Моделирование процессов ударного взаимодействия твердого тела с пластинкой с учетом различных свойств ударника и мишени

Локтев, Алексей Алексеевич

Моделирование процессов ударного взаимодействия твердого тела с пластинкой с учетом различных свойств ударника и мишени тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Локтев, Алексей Алексеевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Воронеж МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Моделирование процессов ударного взаимодействия твердого тела с пластинкой с учетом различных свойств ударника и мишени»

Автореферат диссертации на тему "Моделирование процессов ударного взаимодействия твердого тела с пластинкой с учетом различных свойств ударника и мишени"

На правах рукописи

ЛОКТЕВ АЛЕКСЕЙ АЛЕКСЕЕВИЧ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ УДАРНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ПЛАСТИНКОЙ С УЧЕТОМ РАЗЛИЧНЫХ СВОЙСТВ УДАРНИКА И МИШЕНИ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж-2004

Работа выполнена в Воронежском государственном архитектурно-строительном университете

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

профессор Шитикова Марина Вячеславовна

Научный консультант - доктор физико-математических наук

профессор Россихин Юрий Алексеевич

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

профессор Баскаков В.А.

- доктор технических наук профессор Иванченко И.И.

Ведущая организация - Институт автоматики и процессов

управления ДВО РАН

Защита состоится 09.12.2004 в 14— на заседании диссертационного совета К 212.038.04 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская площадь, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан 5 ноября 2004 года Ученый секретарь

диссертационного совета — Ковалев А.В.

Общая характеристика работы

В настоящей диссертационной работе изучается ударное взаимодействие твердых тел и буфера, установленного на пластинке Уфлянда-Миндлина, с учетом упругих и вязкоупругих, изотропных и анизотропных, линейных и нелинейных свойств пластинки и буфера. В качестве метода решения используется лучевой метод и метод сращивания асимптотических разложений, полученных для малых времен в зоне контакта и вне ее.

Задачу о продольном ударе двух стержней впервые рассмотрел Сен-Венан Б.Д., который учел распространение волн в соударяемых телах, но не учитывал местное смятие материалов ударника и мишени. Основной вклад в теорию удара внес гениальный физик Герц Г., который распространил свою задачу о статическом контактном взаимодействии упругих тел на их ударное взаимодействие. Однако он не учитывал в процессе удара колебательные движения тел вне их области контакта. Это сделал Тимошенко С.П. в 1928 году, объединив колебательные движения балки конечной длины с контактной теорией Герца в единую стройную теорию удара. Zener С. в 1941г. обобщил эту задачу на случай балки бесконечной длины. В дальнейшем теория удара типа Тимошенко развивалась для стержней и балок Crook A.W., Yamamoto S.A., Филлиповым А.П., для пластин - Mindlin R.D., Conway H.D, Lee H.C., Уфляндом Я.С., Кильчевским H.A., Филлиповым А.П., и для оболочек -Hammel J., Kenner V.N., Koller M.G., Yang J. C. S. и др. учеными.

Волновой подход к теории поперечного удара был впервые предложен Россихиным Ю.А. и Шитиковой М.В. в 1992 году и получил дальнейшее развитие в последующие годы: решена задача об ударе твердого тела по тонкостенной балке жесткости различного профиля, произведен учет растяжения-сжатия срединной поверхности балок и пластин, изучено влияние отраженных волн от граничных поверхностей пластинки на процесс ударного взаимодействия и т.д.

Актуальность темы. Задачи, связанные с проблемой ударного взаимодействия, имеют широкое практическое значение и успешно решаются в последнее время. Они актуальны как с точки зрения развития фундаментальных разработок по механике твердого деформируемого тела, так и с точки зрения приложений к различным отраслям хозяйственной деятельности человека. С подобными задачами сталкиваются и в строительной индустрии на этапе возведения зданий и сооружений, а также при их эксплуатации в нормальных и экстремальных условиях.

Все более возрастающие потребности инженерной практики заставляют исследователей идти по пути усложнения реологических моделей соударяемых тел и более детального описания характера их ударного взаимодействия, что в свою очередь приводит к созданию более совершенных средств противоударной защиты конструкций и их элементов.

Учет нелинейно упругих, вязкоупругих и анизотропных свойств соударяемых тел обуславливает более точное представление о характере протекания данного процесса.

Перечисленные обстоятельства приобретают важное практическое значение в связи с постоянно расширяющимся применением в строительном производстве композитных материалов, i рос НАЦИОНАЛЬНАЯ 1

БИБЛИОТЕКАI

smrJLл

Несмотря на значительные достижения в решении проблем, связанных с ударным взаимодействием, вопросы учета нелинейности, вязкости и анизотропии, ровно как и использование расчетно-обоснованных средств защиты от удара до последнего времени являются недостаточно хорошо изученными. В связи с вышеизложенным исследования, проведенные в рамках данной работы, по изучению влияния перечисленных факторов на процесс ударного взаимодействия твердых тел и пластинок посредством буфера следует признать весьма актуальными.

Основными целями диссертационной работы являются:

1) исследование ударного взаимодействия твердых тел с пластинками.

2) изучение влияния вязкоупругих свойств материала пластинки на динамические характеристики контактного взаимодействия.

3) учет влияния анизотропии материала пластинки на динамическую контактную силу и прогиб, возникающие в месте ударного взаимодействия.

4) исследование упругих, вязкоупругих и нелинейных свойств буфера, предлагаемого в качестве противоударной защиты.

Научная новизна. В процессе проведения исследований были получены аналитические решения и дан численный анализ следующих задач:

1) об ударном взаимодействии твердого тела и упругого, нелинейно упругого и вязкоупругого буфера, жестко связанного с упругой изотропной пластинкой;

2) об ударном взаимодействии твердого тела и упругого, нелинейно упругого и вязкоупругого буфера, установленного на вязкоупругой изотропной пластинке;

3) об ударном взаимодействии твердого тела и упругого буфера, установленного на упругой ортотропной пластинке.

Достоверность полученных результатов базируется на корректной математической постановке задач. Полученные в работе численные результаты согласуются с общими физическими представлениями. Правильность полученных результатов определяется корректностью математических выкладок и сопоставлением с известными результатами других авторов.

Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы проектными и научно-исследовательскими организациями в процессе проектирования плит, на которые возможно действие ударной нагрузки, и, в частности, при проектировании плит перекрытая, расположенных под лифтовой шахтой.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

- исследование ударного воздействия на буфер, установленный на упругую пластину, твердого тела, проверка локальной прочности пластинки при действии заданной ударной нагрузки;

- исследование влияния линейно упругих, вязкоупругих и нелинейно упругих свойств буфера на динамические характеристики удара;

- изучение влияния вязкоупругих свойств материала пластинки на динамические характеристики контактного взаимодействия;

- учет влияния анизотропии материала пластинки на динамическую контактную силу и прогиб, возникающие в месте ударного воздействия на нее твердого тела.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Воронежского государственного архитектурно-строительного университета в 2003-2004 годах; на семинаре по теоретической и прикладной механике Воронежского государственного технического университета в 2003 году; на Воронежской школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» в 2002 году; на 4-ом Международном симпозиуме по строительству среди аспирантов «4А International Ph.D. Symposium in Civil Engineering" в 2002 году в г. Мюнхен, Германия; на международной конференции «34А Solid Mechanics Conference» в

2002 году в г. Закопане, Польша; на международной конференции по проблемам механики «б"1 International Conference on Vibration Problems 2003» в

2003 году в г. Либерец, Чехия; на 11-й международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» в 2004 году в г. Дубна; на Воронежской школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» в 2004 году; на международной конференции «4-ые Окуневские чтения» в 2004 году в г. Санкт-Петербург; на международной конференции «Days of Diffraction» в 2004 году в г. Санкт-Петербург; на международной летней школе «Advanced Problems in Mechanics - 2004» в 2004 году в п. Репино г.Санкт-Петербург.

