Моделирование гидравлического разрыва в пористой среде тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

Филонова (Тагирова) Василина Рифовна

003450282

МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО РАЗРЫВА В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

Специальность 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003450282

Работа выполнена на кафедре гидромеханики и кафедре газовой и волновой динамики механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова.

Научные руководители:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор H.H. Смирнов доктор физико-математических наук, профессор А.Н. Голубятников

доктор технических наук, профессор М.В. Лурье доктор физико-математических наук ГГ. Цыпкин

Институт проблем нефти и газа РАН, г. Москва

Защита состоится 21 ноября 2008 г. в 15:00 часов на заседании диссертационного совета Д.501.001.89 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан ¿¿^октября 2008 г.

Осипцов

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.501.001.89, доктор физико-математических наук

1. Общая характеристика работы

Актуальность темы. Трещины, образованные в пористой среде под действием расклинивающего потока жидкости (гидравлические разрывы), встречаются во многих природных и техногенных процессах. Наиболее важным практическим применением решения задачи о распространении гидравлической трещины является гидроразрыв нефтесодержащих пород -технология, широко используемая в нефтяной и газовой промышленности для повышения продуктивности скважин.

Несмотря на активное изучение проблемы в течение последних 50-ти лет, задача о распространении трещины гидроразрыва остается актуальной, поскольку результат гидроразрыва пласта оказывается трудно предсказуемым на практике. В частности, определение всех размеров трещины в реальном времени непосредственно на месторождении является нерешенной задачей. Поэтому теоретическое и численное моделирование гидроразрыва необходимо для предсказания размеров трещины и характера ее распространения при известных параметрах пласта и условиях закачки жидкости. Моделирование трещины с простой геометрией позволяет прояснить зависимость макроскопических характеристик процесса от изменения определяющих параметров без излишних усложнений анализа, что дает возможность разработать эффективные алгоритмы управления распространением трещины.

Процесс гидравлического разрыва представляет собой совокупность нескольких задач. Помимо моделирования разрыва породы под напором жидкости, интерес вызывает также вопрос об оптимальной форме трещины, которую нужно создать для обеспечения наибольшей добычи углеводородов из недр пласта. Решение этой задачи может быть актуально при современном инженерном моделировании коллектора для сбора нефтесодержащей жидкости.

Цель работы

• В рамках гидравлического приближения и гипотезы плоских сечений исследовать распространение трещины гидроразрыва в пористой среде с учетом оттока жидкости через стенки трещины на основе закона Дарси и выявить качественные особенности процесса при изменении определяющих параметров задачи.

• Определить эволюцию ширины раскрытия и длины трещины, скорости жидкости внутри трещины и глубины просачивания жидкости гидроразрыва в окружающий пласт.

• Провести анализ автомодельных решений задачи и решений типа бегущей волны. Исследовать влияние изменения закона закачки жидкости в скважину со временем, вязкости и нелинейной реологии жидкости на поведение решений.

• Реализовать численное моделирование задачи и сравнить расчеты с полученными аналитическими решениями.

• Рассмотреть трехмерную оптимизационную задачу о форме коллектора для сбора нефтесодержащей жидкости из недр пласта.

Методика исследования. В работе применяются методы механики сплошной среды, обуславливающие гидравлическое приближение в постановке задачи, методы построения точных решений задачи и качественного анализа системы дифференциальных уравнений, содержащей нелинейное квазипараболическое уравнение. Также использован численный метод решения уравнений в частных производных второго порядка аппроксимации, основанный на схеме Кранка-Николсона.

В диссертации, как и во многих работах по этой теме, исследуется процесс распространения прямолинейной трещины гидроразрыва в бесконечном теле с фиксированными характеристиками пористой среды и постоянным горным давлением. Известно, что силами сцепления среды при росте развитой

трещины в пласте под напором жидкости можно пренебречь. Несмотря на то, что такой процесс соответствует раскрытию существующего разреза или фактически распространению полости, в литературе по гидроразрыву сохраняется термин "трещина". В основе постановки задачи лежит одна из классических моделей (PKN1), в которой ширина раскрытия трещины много меньше ее высоты, а высота много меньше ее длины. В модели принята гипотеза плоских сечений для перпендикулярных линии роста трещины сечений, на ее основе зависимость между давлением жидкости и шириной трещины в силу свойств упругости скелета сводится к линейной функции.

Использовано локально одномерное описание оттока жидкости, обусловленное медленным изменением ширины трещины вдоль оси распространения трещины. На практике для моделирования утечек жидкости часто применяется формула Картера, которая, вообще говоря, является следствием закона Дарси при давлении жидкости в пористой среде, не зависящем от времени, в ней скорость оттока обратно пропорциональна корню из времени. В настоящей диссертации фильтрация жидкости описывается на основе уравнения движения в гидравлическом приближении TáK, что для течения линейно-вязкой жидкости имеет место закон Дарси. Также используется принятое в работе Ивашнева и Смирнова 2 пренебрежение сопротивлением менее вязкой жидкости, насыщающей пласт, то сравнению с сопротивлением более вязкой жидкости гидроразрыва в силу непрерывности давления на границе вытеснения. Это позволяет замкнуть задачу и ввести в рассмотрение вместо скорости оттока глубину просачивания жидкости в пористую среду.

1 Perkins Т.К., Kern L.R. Widths of hydraulic fractures // J. Pet. Tech., Trans. AME. 1961. V. 222. P. 937-949.

Nordgren R.P. Propagation of vertical hydraulic fractures // J. Pet. Tech. 1972. V. 253. P. 306-314.-(SPE 3009).

2 Ивашнев O.E., Смирнов H.H. Формирование трещины гидроразрыва в пористой среде // Вести. МГУ. Математика, механика. 2003. № 6. С. 28-36.

3

Научная новизна. В диссертационной работе расширена постановка, предложенная в статье Ивашнева и Смирнова, проведено исследование системы уравнений и получены новые решения. В частности:

• Показано, что система уравнений, описывающая распространение трещины, имеет автомодельные решения только степенного либо экспоненциального вида. Впервые исследованы решения типа бегущей волны.

• Предложено развитие данной постановки для жидкости гидроразрыва со .степенной псевдопластической реологией и исследовано влияние нелинейной реологии жидкости на поведение решения.

• Расширен спектр граничных условий, а именно на входе в трещину задается расход либо давление жидкости, изменяющееся по степенному, экспоненциальному или кусочно-линейному закону от времени.

• Впервые для этой модели проведен анализ влияния закона закачки жидкости со временем на характер распространения трещины и ее размеры.

• Выявлена зависимость решения от изменения коэффициента вязкости ньютоновской жидкости.

• Замкнутая система с нелинейным квазипараболическим уравнением при заданном расходе жидкости содержит нелинейное граничное условие. В этом случае математическая постановка задачи обладает новизной.

В диссертации также отдельно поставлена и решена стационарная задача о форме полости для сбора вязкой жидкости, насыщающей пористую среду. В отличие от известных аналитических работ здесь рассмотрена трехмерная задача оптимизации формы коллектора, в частности, из класса сплюснутых эллипсоидов вращения.

Научная и практическая значимость. В диссертации предложена усовершенствованная математическая модель для исследования роста трещины гидроразрыва в пористой среде. Найдены классы решений, которые

могут быть использованы для моделирования более сложных задач, лежащих в основе численных расчетов при прогнозировании процессов гидроразрыва в реальном времени непосредственно на нефтяных месторождениях. Исследования позволяют качественно ответить на вопросы о влиянии вязкости или нелинейной реологии жидкости, а также утечек жидкости в пласт на процесс роста трещины гидроразрыва. Рассмотрено поведение характеристик трещины со временем в зависимости от закона закачки жидкости. Предложен способ управления закачкой жидкости для достижения максимальной длины трещины для заданного момента времени, что может обеспечить повышение добычи углеводородов из недр пласта. В трехмерной задаче о форме коллектора для сбора нефтесодержащей жидкости получены аналитические выражения для определения оптимальных размеров этой полости, что также может быть использовано в задачах нефтедобывающей промышленности.

Достоверность результатов обусловлена применением строгих подходов и методов механики сплошной среды, основанных на законах сохранения, использованием аналитических методов решения. Достоверность численных результатов основана на использовании апробированной разностной схемы для решения нелинейных квазипараболических уравнений, а также совпадением расчетов с аналитическими решениями.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова и математического института РАН имени В.А. Стеклова: кафедры газовой и волновой динамики (рук. академик РАН Е.И.Шемякин), по механике многофазных сред (рук. профессор H.H. Смирнов) и семинаре по механике сплошной среды (рук. академик РАН А.Г. Куликовский, проф. A.A. Бармин и проф. В.П. Карликов), на конференциях "Ломоносовские чтения" (Москва,

МГУ, 2006, 2007, 2008 гг.), на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006 г.), на конференции "Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики" (Новосибирск, 2006 г.), на международной конференции по гидроразрыву "Hydraulic Fracture Summit VII" (США, 2007 г.), на конференции-конкурсе молодых ученых НИИ механики МГУ (Москва, 2007, 2008 гг.), на Всероссийской конференции "Современные проблемы механики сплошной среды", посвященной 100-летию академика Л.И. Седова (Москва, 2007 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в тринадцати работах, в том числе в четырех статьях в журналах из перечня ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. В работе содержится 26 фшур, 5 таблиц и 163 библиографические ссылки. Общий объем работы 147 страниц.

