Моделирование концентрационной микронеоднородности полупроводниковых кристаллов при выращивании методами вертикальной направленной кристаллизации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Дормидонтов Алексей Николаевич

Моделирование концентрационной микронеоднородности полупроводниковых кристаллов при выращивании методами вертикальной направленной кристаллизации

Специальность 01.04.07 - физика конденсированного состояния

Автореферат I 5 MAP 2015

диссертации на соискание ученой степени-кандидата физико-математических наук

Москва 2014

005561312

005561312

Работа выполнена на кафедре «Высшая математика №1» Национального исследовательского университета «МИЭТ»

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

доцент

Гончаров Виктор Анатольевич

Официальные оппоненты:

Вабищевич Петр Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор, Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН, заведующий лабораторией

Верезуб Наталия Анатольевна

кандидат физико-математических наук, доцент, Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, старший научный сотрудник

Ведущая организация ИПМ им. М.В. Келдыша РАН

Защита состоится « 23 2015 года взаседании

диссертационного совета Д 212.134.03 при Национальном исследовательском университете «МИЭТ» по адресу: 124498, Москва, Зеленоград, проезд 4806, д.5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте Национального исследовательского университета «МИЭТ», www.miet.ru

Автореферат разослан « И » Марму - 2015 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.134.03 доктор физико-математических наук, профессор

иБ. Яковлев

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Многочисленные эксперименты по выращиванию кристаллов полупроводников и полупроводниковых соединений показывают, что методы вертикальной направленной кристаллизации (ВНК) — вертикальный метод Бриджмена (ВМБ) и vertical gradient freeze (VGF), позволяют получать кристаллы с высоким структурным совершенством. Это достигается благодаря возможности задавать необходимый осевой температурный профиль вдоль тигля, который контролируется на протяжении всего процесса роста кристалла. Однако нестационарные воздействия со стороны оборудования, такие как погрешность поддержания температуры и неравномерность перемещения тигля, приводят к флуктуациям температуры и нарушают технологический процесс. Следствием таких флуктуаций является образование микроскопических неоднородностей состава кристалла, так называемых полос роста. Эти полосы нарушают однородность свойств получаемых подложек, что в дальнейшем оказывает негативное влияние на качество эпитаксиальных слоев и характеристики полупроводниковых приборов.

Флуктуации температуры у фронта кристаллизации приводят к колебаниям скорости роста, в результате чего возникает неоднородность состава кристалла на микроскопическом уровне. Расчёту величины микроскопической неоднородности от колебаний скорости роста посвящено значительное число теоретических работ, основанных на построении математической модели пограничного слоя: D.T.J. Hurle at al. 1968г., A.MJ.G. Van Run 1979г., J.J. Favier 1982r„ D. Thevenard 1991r, Garandet 1993г. Однако следует отметить, что применить эти модели на практике для расчёта- реальной величины микроскопической неоднородности достаточно трудно. Для этого необходима информация о ширине пограничного слоя и колебаниях скорости роста, которая в реальных экспериментах неизвестна.

При выращивании кристаллов методами ВНК колебания скорости роста являются следствием нестационарных воздействий со стороны аппаратуры. Так, в работе [T.W. Fu, W.R. Wilcox, 1982г.], численно

решая одномерное уравнение теплопроводности, на примере роста кристалла вертикальным методом Бриджмена авторы показали, что неравномерное перемещение тигля приводит к колебаниям скорости роста. Особого внимания заслуживает работа [Т. Jang, G. Muller 1997г.]. В ней авторы с помощью двумерной численной модели метода VGF, рассмотрев синусоидальные колебания температуры на нагревательных элементах с амплитудой 0.5К, рассчитали образующиеся колебания скорости роста и величину микроскопической неоднородности. Затем они сравнили рассчитанную величину микронеоднородности с аналитическими моделями [D. Thevenard 1991г, и Garandet 1993г]. Получив хорошее соответствие в результатах численных расчётов и аналитических моделей, авторы также указали о сложности применения аналитических моделей на практике.

Необходимо отметить работу [Н. Scheel 2006г.], посвященную получению кристаллов без полос роста. Автор считает, что проблема полос роста разрешима, но требует серьезных теоретических и технологических усилий, необходимых для контроля температуры у фронта кристаллизации.

Таким образом, на сегодняшний день отсутствуют модели, позволяющие с необходимой точностью осуществлять количественные расчёты величины микроскопических неоднородностей, возникающих от конкретных нестационарных воздействий аппаратуры при выращивании полупроводниковых кристаллов методами ВНК.

Цель и задачи работы

Целью диссертационной работы является моделирование нестационарных воздействий ростового оборудования при выращивании кристаллов методами ВНК и прогнозирование величины микроскопических концентрационных неоднородностей, возникающих в результате заданных воздействий.

l.Ha основе математической модели [V. Goncharov 1999] и [V. Goncharov 2000] разработать модель выращивания кристаллов методами ВНК, способную рассчитывать малые колебания скорости роста, возникающие в результате нестационарных воздействий

аппаратуры, и образующиеся вследствие этого микросегрегации примеси.

2. С помощью разработанной модели рассчитать максимальную величину микронеоднородности, возникающую в полупроводниковых кристаллах в результате заданной погрешности поддержания температуры в электропечи и неравномерности перемещения тигля (в том числе характерных для современных технологических установок).

Научная новизна

Для расчёта процесса роста кристаллов из расплава методами ВНК в диссертационной работе была выбрана математическая модель, основанная на численном решении 2В-осесимметричной нестационарной задачи Стефана совместно с системой уравнений Навье-Стокса в расплаве [1-3]. Существенной особенностью этой модели является то, что в ней удается одновременно с вычислением поля температур учесть скрытую теплоту кристаллизации и, таким образом, определить мгновенную скорость роста кристалла. Расчёт малых колебаний скорости роста является необходимым для вычисления величины микроскопических неоднородностей примеси. Однако следует отметить, что очень не многие существующие модели роста кристаллов способны вычислять мгновенную скорость роста.