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 12 публикациях.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 131 странице машинописного текста, содержит 40 рисунков, 2 таблицы, список использованных источников из 114 наименований.

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе описана предыстория возникновения задачи, связанной с ударным воздействиям твердого тела на буфер, установленный на пластинке. Дана классификация подходов к проблеме удара жесткого тела по тонким телам. Эти подходы отличаются друг от друга силой, действующей в области контакта, и уравнениями движения точек пластинки вне этой области.

В данной работе используется следующий подход: предполагается, что в результате поперечного удара по пластинке в ней распространяются продольные и сдвиговые волны, фронты которых являются поверхностями сильного разрыва. Отметим, что в пластинке поверхности сильного разрыва представляют собой цилиндрические поверхности-полоски, образующие которых параллельны нормали к срединной поверхности, а направляющие, расположенные в срединной плоскости, представляют собой окружности, расширяющиеся с нормальными скоростями (рис.1).

Рис. 1 Схема ударного взаимодействия твердого тела с буфером, установленным на пластинке

Решение за фронтом волны сильного разрыва Е строится при помощи лучевого ряда

И";

*=0л; ' " ~ V V У ч с

где искомая функция, X,= 5 знаки «+» и «-»

относятся к значениям производной , подсчитанным перед волновой поверхностью и за ней соответственно, С7 - нормальная скорость волны 27, Н^-й/О) - единичная функция Хевисайда, я - длина дуги, отсчитываемая вдоль луча, Г-время.

Если время протекания процесса очень мало, то в лучевом ряде (1) можно ограничиться только одним первым членом. В этом случае задача сводится к решению одного нелинейного дифференциального уравнения относительно величины, характеризующей местное смятие материалов пластинки и тела, или относительно контактной силы. Чтобы уточнить и детализировать решение, полученное этим способом, учитывают последующие члены лучевого ряда. Для этого определяющие уравнения контактирующего тонкого тела дифференцируют к раз по времени, записывают на различных сторонах волновой поверхности и берут их разность. Затем используют условие совместности, полученное Россихиным Ю.А., для физических компонент искомых величин

ЭД

да

=-|><*+.>]н

(2)

где ^ - пространственная координата вдоль прямого луча, а остальные две пространственные координаты являются одновременно и поверхностными координатами на волновой поверхности, при этом все три координатные линии являются взаимно ортогональными, <5/Я - (^-производная по времени.

Во второй главе приведены волновые уравнения, описывающие динамическое поведение упругой изотропной, вязкоупругой изотропной и упругой ортотропной пластинок с учетом инерции вращения и деформации поперечного сдвига.

Используя описанную в первой главе процедуру, из уравнений движения получим систему рекуррентных уравнений, которая для упругой изотропной пластинки примет вид:

рО

2 \

8(о,

®С*+1) = 2-

К,ц

8Х.

(3)

1-1

+ вг

-1

где <Ч*)=[Л,(*+1)], Лда^И'ч*)]' Ь=К^М)', г — г<ь+а,р-плотность материала пластинки, г - полярный радиус, г0 - радиус буфера, К = тс1 /12, Е' = Е^ <1- сг2\ Ей а- модуль

упругости и коэффициент Пуассона материала пластинки соответственно, ц -модуль сдвига пластинки, Д - угловая скорость вращения нормали к пластинке в направлении г, IV- скорость поперечных перемещений точек срединной плоскости (скорость прогиба), £> = ЕЙ1У1- цилиндрическая жесткость, (/ = 1,2) -

функции, зависящие от скачков искомых величин £-1 - го и более низких порядков, точка над величинами означает производную по времени.

Для вязкоупругой изотропной пластинки система рекуррентных дифференциальных уравнений записывается следующим образом:

dco.

®(t+i)=+о-Ч>+(°)+bGX^+v»'

ph3G2 ^ 12 D ^

(4)

где Г(0 = £(0 _ ядро релаксации, g (I) - функция релаксации для модели Максвелла, Г (0у ядро релаксации в начальный момент времени.

Аналогичные соотношения для упругой ортотропной пластинки принимают вид:

£2! вг

KG-

®(*+1> = 2"

8а>,

St SX.

+ Gr ^ + brGXik> + Fi(k_ly

(5)

Erar = ЕдО-д, К = 5/6, Dr- жесткость изгиба для направления г, Er, Eg и ar, ae - модули упругости и коэффициенты Пуассона для направлений г, 0 , Gn -модуль сдвига в плоскости rz, и>(г,9) - нормальное перемещение срединной плоскости, <р{г,&) - угол поворота нормали в направлении радиуса г.

В результате решения систем уравнений (3), (4) и (5) находятся с точностью

до произвольных постоянных интегрирования (а = 1,2) разрывы величин ео^у и Xфу которые являются коэффициентами лучевого ряда (1).

Приведем выражения для искомых функций WviQrt виде лучевых рядов: для упругих изотропной и ортотропной пластинок

o=I*=О (

celtЫ>

SX™

(6)

(Уа) Н<Уа% (7)

для вязкоупругой изотропной пластинки (приводим только Qr, а W определяется формулой (6))

2 » , Н

к!

айМ"' i=0

<Г>

№

<ри_

<н>

Гфу^с^н^у (8)

где уа =t-(r-r0y}^ величины ta^ и SX^jst подсчитываются

приУсгО, (=0, индекс а указывает на порядковый

номер волны: а-1 - квазипродольная волна, а =2 - квазипоперечная, G(1) = (£'/p)1/2 и GiT> = (Kfj/p~jn- для упругой изотропной и вязкоупругой

пластинок, G(1)=(Br/p)I/2 и G<2) = (AG„/p)I/2- для ортотропной пластинки, упругие модули, входящие в формулу (8), являются нерелаксированными.

Полученные лучевые ряды и скачки искомых величин используются в последующих главах при решении задач об ударном воздействии твердого тела на буфер, установленный на пластинке.

В третьей главе рассматривается ударное взаимодействие твердого тела с буфером, жестко связанным с упругой изотропной пластиной.

Для определения двух наборов постоянных интегрирования

<£> (а = 1,2)(А: = 0,1,2,...), входящих в выражения (6) и (7), необходимо учесть С*)

условия динамического контакта, а именно: уравнение движения шара

т а+ wj = -/>(i), (9а)

уравнение движения контактного пятна, которое движется как жесткое целое

Mw = 2xr0Qr + P(t), (96)

условие непрерывности тангенса угла наклона касательной при переходе через границу области контакта

ЭИ73гЦ=0, (9в)

начальные условия

W\l=0=0, a|,=0=F0, (9г)

где пик - перемещения верхнего и нижнего концов буфера соответственно, М = рИлгц - масса контактного пятна.