2. Содержание работы Введение

Во введения изложены общие положения применяемых моделей и цели диссертационной работы, указана новизна и возможная прикладная значимость результатов исследования, представлена структура диссертации и перечислены основные исследуемые вопросы.

В первой главе приведен обзор литературы. Четыре следующие главы посвящены распространению трещины гидроразрыва в пористой среде, а последняя - задаче об оптимальной стационарной форме полости для сбора вязкой жидкости, насыщающей породу.

Первая глава

В первой главе представлена история вопроса гидравлического разрыва среды, тема раскрывается с точки зрения как теоретического и численного

моделирования, так и экспериментальных работ. Обоснована актуальность проблемы, формулируются отличия постановок задач, рассмотренных в диссертации, от основных предшествующих исследований.

Вторая глава

Во второй главе формулируется математическая модель роста вертикальной трещины гидроразрыва в пласте, которая образуется под напором ньютоновской (линейно-вязкой) жидкости. Прямолинейная трещина распространяется в направлении оси Ох в бесконечной пористой среде (рис. 1). В разделе 2.1 перечисляется ряд допущений, обосновывающих приближения модели:

I. Предполагается, что ширина трещины много меньше ее высоты, а высота много меньше длины трещины: со « Ъ « Ь . Тогда вдали от конца трещины ширина ее раскрытия - медленно меняющаяся функция, а>х «1.

Рис. 1 Схема трещины гидравлического разрыва.

Это позволяет принять гипотезу плоских сечений, согласно которой напряженные состояния двух сечений, перпендикулярных линии распространения трещины, независимы. Окружающую трещину породу считаем в каждом поперечном сечении линейно-упругой и пористой средой. Давление жидкости отсчитывается от фиксированной величины горного давления. Согласно PKN-модели связь между избыточным давлением жидкости P(t,x) и осредненной по поперечному сечению шириной трещины <o(t,x) в каждом сечении линейная. Коэффициент пропорциональности Ъ может быть найден, например, из решения классической плоской задачи упругости для эллиптической полости, находящейся под внутренним давлением Р:

Р-Ъю, Ь = 4/Чт (1)

jrfl-vJA v 1

где Уа - коэффициент Пуассона, - модуль сдвига материала.

II. Окружающий пласт изначально пропитан нефтесодержащей жидкостью, коэффициент вязкости которой пренебрежимо мал по сравнению с коэффициентом вязкости жидкости гидроразрыва. Жидкости несжимаемы, массовыми силами и инерционностью их течения пренебрегаем. Движение жидкостей в проницаемой пористой среде описывается законом Дарси. Пренебрегая сопротивлением менее вязкой жидкости по сравнению с сопротивлением более вязкой из условия непрерывности давления получаем, что на границе вытеснения избыточное давления фильтрующейся жидкости гидроразрыва равно нулю.

III. Вблизи боковой поверхности трещины предполагаем локально одномерное по у приближение фильтрации жидкости. Течение несжимаемой жидкости в пористой среде описывается законом Дарси:

дРг и dv

—r~ = ~i~v — = 0 (2)

ду к ' ду К '

где ч = -истинная относительная скорость движения жидкости в пористой среде; Рг = Рг((,х,у) -избыточное давление жидкости в пористой среде; к - коэффициент проницаемости породы, деленный на ее пористость; ц - динамическая вязкость жидкости.

Скорость просачивания жидкости гидроразрыва в пористой среде определим как = <ЭГ73/ , где Г = Г((,х) -глубина просачивания

жидкости в породу, отсчитываемая от берега трещины. Тогда на границе раздела жидкостей в силу приближения II верно Рг х, Г + а / 2) = 0. На берегу трещины выполняется равенство давлений Рг(?,х,со/ 2) = Интегрируя

(2) по области просачивания 0)12<у<Г + со12 и подставляя граничные условия, получим

уГ = кР!ц (3)

Поскольку сох и малы, то при конечных значениях Г получаем, что глубина просачивания - медленно меняющаяся функция, «1. Таким образом, для фильтрации жидкости в окружающую проницаемую среду также справедлива гипотеза плоских сечений.

При описании течения внутри трещины используется гидравлическое приближение для движения вязкой жидкости в узком канале. Закон сохранения массы и уравнение движения принимают вид: да дай „ а1 дР

— +-+ 2у = 0 и =------С4")

дt дх ' 12Мдх ^

где и = - продольная осредненная по ширине скорость жидкости

внутри трещины.

Исключая Р с помощью (1) и выражая V через Г, в уравнениях (3) и (4), получим основную систему уравнений квазипараболического типа для определения ширины со, скорости и, глубины просачивания Г и длины

трещины L. Длина находится из граничных условий, некоторые из которых заданы в нелинейном виде.

В разделе 2.2 вводятся характерные масштабы длины L* = -J\2k и времени (* = p*JV2 /(Wt), на практике очень малые. Поэтому для учета реальных размеров задачи необходимо ввести коэффициент растяжения Не, входящий сомножителем Н-Гв для t,co,u,T и сомножителем Не для х, L ; обычно е ~ 1(Г8. Тогда основная система уравнений в безразмерном виде дает

(®+2Г),-(©4)^=0, ГГ, = о, и=-со2Фх (5) В конце трещины х = L(t) ширина трещины со, глубина просачивания Г и относительный расход жидкости (Г + а/2)(и-Ц) полагаются нулевыми. В качестве граничного условия в начале трещины х = 0 задан либо объемный расход в единицу времени, либо давление жидкости.

Показано, что в области решения задачи существуют различные режимы просачивания в зависимости от порядка отношения со IT. В предельных режимах малого или большого просачивания в уравнении баланса масс (5) можно пренебречь одним из первых двух слагаемых. Как показывает решение полной системы уравнений типа бегущей волны (разделы 2.5, 3.6) малое просачивание реализуется всегда вблизи конца трещины, а также всюду при малых t, большое просачивание - вблизи начала трещины при больших t. На преобладание того или иного режима пропитки также влияет коэффициент интенсивности закачки жидкости в трещину <2о или ^ (см. рис. 2 и гл. IV).

В разделе 2.3 показано, что система (5) в общем случае может иметь автомодельные решения только степенного вида, а в предельных режимах просачивания еще и экспоненциального вида. Автомодельные решения строятся в разделе 2.4. При этом граничное условие на входе в трещину задается как функция, пропорциональная ta либо еш , где а -параметр

задачи, характеризующий изменение закона закачки жидкости в трещину со временем. В предельных режимах просачивания получены автомодельные решения при различных условиях закачки жидкости в трещину (рис. 2). Раздел 2.5 посвящен построению решений типа бегущей волны.

5 4

(а) (6)

Рис.2. Зависимость автомодельной ширины трещины £> = е>/<" и глубины просачивания У = Г/7* от автомодельной координаты при заданном расходе в начале трещины

£? - Ш" в случае малого (а) и большого (б) просачивания жидкости в пласт, (а) - и = (2а +1)/5, 5 = (ог + 3)/5, т = (За + 4)/5 , ¡3,=Ю0; (б) - л = (4а + 1)/9, ¿ = (2а + 5)/9, от = (7а + 4)/9, &=КГ3. Здесь проведена экстраполяция случая (б) на всю трещину.

Третья глава

В третьей главе рассмотрено расширение постановки задачи, описанной в главе II: исследуется распространение трещины гидроразрыва под напором неньютоновской жидкости псевдопластического типа со степенной реологией. Здесь рассмотрено влияние реологии жидкости гидроразрыва на изменение качественной картины поведения безразмерных решений.

В задаче, сформулированной в разделе 3.1, используется модель неньютоновской псевдопластической жидкости, в которой компоненты

тензора вязких напряжений связаны с компонентами тензора скоростей деформаций , т1у = ; так, что эффективный коэффициент вязкости //„ зависит от второго инварианта тензора скоростей деформаций по степенному закону

Ма=М

I^

При этом эффективный коэффициент вязкости Ца убывает с ростом скорости сдвига (псевдопластичность): 0</?<1, ¡3 -безразмерный показатель степени в реологическом соотношении, М = const. Для ньютоновской жидкости М = ц, /3 = 1.

Для описания течения жидкости в пористой среде за основу берется гидравлическое приближение уравнения движения неньютоновской жидкости в узкой щели, осредненное по ширине щели. Полагая квадрат характерной ширины трещинок в породе пропорциональным проницаемости пористой среды, описываем процесс фильтрации уравнением, которое для ньютоновской жидкости имеет вид закона Дарси. Иными словами, считаем, что величина скорости оттока v(f,x) в размерном виде удовлетворяет уравнению:

(\1кУр+х)1г ар

v = L' М'^ФМ, ф = {20 + 1У2»Ч0>

Здесь к-к! тгг/3'{и0У, к - проницаемость породы, тг - ее пористость.

В разделе 3.2 основная система уравнений приводится к безразмерному виду:

+ 2Г), + = 0, ГГ,' = ®, « = (-^Г (6)

Параметр Р участвует в процессе обезразмеривания; изменение размерных решений при этом исследовано в главе IV.

