Весовые оценки одного класса интегральных операторов дробного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Мохаммади Фарсани Соруш

ВЕСОВЫЕ ОЦЕНКИ ОДНОГО КЛАССА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ДРОБНОГО ТИПА

Специальность 01.01.01. - вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005051729

11 АПР 2013

Москва - 2013

005051729

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов (РУДН).

Научный руководитель:

Степанов Владимир Дмитриевич, доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН, заведующий кафедрой математического анализа и теории функций РУДН;

Официальные оппоненты:

Гольдман Михаил Львович, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры нелинейного анализа и оптимизации РУДН;

Васильева Анастасия Андреевна, кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры общих проблем управления механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Ведущая организация:

Московский энергетический институт (Технический университет)

Защита состоится «23 апреля » 2013 г. в 16 ч.ОО мин. на заседании диссертационного совета А 212.203.27 при Российском университете дружбы народов по адресу: 117419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. № 495°.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов.

Автореферат разослан«_»_2013 г.

Ученый секретарь ^____ .

диссертационного совета " Россовский Леонид Ефимович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Историю дробного интегрирования следует, но видимому, вести с работ Н. Абеля и Ж. Лиувилля. В работе Н. Абеля1 в связи с задачей о таутохроне решено интегральное уравнение

Г^т, X > а, 0 < а < 1. Ja (x-ty

Решение дано для произвольного a G (0,1), хотя задача о таутохроне приводит к случаю а = \. В 1832—1837 гг. появляется серия работ Ж. Лиувилля, сделавших его по праву создателем уже достаточно полноценной теории дробного интегродифференцирования. Она еще не достигла той формы, которую ей придало дальнейшее развитие другими исследователями, но в ней уже высказаны и далеко продвинуты важные идеи. Исходное определение Ж. Лиувилля, предложенное им в 1832 г., основано на формуле дифференцирования показательной функции и относится к функциям f(x), представимым в виде ряда

оо

/(я) =

к=О

Для них, по определению Ж. Лиувилля,

оо

Daf(x) = J2cbaZeakX' (О-0-1)

к=О

при любом (комплексном) а. Ограничительность этого определения, очевидно, связана со сходимостью ряда. Исходя из определения (0.0.1), Ж. Ли-увилль2 получает формулу дифференцирования степенной функции. Более того, в этой же работе Ж. Лиувилль выводит (не совсем строго с современной точки зрения) формулу

1 г°°

D~"f(x) = , . / <р(х + íjí^dí, -оо < ж < оо, а > 0, (0.0.2)

(-1)Q1 (а) J о

1.4 bei N. Я. Solution de quelques problèmes a l'aide d'intégrales defimt.es. // Oeuvres Completes.Grondalil, Christiania, Norway, 1881. V. 1. P. 16-18.

2Liouville J. Memoire sur quelques Questions de Geometrie et de Mecanique, et sur un nouveau genre de Calcul pour resondre ees Questions. // J. Ecole Polytech., 1832. T. 13. Sec. 21. P. 1-69.

называемую теперь (без множителя (— 1)а) лиувиллевской формой дробного интегрирования.

Рядом с работами Ж. Лиувилля но значимости следует поставить работы Б. Рнмана3, и X. Хольмгрена4. Работа Б. Римана, выполненная им в 1847 г. в студенческие годы, была опубликована только в 1876 г.— спустя 10 лет после его смерти. Б. Риман пришел к конструкции дробного интегрирования

1«ф) = F7-T [ , „dt, X > О, а > 0, (0.0.3)

Г(а) J(, (х - i)1-"

служащей с тех пор наряду с конструкцией (0.0.2) Ж. Лнувилля одной из основных форм дробного интегрирования. Подробный исторический обзор по данному кругу вопросов имеется в капитальной монографии5, где, в частности, выражение (0.0.3) и сопряженные к ним называются дробными интегралами Римаиа-Лиувгиля.

Для ()<р< сю обозначим через V := //'(]R+) множество всех измеримых на R+ = [0, оо) функций таких, что

11/11 „:= (J™ \f(x)\'dxy <оо.

При р = со полагаем

||/||р := esssup|/(x)| = Inf {а > 0 : mes({x G : \f{x)\ > а}) = 0} .

x>U

Первой из круга задач, связанных с дробным интегрированием, в диссертации рассматривается задача о нахождении критериев выполнения весовых неравенств вида

(jT \(Iüfu)(x)v{x)\"dx^j " < С QT \f(x)\pdxj " , (0.0.4)

где 0 < р, q < oo,]j > 1, и(х) и v(x)— локально суммируемые весовые функции.

3Riemann В. Versuch finer Auffassung der Integration und Differentia-tion. /7 Gesammelte Werke. Leipzig: Teubner, 187G. P. 331-344.

1Holmgren II. Ош differentialkalkylen med indices af havd natur som heist. // Kongliga Svenska Ventcnkaps-Akademiens Handlingar. 1800. V. 5. №11. P. 1-83.

Самко С.Г., Килбас A.A., Ыаричсв О.И. Интегралы и производные дробного порядка н некоторые их приложения. // Минск: Наука и техника. 1987.

Данная задача восходит к работам Г.Г. Харди и Д.Е. Литтлвуда6, в которых найдены критерии выполнения (0.0.4) со степенными весами. Кроме того, для некоторых приложений имеется необходимость исследовать компактность оператора / у1а(и/) в пространствах Лебега.

Активное развитие выделенной области началось с 70-х годов прошлого века, когда в работах Г. Таленти7, Д. Томаселли8, Б. Мукенхаупта9, Дж. Брэдли10, А.Л. Розина и В.Г. Мазьи11, В.М. Кокилашвили12, С.Д. Римен-шнайдера13 и других авторов был полностью изучен случай а ~ 1. В конце 80-х в работах В.Д. Степанова14, были найдены критерии ограниченности и компактности операторов 1а при а > 1. Далее, в 90-х годах, эти результаты были обобщены на более широкий класс операторов в работах Р. Ойнаро-ва15, X. Мартина-Рейеса и Э. Сойера16, С. Блума и Р. Кермана17 а также В.Д. Степанова и его учеников.

Случай а £ (0,1), за исключением одного результата К. Андерсена и

eHardy G.H., Littlewood J.E., Polya G. Inequalities. // 2nd ed.Cambridgc Univ. Press. 1952 (first ed. 1934).

