Модели релаксационной фильтрации при использовании обобщенных ядер Римана-Лиувилля тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

п ц ид

1 \ о их шиз

КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОЮ ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

На правах рукописи САЛЕХОВА ЛЯЙЛЯ ЛЕОНАРДОВНА

МОДЕЛИ РЕЛАКСАЦИОННОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ОБОБЩЕННЫХ ЯДЕР Р ИМ А НА-Л ИУ В И Л Л Я

01. 02. 05—механика жидкости, газа н плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань 1993

Робота выполнена на кафедре аэрогидромеханики Казанского государственного университета

Научный руководитель - Заслуженный доятепь науки к

техники Татарстана, доктор физико-математических наук, профессор Ю.М.МОЛОКОВИЧ

Официальные оппоненты - доктор технических наук,

профессор В.Д.ЧУГУНОВ; - кандидат физико-математических наук, доцент А.С.ШКУРО.

Ведущая организация - Институт механики многофазных сред г.Тюмень

в 14.30 на заседании спецнализщюш».... _ _ _ .. ;е

Д 063.20.01 при К ГУ но адресу: 420008, ул.Лсшша 13, аул. физ.2 (главного здания).

С диссертацией можно ознакомиться м иаучноп библиотеке КГУ им.Н.И. Лобачевского.

Защита диссертации состоится

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета канд.физ.-мат.наук

А.И.ГОЛОВАНОВ

Актуальность работы. Для описании нестационяршх '.¡.иль -трвционных течений однородной нвпельно-авимаемой вязкой нсиц-иооти в однородной изотропной слабо-деформигуемой пористой ' ореде наиболее чаото иопольвуевоя модель так навиваемого классического упругого рекима.

В основе этой модели леяат предположения, во - первых, о бесконечно большой скорости распространения возмущений и, во-вторых, о мгновенном соответствии ма*ду скоростью филь -трэции и градиентом давления,а также количеством жидкости в елементе объема пласта и давлением. Однако, многочисленные промысловые и лаборатопные исследования показывают, что отмщенные предголоаения могут быть приняты лииь тогда, когда граничные или иные условия, определяющие движение жидкости, медленно меняются во времени. Таким образом, можно считать, что модель классического упдегого режима описывает нестационарна "ревнэвесцую" фильтрацио.

Несоблюдение указанных "равноиесных" условий моасет привести к неудовлетворительному гидродинамическому описанию фильтрации. Это находит своё подтверждение в отклонении для малых значений времени давления :ши обратного дебита от пря- . молинейдай временной зависимости,обработанной, согласно ыо -дели классического упругого релима, в полулогарифмических координатах,, когда на п рантик о для определения параметров пластов снимается кривая восстановления давления (ВД) или кривая падения дебита (ШЩ').

Отмеченные выше особенности "быстрых" фильтрационных течений в пластах, представляющих собой весьма сложные си -стемы, :'по-бициыоцу, мояно объяснить их "неравновесностью", обязанной обменным перетокам яадности в трещиновато-порио -тых и ело истых средах; мелфазноцу обмен при фильтрации неоднородных дисперсных сред (эьульсий, газированных кидкоо-тей, растворов полимеров), уп^уговязким свойствам ввдности и насыщенного порОЕОГО коллекторе. Повтор имеющее место надошение "равновесного" соответствия меду скоростью фильтрации и градиентом давления с методической точки зрения возможно описывать законами фильтрации, учитывающими релаксационные агенты. Повтор исследование особенностей

неравновесной фильтрации актуально, как о теоретической точки врения, так и с прикладной.

Цель работн. Ьаряду о известной модель :о фильтрации, утвердившейся в линейной релаксационной теории, когда в качестве ядра релаксации закона фильтрации используется функция експоненцчального убывайт, предлагается новая модель, ядром релаксации которой является функция Римана-^випля следующего вица:

нше ±

л4 ГШ) , **о

где

НФ - функция лавшайда, РЫ) - галыа ц у нация.

Ш

( 1 ) сНО - НС.ЦЕЛРЕ 3пп ти1 Ы I ¿*т>0

ы.сО - целее

ь частности, описание у становления постоянного реасода прнуста-ювиЕшекоя постоянном градиенте давления предлагаемой моделью, дает возможность учитксать не только время установления '■"равновесного" срстояния, ш ь его темп. .

Использование обобщенной фикции Риыака-Л^вилля в'качестве ядра релаксации закона фильтрация и вакока изменения массы жидкости в алеыенте объёма среды, в зависимости от йначений параметра оС , .призодиг к уравнениям релаксационной фильтрации различного вида: в д*х> бшх про ©водных и дробных интегра -лак.