Постановка задачи допускает существование различных классов решений: автомодельных и типа бегущей волны - при граничных условиях, аналогичных задаче для ньютоновской жидкости. Автомодельное решение задачи в общем случае (а / Г ~ 1) существует, когда на входе в трещину задан либо расход жидкости, пропорциональный либо давление жидкости, пропорциональное Г.

В разделе 3.3 построено полное автомодельное решение и рассмотрено влияние степени Р на изменение основных характеристик роста трещины в безразмерных переменных. В частности, показано, что при одинаковом расходе жидкости в начале трещины <2 = О/ при б0 = 1 и) 2 скорость неньютоновской жидкости вдоль трещины 1 {Р < 1) больше скорости жидкости с линейной 0,8 реологией (Р = 1), рис. 3, что

0.6-

обуславливает и большую скорость распространения

0 4-

трещины.

Рис. 3. Зависимость автомодельной скорости жидкости и = к/? от продольной координаты £ = * / /2 при = 1; 1/2; 1/3 и заданном расходе жидкости на входе в трещину (2(1) = Г2.

В разделе 3.4 в предельных режимах просачивания аналитически показано, что семейство решений экспоненциального вида является предельным случаем для семейства автомодельных решений степенного вида при а -> оо.

В разделе 3.5 рассмотрено приближение задачи при малых степенях р, т. е. когда вязкие напряжения в жидкости при течении с простым сдвигом близки к постоянным. Это позволяет получить общее аналитическое решение

13

задачи, когда граничное условие на входе в трещину задано как произвольная функция от времени. Показано, что в точном решении /? = 0 ширина

трещины со и глубина просачивания Г совпадают и равны лЩТЬ) - х), а и = Зс11 / Л . При этом длина трещины 1(0 аналитически определяется из краевого условия в начале трещины, заданного как произвольная функция от времени.

Линейная зависимость ширины трещины от глубины просачивания при Р —> 0 также видна на примере решений, полученных в разделе 3.6, где построено точное решение в виде бегущей волны для любого Р ■ Асимптотическое приближение этого решения вблизи конца трещины при £ = где П -безразмерная скорость волны, характеризующая

скорость движения конца трещины, следующее:

..(Р+/0П'сГ'. "П

Четвертая глава

В четвертой главе построены асимптотические приближения степенного вида для решений задачи гидроразрыва (5) или (6) в окрестности конца трещины. Конец трещины здесь рассматривается в рамках гидравлического приближения и определяется граничными условиями задачи. Асимптотическое рассмотрение позволяет получить приближенные аналитические выражения для основных характеристик распространения трещины в зависимости от времени и показателя изменения закона закачки со временем а, если формально удовлетворить условию при х = 0 (раздел 4.1). Например, если на входе в трещину задан расход ньютоновской жидкости ¡2 = Ш" » то профиль и длина трещины ведут себя как

=(в1^]"!5 (ко-*Г, ко=У &3'5^+4)/5 (?)

Аналогично можно получить асимптотику решения при заданном давлении на входе в трещину Р = Рй1а. Порядок коэффициентов (20 или Р0 характеризует интенсивность закачки жидкости и также определяет порядок отношения а/Г при фиксированных г1, х.

В разделе 4.2 специально исследована зависимость длины трещины от времени и показателя изменения закона закачки а. Анализ асимптотического приближения длины трещины (7) показывает, что увеличение скорости закачки жидкости в трещину со временем позволяет получить максимальную длину трехцины для заданного момента времени. Математически это означает выбор наибольшего возможного значения параметра а.

В разделе 4.3 проведено качественное исследование монотонности искомых функций со временем в зависимости от показателя изменения закачки а с тем, чтобы выявить интервалы допустимых значений параметра ос- В таблице указано поведение функций со временем в различных интервалах изменения параметра а в случае малого просачивания, если на входе в трещину задан расход жидкости либо давление

пропорциональные ■ Предполагается, что физический смысл имеют значения а , при которых длина трещины растет со временем. Условие конечности объема, подаваемого в трещину, также ограничивает изменение параметра снизу а>— 1 (если задан расход жидкости) или а>-1/5 (если задано давление жидкости).

Таблица

0 -1<а<-1/2 —1/2 < о? < 1/3 а>\И

р -1/5 < а < 0 0<а<1/3 а>\П

СО,и убывают, Ь,Т возрастают со временем и возрастает, Ь,Т,а> убывают со временем Ь,Ф,Т,и возрастают со временем

В разделе 4.4 по аналогии с разд. 4.1 приведено асимптотическое приближение задачи гидроразрыва для неньютоновской жидкости (6). В

15

разделе 4.5 на основе полученных асимптотик проводится анализ зависимости размерного решения от совокупности параметров задачи А во либо Р0) и переменных х, ( на примере конкретных значений: £?0 = I, а = 2 либо Рй = 1, аг = 1.

В разделе 4.6 изучено влияние коэффициента вязкости жидкости на изменение длины трещины на примере ньютоновской жидкости. Показано, что при одинаковом законе заданного давления жидкости меньшая вязкость обеспечивает большую дайну трещины. Если на входе в трещину задан расход жидкости, то в режиме малого просачивания жидкости в пласт будет аналогичная зависимость, а при большом просачивании - меньшая вязкость дает меньшую длину трещины, что объясняется увеличением оттока жидкости в окружающую породу.

Пятая глава

Пятая глава посвящена численному моделированию задачи гидроразрыва в пористой среде на примере ньютоновской жидкости. Предложен метод численной реализации решения полной системы с нелинейным квазипараболическим уравнением (5) на основе схемы второго порядка аппроксимации Кранка-Николсона.

В разделе 5.1 описаны разностные схемы, в разделе 5.2 приведен метод численного определения длины трещины. При построении численного решения используется асимптотическое приближение задачи вблизи конца трещины (разд. 4.1).

В разделе 5.3 рассматривается сравнение расчетов с автомодельными решениями и асимптотическими приближениями на протяжении всей трещины. В частности, проведенные сравнения позволяют заключить, что формальные асимптотические приближения решений (7) для малого

просачивания жидкости в породу хорошо аппроксимируют численные решения задачи вдоль всей длины трещины (рис. 4).

(а) (б)

Рис. 4. Зависимость ширины трещины т от продольной координаты х при I е [0.2;!] (а) и длины трещины X от времени / (б) для режима малого просачивания при различном заданном расходе в начале трещины Q = ¡>,¡1°. Точки - численное решение, сплошные кривые - асимптотическое приближение из формулы (7).

Чтобы выявить роль автомодельного режима распространения трещины, в главе V строятся решения задачи при кусочно-линейном граничном условии на входе в трещину, например, когда расход жидкости задан, как б = 10?/7 при 0 < ? < 0.7 и 6 = 1 при г > 0.7, и рассмотрена область решения для режима малой пропитки. Расчеты показывают, что при истечении некоторого времени t профиль трещины будет соответствовать такому автомодельному решению задачи, как если бы в нем сразу задавалось граничное условие 2 = 1, однако достигнет этого автомодельного профиля за большее время . На рис. 5 численное решение в момент времени г = 1 согласуется с автомодельным решением при = 0.65.

X

Рис. 5. Зависимость ширины трещины т от продольной координаты х, когда на входе в трещину задан расход жидкости по кусочно-линейному закону времени, кривые 1,2 соответствуют автомодельным решениям. Время I -параметр, -время в автомодельных решениях.

Иными словами, решение задачи "забывает" начальное условие и "выходит" на автомодельный режим.

В разделе 5.4 приведена разностная схема для задачи о росте трещины под напором неньютоновской жидкости.

Шестая глава

Шестая глава выделяется из предыдущей части работы, поскольку в ней рассмотрена стационарная задача, не связанная с ростом развитой трещины, однако эта проблема имеет отношение к моделированию конечного этапа процесса откачки жидкости из пористой среды. В ней ставится вопрос об отыскании необходимой оптимальной формы трещины (коллектора) фиксированного объема для сбора нефтесодержащей жидкости из окружающего пласта. Форма этой полости выбирается из класса сплюснутых эллипсоидов вращения (дискообразная трещина), это упрощение достаточно для качественного исследования задачи и получения конкретных результатов.

Фильтрация жидкости в бесконечной пористой среде описывается законом Дарси.

В разделе 6.1 найдено, что оптимальной формой коллектора из класса сплюснутых эллипсоидов вращения фиксированного объема IV является эллипсоид предельно малой толщины и большого радиуса. Максимальный расход жидкости, зависящий от толщины трещины 2Я и от некоторого постоянного давления внутри трещины Рс при малых приблизительно равен

Ч5Г

где Ра - известное давление жидкости на бесконечности, к - проницаемость породы, ц - динамическая вязкость жидкости.

В разделе 6.2 в гидравлическом приближении рассматривается выкачивание жидкости из такой полости в скважину радиуса рй, расположенную в центре коллектора, для учета сопротивления движению жидкости. Это позволяет, определив Рс как среднее давление, выразить расход жидкости Q только через варьируемый размер полости Я-Максимальный расход выкачиваемой жидкости находится аналитически при заданных объеме полости и перепаде давления Р^-Р^, где Рро - давление в скважине, как

м

яЯ"2+6к12р3

1п

V V

До К лЛ д

Л Ал

где оптимальные толщина 2Л и радиус трещины Ь определяются из соотношений

я

31п

Л>

Л*

-1

В Заключении к диссертации подведены итоги работы и сформулированы

основные результаты.

