Моделирование колебательных движений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

ЯКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Р Г Б ОД

о г- ..т На правах рукописи

с. 3 (¡УП

СИЛИНА Екатерина Кузьминична

удк

МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЙ

Специальность 01.01.09-М атематичес кал кибернетика Специальность 05.13.16-Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

, АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Санкт-Петербург

1996

Работа выполнена на кафедре информационных систем факуль та прикладной математики — процессов управления Сапкт-Пет бургского Государственного Университета

Научный руководитель: доктор физико-математических нау

доцент С.Е.Михеев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических нау

профессор Н.М.Матвеев

доктор физико-математических нау профессор О.А.Малафеев

Ведущая организация: Институт Информатики и Автомат

зации Российской Академии наук

Защита состоится 24 декабря 1996 г. в " " часов на засе. нии специализированного совета К-063.57.16 по присуждению у ной степени кандидата физико-математических наук в Санкт-1 тербургском Государственном Университете по адресу г. Сан Петербург, Б.О. 10-я линия 33.

С диссертацией можно ознакомиться по адресу: г. Санкт-1 тербург, Университетская наб., 7/9, библиотека СПбГУ.

Автореферат разослан 16 ноября 1996 г.

Ученый секретарь специализированного совета К-063.57.16 доктор физико-математических наук

В.Ф.Горько!

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Многие проблемы науки и техники требуют изучения колебательных движений различных систем, то есть движений, которым свойственна некоторого вида повторяемость во времени или пространстве. Простейшие движения такого типа — это состояние покоя и чистые периодические колебания, поэтому первыми математическими моделями колебаний служили периодические функцми. Однако встретить такие чистые периодические колебания в природе практически невозможно, и если в математической модели колебательного движения какой-либо системы (механической, биологической, электромагнитной и т.п.) некоторая переменная величина описывается непрерывной периодической функцией то реальному изменепию этого параметра в общем случае соответствует некоторая непериодическая функция /. Разность значений двух этих функций является, характеристикой качества модели — если последняя выбрана хорошо, то при достаточном совпадении величин ее параметров с соответствующими величинами реального процесса в момент начала отсчета указанная разность остается малой по сравнению с амплитудой колебания на достаточно большом временном интервале.

С раззитием и усложнением техники возникла потребность в более точном описании колебательных движений и, соответственно, в математическом аппарате, способном обеспечить необходимую близость истинного колебательного движения и его модели. Однако чисто периодические функции достаточно долго служили единственным средством рассматриваемого моделирования, и лишь в начале нашего столетия, появилась более сложная модель — почти-периодические функции. Впервые их ползая теория была построена в Г.Бором, и опубликована в 1924 году. В 1936 году в книге Лж. Биркгофа "Динамические си-:темы" (русский перевод 1941 г.) дано определение рекуррент-зого движения, и начавшая быстро развиваться теория динамических систем явила множество новых классов колебаний. Раз-тичными авторами были введены в рассмотрение слабо-, цепно-почти-, слабо-почти-, псевдо-, особо-рекуррентные движения. Появились слабо-почти-периодические функции, а также почти-1ериодические функции Степанова и Безиковича. В.И.Зубовым дано определение рекуррентной функции, соответствующее рекуррентному движению по Биркгофу, и несколько иное дано З.М.Левитаном.

Модель движения, опирающаяся на рекуррентную функцию,

является сугубо общей и описывает подавляющее большинство колебательных движений в природе. Тем не менее, довольно часто встречаются случаи, когда процесс очень близок к чисто периодическому, но не является таковым из-за отсутствия "постоянства" частоты. При этом амплитуда колебаний может рассматриваться либо как абсолютно неизменная, либо как меняющаяся очень незначительно. На практике подобные процессы распадаются на две категория: те, где "плавание" частоты в некоторых пределах необходимо и создается искусственно (например, в устройстве для систематического обзора заданного диапазона радиоволн, частотной модуляции электромагнитных колебаний, в специальных приборах) и те,- где это "плавание" является нежелательным явлением, связанным с воздействием сил типа трения в системе или с неустойчивостью внешних по отношению к системе параметров: температуры, давления, напряжения электрического тока в сети и т.п.

