Динамический контакт ударника и тонких тел с учетом волновых процессов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ



Локтев Алексей Алексеевич

ДИНАМИЧЕСКИЙ КОНТАКТ УДАРНИКА И ТОНКИХ ТЕЛ С УЧЕТОМ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 6 СЕН 2010

Москва-2010

004608048

Работа выполнена в Московском государственном университете путей сообщения (МИИТ)

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Айзикович Сергей Михайлович

доктор технических наук, старший научный сотрудник Дементьев Вячеслав Борисович

доктор физико-математических наук, профессор

Коузов Даниил Петрович

Ведущая организация: Научно-исследовательский институт механики и прикладной математики имени Воровича И.И. Федерачьного государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Южный федеральный университет"

Защита состоится 14 октября 2010 года в 14 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 002.075.01 при Институте проблем машиноведения РАН по адресу: 199178, Санкт-Петербург, Большой пр. В.О., 61.

С диссертацией можно ознакомиться в ОНТИ Института проблем машиноведения РАН.

Автореферат разослан 2 августа 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор технических наук

В.В. Дубаренко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Использование в различных областях хозяйственной деятельности человека конструкций и их элементов сложной геометрической формы, композитных материалов заставляет исследователей идти по пути усложнения математических моделей процессов и объектов.

Наиболее интересными и сложными в механике деформируемых тел и ее инженерно-технических приложениях являются динамические задачи, в том числе связанные с ударным взаимодействием тел. Они актуальны как с точки зрения развития фундаментальных разработок по механике твердого деформируемого тела, так и с точки зрения практического применения результатов их решения. С подобными задачами сталкиваются в строительной индустрии на этапе возведения зданий и сооружений, в машиностроении - при рассмотрении различных режимов работы механизмов, а также при эксплуатации механизмов в нормальных и экстремальных условиях.

Потребности инженерной практики заставляют совершенствовать реологические модели соударяемых тел, более детально описывать характер их ударного взаимодействия и учитывать волновые явления, происходящие в них, что, в свою очередь, приводит к созданию более совершенных средств противоударной защиты конструкций и их элементов, к выявлению таких управляемых параметров, изменение которых будет сказываться на конечных характеристиках динамического контакта.

Учет нелинейно упругих, вязкоупругих, термоупругих, пластических и анизотропных свойств соударяемых тел обуславливает более точное представление о характере протекания данного процесса.

Задачи о соударении двух тел решал Ньютон И., учитывая, что изменение количества движения за время удара равно ударному импульсу, приложенному к телу. Сен-Венан Б.Д. впервые рассмотрел задачу о продольном ударе двух стержней, он учел распространение волн в соударяемых телах, но не учел местное смятие материалов ударника и мишени. Основной вклад в теорию удара внес Герц Г., который распространил свою задачу о статическом контактном взаимодействии упругих тел на их ударное взаимодействие. Однако он не учитывал в процессе удара колебательные движения тел вне их области контакта. Это сделал Тимошенко С.П. в 1928 году, объединив колебательные движения балки конечной длины с контактной теорией Герца в единую стройную теорию удара. Zener С. в 1941 г. обобщил эту задачу на случай балки бесконечной длины. В дальнейшем теория удара типа Тимошенко развивалась для стержней и балок Crook A.W., Yamamoto S.A., Россихиным Ю.А., для пластин - Mindlin R.D., Conway H.D, Lee H.C., Уфляндом Я.С., Кильчевским H.A., Филлиповым А.П., Филлиповым И.Г. Горшковым А.Г., Тарлаковским Д.В. и для оболочек - Hammel J., Kenner V.N., Koller M.G., Yang J. C. S., Сеницким Ю.Э., Кадомцевым И.Г. и др. учеными.

Волновой подход к теории поперечного удара был впервые предложен Филлиповым А.П. в 1968 году и получил дальнейшее развитие в последующие годы: были получены результаты решения задач ударного взаимодействия, связанных с учетом волновых свойств мишени (Филлипов А.П., Скляр ВЛ. 1971), многослойности конструкции пластинки (Choi I.H., Lim С.Н. 2004,

О.

Егорычев О.О. 2005), различных форм ударника и методов решения (Россихин Ю.А., Шитикова М.В. 1994), термоупругих свойств ударника (Гонсовский В.Л. и др. 1993), вязкоупругих свойств ударника (Сеницкий Ю.Э. 1982), наличия начальных напряжений на границе пластинки (Филиппов И.Г., Филиппов С.И. 2007, Товстик П.Е. 2008) и т.д.

Несмотря на значительные достижения в решении проблем, связанных с ударным взаимодействием, вопросы учета нелинейности, вязкости, анизотропии и предварительного напряжения, равно как и использование расчетно-обоснованных средств защиты от удара, до последнего времени являются недостаточно хорошо изученными. В связи с вышеизложенным, исследования, проведенные в рамках данной работы, по изучению влияния перечисленных факторов на процесс ударного взаимодействия твердых тел и пластинок и оболочек следует признать весьма актуальными.

Актуальной является также проблема создания достаточно простой методики решения задач ударного взаимодействия с учетом различных свойств и процессов в контактирующих телах, которой могли бы пользоваться инженеры-проектировщики при расчете конструкций и их элементов, а также для сравнения с результатами, полученными с помощью новейших программных комплексов.

Основными целями диссертационной работы являются:

1) исследование ударного взаимодействия твердых тел с пластинками и оболочками с учетом волновых явлений;

2) изучение влияния вязкоупругих, термоупругих и анизотропных свойств материала пластинки на динамические характеристики контактного взаимодействия;

3) исследование упругих, вязкоупругих, нелинейно упругих и упругопластических свойств буфера, который используется для моделирования контактной силы и может быть средством противоударной защиты;

4) изучение влияния предварительных напряжений мишени на процесс распространения волновых поверхностей в ней и на динамические характеристики удара;

5) создание методики расчета конструкций на ударное воздействие, которая может учитывать различные физические и геометрические свойства соударяющихся тел, на основе использования аналитических и численных методов.

Научная новизна. В процессе проведения исследований были получены аналитические решения и дан численный анализ следующих задач:

1) об ударном взаимодействии упругого, нелинейно упругого, упругопластического и вязкоупругого ударника с упругой изотропной пластинкой;

2) об ударном взаимодействии упругого, нелинейно упругого и вязкоупругого ударника с вязкоупругой изотропной пластинкой;

3) об ударном взаимодействии упругого цилиндрического и сферического ударника с упругой ортотропной пластинкой;

4) о распространении термоупругих волн в пластинке от нагретого ударника;

5) о динамическом контакте ударника и предварительно-напряженной пластинки, к которой приложены внешняя продольная сила, изгибающий и крутящий моменты;

6) о поперечном ударе твердого тела по сферической оболочке с учетом распространения волн.

Получены теоретические результаты, наиболее приближенные к данным экспериментов (Гольдсмит В. 1965, Зукас Д.А. и др. 1985). В совокупности выполненные исследования и проведенный анализ результатов позволили доработать системный волновой подход к задачам ударного взаимодействия.

Достоверность полученных результатов базируется на корректной математической постановке задач, сравнении результатов аналитических решений и численных расчетов, сопоставлении теоретических решений с экспериментальными данными, применении современных программных вычислительных средств. Полученные в работе численные результаты согласуются с общими физическими представлениями. Правильность полученных результатов определяется корректностью математических выкладок и сопоставлением с известными результатами других авторов.

Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы проектными и научно-исследовательскими организациями в процессе проектирования плит и оболочек, на которые возможно действие ударной нагрузки. Результаты диссертационного исследования вошли в курс «Введение в волновую механику» кафедры теоретической механики Института фундаментального образования Московского государственного строительного университета.

На защиту выносятся:

1) метод решения задач ударного воздействия, основанный на представлении динамического контакта как суперпозиции двух задач: местного смятия в зоне взаимодействия и деформирования тел вне ее с учетом волновых процессов;

2) результаты исследования ударного воздействия ударника на пластину с учетом распространяющихся в последней волновых поверхностей;

3) результаты исследования влияния линейно упругих, вязкоупругих, нелинейно упругих и упругопластических свойств ударника на динамические характеристики удара;

4) результаты изучения влияния вязкоупругих свойств материала пластинки на динамические характеристики контактного взаимодействия;

5) результаты изучения влияния анизотропии материала пластинки на динамическую контактную силу и прогиб;

6) результаты анализа влияния термоупругих свойств пластинки на динамические характеристики удара, определение скорости температурной волны;

7) результаты анализа влияния предварительного напряжения пластинки на динамические характеристики удара и скорости распространения продольных и поперечных волн в ортотропной пластинке;

8) результаты анализа значений напряжений на фронтах волн в различных точках мишени, определение их максимальных значений;

9) результаты исследования динамического контакта ударника и сферической оболочки с учетом продольной волны растяжения-сжатия в ней.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Воронежского государственного архитектурно-строительного университета в 2003-2004 годах; на семинаре по теоретической и прикладной механике Воронежского государственного технического университета в 2003 году; на Воронежских школах-семинарах «Современные

проблемы механики и прикладной математики» в 2002 и 2004 годах; на 4-ом Международном симпозиуме по строительству среди аспирантов «4th International Ph.D. Symposium in Civil Engineering". Мюнхен. Германия. 2002; на Международной конференции «34th Solid Mechanics Conference». Закопан, Польша, 2002; на Международной конференции по проблемам механики «6th International Conference on Vibration Problems 2003». Либерец. Чехия. 2003; на 11-й, 12-й и 13-й Международных конференциях «Математика Компьютер. Образование» в 2004, 2005 и 2006 годах в г. Дубна и г. Пущино; на Международной конференции «4-ые Окуневские чтения». Санкт-Петербург. 2004; на Международных конференциях «Days of Diffraction». Санкт-Петербург. 2004, 2005; на Международных летних школах «Advanced Problems in Mechanics» в 2004, 2005, 2006, 2007, 2008 годах в п. Репино г. Санкт-Петербург; на Международной научно-технической конференции «Научная работа в университетских комплексах». Воронеж. 2005; на Второй Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара. 2005; на Всероссийской научной конференции студентов и аспирантов «Молодые исследователи - регионам». Вологда. 2005; на Международной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения В.И. Зубова «Устойчивость и процессы управления». Санкт-Петербург. 2005; на Международной конференции по вычислительной пластичности. Основы и приложения «Computational plastisity Vin. Fundamentals and applications». Барселона. Испания. 2006; на 14-й и 15-й зимних школах по механике сплошных сред. Пермь. 2005, 2007; на Международной конференции «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике». Новосибирск. 2005; на Международных молодежных научных конференциях «Гагаринские чтения». Москва. 2005, 2007; на Международной финно-угорской конференции по механике «Finno-Ugric international conference of mechanics». Ракив. Венгрия. 2005; на Международном форуме молодых ученых (6-ая Международная конференция). Актуальные проблемы современной науки. Самара. 2005; на Международной конференции «Авиация и космонавтика 2006». Москва. 2006; на Международном форуме молодых ученых (7-ая Международная конференция) «Актуальные проблемы современной науки». Самара. 2006; на Международном конгрессе Сербского общества механики «International Congress of Serbian Society of Mechanics». Капаоник. Сербия. 2007; на 3-й Тематической конференции интеллектуальных конструкций и материалов «Ш ECCOMAS Thematic Conference Smart Structures and Materials». Гданьск. Польша. 2007; на Всероссийских научно-практических конференциях «Математика, информатика, естествознание в экономике и обществе». Москва. 2007, 2009; на Международных научно-практических конференциях «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы». Москва. 2008, 2009; на Двенадцатой межвузовской научно-практической конференции молодых ученых, докторантов и аспирантов. Москва. 2009; на семинарах Донского государственного технического университета в 2006 и 2008 годах. Ростов-на-Дону; на городских семинарах по механике в г. Санкт-Петербурге в 2007, 2008; на 16-ом симпозиуме «Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем». Звенигород. 2009; на семинаре Института механики сплошных сред. Пермь. 2009; на семинаре кафедры теории пластичности Московского государственного университета. Москва. 2009; на VII

Всероссийской научно-практической и учебно-методической конференции «Фундаментальные науки в современном строительстве». Москва. 2010; на XVI Международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" им. А.Г. Горшкова. Ярополец. 2010.

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 59 печатных работ, в том числе одна монография и 32 статей в отечественных и зарубежных журналах и сборниках научных трудов и материалов конференций.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 271 странице машинописного текста, содержит 68 рисунков, 3 таблицы, список использованных источников из 260 наименований.

Поддержка. Исследования автора на различных этапах работы поддерживались грантами РФФИ. В 2003 году автор стал лауреатом именной стипендии Правительства РФ.

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации. Приводится краткий исторический обзор решения задач, связанных с ударным взаимодействием и распространением волн в контактирующих телах, описываются этапы эволюции теории удара и отдельных ее направлений для стержней, балок, пластин и оболочек, основные элементы волнового подхода к задачам динамического контакта твердых тел, методы определения характеристик взаимодействия внутри контактной области и вне ее, методы исследования распространяющихся волновых поверхностей и определения их параметров, вопросы, недостаточно хорошо изученные при решении задач ударного взаимодействия тел с разными свойствами и различными начальными условиями; также приводятся некоторые приложения решаемых задач в строительстве и машиностроении. Указаны основные цели работы, кратко изложена структура диссертации, охарактеризована ее научная новизна, научная и практическая значимость, сформулированы основные положения, выносимые на защиту, а также показаны результаты различных частей и всей работы в целом, представленные научной общественности на конференциях, семинарах и симпозиумах.

В первой главе описывается общая постановка задач ударного взаимодействия твердых тел, одно из которых - тонкое, используемые методы, начальные и граничные условия, их влияние на процесс решения, приводятся основные положения подходов к задачам динамического контакта с точки зрения фундаментальных исследований по механике деформируемого твердого тела и инженерных приложений в различных отраслях хозяйственной деятельности человека.

В §1 приводятся основные вехи в развитии теории удара с указанием имен и работ отечественных и зарубежных ученых, внесших наиболее весомый вклад в построение единой стройной теории. Указываются трудности, с которыми сталкиваются инженеры проектных и изыскательских организаций при постановке задачи, выборе расчетной модели, методов и средств расчета конструкций и их элементов, в том числе связанные с отсутствием достаточной нормативной базы для проведения полноценного анализа динамических задач. Для классификации существующих подходов может быть выбрано множество критериев: в данной

работе основными считаются: контактная сила, действующая в месте взаимодействия тел, и уравнения движения точек мишени вне этой области. Здесь также указываются методы, наиболее подходящие для каждого подхода.

В §2 описываются все приведенные ранее подходы с указанием характерных особенностей в постановках задач и методах решения. В качестве модели, описывающей контактное взаимодействие тел, используются: модель Герца, упругопластические модели Кильчевского и Александрова-Кадомцева, линейно упругая, нелинейно упругая, вязкоупругая модели, а также некоторые иные модели. В качестве уравнений, описывающих динамическое поведение мишени, используются уравнения Бернулли-Эйлера и Тимошенко - для балок, Кирхгофа-Лява и Уфлянда-Миндлина - для пластинок, для оболочек уравнения рассматриваются также с учетом деформации поперечного сдвига и инерции вращения поперечных сечений и без них.

В качестве определяющего в данной работе используется следующий подход: предполагается, что в результате поперечного удара по мишени в ней распространяются продольные и сдвиговые волны, фронты которых являются поверхностями сильного разрыва. Отметим, что в изотропной пластинке поверхности сильного разрыва представляют собой цилиндрические поверхности-полоски, образующие которых параллельны нормали к срединной поверхности, а направляющие, расположенные в срединной плоскости, представляют собой окружности, расширяющиеся с нормальными скоростями (рис.1). Для остальных типов мишеней вид волновых поверхностей определяется геометрией самой мишени и свойствами ее материала. Ударник моделируется как груз некоторой массы и буфер, свойства и геометрия бьющего конца которого определяет контактную силу в месте удара. В общем случае процесс ударного взаимодействия представлен на рис. 1.

Фактически выбор подхода зависит от начальной скорости взаимодействия тел, свойств их материалов, геометрии области контакта. После начала процесса взаимодействия практически во всех подходах перемещение ударника характеризуется известным функциональным уравнением

где у^^а^^+ащ^+ы^) - полное перемещение ударника, а,ая(() -

местные смятия материалов ударника и мишени в месте контакта соответственно, Р(1) - контактная сила, т - масса ударника, / - время, отсчитываемое с момента соприкосновения ударника и мишени, - переменная интегрирования.

При небольших скоростях удара (меньших или равных 5 м/с) считается, что местное смятие материала пластинки происходит квазистатическим образом, т.е. можно использовать результаты решения контактной задачи для случая статического взаимодействия тел. В случае больших скоростей необходимо учитывать динамическую составляющую контактного процесса.

В зависимости от рассматриваемого типа мишени волны поперечного сдвига и продольного растяжения-сжатия распространяются либо с бесконечно большой скоростью (балка Бернулли-Эйлера, пластинка Кирхгоффа-Лява), либо с конечной скоростью (балка Тимошенко, пластинка Уфлянда-Миндлина).