7Talcnti G. Osservasioni sopla una classe di disuguaglianze. // Rend. Sem. Mat. Fis. Milano. 1969. V. 3D. P. 171-185.

sTomaselli G.A. A class of inequalities. // Boll. Un. Mat. Ital. (4) 1909. V. 2. P. 022-031.

<J Muekenhoupt B. Hardy's inequality with weights. // Studia Math. 1972. V. 44. P. 31-38.

wBradley J.S. Hardy inequalities with mixed norms. // Canad. Math. Dull. 1978. V. 21. № 4. P. 405-408.

"Jlfosb* В.Г. Пространства С.Л. Соболева. /'/ Л.: ЛГУ 1985.

12Кокилашвили В.М. О неравенствах Харди в весовых пространствах.// Сообщ. АН ГССР. 1979. Т. 90. № 1. С. 37-40.

13Riemcnschneider S.D. Compactness of a class of Volterra operators. /,/ Tohoku Math. J. 1974. V. 26. P. 385-387.

"Степанов В.Д. Двухвесовые оценки интегралов Римана-Лнувилля I. // Препринт. ВЦ Л ВО АН СССР. Владивосток. 1988.

Степанов В.Д. Двухвесовые оценки интегралов Римана-Лнувилля II. // Препринт. ВЦ Л ВО АН СССР. Владивосток. 1988.

Степанов В. Д. Весовые неравенства типа Харди для производных высших порядков И их приложения. ,// Доклады АН СССР. 1988. Т. 302. № 5. С. 1059-1062.

Степанов В.Д. О весовых неравенствах типа Харди для производных высших порядков. // Труды МИАН. СССР. 1989. Т. 187. № 5. С. 178-190.

Степанов В.Д. Двухвесовые оценки интегралов Римана-Лиувилля. /'/' Известия АН, сер. матем. 1990. Т. 54. № 3. С. 645-656.

15 Ойнаров Р. Весовые неравенства для класса интегральных операторов. // Доклады АН СССР.

1992. Т. 44. С. 291-293.

Ойнаров Р. Двусторонние оценки норм для классов интегральных операторов. // Труды МИ РАН.

1993. Т. 204. С. 240-250.

10Martín-Reyes J.F., Sawyer Е.Т. Weighted inequalities for Riemaun-Líou-ville fractional integrals of order one and greater. // Proc. Amer. Math. Soc. 1989. V. 100. P. 727-733.

17Bloom S., Kerman R. Weighted norm inequalities for operators of Hardy type. // Proc. Amer. Math. Soc. 1991. V. 113. P. 135-141.

Bloom S., Kerman R. Weighted Хф-integral inequalities for operators of Hardy type. // Preprint.

Э. Сойера18, оставался слабо исследованным. В 1994 г. в рамках изучения поведения 5 чисел одновесового оператора / >-»• «(/„/) в Ь2 в работе И. Ныомена и М. Соломяка19 был указан критерий ограниченности и компактности при а > Этот результат послужил отправной точкой для исследований в работе Д.В. Прохорова20, где получены критерии выполнения (0.0.4) при и = 1,0 < р, д < оо,р > шах(1, и критерии компактности. Отметим, что для более узкого интервала параметров суммирования аналогичные результаты независимо получены А. Месхи21.

Во второй главе диссертации мы обобщаем эти результаты для оператора

Jo {х-У)1 а

с локально суммируемыми весовыми функциями и(х) и у(х), при условии, что и монотонно убывает на М+. Также даны двойственные варианты этого результата.

В третьей главе рассматривается задача о нахождении необходимых и достаточных условий Ьр —> ограниченности и компактности интегрального оператора вида

ь0,т:=ф)1 {х_у)1_а ,

где и{х) и и(х) —неотрицательные локально суммируемые весовые функции, при условии, что и монотонно убывает на К+.

Такая задача является новой, потому что ядро оператора не является ни дробным, ни класса Ойнарова, а произведением ядер этих типов.

В четвертой главе для семейств операторов Римана-Лиувилля рассматриваются проблемы сходимости почти всюду и по норме весовых пространств Лебега к тождественному оператору.

18Andersen K.F., Sawyer E.T. Weighted norm inequalities for the Iliemann-Liouville and Weyl fractional integral operators. // Trans. Amer. Math. Soc. 1988. V. 308. № 2. P. 547-558.

19Amman J., Solomyak M. Two-sided estimates on singular values for a. class of integral operators on the semiaxis. ,// Integr. Equat. Operl. Th. 1994. V. 20. P. 335-349.

20Prokhoroo D. V. On the bouridedness and compactness of a class of integral operators. // J. London Math. Soc. 2000. V. 61. P. 617-028.

-1Meskhi A. Solution of some weight problems for the Riemann-Liouville and Weyl operators . // Georgian Math. J. 1998. V. 5. P. 564-574.

Цель работы

• Получить необходимые и достаточные условия весовой ограниченности и компактности дробных операторов Римана-Лиувилля.

• Получить критерии выполнения весовых неравенств для интегральных операторов с ядрами, иредставимыми в виде произведения ядра Ойнарова и ядра дробного оператора Римана-Лиувилля.

• Изучить проблемы сходимости почти всюду и по норме весовых пространств Лебега к тождественному оператору для семейств операторов Римана-Лиувилля.

Методика исследования. В работе используются методы теории функций, математического и функционального анализа, теории интегральных операторов в пространствах суммируемых функций, блочно-диагональный метод и другие.

Научная новизна. Основные результаты диссертации является новыми и обобщают или дополняют ранее известные.

Теоретическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут применяться во многих разделах функционального анализа и теории дифференциальных уравнений.

Аппробация работы. Основные результаты диссертации и отдельные ее части докладывались на научном семинаре РУДН по функциональному анализу под руководством чл-корр. РАН В. Д. Степанова. Доклады, основанные на результатах диссертации, сделаны на международных конференциях: The 8th Congress of ISAAC, Москва 2011; "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования,"посвященная 90-летию член-корреспондента РАН Л.Д. Кудрявцева, Москва 2013.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 3 статьях и тезисах докладов на научных конференциях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы (86 наименований). Объем диссертации составляет 82 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава "Интегральные операторы."

Первая глава содержит обзор известных результатов и описание некоторых особенностей интегральных операторов.

Вторая глава "Ограниченность и компактность дробных операторов Римана-Лиувилля."

Данная глава содержит следующие основные результаты. Пусть УЯ+ класс всех измеримых функций /: [0, со) ->■ [0,+оо]. Рассмотрим дробный оператор Римана-Лиувилля вида

f->TJ<?) *>0,

с локально суммируемыми весовыми функциями и и v. В первом параграфе найдены критерии LP —>• L4—ограниченности оператора Та, когда О < р, д < оо,р > 1/а, при условии, что и монотонно убывает на М+.

