Моделирование динамики и управление механической системой со связями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ДЕРЕССА ЧЕРНЕТ ТУТЕ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ И УПРАВЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ СО СВЯЗЯМИ

Специальность 01.02.01 - «Теоретическая механика»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2015

13 МАЙ 2015

005568425

Работа выполнена на кафедре теоретической физики и механики факультета физико-математических и естественных наук (Российский университет дружбы народов).

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук, профессор

Мухарлямов Роберт Гарабшевич

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук, профессор

Галиуллин Ильяс Абдэльхакович, профессор кафедры: 802, «Теоретическая механика» им. МАИ (национальный исследовательский университет).

Кандидат физико-математических наук, Теплицкая Вера Сергеевна, заведующий Сектором астрономии и геодезии Отдела по астрономии Отделения научной информации по проблемам физико-математических наук и информационных технологий ВИНИТИ РАН

Ведущая организация: Пермский государственный национальный

исследовательский университет

Защита состоится « 04» июня 2015 года в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212 203 34 на базе Российского университета дружбы народов, расположенного по адресу: г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, зал № 1.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198. г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6 (Отзывы на автореферат просьба направлять по указанному адресу) или на официальном сайте диссертационных советов РУДН по адресу: http://dissovet.rudn.ru/.

Автореферат разослан «_»_2015 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д 212 203 34, кандидат физико-математических наук, Доцент.

Попова В.А.

Общая характеристика работы Актуальность темы. В современном мире предъявляются высокие требования к быстродействию и качеству работы управляемых систем. Разработка рекомендаций к проектированию динамических систем, удовлетворяющих этим условиям, является одним из существенных потребностей современной механики и теории управления. Решение этих задач сводится к проектированию динамической системы как управляемой системы и обеспечивается методами математики и механики.

В целом конструкция управляемой системы включает:

❖ Идентификацию входных и выходных параметров.

❖ Моделирование процессов функционирования системы.

❖ Ограничения, накладываемые на фазовые координаты и управляющие параметры.

Идентификация входных и выходных параметров относится к физическим величинам, которые характеризуют поведение управляемой системы. Например, этими переменными могут быть перемещение, скорость и др. Кроме того, должны быть идентифицированы те переменные, которые влияют на поведение системной продукции. Эти переменные рассматриваются как входные воздействия и идентифицируются как усилия, например, вращающий момент, сила, и др.

Моделирование процессов функционирования системы сводится к построению уравнений динамики, связывающих входные воздействия и выходные переменные, а также исследование и решение построенной системы уравнений. Модели сосредоточенных динамических систем в аналитической форме описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, полученными на основе принципов механики.

Ограничения, накладываемые на фазовые координаты и управляющие параметры, составляют требования, предъявляемые к системе управления, и представляют собой неизбежные особенности системы, которые необходимо учитывать для достижения целей управления, таких как:

❖ Обеспечение заданного режима работы (управление движением),

❖ Обеспечение устойчивости функционирования системы.

Требование устойчивости режима работы системы важно как для

функционирования системы, так и для моделирования динамики. Это

фундаментальное понятие теории управления в основном сводится к обеспечению работы системы в заданном режиме или с заданными пределами отклонения от него. Таким образом, процесс управления сводится к исследованию динамики и конструированию управляющих воздействий при различных ограничениях.

Уравнения динамики механической системы следуют из принципов динамики с учётом связей, ограничивающих перемещения ее точек. В случае, когда уравнения связей допускает выражение фазовых координат системы через обобщённые координаты и скорости, уравнения динамики могут быть описаны системой дифференциальных уравнений относительно этих обобщённых координат, и проблема стабилизации связей не возникает. В случае, когда уравнения динамики записываются непосредственно через координаты системы и в случае связей, наложенных на обобщённые координаты и скорости, используются множители Лагранжа.

В этом случае при численном решении уравнений динамики возникают погрешности в выполнении уравнений связей, что приводит к проблеме стабилизации связей. Задача стабилизации связей была сформулирована в работе J. Baumgart в 1972 г. и сводилась к использованию линейной комбинации левых частей уравнений связей и их производных.