(1.1)

б) после взаимодействия

Рис. 1 Схема ударного взаимодействия твердого тела с буфером и мишени

В данной работе основными являются подходы, учитывающие влияние волновых явлений на деформирование контактирующих тел, т.е. используются волновые уравнения, описывающие динамическое поведение мишени.

Решение за фронтом волны сильного разрыва Е строится при помощи лучевого ряда

относятся к значениям производной , подсчитанным перед волновой поверхностью Е и за ней соответственно, (7 - нормальная скорость волны £, Н{1-з/С) - единичная функция Хевисайда, 5 - длина дуги, отсчитываемая вдоль луча, I - время.

Если время протекания процесса очень мало, то в степенном ряде по времени и поверхностной координате (1.2) можно ограничиться только первым членом. В этом случае задача сводится к решению одного нелинейного дифференциального уравнения относительно величины, характеризующей местное смятие материалов пластинки и тела, или относительно контактной силы. Чтобы уточнить и детализировать решение, полученное этим способом, учитывают последующие члены лучевого ряда. Для этого определяющие уравнения контактирующего тонкого тела дифференцируют к раз по времени, записывают на различных сторонах волновой поверхности и берут их разность. Затем используют условие совместности

где у {у - г, в) - пространственные координаты, одна из которых направлена вдоль прямого луча, а другая является одновременно и поверхностной координатой на волновой поверхности, при этом обе координатные линии являются взаимно ортогональными, уу (уг=со$<р,Уд=$т<р) - компоненты

вектора нормали к волновой поверхности, 8/3 г- ¿^производная по времени.

Другой модификацией метода асимптотических разложений является представление искомых функций в пространстве изображений в виде степенного ряда по полиномам Лежандра

где - некоторая функция, связывающая координату точки на мишени с размерами этой мишени,/? - параметр пространства изображений.

Можно также использовать представление неизвестных функций в виде разложений в ряды по функциям Бесселя или численные методы совместно с программно-аппаратными вычислительными комплексами.

В §3 приводятся выводы о границах и условиях применимости тех или иных подходов и методов, а также демонстрируются их преимущества при решении практических задач с различной степенью точности.

(1.3)

00 00

*(/>)=£ Е х2п+тР2пч{со517{г))со4т9)> О-4)

и=0ти=0

Вторая глава посвящена методам решения задач ударного взаимодействия ударника и тонкой мишени. Большинство таких задач может быть разделено на две части: построение решений внутри контактной области (контактная задача) и вне ее (задача распространения волн). В случае использования аналитических методов можно получить искомые функции в воде конечных выражений, но при этом практически всегда необходимо использовать дополнительные условия, которые накладывают ограничения на область применения полученных результатов. При использовании численных методов и современных вычислительных комплексов можно уменьшить количество дополнительных условий, но при этом конечные характеристики динамического контакта тел будут представлены либо в . виде таблиц, либо в виде графиков, что не позволит проектировщикам при решении практических задач пользоваться конечными формулами, а результаты предыдущих расчетов могут быть использованы только как тестовые данные. Поэтому различные методы и их группы нужно рассматривать в комплексе применительно к конкретной задаче.

В §1 проводится классификация методов решения внутри контактной области и вне ее. Для определения искомых функций часто используются асимптотические разложения в степенные ряды по функциям Бесселя (Филлипов А.П. 1971), полиномам Лежандра (1.4) (Бирюков Д.Г., Кадомцев И.Г. 2002), по пространственной координате и времени (1.2) (Россихин Ю.А., Шитикова М.В., 1992). Для представления неизвестной нагрузки можно использовать двойные ряды Фурье по координате и времени (Ма1екга(1еЬ К. е!а1 2007), после определения входящих в них коэффициентов находится контактная сила и напряжение в различных точках многослойной пластинки. Поскольку в волновых уравнениях мишени присутствуют производные и по времени, и по поверхностным координатам, то для их замены используется преобразование Лапласа и условия совместности (Томас, 1961) соответственно. Результатом решения уравнений, описывающих динамическое поведение, является определение скоростей волн, неизвестных перемещений и напряжений (в зависимости от того, в каком базисе записаны первоначальные уравнения) с точностью до постоянных интегрирования. Они, в свою очередь, находятся при приравнивании решений, полученных внутри и вне контактной области на ее границе; также используются граничные условия. Для определения неизвестных величин в произвольных точках мишени можно использовать метод регуляризации асимптотических разложений (Россихин Ю.А., Шитикова М.В. 1994) или разложение искомых величин в ряды Лорана вблизи данной точки.

§2 посвящен лучевому методу, в нем приведены волновые уравнения, описывающие динамическое поведение упругой изотропной, вязкоупругой изотропной и упругой ортотропной пластинок с учетом инерции вращения и деформации поперечного сдвига. Используя описанную в первой главе процедуру, из уравнений движения получим систему рекуррентных уравнений, которая для упругой изотропной пластинки примет вид:

1-

рО

2\

Е

со

(А+1)

= 2-

5со,

'м

5( 5Х,

+ Сг-1со(к) + ЬСХ,^ + Р]

5(

-С<°(к) + Р2(к-\)

(2-1)

где Щу=[Рг(к+ ])], Х(кг11К(к)], Ь-КрШ~\ г = г0+Ы, р - плотность материала пластинки, г-полярныйрадиус,г0-радиусбуфера, К = лг/\2, £' = £Д1-ст2^,£и ег-модуль

упругости и коэффициент Пуассона материала пластинки соответственно, ц -модуль сдвига пластинки, Д. - угловая скорость вращения нормали к пластинке в направлении г, IV- скорость поперечных перемещений точек срединной плоскости (скорость прогиба), О = £7;3/12- цилиндрическая жесткость, 0' = -

функции, зависящие от скачков искомых величин к-1 - го и более низких порядков, точка над величинами означает производную по времени.

Для вязкоупругой изотропной пластинки система рекуррентных дифференциальных уравнений записывается следующим образом:

1-

ркъСг 12£>

со

(*+1)

= 2-

с1о),

Л

ах,

+сг~\к)+^г(о)+ъах{к) + ,

+ + - Оа>{к) + ,

(2.2)

где Г(() = - ядро релаксации, # (0 - функция релаксации для модели Максвелла, /~(0) - ядро релаксации в начальный момент времени.

Аналогичные соотношения для упругой ортотропной пластинки

принимают вид: /

1-

в,

рО

г

г

= 2-

8а,

51 5Х,

V*} I

и- + Сг~1б}{к) + ЬгСХ{к) + Р1^1),

(2-3)

где Х[к) = [и', а^ = [«р, ()(+1)1 Ьг = М'С^Д = вг =

Егаг = Е0а0, К- 5/6, 1>, - жесткость изгиба для направления г, Ег, Ев и аг, ств - модули упругости и коэффициенты Пуассона для направлений г, 0, Оп -модуль сдвига в плоскости гг, м(г,0) - нормальное перемещение срединной плоскости, р(г,в)~ угол поворота нормали в направлении радиуса г.

Если рассматривать распространение термоупругих волн в мишени от нагретого ударника, то в систему (2.3) добавляются слагаемые, учитывающие температурные свойства мишени, и рекуррентное соотношение, полученное из уравнения теплопроводности гиперболического типа

-°Ю(к) + [72(к-1)

к

12 г \~ага,

гив

(а-г?С2)

£

г 12

^♦И0 +Т1£* + 2аг

5Е,

51

Т(к-1)

(2.4)

где а = к/(рс), к - коэффициент теплоотдачи между пластиной и средой в

месте нагрева, с - удельная теплоемкость, тч - время запаздывания в установлении теплового потока.

Если в качестве мишени рассматривать сферическую оболочку, то система рекуррентных определяющих уравнений примет вид

Е

51/,

"МГ2 *

«

-С^<ри(к)+(1+<т)Овт<рХ(к)+ЕУ(кА),

(2.5)

Здесь Хщ = </?о + ^¡С/, Л1 - радиус оболочки.

В результате решения систем уравнений (2.1) - (2.5) находятся с точностью

до произвольных постоянных интегрирования с^ (а = 1,2) разрывы величин

й)(ф и (У^, которые являются коэффициентами лучевого ряда (1.2).

Выражения для искомых функций IV и можно привести в виде лучевых рядов: - для упругих изотропной и ортотропной пластинок

2 <»

а=1Аг=0 (

к!

(2.6)

(Уа) Цуа)> (2-?)

-для вязкоупругой изотропной пластинки (ИСопределяется формулой (2.6)) ( 8Х® ^

(') Л ('-1)

сЫЬО*" Н)

- для термоупругои пластинки скорость изменения температуры определяется следующим степенным рядом

-для сферической оболочки к выражению (2.6) добавляются

£й

(1 -<т2)яи=0 Ек 4

к=0

4 1

Т1

< ь,

(1 ~ст2)Е^о

к!

81

и(к-\)с(8<Р+х{к-1)+ст

(2.10) ,(2.11)

,(2.12)

где ya =t-(r-r0)G^ \ величины А'^, со^ и SX^j8t подсчитываются

при Уа=0, Г(0),(к_^гд^Г(1)/д1к-1-1\1=0, JV„ и N0 -

растягивающие усилия в оболочке, индекс а указывает на порядковый номер волны: а =1-квазипродольная волна, а =2 - квазипоперечная, G® ={Е'/ р)12 и (ft) =(К/л/р)1'2- для упругой изотропной и вязкоупругой пластинок, G^ =(ВГ/р)1 2 и G^=(KGn/pf2- для ортотропной пластинки; упругие модули, входящие в формулу (2.8), являются нерелаксированными.

Полученные лучевые ряды и скачки искомых величин используются в последующих главах при решении задач об ударном воздействии твердого тела на тонкую мишень.

В §3 решение системы уравнений, описывающих динамическое поведение мишени, предлагается искать в виде разложения в ряды по полиномам Лежандра (1.4), где искомая величина х может представлять собой любое линейное или угловое перемещение, входящее в первоначальную систему; для круглой

>7/* 7TCD

пластинки F(r) =—, для сферической оболочки /7(г) = ——, R - радиус 2 R 2 щ

пластинки, <р о - угол раскрытия оболочки.

Нагрузка от сосредоточенной силы взаимодействия в месте контакта P(t) также представляется в виде разложения в ряд по полиномам Лежандра

h ÉC^ + ^^icosF^^^icosF^^cos^), (2.13)

где г 1 - координата точки, в которой происходит динамический контакт. Выражения (1.4) и (2.13) подставляются в определяющие уравнения, и с учетом свойств ортогональности системы косинусов на отрезке [-я; /г] получается система уравнений относительно х2п+т- Для определения

коэффициентов рядов (1.4) воспользуемся их представлением вблизи искомой точки в виде рядов Лорана

х2п+т ~х2п+т + х2п+т + х2п+т ^ + х2п+т > (2.14)

здесь s = р~2,р- параметр Лапласа.

Выражения для х'2п+т вычисляются для конкретного места удара и точки

определения неизвестных величин, т.е. г и в принимают определенные значения. После обратного преобразования Лапласа перемещения можно записать как функцию времени, двух координат и силы воздействия на пластинку

x(<p,e,t) = Е + Pin+i (cos F(l )) p2n+\(cos )) x

du.

В §4 описываются некоторые численные методы, используемые в задачах ударного взаимодействия, и процедуры для решения нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, полученных из уравнений движения точек мишени при помощи динамических условий совместности. В данной работе используется итерационная схема Тимошенко, реализованная на ЭВМ, которая предполагает, что в пределах одного интервала («- 1)г < / < «г контактная сила изменяется линейно:

Р{пт) = {Рп-Рп_{)1т, (2.16)

где т - шаг интегрирования.

Результаты, полученные с помощью методов конечных и граничных элементов, используются только для сравнения полученных характеристик контактного взаимодействия.

В третьей главе содержатся результаты решения задач ударного взаимодействия твердого тела с линейно упругим буфером (§1), вязкоупругим буфером (§2, 3), нелинейно упругим буфером (§4) и упругой изотропной и вязкоупругой изотропной пластинкой с помощью многочленных лучевых разложений.

Для определения постоянных интегрирования в выражениях (2.6) - (2.8) необходимо составить систему уравнений, характеризующую поведение ударника и контактной области после начала взаимодействия. Движение ударника после его касания мишени описывается уравнением (1.1), уравнение движения контактной области имеет следующий вид:

рклфу = 2Щ)0Г + Р(/) . (3.1)

Зависимость контактной силы от местного смятия материала мишени принимает следующий вид:

- для линейно упругой модели взаимодействия

Р(0=£,(а-^), (3.2а)

- для вязкоупругого буфера

= £,(«- - £|Г|~' )[а (*') - к'(г')]ехр^- ^^; (3.2б)

- для нелинейно упругого буфера

Р(0=£1 (а-м>)+Е2{а-ч>)ъ, (3.2в)

где Е\ и Е2 - упругие модули пружины, г{ - время релаксации демпфера.

Для определения динамических характеристик удара к выражениям (1.1) и (3.1) необходимо добавить условие непрерывности тангенса угла наклона касательной при переходе через границу области контакта

5^/5г[г=Го= 0 (3.2)

и начальные условия

^,=0=0, (3.3)

Величина местного смятия не определяется из решения системы уравнений, определяющих динамическое поведение мишени, - для нее необходимо использовать отдельное степенное разложение

« = £«/, (3.4)

/=1

где а, (/ = 1,2,...) - пока неизвестные константы.

Подставляя формулы (2.6), (3.4) и (2.7) или (2.8), а также выражение для контактной силы в уравнения (1.1), (3.1), (3.2) и приравнивая в полученных соотношениях коэффициенты при одинаковых степенях найдем на каждом шаге три алгебраических уравнения для определения трех неизвестных констант: две константы при каждом / входят в лучевые ряды IV и £>, и одна константа при каждом I содержится в выражении (3.4). Зная перечисленные константы с учетом (3.3), можно определить контактную силу, которая записывается с точностью до / в следующем безразмерном виде:

-для упругой изотропной пластинки и линейно упругого буфера

Р(Г) = Й

- Е,. Е

I---(т+2)— + —

яИк ' 6 яИ

1 + -

7(0

Е_ яй

1 +

\2

бягЛ

(т + 2)2

- для вязкоупругой изотропной пластинки и линейно упругого буфера

20 (3.5)

( -з ~ (

Р(7) = У ?-4(/Й + 2)-+4 1 + -w якк ' 6 лИ

\ \

Я'

1Л

Е_ пЪ

1 +

с^2

-^(т + 2)2

(3.6)

- для упругой изотропной пластинки и вязкоупругого буфера

Р(1)=У

73

яЪк ' 6 яЪ

1+-

1-2 1-з

--Г+—+

Ч Зг,2

Е (т+2)- 1

}(2Л <0

Г"»

Е_ жк

1+-

41)

\2

6 як

(т+2)2

20

Зг,я7г

2г,

1 J

7£ „ч Е Щкк гхпИ

1+-

^У)

ж

2г7

(3.7) 15

- для вязкоупругой изотропной пластинки и вязкоупругого буфера

( ~ -3 - (

Р(1) = У ¡-Л,(т + 2)—+Л 1 + -( ' яИК ' 6 яИ

V

я ?0>

74

Е_ як

1 +

е0)

&

1 + -

0 Ж

Е

6яИ

(т + 2)2

Г 20

(/и + 2)-—з"

1Е ,. ч £

^(от + 2) +-

Л ' ххпЬ

1 + -

Ж

- для упругой изотропной пластинки и нелинейно упругого буфера

р(0=у

?+кг3+Л

лИ

1 +

п( »

Е_ 7гЛ

1 + -

+ (т + 2)К

- для вязкоупругой изотропной пластинки и нелинейно упругого буфера

Р(?)=Г

7гИ

1+

С(1)

где / =-га

С«

г,=-п,

го

Р =

А = -

_Е я'Л

1+-

А/

50

£ =

от

3

ч

о

1+

О»

(3.9)

(3.10)

О«

1-£ 6

. Е2г*

к =

- безразмерный

параметр вязкости пластинки.

На рис. 2 исследуется зависимость безразмерной контактной силы от безразмерного времени и безразмерных параметров, входящих в выражения (3.5) - (3.10). На рис. 2а приводятся зависимости максимальной контактной силы от безразмерного параметра И при различных значениях безразмерной скорости удара V, указанных цифрами у кривых, при этом сплошной линией показаны значения максимальной контактной силы для стальной пластинки, а пунктиром - для алюминиевой. На рис. 26 показывается зависимость контактной силы от времени для различных значений параметра вязкости пластинки которые указаны цифрами у кривых.