В предложенную выше модель решения задачи Стефана, позволяющую рассчитывать процессы тепло- и массообмена в расплаве и теплообмена в кристалле, был добавлен модуль, позволяющий учитывать теплообмена внутри стенок тигля. В результате, возникла возможность задавать различные внешние профили температур на нагревателях и флуктуации температуры на них. Флуктуации температуры приводят к колебаниям мгновенной скорости роста и рассчитываются в математической модели [1-3]. Решение уравнения диффузии в рамках системы уравнений Навье-Стокса с граничным условием сегрегации примеси на фронте кристаллизации позволило, в итоге, рассчитать микронеоднородность примеси в слитке.

Для расчёта конкретной величины микронеоднородности были изучены характеристики современного оборудования для выращивания

кристаллов. В результате анализа технических характеристик этих установок было выяснено, что погрешность поддержания заданного температурного профиля Д Т в них варьируется от 0.01 до 1 градуса, а минимальный шаг перемещения тигля ДА может принимать значения от 0.1 мкм до 0.1 мм. В работе определяется- максимальная величина микронеоднородности примеси в кристалле, которая может возникнуть при указанных погрешностях аппаратуры.

Практическая ценность работы

В диссертационной работе рассматриваются режимы роста, характерные для выращивания полупроводниковых кристаллов вертикальным методом Бриджмена и методом УОБ. -Как показывают расчёты, конвекция в расплаве стационарна и не приводит к флуктуациям температуры вблизи фронта кристаллизации. По этой причине в работе рассчитывается микроскопическая неоднородность примеси в кристалле АС/С, связанная со следующим уровнем величины возмущений и возникающая в результате погрешности механического привода тигля и точности поддержания температуры в электропечи технологической установки.

Современные мировые требования, предъявляемые к однородности полупроводниковых подложек, достаточно высокие и составляют АС/С= 10"4-10"5 (и выше). Такие материалы необходимы современной электронной промышленности для создания светодиодов и лазеров, быстродействующих фотоприемников, детекторов рентгеновского и у -излучения и других устройств. Однако, как показывают проведённые в диссертации исследования, далеко не все задекларированные для методов ВНК технологические установки позволяют получать кристаллы с микроскопической неоднородностью, например, ДС/С= 10~4-10~5. Таким образом, построенная в работе-математическая модель позволяет заранее определять ожидаемые значения микронеоднородности примеси, характерные для аппаратуры с заданными техническими параметрами и может быть использована при конструировании перспективной аппаратуры.

Достоверность полученных результатов

Достоверность результатов проведённых исследований и расчетов подтверждается последовательным применением методов вычислительной математики, сходимостью результатов расчетов по сеткам, успешным решением исходной численной схемой международной тестовой задачи, совпадением численного решения задачи Стефана с аналитическим решением с высокой точностью и совпадением результатов реализованной численной схемы с результатами близкой модели других авторов [Т. Jang, G. Müller 1997rJ.

Личный вклад автора

Основные результаты диссертациитюлучены автором лично.

1. Оптимизирован наиболее трудоемкий вычислительный этап численной схемы [1-3], связанный с решением уравнения Пуассона для функции тока.

2. Разработан модуль, позволяющий в модели [1-3] дополнительно учитывать теплообмен внутри тигля.

3. Выполнено моделирование роста кристаллов с учетом неравномерности перемещения тигля и погрешности поддержания температуры на нагревательных элементах.

4. Получены количественные характеристики влияния перечисленных в пункте 3 факторов на величину микроскопической неоднородности примеси в кристалле.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

1. Математическая модель выращивания полупроводниковых кристаллов методами вертикальной направленной кристаллизации, позволяющая прогнозировать концентрационную микронеоднородность в результате нестационарных воздействий в ростовой аппаратуре.

2. Результаты численного моделирования образования полос роста с учётом погрешности поддержания температуры на нагревательных элементах в диапазоне от 0.01 до 1 градусов.

3. Результаты моделирования образования полос роста с учётом неравномерности перемещения тигля относительно печи с шагом от 0.1 мкм до 0.1 мм.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на Национальной конференции по росту кристаллов «НКРК-2010» (Москва, ИК РАН, 2010), научно-практической конференции «Современные информационные технологии и ИТ-образование» (Москва, ЖИНТУИТюРУ, 2009) и четырёх Всероссийских межвузовских научно-технических конференциях студентов и аспирантов «Микроэлектроника и Информатика» (Москва, МИЭТ, 2009, 2010,2012, 2013).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 10 работ и одна передана в печать. Среди них 4 статьи, три из которых в журналах, рекомендованных ВАК Минобразования России. Список работ представлен в конце автореферата.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы из 74 наименований. Диссертация включает 183 страницы основного текста, 36 рисунков, 11 таблиц.

Содержание работы

Первая глава диссертационной работы посвящена описанию проблемы образования микроскопических неоднородностей в виде концентрационных полос роста при выращивании кристаллов из расплава. Эти полосы приводят к неоднородности свойств получаемых -подложек в пределах от одного микрометра до миллиметра, что в дальнейшем оказывает негативное влияние на качество эпитаксиальных слоев и характеристики полупроводниковых приборов.