3. Основные результаты и выводы

• В рамках РКЫ-модели выведена система уравнений, описывающая распространение развитой трещины гидроразрыва в пористой среде под действием закачки псевдопластической жидкости со степенной реологией. На входе в трещину задается либо объемный расход жидкости либо давление.

• Аналитически и качественно с последующей численной реализацией исследованы классы инвариантно-групповых решений: бегущие волны и автомодельные решения. Уже решение бегущей волны в ньютоновской жидкости, которое реализуется при подходящем способе закачки жидкости, показывает, что в области решения могут существовать как режимы с большим раскрытием трещины и малой пропиткой, так и, наоборот, с большой пропиткой и малым раскрытием. Первый случай реализуется всюду при малых временах развития процесса и всегда вблизи переднего конца трещины. Второй-при больших временах в окрестности начала трещины. На преобладание того или иного режима просачивания также влияет коэффициент интенсивности закачки жидкости в трещину. Для рассматриваемых режимов выписаны упрощенные предельные системы уравнений.

• Эти упрощенные уравнения допускают более широкую группу растяжений, что позволяет построить и исследовать новые дополнительные классы автомодельных решений: степенного и экспоненциального вида.

• В пределе, когда компоненты тензора вязких напряжений в жидкости являются однородными функциями нулевой степени от компонент

20

тензора скоростей деформаций (для течений с простым сдвигом постоянны), дано полное решение задачи с произвольными условиями закачки, что позволяет построить и исследовать приближенные решения для класса псевдопластических жидкостей с малым показателем степени в реологическом соотношении.

Специально исследовано поведение решений степенного типа вблизи конца трещины. Формально полученные выражения могут быть продолжены до начала трещины и согласованы с краевыми условиями закачки. Это позволяет получить простые инженерные формулы, описывающие весь процесс при условии обоснования такого или близкого поведения решений, во всяком случае, при малом просачивании. В случае ньютоновской вязкой жидкости развит численный метод, основанный на схеме Кранка-Николсона, который позволяет провести полное решение задачи при произвольных условиях закачки. Дано решение задачи с кусочно-линейным распределением по времени краевого условия. Показано, что со временем решение "забывает" о начальных деталях граничного условия и "выходит" на автомодельный режим.

Найденные классы решений позволяют анализировать влияние различных параметров задачи (напр., показателя изменения закона закачки со временем, показателя реологии жидкости или коэффициента вязкости жидкости) на поведение решения. В частности:

Решена задача оптимального управления степенным расходом или давлением жидкости в скважине для достижения максимальной длины за заданное время.

Выявлено также, что использование неньютоновской жидкости гидроразрыва может увеличить скорость распространения трещины.

При использовании ньютоновской жидкости можно увеличить длину трещины, уменьшая коэффициент вязкости нагнетаемой жидкости, если на входе в трещину задается давление жидкости с фиксированной зависимостью от времени. А при одинаковом управлении расходом жидкости в режиме большого просачивания, наоборот, трещина может стать длиннее при использовании более вязкой жидкости гидроразрыва.

• В заключительной части работы в результате решения задачи Дарси получены соотношения для определения оптимальной формы коллектора из класса сплюснутых эллипсоидов вращения при заданных объеме и внутреннем давлении. Это будет эллипсоид предельно малой толщины и большого радиуса.

• При учете сопротивления выкачиванию вязкой жидкости в скважину, расположенную в центре осесимметричного коллектора малой толщины, найдены конечные размеры оптимальной полости. Решение этой задачи позволяет определить оптимальные характеристики радиальной трещины гидравлического разрыва, обеспечивающие максимальный расход жидкости при заданных объеме трещины и перепаде давления между входом в трещину и пластом.

Публикации по теме диссертации

1. Смирнов H.H., Тагирова В.Р. Автомодельные решения задачи о формировании трещины гидроразрыва в пористой среде // Изв. РАН. МЖГ, 2007, №1. С. 70-82.

2. Смирнов H.H., Тагирова В.Р. Анализ степенных автомодельных решений задачи о формировании трещины гидроразрыва // Вестн. МГУ. Математика. Механика, 2007, №1. С. 48-54.

3. Смирнов H.H., Тагирова В.Р. Задача о распространении трещины газового разрыва в пористой среде // Изв. РАН. МЖГ, 2008, №3. С.77-93.

4. Голубятников А.Н., Смирнов H.H., Тагирова В.Р. Об оптимальной форме полости для сбора вязкой жидкости, насыщающей грунт // Изв. РАН. МЖГ, 2008, №5. С. 113-119.

5. Тагирова В.Р., Смирнов H.H. Формирование трещины гидроразрыва в пористой среде // Тезисы конф. "Ломоносовские чтения". М.: Изд-во МГУ, 2006. С. 134-135.

6. Тагирова В.Р. Аналитическое и численное исследование автомодельного распространения трещины гидроразрыва // Труды XXVIII конф. мол. уч. мех.-мат. фак-та МГУ. М.: Изд-во МГУ, 2006. С. 192.

7. Тагирова В.Р. Новые автомодельные решения задачи о распространении трещины гидроразрыва // Тезисы докладов IX Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. Нижний Новгород. Изд-во Нижегородского ун-та, 2006. Т. II. С. 165.

8. Тагирова В.Р. Гидродинамические модели технологии повышения нефтеотдачи с помощью гидроразрыва // Тезисы конф. "Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики", Новосибирск: Изд-во ИТ СО РАН, 2006. С. 115-116.

9. Тагирова В.Р. Рост трещины газового разрыва в пористой среде // Тезисы докладов XIV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов". М.: СП "Мысль", 2007. С. 109-110.

10. Тагирова В.Р., Смирнов H.H. О распространении трещины газового разрыва в пористой среде, сравнение с гидроразрывом // Тезисы конф. "Ломоносовские чтения". М.: Изд-во МГУ, 2007. С. 143-144.

11. Tagirova V.R. and Smirnov N.N. The Problem of Gas Fracturing in a Porous Medium in the Comparison with Hydraulic Fracturing // Proceeding of "Hydraulic Fracture Summit VII", Timber Ridge Resort Mableton, GA, USA, 2007. P. 23-24.

12. Тагирова В.Р. Некоторые аналитические решения задачи о гидроразрыве в пористой среде // Тезисы докладов Всероссийской конференции "Современные проблемы механики сплошной среды". М.: Изд-во МИАН, 2007. С.151-153.

13. Тагирова В.Р. Об оптимальной форме коллектора для сбора вязкой жидкости, насыщающей пористую среду // Тезисы конф. "Ломоносовские чтения". М.: Изд-во МГУ, 2008. С. 157-158.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова

Подписано в печать -(3. /<Д 08> Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. 4,5 Тираж экз. Заказ 23

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

Введение.

1. Введение в работу.

2. Основное содержание работы.

Глава I. Состояние вопроса.

1.1. История и предпосылки теории гидроразрыва.

1.2. Развитие основных идей.

1.3. Критерий разрушения.

1.4. Аналитические модели.

1.5. Развитие PKN-модели.

1.6. Развитие других моделей гидравлического разрыва.

1.7. Газовый разрыв пласта.

1.8. Фильтрационные задачи.

1.9. Численное моделирование.

1.10. Экспериментальные исследования.

1.11. Задачи, рассматриваемые в настоящей работе.

Глава II. Распространение трещины гидроразрыва в пористой среде под напором ньютоновской жидкости.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Анализ безразмерной системы уравнений.

2.3. Существование автомодельных решений.

2.4. Построение автомодельных решений.

2.5. Решение в виде бегущей волны.

2.6. Результаты.

Глава III. Распространение трещины под напором псевдопластической жидкости со степенной реологией.

3.1 Постановка задачи.

3.2. Безразмерные переменные.

3.3. Построение степенных автомодельных решений.

3.4. Экспоненциальные автомодельные решения.

3.5. Решение для постоянных вязких напряжений.

3.6. Решение в виде бегущей волны.

3.7. Результаты.

Глава IV. Асимптотическое приближение решений в конце трещины.

4.1. Асимптотическое приближение.

4.2. Анализ длины трещины.

4.3. Зависимость решений от времени и показателя скорости закачки.

4.4. Асимптотическое приближение решений для неньютоновской жидкости.

4.5. Зависимость решения от показателя реологии жидкости.

4.6. Влияние вязкости жидкости.

4.7. Результаты.

Глава V. Численный расчет задачи.

5.1. Разностная схема.

5.2. Численное определение длины трещины.

5.3. Результаты расчетов.

5.4. Разностная схема задачи для неньютоновской жидкости.

5.5. Результаты.

Глава VI. Об оптимальной форме полости для сбора вязкой жидкости, насыщающей породу.

6.1. Оптимизация формы полости.

6.2. Минимизация сопротивления движению жидкости внутри полости.

6.3. Результаты.

1. Введение в работу. Трещины, образованные в пористой среде под действием расклинивающего потока жидкости (гидравлические разрывы), встречаются во многих природных и техногенных процессах. Наиболее важным практическим применением решения задачи о распространении гидравлической трещины является гидроразрыв нефтесодержащих пород -технология, широко используемая в нефтяной и газовой промышленности для повышения продуктивности скважин.