Остальные параметры принимают следующие значения: «=25, а = 0.3, А =1, ¿=1.1-10н5, К=8.5-10"3. Рис. 2в и рис. 2г иллюстрируют зависимость контактной силы от времени при разных значениях безразмерных параметров т и ?! соответственно. На рис. 2д изображена нелинейная зависимость максимальной контактной силы от скорости удара: кривая 1 подсчитана при К = 70.67-Ю"6, кривая 2 - при К = 5.65• Ю-6, кривая 3 - при £ = -0.85-10Л кривая 4 - при ЛГ = —1.59-10-6 (эта кривая соответствует линейно упругому буферу), кривая 5 - при К = -7.67-Ю-6, кривая 6 - при К = -72.60-10"6. На рис. 2е изображена зависимость максимальной контактной силы от обобщенного параметра нелинейно упругого буфера для разных параметров вязкости пластинки §: кривая 1 подсчитана при § = 0.02, кривая 2 - при ¿ = 2, криваяЗ-при £ = 5, кривая 4-при £ = 10, кривая5-при £ = 20.

Как показали исследования, максимум контактной силы увеличивается при увеличении безразмерного параметра й, скорости удара V и плотности материала пластинки (рис. 2а). Из рис. 26 можно увидеть, что максимальная контактная сила уменьшается с увеличением безразмерного параметра вязкости пластинки При его неограниченном уменьшении кривая контактной силы бесконечно близко приближается к кривой, построенной для случая упругой пластинки.

В)

О 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5

к

20 40 60 80 Время 7

0.40

« 0.30

к

о

а я 0.20

и

%

X о 0.10

«

1 1 /0.03 0.40 линейно упругий буфер

- 1 •А, 0.30

/ 200 и я К я / 5-102 Л

о § 0.20 1/ 50 \ \

1 1 11 1 о 0.10 - ^""Ч"10 \ \\ Л/5 \ \ \\ Г \ \ 1 \ 1 и

20 40 60 Время 1

80

20

40 60 Время 1

80

К-10

/МО"

Рис. 2 Зависимость контактной силы от различных параметров взаимодействия

При воздействии на пластинку массивного тела (/й«:1) контактная сила увеличивается, при воздействии легкого тела значение контактной силы уменьшается по сравнению со значениями на кривой, соответствующими равным массам контактной области и ударника (рис. 2в). Максимальная безразмерная контактная сила уменьшается с уменьшением безразмерного времени релаксации, при неограниченном увеличении времени кривая контактной силы приближается к кривой, которая соответствует максимальной контактной силе линейно упругого буфера (рис. 2г). При увеличении К (для жестких нелинейных характеристик буфера) максимум контактной силы увеличивается, а при уменьшении К (для мягких нелинейных характеристик буфера) — уменьшается по сравнению с максимумом для линейно упругого буфера (рис. 2д). Из рис. 2е видно, что с уменьшением обобщенного параметра нелинейно упругого буфера контактная сила уменьшается. Как следует из рис. 2е, при увеличении параметра £ максимальные значения контактной силы уменьшаются для любых К и характеристика нелинейности смягчается.

Для мягких нелинейных характеристик (К <-1.59-10"6) максимальная контактная сила уменьшается, для жестких характеристик (К> -1.59-10"6) максимальная контактная сила увеличивается по сравнению с контактной силой для линейно упругого буфера, которому соответствует значение К = -1.59-10'6.

В главе 4 рассматриваются вязкоупругая и упруго-пластическая модели взаимодействия ударника и пластинки. В §1 описывается постановка задачи, а для представления неизвестных величин используется первый член лучевых рядов (2.6) - (2.8), что позволяет избежать разложения в ряд экспоненциальной функции ядра релаксации. Также в этом случае можно обойтись без граничного условия (3.2).

В §2 рассматривается контакт ударника с вязкоупругим элементом Максвелла и упругой изотропной пластинки. Из определяющих уравнений для мишени при предположении абсолютной твердости контактного диска и учете только нулевых членов ряда (1.2) можно получить не только скорость сдвиговой волны, но и динамическое условие совместности для перерезывающей силы и скорости прогиба:

дг=-рвИ1¥. (4.1)

Подставляя в уравнения (1.1) и (3.1) выражения (3.26) и (4.1), получим систему интегро-дифференциальных уравнений относительно а и м, которая в пространстве Лапласа примет вид:

2/- ~\ ЕЛа-м) гг

рт,+' В,- л (4'2)

рпжг0р ц> = -2п:г0р}1ирм+ЕЛа-м>)--*-- .

рг, + 1

Решая данную систему, находим выражения для смятия и прогиба мишени в пространстве изображений. Для перехода к оригиналам необходимо решить характеристическое уравнение

ръ + (д + В{)р2 + + В{д)р + Л,С0 = 0, (4.3)

£

, С0 = —. Данное уравнение может т

в котором В1 =-, С, = Е]

10{2) V -

г0

2 1

—т+-

т

иметь два комплексно сопряженных и один действительный корень или три

19

действительных корня. В зависимости от этого будут меняться конечные выражения для прогиба и местного смятия и, соответственно, для контактной силы.

Для иллюстрации полученных результатов рассмотрим численный пример и исследуем зависимость контактной силы от вязкоупругих свойств ударника. Параметры взаимодействия в примере принимают следующие значения: т= Юг, й=13мм, К0= 10 м/с, £1=250кН7м. На рис. За построены зависимости контактной силы от времени для различных значений времени релаксации вязкоупругого элемента, которые указаны цифрами у кривых. На рис. 36 представлены зависимости контактной силы от времени для следующих частных случаев динамического взаимодействия: 1) ударник является упругим телом; полагая т—>оо, получим кривую 1 для упругой контактной силы; 2) пренебрегая инерцией контактного пятна (в уравнении (3.1) отсутствует левая часть), получим кривую 2 при т=0.001; 3) пренебрегая инерцией контактной области и считая ударник упругим, получим зависимость 3; кривая 4 построена для общего случая вязкоупругого ударника при т=0.001; кривая 5 построена при учете 5-ти членов лучевого ряда (1.2).

а) б)

о 2-Ю'3 4-Ю'3 6-Ю"3 8-Ю"5 10-2(с) О МО"3 2-Ю"3 З-Ю"3 4-Ю"3 5-10': Время Время

Рис. 3 Зависимость контактной силы от времени

В §3 рассматриваются следующие модели контакта для сферического ударника:

- упругая модель Герца

а = ЬР2/3, (4.4)

- упругопластическая модель Александрова-Кадомцева

ЪРг,\ ¿Р/й>0, Ртгл<Р{, (1 + /?)с,+(1- Р)Р<1, с1Р!<И > 0, Ртах > Ри (4.5) Ь/Р2^ +ар(Ртах)> ^Р/Л<0,Ртзх>Ри

- упругопластическая модель Кильчевского:

ьр2/3, с!Р/ск > О, Р<РЬ, а _ . Ао2/3 г>А Пч в

а =

(4.6)

т

наименьшая из пластических констант взаимодействующих тел,

ру = ж3 (з /г (*, + *)/4 )2, ^.=5.7, = /г;/3(з(^ + к)/ 4)2/3, = /г1 -л/, Я/=(4/3{к, + к))Р^х'Ъ'\ М^ЬО-^М2^)"1' С1=3^2(к1+к)/&, р — 0.33,

с! = \/2%Я, а - коэффициент Пуассона ударника, Е\ - модуль упругости ударника.

Используя выражения (1.1), (3.1) и (4.1), приходим к нелинейному интегро-дифференциальному уравнению относительно а и Р:

После подстановки выражений (4.4)-(4.6) в формулу (4.7) получаем интегро-дифференциальные уравнения относительно контактной силы, которые решаются численно с помощью ЭВМ и итерационной схемы, описанной в главе 2.

На рис. 4а кривые 1, 2, 3 построены при использовании соотношений (4.4), (4.5) и (4.6) соответственно, а кривая 4 взята у Голдсмита, начальная скорость удара У0 =10 м/с. На рис. 46 кривые 1,2 соответствуют У0 =20 м/с, кривые 3, 4 -Уд = 15 м/с, кривые 5,6 - У0 = 10 м/с, кривые 1, 3, 5 были посчитаны при помощи соотношений (4.4), а кривые 2, 4, 6 - при помощи соотношений (4.5). Из рис. 4а видно, что модель (4.5) дает наилучшее приближение к результату эксперимента и что при скоростях ю. 10 м/с упругопластические свойства мишени заметно влияют на контактную силу. Из рис. 46 следует, что при увеличении начальной скорости воздействия разница между значениями максимальных контактных сил, полученных при использовании зависимостей (4.4) и (4.5), растет.

а

б)

(кН)

Щ,

(кН)

15

10

0

0.002

Г \\\

. .Iх .. ••■ I_ Г_I_N \

302 0.004 г, (с) 0 0.001

Рис.4 Зависимость контактной силы от времени

0.001

0.002

'.(с)

§4 содержит численные исследования полученных аналитических выражений для контактной силы, при этом параметры конструкции принимаются как в некоторых экспериментальных исследованиях, после сравнения делаются выводы о влиянии параметров взаимодействия и модели на точность решения.

В пятой главе рассматривается динамический контакт ударника и ортотропной пластинки, обладающей криволинейной анизотропией. В §1 исследуется влияние анизотропии на динамический прогиб и контактную силу, выражения в безразмерном виде для которых получаются после подстановки (2.6), (2.7), (3.4) и (3.2а) в систему уравнений (1.1), (3.1) и (3.2):

(0=

ЕУ кк

2 Е

7гЬ

1 +

12 е<2)2

Ро«2

6 1-

1+

«(0

£1. 12

1+-

30

ч

/

-Дг(й + 2)

тг/Л '

120

(т + 4)-4

1+-

(2)? \г + —

4

1 +

с«3

О«2

Е,

О0)з

(5-1)

о(0

720

р(Г)=У

J-Ar(m + 2)!T+A

як 6 як

1 +

кп О®2

к2с№

Е

Ъкя

1 + -

?(2)3

[т + 2) + \

1 +

е(2)

п к

6 тг/Л '

л 20

О'

0)2

О»

1ЗД

с(2)3

(5.2)

С1

(2)

1--

р) щ

-I

где ~ = =

Я,

Ег

Вг

На рис.5а приведены зависимости максимального прогиба от соотношения Ее1Ег для различных значений Ё: кривая 1 - для ¿'=3.4-10~б, кривая 2 — для £=2.3-10"6, кривая 3 - для £=1.М0"6; другие параметры в расчетах принимают следующие значения: /«=25, к = 1, К=8.5-10°. На рис. 56 показаны зависимости максимального прогиба от соотношения скоростей скачков сильного разрыва

С{2)/О^, которое пропорционально отношению 0Г2 /Ег для различных значений Ед/Ег, указанных цифрами у кривых.

Анализируя рис. 5а,б, можно сделать вывод об уменьшении максимального прогиба при увеличении соотношений Ед/Ег и <5^/(7^, а также о том, что максимальный прогиб увеличивается при увеличении линейной жесткости буфера Ё.

В §2 исследуется влияние термоупругих свойств ортотропной пластинки на контактную силу и динамический прогиб, определяются параметры температурной волны с помощью многочленных лучевых разложений, как и в § 1. а) б)

0 2 4 6 8 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Е9/Ег ем/о«

Рис. 5 Зависимость динамических характеристик от параметров анизотропии

На рис. 6а и на рис. 66 приведены зависимости контактной силы и динамического прогиба соответственно от времени для различных значений обобщенного температурного коэффициента аг, которые указаны цифрами у кривых. Кривые при ат = 0 соответствуют ударному воздействию без учета распространения тепла. Остальные параметры изучаемой конструкции принимают следующие значения: т = 0.3 кг, г0= 100 мм, А=200 мм, £1=25 кНУм, Ед=Ег= 200ГПа, У0 =10 м/с, а = 0.3, р = 7850кг/м3.

Время Г

Рис. 6 Зависимость динамических характеристик от температурного коэффициента

Из рис. 6а,б видно, что увеличение температурного коэффициента, т.е. увеличение температуры ударника, приводит к росту динамического прогиба и контактной силы в месте взаимодействия. Также можно увидеть, что изменение ат сильнее влияет на динамический прогиб, чем на контактную силу.

Из анализа полученных зависимостей следует, что температурная волна опережает упругие ударные волны, процессы распространения тепла в мишени вначале влияют на продольную волну растяжения-сжатия и, только при последующих приближениях, на поперечную волну сдвига. Процесс распространения тепла в мишени значительно влияет на динамические характеристики контактного взаимодействия: при учете распространения термоупругой волны динамический прогиб в месте контакта и контактная сила увеличиваются, но сила увеличивается менее интенсивно.

В §3 рассматривается математическое моделирование ударного воздействия шара на ортотропную пластинку, обладающую криволинейной анизотропией и предварительно-напряженную продольной силой Л', изгибающим Мг и крутящим М, моментами. Исследуется влияние предварительного напряжения на скорости распространения продольных и поперечных волн, на контактную силу и динамический прогиб. Принимаются во внимание пять уравнений движения для трех линейных и двух угловых перемещений мишени, поскольку удар является неосесимметричным.

Для определения скоростей упругих волн с учетом внешних сил определяющие уравнения дифференцируются к раз по времени, записываются в скачках неизвестных величин на волновой поверхности, и для перехода от производных по поверхностным координатам к производным по времени используется условие (1.3); 2 принимает значения ф, ц/, 1С, и, V; величина у принимает значения г, в . Используя процедуру, описанную в главе 3, от полученных уравнений при к = -1 приходим к системе относительно перемещений и скоростей волн. Результат решения данной системы

представлен на рис. 7 в виде графических зависимостей /(А!,Мг,Мг) ■

На рис. 7а изображены графические зависимости скоростей упругих волн от внешней продольной силы. Номера 1, 2 соответствуют продольным волнам растяжения-сжатия, распространяющимся в направлениях г н в соответственно, номер 3 соответствует волне сдвига продольных сечений в плоскости г в, номера 4,5 соответствуют поперечным волнам сдвига в плоскостях гг, (к соответственно. Видно, что сила N практически не влияет на скорости продольных волн 1 и 2, связанных с перемещениями <р, у/, и существенно влияет на скорости поперечных волн 3,4,5. Если увеличивать внешнюю сжимающую продольную силу, то скорости поперечных волн уменьшаются до нуля, т.е. волны запираются. Если же увеличивать внешнюю растягивающую силу, то скорости волн растут, т.е. волны разгоняются, причем скорость пятой волны увеличивается до некоторого критического значения, определяемого свойствами материала мишени.

На рис. 76 представлены графические зависимости скоростей упругих волн от внешнего изгибающего момента. Изгибающий момент Мг на скорости волн, связанных с перемещениями и, V, оказывает практически одинаковое

влияние. При увеличении абсолютного значения момента поперечные волны запираются, продольные волны практически не зависят от значения Мг.

а)

б)

в)

ю3 102 10 о -10

-103 -103 -104 М./Л'с,/ 103 ю2 10 о -10 -102 -103 -104

1 ; ^ 1 1 л -Л _

о!з : 1 1 О.'б 1 0.'9 1

С/с,

1 1 1

-

о'з О.'б 0.'9

1 1 1

С/с,

Рис.7 Зависимость скоростей волн от предварительно приложенных усилий

Дня определения контактной силы и динамического прогиба пластинки в месте ударного взаимодействия система определяющих уравнений записывается в пространстве Лапласа. Для ее решения используется схема, описанная в §3 третьей главы и основанная на использовании разложений неизвестных величин в ряды по полиномам Лежандра и в ряды Лорана. После подстановки выражений для прогиба мишени в заданной точке, т.е. при фиксированных значениях координат г, в, и местного сметия в уравнение (1.1) получим нелинейное интегро-дифференциальное уравнение относительно контактной силы, которое можно решить, используя итерационную схему, описанную в §4. Результаты решения этого уравнения представлены на рис. 8 в виде графических зависимостей контактной силы и динамического прогиба от времени для различных значений предварительных усилий.

На рис. 8а и на рис. 86 показаны зависимости от времени контактной силы и прогиба соответственно. Кривая 1 построена при отсутствии предварительного напряжения пластинки, кривые 2, 3, 4, 5, 6, 7 соответствуют следующим значениям начальных внешних усилий: Лг//г2с1/> = - 20, и1игсхр= 20, Ы1и\р = 600, Мг//г3с,р = 20, Мг/И3схр = -20,

М2/р?С\р = 20, неуказанные усилия при построении данных кривых принимались равными единице. Из рис. 8а видно, что наибольшее влияние на контактную силу оказывает внешний крутящий момент (кривая 7), знак которого не влияет на значение силы взаимодействия; растягивающая продольная сила уменьшает контактную силу (кривая 2) менее интенсивно, чем сжимающая продольная сила увеличивает контактную силу (кривая 3). В случае, когда происходит запирание поперечной волны (кривая 4), контактная сила существенно возрастает, а время возникновения ее максимума уменьшается. Из рис. 86 следует, что наибольшее влияние на прогиб оказывает внешняя продольная сила, которая в случае сжатия (кривая 3) существенно увеличивает прогиб, а в случае растяжения (кривая 2) - уменьшает его, но не так интенсивно. В случае запирания поперечной волны прогиб быстро нарастает (кривая 4). Внешний крутящий момент (кривая 7) мало влияет на прогиб мишени, внешний же изгибающий момент оказывает большее воздействие на прогиб, причем, в зависимости от своего знака, он может как уменьшать его, так и увеличивать.