Теорема 1. Пусть а € (0,1), A < р < q < оо, v G 9Л+ и и € 3Jl+ монотонно убывает на [0, оо). Тогда неравенство

(jT (Taf(x)y d^j * < С QT P(x)dxj ", / € m+, (0.0.5) выполнено, если и только earn, Л0 + А\ < оо, где

or

и A\ := supkeZAk, где

Ak := sup Ak(t) i€(2t,2fc+l]

= sup 2A'(tt_1) f f2 vq(s)ds\ ( I' itp'{s)dsY.

/б(2*,2*+»] \Jt J \J2k-^ J

Более того, С « Aq + A\.

Теорема 2. Пусть a G (0,1), p > A, 0 < q < p < 00, £ := A - i,

v e 9Л+ и и € монотонно убывает на [0, оо). Тогда неравенство

(0.0.5) выполнено, если и только если, Во + В\ < оо, где

Вп :=

В, : =

/ Ґі '

\p2fc(a-l )r V«(s) ( / Vq(t)dt

ke Z " V S

Более того, С и Д) + Bi.

Второй параграф главы содержит результаты, характеризующие компактность TQ.

Теорема 3. Яусть а Є (0,1), £ < р < q < оо, v Є ГОТ+ и и Є 9Л+ монотонно убывает на [0, оо). Для компактности оператора Та из Lv в Lq, необходимо и достаточно, чтобы Аа + А\ < оо и

lim Ao(t) = lim A0(t) = 0,

t-¥ 0 t-УОО

lim Afc = lim Afc = 0.

k——ОС1 А:—>+oc

Теорема 4. Пусть а Є (0,1), р > 0 < q < р < оо, £ := ^ - Рассмотрим v Є 9Л+, и Є монотонно убывает на [0, оо). Тогда оператор Та : LP —> L'1, компактен если и только если, В0 + В\ < оо.

В последнем параграфе приведены результаты об ограниченности и компактности двойственного оператора вида

при условии, что и монотонно возрастает на М+ := [0, оо).

Теорема 5. Пусть а Є (0,1), £ < р < q < оо, v Є 9Л+ и и Є Ж+ монотонно возрастает на [0, оо). Тогда неравенство

(jT (T*f(x))9 dx)" < С (jf° f(x)cbj", /Є ГОt+, (0.0.6)

выполнено, если и только если, Aq + < оо, где

up'(x)dx\7

А* := sup Л*(£) = sup ( f v«(s)ds>)' f [ -t>() ¿>o \Jq J \J2t

X{1~a)p'

и А\ := supkeZA*k, где

AI := sup Al(t) <Є(2*.2* + і]

= sup f v''{s)ds]q ( f u?(s)ds\" .

\J 2k / \Jt )

Более того, С и + А\.

Теорема 6. Пусть а Є (0,1), р > 0 < g < р < оо, ± := 1 - і, и є 9JI+

и и Є 0Л+ монотонно возрастает па [0, оо). Тогда неравенство (0.0.6) выполнено, ec.nu и только если, Bq + В\ < со, где

Более того, С « Bq + В{.

Теорема 7. Пусть а Є (0,1), ^ < р < q < оо, v Є 9Л+ и и Є 9Л+ монотонно возрастает на [0, оо). Для компактности оператора Т* из Ьр в L4, необходимо и достаточно, чтобы Aq + А\ < оо и

lim 45(t) = lim Atft) = О,

t—fü t—юс

lim Л?. = lim AI = 0.

fc-У-ЭО А-Ц-ЭО

Теорема 8. Пусть а Є (0,1), р > 0 < q < р < оо, \ := ± - v Є »«Є ®t+ монотонно возрастает на [0, оо). Тогда оператор Т* : D' Lq, компактен если и только если, ВЦ + В\ < оо.

Третья глава "Ограниченность и компактность одного интегрального оператора."

ЕГ0:=

В[

В третьей главе рассматривается задача о нахождении необходимых и достаточных условий 17 —► Ьч—ограниченности и компактности интегрального оператора вида

где и(х) и г»(х) — неотрицательные локально суммируемые весовые функции, при условии, что и монотонно убывает на К+.

В первом параграфе найдены критерии Lp —>■ L?—ограниченности оператора Laß.

Теорема 9. Пусть а > 0, max(^, 1) < р < q < оо, ß > 1. Пусть v Є и и Є 9Я+ монотонно убывает на [0,оо).

I) Если а + ß > 2 тогда неравенство

QT (WO*))" (b) ' < С ( jT ß'Wx^Г, / Є ЙЛ+, (0.0.7)

выполнено, если и только если, А + В < оо, где

A0{a,ß) := supAn(i) = ; i> 0

Лі (а,/3) :=sup^i(i)

А := A0(a,ß)+A1(a,ß)

Bi{a,P) :=supBi(t)

i>0

В

sup

ОО

sup ( / vg(x)(h se[| ,t] \Л

ft)

В0(а,(3)+Вг(а,/3).

Более того, С ~ A + В.

II) Если 1 < а + /3 < 2 т,огда неравенство (0.0.7) выполнено, если и только если, А + D < оо, где

D := sup.Dj; = sup sup Dk{t)

fcez keZ ie(2fc,2t+1]

= sup sup 2/ v»(a)ds| (f up'(s)dsY . k€Z іє(2*',2*+>] \Л / \І2'-1 /

Более того, С ~ А + D.

Теорема 10. Пусть а > 0, р > max(^, 1),0<(?<р<оои^:=:^ — к Пусть v Є ШТ+ и и Є 9Л+ монотонно убывает на [0, оо).

I) Если а + ¡3 > 2 тогда неравенство (0.0.7) выполнено, если и только если, А + В < оо, где

А0(а,/3) :=

Аі(а,/3) :=

А :=

{г (Г

xt1-»)« J

J* ир'(у) dy

r/q'

1/r

'{t)dt

y4{x)dx\Tlv x(l-a}q

Г (I,

: (j\\nt-f3-l)p'up\y)dy

rfp' \

\ vq{t)dt I

1/r

t(l-a)q

A0(a,P)+A1(a,/3),

I '

( р2к / \ т!ч

,0(а,/3) := 2к[1-0П / ( / у"{х)(х - 2к){-а+^Чх

X Ц2 ир'{у)ду^ и"'(1)с11

а2к+1 / Л \г/р

П

х (2* - и^

1/г

х ( [' г/(у)с1у) 'Ч ,

7(х)йх

\ т/р

г/р' } 1/т

1/г

/

Более того, С « А 4- В.

