилль" - в классе сингулярных решений. Решена соответствующая задача Коши, построены регулярные канонические переменные типа действие - угол [126].

II Найдены и исследованы нелинейные уравнения, описывающие новый расширенный класс релятивистских струн в трёхи четырёхмерном пространстве - времени. Указанный класс струн характеризуется тем, что их мировые листы допускают не только особенности метрики, но и локальное обращение в ноль вторых квадратичных форм - причём как в точках, так и на конечных отрезках и прямоугольниках [128, 129, 130].

III Построена новая релятивистская гамильтонова динамическая система с бесконечным числом степеней свободы, допускающая интерпретацию как конечный (одномерный) протяжённый объект в четырёхмерном пространстве-времени [133, 134, 137, 138, 139].

IV Получены и решены релятивистски - инвариантные уравнения, описывающие квантовые состояния и спектр масс протяжённых объектов с произвольным спином и дополнительными степенями свободы. Указанные объекты интерпретируются как свободные релятивистские частицы с внутренней структурой [141, 142, 144, 145, 138].

V Найден и исследован новый класс реджевских траекторий, обладающий приемлемыми с точки зрения современных экспериментальных данных свойствами [144, 145, 138].

В заключение данного раздела приведём краткое содержание диссертации. Первые две главы посвящены разработке методов, построению и исследованию вспомогательных конструкций, необходимых для достижения главной заявленной цели. Они содержат также и результаты, представляющие самостоятельный интерес. Глава I посвящена модели "Тирринг х Лиувилль", которая описывает взаимодействие классических полей - скалярного ф и спинор-ного О-в двумерном пространстве - времени. Модель определяется лагранжианом

С = (<ЗД2 + ^©7^0 - 2(©УО)2 ехр ф. (13)

Впервые она была предложена в статье [121] в полной аналогии с работой [122], в которой рассмотрено взаимодействие вида (О7г0)2ф. Теория (13) представляет собой нетривиальный синтез теории поля, основанной на уравнении (10) и безмассовой модели Тиррин-га. В первой главе для нелинейных уравнений движения модели "Тирринг х Лиувилль" формулируется и решается задача Коши для класса начальных данных, допускающих сингулярности определённого типа. Такое расширение (по сравнению с работой [121], где рассматривались только регулярные начальные данные) является особенно важным с точки зрения последующих приложений в рассматриваемой далее теории: именно в классе сингулярных, вообще говоря, решений построения второй и третьей глав корректны.

Указанное решение задачи Коши строится в терминах пары вспомогательных линейных систем 2 х 2 с регулярными коэффициентами, которые, встречаясь в том или ином виде далее, играют в работе важную роль. При исследовании сингулярных решений в данной главе используются методы, предложенные и развитые в работах

123,124,125] для уравнения (10). Значительная часть главы посвящена анализу пуассоновой структуры теории. При помощи метода обратной задачи строятся регулярные канонические переменные, в терминах которых корректно определяется пуассонова структура. Показывается, что она естественно связана с парой "вторых гамильтоновых структур" для уравнения НШ. В заключение строятся и анализируются А^-солитонные решения. Основные результаты главы опубликованы в работе [126].

Заключение

Итоговые выводы, резюмирующие полученные в диссертации результаты, таковы.

I. В теории взаимодействующих в двумерном пространстве-времени полей - модели "Тирринг х Лиувилль":

1) решена задача Коши, поставленная для нелинейных уравнений движения модели в классе сингулярных начальных данных;

2) доказана полная интегрируемость теории в классе сингулярных решений и построены регулярные канонические переменные типа действие - угол;

3) установлено взаимно - однозначное соответствие множества сингулярных, вообще говоря, решений {(р,а±у р±} данной модели и множества решений (специального) уравнения Вес-са - Зумино - Новикова - Виттена (ВЗНВ), записанного для SL(2,C) - значного кирального поля if^0^1);

II. Сделано обобщение геометрического подхода в теории 3D и 4D релятивистских струн. Обобщение заключается в расширении класса рассматриваемых мировых листов, допускающих не только вырождение метрики, но и локальное обращение в ноль вторых квадратичных форм, как в точках, так на на отрезках и прямоугольниках (в плоскости параметров). Показано:

1) каждому мировому листу указанного типа (с точностью до группы движений объемлющего пространства -£а,п) соответствует определённый класс решений уравнений модели

Тирринг х Лиувилль". Данный класс решений является орбитой некоторой подгруппы общей группы инвариантности уравнений модели. Отметим, решения являются вещественными в 3D случае, комплексными в 4D случае и, вообще говоря, сингулярными;

2) различные точки орбит группы инвариантности модели "Тирринг х Лиувилль" могут интерпретироваться как дополнительные спиновые степени свободы струны, связанные с исходными струнными координатами Xм некоторым специальным калибровочным условием;

III. Исследована модель открытой 4D струны с дополнительными спиновыми степенями свободы. В данной модели:

1) предложено новое дополнительного условие, фиксирующее остаточный репараметризационный произвол и обобщающее известную калибровку светового конуса. Данное условие инвариантно как относительно преобразований Пуанкаре, так относительно масштабных преобразований пространства - времени Минковского;