В §4 определяются напряжения на фронтах упругих волн в различных точках ортотропной пластинки. Процесс распространения волновых поверхностей условно можно разделить на четыре этапа:

1) После динамического контакта от области взаимодействия отрываются и начинают распространяться по всем направлениям продольные и поперечные волны (рис. 9), количество которых зависит от динамических уравнений мишени; отражаясь от нижней поверхности пластинки, они взаимодействуют между собой. Наиболее интересно определение напряжений в контактной области, на нижней поверхности пластинки, в местах взаимодействия прямых и отраженных волн, особенно в тех точках, где встречается большое количество фронтов отраженных волн.

Рис. 8 Зависимость динамических характеристик от времени для различных значений предварительных напряжений

2) После некоторого количества отражений к фронты волн отдаляются от контактной области и из сферических становятся цилиндрическими (рис. 9); это будет происходить на расстоянии от места удара, т.е. появление в пластинке цилиндрических волн-полосок возможно при соблюдении следующего условия

4к*Лс+!<-. (5.3)

п

Для этого этапа характерно, что напряжения на фронтах цилиндрических волн тем больше, чем они ближе к контактной области.

3) Упругие волны отражаются от границ пластинки и взаимодействуют с прямыми волнами, при этом возможно появление значительных напряжений недалеко от точек крепления.

4) Отраженные от границ пластинки цилиндрические волны доходят до контактной области и взаимодействуют с существующими там сферическими волнами, при этом возможно появление достаточно больших напряжений под областью контакта.

На рис. 9 приняты следующие обозначения: I - ударник, РЕ - фрагмент пластинки, V - скорость падения ударника, И - толщина пластинки, а - местное смятие в зоне контакта. Сплошные круговые линии обозначают фронт продольной волны, а пунктирные - поперечной; стрелками указано направление распространения волн.

Наиболее интересно определение напряжений в контактной области, на нижней поверхности пластинки, которая лежит на жестком основании, в местах взаимодействия прямых и однократно отраженных волн от нижней и боковой поверхности плиты, а также в точках взаимодействия многократно отраженных волн от верхней и нижней границы мишени. Отраженные от нижней поверхности пластинки волны взаимодействуют с прямыми волнами на

расстоянии г^^ = 2hGJ|(G¡ + С/)- Отраженные от края мишени цилиндрические

волны встречаются с прямыми на расстоянии = к[С, [О, + С,).

Первый индекс у величины г обозначает номер отраженной волны, второй индекс - номер прямой волны, (7, - скорость соответствующей волны.

/

Для иллюстрации полученных результатов приведем графические зависимости максимальных напряжений от времени в зоне контакта и на нижней поверхности пластинки для всех волн (рис. 10а); максимальных напряжений от времени в точках взаимодействия 1-2, 1-3, 1-4, 2-3, 2-4, 3-4 волн (рис. 106); максимальных напряжений в точке под областью контакта от расстояния для различных соотношений б^Дт с учетом взаимодействия отраженных волн от нижней и верхней поверхности пластинки (рис. 10в); максимальных напряжений в точках взаимодействия прямых и отраженных от границ пластинки цилиндрических волн (рис. Юг). Кривые на рис. 10а,б, полученные для зоны контакта, обозначаются са, для нижней поверхности пластинки - ¿5, цифры у кривых определяют номера волн, двузначные числа - номера отраженной и прямой волн. На рис. 10в,г цифры у кривых обозначают соответствующее значение отношения Пунктиром показана кривая зависимости напряжения от расстояния при отсутствии отраженных упругих волн.

Из рис. 10а видно, что максимальное напряжение в рассмотренных вариантах возникает непосредственно в месте контакта. Наибольшие напряжения на фронтах волн в точке на нижней поверхности мишени и время их возникновения зависят от упругой характеристики материала в данном направлении, т.е. чем больше модуль упругости или сдвига, тем больше значение максимального напряжения, меньше время до появления максимума и тем интенсивнее убывает зависимость напряжения после прохождения своего пика.

Анализируя графические зависимости, представленные на рис. 106, можно сделать вывод, что наибольшее напряжение возникает в точке взаимодействия продольной волны в направлении г и поперечной волны в плоскости гг, т.е. на суммарное напряжение большее влияние оказывает поперечная волна в направлении большего модуля сдвига. Касательные напряжения в плоскости пластинки существенно влияют на напряжения, хотя удар является поперечным. При взаимодействии двух' продольных волн наблюдается два экстремума напряжений, и результирующая величина уменьшается медленнее, чем при остальных комбинациях взаимодействующих прямой и отраженной волн.

Рис. 10 Зависимость максимальных напряжений от времени и пройденного волной расстояния

Из рис. 10в видно, что при учете отражения волн от верхней и нижней поверхности пластинки появляются локальные пологие максимумы и минимумы для расстояний, пройденных упругими волнами и кратных с^/гДс,-су).

Появление локальных экстремумов обусловлено разницей в скоростях волн. Когда расстояние между волнами становится кратным Л, часть волн компенсируют друг друга, поскольку их фронты направлены навстречу друг другу. Если же расстояние между волнами кратно 2Н, то происходит увеличение суммарного напряжения на фронтах волн. Пунктирная кривая на рис.Юв позволяет оценить количественно вклад наложения отраженных волн с разницей пробегов И и 2/г.

На рис. Юг приведены зависимости наибольших напряжений от расстояния, пройденного волнами вдоль пластинки, с учетом взаимодействия прямых и отраженных от внешнего края волн для различных соотношении СГ1/ЕГ. Видны локальные максимумы вблизи внешней границы пластинки в точке взаимодействия фронтов волн. При увеличении значения отношения упругих характеристик в поперечном и продольном направлении напряжения убывают более интенсивно, а экстремумы в местах взаимодействия отраженных волн становятся круче.

В шестой главе рассматривается шарнирно-опертый круговой сектор сферической оболочки, испытывающий нормальное ударное воздействие упругого цилиндрического тела, с учетом распространения продольных волн, которые влияют на деформацию мишени вне области контакта (рис. 11). В качестве метода решения используется лучевой метод, описанный в §2 главы 2, а также процедура сращивания асимптотических решений, полученных в зоне контакта и вне ее (глава 3).

В §1 строятся отрезки лучевых рядов для неизвестных величин на основании выражений (2.6), (2.10) - (2.12). В §2 происходит сращивание решений вне контактной области на основе лучевых представлений неизвестных величин и решений внутри области контакта на основе уравнения движения ударника (1.1) и контактного пятна

р/ш-02 м; = 2щ + ^бш <р + />(/). (6.1)

После определения постоянных интегрирования контактную силу и динамический прогиб записываются в виде:

1/2

6 пН

{ с'8<Ро

ГТ'

+ 1п5 т<р0+сщ_ -4С 4 0

/ 1 \

— с1 +с2

4 2вг

V > У

(6.2)

•(л = ЁУ _3 + +

6/гАр бяЛ

1/2

Р

40 4 го

с, +

где т =

4 2С1

лг0(ркг0 ~Е$\гкр0) - £,Д0 рЬг0-Евт<р0

т

Е/(1-о>)

рК

(6.3)

Используя соотношения (6.2), (6.3), в §3 построены зависимости контактной силы (рис. 12а,б) и динамического прогиба (рис. 12в,г) от времени для стальной (сплошные линии) и алюминиевой (пунктирные линии) оболочек для различных толщин мишени (рис. 12а,в) и радиусов оболочки (рис. 126,г), значения которых указаны цифрами у кривых. Толщина мишени приводится в миллиметрах, а ее радиус - в метрах.

Из рис. 12а видно, что величина максимальной контактной силы увеличивается с увеличением толщины мишени, при одинаковых значениях к максимум контактной силы для пластинки, выполненной из более твердого материала (сталь), больше максимума контактной силы для пластинки из более мягкого материала (алюминий). Кривая зависимости контактной силы от времени несимметрична относительно своего максимума. При линейно упругой контактной силе треть времени контакта графики ведут себя линейно и углы наклона касательной ко всем кривым совпадают. Это объясняется тем, что на первом этапе значительное влияние оказывает первое слагаемое соотношения (6.2). Рис. 126 демонстрирует нелинейное уменьшение максимального значения контактной силы при увеличении радиуса оболочки. Из рис. 12в видно, что при уменьшении толщины мишени максимальное значение прогиба увеличивается, также увеличивается разница между значениями ~и> для стальной и алюминиевой оболочки, т.е. при увеличении толщины свойства материала оказывают меньшее влияние на динамический прогиб. При увеличении радиуса оболочки прогиб нелинейно увеличивается (рис. 12г), стремясь к максимальному значению, соответствующему случаю, когда мишенью является пластинка.

а) 0.12

0.09 0.06 0.03

б)

0.12 « 0.09

к к

и §

£ 0.06

12

16

0 4

12 16

В)

0.21

0.14 -

0.07

Время

Г)

3 4.5 6 7.5 9 0 1.5 3 4.5 6

Время Время

Рис. 12 Зависимость от времени: а), б) контактной силы; в), г) динамического прогиба

Основные результаты и выводы

1) В рамках волновой теории удара доработана методика, хорошо приспособленная для описания кратковременных процессов и позволяющая учесть при расчете волновые явления в мишени, ее геометрические и реологические свойства, различные модели контакта взаимодействующих тел, граничные и начальные условия. Это подтверждается наилучшим приближением полученных результатов к результатам экспериментов при использовании волнового подхода.

2) Доказано, что, изменяя упругие, вязкоупругие и нелинейно-упругие свойства буфера, используемого в качестве средства противоударной защиты, можно добиться уменьшения динамических характеристик удара. Причем наибольшее влияние на них оказывают вязкоупругие свойства буфера, при

некотором значении которых ударник не совершает отскока от мишени; контактная сила в месте взаимодействия при этом существенно уменьшается. Нелинейные свойства ударника могут как увеличивать максимальную контактную силу (при жесткой характеристике нелинейности), так и уменьшать ее (при мягкой характеристике нелинейности) по сравнению со значением для линейно-упругого ударника.

3) Показано, что вязкоупругие свойства буфера доминируют в начале процесса ударного взаимодействия тела с вязкоупругой пластинкой, а вязкость пластинки начинает оказывать влияние в конце первой половины процесса взаимодействия. При скоростях, больших 10 м/с, упругопластические свойства контакта заметно влияют на силу взаимодействия.

4) В ходе проведения исследований установлено, что при учете распространения термоупругой волны динамический прогиб в месте контакта и контактная сила увеличиваются, но сила увеличивается менее интенсивно. Процесс распространения тепла может существенно влиять на динамические характеристики удара.

5) Численный анализ полученных зависимостей показал, что при увеличении толщины мишени, плотности и модуля упругости ее материала максимальная контактная сила увеличивается, а максимальный динамический прогиб уменьшается. При увеличении радиуса кривизны и размеров мишени контактная сила уменьшается, а динамический прогиб увеличивается.

6) Установлено, что максимальное напряжение при ударе возникает непосредственно в месте контакта. Наибольшие напряжения на фронтах волн и время их возникновения зависят от упругой характеристики материала в данном направлении, т.е. чем больше модуль упругости или сдвига, тем больше значение максимального напряжения, меньше время до появления максимума и тем интенсивнее убывает зависимость напряжения после прохождения своего пика.

7) Доказано, что на суммарное напряжение в месте взаимодействия прямых и отраженных волн большее влияние оказывает поперечная волна в направлении большего модуля сдвига. Продольный сдвиг в плоскости пластинки может существенно влиять на напряжения, даже если удар является поперечным. Наиболее вероятные места возникновения наибольших напряжений в конструкциях, испытывающих ударное воздействие, - контактная область, точки под ней на всю толщину конструкции с шагом, зависящим от скоростей взаимодействующих волн, и места вблизи точек крепления.

8) Использование предложенной методики показало, что внешняя продольная сила существенно влияет на скорости поперечных волн, запирая их, если она сжимающая, и разгоняя - если растягивающая. При увеличении абсолютных значений внешних изгибающего и крутящего моментов поперечные и продольные волны, соответственно, запираются.

9) Доказано, что внешняя растягивающая сила уменьшает максимум контактной силы в месте взаимодействия, остальные внешние усилия увеличивают ее. Динамический прогиб уменьшается при действии на пластинку внешней растягивающей силы и изгибающего момента, который растягивает верхние волокна мишени. Наибольшее влияние на прогиб оказывает внешняя сжимающая сила

10) Развивая предложенную методику и полученные результаты, можно сделать вывод, что, выбирая непрямолинейную форму поверхностей мишени, можно добиться уменьшения напряжений в местах взаимодействия прямых и отраженных волн за счет их рассеяния. При использовании предварительно-напряженной мишени можно добиться локализации дефектов, появляющихся после удара, за счет запирания волн.

11) Показано, что анизотропия в плоскости мишени влияет на динамические характеристики удара значительнее, чем в перпендикулярной плоскости. Увеличение упругих характеристик материала мишени в тангенциальном и нормальном к срединной поверхности мишени направлениях существенно влияет на контактную силу и динамический прогиб.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Монография:

1. Локтев A.A. Динамический контакт ударника и пластинки с учетом волновых процессов. M.: Компания Спутник +. 2007.116 с.

Статьи:

2. Россихин Ю.А., Шитикова М.В., Локтев A.A. Расчёт тонкой плиты на ударное воздействие // Сб. науч. тр. Международной школы-семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики», Воронеж: ВГУ. 2002. С. 622-634.

3. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V., Loktev A.A. The analysis of thin-walled building structures subjected to impact excitation // Proceedings of the 4th International PhD Symposium in Civil Engineering, Munich, Germany. Vol.1.2002. P.487-492.

4. Россихин Ю.А., Шитикова M.B., Локтев A.A. Расчёт вязкоупругой пластинки на ударное воздействие // Объединенный научный журнал. № 20(78). 2003. С. 60-67.

5. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V., Loktev A.A. The analysis of a thin viscoelastic plate subjected to impact excitation // Proceedings of the 6th International Conference on Vibration Problems ICOVP-2003, Liberec, Czech Republic. 2003. P.40-46.

6. Россихин Ю.А., Шитикова M,В., Локтев A.A. Удар твердого тела о трансверсально изотропную пластинку посредством буфера // Сб. науч. тр. Международной школы-семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики», Воронеж: ВГУ. 2004. С. 424-427.

7. Россихин Ю.А., Шитикова М.В., Локтев A.A. Удар шара о нелинейно упругий буфер, установленный на плите перекрытия // Известия вузов. Строительство. №11.2004. С.16-22.

8. Локтев A.A. Упругий поперечный удар по круглой ортотропной пластинке // Письма в журнал технической физики. Том 31, В.18.2005. С. 4-9.

9. Локтев A.A. Ударное взаимодействие твердого тела и упругой ортотропной пластинки // Механика композиционных материалов и конструкций. Т. 11 N 4. 2005. С. 478-492.

10. Локтев A.A. Волновой подход при расчете плиты на ударное воздействие // Сб. науч. тр. Международной научно-технической конференции «Научная работа в университетских комплексах», М.: Машиностроение. 2005. С. 55-60.

11. Локтев A.A. Упругий удар противовеса лифта по перекрытию // Тр. Второй Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара. 2005. С. 185-188.

12. Локтев A.A. Исследование нелинейности ударника на процесс ударного взаимодействия твердого тела и тонкой пластинки // Сб. тр. Международной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения В.И. Зубова «Устойчивость и процессы управления». СПб.: СПбГУ. 2005. С. 1283-1292.

13. Локтев A.A., Локтева И.А. Проверка локальной прочности плиты в месте ударного воздействия // Тр. 1-го Международного форума молодых ученых (б-ой международной конференции). Актуальные проблемы современной науки. Естественные науки. 4.3,4., 12-15 сентября 2005г. Самара. 2005. С. 51-54.

14. Локтев A.A., Локтева И.А. Упруголластический контакт стержня и тонкой пластинки // Тр. 2-го Международного форума молодых ученых (7-ой международной конференции). Актуальные проблемы современной науки. Естественные науки. 4.1-3., 20-23 ноября 2006г. Самара. 2006. С. 186-190.

15. Loktev A.A., Lokteva I.A. Elastoplastic impact of the sphere upon the nonclassical plate // Proceeding of 1st International Congress of Serbian Society of Mechanics, 10-13th April, Kopaonik, Serbia. 2007. C. 264-269.

16. Локтев A.A. Удар вязкоупругого тела по упругой изотропной пластинке // Механика композиционных материалов и конструкций, Т. 13. N 3.2007. С. 170-178.

17. Loktev A.A., Lokteva I.A. Viscoelastic and elastoplastic models of impact solid body on an Uflyand-Mindlin plate // Prosseding df III ECCOMAS Thematic Conference Smart Structures and Materials, 9-11 July. Gdansk, Poland. 2007. P. 154-168.

18. Локтев A.A. Ударное взаимодействие вязкоупругого тела и пластинки Уфлянда-Миндлина // Вестник Воронеж, гос. универ. Серия: Физика. Математика. № 1.2007. С. 167-173.