//) Если 1 < а + /3 < 2 тогда неравенство (0.0.7) выполнено, если и только если, А + В < оо, где

(„2*+1 ( ,2*+1 \г/р 1/г / \ ^

г/р'

Более того, С « А + Ю>.

Второй параграф главы содержит результаты, характеризующие компактность Laß.

Теорема 11. Пусть а > 0,ß > 1, max(A,l) < р < q < оо. Пусть v Є ШТ+ и и Є 9Л+ монотонно убывает на [0,оо).

I) Если а + ß > 2 тогда оператор La,ß из Iß в L'1 компактен, если и только если, А + В < оо и

lim AAt) = lim AAt) =0, і = 0,1,

■t v А 4 ' +_І. х '

lim В At) = lim BAt) = 0, i = 0,1.

0 f-+oo

II) Если 1 < а + ß < 2 тогда оператор Ьа4? из IP в Lq компактен, если и только если, A -f D < оо и

limAj(i) = lim AAt) = 0, ¿ = 0,1,

t—> 0 t-¥ ОС

lim Dk = lim Dk = 0.

k—>■—OO fc-4+CЗО

Теорема 12. Пусть а > Q,ß > 1, р > < q < р < оо и \ \= ^ - К Пусть V G 9Л+ и и G монотонно убывает на [0,оо).

I) Еат а + ß > 2 тогда оператор Ьа4з : If —>• Lq компактен, еоги и только ec.au, А + В < оо.

II) Если 1 < а + ß < 2 тогда оператор Laß : LP —» Lq компактен, если и только если, А + D < оо.

Четвертая глава "Проблема насыщаемости для операторов Римана-Лиувилля."

Данная глава содержит следующие основные результаты. Пусть А > 0 и S := {^д(у)}—семейство положительных функций, неубывающих по у таких, что <р\ € Ll(I) для любого интервала I С Ж+ и

<р\(их) lim \ ' = 0,

А—Юо ФЛ(х)

для всех х и и £ (0,1), где

Фд(х) := / {x-y)'i<px(y)dy, х > 0,7 > 0, Л > 0. J о

Рассмотрим оператор Римана-Лиувилля вида 1 Г

К-Лх) := Jo (х ~ УУ<Р\(У)1ШУ, А > 0, 7 > 0, х > О,

Глава посвящена доказательству сходимости

lim ЛvJ(x) = f(x),

Л—>ос

почти всюду (п.в.) и аналогичной проблеме сходимости по норме весовых пространств Лебега к тождественному оператору.

Теорема 13. Предположим, что {(p\(y)}E^i. Пусть /—локально интегрируемая функция на М+. Тогда в любой точке Лебега х 6 R+ функции f имеем

lim -1- Г(х - уУМу) I/Ы - f(x)\dy = 0. А->эо ФА (.г) J о

Пример 1. Пусть /—измеримая функция наМ+. Пусть существует До >

0 такое, что yx°f(y) £ Ll(I) для каждого ограниченного подинтервала

1 С R+. Если х £ К+ является точкой Лебега функции /, тогда

где

lim Y\f(x) = f{x),

А-»ос

Та/(*) = —Ц Г(х - y)Vf(y)dy, ©AW JQ

и ©А(х-) = f0X(x - y)^yxdy.

Замечание 1. При 7 = А имеем

Фа

:= [ & ~ y)X<P\(y)dy-J о

Пусть х > 0, А > 0 и положим <р\(х) := хх. Тогда Фа(z) = c\x2X+l где

Г2 (А + 1)

сА:= [ (1 — s)xsxds — ß(X + 1, А + 1) = J о

/о Г(2А + 2)'

Из формулы Стирлинга для приближённого вычисления факториала и гамма функции следует что

п\ « у2ъп ^ , п € 7г —>• оо,

Г(А + 1) и

,_ /ол , і \ 2Л+!

Г(2А + 2) « у/27г(2Л + 1) Í^^^J

Таким образом, когда Л —> оо, получим

~ 1 ( Х

СЛ « — I -

2Л

VÄV2A + V л/А4л' Замечание 2. Пусть 0 < <5 < Тогда

Определение 1. Пусть 0 < ш{х) — измеримая функция. Для 0 < р < оо обозначим' Lp(E) множество всех измеримых функций на Е С М+, таких, что t

\\1\\ЩЕ) ■• =

(JEMx)\f(x)\)>dxy <оо.

Теорема 14. Если f £ Щ.-, , О < р < оо, 7 > 0, то lim||/(íx)-/(x)||L,7=0.

Теорема 15. Пусть а > 0 и {<у?а(2/)} £ Предположим, что существует Фд(м) такое, что для всех и £ (0,1) неравенство

« < „о.

выполнено для всех х 6 (0, а). Также предположим, что lim sup ЦФлЦх^од) = С < оо,

А—>оо

и дм всех а>0и0<в<1,

lim ||и-аФл(м)|и1(0.е) = 0. Л-юо

Тогда для f Є a), 1 < p < oo,7 > 0,

1 fx

j™ Над JQ (x - y)+<P\(y)f(y)dy - f(x)\\L"Am = 0.

Пример 2. Как и в примере 1, для / Є LPxl{Q,a),l < р < 00,7 > 0 имеем

lim И(Тд — I)/\\lp (о,а) = 0-

Теорема 16. Пусть, {p\(y)}GQ. Пусть существует Фа(м)> такая, что для всех иЄ(0,1),

Ых) - Х[ h

для всех хЄ(0,а), и

lim ФЛ(и) = 0.

Л—юс

Тогда для, любой равномерно непрерывной функции f на (0,а), 0<а<оо, имеем

1

lim sup

Л-К50 0<:с<О

Фа(я)

I {х- y)',^\(y)f(y)dy - f(x) Jo

= 0.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физ.-мат. наук, чл.-корр. РАН профессору В. Д. Степанову за постановку задач, полезные советы, внимание к работе и неоценимый опыт научной деятельности.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Farsani S.M. On saturation problems for Riemann-Liouville operators. // Bull. PFUR. Ser. Math. Inf. Sci. phys. 2011. № 4. P. 16-22.

2. Фарсани C.M. Об ограниченности и компактности дробных операторов Римана-Лиувилля. // Сибирский матем. журнал. 2013. Т. 54. № 2. С. 468-479.