Последующие модификации метода, предложенные U. Ascher, Н. Chin, L. R. Petzold, S. Reich, F. Amiroche, E. Bayo, R. Lendesma и др. состояли в подборе постоянных коэффициентов этой комбинации. Р. Г. Мухарлямовым было предложено для решения задачи стабилизации связей исходить из рассмотрения уравнений связей как частных интегралов уравнений динамики и для определения множителей Лагранжа использовать методы построения дифференциальных уравнений по известным интегралам и их численного решения. А. С. Галиуллиным было подчеркнуто, что неоднозначное решение задачи построения дифференциальных уравнений позволяет накладывать дополнительные условия на правые части уравнений динамки. В работах А. С. Галиуллина, И. А. Галиуллина, И. А. Мухаметзянова, Р. Г. Мухарлямова, Н. В Абрамов, Е. Jarzebowska были развиты методы построения дифференциальных уравнений применительно к решению обратных задач динамики и задач управления программным движением с учетом требования

асимптотической устойчивости решений уравнений динамики по отношению к уравнениям связей и соответствующие оценки отклонений.

Решение задачи стабилизации связей приводит к удовлетворительному результату в случае, когда матрица инерции и матрица Якоби, соответствующая уравнениям связей, имеют полный ранг. В сингулярных случаях задача требует разработки соответствующих методов. Разработке общей теории систем дифференциально-алгебраических уравнений, составленных из уравнений динамики и уравнений связей, посвящены работы Ю. Е. Бояринцева, В. А. Данилова, А. А. Логинова, В. Ф. Чистякова, S. L.Campbell и др.

Исследованию уравнений движения механических систем с сингулярными матрицами инерции, посвящены работы F. Е. Udwadia, Е. Bayo, R. Lendesma, и.др. Для разработки методов и построения алгоритмов решения задачи стабилилзации связей требуется развитие численных методов, особенно в сингулярных случаях.

Принцип Даламбера-Лагранжа позволяет построить уравнения динамики голономных и неголономных систем произвольного порядка.На практике использование этого принципа ограничивается идеальными голономными и линейными неголономными связями первого порядка. В 2011 году принцип Даламбера-Лагранжа непосредственно был использован для построения уравнений динамики системы со связями, зависящими от скоростей и ускорений в работах М. R. Flannery. Формирование механизма управления траекторией слежения неголономной системы, уравнения связей которой содержат вторые производные координат, остаются мало изученными.

Решению совокупности описанных актуальных задач и посвящена данная диссертационная работа

В диссертации исследуются задачи динамики и управления механическими системами, на которые наложены голономные и неголономные связи. Работа направлена на решение трех основных задач: моделирование динамики, определение условий устойчивости и конструирование управления, обеспечивающего стабилизацию связей.

Для построения аналитической модели динамической системы используются уравнения Лагранжа. Тщательно исследуется задача стабилизации связей и определяются способы решения этой проблемы. Предлагается модификация метода Баумгарта, направленного на

5

ограничение погрешностей выполнения уравнений связей при численном решении уравнений движения в форме уравнений Лагранжа. Модификация заключается в использовании параметров, оценивающих отклонения от уравнений связей, и построения дифференциальных уравнений возмущений связей, обеспечивающих асимптотическую устойчивость и ограниченность тривиального решения при численном решении уравнений динамики.

В научной литературе широко рассмотрены вопросы динамики систем с линейными относительно скоростей неголономными связями. Эти исследования позволяют решать задачи управления движением по траектории. В данной работе предлагается решение задачи управления по траектории, на которую накладываются ограничения по ускорениям. Методы моделирования, предлагаемые в работе, направлены на обеспечение устойчивости численного решения уравнений динамики по отношению к уравнениям связей, что составляет актуальную задачу современной механики, теории управления и вычислительной математики.

Таким образом, актуальность темы диссертации может быть основана на следующих положениях;

❖ Потребность современной науки и техники в исследованиях динамики и решении задачи динамики механических систем со связями.

❖ Установление способов построения уравнений динамики голономной системы с сингулярной матрицей Якоби и сингулярной матрицей инерции.

❖ Установление способов построения траекторий посредством связей, зависящих от производных второго порядка, и решение задачи управления движением по этой траектории.

❖ Потребность в решении прикладных задач управления системами различной физической природы по аналогии с решением задач динамики механических систем.