2) исследована каноническая пуассонова структура и множество физических степеней свободы теории;

3) установлена связь предложенной теории и 2D модели ВЗНВ для поля, принимающего значения в группе SU(2);

IV. Предложена гамильтонова динамическая система "Протяжённая частица", интерпретируемая как свободная релятивистская частица с бесконечным (в общем случае) числом степеней свободы. Для данной динамической системы:

1) определены фазовое пространство, пуассонова структура и гамильтониан;

2) найдена система связей первого рода Ф^ = 0 (г = 1,2,3), такая, что:

• функции Ф; фиксированы требованием существования "струнного сектора" - подмножества фазового пространства, отображаемого взаимно - однозначно на множество исследованных ранее 4D струн;

• на поверхности связей квадрат энергии - импульса Р2 и "спин" S = yf—w2/P2 рассматриваемой динамической системы связаны нелинейным соотношением, явный вид которого определяется "внутренними" степенями свободы /(f), jatf);

3) установлено существование в теории (целого) топологического заряда п.

В секторе п = О выполнено квантование системы "Протяжённая частица", редуцированной условиями ja(0 = 0. Показано, что на классическом уровне такая система соответствует открытой релятивистской струне с постоянным на мировом листе (но не равным нулю) спинорным полем. В квантовом случае:

1) построено общее пространство состояний - пространство представления классической алгебры наблюдаемых;

2) получено релятивистски-инвариантное уравнение, определяющее при любом заданном значении спина спектр масс и допустимые состояния системы;

3) доказано, что пространство допустимых состояний:

• содержит ненулевые векторы с конечной нормой;

• разлагается в прямую сумму конечномерных инвариантных пространств, каждое из которых характеризуется дополнительным квантовым числом N = 0,1,2,.;

4) в простейших случаях N = 0,1,2 явно найден реджевский спектр S = а(м2) теории, который оказывается линейным при м2 —> оо (с различными, вообще говоря, наклонами асимптотик) и слабонелинейным при малых значениях спина s и квадрата массы м2. В секторах п ф 0 выполнено квантование динамической системы "Протяжённая частица", редуцированной условиями = 0> ja(0 = ja = const, j0(£) = jj = C0USt'

Предложена интерпретация таких подсистем как семейств массивных частиц с произвольным спином S, изотопическим спином I и "гиперзарядом" Y = ±2[п — |]. Для указанного случая:

1) построено общее пространство квантовых состояний и получено релятивистски-инвариантное уравнение, определяющее допустимые состояния и спектр масс;

2) доказано, что множество допустимых состояний, имеющих конечную норму, не пусто;

3) в простейших случаях тг = 1,1 = 1/2и1 = 1 явно найден реджевский спектр S = а(м2) теории.

В качестве рекомендаций по использованию сделанных выводов, укажем направления теоретической физики, в которых дальнейшее их применение и развитие может оказаться полезным. Эти направления таковы: постоение классических полевых моделей взаимодействующих частиц и полей в 2D пространстве - времени; геометрическое описание локально - минимальных поверхностей, в том числе струн; гамильтонова динамика систем со связями первого рода; описание спектра и моделирование реджевских траекторий различных семейств релятивистских частиц.

1. Де Альфаро В., Фубини С., Фурлан Г., Росетти К. Токи в физике адронов. М.: Мир. 1976. 670 С.

2. Мандельстам С. Растущие траектории Редже и динамика ре-зонансов.// Успехи физических наук. 1970. Т. 101. Вып. 3. С. 464 469.

3. Ширков Д. В. Свойства траекторий полюсов Редже. Успехи физических наук. 1970. Т. 102. Вып. 1. С. 87 104.

4. Veneziano G. Construction of a crossing-symmetric, Regge behaved amplitude for lineary rising trajectories.// Nuovo Cimento. 1968. V. 57A. Nol. P. 190 -197.

5. Nambu Y. Lectures at the Copenhagen Symposium on Symmetries and Quark models. N.Y.: Cordon and Breach Book Company. 1970. P. 269.

6. Goto T. Relativistic quantum mechanics of one-dimensional mechanical continuum and subsidiary condition of dual resonanse model.// Progress in Theoretical Physics. 1971. V. 46. No5. P. 1560 1569.

7. Барбашов Б. M., Черников Н. А. Решение и квантование нелинейной двумерной модели типа Борна Инфелъда.// Журн. эксперим. и теоретич. физики. 1966. Т.60. Вып.5. С.1296 - 1308.

8. Chew G. F., Frautschi S. C. Regge trajectories and the principle of maximum strength for strong interaction// Physical Review Letters. 1962. V.8. No 1. P. 41 44.

9. Ландсберг Л. Г. Поиски экзотических адронов.// Успехи физических наук. 1999. Т. 169. No 9. С. 961 978.

10. Igi К. Factorization of Regge slopes for ordinary and new hadrons and their spectroscopy.// Physical Review D. 1977. V. 16. No 1. P. 196 203.

11. Коллинз П. Введение в реджевскую теорию и физику высоких энергий. М.: Атомиздат. 1980. 432 С.