а работе испольвована идея представлен»! дифференциальных, интегральных и интегро-дирферетциальных уравнений с постоян -ныыа ковффициэнтаыи в виде уравнений сверток. Предлагаются аналитические методы решения некоторых классов так их у равнени!.

Щучное направление. Таким образом, диссертацюншл работа посвящена дальнейшему развитио неравновесной фильтрации. Работа носит в основной теоретической характер.

Научная ЮЕиьна и перечень основных а ад ач. рассмотрен -ных в диссертации.

1) Предложена юдоль релаксационной- огаьтрэци», основанная использовании обобщенной ({угг.шли Рлмана-Лн/аипля б на -чество ядра ришксвции а законе фидьтрщчи и в соотношении для изменэния ыассы д:даости в элементе объёма ерацы.

4) Дано теоретическое исследование особенностей фильтрации, связанных с введением нового гдра Ринана-Л ^оилля.

а) шсяьдоаьны ооироцы гиперболшности и параболичности обобщенного уравненья релаксационной фильтрации к получены соответствующие вриуорни.

4) Предложена анакитичоскиа методы решения некоторых классов ураьнзний свертоа рвладсашганной фильтрации с обобщенными операторами Рииана-Лц/видля, а частности, построение и шследованца фундаментальных решена» ра о смотрение вопроса распространения волн для уравнений гиперболического типа,получение значений скачаов ^унцамеитыед отклдоое на болно -sou фронте. Приведено решение нонхрепах эадач с использованием '¿ундеыентальи« решений.

5) аолучош условия, всязывэлцив льрзметра :щра р-лвиоа-ции закона фильтрации и ядра соотношения; изменения ывосы жидкости, позволяющие класс адицироьатьраоотрива едою модель на т иш.

б) Рбшенкз зGi,ск цаосно-рздиальной фильтрации о ц/сна сдьажшы с постоянным даСитои или с шоголннии данлениом в неограниченном пласте; получении на их основе тгенер-вдс <|орцул для'определения фильтрационных параметров пласта.

JjocToseptiocrb подученных результатов обосновывается использованием общж принц.¡под "неравноьзсной" механики сплошных сред с затухающей память». Б рьбото указана'область применимости. Там где это воамокио проведено соПоставле.чм с ранее известными ре&улыштами.

Практические результаты

Получены ненавистные р-нее расчетные чорчули для опради-леквя фильтра.донн.« паре петров пласта.

Структура и объем диссертации

Диссертация содержит 1й0 страниц машинописного тик ото, 4 глени, 3 таблиир, 11 рисунков. Библиографический ьлиоон ышлаает Ш наименований работ отечественных и'вадебсжшх авторов.

¡{убликации

Основное содержание диссертации оц/бликовею и 5 печатнях работах.

Аппобация раооты

Осносные результаты диссертации докладывались на городском научном семтаре по Подземной гицроаехандае (.г.Киьань), на ежегодных научних конференциях Кавансяого университета, ш точной семинара год ¡ф'ководством Р.И.Нигматуллина (г.Тюмень, Институт механики многофазных сред), на Ц республиканской и&> у Ч но-техническом семинаре по машинным методам рещения евдвч теории (¡-шьтрации (г.Кааань,1994 год).

Цодер*анив работы Работа изжигается в соответствии с ц/мерацией глев.

ипомеи не

оо введении даны кратная прещыотория, обаор литеритурд по данное чау чту направленно. Здесь'также излагается краткое содержание и характеристдаа работы в целом и приводится описи о основных, положений работы, вынооишх. на аацлту.

Несшая глаьа госвящена основным принципа»; иуреанениям релаксационной фияьтрации с позиции.теории обоб1ценньх £уннш;Й. Аееотпо, чте современная теория обо еще иных дикций яедяетса мощный математическим аппаратом, позволявшим решать лироний класс задач 1ноторые, вообще говоря, не поддыотся решеько методами классического математического анализа) без ограничений не связанных с фюичеоним явлением. Ьуог аппарат позволяет обосновать применивши и мвтодь и подучэннья результаты.