Целью диссертационной работы является: моделирование динамики управляемой системы с ограничениями на фазовые координаты в случае особой матрицы Якоби и особой матрицы инерции; модификация уравнений Лагранжа, обеспечивающих стабилизацию связей при численном решении уравнений динамики; решение задачи управления динамикой системы с ограничениями, зависящими от производных

второго порядка; динамическое моделирование манипуляторов и двухколесных мобильных роботов.

Методы исследования:

❖ Модификации уравнений движения механических систем для построения уравнений динамики систем различной физической природы.

❖ Современные методы и алгоритмы построения уравнений динамики с учетом стабилизации связей.

❖ Основные положения теории дифференциальных уравнений и теории устойчивости. Методы решения обратных задач качественной теории дифференциальных уравнении и их применение для построения уравнений неголономных связей.

❖ Методы и алгоритмы определения управляющих воздействий.

Достоверность полученных результатов определяется

подтверждением правильности построения математических моделей и их модификаций, точностью разработанных методов решения задачи стабилизации и управления. Полученные результаты математически доказаны на основе известных положений механики и математики. Более того, моделирование, проведенное в работе, основано на общепринятых правилах механики и математики с использованием известного программного обеспечения системы МАТЬАВ 2012а.

Личный вклад автора состоит в формулировке задач и целей исследования; в разработке модифицированных способов стабилизации; в моделировании динамических систем с сингулярной матрицей Якоби и сингулярной матрицей инерции; в разработке новых способов управления программным движением и численного моделирования аналитических результатов.

Научная новизна:

❖ Сформулированы необходимые и достаточные условия разрешимости уравнений динамики относительно ускорений и множителей Лагранжа в сингулярных случаях.

❖ Разработаны методы составления уравнений динамики с учётом стабилизации связей в случае голономной системы с сингулярной матрицей Якоби и сингулярной матрицей инерции.

❖ Предложены новые методы построения уравнений связей, соответствующих требованиям программы функционирования системы.

❖ Построен алгоритм решения задачи управления, обеспечивающего стабилизацию связей. Предложенный алгоритм охватывает метод Баумгарта и его модификации в формализме Лагранжа.

❖ Разработаны методы синтеза управления движением по траектории, определяемой связями, зависящими от производных второго порядка.

Практическая ценность работы:

❖ Разработанные в работе методы построения уравнений связей и уравнений динамики позволяют моделировать динамику управляемых систем, содержащих элементы различной природы.

❖ Предложенные методы решения задачи управления позволяют построить эффективный алгоритм решения задачи управления динамикой робототехнических, транспортных, технологических и других систем

❖ Предлагаемые алгоритмы стабилизации решения системы по отношению к уравнениям связей позволяют использовать сравнительно простые численные методы решения уравнений динамики связанных систем, обеспечивающих заданную точность на всем промежутке времени функционирования.

❖ Решение задачи управления программным движением с уравнениями неголономных связей, содержащих производные второго порядка, существенно расширяет сферу приложения результатов исследований по управлению программным движением.

❖ В целом, результаты диссертации могут быть использованы при исследовании систем управления, решении задач моделирования и стабилизации систем различной природы.

Реализация результатов обеспечивается:

❖ Использованием допустимых математических моделей, основанных на теории обыкновенных дифференциальных уравнений, принципов механики, управления и теории устойчивости.

❖ Предоставлением математических доказательств результатов.

❖ Моделированием результатов аналитических исследований с использованием современных программных систем МАТЪАВ 2012а.

Апробация работы: Основные результаты диссертационной работы были представлены и обсуждались на:

❖ Научных семинарах в Российском университете дружбы народов, организованных кафедрой теоретической механики и кафедрой теоретической физики и механики.

❖ На Международной научной конференции, посвященной 15-летию Филиала ЮУРГУ в г. Нижневартовске, 22 фев.2013 г.

❖ На Ь Всероссийской конференции по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники, Россия, г. Москва, 13-16 мая 2014 г.

Публикации: по теме диссертации опубликовано 6 статей, 4 из которых - в журналах, рекомендованных ВАК, 2 - обсуждались на международных конференциях и опубликованы в материалах конференций.

Структура и объём диссертации: диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы из 29 наименований, 13 рисунков. Полный объём диссертации составляет 109 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика работы, обоснована её актуальность, сформулированы цель, научная новизна и практическая ценность результатов.