12. Боголюбов Н. Н., Медведев Б. В., Поливанов М. К. Вопросы теории дисперсионных соотношений. М.: Физматгиз. 1958.

13. Basdevant J. L., Boukraa S. Semirelativistic quark antiquark potential models. Annales de Physique. 1985. V. 10. No 5. P. 475 -522.

14. Olsson M. G. Universal behaivor in exited heavy-light and light-light mesons.// Physical Review D. 1997. V. 55. No 9. P. 5479 -5482.

15. Filipponi S., Srivastana Y. Hadronic masses and Regge trajectories.// Physical Review D. 1998. V. 58. No 1. P. 016003/1- 016003/12.

16. Burakovsky L., Goldman Т., Horwitz L. P. New mass relation for heavy quarkonia.// Physical Review D. 1997. V. 56. No 11. P. 7119- 7123.

17. Ф 17. Burakovsky L., Goldman Т., Horwitz L. P. New quadratic baryonmass relation.// Physical Review D. 1997. V. 56. No 11. P. 7124 -7132.

18. Кайдалов А. Б., Нилов А. Ф. Квазидвухчастичные процессы с барионным обменом и модель с нелинейными траекториями Редже.Ц Ядерная физика. 1990. Т. 52. Вып. 6(12). С. 1683 -1696.

19. Сергеенко М. Н. О некоторых свойствах реджевских траекториях тяжелых кваркониев.// Ядерная физика. 1993. Т. 56. Вып. 3. С. 140 150.

20. Hogaasen Н, Sorba P. The systematics of possibly narrow quark states with baryon number one.// Nuclear Physics B. 1978. V. B145. No 1. P. 119 140.

21. De Crombrugghe M., Hogaasen H, Sorba P. Narrow multiquarkbaryons.// Nuclear Physics B. 1979. V. B156. No 2. P. 347 364.

22. Tang A., Norbury J. W. Properties of Regge trajectories.// Physical Review D. 2000. V. 62. P. 016006/1.

23. Inopin A.E. Naked Truth About Hadronic Regge Trajectories. Электронный препринт: xxx.lanl.gov hep-ph/0012248.

24. Scherk J. An introduction to the theory of dual models and strings.// Review of Modern Physics. 1975. V. 47. No 1. P. 123 164.

25. Маринов М. С. Релятивистские струны и модели сильных взаимодействий./ / Успехи физических наук. 1977. Т. 121. Вып.З. С. 377 425.

26. Пронько Г. П., Разумов А. В., Соловьёв JI. Д. Классическая динамика релятивистской струны.// Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1983. Т. 14. Вып.З. С.558 557.

27. Ne'eman Yu. Strings: from hadron dual models to gravity, unification and the structure of space-time.// Lecture Notes in Mathematics, 1987. No 1251. P. 175 204.

28. Барбашов Б. M., Нестеренко В. В. Модель релятивистской струны в физике адронов. М.: Энергоатомиздат. 1987. 176 С.

29. Морозов А. Ю. Теория струн что это такое? // Успехи физических наук. 1992. Т. 162. Вып. 8. С. 83 - 175.

30. Бринк JL, Энно М. Принципы теории струн. М.: Мир, 1991. 296 С.

31. Огиевецкий В. И., Мезинческу JI. Симметрии между бозонами и фермионами и суперполя.// Успехи физических наук. 1975. Т. 117. Вып.4. С. 637 683.

32. Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. Т. 1. М.: Мир. 1990. 518 С.

33. Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн. Т. 2. М.: Мир. 1990. 656 С.

34. Кетов С. В. Введение в квантовую теорию струн и суперструн. Новосибирск: Наука. 1990. 369 С.

35. Березин Ф. А., Кац Г. И. Группы Ли с коммутирующими и ан-тикоммутирующими параметрами.// Математический сборник. 1970. Т. 82. Вып.З. С. 343 359.

36. Лейтес Д. А. Введение в теорию супермногообразий, j/ Успехи матем. наук. 1980. Т. 35. No 1. С. 3 57.

37. Владимиров В. С., Волович И. В. Суперанализ. Дифференциальное исчисление.// Теоретич. и матем. физика. 1984. Т. 59. No. 1. С. 3 27.

38. Siegel W. Introduction to the string field theory. Advased Series in Mathem. Physics. V.8. 1988. 256 P.

39. Aref'eva I.Ya. String field theory, in: Conformal Invariance String Theory, eds. Dita P. and Georgescu V. Academic Press. INC. 1987.

40. Aref'eva I. Ya., Medvedev P. В., Zubarev A. P. New reprezentation for string field solves the consistency problem for open superstring field theory// Nuclear Physics. 1990. V. B341. P. 464 498.

41. Alvarez-Gaume L., Moore G., Vafa G. Theta functions, Modular Invariance and Strings.// Communications in Mathematical Physics. 1986. V. 106. P.l 40.

42. Книжник В. Г. Многопетлевые амплитуды в теории квантовых струн и комплексная геометрия.// Успехи физических наук. 1989. Т. 159. Вып. 3. С. 401 453.

43. Морозов А. Ю. Интегрируемость и матричные модели. // Успехи физических наук. 1994. Т. 164. Вып. 1. С. 3 62.