Б начале главы приводятся нбобход шые сведения из теории обобщанных функций. Зетем в пределах модели I; нчустаноьишеййя. изотермической фивьтр£ции наптльао-с&ллаемэй зкзкой иеддости

в неподвиаюй щотропюй слабоде|ормиг^емой гористой среде

— £ _

— ^

вводится релаксационный закон фильтрации, пред ста вляющий сно-роогь фильтрации как линейный непрерывный функционал по

времени от функции градиента давления

ur&tb-s-

/* j

4CH-T)vP (x,r)dv (2)

Аналогично, в каждый фиксированный момент времени -6 ^вменение массы жидкости vnjs (5c,t) в элементе объёма пористой среды есть линейный непрерывный функционал U¿ по

времени от функции изменения давления: *

TVJ>(x,í)*f0p j М f-i-т) Р(х, t)dr ( з )

-от

Обобщенные функции' i) и M(éJ называются в дальнейшем соответственно ядром ллаксации закона фильтра -ции и ядром релаксации соотношешя для изменения массы жидкости. Они удовлетворяют ряду условий;

i) , JJ.U) с Я)'(Я*) - неотрицательные,размер-

^ гости (время)

'¿) ¡X(t)cLt' i'. ]M.(i)di*£'

-а,

3) supp ¿CU) С [Р; + *о) , supp Мн)с [О;

4) при тi — ао tiCt-í), М.(-6) - гладкие, быстроубываю-

• щие функции

Исходя из линеарюованного уравнения неразрывности фильтра -цданного потока

fodá'cs* З(гпр) я(> ( 4 )

соотношений (<;), (3) получено обобщенное уравнение линейной релаксационной i ильтраани:

■ь

- 1л(г)Р(Ы-т)с!т. *е а ]г(т)р(^-т)с{т ( 5 5

О С

/¡р - коэффициент пьезопроводности. й следующем параграфе данной главы евтор дает ответ на Еопроо: при каких условиях на ядра релаксации интегро-д'Дференциальшй оператор уравнения (5) будет гиперболического типа?

йзследуется задача НЬши для уравнения (5) в обобщенной постановке, что позволяет включить начальные условия в мгновенно действующие источники. Приходим к следующему уравнение в свертк ах

XX

где У/Ш^ 31.. ¿(х>- ¿-г £(+)- 5х д£

ЯШ- НЩГ(-Ь) ■№)= НШМЩ

- функция Дирака. ' ^Ьвестно, что вопрос существования и единственности решения уравнения'(б)тбсно связан с вопросом существования ц единственности фундаментального решения этого уравнения:

& ( 7 }

Оно додано быть ф® отески осмысленным, то ^-сть описывать распространение Еозмущение с конечной скоростью, и следовательно ц должно быть соербдоточено в конусе Г

{ /7Гр-£» /X//. Поэтому фундаментальное

решение должно принадлежать сверточной алгеСре (г) Так как преобразование <$Урье-Лапласа является 1вокор. щиои

- е -

свэрточной елглирк й/ (г) ' на шльтшшияативчу» алгебру Н(Т\) > т0 вопрос о существовании Лундаиентельтого решения е в свэрточной алгебрэ <1'(г) с со -

дится и нопрэсгу, будет ли Ср) ^ '¿'л - делитель

единицы а Н (7е) ? Известно, что ,?/ (Н (Т*) будет делителем единицы в Н(7 е) , тогда и только тогда, когда ¿г'[ с) ~ медленно убывающая (¡унята в Т" .

Существуют иные, более простые нритерии того, что ьсть дел отель единицы з И (Тс)

г*

а) ¿ели РС?) ~ пол ином, и не обращается в

ну я ьвГ",«) Щ)€Н(ТУ

б}.Ксли рациональная цункции, -делитель

единицы в И (7 е) тогда и только то где, когда она голоморфна и не

обращается з цуль 7 .

в) Л^(^) -такова, что У С с С ,

р) И 7т

30 И(7е)

Следовательно, есут (/) - делитель здиниш п

И(7е) • , то существует а притом единственное (¿унцаыентэ льнов решение в ¿¡'(Г) 1

ЕШ)*.

Таким образец интегро-дифс! ерзнцивльный оператор уравнения (5) будет иуеть фУ'Щэь'ентальное решение с носителем в ко.чуез Г , если функция >?/ ()~) будет медленно Убывающей й 7е , или выполнено одно ю услоьч-й а), б), в), г).