Современные мировые требования, предъявляемые к однородности состава кристалла, являются достаточно высокими, см. таблицу 1 [4]. Например, для полупроводниковых подложек из СсУ^.Де необходимо, чтобы максимально допустимая неоднородность состава составляла Ах/х ~ 10"4—10"5. Образующиеся в кристалле полосы роста часто нарушают это требование, что приводит к уменьшению эффективности полупроводниковых приборов или полной непригодности выращенных кристаллов.

Микроскопические неоднородности в виде полос роста образуются из-за колебаний скорости роста кристалла и сегрегации примеси между твердой и жидкой фазой. К колебаниям скорости роста могут приводить различные причины. Однако в первую очередь полагают, что это результат влияния нестационарной конвекции в расплаве и нестационарных воздействий со стороны ростового оборудования. При выращивании кристаллов методом вертикальной направленной кристаллизации с затравкой внизу конвекция обычно имеет стационарный ламинарный характер. Поэтому основной причиной образования полос роста в методах ВНК являются флуктуации температуры, вызванные погрешностями в системе регулирования технологической установки. Здесь нужно особо выделить нестационарные воздействия неравномерного перемещения тигля относительно нагревательных элементов шаговым двигателем и погрешность в поддержании требуемой температуры в печи.

Таблица 1. Требования к однородности состава кристаллов

Материал Неоднородность состава, Ах/х

Легированные кристаллы 102 - 10°

Магнитные и магнитооптические кристаллы 10"4- 10 5

Полупроводниковые кристаллы твёрдых растворов ваЛз^Р ¡.х, Оа^п^Аз, Оа11п;_15Ь, 10"4- 10"5

Оптические кристаллы Ю-5 - ю-7

Следует отметить, что указанные нестационарные воздействия являются в большинстве случаев известной величиной и могут быть определены из технических характеристик ростового оборудования. Поэтому построение математической модели роста кристаллов, которая способна учитывать такие воздействия и определять их влияние на качество кристаллов, в частности, на величину микроскопической неоднородности, является весьма важной задачей.

Вторая глава диссертационной работы посвящена описанию математической модели процесса выращивания кристаллов из-расплава методами ВНК. Выращивание кристаллов методами ВНК происходит в цилиндрических тиглях. Поэтому область решения модельной задачи также представляет собой цилиндр.

Для моделирования процесса роста кристалла рассматриваются области расплава, кристалла и тигля, рисунок 1. В области расплава учитывается течение жидкости под влиянием естественной конвекции. В кристалле и тигле учитывается перенос тепла в результате теплопроводности материалов. Перенос легирующей примеси

Рисунок 1 Рассматриваемая область кристалла, расплава и тигля для моделирования роста кристаллов, выращиваемых методом вертикальной направленной кристаллизации

учитывается только в расплаве в результате диффузии и конвективных течений. На фронте кристаллизации ставится задача о фазовом переходе, или задача Стефана, и учитывается эффект сегрегации примеси. Рассматривается рост кристаллов с малым содержанием примеси, поэтому полагается, что температура фазовой границы не зависит от концентрации примеси. Также не учитывается зависимость плотности от концентрации примеси. Задача рассматривается в двумерной осесимметричной постановке.

Для расчёта конвективных течений в расплаве используется система уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска. В цилиндрических координатах с условием осевой симметрии и в безразмерном виде эта система имеет вид

/

ди ди ди

— + и--\-м>—:

дС дг дг

_др_ _1_ дг Яе

д (1 <ЗгИ дУ

дг[г дг ) дг1

£Ну дм др „ 1

— + и — + м>— = ——+ Г +— а? дг дг дг И.е

диЛ | д ™

гдг\дг)дг2

1

дТ дТ дТ

--1- и--1- IV— =-

дг дг ЯеРг

1 д ( дТ\ д2ТЛ

гдг\Г дг Г'дг2

(1)

(2)

ас дС дС 1

— + и— + м>— =-

д1 дг дг Яе&

1 а Г ас

--г

г дг V дг

д2С

'а?"

(3)

1 д(ги) дм „ —^—'- + — = 0, г дг дг

(4)

где и и IV - радиальная и осевая компоненты скорости течения соответственно, р - давление, Т - температура, С - концентрация примеси, Яе - число Рейнольдса, Рг - число Прандтля, Бс - число Шмидта.

В кристалле и тигле процесс переноса тепла описывается дифференциальным уравнением теплопроводности

где Ре, Ре*, Ре2л - безразмерные числа Пекле в кристалле и в тигле

вдоль радиуса и вдоль оси.

На подвижном фронте кристаллизации для температуры ставятся два граничных условия Стефана

0, (7)

hJL

XL дп

дТ дп

+ St-vx, (8)

s L

где Т^, Т^ - температуры на фронте кристаллизации в кристалле и в расплаве, Я8,ЯЬ- коэффициенты температуропроводности кристалла и

расплава соответственно, St - число Стефана, и^ - скорость роста кристалла.

Для концентрации примеси на фронте моделируется эффект сегрегации. Это достигается постановкой на фронте кристаллизации следующего граничного условия

_дС дп

У

где к - коэффициент сегрегации, С - концентрация примеси на фронте

= ReSfc(l-*)C,iv (9)

в расплаве.