3. Farsani S.M. On the boundedness and compactness of a certain integral operator. // Banach J. Math. Anal. 2013. V. 7. № 2, P. 86-102.

4. Farsani S.M. On the asymptotic behaivior of certain operator. // The 8th congress of the international society for analysis, its applications, and computation. Moscow. 2011. P. 203

5. Farsani S.M. Weighted estimates for a certain integral operator. // The 4th international conference function spaces, differential operators, general topology and problems of mathematical education. Moscow. 2013.

Фарсани С.M.

Весовые оценки одного класса интегральных операторов

дробного типа.

Аннотация

В работе получены необходимые и достаточные условия весовой ограниченности и компактности дробных операторов Римана-Лиувилля.

Получены критерии выполнения весовых неравенств для интегральных операторов с ядрами, представимыми в виде произведения ядра Ойнарова и ядра дробного оператора Римана-Лиувилля.

Изучены проблемы сходимости почти всюду и по норме весовых пространств Лебега к тождественному оператору семейства операторов Римана-Лиувилля.

Farsani S.M.

Weighted estimates of fractional type integral operators

Abstract

In this work necessary and sufficient conditions for the weighted boundedness and compactness of the Riemann-Liouville fractional operators are obtained.

We derive LP — Lq weighted inequalities for the integral operators with product of the Oinarov kernel and fractional Riemann-Liouville kernel.

The problem of convergence almost everywhere and in weighted Lebesgue norms to the identity for the families of Riemann-Liouville operators is studied.

Подписано в печать 19.03.2013 г. Формат 60x84/16. Печать офсетная. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 242. Российский университет дружбы народов 115419, ГСП-1, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3 Типография РУДН 115419, ГСП-1, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, тел. 952-04-41

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФГБОУ ВПО «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ

НАРОДОВ»

На правах рукописи

04201355037

Мохаммади Фарсани Соруш

ВЕСОВЫЕ ОЦЕНКИ ОДНОГО КЛАССА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ДРОБНОГО ТИПА

01.01.01. - вещественный, комплексный и функциональный

анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН Степанов В.Д.

Москва - 2013

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ........................................................ 3

Глава 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

§ 1.1. Линейный регулярный интегральный оператор ........ 18

§ 1.2. Интегральные операторы Риманна-Лиувилля .......... 20

§ 1.3. Интегральные операторы с ядрами Ойнарова .......... 26

Глава 2. ОГРАНИЧЕННОСТЬ И КОМПАКТНОСТЬ ДРОБНЫХ ОПЕРАТОРОВ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ

§ 2.1. Ограниченность ........................................ 35

§ 2.2. Компактность .......................................... 42

§ 2.3. Двойственные варианты ................................. 46

Глава 3. ОГРАНИЧЕННОСТЬ И КОМПАКТНОСТЬ ОДНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА

§ 3.1. Ограниченность ........................................ 48

§ 3.2. Компактность .......................................... 59

Глава 4. ПРОБЛЕМА НАСЫЩАЕМОСТИ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ РИМАНА-ЛИУВИЛЛЯ

§ 4.1. Введение ................................................ 64

§ 4.2. Основные результаты ................................... 65

ЛИТЕРАТУРА .................................................... 74

ВВЕДЕНИЕ

Историю дробного исчисления следует, по видимому, вести с работ Н. Абеля и Ж. Лиувилля. В работе Н. Абеля [27] в связи с задачей о таутохроне решено интегральное уравнение

/ = х>а>Ъ<а<1. (0.0.1)

Решение дано для произвольного а Е (0,1), хотя задача о таутохроне приводит к случаю а = В 1832—1837 гг. появляется серия работ Ж. Лиувилля [46], [47], [48], [49], сделавших его по праву создателем уже достаточно полноценной теории дробного интегродиффе-ренцирования. Она еще не достигла той формы, которую ей придало дальнейшее развитие другими исследователями, но в ней уже высказаны и далеко продвинуты важные идеи. Исходное определение Ж. Лиувилля, предложенное им в работе [46], 1832 г., основано на формуле дифференцирования показательной функции и относится к функциям /(ж), представимым в виде ряда

оо к=О

Для них, по определению Ж. Лиувилля,

оо

Ва!{х) = ^кОакеак\ (0.0.2)

к=О

при любом (комплексном) а. Ограничительность этого определения, очевидно, связана со сходимостью ряда. Исходя из определения (0.0.2), Ж. Лиувилль получает в работе [46, с. 7] формулу дифференцирования степенной функции. Более того, в этой же работе на с. 8, Ж. Лиувилль выводит (не совсем строго с современной точки зрения) формулу

о~а1{х) = Уо ф + -СХ) < Ж < оо, а > о,

0 (0.0.3)

называемую теперь (без множителя (—1)°) лиувиллевской формой дробного интегрирования.

Рядом с работами Ж. Лиувилля по значимости следует поставить работы Б. Римана [67], и X. Хольмгрена [38]. Работа Б. Римана, выполненная им в 1847 г. в студенческие годы, была опубликована только в 1876 г.— спустя 10 лет после его смерти. Б. Риман пришел к конструкции дробного интегрирования

1Мх) = тщ1 (х ж>0, а>0' (ао"4)

служащей с тех пор наряду с конструкцией (0.0.3) Ж. Лнувилля одной из основных форм дробного интегрирования. Подробный исторический обзор по данному кругу вопросов имеется в [65] и в капитальной монографии [16], где, в частности, выражение (0.0.4) и сопряженные к ним называются дробными интегралами Римана-Лиувилля.

Для 0 < р < оо обозначим через Ь9 := 1^(М+) множество всех измеримых на М+ = [0, оо) функций таких, что

\\Пр := ^ \Ях)\Чху < оо.

При р = оо,

||/||р := еэвэир]/(ж)| = т£ {а > 0 : тез({а: е М+ : |/(ж)| > а}) = 0}

ж>0

(истинный или существенный супремум).

Первой из всего круга задач, связанных с дробным интегродиффе-ренцированием, в диссертации рассматривается задача о нахождении критериев выполнения весовых неравенств вида

\(ии)(х)у(х)\Чх^ " < С 1/(^)1^ " , (0.0.5)

где 0 < р, д < оо, р > 1, и(х) и у(х)— локально суммируемые весовые функции.

Данная задача восходит к работам Г.Г. Харди и Д.Е. Литтлвуда (см. [26, теоремы 329, 383, 402]), в которых найдены критерии выполнения (0.0.5) со степенными весами. Кроме того, для некоторых приложений имеется необходимость исследовать компактность оператора / н-)- у1а(и/) в пространствах Лебега.