и четвергом параграфе первой главы вводится обобщенная

функция Риызча —л, Б Ш1 ЛЯ вица Ц),

заъ.юящая от двух вещественных параметров Ы и Л . Доказывается, что

у?'*; * ¡4 н)

- 9 -

f-oW' W

при

ó следующем пятом параграфе данной главы обсуждается приложение обобщенной функции Римана-Лцу вилля. в теории линейной релаксационной фильтрации в качестве ядра релаксации закона фильтрации, fía нескольких примерах показано, что параметры ot и имаот определенный фжический сшсл: «( - пов -

воляет учитывать темп установления постоянного расхода при у становящемся постоянном ptad Р в ранее покояшейся жидкости, а Л - время релаксации системы. Также отмечается, что введенная обобщенная функция ¿ы^) ( ПРИ Jl>0 ) удовлетворяет перечисленным выше свойствам ядер релаксации 4Cli), Mi-i-) » и тот Факт, что все известные раное ядре релаксации иьспоненциального убывания являются частными еду -чаями функции 'fu^) ' Ш1И е® линейшх комбинаций при о ; и- 1¡- d-, о . га второй главе рассматриваются аналитические нетодц решения некоторых классов уравнений сверток с обобщенными операторами Римина-Л^вилля.

ü персом параграфе данной главы методом раздеяениз перс -меншх йгурье найдено фу «даментальное радение и решена задаче Ноши, в одномерном случае, для уравнения (Ь) с ядрами релаксации вида:

при различных соотношениях меаду временами релаксации и

Лг . Уравнение фильтрации для данной модели имеет ьиц:

¿t

С 6)

фундаментальное решение уравнения (&) при Л, >J¿>0 имеет вид:

ЛШЛ.

х

Г

л кт)ь

в ** *к ( ' I

угйЩЩ

ш(Ыше ( 9 )

а при -ял > й, » о ¿о

-Углг.]

С Ю )

4 (¿-г Шм) о< Ш<и

ЩШГ '

1 * )'-ыте)'

(л*-1ЛтТ< / 6* +

. ' 1 л

Таким обрвьом, рошение вадачи Коши сущэствует I: еддаственно, они ы-ралаехад сьарткой

Еи (х.-б) *

где

(ЦХ) Щ*Ш)Л■ Щ

Очеведно, '¡то существенной вл шин в на I ид фундаментального решения оказывает соотношение меиду вр1менаыи релаксации Ж ,, • Р&"смотрены прецельные случаи: зЛ>р ¡^0;

а следующем параграфе, в рашах той ае релаксационной модели, решена емшшнная задача в случае ограниченного пласта при Я > Л ; «Л > Я и Д •» Я

tí третьем параграфе этой главы методом отражения решена евдоча фильтрации для полуограшгчонного пласта с о.аданнны давлением на границе. Оуть данного метода заключается ь том, что функция давления P(x,-í) продолжается нечетно для

Х<о ; и ц/лем для i<о .Далее используется

теория решения уравнений в свертках на пространствах обобщенных qyKKi'.tfl, ■ и найденные ранее фундаментальные решения К9), (10).

о четвертом параграфе предложен ещё один из подходов к нахокденио фундаментальных решений некоторых операторов, а именно: ц/оть требуется определить функцию отклика Е (Zrí) для уравнения

Я 5Í * Я ' 'эТ1 ° ( 11 )

где "к " - операция свертки полученного ю (5) при

¿m- f*W ' , MHhff'tt)

Регулярные обобщенные функции / I- ПР"~

нацле^ат сверточной алгебре' - Ç} (£+) и ойратииы в втой алгебре, причёмоиратнымиэлементами.яелявтся соответственно

f.^l Ш % • Умножая сеерто^но оба части

уравнения СИ) на ^-¿Ш* в левой части пол/ч им

дифференциальный оператор уравнения (U), элементарное решение которого иавестно. '¿эким образом элементарное решение исходного оператора (11) равно:

B(xd)= fjifzrfj r Т(ъ±) Я Я * 'U* 2г)Щ 1 W )

- U -

Ь следующем параграфе данной глзш рассмотрены задачи прямолинейно-параллельной (П=±) , плоско-радиальной

(п-2) и сферически-симметричной фильтрации ,

когда в неограниченной области имеются источники и стоки, е ядра релаксации

Уравнение фильтрации, записанное в обобщенных функциях, имеет вид:

( 13 )

при (&)€ ; Т(Х,±)сЯ) '($""')

'фундаментальное рэиениа «нтегро-дил^еренциэльного опе -ритора уравнения (33) в впишется кок

,( И)

где Вп (х,1) - фундаментальное решение телеграфного урав -нения

Так как гирр Е„ (х,£) с

Га_:= {Ш)€ А'"/ .

коцусу волн будущего, то ■ зирр (х, -¿г)С /2.