В первой главе излагается решение задачи построения уравнений динамики голономной системы с особой матрицей Якоби и с особой матрицей инерции. В работе проведено исследование различных методов решения задач, связанных с особыми случаями матрицы Якоби. Установлены необходимые и достаточные условия приведения особых уравнений динамики к случаю неособых уравнений динамики. Основные результаты первой главы состоят в следующем:

Предложен метод моделирования динамики механической системы, положение которой определяется обобщенными координатами цх,-,ц„ ■ На систему наложено т голономных связей, т < п, уравнения которых записаны в векторном виде:

Ф(д,с)=0. (1)

Пусть динамика системы описывается уравнениями Лагранжа:

й (дЬ\ дЬ

Здесь Ь - ¿(д,д) = Т(д, ц)- V (д) - лагранжиан системы,

Пч.ч) =\чтмш.

(3)

кинетическая энергия, V - V (д) - потенциальная энергия системы, дивектор обобщенных внешних сил, Л - вектор множителей Лагранжа. Будем считать, что матрица инерции И = М(ц) является квадратной, симметричной и положительно определенной.

После обеспечения стабилизации уравнений связей по Баумгарту, уравнения движения (2) могут быть представлены в матричном виде:

где, 2 = -2 а(фчд + фг)-02ф- фд щ-ф, ,д = ьч + дех- Щ,

Уравнения (4) составляют систему т + п обыкновенных дифференциальных уравнений индекса 1 с неизвестными выражениями векторов случае, когда матрица инерции М является особой, и

матрица Якоби не имеет полного ранга, условия существования и единственности выражения векторов ц и Л не становятся очевидными.

Ранг матрицы Якоби становится дефицитным в случае, когда: некоторые из уравнений связей зависят от остальных, число уравнений связей больше, чем число неизвестных, когда механическая система достигает конфигурации, в которой происходит резкое изменение числа степеней свободы. Например, кривошипно-шатунный механизм достигает сингулярной конфигурации, когда два звена находятся в вертикальном положении.

Эти проблемы рассматриваются в первой главе следующим образом:

1. Если матрица М положительно определена, и матрица Якоби не обладает полным рангом, предлагается использовать следующий алгоритм для определения множителей Лагранжа, Я^, ц = 1,2 ..., т.

м сФЧУ Фч О

(4)

А. Из равенства:

(фчМ-1ф5)А = фчМ-г (2 - 2, (5)

определяется выражение вектора А:

а = О^м-^ГОм^с-Ю

+ [1-(фчМ~1<1-С)+(фчМ-1<1-'Е)]и, (6)

где и - произвольный вектор. При и = О из уравнения (6) следует решение минимальной нормы

А = {фчМ-\фчУ)+{фчМ-^-Ъ),

2 = -2 а(фчч + Фг)-Р2Ф~ Фч •

Уравнение динамики получается в виде

д = М-1 — .

Б. Значение д может быть определено из уравнения

ц = [м-1 а - м-1 фд(фчм-1 ФтчггФчм-'с]

+М~1фтч{фчМфтчу12.

Тогда,

= ¿/пс + М^+С2 -

^ М"1«? , ¥ = фч М-1'2 , Г1 = М~1= М-^М-1'2.

2. Случай, когда матрица инерции М является особой. Пусть М является симметричной, положительно полуопределенной (неотрицательной) и имеет размерность пхп. Запишем уравнение (4) в виде:

(7)

(8)

(9)

АХ = У ,

(10)

где

А =

М фтд Фа О

Тогда общее решение уравнения (10) принимает вид:

X = А+ У + [/ - А+А]ц. 11

Здесь I - единичная матрица размерности (т + п) х (т + п), ц -произвольный вектор размерности (т + п) х 1.

Следующая теорема формулирует необходимые и достаточные условия, при которых матрица А имеет максимальный ранг.

Теорема 1.1. Пусть матрица инерции М является симметричной, положительно полуопределенной, и фч имеет полный ранг. Матрица А имеет полный ранг тогда и только тогда, когда И является положительно определенной на нуль-пространстве фц.