В таком случае, очевидно, описывающая колебания функция будет в определенном смысле очень близка к периодической, и для ее рассмотрения может оказаться удобной модель, опирающаяся на некоторый периодический "образец", в который каким-то способом внесены возмущения по частоте и амплитуде, но который в целом достаточно хорошо приближает истинную функцию, описывающую колебания. Таким образом, в том случае, когда амплитуда колебаний постоянна, а меняется только частота, естественно описать такой процесс с помощью одно-периодической функции аргумент которой несколько отклоняется от линейного оЛ + с. Если же амплитуда также не постоянна, то в модель можно ввести аддитивную поправку для учета таких возмущений. С другой стороны, при регистрации колебаний системы какими-либо приборами будет выдан некоторый набор значений, соответствующих определенным моментам времени, по которому можно построить аппроксимирующею кривую; тогда встает вопрос о существовании для нее вышеописанного представления через периодическую функцию ро и, если ответ на данный вопрос положителен, о конкретном виде периодического образца и его аргумента.

Цель работы. Целью настоящей работы является указать варианты формализации записи колебательного процесса с непостоянной частотой и амплитудой через периодическую функцию с одной стороны, и без опоры на какой-либо образец с другой такие, что между параметрами этих двух выриантов существует взаимно-однозначное соответствие.

Научная новизна. Рассмотрены два различных подхода к описанию колебаний, близких к периодическим, но отличающихся от них за счет непостоянства частоты: один - опирающийся на периодическую функцию и позволяющий непосредственно оценить частоту и степень ее неустойчивости, другой — без опоры на периодическую функцию. Доказана эквивалентность этих подходов.

Рассмотрен также случай, где возмущающее воздействие вызывает неустойчивость как частоты, так и амплитуды колебаний, что представлено в модели в виде суммы фазопериодической функции, т.е. функции с неустойчивой частотой, и некоторой ограниченной помехи. Предложен метод выделения фазопериодической составляющей из описанного колебательного процесса, эбеспечавающий минимизацию модуля помехи.

Получены условия дифференцируемое™ входящих во все указанные представления функций и оценки констант Липшица этих функций и их производных.

Практическая ценность. Результаты работы носят в основном теоретический характер. Вместе с тем они могут быть использо-заны в практике исследований колебательных процессов в системах, к которым предъявляются требования фазовой и частотной синхронизации, например, при работе в общей сети нескольких источников электроэнергии. Кроме того, возможно их использо-зание при анализе помехоустойчивости радиосистем.

Апробация работы. Основные результаты диссертации опу-эликованы в работах [1-3]. Результаты докладывались на науч-гой конференции факультета Г1М-ПУ Санкт-Петербургского Го-:ударственного Университета (1992 гг.), на международной конференции СЭАМ'ЭЗ (1993 г.), на семинарах кафедры информационных систем СПбГУ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пести глави приложения, изложенных на 76 страницах мапгино-шеного текста, и списка литературы, включающего 9 названий.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе 1 рассматривается модель колебательного процесса, сличающегося от периодического только за счет неустойчиво-:ти частоты, и предлагается представление функции /, соответ-:твующей этому процессу, в виде суперпозиции <po(u>(t)t-h {}), где ?о — однопериодическая функция, а;(£) — частота, Г2 — фаза.

Далее, однако, аргумент <р0 переписывается в оказавшейся более удобной для работы форме — + Щ{) — и непостоянной частотой считается его производная, т. е. величина и + (по аналогии с периодической функцией + с), где частотой является постоянная и - производная по £ от суммы + с).

Неоднозначность выбора и и для рассматриваемой функции /, вызванная сохранением значения суммы + при замене

¿Ы + Щг) - а)г + Щ1) + сЛ - + Г2(*)

устраняется введением условия геометрической пропорциональности максимальных отклонений суммы с<Л + от и в сторону увеличения и в сторону уменьшения

и + 5ир< _ и

и и + ыгй'{1)' 1 )

что соответствует = • В работе указаны фор-

мулы для пересчета любой пары (и;, £!(£)) в пару, удовлетворяющую условию (1).

Вышеизложенное формализовано в виде определения 1.

Определение 1. Функцию / назовем фазопериодической, если существуют однопериодическая функция 90, положительное число и; и дифференцируемая функция П такие, что на всей вещественной оси выполняется равенство /(/.) = ¡¿а{и!1 + причем < < М, где М > 0.

Очевидно, что чем меньше М, тем "ближе" / к периодической функции. Нижнюю границу О.' мы для краткости обозначим через М~.