Для вектора скорости на границе с тиглем и фронтом кристаллизации ставятся условия непротекания и прилипания: и = О,

w = 0; на оси - равенство нулю функции «вихрь»: и = 0, — = 0 • На

дг

нагревателях задается температурный режим Т = Tw(r,t), на верхнем и нижнем торцах — T=Ti(r,t) и Т = T2(r,t) соответственно. На границе кристалла и расплава с тиглем ставится условие равенства радиальных

тепловых потоков, а на оси - условие симметрии -= 0 • Для

дг

концентрации примеси на границе с тиглем и на верхней границе расплава ставится условие отсутствие диффузионного потока, на оси -

^ = 0-дг

Исследование влияние нестационарных воздействий аппаратуры выполнено на примере арсенида галлия, легированного кремнием (GaAs:Si). Монокристаллы арсенида галлия являются сегодня одними из основных материалов современной микро- и оптоэлектроники. В качестве материала тигля выбран пиролитический нитрид бора — pBN. Геометрические размеры задачи: длина L = 100 мм, внутренний радиус R = 15 мм, толщина тигля Н = 1 мм. Рассчитанные числа подобия для данной задачи равны Re = 104, Рг = 2.6-10~2, Ре = 1.5103, Ре* =2.3-103,

Ре\= 1.2102, Sc — 44.8, St =77, XSL = 0.4■ Коэффициент сегрегации

кремния к= 0.1. Концентрация Si в GaAs составляет 0.001 ат. %.

Следует отметить, что область решения задачи содержит внутреннюю неплоскую подвижную границу. Поэтому вводится новая криволинейная система координат {¿77,г}. Функции преобразования координат г = r(Q, z = z(^,t],T) и / = t(x), таковы, что область решения в переменных {£//,т} принимает вид единичного квадрата, а фронт кристаллизации неподвижен и составляет линию rj = t]* = const. Система уравнений (1) — (6) с граничными условиями записывается в переменных {£,г],т}. Выкладки по преобразованию координат имеют громоздкий вид и представлены в главе 3 диссертационной работы.

Построенная в диссертационной работе математическая модель представляет собой последовательное развитие модели [V. Goncharov 2000] путем добавления дополнительного уравнения теплопроводности (6), описывающего процесс теплопереноса внутри стенок тигля. Это необходимо для того, чтобы использовать разнообразные температурные профили на боковом граничном условии и задавать колебания на нем. В результате, появилась возможность моделировать температурные флуктуации на нагревателях и

неравномерное перемещение тигля относительно печи. Для решения поставленной задачи используется упомянутая численная схема [V. СопсЬагоу 2000], основанная на расщеплении уравнений по физическим процессам, а там где это оправдано, и по пространственным переменным. Решение уравнения теплопроводности в тигле реализовано в соответствии с общей схемой расщепления. Его расчёт выполняется на этапах расщепления, соответствующих теплопроводному обмену.

Расщепление уравнений позволило для большинства этапов применить экономичный вычислительный алгоритм — прогонку. Однако на одном из этапов, так называемом центральном этапе, при исключении давления из расщеплённого уравнения движения, возникает необходимость решать разностный аналог уравнения Пуассона для функции тока с граничными условиями Дирихле. Решение этого уравнения является более сложной вычислительной задачей. Ранее в схеме [V. ОопсЬагоу 2000] использовался блочный метод верхней релаксации. Этот метод прост в реализации, однако занимал около 50% времени вычислений на временном слое. В диссертационной работе с целью оптимизации и сокращения времени вычислений для решения этого уравнения предложен трехслойный попеременно-треугольный метод. В результате, время решения центрального этапа стало сравнимо со временем решения других этапов расщепления. Общее время решения модельной задачи уменьшилось при этом приблизительно в 2 раза. Реализация трехслойного попеременно треугольного метода подробно описана в главе 3.

Наиболее важным этапом численной схемы является этап расщепления уравнения теплопроводности, учитывающий теплопроводный обмен вдоль оси кристалла. На этом этапе реализован сквозной счёт уравнения теплопроводности в кристалле и в расплаве с одновременным вычислением мгновенной скорости роста кристалла. Важность этого этапа заключается в том, что именно здесь вычисляется скорость роста кристалла, которая является определяющим фактором для расчёта величины микроскопической неоднородности примеси. Как показывает анализ научной литературы, далеко не во всех двухмерных

моделях роста кристаллов можно выполнять расчёт скорости роста. Трехмерные модели, в которых вычисляется мгновенная скорость роста, в научной литературе не встречаются. Часто эта величина является входным параметром, что принципиально не позволяет таким моделям рассчитывать величину микроскопической неоднородности, возникающую в результате нестационарных воздействий. Рассмотрим этот этап расщепления более подробно. Система уравнений, возникающая на этапе сквозного счёта, имеет вид

при о ^ г) <т] *,

\8{Г¥Т)~ 1

дт " Л

Э<? дп

д_

о—(г,г)

(10)

4

лдТ дТ А— + В— дт,)

ГаМ] 1

дг КеРг

№

+ при 77=77*,

Ад-1 + Вд-1)

д

. дт1

, при п*<Т]< 1 ■

С)

(11)

(12)

Здесь функция у/ - якобиан преобразования координат, А, В, И -комбинации метрических коэффициентов. Заключение величины в квадратные скобки с индексами И,г означает, что она дискретизована по пространственным переменным и по времени.

Решение алгебраической системы уравнений выполняется в два этапа. На первом этапе выполняется вычисление функций, т.е. учет слагаемых (*) в (10) и в (12) совместно с граничным условием на фронте (11). На втором этапе выполняется пересчёт координат узлов сетки на новом слое по времени и учёт слагаемых (**).

В силу граничного условия (7) в узле Ць*=г]*, являющегося узлом фронта кристаллизации, безразмерная температура Т = 0. При пересчёте функций сетка полагается неподвижной, поэтому на следующем слое по времени температура в узле уже не равна нулю. Обозначим эту температуру Iе. Аппроксимируя граничное условие (7) на новом слое по времени, т.е. Т(<р+ь^т) =0, можно получить нелинейную связь между величинами vg, 7е и температурами в других узлах. Решение этого

нелинейного уравнения для и поля температур выполняется итерационным методом Ньютона. Линеаризуя связь Vg относительно поля температур, и используя это значение и^ в качестве приближения с предыдущей итерации, получим замкнутую систему уравнений для поля температур. Число неизвестных здесь становится равным числу уравнений. Система уравнений решается с помощью сквозной прогонки в областях расплава и кристалла. Для получения высокой точности в методе Ньютона достаточно 2-3 итерации. Таким образом, система уравнений (10)-(12) решена. Вычислены скорость роста кристалла и поле температур на новом слое по времени.