Во второй главе рассматриваются две основные задачи: модификация метода стабилизации связей, предложенного в работах Баумгарта; и модификация уравнений движения в форме Лагранжа в том смысле, что рассматривается вопрос об особых матрицах Якоби и особых матрицах инерции.

Уравнения динамики п —мерной механической системы, на которую наложено т(т<п) голономных связей, можно представить в виде:

мш + вТчл = (¿(д, ¿¡, €), ( 12 )

в(чл) = 0. (13)

Здесь, в = (01,©2, ...,@т), МбШпхп - обобщенная матрица инерции, АеЯт- вектор множителей Лагранжа, ©че Етхп - матрица Якоби, ^ £ Жп- вектор обобщенных внешних сил и ц 6 К"- обобщенные координаты. Дифференцируя уравнение (13) по времени, получаем:

0(9-9,0 = 0,9-17 = 0, (14)

где т/ -- -0,.

Дифференцируя (14) ещё раз по времени, получаем:

0(д,<7,О = 0,9-^ = 0 , (15)

где Ц = -(0,9),д - - ви = -вчщ - в,.

Метод Баумгарта предполагает замену величины 0 в уравнении (15) выражением:

0 + 2а0 + /?20 = 0. (16)

Равенство (16) имеет довольно ограниченное применение, определяемое только выбором параметров коррекции а и р. Поэтому целесообразно рассмотреть более общий случай. Заменим выражение (16) матричным соотношением:

0 + Ков + Крв = 0. (17)

Здесь Кв и Кр- постоянные положительно определенные симметричные матрицы. Выражение (17) может быть записано в виде системы:

Для исследования устойчивости тривиального решения системы (18) используется функция Ляпунова в виде квадратичной формы:

*•.*)-№':,**'Уна

= ^[0 + £0]Т[0 + £0] +1вт[КР + еКв - £2/]0.

Постоянная величина £ определяется так, чтобы удовлетворялись условия:

Кв - £1 > 0, Кр + еКв - е21 > 0. Производная функции 0) по времени записывается в виде

*С.*> = -0ГС' ,.о_-]0- сад

Правая часть равенства (20) является определенно отрицательной величиной. Следовательно, нулевое решение (в, 0) = (0,0) уравнения (18) асимптотически устойчиво.

С учетом уравнения возмущений связей (17), уравнение (12) приводится к виду:

Мц = 0 - 0$(0,М-10ЧГ)+(0ЧМ-1О - П). (21 а) В случае (0ЧМ-10ЧГ)+ = (ОдМ-1©,,7) 1 уравнение (12) принимает вид:

мц = о - в5(в,дг1в,г)"1(в,лг-1д - п). (216)

Здесь

л = ~(вчЧ)чЧ - 2вчгц - ви - К„0 - Крв , (22)

Представление уравнений динамики в виде (21) составляет модификацию метода стабилизации связей Баумгарта.

Таким образом, дифференциально-алгебраические уравнения (12) и (13) приводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (21), для решения которой могут быть использованы стандартные численные методы решения, например, метод Рунге-Кутга. Предложенная модификация в случае необходимости использует различные параметры коррекции для сильно различающихся ограничений.

Модифицированный метод стабилизации связей Баумгарта (выражение 21) позволяет учитывать масштабы влияния связей, но не охватывает все возможные особые случаи, как, например, случаи сингулярной конфигурации, и связано с большим объемом вычислений для формирования матрицы . Этот недостаток можно

преодолеть следующей модификацией уравнений Лагранжа.

Пусть отклонения от уравнений связей обозначены векторами у и у:

0(ЧЛ) = У (23)

• (24)

Здесь у = (у1,у2, ...,ут) и у = (у1,у2, ...,ут). С учетом векторов у и у кинематическое состояние механической системы определяется вектором обобщенных координат и = {д, у} и обобщенных скоростей и = { д, у }.

Пусть Т° -кинетическая энергия, V0- потенциальная энергия, £>°-диссипативная функция свободной механической системы, такие, что:

т° = Т°(д,ч).У° = = 0°(д,<7).