Однако одна и та же фазопериодическая по определению 1 функция / еще может задаваться функциями различной конфигурации за счет соответствующих изменений конфигурации в т.ч. и не приводящих к увеличению М. Чтобы устранить этот вид неоднозначности, определим для каждой точки £ суперпозиционную фазу И:

иг + = Ш0той{1) (2)

и назовем точку г аналогичной точке I, если их суперпозиционные фазы равны. Таким образом, для любой точки / можно построить множество "аналогичных точек" — корней уравнения

ии + Щи) = ал? + г

б

относительно для всех целых г. Обозначим это множество, 1а всех элементах которого значения / очевидно равны, через 7(£) и потребуем выполнения условия пропорциональности (1) не :олько глобально, но и на каждом из множеств I (/), т. е. будем считать М и М~ функциями таким образом, можно ввести

Определение 2. Тройка (<¿>1,¿-.А) называется канопическим федставлением фазопериодической функции /. если для этой функции выполнено тождество /(<) = + П(П), причем у1 —

)днопериодическая, П(0) = 0 и Д/(д) = 8ирт6(7(г) Г>'(г) и \1~(0) — - тГге[/(г) удовлетворяют условию

и _ и + М(й)

[ля всех вещественных

Георема 1.2. Каноническое представление фазопериодической зункции единственно.

Георема 1.3. Для канонического представления отношение

ир,, М(д)

——— минимально.

и)

Обе теоремы доказываются на основе полученного в работе реобразования, позволяющего для любой функции /, удовле-воряющей определению 1, построить тройку (91.П).

Лалее в этой главе исследуется влияние указанного преобра-ования на "гладкость" входящих в тройку функций и ш, где од "гладкостью" понимается не только существование опреде-епных производных, но и фактическая скорость изменения функ-ий и их производных, т.е. значения констант Липшица. Здесь олучены условия непрерывной дифференцируемости и оценки онстант Липшица функций (рх, и через соответствующие онстанты функций <р'0. £1'.

Во второй главе дается определение фазопериодической функ-ии без опоры на периодический образец.

•пределение 3. Функцию / назовем фазопериодической, если ля любого г существует положительное число г = Т(г) такое, то для произвольного Т]

/(< + г + г?) е и^-л^^д* + 4 + 0, (3)

где т > 0, а Т — непрерывная функция, и, кроме того, условие (3) выполняется также в случае т = ti~t. где последовательность V{t) = {ti} определяется рекуррентно: t0 = t,ti+л = Ц + T(U),i = 0,1,2,....

Положим для краткости отсюда следует, что = 1 -т~, и что при любом конечном /и > О величина т- строго меньше едипицы.

Одпако определение 3, очевидно удобное для проверки на удовлетворение ему функции, значения которой снимаются в виде пока заций приборов, оказывается далеко не столь удобным, когда на его основе необходимо изучать математические свойства соответствующей ему функции.

Поэтому для дальнейшей работы полезен другой вариант определения 3, где последовательность {£,} заменена последовательностью функций {Ti}. определяющих переход от t к tt: T,(t) — ti — t. Функции Ti также как и точки будут связаны рекуррентным соотношением:

7'0(f) = 0; T;(f) = T,-,(i) + T(t + Tt^(t), (4)

справедливость которого для всех г легко проверяется посредством индукции.

Исходя из только что сказанного, дадим

Определение 4. Функцию / назовем фазопериодической, если существует положительная непрерывная функция Т такая, что для всех элементов последовательности Т,, определяемой соотношением (4), выполнено: f(t) = f(t +T,-(i)), причем —7п~|й| < Ti(t + 6) — Т,(0 < при произвольном 6 для всех г.

Доказанная в работе эквивалентность определений 3 и 4 дает возможность легко установить ряд свойств фазопериодической функции:

Свойство 1. Для любого i сумма ¿ + T,(i) является строго монотонно возрастающей функцией на всей вещественной оси.

Из определения 3 следует, что для любой точки t можно построить связанную с заданной фазопериодической функцией последовательность V{t) = Поскольку функция t + T(t) непрерывна и строго монотонно возрастает, то уравнение т?4-Т(т?) = t всегда разрешимо относительно 1? единственным образом. Это позволяет расширить последовательность F(i), достроив ее для

отрицательных индексов Нетрудно убедиться, что соотношение (4) для функций Г,, при i < 0 также будет иметь место. В дальнейшем под V(t) и Т; мы будем понимать именно расширенные последовательности.

Свойство 2. Последовательность V(t) инвариантна относительно выбора в ней пачальной точки.