Выражения для контактной силы P(t), входящей в уравнения (9а,б), зависят от свойств буфера и определяются так: для линейно упругого буфера

P(t)=Et(a-w), (10а)

дня вязкоупругого буфера:

P(0=^(a-н')-£irf^ J[a(/')-W(0]exp^- , (106)

для нелинейно упругого буфера

P(t)= Ei (а - w)+E2 (a - и-)3, (10в)

где Ei и Е2 - упругие модули буферной пружины, Т\ - время релаксации буферного демпфера.

Чтобы привести в соответствие число произвольных постоянных (их два набора) и число уравнений (их три - (9а,б,в)), необходимо ввести еще один

набор неизвестных постоянных, представив величину а (Г) в виде

(И)

где а, 0 = 1,2,...) - пока неизвестные константы.

Подставляя формулы (6), (7) и (11) в уравнения (9а-в), учитывая одно из выражений (10а) или (106), или (10в) и приравнивая в полученных выражениях коэффициенты при одинаковых степенях ¡, найдем на каждом шаге три алгебраических уравнения для определения трех неизвестных констант: две константы при каждом t входят в лучевые ряды W к QrV^ одна константа при каждом Г содержится в выражении (11). Зная перечисленные константы, можно определить контактную силу, которая записывается с точностью до г5 в следующем безразмерном виде: для упругого буфера

Р(0=у

Е .

лИ

Е_ лй

1 +

для вязкоупругого буфера

(12)

. Е „,?3 £[, С*2) *--=(т+2у—V—- 1+——

т4

лй

6яУ» '

1 -2 —г+-

1 ГЗ

ЪтхлИ

7£

, .(м+2)+

т,лИ

С®

2Т|

(13) 15 Г

для нелинейно упругого буфера РСО=к

- 5 где <=-Р =

го

О0)

г1=-

го - _

На рис. 2 исследована зависимость безразмерной контактной силы от безразмерного времени и безразмерных параметров, входящих в выражения (12-14). На рис.2а приведены зависимости максимальной контактной силы от безразмерного параметра Л при различных значениях безразмерной скорости удара V, указанных цифрами у кривых, при этом сплошной линией показаны значения максимальной контактной силы для стальной пластинки, а пунктиром - для алюминиевой. Рис.2б,в иллюстрируют зависимость контактной силы от времени при разных значениях безразмерных параметров Лиг, соответственно. На рис. 2г изображена нелинейная зависимость максимальной контактной силы от скорости удара: кривая 1 подсчитана при К = 70.67 10"6,

кривая 2- К = 5.65-КГ6, кривая 3 - К = -0.85• Ю-6, кривая 4 - # = -1.59Ю-6 (эта кривая соответствует линейно упругому буферу), кривая 5 -К = -7.67 10"6, кривая 6 - К = -72.60 • 10"6.

Как показали исследования, максимум контактной силы увеличивается при увеличении безразмерного параметра А, скорости удара V и плотности материала пластинки (рис.2а). При воздействии на пластинку массивного тела (т <к 1) контактная сила увеличивается, при воздействии легкого тела значение контактной силы уменьшается по сравнению с кривой, соответствующей равным массам кошгактной области и ударника (рис.2б). Максимальная безразмерная контактная сила уменьшается с уменьшением безразмерного времени релаксации, при неограниченном увеличении этой характеристики кривая контактной силы приближается к кривой, которая соответствует максимальной контактной силе линейно упругого буфера (рис.2в). При увеличении К (для жестких нелинейных характеристик буфера) максимум контактной силы увеличивается, а при уменьшении К (для мягких нелинейных характеристик буфера) уменьшается по сравнению с максимумом для линейно упругого буфера (рис.2г).

40 60 Время 1

В четвертой главе рассматривается ударное взаимодействие твердого тела с буфером, установленным на вязкоупругой изотропной пластине. Здесь также, как и в предыдущей главе, рассматриваются линейно упругий, вязкоупругий и нелинейно упругий буферы.

Для определения неизвестных постоянных с^ (а = 1,2X^ = 0,1,2,...) и

«, (/ = 1,2,...), которые входят в соотношения (6), (8) и (11), нужно подставить эти соотношения в уравнения (9а-в) и учесть одно из выражений для контактной силы. Приравнивая в полученных выражениях коэффициенты при одинаковых степенях можно найти все неизвестные постоянные и записать контактную силу до /5 в следующем безразмерном виде: для упругого буфера

нп-у ,--!<а+2)!+-§

_± Г1+с Л у +

для вязкоупругого буфера

1 +

е<1>

Ё бтгА

(т + 2)

(15)

рц )= V ] I - + 2^— + Дг \ жк 6 жк

1 +

сР>

г4

Е_ жк

1 +

дС^ С0)

--(от + 2)--г-

Ъгхжк ' 2т\

1 +

сР> С0)

-Л(й + 2)2

Ьжп

1 -2 1

---г +

ЗА2

(16)

ТЕ „ч £

, - (от + 2)+--

8г, я-А т,я-А

1 +

С(2)

для нелинейно упругого буфера

Р(0=у

жк

о®

Е_ жк

О®

с(1>

+(т+2)К

(17)

где# = Г(0)^

безразмерный параметр вязкости пластинки.

На рис.За показана зависимость контактной силы от времени для различных значений параметра вязкости пластинки §, которые указаны цифрами у кривых. Остальные параметры принимают следующие значения: /й=25, сг= 0.3, Л=1, £=1.110"6, Й=8.510"3. На рис. 36 изображена зависимость максимальной контактной силы от времени релаксации буфера для разных §: кривая 1 соответствует £ = 0.02, кривая 2 - £ = 2, кривая 3 - § = 5, цифрами у пунктирных линий указаны значения соответствующей максимальной контактной силы для линейно упругого буфера, установленного на вязкоупругой пластинке. На рис. Зв изображена зависимость максимальной контактной силы от обобщенного параметра нелинейно упругого буфера для

разных параметров вязкости пластинки кривая 1 подсчитана при ¿ = 0.02, кривая 2 - # = 2, кривая 3 - § = 5, кривая 4 - § = 10, кривая 5 - § = 20. На рис. Зг показана нелинейная зависимость максимальной контактной силы от скорости удара при К-70.67-10"6: кривая 1 подсчитана при § = 0, что соответствует упругой пластинке, кривая 2 - £ = 0.5, кривая 3 - £ = 6, кривая 4 - £ = 10, кривая 5 -# = 15.

Из рис. За,б можно увидеть, что максимальная контактная сила уменьшается с увеличением безразмерного параметра вязкости пластинки. При неограниченном уменьшении # кривая контактной силы бесконечно близко приближается к кривой в случае упругой пластинки. Из рис. 36 также видно, что максимальная контактная сила уменьшается и с уменьшением безразмерного времени релаксации буфера, при неограниченном увеличении г, кривая контактной силы стремится к кривой для линейно упругого буфера. Из рис. Зв видно, что с уменьшением обобщенного параметра нелинейно упругого буфера контактная сила уменьшается. Как следует из рис. Зв,г, при увеличении параметра # максимальные значения контактной силы уменьшаются для любых К, и характеристика нелинейности смягчается.