фундаментальное решение а,принадлекит А(Гл)~ СЕерточной алгебре обобщенных функций на Я"** , носители которых, ле^ат б Га . заметим такке, что Т(х,±) принадлежит сверточному модулю . № основании теории

уравнений сверток на СЕерточном модуле моано сделать

шеод, что так как ¿>„(хг-£)с. /I (Га) , то оно ецш-

ствевно в п I»л/ ; откуда вытекаят рущосггованае и единственность решения у равнения CIS).

РсхМ - Г^тУ

Далее исследован вопрос распространена боли в трехмерном, двумерном, одномерном случае. Показано, что вовсех случаях имеет место диЭДувия волн. В одномерном случае скечок фундаментального отклика на волновом фронте затухает по экспоненциалы©^ ва-коцу, а при пе£,3 - равен бесконечности.

И третьей главе диссертации иссибдуются особенности пряыо-линейнэ-пэраллельной фильтрации при использовании обобщенных ядер Римэна-;1ф вилял. й результате исследования решений вадач релаксацюнной фильтрации, характеризующееся ядрами

т- мш*

о ц/ске галереи о постоянным эабойным давлением, либо о постоянным дебитом гаи с периодически меняющю/ся давлением в не -отвинченном пласте получены соотношения связывающие параметры Ы и $ , которое дают возможность кдассйрицировать данцую модель фильтрации на типы (см.табл..'*. 1)

Таблица 1

to* const J гг„=а>

ty(0)~ const J , fi- *

i

qtP)*o J сji о<-/i<1 g

Различные типы ст'личэютол аи^оы уреининия (гипербоиичеовое или параболичйоиоо), значение« дебита (ю.',и дишюния) в начальный момент времени (нулевой, постоянный, баоконечный). Следует от » метить, что полученные результаты справедливы к дня гошсжо-радиального ату чая. И наконец,

Четвертая глава посвящена прикладным вопросам, а именно! приложениям плоско-радналыей нестацюнарнок фильтрации в боо -конечном пласте для определения фкпьтрационньх параметров.

Решены еадочи плоско-радиальной нестационарной фильтрации в беоконечкы ллаоте при работе скважина либо о постоянным деби ~ том, либо о постоянным давлением. Рассмотрены две моден и*

1. Шдель фильтрации, харайториаующчяся яд {«к и релиноации

вида

mhfftt) muhf^ttj

П. Модель $еаьтрации по оввоцу Д1<рча а рэиваэацданно-сжй-ывеыой оредб

Я7ми). f*m*fA*ft)

Проведан асаыптотичесвий эналга лолученчых ртшешй» и да»м расчетные итаен^ршв {ормулы для определения фильтрадионкых пора -метров плата '

ф ' . ^Г 1 ■ ^ i / > ^ ' ^

Приводится ¡«люстрация разработанной мелодиии обработки кривой восстановлена давления а кривой падении дебита на пркмеоах.

- 15 -

Основные реаудьтаты диссертации опубликованы ъ следующих работах'

1. гдалокович Ю.М.,Салехсва Л .Л. О критериях гиперболичное ти уравнения релаксационной фильтрации/ Иаганск.ун-х.-Иа8бнь.-с.Деп.в ВИНИТИ № 174Ь-£Ш.

a. Ьйлокович Ю.М.,Садехова Л.Л. Об елеыентаршм ранении уравнения релаксационной фильтрации вида

нн)еу? ЭР ¿е НШе*мл д!

Т~ * -3- дх*

На а а иск ..у н-т. -Ка з а н ь1991. - 1Й о.-Деп.в ВИНИТИ й 1261-г#1.

b. Мэлокович Ю.М. »Салехова Л.Л. йэдель релаксационной фильтрации о обобщенным идрэы Риыана-Лиувилля'' II реоцубди -ианокий нвучно-техн.сем.по машинный методам решения аадоч теории фильтрации- Тез.докл.-Казань;-19&£.-С.26-27.

4. Салехова Л.Л. Об .уравнении фильтрации в тонком гори--ионтальном насыщенном пласте' Казанск.ун-т.-Нааань.-19£©,-13 о.-Деп.в айМИ.'* 6Т95-БШ.

п. СалелоБа Л.Л. Аналитический метод решения одного клао-са уравнений свёрток с обобщенными операторами Римана-Ли/вйдлн/ Каванск.Пед. ин-т. Казань. 1991.-11 о.-Деп.в вШИТИ *«443В-«й>1.

Подписано к печати 3/У1-93 Вф. 100 Зак. 129-92

Лаборатория офсетной печати Казанского госперинституга 420015 г.Казань, ул. Пушкина,!.