Несмотря на активное изучение проблемы в течение последних 50-ти лет, задача о распространении трещины гидроразрыва остается актуальной, поскольку результат гидроразрыва пласта оказывается трудно предсказуемым на практике. В частности, определение всех размеров трещины в реальном времени непосредственно на месторождении является нерешенной задачей. Поэтому теоретическое и численное моделирование гидроразрыва необходимо для предсказания размеров трещины и характера ее распространения при известных параметрах пласта и условиях закачки жидкости. Моделирование трещины с простой геометрией позволяет прояснить зависимость макроскопических характеристик процесса от изменения определяющих параметров без излишних усложнений анализа, что дает возможность разработать эффективные алгоритмы управления распространением трещины.

Процесс гидравлического разрыва представляет собой совокупность нескольких задач. Помимо моделирования разрыва породы под напором жидкости, интерес вызывает вопрос об оптимальной форме трещины, которую нужно создать для обеспечения наибольшей добычи углеводородов из недр пласта. Решение этой задачи может быть актуально при современном инженерном моделировании коллектора для сбора нефтесодержащей жидкости.

Цель настоящей работы — исследовать распространение трещины гидроразрыва в пористой среде в рамках гипотезы плоских сечений и гидравлического приближения с учетом оттока жидкости через стенки трещины по закону Дарси и выявить качественные особенности процесса при изменении определяющих параметров задачи. Определить эволюцию ширины раскрытия и длины трещины, скорости жидкости внутри трещины и глубины просачивания жидкости гидроразрыва в окружающий пласт. Изучить влияние изменения закона закачки жидкости в скважину со временем и нелинейной реологии жидкости на поведение решений. А также рассмотреть трехмерную оптимизационную задачу о форме коллектора для сбора нефтесодержащей жидкости из недр пласта.

В диссертации, как и в большинстве работ по этой теме, исследуется процесс распространения прямолинейной трещины гидроразрыва в бесконечном теле с фиксированными характеристиками пористой среды и постоянным горным давлением. В основе постановки задачи лежит одна из классических моделей (PKN [128, 124]), в которой ширина раскрытия трещины много меньше ее высоты, а высота много меньше ее длины. В модели принята гипотеза плоских сечений для перпендикулярных линии роста трещины сечений, на ее основе зависимость между давлением жидкости и шириной трещины сводится к линейной функции.

Полагается, что энергия, затрачиваемая на разрыв пласта пренебрежимо мала по сравнению с энергией раскрытия трещины под напором жидкости. Это соответствует пренебрежению силами сцепления породы, которое широко используется при моделировании разрывов пластов (см. [2-4,6,23]). Несмотря на то, что такой процесс соответствует раскрытию существующего разреза или фактически распространению полости, в литературе по гидроразрыву сохраняется термин «трещина».

Использовано локально одномерное описание оттока жидкости, обусловленное медленным изменением ширины трещины вдоль оси распространения трещины. На практике для моделирования утечек жидкости часто применяется формула Картера, которая, вообще говоря, является следствием закона Дарси при давлении жидкости не зависящим от времени; в ней скорость оттока обратно пропорциональна корню из времени. В работе утечки жидкости описываются непосредственно по закону Дарси. В настоящей диссертации используется принятое в предшествующей работе (Ивашнев, Н.Н. Смирнов [30]) пренебрежение сопротивлением менее вязкой жидкости, насыщающей пласт, по сравнению с сопротивлением более вязкой жидкости гидроразрыва (из условия непрерывности давления). Это позволяет замкнуть задачу и ввести в рассмотрение вместо скорости оттока глубину просачивания жидкости в пористую среду [30], что изменяет вид дифференциальных уравнений.

В диссертационной работе расширена постановка данной задачи (Ивашнев, Н.Н. Смирнов [30]), проведено исследование системы уравнений и получены новые решения. В частности, показано, что система уравнений, описывающая распространение трещины, имеет автомодельные решения только степенного либо экспоненциального вида. Впервые исследованы решения типа бегущей волны. Предложено развитие данной постановки для жидкости гидроразрыва со степенной псевдопластической реологией и исследовано влияние этой неныотоновской жидкости на поведение решения. Расширен спектр граничных условий, а именно на входе в трещину задается расход либо давление жидкости, изменяющееся по степенному, экспоненциальному или кусочно-линейному закону от времени. Замкнутая система с нелинейным квазипараболическим уравнением при заданном расходе жидкости содержит нелинейное граничное условие. В этом случае математическая постановка задачи обладает новизной. Впервые для этой модели проведен анализ влияния закона закачки жидкости со временем на характер распространения трещины и ее размеры. Исследовано влияние вязкости ньютоновской (линейно-вязкой) жидкости на длину распространяемой трещины.

В диссертации также отдельно поставлена и решена стационарная задача о форме полости для сбора вязкой жидкости, насыщающей пористую среду. В отличие от известных аналитических работ здесь рассмотрена трехмерная задача оптимизации формы коллектора.

В целом, задачи диссертационной работы направлены на практическое применение, и полученные результаты могут иметь прикладное значение. В частности, найденные классы решений задачи о росте трещины гидроразрыва могут быть использованы для моделирования более сложных задач, лежащих в основе численных расчетов при прогнозировании процессов гидроразрыва в реальном времени непосредственно на нефтяных месторождениях. Исследования позволяют качественно ответить на вопросы о влиянии вязкости или нелинейной реологии жидкости, а также утечек жидкости в пласт на процесс роста трещины гидроразрыва при конкретных параметрах задачи. Рассмотрено поведение характеристик трещины со временем в зависимости от закона закачки жидкости. Предложен способ управления закачкой жидкости для достижения максимальной длины трещины за заданное время, что может обеспечить повышение добычи углеводородов из недр пластов. В трехмерной задаче о форме коллектора для сбора нефтесодержащей жидкости получены аналитические выражения для определения оптимальных размеров этой полости, что также может быть использовано в задачах нефтедобывающей промышленности.

В работе применяются методы механики сплошных сред, обуславливающие гидравлическое приближение в постановке задачи, методы построения точных решений задачи и качественного анализа системы дифференциальных уравнений, содержащей нелинейное квазипараболическое уравнение. Также использован численный метод решения уравнений в частных производных — второго порядка аппроксимации, основанный на схеме Кранка-Николсона.

Заключение

В рамках PKN-модели выведена система уравнений, описывающая распространение развитой трещины гидроразрыва в пористой среде под действием закачки псевдопластической жидкости со степенной реологией. На входе в трещину задаются либо объемный расход жидкости либо давление.

Аналитически и качественно с последующей численной реализацией исследованы классы инвариантно-групповых решений: бегущие волны и автомодельные решения. Уже решение бегущей волны в ньютоновской жидкости, которое реализуется при подходящем способе закачки жидкости, показывает, что в области решения могут существовать как режимы с большим раскрытием трещины и малой пропиткой, так и, наоборот, с большой пропиткой и малым раскрытием. Первый случай реализуется всюду при малых временах развития процесса и всегда вблизи переднего конца трещины. Второй - при больших временах в окрестности начала трещины. На преобладание того или иного режима просачивания также влияет коэффициент интенсивности закачки жидкости в трещину. Для рассматриваемых режимов выписаны упрощенные предельные системы уравнений.

Эти упрощенные уравнения допускают более широкую группу растяжений, что позволяет построить и исследовать новые дополнительные классы автомодельных решений: степенного и экспоненциального вида.

В пределе, когда вязкие напряжения в жидкости являются однородными функциями нулевой степени от скоростей деформаций (для течений с простым сдвигом постоянны), дано полное решение задачи с произвольными условиями закачки, что позволяет построить и исследовать приближенные решения для класса псевдопластических жидкостей с малым показателем степени в реологическом соотношении.

Специально исследовано поведение решений степенного типа вблизи конца трещины. Формально полученные выражения могут быть продолжены до начала трещины и согласованы с краевыми условиями закачки. Это позволяет получить простые инженерные формулы, описывающие весь процесс при условии обоснования такого или близкого поведения решений, во всяком случае, при малом просачивании.

В случае линейно-вязкой жидкости развит численный метод, основанный на схеме Кранка-Николсона, который позволяет провести полное решение задачи при произвольных условиях закачки.

Дано решение задачи с кусочно-линейным распределением по времени краевого условия. Показано, что со временем решение «забывает» о начальных деталях граничного условия и «выходит» на автомодельный режим.

Найденные классы решений позволяют анализировать влияние различных параметров задачи (напр., показателя скорости закона закачки со временем, показателя реологии жидкости или коэффициента вязкости) на поведение решения. В частности:

• Решена задача оптимального управления степенным расходом или давлением жидкости в скважине для достижения максимальной длины за заданное время.

• Получено, что использование неньютоновской жидкости гидроразрыва может увеличить скорость распространения трещины.

• При использовании ньютоновской жидкости можно увеличить длину трещины, уменьшая коэффициент вязкости нагнетаемой жидкости, если на входе в трещину задается давление жидкости с фиксированной зависимостью от времени. А при одинаковом управлении расходом жидкости в режиме большого просачивания, наоборот, трещина может стать длиннее при использовании более вязкой жидкости гидроразрыва.