8 10

У-Ю'

Для мягких нелинейных характеристик (К<-1.5910"6) максимальная контактная сила уменьшается, для жестких характеристик (К>-1.59-10"6) максимальная контактная сила увеличивается по сравнению с контактной силой для линейно упругого буфера, которому соответствует значение К = -1.59-10"6.

В пятой главе рассматривается задача об ударном воздействии на линейно упругий буфер, установленный на упругой ортотропной пластинке. После решения системы (5) и определения независимых постоянных, можно записать динамический прогиб (6) и контактную силу (7) в следующем безразмерном ввде:

. - ЕУ

со>

1 + -

жк

(1Й + 2)

120

2Е

яЬ

1 + -

,<2) ¿О

(т + 4)- 4

1 +

С<2> 0С)

+ — 4

(

1 +

с«»)+

(18)

120^

7(2)3

-,(2)2

ч ос(2)

Е,

С0)

1-Л(т + 2)^ + Л

жН о тгИ

\, С^У4 Ё J 6 я-А

Ал

Е ЪЙж

Ч2)2

А2С(1)2

1 +

(т + 2)+±

1 +

V \-1

со]

_1_ 48

1 +

СС) С/**,

720

(19)

где и»

«чо ¡щ

()~ г0 "

(2)

Ег

,Е

С®)

Ег В,

На рис.4а приведены зависимости максимального прогиба от соотношения Ед1Ег для различных значений Ё: кривая 1 - ¿=3.4-10"4, кривая 2 - ¿=2.3-10"6, кривая 3 - £'=1.1-10"6, другие параметры в расчетах принимают следующие значения: я/=25, А=1, К=8.510"3. На рис. 46 показаны зависимости максимального прогиба от соотношения скоростей скачков сильного разрыва

(3(2)/С*1-1, которое пропорционально отношению Оп/Егь для различных значений Ед/Ег, указанных цифрами у кривых.

Анализируя рис. 4а,б, можно сделать вывод об уменьшении максимального прогиба при увеличении соотношений Ев/Ег и , а

также о том, что максимальный прогиб увеличивается при увеличении линейной жесткости буфера Ё.

Основные результаты и выводы диссертационной работы

1. Метод, предложенный в данной работе, хорошо приспособлен для описания кратковременных процессов, каковым и является процесс ударного взаимодействия.

2. Буфер значительно снижает контактную силу по сравнению с контактной силой Герца, возникающей при непосредственном ударном взаимодействии тела и пластинки.

3. Максимальная контактная сила при изменении времени релаксации вязкоупругого буфера от 0 до оо увеличивается от 0 до величины, соответствующей контактной силе для линейно упругого буфера.

4. Нелинейные свойства буфера могут как увеличивать максимальную контактную силу (при жесткой характеристике нелинейности), так и уменьшать ее (при мягкой характеристике нелинейности) по сравнению со значением для линейно упругого буфера.

5. Вязкоупругие свойства буфера доминируют в начале процесса ударного взаимодействия тела с вязкоупругой пластинкой, а вязкость пластинки включается в конце первой половины процесса взаимодействия, при подходе контактной силы к своему максимуму.

6. При увеличении параметра вязкости пластинки максимальные значения контактной силы уменьшаются при любых нелинейных характеристиках буфера, т.е. жесткая характеристика нелинейности смягчается, а мягкая становится еще более мягкой.

7. Если показатель анизотропии Ед/Ег<1, то зависимость контактной силы и динамического прогиба от времени располагаются выше соответствующих кривых для изотропной пластинки, если же Ед/Ег> 1 - то ниже. Анизотропия в плоскости пластинки влияет на динамические характеристики значительнее, чем анизотропия в направлении, перпендикулярном плоскости пластинки.

8. Задачи, изложенные в данной работе, допускают более широкую трактовку в своей постановочной части, а именно, буфер можно располагать не на пластинке, а присоединять к твердому телу; результаты исследования от этого не изменятся, зато свойства буфера перейдут к материалу ударника.

Публикации по теме диссертации

1 Локтев А.А Расчет тонкой плиты на ударное воздействие / Ю А Россихин, М В. Шишкова, А А Локтев // Сб. науч тр Международной школы-семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики» Артемов М.А (ред) - Воронеж- ВГУ. -2002 - С 622-634.

2 Локтев А А Расчет вязкоупругой пластинки на ударное воздействие / Ю А Россихин, М В Шитикова, А А Локтев // Объединенный научный журнал - 2003 - № 20(78)-С. 60-67.

3 Локтев А.А. Удар шара по вязкоупругой пластинке с учетом упругого буфера / ЮА Россихин, MB Шитикова, А.А. Локтев // Сб. науч. тр. «Физика и технология», ГоловинскийП.А (ред).-Воронеж.-2003.-С. 123-131.

4. Локтев А А Удар шара о нелинейный буфер, установленный на упругую пластинку / А А Локтев, Ю А Россихин, М В Шитикова // Тезисы докладов 11-й межд. конференции «Математика Компьютер. Образование», г Дубна, 26-31 янв 2004т, ГЮ Резниченко (ред), R&C Dynamics, Москва-Ижевск. - С.114.

5. Локтев А А Удар твердого тела о трансверсально изотропную пластинку посредством буфера / Ю.А. Россихин, MB. Шитикова, А.А. Локтев // Сб. науч тр Международной школы-семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики» - Воронеж ВГУ -2004 -С. 424-427.

6 Локтев А А Расчёт предварительно напряженной плиты на ударное воздействие и способы ее зашиты / ЮА Россихин, М.В Шишкова, А А. Локтев // Тезисы докладов Международной конференции «Четвертые Окуневские чтения» - Санкт-Петербург. - 2004 -С. 118.

7 Локтев А.А. Удар шара о нелинейно упругий буфер, установленный на плите перекрытия / Ю.А Россихин, М В Шитикова, А.А. Локтев // Известия вузов. Строительство. -2004.11 -С. 16-22.

8 Loktev A A The analysis of thin-walled building structures subjected to impact excitation / Yu A Rossikhin, M V. Shitikova, A.A Loktev // Proceedings of the 4th International PhD Symposium in Civil Engineering, P. SchieSI, N. Gebbeken, M. Keuser, and K. Zilch, editors, Munich, Germany. - 2002. - Vol. 1. - P.487-492.

9. Loktev A.A Account of shock action on thin-walled building constructions / Yu.A. Rossikhin, M.V Shitikova, A.A Loktev // Proceedings of the 34л Solid Mechanics Conference, K. Sobczyk, editor,Zakopane,Poland. -2002. - Vol.1.-P 167

10 Loktev A A The analysis of a thin viscoelastic plate subjected to impact excitation / A.A. Loktev, Yu A. Rossikhin, M V. Shitikova // Proceedings of the 6th International Conference on Vibration Problems ICOVP-2003, Liberec, Czech Republic. - 2003 - P.40-41.