19. Локтев A.A., Локтева И.А. Упругопластическая модель взаимодействия ударника со сферическим бойком и пластинки // Сборник статей 15-й зимней школы по механике сплошных сред, 4.2. Пермь. 2007. С. 96-99.

20. Локтев A.A. Упругопластическая модель взаимодействия цилиндрического ударника и пластинки // Письма в журнал технической физики. Том 33, В.16. 2007. С. 72-77.

21. Локтев A.A., Локтев Д.А. Решение задачи ударного взаимодействия твердого тела и сферической оболочки лучевым методом // Вестник Воронеж, гос. универ. Серия: Физика.Математика. №2.2007. С. 128-135.

22. Локтев A.A. Динамический контакт ударника и упругой ортотропной пластинки при наличии распространяющихся гермоулругих волн // Прикладная математика и механика. Т.72.В.4. 2008. С. 652-658.

23. Локтев A.A., Локтев Д.А. Поперечный удар шара по сфере с учетом волны в мишени//Письма в журнал технической физики. Т.34, В.22. 2008. С. 21-29.

24. Локтев A.A., Локтев Д.А. Неосесимметричный динамический контакт твердого тела и ортотропной неклассической пластинки // Сборник трудов Международной научно-практической конференции «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы», 12 ноября 2008г. М.:МГСУ. 2008 С. 214-224.

25. Локтев A.A., Локтев Д.А. Определение напряжений на фронтах ударных волн в ортотропной пластинке // Научные труды двенадцатой межвузовской научно-практической конференции молодых ученых, докторантов и аспирантов, М.: МГСУ, 15-22 апреля. 2009. С. 472-479.

26. Локтев A.A., Локтев Д.А. Влияние предварительных напряжений на скорости упругих волн в ортотропной пластинке // Сборник трудов Второй Международной научно-практической конференции «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы», 18 ноября 2009г. М.:МГСУ, 2009. С. 228-232.

27. Локтев A.A., Локтев Д.А. Численные и аналитические методы в динамических задачах прикладной механики // Труды Всероссийской научно-практической конференции «Математика, информатика, естествознание в экономике и обществе», 16-17 ноября. М.: МФЮА, 2009. С. 91-96.

28. Локтев A.A., Локтев Д.А. Влияние предварительных напряжений ортотропной пластинки на динамические характеристики ударного воздействия // Материалы XVI Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова, 15-19 февраля. М.-.МАИ, 2010. С. 119-120.

29. Локтев A.A., Черников И.Ю. Расчет упругой изотропной пластинки на ударное воздействие // Труды VII Всероссийской научно-практической и учебно-методической конференции «Фундаментальные науки в современном строительстве», 31 марта. М.: МГСУ, 2010. С. 196-201.

30. Локтев A.A., Залетдинов A.B. Математическое моделирование процесса распространения от точечного источника упругих волн в пластинке с помощью фракталов // Труды VII Всероссийской научно-практической и учебно-методической конференции «Фундаментальные науки в современном строительстве», 31 марта. М.: МГСУ, 2010. С. 183-190.

31. Локтев A.A., Локтев Д.А. Решение задачи ударного взаимодействия упругого тела и пластинки Уфлянда-Миндлина с помощью лучевого метода / Вестник МГТУ им. Баумана. Серия Естественные науки. N2(37). 2010. С. 94-102

Подписано в печать 28.07. 2010. Формат 60 х 84 1/16 Усл. печ. л. 2,25. Тираж 120 экз. Заказ № 280

ГОУВПО «Воронежская государственная технологическая академия» (ГОУВПО «ВГТА») Отдел полиграфии ГОУВПО «ВГТА» Адрес академии и отдела полиграфии: 394036 Воронеж, пр. Революции, 19

ВВЕДЕНИЕ.

1. УДАРНЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ НА СТЕРЖНИ, БАЛКИ, ПЛАСТИНКИ И ОБОЛОЧКИ (ОБЗОР)

1.1. Введение.

1.2 Энергетический подход без учета местного смятия тел.

1.3. Понятие о волновой теории удара.

1.4 Современные подходы к задаче ударного воздействия.

1.5. Экспериментальные исследования ударного воздействия.

1.6. Косой удар.

2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С УЧЕТОМ РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН

2.1. Классификация методов решения внутри контактной области и вне ее

2.2. Лучевой метод.

2.2.1 Рекуррентные соотношения лучевого метода для упругой изотропной пластинки.

2.2.2 Рекуррентные соотношения лучевого метода для вязкоупругой изотропной пластинки.

2.2.3 Рекуррентные соотношения лучевого метода для упругой ортотропной пластинки.

2.2.4 Рекуррентные соотношения для термоупругой пластинки.

2.3 Использование разложений неизвестных динамических величин в ряды по специальным функциям.

2.3.1. Функции Бесселя.

2.3.2. Преобразование Фурье.

2.3.3. Сферические функции.

2.4 Использование численных методов для решения задач ударного взаимодействия.

2.4.1 Метод конечных разностей.

2.4.2 Метод Бубнова-Галеркина.

2.4.3 Метод численного интегрирования.

2.4.4 Методы, используемые в современных программных комплексах для инженерных расчетов.

2.5 Выводы по второй главе.

3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МНОГОЧЛЕННЫХ ЛУЧЕВЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ УДАРНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ НА УПРУГУЮ И ВЯЗКОУПРУГУЮ ПЛАСТИНКУ

3.1. Линейно упругая модель ударного взаимодействия.

3.1.1. Ударное взаимодействие упругого тела и упругой изотропной пластинки.

3.1.2. Ударное взаимодействие упругого тела и вязкоупругой изотропной пластинки.

3.2. Вязкоупругая модель динамического контакта.

3.2.1. Ударное взаимодействие вязкоупругого тела и упругой пластинки

3.2.2. Ударное взаимодействие вязкоупругого тела и вязкоупругой пластинки.

3.3. Нелинейно упругая модель взаимодействия ударника и пластинки

3.3.1. Ударное взаимодействие нелинейно упругого тела и упругой пластинки.

3.3.2. Ударное взаимодействие нелинейно упругого тела и вязкоупругой пластинки.

3.4. Выводы по третьей главе.

4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОДНОЧЛЕННЫХ ЛУЧЕВЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ УДАРНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

4.1 Постановка задачи и метод решения.

4.2 Вязкоупругая модель ударного взаимодействия твердого тела и упругой изотропной пластинки.

4.3 Упруго-пластические модели ударного взаимодействия твердого тела и упругой изотропной пластинки.

4.4 Численные исследования.

4.5. Выводы по четвертой главе.

5. УДАРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА И УПРУГОЙ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНКИ

5.1. Исследование влияния анизотропных свойств мишени на динамические характеристики удара.

5.2. Анализ влияния термоупругих свойств мишени на динамические характеристики удара.

5.3. Влияние предварительных напряжений на волновые процессы в мишени и динамические характеристики удара.

5.4. Определение напряжений на фронтах упругих волн в различных точках мишени.

5.5. Выводы по пятой главе.

6. УДАР ТВЕРДОГО ТЕЛА ПО ОБОЛОЧКЕ С УЧЕТОМ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

6.1 Постановка задачи.

6.2 Метод решения.

6.3. Численные исследования.

6.4. Выводы по шестой главе.

Актуальность темы. Использование в различных областях хозяйственной деятельности человека конструкций и их элементов сложной геометрической формы, композитных материалов заставляет исследователей идти по пути усложнения математических моделей процессов и объектов.

Наиболее интересными и сложными в механике деформируемых тел и ее инженерно-технических приложениях являются динамические задачи, в том числе связанные с ударным взаимодействием тел. Они актуальны как с точки зрения развития фундаментальных разработок по механике твердого деформируемого тела, так и с точки зрения практического применения результатов их решения. С подобными задачами сталкиваются в строительной индустрии на этапе возведения зданий и сооружений, в машиностроении при различных режимах работы механизмов, а также при их эксплуатации в нормальных и экстремальных условиях.

Потребности инженерной практики заставляют совершенствовать реологические модели соударяемых тел, более детально описывать характер их ударного взаимодействия и учитывать волновые явления, происходящие в них, что в свою очередь приводит к созданию более совершенных средств противоударной защиты конструкций и их элементов, к выявлению таких управляемых параметров, изменение которых будет сказываться на конечных характеристиках динамического контакта.

Учет нелинейно упругих, вязкоупругих, термоупругих, пластических и анизотропных свойств соударяемых тел обуславливает более точное представление о характере протекания данного процесса."

Несмотря на значительные достижения в решении проблем, связанных с ударным взаимодействием, вопросы учета нелинейности, вязкости, анизотропии и предварительного напряжения, равно как и использование расчетно-обоснованных средств защиты от удара, до последнего времени являются недостаточно хорошо изученными. В связи с вышеизложенным, исследования, проведенные в рамках данной работы, по изучению влияния перечисленных факторов на процесс ударного взаимодействия твердых тел и пластинок и оболочек следует признать весьма актуальными.

Актуальной является также проблема создания достаточно простой методики расчета задач ударного взаимодействия с учетом различных свойств и процессов в контактирующих телах, которой могли бы пользоваться инженеры-проектировщики при расчете конструкций и их элементов, а также для сравнения с результатами, полученными с помощью новейших программных комплексов.

Основными целями диссертационной работы являются:

1) исследование ударного взаимодействия твердых тел с пластинками и оболочками с учетом волновых явлений.

2) изучение влияния вязкоупругих, термоупругих и анизотропных свойств материала пластинки на динамические характеристики контактного взаимодействия.

3) исследование упругих, вязкоупругих, нелинейно упругих и упругопластических свойств буфера, который используется для моделирования контактной силы и может быть средством противоударной защиты.

4) изучение влияния предварительных напряжений мишени на процесс распространения волновых поверхностей в ней и на динамические характеристики удара. 5) создание методики расчета конструкций на ударное воздействие, которая может учитывать различные физические и геометрические свойства соударяющихся тел, на основе использования аналитических и численных методов.

Научная новизна. В процессе проведения исследований были получены аналитические решения и дан численный анализ следующих задач:

1) об ударном взаимодействии упругого, нелинейно упругого, упругопластического и вязкоупругого ударника с упругой изотропной пластинкой;

2) об ударном взаимодействии упругого, нелинейно упругого и вязкоупругого ударника с вязкоупругой изотропной пластинкой;

3) об ударном взаимодействии упругого цилиндрического и сферического ударника с упругой ортотропной пластинкой;

4) о распространении термоупругих волн в пластинке от нагретого ударника;

5) о динамическом контакте ударника и предварительно-напряженной пластинки, к которой приложены внешняя продольная сила, изгибающий и крутящий момент;

6) о поперечном ударе твердого тела по сферической оболочке с .учетом распространения волн.

Получены теоретические результаты, наиболее приближенные к результатам экспериментов (Гольдсмит В. 1965, Зукас Д.А. и др. 1985).

В совокупности полученные результаты позволили доработать системный волновой подход к задачам ударного взаимодействия.

Достоверность полученных результатов базируется на корректной математической постановке задач, сравнении результатов аналитических решений и численных расчетов, сопоставлении теоретических решений с экспериментальными данными, применении современных программных вычислительных средств. Полученные в работе численные результаты согласуются с общими физическими представлениями. Правильность полученных результатов определяется корректностью математических выкладок и сопоставлением с известными результатами других авторов.

Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы проектными и научно8 исследовательскими организациями- в процессе проектирования* плит и оболочек, на которые возможно действие ударной нагрузки. Результаты диссертационного исследования вошли в курс «Введение в волновую механику» кафедры теоретической механики Института фундаментального образования Московского государственного строительного университета.

На защиту выносятся:

1) метод решения задач ударного воздействия, основанный на представлении динамического контакта как суперпозиции двух задач: местного смятия в зоне взаимодействия и деформирования тел вне ее с учетом волновых процессов;

2) результаты исследования ударного воздействия ударника с пластиной, с учетом распространяющихся в последней волновых поверхностей;

3) результаты исследования влияния линейно упругих, вязкоупругих, нелинейно упругих и упругопластических свойств ударника на динамические характеристики удара;

4) результаты изучения влияния вязкоупругих свойств материала пластинки на динамические характеристики контактного взаимодействия;

5) результаты изучения влияния анизотропии материала пластинки на динамическую контактную силу и прогиб;

6) результаты анализа влияния термоупругих свойств пластинки на динамические характеристики удара, определение скорости температурной волны;

7) результаты анализа влияния предварительного напряжения пластинки на динамические характеристики удара и скорости распространения продольных и поперечных волн в ортотропной пластинке;

8) результаты анализа значений напряжений на фронтах волн в различных точках мишени, определение их максимальных значений;

9) результаты исследования динамического контакта ударника и сферической оболочки с учетом продольной волны растяжения сжатия в ней.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных конференциях профессорско9 преподавательского состава Воронежского государственного- архитектурно-строительного университета в 2003-2004 годах; на семинаре по теоретической и прикладной механике Воронежского государственного технического университета в 2003 году; на Воронежских школах-семинарах «Современные проблемы механики и прикладной математики» в 2002 и 2004 годах; на 4-ом Международном симпозиуме по строительству среди аспирантов «4th International Ph.D. Symposium in Civil Engineering". Мюнхен. Германия. 2002; на Международной конференции «34th Solid Mechanics Conference». Закопан, Польша, 2002; на Международной конференции по проблемам механики «6th International Conference on Vibration Problems 2003» Либерец. Чехия. 2003; на 11-й, 12-й и 13-й Международных конференциях «Математика. Компьютер. Образование» в 2004, 2005 и 2006 годах в г. Дубна и г.Пущино; на Международной конференции «4-ые Окуневские чтения». Санкт-Петербург. 2004; на Международных конференциях «Days of Diffraction» Санкт-Петербург. 2004, 2005; на Международных летних школах «Advanced Problems in Mechanics» в 2004, 2005, 2006, 2007, 2008 годах в п. Репино г.Санкт-Петербург; на Международной научно-технической конференции «Научная работа в университетских комплексах». Воронеж. 2005; на Второй Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара. 2005; на Всероссийской научной конференции студентов и аспирантов «Молодые исследователи - регионам». Вологда. 2005; на Международной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения В.И. Зубова «Устойчивость и процессы управления». Санкт-Петербург. 2005; на Международной конференции по Вычислительной пластичности. Основы и приложения «Computational plastisity VIII. Fundamentals and applications». Барселона. Испания. 2006; на 14-й и 15-й зимних школах по механике сплошных сред. Пермь. 2005, 2007; на Международной конференции «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике». Новосибирск. 2005; на Международных молодежных научных конференциях «Гагаринские чтения». Москва. 2005, 2007; на Международной конференции финно-угорской конференции по механике «Finno-Ugric international conference of mechanics».

10

Ракив. Венгрия. 2005; на Международном форуме молодых ученых (6-ая международная конференция). Актуальные проблемы современной науки. Самара. 2005; на Международной конференции «Авиация и космонавтика 2006». Москва. 2006; на Международном форуме молодых ученых (7-ая международная конференция). Актуальные проблемы современной науки. Самара. 2006; на Международном конгрессе Сербского общества механики «International Congress of Serbian Society of Mechanics». Капаоник. Сербия. 2007; на 3-й Тематической конференции интеллектуальных конструкций и материалов «III ECCOMAS Thematic Conference Smart Structures and Materials». Гданьск. Польша. 2007; на Всероссийской научно-практической конференции «Математика, информатика, естествознание в экономике и обществе». Москва. 2007; на Международной научно-практической конференции «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы». Москва. 2008; на Двенадцатой межвузовской научно-практической конференции ^ молодых ученых, докторантов и аспирантов. Москва. 2009; на семинарах Донского государственного технического университета в 2006 и 2008 годах. -Ростов-на-Дону; на городских семинарах по механике в г. Санкт-Петербург в 2007, 2008; на 16-ом симпозиуме «Динамика виброударных (сильно нелинейных) с систем». Звенигород. 2009; на семинаре института механики сплошных сред. Пермь. 2009; на семинаре кафедры теории пластичности Московского государственного университета. Москва. 2009; на VII Всероссийской научно-практической и учебно-методической конференции «Фундаментальные науки в современном строительстве». Москва. 2010; на XVI Международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" им. А.Г. Горшкова. Ярополец. 2010.

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 56 печатных работ, в том числе одна монография и 32 статьи в отечественных и зарубежных журналах и сборниках научных трудов и материалов конференций.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 272 страницах

Основные результаты и выводы диссертационной работы состоят в следующем:

1) В рамках волновой теории удара доработана методика, хорошо приспособленная для описания кратковременных процессов и позволяющая учесть при расчете волновые явления в мишени, ее геометрические и реологические свойства, различные модели контакта взаимодействующих тел, граничные и начальные условия. Это подтверждается наилучшим приближением к результатам экспериментов при использовании волнового подхода.