Свойство 3. Если функции Г; дифференцируемы, то для любой точки t справедливы неравенства:

suPl-(l+T/(0) inf.-tl+r/CQ) _

mf,(l + T/(0) - ' suPi(l + r/(i)) "

Свойство 4. Если фазопериодическая по определению 3 функция дифференцируема, то для любых двух точек С и Г" одной и той же последовательности V(t) выполнено:

/(/") € [min{/(T)( 1 + ш), /(/.*)( 1-?п-)}, тах{/( Г)(1-f »')• /('"К *-т~)}]-

Следствие 1. Если в какой-либо точке некоторой последовательности l"(i), соответствующей дифференцируемой фазопери-одической функции /, вынолпено: f'(t) = 0, то это справедливо для всех точек последовательности V(t).

Следствие 2. Для любой последовательности 1"(0 справедливо:

sup/'(*;) < шах{тГ/'(^)(1 - т~),[а{ /'(<,-)( 1 + т)}, { 1 '

inff'(ti) > min{sup f\ti)(l - m_),sup/'(i,-)(l + m)}. 1 « i

Свойство 5. Пусть интервал [t',t"] есть образ интервала

И

полученный любым из преобразований t + Г,(г). Тогда для длин этих интервалов справедливо соотношение

t-t

Л - га < —- < 1 + m

~ t" -t' ~

Свойство 6. Полуинтервалы при изменении г от 0 до оо

вместе с полуинтервалами (i;,f,+1] при изменении г от —сс до О покрывают всю вещественную ось.

Теорема 2.2. Существуют положительные числа а и Ь такие, что для всех t: а < T(t) < b.

Лаыная теорема дает возможность доказать рекуррентность фазопериодической функции по определению, данному В.И.Зубов причем с £ = 0. Это позволяет перенести на фазопериодическую функцию такие известные свойства рекуррентной как ограниченность и равпомерная непрерывность на всей вещественной оси; кроме того, равенство s нулю обеспечивает справедливость еще одного утверждения: на любом из полуинтервалов t -f T(t) фа-зопериодическая функция принимает все свои значения. Выполнение условий рекуррентности с равным нулю £ и постоянным X, не зависящим ни от е, ни от t, сближают фазопериодическую функцию с чисто периодической, отличие от которой состоит в том, что величина "периода" постоянно колеблется, и равенство J(i)) = f(i) + Т(д)) может не выполняться вообще ни для одной точки кроме т).

Таким образом, класс фазопериодических функций лежит между классами функций рекуррентных и периодических, уклонение от последнего из которых определяется величиной параметра т — из определения 4 видно, что при стремлении т к нулю функция Т стремится к постоянной, и при m = 0 фазопериодиче-ская функция переходит в периодическую.

Третья глава посвящена выяснению условий эквивалентности подходов к определению фазопериодической функции из главы 1 и главы '2.

Теорема 3.1. Если функция удовлетворяет определению 1, то она удовлетворяет определению 4, причем го < 2jjMj~Af2, где в том случае, когда и и Q взяты из канонического представления, достигается равенство.

Теорема 3.2. Если функция / удовлетворяет определению 4, то существуют число и и функции Пи <р0 такие, что f(t) = (p0(ut + Q(t)), где <р0 однопериодична, a Q удовлетворяет соотношению: < Q(i + 6) - Q(t) < mcj|<J| для всех t и 6.

Из доказательства теоремы 3.2 следует, что если производная у функции Т существует, то и функция П будет обладать таковой; если же этой производной найти нельзя, то построенная Q окажется недифференцируемой, и определению 1 тройка в полном смысле слова удовлетворять не будет. Для эквивалентности обоих подходов (1 и 3-4) к описанию фазоперио-дического процесса потребуется расширить определение 1, сняв

ебование дифференцируемое™ П. и заменив его менее жестким ловием, аналогичным ограничению на приращения функции и

определения 4. „ • „„„„

Хотя определения 3 и 4 охватывают более широким класс гнкций, чем их предшественник - определение 1, последнее тается исключительно важным частным случаем, так кактоль-при дифференцируемости П для данной функции / найдется юйка (<Р1 АП), являющаяся ее каноническим представлением. 1К отмечено в теореме 3.1, именно эта тройка позволяет опре-!Лить точное значение ш через * и П, в любом другом случае ьйденные оценки будут более грубыми.