Вычисление микроскопической неоднородности распределения примеси в модели выполняется следующим образом. С помощью численной схемы рассчитываются температура, скорости конвективных течений; скорость роста кристалла и её колебания, концентрация примеси в расплаве. Последние две величины связаны между собой граничным условием на фронте кристаллизации

Колебания скорости роста в (9) приводят при расчёте уравнения диффузии примеси к соответствующим колебаниям концентрации примеси на фронте кристаллизации С,г Поскольку примесь в кристалле определяется по формуле С$ = к-С у, то колебания С,? приводят к колебаниям концентрации примеси в кристалле вдоль направления роста. Величина микроскопической неоднородности рассчитывается по

формуле ¿с = (стс< -Стп)/С, где Ст, Ст„, С - максимальное,

минимальное и среднее значение концентрации примеси в пределах полосы (см., например, рис. 36).

Таким образом, решена первая из задач диссертационной работы: реализован способ количественного расчёта величины микроскопической неоднородности примеси в кристалле.

В четвёртой главе диссертации проведён расчёт величины микроскопической неоднородности, возникающей от нестационарных воздействий в оборудовании. Из анализа литературных данных и

(9)

интернет ресурсов производителей ростового оборудования было выяснено, что погрешность поддержания заданного температурного профиля ДТ варьируется от 0.03 до 1 градуса, а минимальный шаг перемещения тигля ДА может принимать значения от 0.1 до 100 мкм. Однако для большинства современных установок ДТ составляет 0.1 градус, а ДА не более 1 мкм. Моделирование нестационарных воздействий аппаратуры заключается в соответствующей постановке бокового граничного условия

Перемещение тигля относительно печи шаговым двигателем можно рассматривать как перемещение температурного профиля относительно неподвижного тигля. В таком случае, температурный профиль на боковой границе перемещается через каждые Д* секунд на величину ДА, рис. 2. Эти две величины связаны между собой

соотношением А/ =АИ/йл , где йА - средняя скорость перемещения тигля. Для сравнения, при расчётах величина Л/ составляет до 6-103 шагов по времени используемой численной схемы.

В научной литературе можно встретить различные температурные профили в печи, которые используются для выращивания кристаллов полупроводниковых соединений типа А3В5. Для моделирования был

Рисунок 2 Изменение температурного профиля Т^г) при его неравномерном перемещении. Размер области (0,Ь); Т0 - температура плавления.

Т А

Т., (г,0 Тф^+Аг)

выбран следующий боковой температурный профиль. Осевой температурный градиент в области кристалла составлял 60 К/см, в расплаве - 5 К/см, у фронта кристаллизации - 20 К/см.

Рассмотрим вычислительный эксперимент, в котором первые 3000 секунд рост кристалла происходит с пересчетом температурного профиля на каждом шаге по времени. Это соответствует практически непрерывному изменению Ту/ во времени. Затем «включим» неравномерное перемещение привода тигля. На рисунке 3 приведено решение модельной задачи, в которой средняя скорость перемещения о = 2 мм/ч, шаг Д/г = 50 мкм (здесь и далее все величины считаются размерными). В первые 3000 секунд колебаний скорости роста кристалла и концентрации примеси не наблюдается. Затем неравномерное перемещение профиля Тцг приводит к резким изменениям температуры вблизи фронта кристаллизации и колебаниям

г, см

Рисунок 3. Колебания скорости роста и концентрации примеси при иА = 2 мм/ч и А/г = 50 мкм, а) скорость кристаллизации б) концентрация примеси Б! в кристалле: сплошна линия — 6.5 мм от оси тигля, пунктирная линия - 13 мм от оси тигля.

скорости роста кристалла, которые больше у стенки и меньше на оси тигля, рис. За. Это приводит к образованию микроскопических неоднородностей концентрации примеси, расчётная величина которых составила <5С = 2-Ю'3. Продольное распределение примеси в кристалле с образующимися микроскопическими неоднородностями представлено на рис. 36.

В соответствии с предложенным вычислительным экспериментом были выполнены расчеты величины микроскопической неоднородности ЗС при ДА = 0.1 - 100 мкм и различной скорости перемещения тигля иА . Полученные результаты представлены в таблице 2. Значение 8С имеет максимальное значение в таблице при иА = 0.5 мм/ч и ДА =100 мкм и уменьшается при уменьшении шага и увеличении скорости. При ДА = 100 мкм максимальное значение <5С равно 2-Ю"2, а при ДА = 0.5 мкм - 2Ю"8.

В соответствии с требованиями, представленными в таблице 1, величина микроскопической неоднородности для легированных кристаллов должна иметь значения в пределах 10" - 10" . Выполненные

Таблица 2. Зависимость величины микроскопической неоднородности <5С от шага ДА и скорости иА

Скорость перемещения тигля иА , мм/час Шаг перемещения тигля ДА, мкм

0.5 1.0 10 50 100

0.5 210"8 3-Ю"7 810"4 5-Ю"3 2-Ю"2

1 0 3-Ю"8 9-Ю"5 410"3 1-Ю"2

2 0 0 210"5 2-10"3 7-Ю"3

5 0 0 2-Ю"6 4-Ю"4 210"3

10 0 0 0 8-10"5 7-Ю"4

Максимальное <5С 210"8 3-Ю"7 8-Ю"4 510"3 2-10"2

расчёты показывают, что для получения таких кристаллов подойдут установки со всеми рассмотренными в работе ДА.