В заключительной части работы в результате решения задачи Дарси получены соотношения для определения оптимальной формы коллектора из класса сплюснутых эллипсоидов вращения при заданных объеме и внутреннем давлении. Это есть эллипсоид предельно малой толщины и большого радиуса.

При учете сопротивления выкачиванию вязкой жидкости в скважину, расположенную в центре осесимметричного коллектора малой толщины, найдены конечные размеры оптимальной полости. Решение этой задачи позволяет определить оптимальные характеристики радиальной трещины гидравлического разрыва, обеспечивающие максимальный расход жидкости при заданных объеме трещины и перепаде давления между скважиной и пластом.

1. Акулич А.В., Звягин А.В. Численное моделирование распространения трещины гидроразрыва // Вестн. МГУ. Математика. Механика. 2008. №1. С. 43-49

2. Баренблатт Г.И. О некоторых задачах теории упругости, возникающих при исследовании механизма гидравлического разрыва пласта//ПММ. 1956. Т. 20. Вып. 4. С.475—486.

3. Баренблатт Г.И. Об образовании горизонтальных трещин при гидроразрыве нефтеносного пласта//Изв. АН СССР. Отд. техн. н. 1956. №9. С. 101-105.

4. Баренблатт Г.И. Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении // ПМТФ, 1961. №4. С. 3-56.

5. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. JL: Гидрометеоиздат, 1982. 255 с.

6. Баренблатт Г.И, Христианович С.А. О модуле сцепления в теории трещин // МТТ. 1968. №2. С. 70-75.

7. Баренблатт Г.И, Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкости и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984. 208 с.

8. Бармин А.А., Мельник О.Э. Гидродинамика вулканических извержений // Успехи механики. 2002. №1. С. 32-60.

9. Беляев А.Ю. Усреднение в задачах теории фильтрации. М.: Наука, 2004. 200 с.

10. Богданов А.В., Звягин А.В. Взаимодействие трещин гидроразрыва с разломом // Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород. Сб. статей к 75-летию Е.И.Шемякина. Под ред. Д.Д.Ивлева и Н.Ф. Морозова. Физматлит. 2006.

11. Голубятников А.Н., Смирнов Н.Н., Тагирова В.Р. Об оптимальной форме полости для сбора вязкой жидкости, насыщающей грунт // Изв. РАН. МЖГ. 2008. №5. С. 114-120.

12. Голъдштейн Р.В., Ентов В.М. Качественные методы в механике сплошных сред. М.: Наука, 1989. 224 с.

13. Гордеев Ю.Н. Автомодельные задачи о развитии звездообразной трещины под действием расклинивающего потока газа // ПММ. 1989. Т. 53. Вып. 2. С. 333338.

14. Гордеев Ю.Н. Автомодельное решение задачи о распространении псевдотрехмерной вертикальной трещины гидроразрыва в непроницаемом пласте //Изв. РАН. МЖГ. 1995. №6. С. 79-86.

15. Гордеев Ю.Н. Автомодельные решения задач распространения трещины гидроразрыва в непроницаемом пласте // Изв. РАН. МТТ. 1996. №5. С. 117-123.

16. Гордеев Ю.Н., Зазовский А. Ф. Автомодельное решение задачи о глубокопроникающем гидравлическом разрыве пласта // Изв. РАН. МТТ. 1991. №5. С. 119-131.

17. Список упорядочен по алфавиту. Основные работы из этого перечня указаны в обзоре литературы.

18. Гордеев Ю.Н, Колобашкин В.М., Кудряшов Н.А. Численное исследование влияния инерционных членов в уравнении движения на фильтрацию газа // Изв. РАН. МЖГ. 1985. №1. С. 183-186.

19. Гордеев Ю.Н., Кудряшов Н.А. Деформация и развитие магистральной трещины при движении в ней газа. Препринт. №21. Моск. инж-физ. ин-т. 1985. 20 с.

20. Гордеев Ю.Н., Кудряшов Н.А. Развитие магистральной трещины под действием движущегося в ней газа // ПМТФ. 1986. Т. 27. №4. С. 116-122.

21. Гордеев Ю.Н., Кудряшов Н.А. Динамика роста трещины нормального отрыва при расклинивании ее потоком газа // ПММ. 1988. Т. 52. Вып. 2. С. 311-317.

22. Дубошин Г.Н. Небесная механика, основные задачи и методы. М.: Наука, 1975. 799 с.

23. Ентов В.М., Костерин А.В., Скворцов Э.В. Об оценках расхода фильтрационного потока//Изв. РАН. МЖГ. 1986. №2. С. 80-87.

24. Желтое Ю.П. О моделировании в нефтепромысловой механике (обзор) // ПМТФ. 1962. №4. С. 134-151.

25. Желтое Ю.П. Деформация горных пород. М.: Недра, 1966. 198 с.

26. Желтое Ю.В., Желтое Ю.П. О распространении горизонтальной трещины в горной породе под воздействием нефильтрующейся жидкости в случае постоянного горного давления // Изв. АН СССР. Отд. техн. н., механ. и машиностр. 1959. №5. С. 166-169.

27. Желтое Ю.П., Христианович С.А. О гидравлическом разрыве нефтяного пласта//Изв. АН СССР. Отд. техн. н. 1955. №5. С. 3-41.

28. Зазовский А. Ф. Распространение плоской круговой трещины гидроразрыва в непроницаемой горной породе // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. №2. С. 103-109.

29. Зазовский А. Ф., Одишария М.Г., Песляк Ю.А. Автомодельные решения задачи о распространении трещины гидроразрыва в непроницаемой горной породе // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. №5. С. 92-100.

30. Захаров В.В, Никитин JI.B. Механика подъема магмы по трещинам // Физика Земли. 1985. №7. С. 14-24.

31. Ивашнев О.Е., Смирнов Н.Н. Формирование трещины гидроразрыва в пористой среде // Вестн. МГУ. Математика, механика. 2003. №6. С. 28-36.

32. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

33. Каневская РД. Математическое моделирование разработки месторождений нефти и газа с применением гидравлического разрыва пласта. М.: ООО «Недра-Бизнесцентр», 1999. 212 с.

34. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970. 904 с.

35. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

36. Песляк Ю.А. Расчет круговой трещины гидроразрыва в непроницаемых породах // сб.: Науч. тр. Всес. Нефтегаз НИИ, 1983. 85, С. 26-41.

37. Полянин АД. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 576 с.

38. Реутов В.А. Гидравлический разрыв пласта. // Итоги н. и т., Мех. деф. тв. т. 1989. Т. 20. С. 84-188.

39. Седое Л.И. Методы подобия и размерности в механике (1944). Изд. 9. М.: Наука, 1981.448 с.

40. Седое Л.И. Механика сплошной среды. Т.2. Гл. Теория трещин (1968). Изд. 6. М.: Лань, 2004. С. 530-554.

41. Смирное Н.Н., Тагироеа В.Р. Автомодельные решения задачи о формировании трещины гидроразрыва в пористой среде // Изв. РАН. МЖГ, 2007, №1. С. 7082.

42. Смирнов Н.Н., Тагироеа В.Р. Анализ степенных автомодельных решений задачи о формировании трещины гидроразрыва // Вестн. МГУ. Математика. Механика, 2007, №1. С. 48-54.

43. Смирнов Н.Н., Тагироеа В.Р. Задача о распространении трещины газового разрыва в пористой среде // Изв. РАН. МЖГ, 2008, №3. С. 77-93.

44. Снеддон И. Преобразования Фурье. М: Изд-во иностр. лит., 1955.

45. Тагироеа В.Р. Решение задачи гидроразрыва в виде бегущей волны // Вестн. МГУ. Математика. Механика. 2009. В печати.

46. Тагироеа В.Р. Распространение трещины гидроразрыва под напором неньютоновской жидкости // Вестн. МГУ. Математика. Механика. В печати.

47. Христианоеич С.А. Об основах теории фильтрации // Физ. техн. пробл. разраб. полез, ископаемых. 1989. №5. С. 3-18.

48. Abass Н.Н., Habbtar А.Н., Shebatalhamd A., Aramco S. Sand control during drilling, perforation, completion and production // SPE 81492, paper presented at the SPE 13th Middle East Oil Show & Conference, Bahrain, 9-12 June, 2003.

49. Abe H., Мига Т., Keer L.M. Growth rate of a penny-shaped crack in hydraulic fracturing of rocks. 1 //J. Geophys. Res. 1976a. V. 81. №29. P. 5335-5340.— РЖМех. 1977. 2B965.

50. Abe H., Мига Т., Keer L.M. Growth rate of a penny-shaped crack in hydraulic fracturing of rocks. 2 // J. Geophys. Res. 19766. V. 81. №29. P. 6292-6298.

51. Adachi J.I. Fluid-driven fracture in permeable rock // Ph.D. thesis, University of Minnesota, Minneapolis. 2001. 177 pp.

52. Adachi J.I., Detournay E. Self-similar solution of a plane-strain fracture driven by a power-law fluid // Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech. 2002. V. 26. P. 579-604.

53. Adachi J.I., Pierce A.P. Asymptotic analysis of an elasticity equation for a fingerlike hydraulic fracture // J. of Elasticity. 2008. V. 90. P. 43-69.