Переход к канонической тройке для функции, удовлетворя-щей определению 4, в предположении, что функция I диффе-знцируема, позволяет установить связь между минимально воз-

эжным отношением и величиной т:

Л/

V = УНт - 1.

етрудно проверить, что эта формула является обратной к фор-уле, определяющей т в теореме 3.1; такое тождество оправды-ает выбор геометрической пропорциональности максимальных тносительпых увеличения и уменьшения частоты в первой гла-2. При отсутствии такой пропорциональности добиться соот-этетвия параметров в обоих подходах к описанию фазоперио-

ического процесса не удается.

В тех случаях, когда участвующие в рассмотрении функции олее гладки, чем предписывается определениями, представля->т интерес оценки констант Липшица для производных самих ункций / и 90 и преобразований времени У и П через известие константы в другом варианте определения. Получению этих

ценок посвящена глава 4.

Предложенная в главах 1 и 2 модель описывает случай, когда нешние воздействия на систему вызывают только "плавание' астоты, не затрагивая амплитуду колебаний. Однако во мно-их случаях для точного описания повторяющегося процесса пе-бходимо учитывать также возможные изменения последней под действием каких-либо не относящихся непосредственно к самой олебательной системе факторов, вызывающих отклонение тра-ктории от модельного варианта. Будем считать, что функция помехи" не зависит от основной фазопериодической составляющей движения и дадим

Определение 5. Функцию / назовем колебательной, если для нее справедливо представление

/(f) = + а, (5)

где (р — фазопериодическая функция, а |ст| < <tq для всех t, причем сг0 мало по сравнению с амплитудой /.

Очевидно, что это определение, как раньше определение 1, не пригодно для проверки на соответствие ему некоторой функции, построенной по показаниям приборов, регистрирующих реальное колебание. Для этой цели больше подойдет следующий расширенный аналог определения 3:

Определение 6. Функцию / назовем колебательной, если для любого t существует положительное число т — T(t) такое, что при произвольном справедливо включение:

f(t + т + 1}) е /д Ufe[__2i_.4>rn7j] f(t + г/ + ог (б)

где in > 0, a t — непрерывная функция, и, кроме того, условие (6) выполняется также в случае г = i, — t, где последовательность V'(0 = {ti} определяется рекуррентно: ¿0 = i,ii'+i = U + T(ti),i = 0,1,2,..., а А мало по сравнению с амплитудой /.

По такому же принципу легко расширить и эквивалентное определению 3 определение 4:

Определение 7. Функцию / назовем колебательной, если существует положительная непрерывная функция Т такая, что для всех элементов последовательности {Ti}, определяемой рекуррентным соотношением T0(t) = О.Г1+1(*) = T,(i) + T(t + Ti(t)), выполнено:

|/(i + Ti(0)-/(<)1<

причем — < Ti(t + 6)-Ti(t) < m|<5| для любых г и 6, а А мало

по сравнению с амплитудой /.

С учетом эквивалентности определений 3 и 4 эквивалентность двух последних расширенных определений очевидна.

Нетрудно показать, что функция /, удовлетворяющая определению 5, будет удовлетворять определению 7 с Д = 2<г0.

'Через /д здесь обозначена окрестность множества: = {z| infyg^ — у\ Д}.

Обратно, для удовлетворяющей определению 7 функции /, обозначив /,(£) = ¡{I + Т,-(г) и найдя супремум и инфимум полученной функциональной последовательности: 5(£) = эир, /,^) и /(¿) = М,- /¿(0, » качестве одного из вариантов представления (5) можно выбрать

= -ту

Эта <р будет, очевидно, фазопериодична. Функция "помехи" определится как ст(г) = /(4) - - £/(0, и для верхней границы ее модуля будет справедлива оценка: |а(<)) < ^(¿ХО-АО) - Д/2.

Таким образом, сто и Л из определений 5 и 7 соответствуют друг другу.

Далее рассматривается вопрос о влиянии переходов от одного представления колебательной функции к другому на гладкость /, <р и а, где под этим понимается как существование у них определенных производных, так и наличие лишшщевых констант. При переходе от определения 5 к определению 7 ответ на данный вопрос очень прост: являющаяся суммой р и а функция / не менее гладка, чем та из функций-слагаемых, которая обладает этим свойством в меньшей степени.