Следует отметить, что для современных установок величина шага ДА обычно имеет значение не более 1 мкм. Из таблицы 2 видно, что в таком случае максимальное значение величины микроскопической неоднородности равно 3-10"7. Это на 4 порядка меньше, чем предъявляемые к легированным кристаллам требования (10"3—10"2). Поэтому можно считать, что нестационарные воздействия, вызываемые неравномерным перемещением тигля шаговым двигателем в таких установках, не должны оказывать влияния на качество кристаллов, а именно, на величину микроскопической неоднородности.

С другой стороны, величина микроскопической неоднородности уменьшается при увеличении скорости-роста. Поэтому для уменьшения величиньгмикронеоднородности в кристалле можно увеличить скорость его роста. Данным приемом можно воспользоваться в тех установках, где перемещение тигля происходит с достаточно большим шагом, например, 50 или 100 мкм.

Моделирование температурных флуктуации на нагревательных элементах заключается в добавлении к невозмущенному температурному профилю на боковой границе дополнительных синусоидальных колебаний. Таким образом, граничное условие Ту?(г,1) представляется в виде: Ту/(г, I) = Тт(г,1) + Ь>Т-з'т(2п1/1). Здесь Тт(?, О - невозмущенный профиль, ДТ - амплитуда колебаний температуры, а т - некоторый период колебаний. Невозмущеиный профиль Тт>(г,0 пересчитывается на каждом шаге по времени, определяя тем самым среднюю скорость роста кристалла. Величины Д Т и т полагаются постоянными на протяжении всего расчёта.

В таблицах 3 и 4 приведены величины микроскопической неоднородности примесят ¿С в_зависимости от амплитуды (и периода) колебаний. В таблице 3 представлены расчёты величины микроскопической неоднородности при средней скорости роста кристалла равной й„ = 10 мм/ч. В таблице 4 — при ¿7=5 мм/ч.

Из результатов, представленных в таблицах, следует, что величина 5С увеличивается при увеличении амплитуды колебаний ДТ. Поэтому, для уменьшения микронеоднородности в кристаллах, очевидным решением является повышение точности контролирования температуры. В последней строке каждой из таблиц указаны максимальные значения ЗС при фиксированном значении амплитуды ДТ. По этим значениям можно формулировать требования к точности контролирования температуры в ростовых установках для получения требуемой микронеоднородности в кристаллах.

Таблица 3. Зависимость величины микроскопической неоднородности ЗС от колебаний температуры при и =10 мм/ч

Период колебаний г, с Амплитуда колебаний АТ, К

0.01 0.025 0.05 0.1 0.25 0.5

5 8-Ю"7 8-Ю"6 2-10"5 7-10"5 З-Ю"4 6-Ю"4

25 4106 7-Ю"5 2-Ю"4 8-10"4 2-Ю"3 5-Ю"3

50 3-Ю"5 4-10" МО"3 З-Ю"3 8-10 3 2-10"2

75 МО"5 5-Ю"4 МО"3 4-10"3 МО"2 З-Ю"2

100 МО"7 4-Ю"4 1-Ю"3 4-Ю"3 МО"2 З-Ю"2

200 0 МО"4 ■2-Ю"3 610"3 210"2 4-10"2

300 0 0 2-10"3 7-Ю"3 2-10"2 6-Ю"2

400 0 0 МО"3 7-10"3 З-Ю"2 6-Ю"2

500 0 0 910"4 6-Ю"3 З-Ю"2 6-Ю"2

1000 0 0 2-Ю"5 З-Ю"3 2-Ю"2 6-Ю"2

2000 0 0 0 0 710"3 З-Ю"2

3000 0 0 0 0 З-Ю"4 1-Ю"2

Максимальное ¿С 3-Ю"5 5-Ю"4 2-10"3 7-10"3 3 10 2 6-Ю"2

Таблица 4. Зависимость величины микроскопической неоднородности 5С от колебаний температуры при ¡7 =5 мм/ч

Период колебаний г, с Амплитуда колебаний А7", К

0.01 0.025 0.05 0.1 0.25 0.5

5 3-Ю-6 1-Ю"5 3-Ю"5 МО"4 3-Ю"4 6-10"4

25 2-10"5 МО"4 4 ■ 10"4 МО"3 З-Ю"3 З-Ю"3

50 5-10"5 4-Ю"4 МО"3 2-10"3 7-Ю"3 1-Ю"2

75 МО"4 8-Ю"4 2-10"3 5-Ю"3 1-Ю"2 З-Ю"2

100 2 10" МО"3 З-Ю"3 6-10"3 2-Ю"2 З-Ю"2

200 410'5 МО"3 З-Ю"3 8-Ю"3 2-Ю"2 5-10"2

300 0 МО-3 4-Ю"3 МО"2 З-Ю"2 6-10"2

400 0 9-Ю"4 4-Ю"3 1-Ю"2 З-Ю'2 7-10"2

500 0 7-10"4 410'3 1-10"- 1 Ю" 8-Ю"2

1000 0 3-Ю"4 2-Ю"3 9-10"3 З-Ю"2 8-Ю"2

2000 0 0 МО"4 4-Ю"3 2-Ю"2 6-Ю"2

3000 0 0 0 0 МО"2 4-Ю"2

Максимальное дС 210"4 МО"3 410"3 1-Ю"2 4-Ю"2 8-Ю"2

Итак, для гарантированного получения микроскопической неоднородности порядка 10~3 —10"2 точность контролирования температуры в печи должна быть не ниже 0.25 К.