44. Зарембо К. JL, Макеенко Ю. М. Введение в матричные модели суперструн.// Успехи физических наук. 1998. Т. 168. Вып. 1. С. 3 29.

45. Гуков С.Г. Введение в струнные дуальности. Успехи физических наук. 1998. Т. 168. Вып. 7. С. 705 718.

46. Маршаков А. В. Струны, супер симметричные калибровочные теории и интегрируемые системы.// Теоретич. и матем. физика. 1999. Т. 121. No 2. С. 179 243.

47. Brink L., Vecchia P. D., Hove P. A locally supersymmetric and reparametrization invariant action for the spinning string.// Physics Letters. 1976. V. 65B. No 5. P. 471 -474.

48. Polyakov A. M. Quantum geometry of bosonic string.// Physics Letters. 1981. V. 103B. No 3. P. 207 210.

49. Barut A. 0., Pavsic M. The spinning minimal surfaces without Grassmann variables. Preprint IC/88/2. Miramare-Trieste. 1988.

50. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука. 1974. 432 С.

51. Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. М.: Мир. 1973. 188 С.

52. Chernoff P. R., Marsden J. E. Properties of infinite dimensional hamiltonian systems. Lecture Notes in Mathematics. V. 425. Springer-Verlad. Berlin-Heidenberg-New York. 1974.

53. Дирак П. A. M. Лекции по квантовой механике. M.: Мир. 1968.

54. Bergmann P. G. Observables in general relativity./f Reviews of Modern Physics. 1961. V. 33. No 4. P. 510 514.

55. Фаддеев Л. Д. Интеграл Фейнмана для сингулярных лагранжианов./ / Теоретич. и матем. физика. 1969. Т. 1. No 1. С. 3 -18.

56. Batalin I. A., Fradkin Е. S. Operator quantization of relativistic dynamical systems subjected to first class constraints. Препринт No 51. Физический ин-т АН СССР. 1983.

57. Гитман Д. М., Тютин И. В. Каноническое квантование полей со связями. М.: Наука. 1986. 216 С.

58. Павлов В. П., Старинец А. О. Геометрия фазового пространства систем со связями.// Теоретич. и матем. физика. 1995. Т. 105. No 3. С. 429 437.

59. Goddard P., Goldstone J., Rebbi С., Torn С. В. Quantum dynamics of a massless relativistic string.// Nuclear Physics B. 1973. V. B56. P. 109 128.

60. Филиппов А. Т. Калибровочный подход в теории релятивистских частиц и струн. В сб.: Квантовая теория поля и физика высоких энергий. М.: Издательство МГУ. 1987. С. 88 133.

61. Калуца Т. К проблеме единства физики. В кн.: Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М.: Мир. 1979. С. 529 534.63. de Wet J. A. Nuclear Calabi-Yau space.// Int. Journ. Theor. Phys. 1996. V. 35. No 6. P. 1201 1210.

62. Chamseddine A.N., Derendinger J.-P. Twisted superstring in four dimensions.// Nuclear Physics B. 1988. V. B301. P. 381-425.

63. Burwick Т. Т., Kaiser R. K., Miiller N. F. Three generation flipped SU(5) string models on orbifolds. Preprint ETH-TH/90-44. Institute fur theoretische physik. Univ. Ziiich. 1990.

64. Liist D. Consistency and phenomenology of four-dimensional string. Preprint CERN-TH.6819/93. Geneva. 1993.

65. Рубаков В. А. Большие и бесконечные дополнительные измерения./ / Успехи физических наук. 2001. Т. 171. No 9. С. 913 -938.

66. Rohrlich F. Quantum dynamics of the relativistic string.// Physical Review Letters. 1975. V. 34. No 13. P. 842 845.

67. Rohrlich F. Solition of the relativistic string problem.// Nuclear Physics B. 1976. V. B112. No 1. P. 177 188.

68. Разумов А. В. О квантовании релятивистской струны.// Те-оретич. и матем. физика. 1981. Т. 49. No 2. С. 164 177.

69. Лунев Ф. А. Квантование бозонной релятивистской струны в четырехмерном пространстве.// Теоретич. и матем. физика. 1990. Т. 84. No 3. С. 411 418.

70. Лунев Ф. А. Квантование фермионной струны в четырехмерном пространстве.// Теоретич. и матем. физика. 1991. Т. 86. No 2. С. 191 -201.

71. Пронько Г. П. Метод обратной задачи рассеяния для релятивистской струны.// Теоретич. и матем. физика. 1983. Т. 57. No 2. С. 203 216.

72. Пронько Г. П. Квантовая теория релятивистской струны в четырехмерном пространстве-времени. Автореферат дисс. на со-иск. ученой ст. доктора физ.-матем. наук. 01.04.02. Институт физики высоких энергий. Спец. совет Д034.02.01. Серпухов. 1987.

73. Pron'ko G. P. Hamiltonian theory of the relativistic string.// Reviews in Mathematical Physics. 1990. V. 2. No 3. P. 355 398.

74. Фаддеев Л. Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния./ / Успехи математических наук. 1959. Т. 14. No 4. С. 57 -119.

75. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: Наука. 1984. 240 С.

76. Barbashov В. M., Pervushin V. N. Time- reparametrization-invariant dynamics of a relativistic string. Препринт ОИЯИ E2-2000-100. Дубна. 2000.

77. Pohlmeyer К. The Nambu Goto theory of closed bosonic string moving in 1+3 dimensional Minkowski space: the quantum algebra of observables.// Annals of Physics. 1999. V. 8. No 1. P. 19 - 50.

78. Gervais J. L., Neveu A. The dual string spectrum in Polyakov's quantization (I).// Nuclear Physics B. 1982. V. B199. No 1. P. 59 76.

79. Gervais J. L., Neveu A. The dual string spectrum in Polyakov's quantization (II).// Nuclear Physics B. 1982. V. B209. No 1. P. 125 145.

80. Johanson L., Marnelius R. New canonical structures in Liouville theories and strings without tachyons in D < 25. Preprint 84-13. Institute of Theoretical Physics. Goteborg. 1984.

81. Marnelius R. Relativistic strings and Liouville theories. Preprint 85-37. Institute of Theoretical Physics. Goteborg. 1985.

82. Otto H. J., Weigt G. Construction of exponential Liouville field operators for closed string models. Preprint PHE 85-03. Institut fur hochenergie physik. Berlin. 1985.

83. Барбашов Б. M., Нестеренко В. В., Червяков А. М. Редукция в модели релятивистской струны для произвольной размерности пространства Минковского.// Теоретич. и матем. физика. 1984. Т. 59. No 2. С. 209 -219.

84. Fabrichesi M. E., Leviant V. M. Strings in arbitrary space-time dimensions. Препринт E2-88-705. Объединенный институт ядерных исследований. Дубна. 1988.

85. Зорин О. JI. Свободное калибровочно-инвариантное действие для струны Невье-Шварца в пространстве-времени любой размерности. Препринт 88-128. Институт физики высоких энергий. Серпухов. 1988.

86. Barbashov В. М. Integrals of periodic motion for classical equations of relativistic string with masses at ends.// Journal of Physics A. 1997. V. 30. P. 4651 4664.

87. Плющай M. С., Пронько Г. П., Разумов А. В. Струнная модель бариона.1.Канонический формализм и общее решение классических уравнений движения три-струны.// Теоретич. и ма-тем. физика. 1985. Т. 63. No 1. С. 97 112.

88. Шаров Г. С. Струнная модель бариона "треугольник".// Теоретич. и матем. физика. 1997. Т. 113. No 1. С. 68 84.

89. Шаров Г. С. Струнные модели барионов и траектории Ред-же.Ц Ядерная физика. 1999. Т.62. No 10. С. 1831 1843.

90. Соловьев JI. Д. Растущие реджевские траектории в релятивистских струнных моделях.// Теоретич. и матем. физика. 1996. Т. 106. No 2. С. 209 217.

91. Chaichian М., Gomes J. F., Gonzalez Felipe R. New phenomenon of non-linear Regge trajectory and quantum dual string theory.// Physical Letters. 1994. V. B341. P. 147 152.

92. Barbashov В. M. Classical dynamics of rotating relativistic string with massive ends: the Regge trajectories and quark masses. Препринт Объедин. инст-та ядерных исс-ний Е 2-94-444. Дубна. 1994.

93. Soloviev L. D. Relativistic quantum model of confinement and the current quark masses.// Physical Review D. 1998. V.58. No 3. P. 035005/1 035005/6.

94. Burakovsky L. String model for analytic nonlinear Regge trajectories. Preprint LA-UR-99-1680. Los Alamos. 1999. Электронная версия: xxx.lanl.gov hep-ph/9904322.

95. Дирак П. A. M. Обобщённая гамильтонова динамика. В кн.: Дирак П.A.M. К созданию квантовой теории поля. Основные статьи 1925-1958 гг. М.: Наука. 1990. С. 303-328.

96. Березин Ф. А. Метод вторичного квантования. М.: Наука. 1986. 320 С.

97. Дирак П. А. М. Формы релятивистской динамики. В кн.: Дирак П.A.M. К созданию квантовой теории поля. Основные статьи 1925-1958 гг. М.: Наука. 1990. С. 286.

98. Тахтаджян JI. А., Фаддеев JI. Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука. 1986. 528 С.

99. Кулиш П. П., Рейман А. Г. Иерархия симплектических форм для уравнений Шредингера и Дирака на прямой.// Записки на-учн. семинаров ЛОМИ. Т. 77. Ленинград. 1978. С. 134 147.

100. Magri F. A simple model of the integrable hamiltonian equation.// Journal of Mathematical Physics. 1978. V. 19. No 5. P. 1156 1162.

101. Гаджиев И. Т., Герджиков В. С., Иванов М. И. Гамилътоновы структуры нелинейных эволюционных уравнений, связанных с полиномиальным пучком.// Записки научн. семинаров ЛОМИ. Т. 120. Ленинград. 1982. С. 55 68.

102. Кулиш П. П., Рейман А. Г. Гамильтонова структура полиномиальных пучков.// Записки научн. семинаров ЛОМИ. Т. 123. Ленинград. 1983. С. 67 76.