Что касается обратного перехода, то здесь ответ сложнее. Очевидно, что даже если / вообще не имеет никаких производных и констант Липшица, то, пренебрегая требованием, чтобы не превосходило Д/2, всегда можно построить <р любой необходимой гладкости; сохранение же этого требования влечет за собой наложение определенных условий на функцию /.

Георема 5.1. Если функция /, удовлетворяющая определению Г, имеет константу Липшица Ь, то функция <р = ^(5 + I) имеет константу Липшица ¿(1 + тп).

Разумеется, в данном случае функция "помехи" а также Липшицев а как разность / и <р.

Для построения ср, обладающей лишпицевой производной и сохраняющей вышеупомянутую оценку сг, приходится отказаться эт определения <р как полусуммы 5 и I.

Георема 5.2. Если функция / из определения 7 имеет производ-тую, обладающую константой Липшица X/, а производные всех функций из соответствующего / набора {Т,-} обладают константой Липшица Ьт, то существует представление ф + а функции /, "де ф — фазопериодическая функция, имеющая производную с константой Липшица Ьф < 1/(1+ тп)2 + ¿ттах)/'| а |сг(г)| < Д/2.

Построение указанной в этой теореме ф завершает главу 5. В главе б рассмотрен линейный осциллятор, колеблющийся под воздействием фазопериодической нагрузки:

х" + 2 пх' + к2х = <^оМ + ОД) (6)

Априори имелось предположение, что максимум амплитуды колебаний (при нулевых начальных данных в устоявшемся режиме) для фазопериодической нагрузки + Щ^) может превосхо-

дить таковой для детерминированной нагрузки </>о(иЛ) даже на резонансных частотах осциллятора. Оно основывалось на возможности изменения "формы"' кривой нагрузки по сравнению с "периодическим образцом." Такое изменение могло бы, например, увеличивать интенсивность нагрузки, то есть отношение интеграла от модуля нагрузки к длине "периода."

Численные эксперименты подтвердили возможность указанного увеличесния амплитуды. Осциллятор (6) при к'2 = 1,71 = 0,2 и возмущающей нагрузке вида эт^) имеет теоретически вычисляемые частоту и амплитуду технического резонанса \/0, 92 и 2,551 соответственно. Однако при возмущающей нагрузке s^n(^/^J^92t + 12(0)) где Г>(£) определялась как 11(0 = ИРИ

нормально распределенной на интервале [-0,1;0,1], при изменяй / от нуля до 500 зафиксирован максимум амплитуды, равный 2,583.

В качестве другого примера был рассмотрен осциллятор (6) с нагрузкой ступенчатого вида, определенной следующим образом. Отрезок [0; 1] разбивается на 6 равных интервалов и полагается, что в порядке прохождения этих интервалов некоторлл функция ф последовательно принимает значения 0,7; 1; 0,7; -0,7; -1; -0,7. Правая часть (6) определяется как

^оИ + = 4>(№ + Щфто(1( 2-)) (7)

Численно найденная для этого случал частота технического резонанса равна 0,969, а соответствующая ей амплитуда колебаний при ^ = 0 есть 2,742. При нормально распределенной на интервале [—0,09;0,09] максимум амплитуды на промежутке интегрирования от 0 до 500 составил 2,751.

С другой стороны, при нагрузке, описываемой функцией

где Фг(£) на [0; 1] определяется как 1 при £ € [0,1/2) и -1 при £ 6 [1/2; 1), указанный эффект не имел места и в связи с постоянством интенсивности данной нагрузки возникло предположение,

что амплитуда может расти только за счет увеличения последней. Чтобы это опровергнуть, был проведен следующий эксперимент: интегрировалось уравнение (б) с правой частью вида (7), где изменение П' происходило исключительно в моменты смены знака <¿>0 (т.е. функция растягивалась или сжималась сразу на полупериоде), что, очевидно, сохраняет интенсивность. Полученный при этом максимум амплитуды колебаний при П' из интервала [—0,08; 0,08] составил 2,750, что по-прежнему больше амплитуды технического резонанса системы 2,742.

Таким образом показано, что при фазопериодической нагрузке амплитуда колебаний системы может превышать амплитуду резонансных колебаний, вызваемых той же функцией с детерминированной нагрузкой.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Один класс рекуррентных функции. // ВИНИТИ N 1027-393 от 19.01.93

2. Одна модель колебательного движения. // Вестник СПбГУ. Сер.1, 19.91, вып.1

3. Properties of a subclass of recurrent functions. // Тезисы CSAM'93 (1993 г.)