2) Доказано, что, изменяя упругие, вязкоупругие и нелинейно-упругие свойства буфера, используемого в качестве средства противоударной защиты, можно добиться уменьшения динамических характеристик удара. Причем наибольшее влияние на них оказывают вязкоупругие свойства буфера, при некотором значении которых ударник не совершает отскока от мишени, контактная сила в месте взаимодействия при этом существенно уменьшается. Нелинейные свойства ударника могут как увеличивать максимальную контактную силу (при жесткой характеристике нелинейности), так и уменьшать ее (при мягкой характеристике нелинейности) по сравнению со значением для линейно-упругого ударника.

3) Показано, что вязкоупругие свойства буфера доминируют в начале процесса ударного взаимодействия тела с вязкоупругой пластинкой, а вязкость пластинки начинает оказывать влияние в конце первой половины процесса взаимодействия. При скоростях > 10 м/с упругопластические свойства контакта заметно влияют на силу взаимодействия.

4) В ходе проведения исследований установлено, что при учете распространения термоупругой волны динамический прогиб в месте контакта и контактная сила увеличиваются, но сила увеличивается менее интенсивно. Процесс распространения тепла может существенно влиять на динамические характеристики удара.

5) Численный анализ полученных зависимостей показал, что при увеличении толщины мишени, плотности и модуля упругости ее материала максимальная контактная сила увеличивается, а максимальный динамический прогиб уменьшается. При увеличении радиуса кривизны и размеров мишени контактная сила уменьшается, а динамический прогиб увеличивается.

6) Установлено, что максимальное напряжение при ударе возникает непосредственно в месте контакта. Наибольшие напряжения на фронтах волн и время их возникновения зависят от упругой характеристики материала в данном направлении, т.е. чем больше модуль упругости или сдвига, тем больше значение максимального напряжения, меньше время до появления максимума и тем интенсивнее убывает зависимость напряжения после прохождения своего пика.

7) Доказано, что на суммарное напряжение в месте взаимодействия прямых и отраженных волн большее влияние оказывает поперечная волна в направлении большего модуля сдвига. Продольный сдвиг в плоскости пластинки- может существенно влиять на напряжения, даже если удар является поперечным. Наиболее вероятные места возникновения наибольших напряжений в конструкциях, испытывающих ударное воздействие - контактная область, точки под ней на всю толщину конструкции с шагом, зависящим от скоростей взаимодействующих волн, и места вблизи точек крепления.

8) При использовании предложенной методики показано, что внешняя продольная сила существенно влияет на скорости поперечных волн, запирая их, если она сжимающая, и разгоняя - если растягивающая. При увеличении абсолютных значений внешних изгибающего и крутящего моментов поперечные и продольные волны, соответственно, запираются.

9) Доказано, что внешняя растягивающая сила уменьшает максимум контактной силы в месте взаимодействия, остальные внешние усилия увеличивают ее. Динамический прогиб уменьшается при действии на пластинку внешней растягивающей силы и изгибающего момента, ко торый растягивает верхние волокна мишени. Наибольшее влияние на прогиб оказывает внешняя сжимающая сила.

10) Развивая предложенную методику и полученные результаты можно сделать вывод, что, выбирая непрямолинейную форму поверхностей мишени, молено добиться уменьшения напряжений в местах взаимодействия прямых и отраженных волн за счет их рассеяния. При использовании предварительно-напряженной мишени можно добиться локализации дефектов, появляющихся после удара, за счет запирания волн.

11) Показано, что анизотропия в плоскости мишени влияет на динамические характеристики удара значительнее, чем в перпендикулярной плоскости. Увеличение упругих характеристик материала мишени в тангенциальном и нормальном к срединной поверхности мишени направлениях существенно влияет на контактную силу и динамический прогиб.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Айзикович С.М. Контактные задачи теории упругости для неоднородных сред / С.М. Айзикович, В.М. Александров, A.B. Белоконь, Л.И. Кренев, И.С. Трубчик М.:Физматлит, 2006. - 240с.

2. Александров В.М. Осесимметричные контактные задачи для упругопластических тел / В.М. Александров, И.Г. Кадомцев, Л.Б. Царюк // Трение и износ. 1984. - Т. 1, №1. - С. 16-26

3. Александров В.М. Контактные задачи в машиностроении / В.М. Александров, Б.Л. Ромалис М.: Машиностроение, 1986. - 362с.

4. Альбом заданий на проектирование строительной части лифтовых установок. AT 7.01.- 001А.

5. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин / С.А. Амбарцумян М.: Наука, 1987.-360с.

6. Андрущенко В.А. Столкновение плоских и осесимметричных ударников с жестким неподвижным препятствием / В.А. Андрущенко, В.А. Головешкин, В.В. Зуев, H.H. Холин // Известия РАН. Механика твердого тела. 2005. - № 5. - С. 97-107.

7. БатусаГ.С. Инженерные методы исследования ударных процессов /Г.С. Батуса, Ю.В. Голубков, А.К.Ефремов, А.А.Федосов М.: Машиностроение - 1977. - 346с.

8. Белов H.H. Математическое моделирование процессов динамического разрушения бетона / H.H. Белов, П.В. Дзюба, О.В. Кабанцев, Д.Г. Копаница, A.A. Югов, Н.Т. Югов // Известия РАН. Механика твердого тела. 2008. - № 2. - С. 124-133.

9. Белов H.H. Расчет прочности железобетона на ударные нагрузки /Н.Н.Белов, O.A. Кабапцев, A.A. Коияев, Д.Г. Копаница, В.Ф.Толкачев, A.A. Югов, Н.Г. Югов // Прикладная механика и техническая физика. — 2006. Т.47, №6. - С. 165-173.

10. Белов H.H. Расчет прочности железобетонных колонн на повторный продольный удар / H.H. Белов, Н.Т. Югов, Д.Г. Копаница, O.A. Кабанцев, A.A. Югов, А.Н. Овечкина // Прикладная механика и техническая физика.- 2008. Т.49, № 1. - С. 181-190.

11. Беляев Н.М. Сопротивление материалов /Н.М.Беляев М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1965- 884с.

12. Бивин Ю.К. Деформация и разрушение круглых пластин при статическом и динамическом нагружении сферическим телом / Ю.К. Бивин // Известия РАН. Механика твердого тела. 2008. - № 5. - С. 130-140.

13. Бирюков Д.Г. Динамический упругопластический контакт ударника и сферической оболочки / Д.Г. Бирюков, И.Г. Кадомцев // Прикладная механика и техническая физика. -2002. Т.43. № 5. - С. 171-175.

14. Бирюков Д.Г. Упругопластический неосесимметричиый удар параболического тела по сферической оболочке / Д.Г. Бирюков, И.Г.Кадомцев// Прикладная механика и техническая физика. 2005. -Т.46. № 1.-С. 181-186.

15. Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости / Д. Бленд М.: Мир. - 1965. -199с.

16. Буренин A.A. К построению приближенных решений краевых задач ударного деформирования / A.A. Бурении, В.Е. Рагозина// Известия РАН. Механика твердого тела. 2008. - №2.- С. 106-113.

17. ГольдсмитВ. Удар. Теория и физические свойства соударяемых тел /В. Гольдсмит М.: Издательство «Литература по строительству». - 1965. -448с.

18. Горельский В.А. Численный анализ соударения разноплотиых тел при ударепод углом / В. А. Горельский, С.А. Зелепугин, В.Н.Сидоров// Известия РАН. Механика твердого тела. 1999. - №3.- С.45-54.

19. Горшков А.Г. Удар деформируемым цилиндрическим телом по упругомуполупространству / А.Г. Горшков, Амар Абдул Карим Салмап,

20. Д.В. Тарлаковский, Г.В. Федотенков // Известия РАН. Механика твердого тела. 2004. - №3.- С.82-90.

21. Горшков А.Г., Медведский А.Л, Рабипский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Волныв сплошных средах. Учебное пособие для ВУЗов. Физматлит, 2004.

22. Горшков А.Г. Вертикальный удар абсолютно жесткой сферы или цилиндрас заполнителем по упругому полупространству / А.Г. Горшков, Д.В. Тарлаковский// Известия РАН. Механика твердого тела. 1998. -№5.- С.98-105.

23. Горшков А.Г. Плоская задача о вертикальном ударе цилиндрической оболочки по упругому полупространству / А.Г. Горшков, Д.В. Тарлаковский, Г.В. Федотенков // Известия РАН. Механика твердого тела.-2000.-№5.-С.151-158.

24. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия / К.Джонсон М.: Мир. - 1989.-509с.

25. Докучаев С.А. Нестационарная динамическая контактная задача теории упругости об ударе параболического штампа в упругую полуплоскость / С.А. Докучаев, В.Б. Зеленцов, Р.В. Сахабудипов // Известия РАН. Механика твердого тела. 2009. - №1 - С.53-66.

26. Зеленцов В.Б. Об ударе плоского штампа в упругую полуплоскость / В.Б. Зеленцов // Прикладная математика и механика. 2006. - Т.70, №1 -С.150-161.

27. Зеленцов В.Б. Нестационарная динамическая контактная задача теории упругости об ударе параболического штампа в упругую полуплоскость /В.Б. Зеленцов// Известия РАН. Механика твердого тела. 2006. - №1 -С.28-46.

28. Зукас Д.А. Динамика удара / Д.А. Зукас, Т. Николас, Х.Ф. Свифт, Л.Б. Грещук, Д.Р. Куран М.:Мир. - 1985. - 296с.

29. Кадомцев И.Г. Осесимметрйчиое упругопластическое соударение двух тел, одно из которых коническое / И.Г. Кадомцев // Известия СевероКавказского научного центра высшей школы естественных наук. 1990. — № 4. - С. 50-54.

30. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке М.: Главное издательство физико-математической литературы - 1971.-456с.

31. Капель Г.И. Исследование механических свойств материалов при ударноволновом нагружении / Г.И. Капель, C.B. Разоренов, A.B. Уткин,

32. B.Е. Фортов // Извее гия РАН. Механика твердого тела. — .1999. — .№5 —1. C.173-188.

33. Кильчевский H.A. Теория соударения твёрдых тел / H.A. Кильчевский — Киев: Наукова Думка. 1969. - 246с.

34. Кобенко C.B. Моделирование разрушения ортотропной пластины при ударес использованием различных критериев прочности /C.B. Кобенко, М.Н. Кривошеина, A.B. Радченко // Механика композиционных материалов и конструкций. 2004. - Т.10,№3. - С. 347-354.

35. Кольский Г. Волны напряжения в твердых телах. / Г. Кольский М., ГИТТЛ, 1955.- 194с.

36. Кукуджанов В.Н. Распространение упруго-пластических волн в стержне сучетом влияния скорости деформации / В.Н. Кукуджанов М.: ВЦ АН СССР. - 1967.-48 с.

37. Кукуджанов В.Н. Распространение волн в упруговязкопласгических материалах с диаграммой общего вида. / В.Н. Кукуджанов // Известия РАН. Механика твердого тела. 2001. - №5. - С. 96-111.

38. Кукуджанов В.Н., Левитин А.Л. О динамическом краевом эффекте при продольно-поперечном ударе по упруговязкопластическомуполупространству /В.Н. Кукуджаиов, А.Л.Левитин// Механика твердого тела, 2003, №4, С. 198-214.

39. Кукуджаиов К.В. Исследование разрушения слоистых пластин из композиционных материалов при ударном контактном нагружении / К.В. Кукуджаиов // Известия РАН. Механика твердого тела. 2009. - №1 - С.185-192.

40. Лапшин В.В. Удар о поверхность тела с дополнительной опорой /В.В.Лапшин// Вестник МГТУ им.Н.Э. Баумана. Серия: Естественные науки. 2006. - №2. - С.45-53.

41. Локтев A.A. Моделирование процессов ударного взаимодействия твердого тела с пластинкой с учетом различных свойств ударника и мишени / A.A. Локтев // Автореф. диссертации на соискание степени кандидата физ.-мат. наук., ВГУ, Воронеж, 2004. 16 с.

42. Локтев A.A. Волновой подход при расчете плиты на ударное воздействие / A.A. Локтев // Сб. науч. тр. Международной научно-технической конференции «Научная работа в университетских комплексах», Москва: Машиностроение. 2005. - С. 55-60.

43. Локтев A.A. Упругий поперечный удар по круглой ортогропной пластинке / A.A. Локтев// Письма в журнал технической физики. 2005. - Том 31, В.18 - С. 4-9.

44. Локтев A.A. Упругий удар противовеса лифта по перекрытию / A.A. Локтев // Тр. Второй Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» Самара. - 2005. - С. 185-188.

45. Локтев A.A. Ударное взаимодействие твердого тела и упругой орготропной пластинки / A.A. Локтев // Механика композиционных материалов и конструкций, 2005 т. 11 № 4. - С. 478-492.

46. Локтев A.A. Удар вязкоупругого тела по упругой изотропной пластинке / A.A. Локтев // Механика композиционных материалов и конструкций, Т. 13. N3.2007. С. 170-178.

47. Локтев A.A. Ударное взаимодействие вязкоупругого тела и пластинки Уфлянда-Миндлина / A.A. Локтев // Вестник Воронежского государственного университета Серия: Физика. Математика. № 1. 2007. С. 167-173.

48. Локтев A.A., Локтева И.А. Упругопластическая модель взаимодействия ударника со сферическим бойком и пластипки / A.A. Локтев, И.А. Локтева// Сборник статей 15-й зимней школы по механике сплошных сред, 4.2. Пермь. 2007. С. 96-99.

49. Локтев A.A. Упругопластическая модель взаимодействия цилиндрическогоударника и пластинки / A.A. Локтев // Письма в журнал технической физики. Том 33, В. 16. 2007. С. 72-77.

50. Локтев A.A., Локтев Д.А. Решение задачи ударного взаимодействия твердого тела и сферической оболочки лучевым методом / A.A. Локтев,

51. Д.А. Локтев // Вестник Воронежского государственного университета Серия: Физика.Математика. № 2.2007. С. 128-135.

52. Локтев A.A. Динамический контакт ударника и упругой ортотропной пластинки при наличии распространяющихся термоупругих волн / A.A. Локтев // Прикладная математика и механика. Т.72.В.4. 2008. С. 652658.

53. Локтев A.A., Локтев Д.А. Поперечный удар шара по сфере с учетом волны вмишени // Письма в журнал технической физики. Т.34, В.22. 2008. С. 2129.

54. Мокеев В.В. Моделирование вязкоупругого поведения конструкций из композиционных материалов при вибрациях и ударах / В.В.Мокеев // Механика композиционных материалов и конструкций. 1997. - Т.3,№4. — С.3-21.

55. Морозов Н.Ф. Динамика стержня при продольном ударе /Н.Ф.Морозов, П.Е.Товстик // Вестник Санкт-Петербургского государственного университета. Серия 1: Математика, Механика, Астрономия. 2009. - №2. - С.105-111.

56. Никабадзе М.У. Вариант системы уравнений теории тонких тел / М.У Никабадзе // Вестник МГУ. Сер.1 Математика и механика. 2006. N 1. С. 30-35.

57. Новацкий В.К. Волновые задачи теории пластичности./В.К. Новацкий М.:1. Мир. 1978.-307с.

58. ОСТ 22-125-80. Пружины винтовые цилиндрические сжатия и растяжения из стали круглого сечения для лифтов М.: 1980. - 25с.

59. ПановкоЯ.Г. Введение в теорию механических колебаний. / Я.Г. Пановко1. М.:Наука. 1980.-256с.

60. Правила устройства и безопасной эксплуатации лифтов. ПБ 10-06-92 М. 1992.-34с.

61. Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород. Сборникстатей к 75-летию Е.И. Шемякина. Под ред. Д.Д. Ивлева, Н.Ф. Морозова. -М.:Физматлит. 2006. - 864 с.

62. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций / Ю.Н. Работнов М.: Наука. - 1966.-752с.

63. Радченко A.B. Моделирование поведения анизотропных материалов при ударе / A.B. Радченко // Механика композиционных материалов и конструкций. 1998. - №4 - С.52-63.

64. Расторгуев Г.И. Идентификация форм импульсов при поперечном ударе покомпозитным балкам и пластинам / Г.И.Расторгуев, С.И. Снисаренко // Прикладная механика и техническая физика. 2009. - №.6. - С. 126-133.

65. Россихин Ю.А. Удар термоупругого стержня о нагретую преграду / Ю.А. Россихин // Прикл. механика. 1978. Т. 14. N 9. С. 76-82.

66. Россихин Ю.А. Удар жёсткого шара по упругому полупространству / Ю.А. Россихин // Прикладная механика. 1986. - Т.22, №5. - С. 15-21.

67. Россихин Ю.А. К задаче об ударном взаимодействии упругого стержня с пластинкой Уфлянда-Мипдлина / Ю.А. Россихин, М.В. Шишкова // Прикладная механика.-1993 Т. 29, №2- С.39-46.

68. Россихин Ю.А. Удар упругого шара по балке Тимошенко и пластинке Уфлянда-Миндлина с учётом растяжения срединной поверхности /Ю.А. Россихин, М.В. Шитикова// Известия вузов. Строительство. 1996. - № 6 —С.28-34.