103. Nesterenko V. V. A nonlinear two-dimensional sigma-model in relativistic string theory.// Letters in Mathem. Physics. 1983. V. 7. No 4. P. 287 293.

104. Барбашов Б. M., Нестеренко В. В., Червяков А. М. Солито-ны в некоторых геометрических теориях поля.// Теоретич. и матем. физика. 1979. Т. 40. No 1. С. 15 27.

105. Omnes R. A new geometric approach to the relativistic string.// Nuclear Physics B. 1979. V. B149. No 2. P. 264 284.

106. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Ф. Современная геометрия. М.: Наука. 1979. 760 С.

107. Curtright Т. L., Ghandour G. I., Zachos С. К. Classical dynamics of string with rigidity.// Physical Reveiw D. 1986. V.34. No 12 P. 3811 3823.

108. Vishwanathan К. S., Parthasarathy R. A conformal field theory of extrinic geometry of 2-d surfaces.// Annals of Physics. 1995. V. 244. P. 241 261.

109. Wigner E.P. On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group// Ann. Math. 1939. V. 40. P.149 204.

110. Менский M. Б. Метод индуцированных представлений. Пространство время и концепция частиц. М.: Наука. 1976. 287 С.

111. Блохинцев Д. И. Пространство и время в микромире. М.: Наука. 1970. 360 С.

112. Малкин И. А., Манько В. И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. М.: Наука. 1979. 320 С.

113. Фущич В. И., Никитин А. Г. Симметрия уравнений квантовой механики. М.: Наука. 1990. 400 С.

114. Мурадян Р. М. Закон Редже для небесных тел.// Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1997. Т. 28. Вып. 5. С. 1190 1220.

115. Johnson К, Thorn С. В. Stringlike solutions of the bag model.// Physical Review D. 1976. V. 13. No 7. P. 1934 1939.

116. Владимирский В. В. Релятивистская струна как предельный случай вытянутого мешка.// Ядерная физика. 1984. Т. 39. Вып. 2. С. 493 495.

117. Лаперашвили Л. В. Спектр масс резонансов К* в модели вытянутых мешков КХД.// Ядерная физика. 1994. Т. 57. No 1. С. 134 141.

118. Погребков А. К., Талалов С. В. Модель "Тирринг х Лиувилль"./ / Теоретич. и матем. физика. 1987. Т. 70. No 3. С. 342 350.

119. Погребков А. К. Двумерная классически решаемая модель с нетривиальным рассеянием.// Теоретич. и матем. физика. 1972. Т. 12. No 2. С. 209 213.

120. Погребков А. К. О глобальных решениях задач Коши для уравнения Лиувилля фи — фхх — —1/2т2ехрф в случае сингулярных начальных данных. Доклады АН СССР. 1979. Т. 244. No 4. С. 873 876.

121. Джорджадзе Г. П., Погребков А. К., Поливанов М. К. Сингулярные решения уравнения did1 ф + (га2/2) ехр ф = 0 и динамика особенностей.// Теоретич. и матем. физика. 1979. Т. 40. No 2. С. 221 234.

122. Погребков А. К. О взаимодействии полей и частиц в классической теории. Автореферат дисс. на соиск. ученой степенидоктора физ.-матем. наук. 01.04.02. Математический инс-т АН СССР. Спец. совет Д002.38.01. М. 1993.

123. Талалов С. В. Гамилътонова структура модели "Тирринг х Лиувиллъ". Сингулярные решения.// Теоретич. и матем. физика. 1987. Т. 71. No 3. С. 357 369.

124. Талалов С. В. Алгебры токов в теории классической D = 2 + 1 струны с внутренними степенями свободы.// Теоретич. и матем. физика. 1989. Т. 79. No 1. С. 41 48.

125. Talalov S. V. Classical D = 2 + 1 spinning string: geometrical description and current algebras.// Journal of Physics A. 1989. V. 22. P. 2275 2284.

126. Талалов С. В. Замечание о геометрическом описании релятивистской струны.// Теоретич. и матем. физика. 2000. Т. 123. No 1. С. 38 -43.

127. Боголюбов Н. Н. Об одной новой форме адиабатической теории возмущений в задаче о взаимодействии частицы с квантовым полем.// Украинский математический журнал. 1950. Т. II. No 2. С. 3 24.

128. Хрусталев О. А., Чичикина М. В. Групповые переменные Боголюбова в релятивистской теории поля.// Теоретич. и ма-тем. физика. 1997. Т. 111. No 2. С. 242 251.

129. Талалов С. В. Спиновая струна в четырехмерном пространстве-времени как модель киралъного 8Ь{2,С)-поля с аномалией. /.// Теоретич. и матем. физика. 1990. Т. 82. No 2. С. 199207.

130. Талалов С. В. Спиновая струна в четырехмерном пространстве-времени как модель киралъного 8Ь(2,С)-поля с аномалией. II.// Теоретич. и матем. физика. 1990. Т. 83. No 1. С. 57 -63.

131. Talalov S. V. String theory in four dimensions: new model with nontrivial mass spectrum.// Ядерная физика. 1993. Т. 56. Вып. 11. С. 262 268.