Динамика свободной системы описывается уравнениями Лагранжа

Щ = (25)

Здесь 0 = 1°ч + <2ех - М4 ¿°ч = ЭС^~у0), Оех- вектор обобщенных

внешних сил, приложенных к системе. Пусть теперь Т- кинетическая энергия, V- потенциальная энергия, £)- диссипативная функция несвободной системы, на которую наложено т голономных связей. Тогда запишем Т, V, Э в матричном виде:

г = \чтМц + \утВу,V = у°Сч) + \уткРу,О = Ч) + \уткву, (26)

где М = (ту ), В = (а;;- ),Кр = (уц ), К в = (су ), ¡,; = 1,2 ... т. Будем считать, что коэффициенты vlj и Сц являются постоянными, и матрицы В, КВ,КР имеют размер тп х т, являются диагональными и положительно определёнными. Составим уравнения Лагранжа относительно возмущений связей:

Упростим выражения в левой части уравнения (27) почленно и получим:

С (уГ)уО(Яу + + *рУ) =0. к = 1 ...тп (28)

Модифицированные уравнения динамической системы получаются путем комбинирования уравнений динамики свободной системы (25) (принимая £>°(д, <?) = 0) с уравнениями возмущений связей (28):

Мч + (.(ут-)у*-)В(у + К0у + Кру) = Ъ. (29)

Из последнего равенства следует:

(М + 0тчВ0ч)я = о - 0тчв(ко0 + Крв - 0, (30 )

? = ~{вчЧ)чЧ - - 0« = -ОчЧ - 0£ • С31)

Выражение (30) является модифицированным уравнением Лагранжа. Преимущество модифицированного уравнения Лагранжа состоит в том, что матрица коэффициентов (М + 0ТЧВ0Ц~) всегда положительно определена, включая случай, когда матрица Якоби не обладает полным рангом. Это обстоятельство позволяет решить проблему стабилизации вблизи особых точек. Вопрос о стабилизации системы при использовании равенства (30) решается путем соответствующего выбора элементов матриц К в и Кр.

В третьей главе рассматривается задача приведения уравнений динамики связанной динамической системы к задаче управления динамической системой. Приводится решение задачи управления двухколесным мобильным роботом, динамика которого описывается уравнениями Лагранжа.

Пусть Ж многообразие любой конфигурации. Рассмотрим механическую систему, конфигурация которой описывается вектором обобщенных координат д = (д2 ,цг , ...,цп ) теМ. Пусть движение системы, которое представлено в обобщенных координатах д, удовлетворяет уравнениям связей.

Кинематические связи ограничивают допустимые движения механической системы путем уменьшения набора обобщенных скоростей, которые могут быть достигнуты в каждой конфигурации. Обычно кинематические связи определяются уравнением в форме Пфаффа:

КЧ)Ч = 0. (32)

Здесь /(д) - матрица Якоби размера шхп, имеющая полной ранг т.

Пусть 5(д) = [#!(д).....дп_т(д)] 6 Е"х("-т) являются базой кег (/(д))

и

/СдЖд) = о, (33)

Уравнения движения системы с п степенями свободы и вектором

обобщенных координат д = (ДгДг.....Чп)Т е К" могут быть представлены

выражением:

М( д)д + Р( д, д)д + Л^(д)д = Е(д)т - /г(д)А, (34)

где М — (п х п) симетрическая, положительно определенная матрица инерции, Р(д,д) - (пх 1) матрица скоростных сил (содержит векторы скоростей центростремительных сил и сил Кориолиса), ЛГ(д) - матрица позиционных сил. Л— (ш X 1) вектор множителей Лагранжа, Е(д) -матрица преобразования, имеющая полный ранг, т - вектор управления размерности т х 1.

Дифференцируя выражение (33) и подставляя д , д в выражение (34), предварительно умноженное на БТ, получим:

БТМ (д)5и + 5Г [М(д)5и + + = 5гЕ(д)т. (35)

Уравнение (35) пригодно для целей управления (без множителей Лагранжа) и является уравнением управления динамикой системы. Отметим, что уравнения связей (32) встроены в динамическое уравнение (35).

Рис.3.1. Двухколесный мобильный робот

(36)

Уравнение динамики (рис.3.1) двухколесного мобильного робота записывается следующим образом:

М(яУч + Р(яЛ)ч + ВДд = Е(ч)т .