69. Россихин Ю.А. Расчёт вязкоупругой пластинки на ударное воздействие / Ю.А. Россихин, М.В. Шитикова, A.A. Локтев // Объединенный научный журнал. 2003. - № 20(78) - С. 60-67.

70. Россихин Ю.А. Удар шара о нелинейно упругий буфер, установленный на плите перекрытия / Ю.А. Россихин, М.В. Шитикова, А.А.Локтев// Известия вузов. Строительство. 2004. - № 11 -С. 16-22.

71. Сеницкий Ю.Э. Поперечный удар по стержню сплошного или составногосечения / Ю.Э. Сеницкий// Инженерный журнал. 1965. - Т.5, В.4. — С.697-704.

72. Сеницкий Ю.Э. Удар вязкоупругого тела по пологой сферической оболочке / Ю.Э. Сеницкий// Механика твердого тела. 1982. - №2. — С.138-143.

73. СНиП 2.03.01.-84* Бетонные и железобетонные конструкции М.: Госстрой. 1989г.

74. СНиП 2.03.01.-84* Нагрузки и воздействия М.: Госстрой. 1999г.

75. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле / С.Г1. Тимошенко М.: Физматгиз, 1959.-439с.

76. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. / С.П Тимошенко, С Войновский- Кригер М.,Наука, 1966.

77. Тимошенко С.П. Теория упругости / С.П. Тимошенко, Дж. Гудьер М.: Наука, 1979.-560с.

78. ТовстикП.Е. Колебания и устойчивость предварительно напряженной пластины, лежащей на упругом основании / П.Е Товстик // Прикладная математика и механика. 2009. - Т. 73 .В 1. - С. 106-120.

79. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твёрдых телах / Т. Томас -М.: Мир. 1964.-308с.

80. Уфляид Я.С. Распространение воли при поперечных колебаниях стержней и пластин / Я.С. Уфлянд// Прикладная математика и механика. 1948. -Т.12,№3-С. 287-300.

81. Филиппов А.П. Поперечный упругий удар тяжелым телом по круглой плите/А.П. Филиппов // Известия РАН. Механика твердого тела. 1971. -№ 6 - С. 102-109.

82. Филиппов А.П. Поперечный удар по стержню при учете инерции вращения и сил перерезывания / А.П. Филиппов, В.А. Скляр // Прикладная механика. 1968. - Т. 4, № 7. - С. 1-7.

83. Филиппов И.Г., Егорычев O.A. Волновые процессы в линейных вязкоупругих средах. / И.Г. Филиппов, O.A. Егорычев // М., Машиностроение, 1983. - 312 с.

84. Чернявский Д.И. Упругопластический удар двух твердых деформируемых тел при средних скоростях соударения / Д.И. Чернявский // Известия РАН. Механика твердого тела. 2003. - № 2 - С.87-99.

85. Abrate S. Impact on laminated composite materials / S. Abrate // Applied Mechanics Reviews.-1991.- Vol. 44, № 4 P. 155-190.

86. Abrate S. Impact on laminated composites: recent advances / S. Abrate // Applied Mechanics Reviews. 1994. - Vol. 47, № 11. - P.517-544.

87. Abrate S. Localized impact on sandwich structures with laminated facing / S. Abrate // Applied Mechanics Reviews. 1997. - Vol. 50, № 2 - P.69-82.

88. Abrate S. Impact on composite structures / S. Abrate // Cambridge University Press.- 1998.-316 p.

89. Abrate S. Modelling of impact on composite structures / S. Abrate // Composite Structures. 2001. - Vol. 51. - P. 129-138.

90. Achenbach J.D. Note on wave propagation in linear viscoelastic media / J.D. Achenbach, D.P. Reddy// Z. Angew. Math. Phys. 1967. - V.18. -P.141-144.

91. Adda-BediaM. Supersonic and subsonic stages of dynamic contact between bodies/M. Adda-Bedia, S.G.L. Smith//Royal Society. P.l 16.

92. Akiyoshi C. Strength analysis under impact (in Japanese) / C. Akiyoshi// Science of Machine.- 1989. Vol. 41, №9- P.69-74.

93. Al-Mousawi M.M. On experimental studies of longitudinal and flexural wave propagations: an annotated bibliography / M.M. Al-Mousawi // Applied Mechanics Reviews. 1986. - Vol. 39, № 6. - P.853-864.

94. AmburD.R. Low-speed impact response characteristics of composite sandwich panels / D.R. Ambur, J.R. Cruz // AIAA 95-1460-CP, April 1995.

95. Anderson T.A. An investigation of SDOl7 models for large mass impact on sandwich composites / T.A. Anderson // Composites: Part B . 2005. - Vol.36.- P.135-142.

96. Atanackovic T.M., Spasic D.71 On viscoelastic compliant contact-impact models / T.M. Atanackovic, D.T .Spasic// Trans. ASME. J. Applied Mechanics. 2004. V. 71, N1. P.134-138.

97. Bachrach W.E Mixed finite element method for composite cylinder subjected to impact / W.E. Bachrach, R.S. Hansen // AIAA Journal. 1989. - Vol. 27, № 5 -P.632-638.

98. Backman M.E. The Mechanics of penetration of projectiles into targets /M.E. Backman, W. Goldsmith// International Journal of Engineering Sciences.- 1978.- Vol. 16- P. 1-99.

99. BalandinD.V. Optimal protection from impact and shock: theory and methods / D.V. Balandin, N.N. Bolotnik, W.D. Pilkey // Applied Mechanics Reviews. -2000. Vol. 53, № 9. - P.237-264.

100. Barnhart K.E. Stresses in beams during transverse impact / K.E. Barnhart, W. Goldsmith // Journal of Applied Mechanics. 1957. - Vol.24. - P.440-446.

101. Bassi A. Anomalous elastic-plastic responses to short pulse loading of circular plates / A. Bassi, F. Genna, P.S. Symonds // International Journal of Impact Engineering. 2002. - Vol.28. - P. 65-91.

102. Belingardi G. Low velocity impact tests of laminated glass-fiber-epoxy matrix composite material plates / G. Belingardi, R. Vadori // International Journal of Impact Engineering. 2002. - Vol. 27. - P. 213-229.

103. Boussinesq J.N. Application Des Potentiels a L'etude De L'equilibre Et Du Movement Des Solides elastiques. / J.N. Boussinesq // Gautheir-Villars, Paris. — 1885. P.464-480.

104. Bucinell R.G. Development of a stochastic free edge delamination model for laminated composite materials subjected to constant amplitude fatigue loading / R.G. Bucinell //Journal of Composite Materials. 1998. - Vol 32, - P. 11381156.

105. Cairns D.S. Transient response of graphite / epoxy and Kevlar / epoxy laminates subjected to impact / D.S. Cairns, P.A. Lagace // AIAA Journal. 1989. - Vol. 27, № 11.- P.1590-1596.

106. Cantwell W.J. The impact resistance of composite materials a review / W.J. Cantwell, J. Morton // Composites. - 1991. - Vol.22, № 5. - P.347-362.

107. Caprino G. Elastic behaviour of cicular composite plates transversely loaded at the center / G. Caprino, A. Langella, V. Lopresto // Composites/ Part A: Applied science and manufacturing. 2002. - Vol. 33. - P. 1191-1197.

108. Carlsson S. On frictional effects at inelastic contact between spherical bodies / S. Carlsson, S. Biwa, P.-L. Larsson // International Journal of Mechanical Sciences. 2000. - Vol.42. - P. 107-128.

109. Castanie B. Modelling of low-energy/low-velocity impact on Nomex honeycomb sandwich structures with metallic skins/ B. Castanie, C. Bouvet, Y. Aminanda, J.-J. Barrau, P. Thevenet // P.620-634.

110. Chattopadhyay S. Permanent indentation effects on the impact response of elastic plates / S. Chattopadhyay // Journal of the Acoustical Society of America. 1987. - Vol. 82, № 2 - P.493-497.

111. Chattopadhyay S. Combined effects on shear deformation and permanent indentation on the impact response of elastic plates / S. Chattopadhyay, R. Saxena // International Journal of Solids and Structures. 1991. - Vol. 27, № 13. - P.1739-1745.

112. Chen J.K. Dynamic large deflection response of composite laminates subjected to impact / J.K. Chen, C.T. Sun // Compos. Struct. 1985. - Vol.4. - P. 59-73.

113. Chen P., XiongJ., ShenZ. Thickness effect on the contact behavior of a composite laminate indented by a rigid sphere / P. Chen, J. Xiong, Z Shen // Mechanics of Materials. 2008. V.40. P. 183-194.

114. Choi I.H. New approach for simple prediction of impact force history on composite laminates / I.H. Choi, C.S. Hong // AIAA J. 1994. - Vol.32.N. 10. -P.-2067-2072.

115. Choi I.H. Low-velocity impact analysis of composite laminates using linearized contact law / I.H. Choi, C.H. Lim // Composite Structures. 2004. - Vol. 66. -P.125-132.

116. Christoforou A.P. Analysis of simply-supported orthotropic cylindrical shells subjected to lateral impact loads / A.P. Christoforou, S.R. Swanson // Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. 1990. - Vol. 57, № 2. - P.378-382.

117. Christoforou A.P. Effect of flexibility on low velocity impact response /A.P. Christoforou, A.S. Yigit// Journal of Sound and Vibration. 1998. - Vol. 217, № 7. - P.563-567.

118. Christoforou A.P. An inverse solution for low-velocity impact in composite plates / A.P. Christoforou, A.A. Elsharkawy, L.H. Guedouar // Computers and Structures. 2001. - Vol.79. - P.2607-2619.

119. Conway H.D. The impact between a rigid sphere and a thin layer / H.D. Conway, H.C. Lee // Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. 1970. - Vol.37, №1. - P. 159-162.

120. Conway H.D. Impact of an indenter on a large plate / H.D. Conway, H.C. Lee // Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. 1970. - Vol.37, № 1. - P.234-235.

121. Corbett G.G. Impact loading of plates and shells by free-flying projectiles: a review / G.G. Corbett, S.R. Reid, W. Johnson // International Journal of Impact Engineering. 1996. - Vol.18, № 2. - P. 141-230.

122. Crook A.W. A study of some impacts between metal bodies by a piezo-electric method / A.W. Crook // Proceedings of the Royal Society, Ser. A. Mathematical and Physical Sciences. 1952. - Vol. A 212, № 1110. - P.377-390.

123. Demiray H. Impact of nonlocal thin elastic plates by a cylindrical projectile / H. Demiray, A.C. Eringen // International Journal of Engineering Science. — 1978. Vol.16.-P.905-916.

124. DengL. Nonlinear dynamic response of the circular plates under impact of a mass (in Chinese) / L. Deng, T. Ye // Acta Mechanica Sinica. 1990. - Vol. 22, № 4. - P.420-428.

125. Desai Y.M. Dynamic analysis of laminated composite plates using a later-wise mixed finite element model / Y.M. Desai, G.S. Ramtekkar, A.H. Shah// Composite Structures. 2003. - Vol.59 - P. 237-249.

126. Dintwa E. On the accuracy of the Hertz model to describe the normal contact of soft elastic spheres / E. Dintwa, E. Tijskens, H. Ramon // Granular Matter. -2008.-N. 10.-P. 209-221.

127. Dobyns A.L. Analysis of simply-supported orthotropic plates subject to static and dynamic loads / A.L. Dobyns// AIAA Journal. 1981. - Vol.19, №5. -P.642-650.

128. Doyle J.F. Experimentally detrimentally the contact force during the transverse impact of an orthotopic plate / J.F. Doyle // Journal of Sound and Vibration. — 1987. Vol.118, N.3. - P.441-448

129. Evans G.R. A new numerical method for the calculation of impact forces / G.R. Evans, B.C. Jones, A.J. McMillan, M.I. Darby // Journal of Physics D: Applied Physics. 1991. - Vol. 24, №6. - P.854-858.

130. Fan Q.-M., Lu W.-Q. A new numerical method to simulate the non-Fourier heat conduction in a single-phase medium // Intern. J. Heat and Mass Transfer. 2002. V.45.N 13. P.2815-2821.

131. Fisher H.D. The impact of an elastic sphere on a thin elastic plate supported by a Winkler foundation / H.D. Fisher // Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. 1975. - Vol. 42, №1. - P. 133-135.

132. Ghosh A. Dynamic and impact response of damaged laminated composite plates / A.Ghosh, P.K. Sinha // Aircraft Engineering and Aerospace Technology. -2004. V.76,N. 1. - P. 29-37.

133. GooN.S. Dynamic contact analysis of laminated composite plates under low-velocity impact /N.S. Goo, S.J. Kim // AIAA Journal. 1997. - Vol. 35, № 9. -P.1518-1521.

134. Grady D.E. Impact fragmentation of high-velocity compact projectiles on thin plates: a physical and statistical characterization of fragment debris / D.E.Grady, N.A. Winfree // International Journal of Impact Engineering. 2001. - Vol. 26.- P.249-262.

135. Gupta N.K. Analysis of collapse behaviour of combined geometry metallic shells under axial impact / N.K. Gupta, N. Mohamed Sheriff, R. Velmurugan // International Journal of Impact Engineering. 1999. - V.20. -P.312-321.

136. Hammel J. Aircraft impact on a spherical shell / J. Hammel // Nuclear Engineering and Design. 1976. - Vol. 37, № 2. - P.205-223.

137. Her S.-C. The finite element analysis of composite laminates and shell structures subjected to low velocity impact / S.-C. Her, Y,-C. Liang // Composite structures. 2004. - Vol.66. - P.277-285.

138. HuN. Impact analysis of composite laminates with multiple delaminations / N. Hu, H. Sekine, H. Fukunaga, Z.H. Yao // International Journal of Impact Engineering. 1999. - V.22. - P.633-648.

139. Huang H.C. Static and dynamic analyses of plates and shells / IT.C. Huang // London, Berlin: Springer. 1989. - 364 p.

140. Huang W. The dynamic response of an elastic circular plate on a viscoelastic Winkler foundation impacted by a moving rigid body / W. Huang, Y.-D. Zou II JSME International Journal. 1992. - Series III, Vol. 35, № 2. - P.274-278.

141. Inoue H. Review of inverse analysis for indirect measurement of impact force /H. Inoue, J.J. Harrigan, S.R. Reid// Applied Mechanics Reviews. 2001. -Vol. 54, № 6. - P.503-524.

142. Jaeger J. Analytical solutions of contact impact problems / J. Jaeger// Applied Mechanics Reviews. 1994. - V.47, N2. - P.35-44.

143. JeonB.S. Low velocity impact and delamination buckling behavior of composite laminates with embedded optical fibers / B.S.Jeon, J.J. Lee, J.K. Kim, J.S. Huh // Smart Mater. Struct. 1999. - V.8.- P.41-48.

144. Jin C.J. Prediction of delamination in composite laminated to low velocity impact / C.J. Jin, C.T. Sun // Journal of Composite Materials. 1993. - V.27, N 7. - P. 684-701.

145. Johnson K.L. One hundred years of Hertz contact / K.L. Johnson // Proceedings of the Institute of Mechanical Engineering. 1982. - Vol. 196. - P.363-377.

146. Kadono T. Surface roughness of alumina fragments caused by hypervelocit^y-impact /T. Kadono, J. Kameda, K. Saruwatari, H. Tanaka, S. Yamamotc^ A. Fujiwara // Planetary and Space Science. 2006. - Vol.54. - P. 212-215.

147. Karagiozova D. Dynamic buckling of elastic-plastic square tubes under axi^j impact I: stress wave propagation phenomenon / D. Karagiozova yj International Journal of Impact Engineering. - 2004. - Vol. 30. - P. 143-166.

148. Karagiozova D. Dynamic buckling of elastic-plastic square tubes under axl^j impact I: structural response / D. Karagiozova, N. Jones // International Journal of Impact Engineering. - 2004. - Vol. 30. - P. 167-192.

149. Karas K. Platten unter seitchem stoss / K. Karas // Ingenieur Archiv. 1939^ Vol. 10. - P.237-250.

150. Kenner V.N. Longitudinal impact on a hollow cone /V.N. Kenn^rj W. Goldsmith, J.L. Sackman// Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. 1970. - Vol.37, №1. - March. - P.67-73.

151. Kenny S. Experimental investigations on the dynamic plastic buckling of a slender beam subject to axial impact / S. Kenny, F. Taheri, N. Pegjg // International Journal of Impact Engineering. 2002. - Vol. 27. - P. 1-17.

152. Kenny S. Finite element investigations on the dynamic plastic buckling* of a slender beam subject to axial impact / S. Kenny, N. Pegg, F. Taheri.^ // International Journal of Impact Engineering. 2002. - Vol. 27. - P. 179-195.

153. KhaliliM.R. Effect of physical and geometrical parameters on transverse low-velocity impact response of sandwich panels with a transversely flexible core /M.R. Khalili, K. Malekzadeh, R.K. Mittal // Composite Structures. 2007. -Vol.77.-P. 430-443.