132. Талалов С. В. Динамика струны в D4 пространстве-времени. I. Гамилътонов формализм. // Теоретич. и матем. физика. 1996. Т. 106. No 2. С. 218 232.

133. Talalov S. V. The poisson structure of a 4D spinning string.// Journal of Physics A. 1999. V. 32. P.845 857.

134. Talalov S. V. The version of D4 string: from the non-canonical hamiltonization to the "exotic" spectrum. В кн.: Problems of Quantum Field Theory. Proceedings of the Xlth Int. Conference. Dubna. 1999.

135. Талалов С. В. Нелинейные траектории Редже в релятивистских моделях протяжённых частиц.// Вестник Самарского гос. университета. 2000. No 2(16). С. 126 145.

136. Талалов С. В. О квантовании струны в четырех измерениях методом бозонизации.// Теоретич. и матем. физика. 1992. Т. 93. No 3. С. 506 513.

137. Talalov S. V. String model in D = 1 + 3 dimensions: the non-standard approach to the hamiltonian dynamics and quantization.// Journal of Physics A. 1994. V. 27. P.2443 2455.

138. Талалов С. В. Динамика струны в DA пространстве-времени. II. Квантовая теория. // Теоретич. и матем. физика. 1996. Т. 109. No 1. С. 80 89.

139. Талалов С. В. Об одной струнной модели "экзотических" частиц.// Теоретич. и матем. физика. 1998. Т. 115. No 2. С. 233 244.

140. Jorjadze G. P., Pogrebkov A. K., Polivanov M. C., Talalov S. V. Liouville field theory: 1ST and Poisson bracket structure. // Journal of Physics A. 1986. v.19. P. 121 139.

141. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро- дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1982.

142. Цыпляев С. А. Коммутационные соотношения матрицы перехода в классическом и квантовом методе обратной задачи. Теоретич. и матем. физика. 1981. Т. 48. No 1. С.24 33.

143. Семёнов-Тян-Шанский М. А. Классические r-матрицы и метод орбит.(/ Записки научн. семин. ЛОМИ. 1983. т.123. С. 77- 91.

144. Maillet J. Hamiltonian structures for integrable classical theories from graded Kac-Moogy algebras./] Physics Letters. 1986. V. 167B. No 4. P.401 405.

145. Склянин E. К. Квантовый вариант метода обратной задачи рассеяния. Записки научн. семин. ЛОМИ. Т. 95. С. 55 128. Ленинград. Наука. 1980.

146. Аркадьев В. А., Погребков А. К., Поливанов М. К. Замечание о пуассоновой структуре для уравнения КдФ.// Доклады АН СССР. 1988. Т.298. No 2. С. 324 328.

147. Захаров В. Е, Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов: метод обратной задачи. М.: Наука. 1980. 320 С.

148. Ньюэлл А. Обратное преобразование рассеяния. В кн.: Со-литоны. ред. Буллаф Р. и Кодри Ф. М.: Мир. 1983. С. 196 -269.

149. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука. 1977. 640 С.

150. Румер Ю. В., Фет А. И. Теория групп и квантованные поля. М.: Наука. 1977. 248 С.

151. Новиков С. П. Многозначные функции и функционалы. Аналог теории морса.// Доклады АН СССР. 1981. Т. 260. No 1. С. 31 35.

152. Новиков С. П. Гамилътонов формализм и многозначный аналог теории Морса. // Успехи матем. наук. 1982. Т. 37. No 5. С. 3 49.

153. Witten Е. Non-Abelian bosonization in two dimensions.// Communications in Mathematical Physics. 1984. V. 92. P. 455 -472.

154. Наймарк M. А. Теория представлений групп. M.: Наука. 1976. 560 С.

155. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. Мир. 1970. 720 С.

156. D'Hoker Е., Jackiw R. Classical and quantal Liouville field theory.// Physical Review D. 1982. V. 26. P.3517 3542.

157. Клименко С. В., Никитин И. Н. Исследование особенностей на мировых листах открытых релятивистских струн.// Теоретич. и матем. физика. 1998. Т. 114. No 3. С. 380 398.

158. Kovner A., Rosenstein В. Quarks as topological defects or, what is confined inside a hadron.// Intern. Journal of Modern Physics A. 1993. V. 8. No 31. P.5575 - 5604.

159. Захаров В. E., Кузнецов E. А. Гамилътоновский формализм для нелинейных волн.// Успехи физ. наук. 1997. Т.167. No 11. С.1137 1167.

160. Todorov I. Т. Constraint hamiltonian dynamics of directly interacting relativistic point particles. В кн.: Quantum theory, groups, fields and particles. 1983. Ed.: A. O. Barut. Reidel Publ. Company. P. 293 -324.

161. Filippov A. T. Gauge theories of particles, strings and corresponding fields. Препринт ОИЯИ E2-87-806. Дубна. 1987.

162. Карасев M. В., Маслов В. П. Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование. М.: Наука. 1991. С. 47.

163. Борисов А. В., Мамаев И. С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. Серия: Регулярная и хаотическая динамика (Ред. серии Козлов В. В.). Ижевск: изд-во "Удмуртский университет". 1999. 464 С.