Здесь т = (тд тОт , ЛГ(д) = О

М(я) =

/ т 0 —тсйБтв 0

0 т тсйсоБв 0 0

■тс йзтв тсйсо5в 2 /„ 0 0

0 0 0 /и- 0

V 0 0 0 0 и

Р(.ч,ч)

0 0

0 0 —тсй05т0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 . вд = 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0

\о 0 0 о/ \о 1/

1Чч) =

/—з'шв соэд созв\

собО Бтв $1пв О I -I

О —Я О

\ О О -К /

В четвертой главе исследована механическая система, состояние которой определяется вектором q = -•ЧпУ> и на которую

наложены неголономные связи:

Ыч.ч.ч.$ = 0 Лк = 1.....«О- С37)

Динамика системы с уравнениями связей (37) описывается уравнениями Лагранжа:

а 91 91 - «

ех 1 1 (дМ

(38)

Система уравнений (37),(38) приводится к виду: Г Мй{Ь) + КЧ,ц) + Ъ{ц)=Ё

Ч>к(я,4,4.€) = 0 ,(& = 1.....0) ' ^

где М = 5гМ(д)5,^(с7, Ч) = 5г[М(д)5 + Р(д. д)5]и(0, #(?) = 5г7У(д),

Е = 5 = д) 6 И"*"-*) является базой матрицы М.

ч ад, )

Уравнения связей в выражениях (39), как предполагается, включают в себя как естественные, так и программные связи.

Динамическая модель управления, соответствующая (38), разработанная с учетом только естественных связей (без программных связей), определяется выражением:

(

'Мй + Си + а = Ет

/<7 = 0 '

где г - вектор управления. М = 5гМ(д)5, С - 5г[м(д)5 + Р5],

N = STN,E — 5гЕ(д). / -обычная матрица Якоби, которая получена с учетом уравнений естественных связей.

Требуемый вектор управления г выбирается на основе уравнения:

М(.ч)[хг - Квё - Кре] + С(д, ¿¡)и + Щд) = х , (41)

где е = х — х^, Кв, Кр - (п — т) х (тг — т) постоянные матрицы усиления.

Для управления движением по траектории отслеживания программного движения неголономных систем второго порядка используем уравнения (39), (40) и (41). Уравнение (39) используется для того, чтобы получить динамически возможные траектории на основе заданного программного движения, и выражение (40) и (41) используется для определения вектора управления т путем назначения соответствующих элементов матриц Кв и Кр.

Сформулируем алгоритм, который используется в процессе построения управления для траектории слежения программного движения.

1. Определение динамически возможной траектории Xf с

использованием модели планирования управления, представленного уравнением (39).

2. Определение вектора управления г из уравнения (41).

3. Определение фактической траектории х, соответствующей вектору управления, построенному в п. 2, и уравнению (40).

4. Оценка отклонения сравнением результатов шага 1 и шага 3.

5. Если результат оценки п. 4 соответствует неравенству /х - хг/< е, то процесс завершается; в противном случае следует перейти к следующему шагу (г - малая величина).

6. Продолжение улучшения отклонения путем получения улучшенного управления из выражения (41), используя различные значения для элементов матриц К0 и Кр .

1. Переход к шагу 2.—

8. Повторение п.п. 2-7, пока не получится достаточно хорошее управление, обеспечивающее требуемую точность /х — х¡1 < е. Сформулированный алгоритм эффективно применяется для решения следующей задачи.

Пример 4.1. Исследуем динамику мобильного робота, изображенного на рисунке 3.1. Естественные связи системы описываются уравнениями:

—ха5т9 + уа СОБ9 = 0, ХаСО50 + УаБтв + вь = . (42)

хасозд 4- УаБтв — вь = В дополнение к естественным связям предположим, что мобильный робот должен двигаться вдоль плоской кривой, кривизна которой равна 5. То есть мобильный робот требуется переместить вдоль программированного движения, удовлетворяющего уравнению связи:

ХаУа-УаХа-5[х1+уП3/2 = 0 ■ (43)

Данный пример, основанный на использовании уравнения (39), соответствует программному движению двухколесного мобильного робота, заданному уравнением (43). Требуемая траектория (динамически возможно траектория), (обозначается х{ = (х{ ,у/0г), определяется выражениями:

хг = 0.25171(0.50; уг = -0.2со5(0.50 (44)

Моделирование. Результаты численных экспериментов, выполненных с использованием системы МАТЬАВ, и значениями элементов диагональных матриц - 0:0001; к^22 — 0:001; крп =

0: 0001; кр22 = 0: 0001; клз3 = 0: 0001; кр33 = 0: 0 0 01, дают

удовлетворительный результат решения задачи управления программным движением. При моделировании фактическая траектория х = (х,у)т определяется выражениями:

х = 1.995£п(0.5О- 0.004с<м(0.5О,у = 0.008со$(0.50- 1.99со5(0.50-

Погрешности моделирования показаны на рисунке 4.4

Изображение фактической (к) и требуемой (т) траектории показаны на рисунке 4.5.