Активное развитие выделенной области началось с 70-х годов прошлого века, когда в работах Г. Таленти [80], Д. Томаселли [81], Б. Му-кенхаупта [60], Дж. Брэдли [32], А.Л. Розина и В.Г. Мазьи [56], [57], [9], В.М. Кокилашвили [5], С.Д. Рименшнайдера [68] и других авторов был полностью изучен случай а = 1. В конце 80-х в работах В.Д. Степанова [17], [18], [19], [20], [22], были найдены критерии ограниченности и компактности операторов 1а при а > 1. Далее, в 90-х годах, эти результаты были обобщены на более широкий класс операторов в работах Р. Ойнарова [10], [И], X. Мартина-Рейеса и Э. Сойера [55], С. Блума и Р. Кермана [30], [31] а также В.Д. Степанова и его учеников [50], [51], [62], [63], [7], [8], [52], [61].

Случай а. Е (0,1), за исключением одного результата К. Андерсена и Э. Сойера [29], оставался мало исследован. В 1994 г. в рамках изучения поведения й-чисел одновесового оператора / н-> у(1а/) в 1? в работе И. Ньюмена и М. Соломяка [64] был указан критерий ограниченности и компактности при а > Этот результат послужил отправной точкой для исследований в работе Д.В. Прохорова [66], где получены критерии выполнения (0.0.5) при и = 1,0 < р, д < оо,р > тах(1, и критерии компактности. Отметим, что для более узкого интервала параметров ряд аналогичные результаты независимо получены А. Месхи [58]. Кроме этого, во второй главе диссертации мы обобщаем эти результаты при условии монотонности одной из весовых функций для

оператора

ТІЛ*) := «(*) Г

Л {х-УГ

с локально суммируемыми весовыми функциями и(х) и у(х), при условии, что и монотонно убывает на Также даны двойственные варианты этого результата.

В третьей главе рассматривается задача о нахождении необходимых и достаточных условий ЬР —> Ья—ограниченности и компактности интегрального оператора вида

где и(х) и у(х)—неотрицательные локально суммируемые весовые функции, при условии, что и монотонно убывает на М+.

Такая задача является новой, потому что ядро оператора не является ни дробным, ни класса Ойнарова, а произведением ядер этих типов.

В четвертой главе для семейств операторов Римана-Лиувилля рассматриваются проблемы сходимости почти всюду и по норме весовых пространств Лебега к тождественному оператору

Перейдем к более подробному изложению результатов диссертации. Диссертация состоит из настоящего введения, четырех глав, разбитых на 10 параграфов, и списка литературы. Параграфы, теоремы, леммы и определения занумерованы двойным индексом; первая его часть представляет номер главы, вторая — порядковый номер соответственно параграфа или теоремы, леммы и определения в данной главе. Нумерация формул наследует нумерацию параграфов, добавляя свой порядковый внутри параграфа номер. Так, например, теорема 1.3 означает третью теорему в первой главе, а формула (2.4.1) означает первую формулу параграфа § 2.4, то есть четвертого параграфа второй главы.

Первая глава "Интегральные операторы."

Первая глава содержит обзор известных результатов и описание некоторых особенностей интегральных операторов.

Вторая глава "Ограниченность и компактность дробных операторов Римана-Лиувилля."

Пусть Ш+ класс всех измеримых функций /: [0, оо) —» [0,+оо]. Данная глава содержит следующие основные результаты. Рассмотрен дробный оператор Римана-Лиувилля вида

с локально суммируемыми весовыми функциями и и и. В первом параграфе найдены критерии I/ —» 1/?—ограниченности оператора Та, когда 0 < р, д < оо,р > 1/а, при условии, что и монотонно убывает на М+. В первом параграфе найдены критерии —>• Ьд—ограниченности оператора Та.

Теорема 1. Пусть а; € (0,1), ^ < р < д < оо, г> е Ш+ и и £ монотонно убывает на [0,оо). Тогда неравенство

/ 6 (0.0.6)

выполнено, если и только если, Ло + А\ < оо, где

Ао := вирАо^) = эир

<>о

а

(1

и А1:= виргде

Ак := вир Ак(г) ге(2к,2к+1}

ье{2к,2к+1} Более того, С ~ Ад + А\.

вир 2к{-а~1)

Теорема 2. Пусть а е (0,1), р > 0 < д < р < оо, ± := ± - ±, г» € 9РТ+ и и £ 5РТ+ монотонно убывает на [0,оо). Тогда неравенство (0.0.6) выполнено, если и только если, Во + В\ < оо, где

Д) :=

00 1,4

vq(s)ds\ р

S(i-Qk J

( f2k+1 \k€Z

<2k

UP\t)dt

P Vq{t)dt t(l-a)q

vq{t)dt

x( up'{t)dtY ds) =:

4*:€Z

Более того, С ^ Bq + B\.

Второй параграф главы содержит результаты, характеризующие компактность Та.

Теорема 3. Пусть a G (0,1), ¿ < р < q < оо, v G ШТ+ и и £ монотонно убывает на [0, оо). Для компактности оператора Та из LP в Lq, необходимо и достаточно, чтобы Aq + А\ < оо и

lim AqU) = lim Ao(t) = 0,

t-¥ о t-> oo

lim Ak = lim Ak = 0.

k—>—oo k-^+oo

Теорема 4. Пусть а E (0,1), p > 0 < q < p < oo, £ := ± -Рассмотрим v € 9JÍ+; и G монотонно убывает на [0, оо). Тогда оператор Та : LP —>■ Lq компактен, если и только если Bq + В\ < оо.

В последнем параграфе приведены результаты об ограниченности и компактности двойственного оператора вида

при условии, что и монотонно возрастает на := [0, оо).

Теорема 5. Пусть а Є (0,1), ^ < р < д < оо, у Є и и Є монотонно возрастает на [0,оо). Тогда неравенство

(.Г4{ГПх)(іх)Р'1 є9и+' (о'о,т)

выполнено, если и только если А^ + А\ < оо, где

и := вир^Л^, где А\ := зир

іе(2к,2к+Ч

вир 2к^ ( ( Ґ ир'^з ] .

Более того, С ~ Ад + А|.