11 Loktev A A. Impact of a sphere upon an elastic buffer embedded onto an elastic transversely isotropic plate / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova, A.A Loktev // Abstracts of the International Seminar «Days of Diffraction 2004», June 29-July 2,2004, Saint Petersburg - P 64

12 Loktev A A Impact of a sphere upon a viscoelastic buffer embedded onto a visoelastic plate / Yu.A Rossikhin, M V Shitikova, A.A. Loktev // Book of Abstracts of XXXII Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics», June 24-July 1,2004, Saint Petersburg (Repino). - P. 88.

Подписано в печать 02.11.2004. Формат 60x84 1/16. Уч.-изд. л. 1,0 Усл.-печ. 1,1. Бумага писчая. Тираж 100 экз. Заказ № 530

Отпечатано в отделе оперативной полиграфии Воронежского государственного архитектурно - строительного университета, 394006, Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84

I i

(

0-226$

РНБ Русский фонд

2005-4 48528

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Локтев, Алексей Алексеевич

ВВЕДЕНИЕ.

1. УДАРНЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ НА СТЕРЖНИ, БАЛКИ, ПЛАСТИНКИ И ОБОЛОЧКИ (ОБЗОР)

1.1. Введение.

1.2. Описание подходов к решению задач ударного взаимодействия.

1.3. Выводы.

2. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ЛУЧЕВОГО МЕТОДА

2.1. Метод решения.

2.2. Рекуррентные соотношения лучевого метода для упругой изотропной пластинки.

2.3. Рекуррентные соотношения лучевого метода для вязкоупругой изотропной пластинки.

2.4. Рекуррентные соотношения лучевого метода для упругой ортотропной пластинки.

2.5. Выводы по второй главе.

3. УДАРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА И УПРУГОЙ ИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ ЧЕРЕЗ БУФЕР

3.1. Постановка задачи.

3.2. Удар твердого тела по изотропной упругой плите через упругий буфер.

3.2.1. Решение системы определяющих уравнений.

3.2.2. Численный анализ.

3.3. Удар твердого тела по изотропной упругой плите через вязкоупругий буфер.

3.3.1. Постановка задачи.

3.3.2. Решение системы определяющих уравнений.

3.3.3. Численный анализ.

3.4. Удар твердого тела по изотропной упругой плите через нелинейно упругий буфер.

3.4.1. Постановка задачи.

3.4.2. Решение системы определяющих уравнений.

3.4.3. Численный анализ.

3.5. Выводы по третьей главе.

4. УДАРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА С УПРУГОЙ ИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКОЙ ЧЕРЕЗ БУФЕР

4.1. Постановка задачи.

4.2. Удар твердого тела по изотропной вязкоупругой плите с учетом упругого буфера.

4.2.1. Решение системы определяющих уравнений.

4.2.2. Численный анализ.

4.3. Удар твердого тела по изотропной вязкоупругой плите с учетом вязкоупругого буфера.

4.3.1. Решение системы определяющих уравнений.

4.3.2. Численный анализ.

4.4. Удар твердого тела по изотропной вязкоупругой плите с учетом нелинейно упругого буфера.

4.4.1. Решение системы определяющих уравнений.

4.4.2. Численный анализ.

4.5. Выводы по четвёртой главе.

5. УДАРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА С УПРУГОЙ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКОЙ ЧЕРЕЗ БУФЕР

5.1. Постановка задачи.

5.2. Решение системы определяющих уравнений.

5.3. Численный анализ.

5.4. Выводы по пятой главе.

Введение диссертация по механике, на тему "Моделирование процессов ударного взаимодействия твердого тела с пластинкой с учетом различных свойств ударника и мишени"

В настоящей диссертационной работе изучается ударное взаимодействие твердых тел с пластинками Уфлянда-Миндлина посредством буфера с учетом упругих и вязкоупругих, изотропных и анизотропных, линейных и нелинейных свойств пластинки и буфера. В качестве метода решения используется лучевой метод, а также метод сращивания асимптотических разложений, полученных для малых времен в зоне контакта и вне ее.

Задачу о продольном ударе двух стержней впервые рассмотрел Сен-Венан Б.Д. [106], который учел распространение волн в соударяемых телах, но не учитывал местное смятие материалов ударника и мишени. Основной вклад в теорию удара внес гениальный физик Герц Г., который распространил свою задачу о статическом контактном взаимодействии упругих тел на их ударное взаимодействие. Однако он не учитывал в процессе удара колебательные движения тел вне их области контакта. Это сделал Тимошенко СЛ. в 1928 году, объединив колебательные движения балки конечной длины с контактной теорией Герца в единую стройную теорию удара. Zener С. [113] в 1941г. обобщил эту задачу на случай балки бесконечной длины. В дальнейшем теория удара типа Тимошенко развивалась для стержней и балок [15,26,30,44,53,100,98,109,111], пластин [4,8,14,15,25,31,47,48,51,54,80,83] и оболочек [22,49,60,66,67,69,112].

Волновой подход к теории поперечного удара был впервые предложен Россихиным Ю.А. и Шитиковой М.В. в 1992 году [83] и получил дальнейшее развитие в последующие годы [14,15,98]: решена задача об ударе твердого тела по тонкостенной балке жесткости различного профиля [98], произведен учет растяжения-сжатия срединной поверхности балок и пластин [15,98], изучено влияние отраженных волн от граничных поверхностей пластинки на процесс ударного взаимодействия и т.д.

Учет вязкоупругих и анизотропных свойств соударяемых тел в процессе удара обуславливает более точное представление о характере протекания данного процесса.

Несмотря на значительные достижения в решении проблем, связанных с ударным взаимодействием, вопросы учета вязкости и анизотропии, ровно как и использование расчетно-обоснованных средств защиты от удара до последнего времени являются недостаточно хорошо изученными. В связи с вышеизложенным исследования, проведенные в рамках данной работы, по изучению влияния перечисленных факторов на процесс ударного взаимодействия твердых тел и пластинок посредством буфера следует признать весьма актуальными.

Основными целями диссертационной работы являются:

1) исследование ударного взаимодействия твердых тел с пластинками посредством буфера.

1) об ударном взаимодействии твердого тела с упругой изотропной пластиной посредством упругого, вязкоупругого и нелинейно упругого буфера;

2) об ударном взаимодействии твердого тела с вязкоупругой изотропной пластиной посредством упругого, вязкоупругого и нелинейно упругого буфера;

Достоверность полученных результатов базируется на корректной математической постановке задач. Полученные в работе численные результаты согласуются с общими физическими представлениями. Правильность работы определяется правильными математическими выкладками и сопоставлением результатов работы с известными результатами других авторов.

Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы проектными и научно-исследовательскими организациями в процессе проектирования плит, на которые возможно действие ударной нагрузки, и, в частности, при проектировании плит перекрытия, расположенных под лифтовой шахтой.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

- исследование ударного воздействия на упругую пластину твердого тела посредством буфера, проверка локальной прочности пластинки при действии заданной ударной нагрузки;

- изучение влияния вязкоупругих свойств материала пластинки и вязких свойств буфера на динамические характеристики контактного взаимодействия;

- учет влияния анизотропии материала пластинки на динамическую контактную силу и прогиб, возникающие в месте ударного воздействия на нее твердого тела посредством упругого буфера;

- исследование линейно упругих и нелинейно упругих свойств буфера, предлагаемого в качестве противоударной защиты, на динамические характеристики удара.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных конференциях профессорскопреподавательского состава Воронежского государственного архитектурностроительного университета в 2003-2004 годах; на семинаре по теоретической и прикладной механике Воронежского государственного технического университета в 2003 году; на Воронежской школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» в 2002 году; на 4-ом th

Международном симпозиуме по строительству среди аспирантов «4 International Ph.D. Symposium in Civil Engineering" в 2002 году в г. Мюнхен, Германия; на международной конференции «34th Solid Mechanics Conference» в

2002 году в г. Закопане, Польша; на международной конференции по fh проблемам механики «6 International Conference on Vibration Problems 2003» в

2003 году в т. Либерец, Чехия; на 11-й международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» в 2004 году в г. Дубна; на Воронежской школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» в 2004 году; на международной конференции «4-ые Окуневские чтения» в 2004 году в г. Санкт-Петербург; на международной конференции «Days of Diffraction» в 2004 году в г. Санкт-Петербург; на международной летней школе «Advanced Problems in Mechanics - 2004» в 2004 году в п. Репино г.Санкт-Петербург.

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 12 публикациях.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

Основные результаты и выводы диссертационной работы состоят в следующем:

1) Метод, предложенный в данной работе, хорошо приспособлен для описания кратковременных процессов, каковым и является процесс ударного взаимодействия, он позволяет определить все динамические характеристики взаимодействия, которые представляются в виде отрезков лучевых рядов с известными с точностью до произвольных постоянных коэффициентами. Эти ряды могут использоваться при решении широкого спектра задач об ударном воздействии на упругую изотропную, вязкоупругую изотропную и упругую ортотропную пластинки.

2) Буфер значительно снижает контактную силу по сравнению с контактной силой Герца, возникающей при непосредственном ударном взаимодействии тела и пластинки.

3) Максимальная контактная сила при изменении времени релаксации вязкоупругого буфера от 0 до со увеличивается от 0 до величины, соответствующей контактной силе для линейно упругого буфера.

4) Нелинейные свойства буфера могут как увеличивать максимальную контактную силу (при жесткой характеристике нелинейности), так и уменьшать ее (при мягкой характеристике нелинейности) по сравнению со значением для линейно упругого буфера.

5) Вязкоупругие свойства буфера доминируют в начале процесса ударного взаимодействия тела с вязкоупругой пластинкой, а вязкость пластинки включается в конце первой половины процесса взаимодействия, при подходе контактной силы к своему максимуму.

6) При увеличении параметра вязкости пластинки максимальные значения контактной силы уменьшаются при любых нелинейных характеристиках буфера, т.е. жесткая характеристика нелинейности смягчается, а мягкая становится еще более мягкой.

7) Если показатель анизотропии Ев/Ег< 1, то зависимость контактной силы и динамического прогиба от времени располагаются выше соответствующих кривых для изотропной пластинки, если же Ев/Ег> 1 - то ниже. Анизотропия в плоскости пластинки влияет на динамические характеристики значительнее, чем анизотропия в направлении, перпендикулярном плоскости пластинки.

8) Задачи, изложенные в данной работе, допускают более широкую трактовку в своей постановочной части, а именно, буфер можно располагать не на пластинке, а присоединять к твердому телу; результаты исследования от этого не изменятся, зато свойства буфера перейдут к материалу ударника.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Локтев, Алексей Алексеевич, Воронеж

1. v Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин / С.А. Амбарцумян М.:1. Наука, 1987.-360с.

2. Альбом заданий на проектирование строительной части лифтовых установок. AT 7.01.- 001 А.

3. Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости / Д. Бленд М.: Мир. - 1965. -199с.

4. Гольдсмит В. Удар. Теория и физические свойства соударяемых тел / В. Гольдсмит М.: Изд.-во литер, по стр.-ву. - 1965. - 448с.

5. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия / К. Джонсон М.: Мир. - 1989.-509с.

6. Зукас Д.А. Динамика удара / Д.А. Зукас, Т. Николас, Х.Ф. Свифт, Л.Б. Грещук, Д.Р. Куран М.:Мир. - 1985. - 296с.

7. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке М.: Глав. изд. физ.-мат. лит. - 1971. - 456с.

8. Кильчевский Н.А. Теория соударения твёрдых тел / Н.А. Кильчевский -Киев: Наук. Думка. 1969. - 246с.

9. ОСТ 22-125-80. Пружины винтовые цилиндрические сжатия и растяжения из стали круглого сечения для лифтов М.: 1980. - 25с.

10. Правила устройства и безопасной эксплуатации лифтов. ПБ 10-06-92 М. 1992.-34с.

11. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций / Ю.Н. Работнов М.: Наука. - 1966. - 752с.

12. Россихин Ю.А. Удар жёсткого шара по упругому полупространству / Ю.А. Россихин // Прикладная механика. 1986. - Т.22, N5. - С. 15-21.

13. Россихин Ю.А. К задаче об ударном взаимодействии упругого стержня с пластинкой Уфлянда-Миндлина / Ю.А. Россихин, М.В. Шитикова // Прикладная механика.-1993 Т. 29, №2- С.39-46.

14. Россихин Ю.А. Удар упругого шара по балке Тимошенко и пластинке Уфлянда-Миндлина с учётом растяжения срединной поверхности/ Ю.А. Россихин, М.В. Шитикова // Известия вузов. Строительство. 1996. - № 6 -С.28-34.

15. Россихин Ю.А. Расчёт вязкоупругой пластинки на ударное воздействие / Ю.А. Россихин, М.В. Шитикова, А.А. Локтев // Объединенный научный журнал. 2003. - № 20(78) - С. 60-67.

16. Россихин Ю.А. Удар шара по вязкоупругой пластинке с учетом упругого буфера / Ю.А. Россихин, М.В. Шитикова, А.А. Локтев // Сб. науч. тр. Физика и технология, Головинский П.А. (ред). Воронеж. - 2003. - С. 123131.

17. Россихин Ю.А. Расчёт предварительно напряженной плиты на ударное воздействие и способы ее защиты / Ю.А. Россихин, М.В. Шитикова, А.А. Локтев // Тезисы докладов Международной конференции «Четвертые Окуневские чтения» Санкт-Петербург. - 2004. - С. 118.

18. Россихин Ю.А. Удар шара о нелинейно упругий буфер, установленный на плите перекрытия / Ю.А. Россихин, М.В. Шитикова, Локтев А.А. //

19. Известия вузов. Строительство. 2004. - № 11 -С. 16-22.

20. Сеницкий Ю.Э. Удар вязкоупругого тела по пологой сферической оболочке / Ю.Э. Сеницкий 7/ Механика твердого тела. — 1982. №2. -С.138-143.

21. СНиП 2.03.01.-84* Бетонные и железобетонные конструкции М.: Госстрой. 1989г.

22. СНиП 2.03.01.-84* Нагрузки и воздействия М.: Госстрой. 1999г.

23. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле / С.П. Тимошенко М.: Физматгиз, 1959.-439с.

24. Тимошенко С.П. Теория упругости / С.П. Тимошенко, Дж. Гудьер М.: Наука, 1979. - 560с.

25. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твёрдых телах / Т. Томас -М.:Мир. 1964. -308с.

26. Уфлянд Я.С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин/ Я.С. Уфлянд // Прикладная математика и механика. 1948. -Т. 12, №3 - С. 287-300.

27. Филиппов А.П. Поперечный упругий удар тяжелым телом по круглой плите/ А.П. Филиппов // Механика твердого тела. 1971. - № 6 - С. 102109.

28. Филиппов А.П. Поперечный удар по стержню при учете инерции вращения и сил перерезывания / А.П. Филиппов, В.А. Скляр // Прикладная механика. 1968. - Т. 4, № 7. - С. 1-7.

29. Филиппов А.П. Упругий поперечный удар по прямоугольной пластине с учетом инерции вращения и поперечного сдвига / А.П. Филиппов, В.А. Скляр // Динамика и прочность машин, Республик, межвед. темат. научн,-техн. сб. 1971. - Вып. 14 - С. 12-19.

30. Шитикова М.В. Лучевой метод в задачах динамического контактного взаимодействия упругих тел / М.В. Шитикова // Автореф. диссертации на соискание степени доктора физ.-мат. наук., БГУ, Минск. 1994.

31. Abrate, S. Impact on laminated composite materials / S. Abrate // Applied Mechanics Reviews. -1991. Vol. 44, № 4 - P.l55-190.

32. Abrate S. Impact on laminated composites: recent advances / S. Abrate // Applied Mechanics Reviews. 1994. - Vol. 47, № 11. - P.517-544.

33. Abrate S. Localized impact on sandwich structures with laminated facing / S. Abrate // Applied Mechanics Reviews. 1997. - Vol. 50, № 2 - P.69-82.

34. Abrate S. Impact on composite structures / S. Abrate // Cambridge University1. Press.- 1998.-316 p.

35. Abrate S. Modelling of impact on composite structures / S. Abrate // Composite Structures. 2001. - Vol. 51. - P.129-138.

36. Achenbach J.D. Note on wave propagation in linear viscoelastic media / J.D. Achenbach, D.P. Reddy // Z. Angew. Math. Phys. 1967. - V.18. - P.141-144.

37. Akiyoshi C. Strength analysis under impact (in Japanese) / C. Akiyoshi // Science of Machine. 1989. - Vol. 41, № 9 - P.69-74.

38. Al-Mousawi M.M. On experimental studies of longitudinal and flexural wave propagations: an annotated bibliography / M.M. Al-Mousawi // Applied Mechanics Reviews. 1986. - Vol. 39, №6. - P.853-864.

39. Bachrach W.E Mixed finite element method for composite cylinder subjected to impact / W.E. Bachrach, R.S. Hansen // AIAA Journal. 1989. - Vol. 27, № 5 -P.632-638.

40. Backman M.E. The Mechanics of penetration of projectiles into targets / M.E. Backman, W. Goldsmith // International Journal of Engineering Sciences. -1978.- Vol. 16- P. 1-99.

41. Balandin D.V. Optimal protection from impact and shock: theory and methods / D.V. Balandin, N.N. Bolotnik, W.D. Pilkey // Applied Mechanics Reviews.v 2000. Vol. 53, № 9. - P.23 7-264.

42. Barnhart K.E. Stresses in beams during transverse impact / K.E. Barnhart, W. Goldsmith//Journal of Applied Mechanics. 1957. - Vol.24.- P.440-446.

43. Cairns D.S. Transient response of graphite / epoxy and Kevlar / epoxy laminates subjected to impact / D.S. Cairns, P.A. Lagace // AIAA Journal. 1989. - Vol. 27, № 11.- P. 1590-1596.

44. Cantwell W.J. The impact resistance of composite materials a review / WJ. Cantwell, J. Morton // Composites. - 1991. - Vol.22, № 5. - P.347-362.

45. Chattopadhyay S. Permanent indentation effects on the impact response of elastic plates / S. Chattopadhyay // Journal of the Acoustical Society of America.- 1987. Vol. 82, № 2 - P.493-497.

46. Chattopadhyay S. Combined effects on shear deformation and permanent indentation on the impact response of elastic plates / S. Chattopadhyay, R. Saxena // International Journal of Solids and Structures. 1991. - Vol. 27, № 13.- P.1739-1745.

47. Christoforou A.P. Analysis of simply-supported orthotropic cylindrical shells subjected to lateral impact loads / A.P. Christoforou, S.R. Swanson // Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. 1990. - Vol. 57, № 2. -P.378-382.

48. Conway H.D The impact between a rigid sphere and a thin layer / H.D. Conway, H.C. Lee // Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics.- 1970. Vol.37, №1. -P.159-162.

49. Conway H.D. Impact of an indenter on a large plate / H.D. Conway, H.C. Lee // Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. 1970. - Vol.37, № 1. -P.234-235.

50. Corbett G.G. Impact loading of plates and shells by free-flying projectiles: a review / G.G. Corbett, S.R. Reid, W. Johnson // International Journal of Impactч Engineering.-1996.-Vol.18, № 2.-P.141-230.

51. Crook A.W. A study of some impacts between metal bodies by a piezo-electric method / A.W. Crook // Proceedings of the Royal Society, Ser. A. Mathematical and Physical Sciences. -1952. Vol. A 212, №1110.- P.377-390.

52. Demiray H. Impact of nonlocal thin elastic plates by a cylindrical projectile / H.

53. Demiray, A.C. Eringen // International Journal of Engineering Science. 1978. -Vol.16.-P.905-916.

54. Deng L. Nonlinear dynamic response of the circular plates under impact of a mass (in Chinese) / L. Deng, T. Ye// Acta Mechanica Sinica. 1990. - Vol. 22, № 4. - P.420-428.

55. Dobyns A.L. Analysis of simply-supported orthotropic plates subject to static and dynamic loads / A.L. Dobyns // AIAA Journal. 1981. - Vol.19, №5. -P.642-650.

56. Evans G.R. A new numerical method for the calculation of impact forces / G.R. Evans, B.C. Jones, A.J. McMillan, M.I. Darby // Journal of Physics D: Applied Physics. 1991. - Vol. 24, №6. - P.854-858.

57. Fisher H.D. The impact of an elastic sphere on a thin elastic plate supported bya Winkler foundation / H.D. Fisher // Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. 1975.- Vol. 42, №1. - P. 133-135.

58. Goo N.S. Dynamic contact analysis of laminated composite plates under low-velocity impact / N.S. Goo, S.J. Kim // AIAA Journal. 1997. - Vol. 35, № 9. -P.1518-1521.

59. Hammel J. Aircraft impact on a spherical shell / J. Hammel // Nuclear Engineering and Design. 1976. - Vol. 37, № 2. - P.205-223.

60. Huang W. The dynamic response of an elastic circular plate on a viscoelastic Winkler foundation impacted by a moving rigid body / W. Huang, Y.-D. Zou //ч JSME International Journal. 1992. - Series III, Vol. 35, № 2. - P.274-278.

61. Inoue H. Review of inverse analysis for indirect measurement of impact force / H. Inoue, J.J. Harrigan, S.R. Reid // Applied Mechanics Reviews. 2001, - Vol. 54, № 6. - P.503-524.