Основные результаты работы

Главная задачей исследования первой главы является разработка методов решения задач, связанных с особыми случаями матрицы Якоби и с особыми случаями матрицы инерции. Установлены необходимые и достаточные условия приведения особых уравнений динамики к случаю неособых уравнений динамики.

В соответствии с целями работы в первой главе получены следующие результаты:

❖ Построены уравнения динамики, получены выражения множителей Лагранжа и ускорений в случае голономной системы с сингулярной матрицей Якоби и сингулярной матрицы инерции.

20

Рис. 4.4. График погрешностей моделирования I

Яге«

ЛзоОржвк фактической) требуемой (Т )1рзесторнн

❖ Определены необходимые и достаточные условия разрешимости уравнений динамики в особых случаях.

Во второй главе разработаны модификация метода стабилизации связей, предложенного в работах Баумгарта, и модификация уравнений движения в форме Лагранжа. Модификация метода Баумгарта заключается в расширении уравнений возмущений связей с использованием отклонений всех возмущений. Модификация уравнений динамики позволяет решить задачу стабилизации связей в случае сингулярной матрицы Якоби и сингулярной матрицы инерции.

В третьей главе разработаны методы представления уравнений связанной динамической системы и уравнений динамики двухколесного мобильного робота в форме уравнений Лагранжа, и решения задачи управления динамикой системы. Проанализировано понятие связей, накладываемых на двухколёсный мобильный робот, и предложены способы получения выражений уравнений связей.

Основные результаты, полученные в четвертой главе, приведены

ниже:

❖ Разработаны модель планирования управления и динамическая модель управления неголономной системой второго порядка для управления движением по траектории на основе уравнений динамики.

❖ На основе сформулированных теоретических положений построен алгоритм, который может быть использован для управления движением по траектории прохраммного движения неголономной системы второго порядка.

❖ Для подтверждения эффективности предлагаемого в работе подхода приводится пример. Результаты моделирования изображены на графике.

Основное содержание работы отражено в следующих публикациях: Научные статьи, опубликованные в журналах, рекомендованных ВАК:

1. Deressa С. T. Constructing dynamic équations of constrained mechanical systems. // Bulletin of PFUR. Sériés Mathematics, Information Science, Physics. 2013. №3. Pp. 92-104.

2. Mukharlyamov R.G., Deressa C. T. Dynamic équations of controlled mechanical system with redundant holonomic constraints. //Herald of Kazan technological University. 2014. T. 17. №.11. Pp.236-243.

3. Deressa С. T. Trajectory tracking control of programmed motion in Second Order nonholonomic systems. // Bulletin of PFUR. Series Mathematics, Information Science, Physics.2014. №4. Pp.95-105.

4. Mukharlyamov R.G., Deressa С. T. Stabilization of redundantly constrained dynamic system. // Bulletin of PFUR. Series Mathematics, Information Science, Physics. 2015. №l.Pp. 60-72

В других журналах и материалах научных конференций:

1. Deressa С. Т. Equations of mechanical systems with singular coefficient Matrix. // Материалы Международной научно-практической конференции, посвященной 15 летию филиала ЮУРГУ в. Г. Нижневартовске; изд-во НВГУ.2013. С.56-63.

2. Deressa С. Т. Control of programmed motion in higher order nonholonomic Systems//L Всероссийская конференция по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники Россия, г. Москва, 13-16 мая 2014 г. С.235-238.

Подписано в печать 13.04.2015г. Формат 60x84/16. Печать офсетная. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме.

Усл. печ. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ 462._

Российский университет дружбы народов

_115419, ГСП-1, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3_

Типография РУДН 115419, ГСП-1, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, тел. 952-04-41