Как можно видеть из результатов, представленных в таблицах 3 и 4, с увеличением периода колебаний при фиксированной амплитуде микронеоднородность сначала возрастает, достигает своего максимума (эти ячейки таблицы отмечены серым цветом), а затем уменьшаться. Таким образом, при определённом значении периода температурных колебаний возникает наиболее негативный эффект, см. рисунок 4. В

этом случае в кристалле формируются полосы роста с максимальной концентрационной микронеоднородностью. При прочих равных условиях это значение периода зависит от скорости роста и амплитуды. Например, если амплитуда ДГ=0.5К, то при и^ =10 мм/ч

максимальная микронеоднородность возникает при т = 600 с, а при ¡7 = 5 мм/ч - при т = 800 с, см. рисунок 4. Поэтому, для уменьшения

микроскопической неоднородности необходимо, по возможности, так регулировать температуру в печи, чтобы в спектре температурных флуктуаций не возникали наиболее негативные гармоники.

В диссертационной работе расчёты микроскопической неоднородности выполнены для кристалла арсенида галлия, легированного кремнием. Оценки технических характеристик аппаратуры для получения кристаллов с требуемой величиной микроскопической неоднородности представлены в первой строке таблицы 5. Расчёты показали, что для удовлетворения требований к величине микронеоднородности примеси Ю""1 - 10~2 шаг А к должен быть меньше 100 мкм, а погрешность контролирования температуры А71 не более 0.25 К, что соответствует возможностям современного ростового оборудования.

! I - Ух** М (мм/час)

-^ : -

7 !

/ 1 .

1/ 1 1

г, (с)

Рисунок 4. Зависимость величины микроскопической неоднородности в кристалле от периода колебаний температуры на боковых граничных условиях; амплитуда колебаний А7*= 0.5 К

Ввиду ограничений, поставленных в модели при расчёте выращивания материала СаАя:81, рассчитана величина микроскопической неоднородности для кристаллов только с малым содержанием легирующей примеси. Сделанные ограничения, однако, не позволяют провести прямые расчёты для сложных многокомпонентных соединений. В этом случае необходимо было бы учитывать зависимость температуры кристаллизации от состава расплава. Связь состава твердой и жидкой фаз будет иметь более сложную зависимость, которую необходимо строить на основе известных диаграмм состояния. Подобные зависимости были рассмотрены в работе [5]. Поэтому, можно ожидать, что конечные результаты расчётов при этом изменятся не более чем на 20 — 30 %.

Требования к микроскопической неоднородности в многокомпонентных полупроводниковых кристаллах типа СсУН^.Де составляют 10"4 — 10"5. Такая неоднородность была получена для всех расчётов при А/г равном 10 мкм (см. таблицу 2) и для большинства

Таблица 5. Рекомендуемые требования к технологическому оборудованию в зависимости от необходимой величины микроскопической неоднородности дС в материалах__

Материал Неоднородность состава Требования к АЛ, мкм Требования к АГ, К

Легированные кристаллы . ;(У2- кг .■ - <100 <0.25

Магнитные и магнитооптические кристаллы Ю-4 - Ю-5 < 10 <0.025

Полупроводниковые кристаллы твёрдых растворов ОаАяхР,_„ ОаДп^Ав, Оа^п^Ь, СсШе,.Ле 10"4- Ю-5 < 10 <0.025

Оптические кристаллы 10-5-10"7 < 1.0 <0.01

расчётов при АТ равном 0.025 К (см. таблицу 3 и 4). Поэтому эти величины были перенесены в таблицу 5 в качестве рекомендованных требований к аппаратуре для выращивания таких кристаллов. Аналогичным образом заполнены другие ячейки таблицы 5 для других видов кристаллов. В итоге, выполнены количественные оценки о технических характеристиках ростового оборудования для выращивания сложных многокомпонентных кристаллов, в которых величина микроскопической неоднородности состава должна находиться в пределах дС =10"4 - 10~7.

Ввиду многопараметрической и нелинейной зависимости величины микроскопической неоднородности от нестационарных воздействий аппаратуры для получения более достоверных результатов следует выполнять расчёты для каждого материала и установки в отдельности.

Таким образом, решена вторая задача, поставленная в диссертационной работе. Представлена количественная связь между погрешностями в технологическом оборудовании и качеством получаемых кристаллов.

Основные результаты работы

1. Разработана модель выращивания кристаллов методами вертикальной направленной кристаллизации, способная рассчитывать колебания мгновенной скорости роста и образующуюся вследствие этого концентрационную микронеоднородность примеси.

2. На примере кристалла арсенида галлия, легированного кремнием, проведены исследования и расчёты величины концентрационной микронеоднородности, возникающей в кристалле из-за погрешности поддержания температуры в печи и неравномерности перемещения тигля шаговым двигателем.

3. Установлена количественная связь между погрешностями в технологическом оборудовании и концентрационной микронеоднородностью в получаемых кристаллах. А именно:

• Для получения кристаллов с неоднородностью 10"2 - 10°, необходимой в легированных кристаллах, шаг перемещения тигля ДА не должен превышать 100 мкм, а точность поддержания температуры в печи ДТ должна быть не менее 0.25 К;

• Для магнитных и сложных многокомпонентных полупроводниковых кристаллов, где микронеоднородность должна быть порядка 104 - 10"5, шаг ДА должен быть не более 10 мкм, а точность контролирования температуры ДГне менее 0.025 К;

• Для оптических кристаллов, в которых требуемая величина микронеоднородности составляет 10" — 10" , ДА не должен превышать 1 мкм, а ДТ - 0.01 К.