62. Jaeger J. Analytical solutions of contact impact problems / J. Jaeger // Applied Mechanics Reviews. 1994. - V.47, N2. - P.35-44.

63. Johnson K.L. One hundred years of Hertz contact / K.L. Johnson // Proceedings of the Institute of Mechanical Engineering. 1982. - Vol. 196. - P.363-377.

64. Karas K. Platten unter seitchem stoss / K. Karas // Ingenieur Archiv. 1939. -Vol. 10. -P.237-250.

65. Kenner V.N. Longitudinal impact on a hollow cone / V.N. Kenner, W. Goldsmith, J.L. Sackman// Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. 1970. - Vol.37, №1. - March. - P.67-73.

66. Koller M.G. Elastic impact of spheres on thin shallow spherical shells / M.G. Koller, M. Busenhart // International Journal of Impact Engineering. 1986. -Vol.4, №1.-P.l 1-21.

67. Kowalski S.J. On normal impact of an infinite elastic-plastic thin-walled plateby a finite elastic rod / S.J. Kowalski, J.A. Kolodziej, B. Raniecki // Nuclear Engineering and Design. 1976. - Vol.37. - P.225-230.

68. Liu Z. Response of plate and shell structures due to low velocity impact / Z. Liu, S. Swaddiwudhipong // Journal of Engineering Mechanics. 1997. -Vol.123, №12. - P.1230-1237.

69. Mindlin R.D. Influence of rotary inertia and shear on flexural motions of isotropic elastic plates / R.D. Mindlin // Transactions of the ASME. Journal ofv Applied Mechanics. 1951.- Vol.73 t-P.31-38.

70. Mittal R.K. A simplified analysis of the effect of transverse shear on the response of elastic plates to impact loading / R.K. Mittal // International Journal of Solids and Structures. -1987. Vol. 23, № 8. -P.l 191-1203.

71. Mittal R.K. Analysis of impact of a moving body on an orthotropic elastic plate / R.K. Mittal, M.R. Khalili // AIAA Journal. 1994. - Vol. 32, № 4. - P.850-856.

72. Mochihara M. Behaviour of plates in the elastic range under transverse impact / M. Moshihara, Y. Tanaka // Research Reports of Kagoshima Technical College 1989. - V.23. - P.35-44.

73. Olsson R. Impact response of orthotropic composite plates predicted from a oneparameter differential equation / R. Olsson // AIAA Journal. 1992. - Vol.30, № 6. - P. 15 87-1596.

74. Olsson R. Mass criterion for wave controlled impact response of composite plates / R. Olsson // Composites Part A. 2000. - Vol. 31.- P.879-887.

75. Olsson R. Improved theory for contact indentation of sandwich panel / R. Olsson, H.A. McManus // AIAA Journal. 1996. - Vol.36, № 6. - P. 1238-1244.

76. Phillips J.W. Impact of a rigid sphere on a viscoelastic plate / J.W. Phillips, H.H. Calvit // Transaction of the ASME, Journal of Applied Mechanics. 1967. -Vol.34, № 4.-P.873-878.

77. Prasad C.B. Response of laminated composite plate to low-speed impact by different impactors / C.B. Prasad, D.K. Ambur, J.H. Starnes // AIAA Journal. -1994. Vol. 32, № 6. - P.1270-1277.

78. Qian Y. Experimental measurement of impact response in carbon, epoxy plates / Y. Qian, S.R. Swanson // AIAA Journal. 1990. - Vol. 28, №6. - P.1069-1074.

79. Ramkumar R.L. Dynamic response of curved laminated plates subjected to low velocity impact / R.L. Ramkumar, Y.R. Thakar // Transactions of the ASME,

80. Journal of Engineering Materials and Technology. 1987. - Vol. 109. - P.67-71.

81. Richardson M,O.W. Review of low-velocity impact properties of composite materials / M.O.W. Richardson, M.J. Wisheart // Composites Part A. 1996. -27 A. — P.l 123-1131.

82. Rossikhin Yu.A. A ray method of solving problems connected with a shock interaction / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Acta Mechanica. 1994. -Vol, 102. -PI 03-121.

83. Rossikhin Yu.A. Ray method for solving dynamic problems connected with propogation of wave surfaces of strong and weak discontinuities / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Applied Mechanics Reviews. 1995. - Vol.48, №1. -P.l-39.

84. Rossikhin Yu.A. The ray method for solving boundary problems of wave dynamics for bodies having curvilinear anisotropy / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Acta Mechanica. 1995. - Vol. 109, № 1-4. - P.49-64.

85. Rossikhin Yu.A. The impact of a rigid sphere with an elastic layer of finite thickness / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Acta Mechanica. 1995. - Vol.112, № 1-4. P.83-93.

86. Rossikhin Yu.A. A ray theory of impact upon Timoshenko beams / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Proceedings of the 24th Midwestern Mechanics Conference, Iowa, USA. 1995. - P.309-311.

87. Rossikhin Yu.A. The impact of elastic bodies upon beams" and plates with consideration for the transverse deformations and extension of a middle surface / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // ZAMM. 1996. - Vol 76, Suppl. 5. - P.433-434.

88. Schonberg W.P. Low velocity impact of transversely isotropic beams and plates / W.P. Schonberg, L.M. Keer, Т.К. Woo // International Journal of Solids andч Structures 1987. - V.23. - P.871-896.

89. Shitikova M.V. The ray method in problems of dynamic contact interaction of elastic solids / M.V. Shitikova // Journal of the Acoustical Society of America. 1995. - Vol. 97, № 2. - P.1345.

90. Shivakumar K.N. Prediction of impact force and duration due to low-velocityimpact on circular composite laminates / K.N. Shivakumar, W. Elber, W. Illg// Journal of Applied Mechanics. 1985. - Vol.52. - P.674-680.

91. St.-Venant B.D. Courbes representatives des lois du choc longitudinal et du choc transversal d'une barre prismatique / B.D. St.-Venant, Flamant // Journal ecole polytechnique, Paris. 1889. - Vol. 59. - P.97-103.

92. Sun C.T. Dynamic response of anisotropic laminated plates under initial stress to impact of a mass / C.T. Sun, S. Chattopadhyay // Transactions of the ASME, Journal of Applied Mechanics. 1975. - Vol.42, №3. - P.693-698.

93. Tan T.M. Use of statical indentation laws in the impact analysis of laminated composite plates / T.M. Tan, C.T. Sun // Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. 1985. - Vol. 52, №1. - P.6-12.

94. Timoshenko S.P. Zur frage nach der wirkung eines strosse anf einer balken / S.P. Timoshenko // Zeitschrift fur mathematische Physik. 1914. - Vol.62. -P. 198-209.

95. Whitney J.M. Shear deformation in heterogeneous anisotropic plates / J.M. Whitney, N.J. Pagano// Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. 1970. - Vol. 37. - P. 1031-1036.

96. Yamamoto S. A study on lateral impact of Timoshenko beam / S. Yamamoto, K.

97. Sato, H. Koseki // Computational Mechanics. 1990. - Vol.6. - P. 101-108. 1142. Yang J. C. S. Impact on plates and shells / J.C.S. Yang // International Journal of