Теорема 6. Пусть а Є (0,1), р > 0 < д < р < оо, ^ := ± - -и Є и и Є монотонно возрастает на [0,оо). Тогда неравенство (0.0.7) выполнено, если и только если + В{ < оо, где

и

( г2к+1 / /*в \г/р

:= уя(З)( уЩсИ]

\ к

х Ц2 ^ =: •

Более того, С « -Вд +

Теорема 7. Пусть а Є (0,1), ^ < р < д < оо, у Є и и Є ШТ+ монотонно возрастает на [0, оо). Длл компактности оператора Т*

из LP в Lq, необходимо и достаточно, чтобы А*0 + А\ < оо и

Теорема 8. Пусть а е (0,1), р > 0 < д < р < оо, £ := 1 — и € Ш+ и и £ монотонно возрастает на [0, оо). Тогда оператор Т* : Ц3 —>• Ьд компактен, если и только если В^ + В\ < оо.

Третья глава "Ограниченность и компактность одного интегрального оператора."

В третьей главе рассматривается задача о нахождении необходимых и достаточных условий —> ^—ограниченности и компактности интегрального оператора вида

где и(х) и v{х)—неотрицательные локально суммируемые весовые функции, при условии, что и монотонно убывает на М+.

В первом параграфе найдены критерии LP —» L9—ограниченности оператора Laß.

Теорема 9. Пусть а > О, max(^, 1) < р < q < оо, ß > 1. Пусть v е ШТ+ и и £ монотонно убывает на [0, оо).

I) Если а + ß > 2, то неравенство

lim A*0(t) = lim A*0(t) = О,

t-* оо

lim A*k = lim A*k — 0.

/ e 9Л+, (0.0.8)

выполнено, если и только если А + В < со, где

Л , as Л US I

А0(а,р) := supAo(i) = sup ' ' w w '

t>о i>0 \Jt x

i

•i \ ?

(1 -a)q

x ^ / up (y)dy Ai(a,/3) := sup Ai(t) = sup

о

f00 vq(x)dx\i

t>о i>o ЧЛ ж

(l-a)g

l

.1 / Ч \ i7

2 , / t

P

9

xU '

Л := A0{a,p) + A1(a,p),

B0(a,/3) := sup B0(t) = sup sup ([ vq(x)(x - s){a+p^qdx t>о i>o \Л ,

v ( Г^ШуУ

[J, yV-w) '

Bi(a, P) := sup-Bi(i) = sup sup ( / vq(x)dx t>0 i>0 а6[|)4] ЧЛ У

В := BQ(a,P) + B1(a,P). Более того, С « Л + В.

II) Если 1 < a + Р < 2 тео неравенство (0.0.8) выполнено, если и только если А + D < оо, где

D := supDfc = sup sup Dk{t)

кеZ fceZ fe(2fc,2fc+1]

"2fc+1 \ e / rt -

= sup sup / vq{s)ds / uv\s)ds

keZ te{2fc,2fc+1] 4Ji у ЧЛ*"1

Более того, С ~ Л + .D.

р

Теорема 10. Пусть а > 0, ¡3 > 1, р > шах(^, 1),0<(/<£><оои £ := ^ — Пусть V Е 9Л+ и и Е 9Л+ монотонно убывает на [0, оо).

I) Если а + (3 > 2 то неравенство (0.0.8) выполнено, если и только если А + В < оо, где

г/Я

I / / ?;ТтП 1п - -^г/.-г \

Ао(<*,0) :=

'о

х(1-а)д

( ,1 \ *ы Л 1/г

х П ир\у)йу\ ир>(г)(И

А^/3) :=

ОО / г ОО д

уд(х)с1х\г^р

Х(1 -а)д )

г/р'

1/г

X ( ^

-г*1 / е1Ь \ г/д

/ п2к \ ^ ^ 1/г

х ( I у?Шу\

г \ г/р

1к

г/р' л 1!Т

X

I /*2к+1 / /,2'г+1 Р) := / /

/г« \ 1 1/г

х П Шу) г/(*)<Й

г/?

{ 2fc+! / 2k+l J^ f jf

/ rt y/P' ї1/г

x П {t-y)^+ß-2^upl{y)dy) vq(t)dt

l/r

£ (Bj;i0(a, ß) + Bj^a, /3) + B^2(a, ß) + B^3(a, /3)) 1 Более того, С « А + В.

II) Если 1 < а + ß < 2 то неравенство (0.0.8) выполнено, если и только если А + В < оо; где

( ( г2к+> \г/р

D := \У22к{а~1)Г J v4(s)yJ v<!^dt

Более того, С ~ А + Ю>.

Второй параграф главы содержит результаты, характеризующие компактность Laiß.

Теорема 11. Пусть а > 0, ß > 1, max(^, 1) < р < q < оо. Пусть v Є ШТ+ и и Є ШТ+ монотонно убывает на [0, оо).

I) Если а + ß > 2, то оператор Laß из LP в Lq компактен, если и только если А + В < оо и

lim Ai(t) = lim AAt) = 0, i = 0,1,

t->0 t—>oo

lim BAt) = lim BAt) = 0, і = 0,1.

i->-0 t-> oo

II) Если 1 < а + ß < 2, то оператор Laß из L9 в Lq компактен, если и только если А + D < оо и

lim Ai{t) = lim AAt) =0, і = 0,1,

i-»0 i—»oо

lim Dk = lim Dk = 0.

к->—оо k—>+oo

Теорема 12. Пусть а > 0, ß > 1, p > < q < p < оо и \ Пусть v £ Ш+ и и £ ШТ+ монотонно убывает на [0, оо).

I) Если а + ß > 2, то оператор Laß : U —» Lq компактен, если и только если А + В < оо.

II) Если 1 < а + ß < 2, то оператор Ьаф : IP —Lq компактен, если и только если А + В < оо.

Четвертая глава "Проблема насыщаемости для операторов Римана-Лиу вилля."

Данная глава содержит следующие основные результаты. Пусть А > 0 и 9 := {</?д(у)}—семейство положительных функций, неубывающих по у таких, что ip\ £ Ll(I) для любого интервала I С М+ и

г 4>\{их) lim = 0,

А-юо фд(ж)

для всех X и и £ (0,1), где

Фх(х):=[ (х -у)у<рх(у)(1у, ж > 0,7 > 0, Л > 0. J о

Рассмотрим оператор Римана-Лиувилля вида

1 Г

АvJ{x) := -—7-т / {х - уУМу)1Шу> А > 0, 7 > 0, ж > 0, ^aW JО

Глава посвящена доказательству сходимости

lim Alßxf(x) = f(x),

а—>00

почти всюду (п.в.) и аналогичной проблеме сходимости по норме весовых пространств Лебега к тождественному оператору.