54. Advani S.H., Lee J.K. Finite element model simulations associated with hydraulic fracturing // Soc. Petrol. Eng. J. 1982. V. 22. №2. P. 209-218. — РЖГорн. дело. 1982. 10Г226.

55. Advani S., Lee Т., Lee J. Three dimensional modeling of hydraulic fractures in layered media: Finite element formulations // ASME J. Energy Res. Tech. 1990. V. 112. P. 1-18.

56. Advani S.H., Lee T.S., Dean R.H., Рак C.K., Avasthi J.M. Consequences of fluid lag in three-dimensional hydraulic fractures //Int. J. Numer. Anal. Met. 1997. V. 21.1. P. 229-240.

57. Alekseenko O.P, Vaisman A.M., Zazovsky A.F. A new approach to fracturing test interpretation using PKN model // Int. J. Rock Mech. & Min. Sci. 1997. 34: 3-4. Paper №356.

58. Ben-Naceur KJ Modeling of hydraulic fractures || In М/ Economides and КJ Nolte (Eds.), Reservoir Stimulation (2nd ed.), Chapter 3. Englewood Cliffs NJ: Prentice-Hall, 1989.

59. BiotM., Masse L., Medlin W. A two-dimensional theory fracture propagation // SPE Production Engineering 1. 1986. V. 1. P. 17-30. — SPE 11067.

60. Bjerrum L., Nash J.K.T.L., KennardR.M., Gibson R.E. Hydraulic fracturing in field permeability testing // Geotechnique. 1972. V. 22. №2. P. 319-332.

61. Bunger A.P. Near-Surface Hydraulic Fracture // Ph. D thesis. University of Minnesota, Minneapolis. 2005. 168 pp.

62. Bunger A.P., Detournay E. Asymptotic solution for a penny-shaped near-surface hydraulic fracture //Eng. Fract. Mec. 2005. V. 72. №16. P. 2468-2486.

63. Bunger A.P., Detournay E., Garagash D.I. Toughness-dominated hydraulic fracture with leak-of // Int. J. Fracture. 2005. V. 134. №2. P. 175-190.

64. Carbonell R. Self-similar Solution of a Fluid-driven Fracture // Ph. D thesis, University of Minnesota, Minneapolis. 1996.

65. Carbonell R., Desroches J., Detournay E. A comparison between a semi-analytical and a numerical solution of a two-dimensional hydraulic fracture // Int. J. Solids Structures. 1999. V. 36. №(31-32). P. 4869-4888.

66. Carter R.D. Optimum fluid characteristics for fracture extension // ASME Spring Meeting, Mid-Continent District, ASME, Tulas, OK, 1957. In G. Howard ad C. Fast (Eds.), Drilling and Production Practices. 1957. P. 261-270.

67. Chang H. Hydraulic fracturing in particulate materials // Ph.D. thesis. Georgia Institute of Technology, GA. 2004. 267 pp.

68. Cleary M., Wong S. Numerical simulation of unsteady fluid flow and propagation of a circular hydraulic fracture // Int. J. Numer. Anal. Meth. Geomech. 1985. V. 9.1. P. 1-14.

69. Clifton R., Abou-Sayed A. A variational approach to the prediction of the three-dimensional geometry of hydraulic fractures // In Pro. SPE/DOE Low Permeability Resorvoir Symposium, Denver, Society of Petroleum Engineers. 1981. SPE 9879.

70. Daneshy A.A. Hydraulic fracturing propagation in a layered formations // Soc. Petrol. Eng. J. 1978. V. 13. №1. P.33-41.

71. De Wit A., Homsy G.M. Viscous fingering in periodically heterogeneous porous media. Part II. Numerical simulations // J. Chem. Phys. 1997.107, 9619.

72. Delaney P. Т., Pollard D.D. Deformation of host rocks and flow of magma during growth of minette dikes and breccia-bearing intrusions near ship rock, New Mexico // Geological Survey Professional Paper 1202, U.S. Government Printing Office, WA. 1981.

73. Desroches J., Thiercelin M. Modeling propagation and closure of micro-hydraulic fractures // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. & Geomech. Abstr. 1993. V. 30. P. 12311234.

74. Desroches J., Detournay E., Lenoach В., Papanastasiou P., Pearson J.R.A., Thiercelin M, Cheng A.H-D. The crack tip region in hydraulic fracturing // Proc. Roy. Soc. London A. 1994. V. 447. P. 39^8.

75. Detournay E. Propagation regimes of fluid-driven fractures in impermeable rocks // Int. J. Geomech. 2004. V. 4. P. 35^5.

76. Detournay E., Cheng A.H-D., McLennan J. A poroelastic PKN hydraulic fracture model based on an explicit moving mesh algorithm // ASME J. Energy Res. Tech. 1990. V. 112. P. 224-230.

77. Eekelen H.A.M. Hydraulic fracture geometry: fracture containment in layered formation // Soc. Petrol. Eng. J. 1982. V. 22. №3. P. 341-349. — РЖМех. 1983. 1Г512.

78. Economides M.J., Nolte K.G. Reservoir Stimulation. N.Y.: Wiley, 2000. 807 c.

79. England A.H., Green A.E. Some two-dimensional punch and crack problems in classical elasticity //Proc. Cambridge Phil. Soc. 1963. V. 59. P. 489-500.

80. Fialko Y. On origin of near-axis volcanism and faulting at fast spread-ing mid-ocean ridges // Earth Planet Sc. Lett. 2001. V. 190. P. 31-39.

81. Fourney W.L. Holloway D.C, Simha K.R. Model investigation of borehole pressure distribution. //Unconv. Gas Recov. Symp., Pittsburg, Pa; Proc. Dallas, Tex. 1984.

82. Fourney W.L. Holloway D.C., Simha K.R. Model investigation of wellbore pressure distribution in stem-induced fracturing. // SPE Petrol. Eng. 1987. V. 2. № 4. P. 243249.

83. Garagash D. Near-Tip Processes of Fluid-Driven Fractures // Ph. D. thesis, University of Minnesota, Minneapolis. 1998. 132 pp.

84. Garagash D. Evolution of a plane-strain fracture driven by a power-law fluid // Proc. ASCE Eng. Mech. Conf. Washington. 2003.

85. Garagash D. Propagation of plane-strain fluid-driven fracture with a fluid lag: early-time solution // Int. J. Solids Struct. 2006a. V. 43. P. 5811-5835.

86. Garagash D. Transient solution for a plane-strain fracture driven by a shear-thinning, power-law fluid // Int. J. Numer. Anal. Meth. Geomech. 20066. V. 30. P. 1439-1475.

87. Garagash D., Detournay E. The tip region of a fluid-driven fracture in an elastic medium //ASME J. Appl. Mech. 2000. V. 67. P. 183-192.

88. Garagash D., Detournay E. Plane strain propagation of a fluid-driven fracture: Small toughness solution // ASME J. Appl. Mech. 2005. V. 72. P. 916-928.

89. Geertsma J. Two-dimensional fracture-propagation models // In J. Gidley, S. Holditch, and D. N. R. Veatch (Eds.), Recent Advances in Hydraulic Fracturing, V.12 of SPE Monographs, Ch.4, pp. 81-94. Richardson TX: SPE. 1989.

90. Geertsma J., De Klerk F. A rapid method of predicting width and extent of hydraulic induced fractures // J. Pet. Tech. 1969. V. 246. P. 1571-1581. — SPE 2458.

91. Geertsma J., Haafkens R. A comparison of the theories for predicting width and extent of vertical hydraulically induced fractures // ASME J. Energy Res. Tech. 1979. V. 101. P. 8-19.

92. Germanovich L.N., Astakhov D.K., Mayerhofer M.J., Shlyapoberslty J., RingL.M. Hydraulic fracture with multiple segments -1: Observations and model formulation //Int. J. RockMech. Min. Sci. 1997. V. 34. № (3-4). 471.

93. Germanovich L.N., Astakhov D.K., Shlyapobersky J., Mayerhofer M.J., Dupont C., RingL.M. Modeling multisegmented hydraulic fracture in two extreme cases: No leakoff and dominating leakoff//Int. J. Rock Mech. Min. Sci. 1998. V. 35. №(4-5). P. 551-554.

94. Guan X., Pitchumani R. Viscous fingering in a Hele-Shaw cell with finite viscosity ratio and interfacial tension // ASME J. Fluids Eng. 2003. 125, 354.

95. Halliburton, Progress realizes au cours des vingt-cinq dernieres annees dans la fracturation hydraulique // Ind. miner. Ser. Mine. 1976. V. 58. №5. P. 197-200.

96. Hanson M.E., Anderson G.D., Shaffer R.J., Thorson L.D. Some effects of stress, friction and fluid flow on hydraulic fracturing // Soc. Petrol. Eng. J. 1982. V. 22. №3. P. 321-332. —РЖМех. 1982. 12Г589.

97. Holman G.B. State-of-the-art well stimulation // J. Petrol. Technol. 1982. V. 34. №2. P. 239-241. — РЖГорн. дело. 1982. 7Г410.

98. Howard G.C., Fast C.R. Hydraulic fracturing // Monograph series, SPE, Dallas. 1970. V. 11. pp. 210.

99. Ни J. Plane-strain propagation of fluid-driven fracture in a permeable rock of finite toughness // Ph. D. thesis, Clarkson University, USA. 2005. 107 pp.