4. На основании выполненных исследований и расчётов даны практические рекомендации по регулированию технологического процесса в существующих установках для уменьшения микроскопической неоднородности в кристаллах. А именно:

• Микроскопическую неоднородность, возникающую от неравномерного перемещения тигля, можно уменьшить за счёт увеличения скорости роста кристалла. Этим приемом можно воспользоваться в тех установках, где перемещение тигля происходит с достаточно большим шагом, например, 50 или 100 мкм.

• Для уменьшения микроскопической неоднородности, возникающей от температурных флуктуаций в печи, необходимо, по возможности, так регулировать температуру, чтобы в спектре температурных флуктуаций не возникали наиболее негативные гармоники, представленные в таблицах 3 и 4.

Литература

1. Гончаров, В. А. Численная схема моделирования задач термоконвекции / В.А. Гончаров, Е.В. Марков // Ж. вычисл. математики и матем. физики - 1999 - Т. 39 - № 1- С. 87-97.

2. Гончаров, В.А. Об одном методе решения задачи Стефана в двухфазной области с неплоской границей / В.А. Гончаров // Ж. вычисл. математики и матем. физики — 2000.- Т. 40 - № 11- С. 1706-1715.

3. Балдина, H.A. Моделирований возникновения аномальной поперечной неоднородности распределения примеси в космических экспериментах по выращиванию кристаллов / НА. Балдина, Б.В Васекин, В.А. Гончаров// Математическое моделирование,- 2009 — Т.21,— № 10,— С.67-75.

4. Scheel, Н. J. Theoretical and technological solution of the striation problem / H. J. Scheel // Journal of Crystal Growth.- 2006 - V.287- № 2,-P.214-223.

5. Гончаров, В.А. Модель неравновесной кристаллизации для численного решения задач выращивания полупроводниковых кристаллов из расплава / В.А. Гончаров, И.В. Азанова, Б.В. Васекин // Изв. ВУЗов. Электроника - 2010 - №5(85) .- С.5-14.

Основные результаты диссертационной работы представлены в следующих публикациях:

1. Балдина H.A., Дормидонтов А.Н. Анализ параллельных алгоритмов расчета уравнения Пуассона в задачах гидродинамики / Микроэлектроника и информатика - 2009. XVI Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция: Тезисы докладов. - М.: МИЗТ, 2009.-С.121.

2. Балдина Н.А, Гончаров В.А, Дормидонтов А.Н. Параллельные алгоритмы в компьютерном моделировании процесса выращивания полупроводниковых кристаллов / Современные информационные технологии и ИТ-образование: сборник трудов; ред. В.А. Сухомлина,-М.: МГУ, 2009,- С. 777-782.

3. Балдина H.A., Гончаров В.А., Дормндонтов А.Н. Применение параллельных алгоритмов решения уравнения Пуассона в модели выращивания полупроводниковых кристаллов / Информационно-управляющие вычислительные системы: алгоритмы, аппаратурные и программные средства: межвузовский сборник; ред. В.А. Бархоткина — М.: МИЭТ, 2011- С. 11-18.Статья.

4. Гончаров В.А., Васекин Б.В., Дормидонтов А.Н. Применение модели неравновесной кристаллизации для решения задачи о выращивании полупроводниковых кристаллов методом Бриджмена / XTV Национальная конференция по росту кристаллов «НКРК-2010». Москва, 6-10 декабря 2010г.- Т.1.- Москва, Россия, 2010 - С.112.

5. Дормидонтов А.Н. Попеременно-треугольный метод для параллельного решения уравнения Пуассона /' Микроэлектроника и информатика - 2010. XVII Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция студентов и аспирантов: Тезисы докладов-М.: МИЭТ, 2010.-С. 143.

6. Дормидонтов А.Н. Моделирование технологических полос роста при выращивании полупроводниковых кристаллов методом Бриджмена / Микроэлектроника и информатика - 2012. 19-я Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция студентов и аспирантов: Тезисы докладов —М.: МИЭТ, 2012 — С. 111.

7. Гончаров В.А., Дормидонтов А.Н. Применение трехслойного попеременно-треугольного метода для решения уравнения Пуассона в математической модели выращивания кристаллов полупроводников / Вестник- Московской государственной академии делового администрирования. Серия: Философские, социальные и естественные науки,-2012,-№3(15) .-С. 154-158. Статья ВАК.

8. Загребин Д.А. Кушников М.С. Дормидонтов А.Н. Оценка влияния нестационарных воздействий аппаратуры на образование микронеоднородностей при выращивании полупроводниковых кристаллов методом Бриджмена / 20-я Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция студентов и аспирантов: Тезисы докладов.- М.: МИЭТ, 2013,- С.137.

9. Гончаров В.А., Дормидонтов А.Н. Численное моделирование влияния нестационарных условий на образование концентрационных полос роста при выращивании кристаллов методом Бриджмена / Изв. ВУЗов. Электроника,-2013,-№6 (104).-С.З-9. Статья ВАК.

10 V.A. Goncharov, A.N. Dormidontov Numerical Simulation of the Effect of NonSteadyState Conditions on the Formation of Concentration Growth Striations when Growing Crystals by the Bridgman Method / Semiconductors.-2014,-V. 48,-№. 13,-P. 1716-1719.

11. Дормидонтов А.Н. Влияние нестационарных воздействий на_ концентрационную микронеоднородность при выращивании кристаллов методом вертикальной направленной кристаллизации / Изв. ВУЗов. Электроника - 2015 - №1 (111). Статья ВАК. Передана в печать.

Подписано в печать:

Заказ № ^ Тираж ^ экз. Уч. -изд. л. 4 ^

Форма 60x84 1/16 Опечатано в типографии ИПК МИЭТ 124498, Москва, г. Зеленоград, проезд 4806, д. 5, МИЭТ.