164. Желнорович В. А. Тензорные представления спиноров и спи-норных уравнений. М.: Изд-во МГУ. 1979. 154 С.

165. Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы. М.: Мир. 1977. С. 35.

166. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ. М.: Мир. 1977. 357 С.

167. Никитин И. Н. Конфигурации релятивистской струны, квантуемые без аномалий.// Ядерная физика. 1993. Т.56. Вып.9. С.230 248.

168. Nesterenko V. V. On squaring the primary constraints in a generalized hamilton dynamics. Препринт ОИЯИ E2-93-328. Дубна. 1993.

169. Павлов В. П. Канонические преобразования для систем со связями.// Теоретич. и матем. физика. 1995. Т.104. No 2. С.304- 309.

170. Барут А, Рончка Р. Теория представлений групп и её приложения. Т.2. М.: Мир. 1980. 396 С.

171. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука. 1988. 562 С.

172. Gribov V. N., Pomeranchuk I. Ya. Regge poles and Landau singularities.// Physical Review Letters. 1962. V.9. No 2. P.238- 242.

173. Трошин С. M., Тюрин Н. Е. Спин в физике высоких энергий. М.: Наука. 1991. 176 С.

174. Groom D. Е. at al. Particle Data Group.// European Phys. Journal. 2000. V.15. P.l.

175. Ландсберг Л. Г. Экзотические адроны.// Ядерная физика. 1994. Т.57. No 1. С.47 105.

176. Анисович В. В. Экзотические мезоны: поиск глюболов. // Успехи физических наук. 1995. Т. 165. No 11. С. 1225 1247.

177. Burakovsky L. Scalar glueball mass in Regge phenomenology.// Physical Review D. 1998. V.58. No 5. P.057503/1 057503/4.

178. Соловьев Л. Д. Глюболы в струнной кварков ой модели.// Теоретич. и матем. физика. 2001. Т. 126. No 2. С. 247 257.

179. Morningstar С. J., Peardon М. Glueball spectrum from an anisotropic lattice study.// Physical Review D. 1999. V.60. No 3. P.034509/1 034509/13.

180. Lepowsky J., Wilson R. Construction of the affine Lie algebra Л!).// Communications in Mathem. Physics. 1978. V. 62. P.43 -53.

181. Frenkel I. В., Кас V. G. Basic representations of affine Lie algebras and dual resonance models.// Inventiones Math. 1980. V.62. P.23 66.

182. Lepowsky J., Prime M. Structure of the standard modules for affine Lie algebra Contemporary Mathematics. V. 46. Amer. Math. Soc. Providence-Rhode Island. 1985. 84 P.

183. Wakimoto M. Fock representations of the affine Lie algebra A{i].// Communications in Mathem. Physics. 1986. V. 104. No 4. P.605 609.

184. Швингер Ю. Коммутаторы в теории поля.

185. Physical Rev. Letters. 1959. Перевод в кн.: Адлер С., Дашен Р. Алгебры токов и их применение в физике частиц. М.: Мир. 1970. С.239 242.

186. Вайтман А. Проблемы в релятивистской динамике квантованных полей. М.: Наука. 1968. 184 С.

187. Погребков А. К., Сушко В. Н. Квантование (sin^)2 взаимодействия е терминах фермионных переменных.// Теоретич. и матем. физика. 1975. Т. 24. No 3. С. 425 - 429.

188. Погребков А. К., Сушко В. Н. Квантовые солитоны и их связь с фермионными полями при (sin <р)2 взаимодействии.// Теоретич. и матем. физика. 1976. Т. 26. No 3. С. 419 - 424.

189. Gerasimov A., Morozov A., Olshanetsky М., Marshakov А., Shatashvili S. Wess Zumino - Witten model as a theory of free fields.// Intern. Journal of Modern Physics. 1990. V. 5. No 13. P. 2495 - 2589.

190. Погребков А. К. О квантовании уравнения КдФ.// Теоретич. и матем. физика. 2001. Т. 129. No 2. С. 333 344.

191. Alvarez-Gaume L., Bost J.-В., Moore G., Nelson R., Vafa G. Bosonization on higher genus Rieman surfaces.// Communications in Mathem. Physics. 1987. V. 112. No 3. P. 503 552.

192. Larsen A. L., Nielsen N. K. Noncollapsing circular string with world sheet spinors.f/ Physical Review D. 1993. V. 48. No 4. P. 1748 - 1756.

193. Маханьков В. Г., Рыбаков Ю. П., Санюк В. И. Модель Скирма и сильные взаимодействия. // Успехи физических наук. 1992. Т. 162. No 2. С. 1 62.

194. Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука. 1967. 588 С.

195. Баландина Е. В., Крутов А. Ф., Троицкий В. Е. Релятивистская модель двухкварковых составных систем.// Теоретич. и матем. физика. 1995. Т. 103. No 1. С. 41 53.

196. Бердников Е. Б., Пронько Г. П. Релятивистская модель орбитальных возбуждений мезонов.// Ядерная физика. 1991. Т. 54. Вып. 3(9). С. 763 776.