Теорема 13. Предположим, что {(р\(y)}£$s. Пусть /—локально интегрируемая функция на М+. Тогда в любой точке Лебега х £ R+ функции f имеем

Hm -i- Г(х - уУ<рх(у) \f(y) - f(x)\dy = 0. а-юо ФА (я) Jо

Пример 1. Пусть /—измеримая функция наМ+. Пусть существует Ло > 0 такое, что yx°f(y) Е Ll{I) для каждого ограниченного подин-тервала I С R+. Если х Е R+ является точкой Лебега функции /, тогда

lim Тлf(x) = /(ж),

А—юо

ГДе

Таf(x) = ^ Г(х - y)Vf(y)dy, ®\{х) J о

и еА(х) = J'*(x - y)7yxdy.

Замечание 1. При j — Л имеем

ФА(ж) := [ {х- y)xip\(y)dy. Jo

Пусть х > О, Л > 0 и положим ф\(х) := хх. Тогда Ф\(х) = с\х2Х+1 где

Из формулы Стирлинга для приближённого вычисления факториала и гамма функции следует что

п\ « V'2-кп J , п Е N, п —>■ +оо,

Г(А +1) и >/2тгА0^ ,

Г(2А + 2) « x/242ATT)^ е Таким образом, когда Л -» оо получим

и

2Л + 1\2Л+1

1 / Л \2А 1 са « — i -

VAV2A + 1/ \/Л4а Замечание 2. Пусть 0 < ö < |. Тогда

fX — 6

1 f 1 J := liminf——- / (ж - y)Vdy > ö-a->oo Фд(а;) Jо 2

Определение 1. Пусть 0 < оо(х)—измеримая функция. Для 0 < р < оо обозначим 1%(Е) множество всех измеримых функций на Е С таких, что

\aw-={JJu(x)\f(x)\Y>dx) <00.

Теорема 14. Если f Є Ц.7,0 < р < оо, 7 > 0, то

lim ||f(ix)-f(x)\\^=0.

Теорема 15. Пусть а > 0 и {<£>а(ї/)} Є Предположим, что существует Ф\(и) такое, что для всех и є (0,1) неравенство

ФлМ - Ai

выполнено для всех х Є (0, а). Такэюе предположим, что

limsup ЦФлІкчод) = С < оо,

Л—>оо

и для всех а>0и0<в<1

lim ||u-e*A(iO|Ui(0fio = 0.

Л—>00

Тогда для f Є Lpxl{0, а), 1 < р < оо, 7 > О, 1

lim

л—>оо

Фд (ж) Л

= 0.

Пример 2. Как и в примере 1, для / Е 1^7(0,а), 1 < р < 00,7 > 0 имеем

Иш ||(Тд - /)/||^(о,а) = 0.

Теорема 16. Пусть {</?д(у)}ЕЭ. Пусть существует Фл(и), такая, что монотонно возрастает и для всех 0,1),

ж7+1у?д(иж)

Фа(х)

< Фа И,

для всех жб(0,а); и

Нш ФдЫ = 0.

Тогда для любой равномерно непрерывной функции / на (0,а); 0<а<оо,

Всюду в работе произведения вида 0 • оо полагаются равными нулю. Соотношения А <С В означает А < сВ с константой с, зависящей только от р, д, а, (3 и могут быть различны в разных местах. Если А <С В и А В, то мы пишем А « В. Z обозначает множество всех целых чисел, ~ характеристическую функцию множества Е.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физ.-мат. наук, чл.-корр. РАН профессору В. Д. Степанову за постановку задач, полезные советы, внимание к работе и неоценимый опыт научной деятельности.

имеем

(*Х

/ (Х-УУч>хшШУ-№ =о

Уо

■х

Иш эир , /

А->оо0<ж<а Фа (ж) Уо

ГЛАВА 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ § 1.1. Линейный регулярный интегральный оператор

Понятия линейного непрерывного оператора и линейного ограниченного оператора эквивалентны.

Теорема 1.1. [1] Пусть К линейный интегральный оператор, заданный на пространстве измеримых на функций. Если K{LP) С Lq, то данное вложение непрерывно или, что эквивалентно ||К/||9 < C\\f\\p с константой С > 0 не зависящей от /.

В теореме 1.2 утверждается, что всякий линейный интегральный оператор, действующий из LP в Lq при р Є (0,1) суть нулевой оператор.

Теорема 1.2. [14, теорема 2] Пусть 0 < р < 1,0 < q < оо, k(x, у) — измеримая по совокупности переменных функция и

Е= {х Є Ш+ : mes {{у Є М+ : k(x, у) ± 0}) > 0} .

Если оператор К вида

roo

Kf(x)= k(x,y)f(y)dy, (1.1.1)

Jo

ограничен из LP в Lq, то mes(Е) — 0.

Следующая теорема дает критерий LP — Lq ограниченности произвольного интегрального оператора вида (1.1.1) в крайних случаях при р = 1 или q = оо.

Теорема 1.3. [4, гл. XI, § 1.5, теорема 4] Пусть оператор К задан уравнением (1.1.1). Тогда, если 1 < q < оо, то

\\K\\l^l* = esssup||fc(.,¿)||9.

£>0

Если 1<р<оои^ + ^ = 1, то

\\К\\= esssup||/e(í, .)||р/. í>0

Приведем основные свойства компактного линейного интегрального оператора и определение регулярного линейного интегрального оператора. Существует критерий компактности регулярного линейного интегрального оператора, действующий из 1^(0,) в Ьд(0,') при 0 < < р < оо, р > 1 для измеримых множеств Г2, ГУ с конечной меры. Теорема 1.7 устанавливает эквивалентность понятий ограниченности и компактности для таких операторов. Данный результат при д > 1 принадлежит Т. Андо [28] , а при д < 1 получен в работах авторов книги [6].

Теорема 1.4. [25, § 20.2] Пусть линейный интегральный оператор К : № —)■ Ьч является компактным и последовательность {/п} С Ь9 слабо сходится к /о. Тогда {К/п} С Ья сильно сходится к К/о.

Определение 1.1. Оператор А, действующий из функционального пространства Е\ в пространство Е2, называется положительным, если он неотрицательные функции переводит в неотрицательные.

Определение 1.2. Линейный интегральный оператор К : —>

Ья{0!) называется регулярным, если он представим в виде К і — К2, где К\ и К2— линейные положительные операторы, действующие из ЩП) в ЩП').

Теорема 1.5. [6, теорема 4.2] Линейный интегральный оператор Кї{х) = является регулярным оператором, действу-