100. Huang N., SzewczykA., Li Y. Self-similar solution in problems of hydraulic fracturing //ASME J. Appl. Mech. 1990. V. 57. P. 877-881.

101. Keller C.E., Davis A.H., Stewart J.N. The calculation of steam flow and hydraulic fracturing in a porouse medium with KRAK code // Los Alamos scientific laboratory, rep. LA—5602-MS, Los Alamos, NM, 1974.

102. Kemp L.F. Study ofNordgren's equation of hydraulic fracturing // SPE Production engineering. 1990. P. 311-314. —SPE 18959.

103. KovscekA.R., Tretheway D.C., PersoffP., Radke C.J. Foam flow through a transparent rough-walled rock fracture // J. Petrol. Sci. Eng. 1995. V. 13. P. 75-86.

104. Lenoach В. The crack tip solution for hydraulic fracturing in a permeable solid // J.

105. Mech. Phys. Solids. 1995. V. 43. №7. P. 1025-1043. 108 .Lister J.R. Buoyancy-driven fluid fracture: The effects of material toughness and of low-viscosity precursors // J. Fluid Mech. 1990. V. 210. P. 263-280.

106. Lo K.Y., KaniaruK., Hydraulic fracture in earth and rock-fill dams // Can. Geotech. J. 1990. V. 27. P. 496-506.

107. MackM., Warpinski R. Mechanics of hydraulic fracturing // In M. Economides and K. Nolte (Eds.), Reservoir Stimulation (3rd ed.), Ch. 6. Chichester UK: John Wiley & Sons. 2000.

108. Mitchell S.L., Kuske R., Peirce A.P. An asymptotic framework for the analysis of hydraulic fractures: the impermeable case // Journal of Applied Mechanics. 2007. V. 74. №2. P. 365-372.

109. Murdoch L. C. Hydraulic fracturing of soil during laboratory experiments // Geotechnique. 1993. V. 43. P. 255-287.

110. Murdoch L.C., Mechanical analysis of idealized shallow hydraulic fracture // J. Geotech. Geoenviron. 2002. V. 128. P. 488-495.

111. Nierode D.E. Comparison of hydraulic fracture design methods to observed field results // J. Petrol. Technol. 1985. V. 37. №11. P. 1831-1839. — РЖГеология. 1986. 5JI100.

112. Nilson R.H. Gas-driven fracture propagation // J. Appl. Mech. 1981. V. 48. № 4. P. 757-762.

113. Ostermeier R.M., Pelletier J.H., Winker C.D., Nicholson J. W., Rambow F.H., Cowan K.M., Dealing with shallow-water flow in the deepwater Gulf of Mexico // Proceedings of the Annual Offshore Technology Conference. 2000. V. 1. P. 75-86.

114. Peirce A., Siebrits E. Uniform asymptotic approximations for accurate modeling of cracks in layered elastic media // Int. J. Fracture. 2001. V. 110. P. 205-239.

115. Penman A.D.M. Failure of Teton Dam // Ground Eng. 1977. V. 10, P. 18-20, 23-27.

116. Perkins Т.К., Kern L.R. Widths of hydraulic fractures //J. Pet. Tech., Trans. AIME. 1961. V. 222. P. 937-949.

117. PetfordN., Cruden A.R., McCafrey K.J.W., Vigneresse J.-L. Granite magma formation, transport and emplacement in the earth's crust // Nature. 2000. V. 408. P. 669-673,

118. Pitts J.H., Brandt H. Gas flow in a permeable earth formation containing a crack // J. Appl. Mech. 1977. V. 44. P. 553-558.

119. Rubin M.B. Experimental study of hydraulic fracturing in an impermeable material //Trans. ASME. J. Energy Resour. Technology. 1983. V. 105. №2. P. 116-124. -РЖГорн. дело, 1983, 12Г374.

120. Rubin A.M. Tensile fracture of rock at high confining pressure: Implication for dike propagation //J. Geophys. Res. 1993. V. 98. P. 15919-15935.

121. Saffman P.G., Taylor G.J. The penetration of a fluid into a porous medium of Hele-Shaw cell containing a more viscous fluid // Proc. R. Foe. Zond. 1958. A245, 312

122. Savitski A. Propagation of a Penny-shaped Hydraulic Fracture in an Impermeable Rock // Ph. D thesis, University of Minnesota, Minneapolis. 2000.

123. Savitski A., Detournay E. Propagation of a penny-shaped fluid-driven fracture in an impermeable rock: asymptotic solutions // Int. J. Solids Struct. 2002. V. 39. №26.1. P. 6311-6337.

124. Settari A. Simulation of the hydraulic fracturing processes // Soc. Petrol. Eng. J. 1980. V. 20. №6. P. 487-500. — РЖМех. 1981. 7B1045.

125. Siebrits E., Peirce A. Hydraulic fracturing in laminated reservoirs // In R. Jeffrey and J. McLennan (Eds.), Proc. Workshop on Three-Dimensional and Advanced Hydraulic Fracture Modeling, Seattle. 2000. P. 1-12.

126. Siebrits E., Peirce A. An efficient multi-layer planar 3D fracture growth algorithm using a fixed mesh approach // Int. J. Numer. Meth. Engng. 2001. V. 53. P. 691-717.

127. Smirnov N.N., Nikitin V.F., Ivashnyov O.E., Maximenko A., Thiercelin M., Vedernikov A., Scheid В., and Legros J.C. Microgravity investigations of instabilityand mixing flux in frontal displacement of fluids // Microgravity Sci. Technol. 2004. 15, 35.

128. Smirnov N.N., Nikitin V.F., Maximenko A., Thiercelin M., Legros J.C. Instability and mixing flux in frontal displacement of viscous fluids from porous media // Phys. Fluids. 2005. 17,084102.

129. Smith M.B., RosenbergR.J., Bowen J.F. Fracture width design vs. measurement // SPE/DOE Joint Symp. Low Permeabil. Gas Reservoirs, Denver. Colo., 1983. Proc. Denver, 1983, P. 7-16. — РЖГорн. дело. 1986. 6Г453.

130. Sneddon I.N. The distribution of stress in the neighbourhood of a crack in an infinite solid //Proc. Roy. Soc. London. 1946. Ser.A. V. 187. №22. P. 229-260.

131. Sneddon I.N., Elliott H.A. The opening of a Griffith crack under internal pressure // Quart. Appl. Math. 1946. V. 4. №3. P. 262-267.

132. Sneddon I.N., Lowengrub M. Crack problems in the classical theory of elasticity //John Willey, New York, 1969.

133. Spence D.A., Sharp P. W. Self-similar solution for elastohydrodynamic cavity flow // Proc. Roy. Soc. London A. 1985. V. 400. P. 289-313.

134. Spence D.A., Turcotte D.L. Magma-driven propagation crack // J. Geophys. Res. 1985. V. 90. P. 575-580.

135. Spence D.A., Sharp P. W., Turcotte D.L. Buoyancy-driven crack propagation: a mechanism for magma migration // J. Fluid Mech. 1987. V. 174. P. 135-153.

136. Tanveer S. Surprises in viscous fingering // J. Fluid Mech. 2000. 409, 273.

137. Valko P., Economides M. Hydraulic Fracture Mechanics // Chichester UK: John Wiley & Sons. 1995.

138. Warner J. Compaction grouting mechanism What do we know? Grouting: Compaction/Remediation/Testing // Geotechnical Special Publication, 66, ASCE, 15 New York, 1997. P. 1-17.

139. Warpinski N. R. Measurement of width and pressure in a propagating hydraulic fracture // SPE/DOE Joint Symp. Low permeabil. Gas Reservoirs., Denver., Colo., 1983. Proc., Denver. 1983. P. 409-420. — РЖГорн. дело. 1986. 6Г471.

140. Warpinski N., Moschovidis Z., Parker C., Abou-Sayed I. Comparison study of hydraulic fracturing models: Test case GRI-staged field experiment no. 3 // SPE Production & Facilities. 1994. V. 9. №1. P. 7-16. — SPE 25890.

141. Watson T.L. Granites of the southeastern Atlantic states // U.S. Geo-logical Survey Bulletin 426. 1910.

142. Watson T.L., Laney F.B. Building and ornamental stones of North Carolina. // Bulletin North Carolina Geological Survey No. 2, 1906.

143. Wu R. Some Fundamental Mechanisms of Hydraulic Fracturing // Ph. D thesis, Georgia Institute of Technology, GA. 2006. 301 pp.

144. ZhangX., Detournay E., Jeffrey R. Propagation of a penny-shaped hydraulic fracture parallel to the free-surface of an elastic half-space // Int. J. Fracture. 2002. V. 115. P. 125-158.

145. Zhao Z., LiuD., Liu W., ChaiL., Zhou H. Development of systematic hydraulic fracturing technology for a naturally fractured reservoir // SPE 94101, paperpresented at the SPE Europec/EAGE Annual Conference, Madrid, Spain, 13-16 June. 2005.

146. Zhuravlev P. Shape of interface in fluids displacement // Zap. Leningrad. Com. Inst. 1956. 133, 54,

147. Zuber M.D. Lee W.J., Gatens J.M. Effect of stimulation on the performance of Devonian shale gas wells // SPE Prod. Eng. 1987. V. 2. № 4. P. 250-256.