154. KhaliliM.R. Analysis of fiber reinforced composite plates subjected to transverse impact in the presence of initial stresses / M.R. Khalili, R.K. Mittal, N. Mohammad Panah // Composite Structures. 2007. - Vol.77. - P. 263-268.

155. Khanal M. Compression and impact loading experiments of high strength spherical composites / M. Khanal, W. Schubert, J. Tomas // International Journal of Mineral Processing. 2008. - Vol.86. - P.104-113.

156. Kim J.-K. An analysis of impact force in plain-weave glass/epoxy composite plates subjected to transverse impact / J.-K. Kim, K.-W. Kang // Composites Science and Technology. 2001. - Vol.61. - P. 135-143.

157. KishiN. Impact behaviour of shear-failure-type RC beams without shear rebar / N. Kishi, H. Mikami, K.G. Matsuoka, T. Ando // International Journal of Impact Engiinering. 2002. - Vol. 27. - P. 955 - 968.

158. Koller M.G. Elastic impact of spheres on thin shallow spherical shells / M.G. Koller, M. Busenhart // International Journal of Impact Engineering. — 1986. Vol.4, №1.-P.l 1-21.

159. Kowalski S.J. On normal impact of an infinite elastic-plastic thin-walled plate by a finite elastic rod / S.J. Kowalski, J.A. Kolodziej, B. Raniecki // Nuclear Engineering and Design. 1976. - Vol.37. - P.225-230.

160. Kren' A.P. Determination of the critical stress intensity factor of glass under conditions of elastic contact by the dynamic indentation method / A.P. Kren' // Strength of Materials. 2009. - V.41, N.6. - P. 628 - 636.

161. Krishnamurthy K.S. A parametric study of the impact response and damage of laminated cylindrical composite shells / K.S. Krishnamurthy, P. Mahajan, R.K. Mittal // Composites Science and Technology. 2001. - Vol.61. - P. 16551669.

162. Krishnamurthy K.S. Impact response and damage in laminated composite cylindrical shells / K.S. Krishnamurthy, P. Mahajan, R.K. Mittal// Composite Structures. 2003. - Vol.59. - P. 15-36.

163. Kukudzjanov V.N. Investigation of shock wave structure in elasto-visco-plastic bar using the asymptotic method / V.N. Kukudzjanov // Archive of Mechanics. -1981.-Vol. 33,N5.-P. 739-751.

164. Lee L.J. Dynamic responses of composite sandwich plate impacted by a rigid ball / L.J. Lee, K.Y. Huang, Y.J. Fann // Journal of Composite Materials. — 1993. V.27,N.13. - P.1238-1256.

165. LiuD. Impact perforation resistance of laminated and assembled composite plates /D.Liu, B.B. Raju, X. Dang// International Journal of Impact Engineering. 2000. - Vol.24. - P.733-746.

166. Liu Z. Response of plate and shell structures due to low velocity impact / Z. Liu, S. Swaddiwudhipong// Journal of Engineering Mechanics. — 1997. Vol.123, №12. - P.1230-1237.

167. Liu Z.S. Structural intensity study of plates under low-velocity impact / Z.S. Liu,

168. H.P. Lee, C. Lu // International Journal of Impact Engineering. 2005. — Vol.31.-P. 957-975.

169. Loktev A.A. The analysis of a plate on action of the concentrated force by Galerkin's method using mathematical system Maple /A.A. Loktev,

170. A. Lokteva // Programme and abstracts "Finno-Ugric international conference of mechanics", Rackeve, Hungary, 2005. P. 47.

171. Loktev A.A., Lokteva I.A. Elastoplastic impact of the sphere upon the nonclassical plate / A.A. Loktev, I.A. Lokteva// Proceeding of 1st International Congress of Serbian Society of Mechanics, 10-13th April, Kopaonik , Serbia. 2007. C. 264-269.

172. Loktev A.A., Lokteva I.A. Viscoelastic and elastoplastic models of impact solid body on an Uflyand-Mindlin plate / A.A. Loktev, I.A. Lokteva // Prosseding of III

173. ECCOMAS Thematic Conference Smart Structures and Materials, 9-11 July. Gdansk, Poland. 2007. P. 154-168.

174. LordH.W., ShulmanY. A generalized dynamical theory of thermoelasticity / H.W.Lord, Y Shulman.// J. Mech. and Phys. Solids. 1967. V.15. P.299-309.

175. Mikhlin Y.V. Dynamical interaction of an elastic system and a vibro-impact absorber / Y.V. Mikhlin, S.N. Reshetnikova// Mathematical Problems in Engineering. 2006.-P.1-15.

176. Mili F. Impact behavior of cross-ply laminated composite plates under low velocities / F. Mili, B. Necib // Composite Structures. 2001. - Vol.51. - P.237-244.

177. Mindlin R.D. Influence of rotary inertia and shear on flexural motions of isotropic elastic plates / R.D. Mindlin // Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. 1951. - Vol. 18. - P.31-38.

178. Mindlin R.D. Influence of rotary inertia and shear on flexural motions of isotropic elastic plates / R.D. Mindlin, M.A. Medick // Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. 1959. - Vol.26. - P.561-567.

179. Mittal R.K. A simplified analysis of the effect of transverse shear on the response of elastic plates to impact loading / R.K. Mittal // International Journal of Solids and Structures. -1987. Vol. 23, № 8. - P.l 191-1203.

180. Mittal R.K. Analysis of impact of a moving body on an orthotopic elastic plate / R.K. Mittal, M.R. Khalili // AIAA Journal. 1994. - Vol. 32, № 4. - P.850-856.

181. MochiharaM. Behaviour of plates in the elastic range under transverse impact / M. Moshihara, Y. Tanaka // Research Reports of Kagoshima Technical College 1989. - V.23. — P.35-44.

182. NingJ. Failure analysis of plastic spherical shells impacted by a projectile / J. Ning, W. Song, G. Yang // International Journal of Impact Engineering. — 2006. Vol.32. - P.1464-1484.

183. Olsson R. Impact response of orthotopic composite plates predicted from a one-parameter differential equation / R. Olsson // AIAA Journal. 1992. - Vol.30, № 6. - P.1587-1596.

184. Olsson R. Mass criterion for wave controlled impact response of composite plates / R. Olsson // Composites Part A. 2000. - Vol. 31. - P.879-887.

185. Olsson R. Improved theory for contact indentation of sandwich panel /R. Olsson, H.A. McManus // AIAA Journal. 1996. - Vol.36, № 6. - P.1238-1244.

186. Olsson R., DonadonM.V., FalzonB.G. Delamination threshold load for dynamic impact on plates / R. Olsson, M.V. Donadon, B.G. Falzon // International Journal of Solids and Structures, 2006, V.43., P.3124-3141.

187. Orphal D.L. Target damage from highly oblique hypervelocity impacts of steel spheres against thin laminated targets / D.L. Orphal, C.E. Anderson, Jr. // International Journal of Impact Engineering. 2001. - Vol. 26. - P.567-578.

188. Palmieri D. Whipple shield ballistic limit at impact velocities higher than 7 km/s / D.Palmieri, M. Faraud, R. Destefanis, M. Marchetti // International Journal of Impact Engineering. 2001. - Vol. 26. - P.579-590.

189. Pawlak J.J. Measurement of the local compressive characteristics of polymeric film and web structures using micro-indentation / J.J. Pawlak, D.S. Keller // Polymer testing.-2003.-Vol. 22.-P. 515-528.

190. Phillips J.W. Impact of a rigid sphere on a viscoelastic plate / J.W. Phillips, H.H. Calvit// Transaction of the ASME, Journal of Applied Mechanics. 1967. -Vol.34, №4.- P.873-878.

191. Prasad C.B. Response of laminated composite plate to low-speed impact by different impactors / C.B. Prasad, D.K. Ambur, J.H. Starnes // AIAA Journal. -1994. Vol. 32, № 6. - P. 1270-1277.

192. Qian Y. Experimental measurement of impact response in carbon, epoxy plates /Y. Qian, S.R. Swanson// AIAA Journal. 1990. - Vol. 28, №6. - P.1069-1074.

193. Qian Y. A comparison of solution techniques for impact response of composite plates / Y. Qian, S.R. Swanson// Comput. Struct. 1990. - Vol. 14. - P.177-192.

194. RamkumarR.L. Dynamic response of curved laminated plates subjected to low velocity impact / R.L. Ramkumar, Y.R. Thakar // Transactions of the ASME, Journal of Engineering Materials and Technology. 1987. - Vol. 109. - P.67-71.

195. Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates/ E. Reissner //Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. 1945. - Vol.12. -P.69-77.

196. Reissner E. Bending and Stretching of certain types of heterogeneous aeolotropic elastic plates/ E. Reissner, Y. Stavsky //Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. 1961. - Vol.28. - P.402-409.

197. Richardson M.O.W. Review of low-velocity impact properties of composite materials / M.O.W. Richardson, M.J. Wisheart// Composites Part A. 1996. -27 A. - P.1123-1131.

198. Rossikhin Yu.A. A ray method of solving problems connected with a shock interaction / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova// Acta Mechanica. 1994. -Vol.102.-P.103-121.

199. Rossikhin Yu.A. Ray method for solving dynamic problems connected with propogation of wave surfaces of strong and weak discontinuities

200. Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova// Applied Mechanics Reviews. 1995. -Vol.48, №l.-P.l-39.

201. Rossikhin Yu.A. The ray method for solving boundary problems of wave dynamics for bodies having curvilinear anisotropy / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Acta Mechanica. 1995. - Vol. 109, № 1-4. - P.49-64.

202. Rossikhin Yu.A. The impact of a rigid sphere with an clastic layer of finite thickness / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova// Acta Mechanica. 1995. - Vol. 112, № 1-4. - P.83-93.

203. Rossikhin Yu. A., Shitikova M.V. Application of fractional calculus to dynamic problems of linear and nonlinear hereditary mechanics of solids /Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova// Applied Mechanics Reviews. 1997. V. 50, N l.P. 15-67.

204. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V. Dynamic stability of a circular pre-stressed elastic orthotropic plate subjected to shock excitation / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Shock and Vibration. 2006. - Vol. 13. - P. 197-214.

205. Roy T. Delamination in hybrid FRP laminates under low velocity impact / T.Roy, D. Chakraborty // Journal of reinforced plastics and composites. 2006. - V.25, N.18. -P.1939-1956.

206. Saravanos D.A. Low-energy impact of adaptive cylindrical piezoelectric-composite shells / D.A. Saravanos, A.P. Christoforou // International Journal of Solids and Structures. 2002. - Vol.39. - P.2257-2279.

207. Schoeppner G.A. Delamination threshold loads for low velocity impact on composite laminates / G.A. Schoeppner, S. Abrate // Composites. Part A: Applied Science and Manufacturing.- 2000. - Vol.31. - P. 903-915.

208. Schonberg W.P. Low velocity impact of transversely isotropic beams and plates / W.P. Schonberg, L.M. Keer, T.K. Woo // International Journal of Solids and Structures-1987.-V.23.-P.871-896.

209. Schonberg W.P. Protecting spacecraft against orbital debris impact damage using composite materials / W.P. Schonberg // Composites. Part A: Applied Science and Manufacturing. 2000. - Vol. 31.- P.869-878.

210. Schonberg W.P. RCS-based ballistic limit curves for non-spherical projectiles impacting dual-wall spacecraft systems / W.P. Schonberg, J.E. Williamsen // International Journal of Impact Engineering. 2006. - Vol.33. - P.763-770.

211. Schupp G. Modelling the contact between whell and rail within multibody system simulation / G. Schupp, C. Weidemann, L. Mauer // Engineering Journals 2003. - V.12,N.5. - P. 189-207.

212. SekineLI. Low-velocity impact response of composite laminates with a delamination / H. Sekine, N. Hu, H. Fukunaga, T. Natsume // Mechanics of Advanced Materials and Structures. 1998. - V.5,N.3. - P.257-278.

213. Shivakumar K.N. Prediction of impact force and duration due to low-velocity impact on circular composite laminates / K.N. Shivakumar, W. Elber, W. Illg // Journal of Applied Mechanics. 1985. - Vol.52. - P.674-680.

214. Sneddon I.N. The symmetrical vibrations of a thin elastic plate / I.N. Sneddon // Proceeding of Cambridge Philosophical Society. 1945. - Vol. 41, N.l. - P.27-43.

215. Steepanov G.V. Effect of a high-density current pulse on the relaxation of shear stresses / G.V. Stepanov, A.I. Babutskii, V.P. Pakhotnykh // Strength of Materials. 2008. - V.40, N.6. - P. 629 - 634.

216. St.-Venant B.D. Courbes representatives des lois du choc longitudinal et du choc transversal d'une barre prismatique / B.D. St.-Venant, Flamant// Journal ecole polytechnique, Paris. 1889. - Vol. 59. - P.97-103.

217. Stronge W.J. Oblique impact of inflated balls at large deflections / W.J. Stronge, A.D.C. Ashcroft // International Journal of Impact Engineering. 2007. — Vol.34.-P.l003-1019.

218. Suemasu H. Indentation of spherical head indentors on transversely isotropic composite plates /H. Suemasu, S. Kerth, M. Maier// Journal of Composite Materials.- 1994.-Vol.28, N. 17.-P. 1723-1739.

219. Suemasu H. An analytical study on impact behavior of axisymmetric composite plates / H. Suemasu, M. Maier // Adv. Composite Materials. 1995. - V.5, N. 1. -P. 17-33.

220. Sun C.T. Transient wave propagation in viscoelastic rods / C.T Sun //Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1970. V.37. P. 1141-1144.

221. Sun C.T. Dynamic response of anisotropic laminated plates under initial stress to impact of a mass / C.T. Sun, S. Chattopadhyay // Transactions of the ASME, Journal of Applied Mechanics. 1975. - Vol.42, №3. - P.693-698.

222. SunT.C. An analytical method for evaluation of impact damage energy of laminated composites. / C.T Sun// Am.Soc.Test.Mater. 1977. ASTM STP 617: P.427-440.

223. Sun T.C. On the impact of initially stressed composite laminates / T.C. Sun, J.K. Chen // J. Copmos. Mater. 1985.- 19. P.490-504.

224. Tan T.M. Wave propagation in graphite/epoxy laminates due to impact / T.M. Tan, C.T. Sun // NASA CR. 1982. - 168057.

225. Tan T.M. Use of statical indentation laws in the impact analysis of laminated composite plates / T.M. Tan, C.T. Sun // Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. 1985. - Vol. 52, №1. - P.6-12.

226. Tanabe K. Stress and strain measurements in carbon-related materials impacted by a high-velocity steel sphere / Y. Tanabe, M. Aoki // International Journal of Impact Engineering. 2003. - Vol. 28. - P. 1045-1059.

227. Tiberkak R. Damage prediction in composite plates subjected to low velocity impact / R. Tiberkak, M. Bachene, S. Rechak, B. Necib // Composite Structures. -2008,-Vol.83.-P.73-82

228. Timmel M. A finite element model for impact simulation with laminated glass / M. Timmel, S. Rolling, P. Osterrieder, P.A. Du Bois // International Journal of Impact Engineering. 2007. - P. 1465-1678.

229. Timoshenko S.P. Zur frage nach der Wirkung eines strosse anf einer balken / S.P. Timoshenko // Zeitschrift fur mathematische Physik. 1914. - Vol.62. -P. 198-209.

230. Whitney J.M. Shear deformation in heterogeneous anisotropic plates / J.M. Whitney, N.J. Pagano // Transactions of the ASME. Journal of Applied Mechanics. 1970.-Vol. 37. - P.1031-1036.

231. Whitney J.M. Stress analysis of thick laminated composite and sandwich plates / J.M. Whitney // Journal of Composite Materials. 1972. - V.6. - P. 426-440.

232. Wu C. Rebound behavior of spheres for plastic impact / C.Wu, L. Li, C. Thornton // International Journal of Impact Engineering. 2003. - Vol.28. -P. 929-946.

233. Yamamoto S. A study on lateral impact of Timoshenko beam / S.Yamamoto, K. Sato, Ii. Koseki // Computational Mechanics. 1990. - Vol.6. -P.101-108.

234. Yang J.C.S. Impact on plates and shells / J.C.S. Yang // International Journal of Solids and Structures. 1971. - Vol. 7. - P.445-458.

235. Yang S.H. An analytical method for evaluation of impact damage energy of laminated composites /S.H.Yang, T.C. Sun//. Am.Soc.Test.Mater. 1981. -ASTM STP 787: P.425-449.

236. Yapici A. Effect of low velocity impact damage on buckling properties / A. Yapici, M. Metin // Engineering. 2009. - N. 1. - P. 161 -166.

237. Ye K. A note on the Hertz contact model with nonlinear damping for pounding simulation / K. Ye, L. Li, H. Zhu // Earthquake Engineering and Structural Dynamics. 2009. - V.38. - P. 1135-1142.

238. YigitA.S. On the impact of a spherical indenter and an elastic-plastic transversely isotropic half-space / A.S. Yigit, A.P. Christoforou // Composites Engineering. 1994. - Vol.4. N. 11. - P. 1143-1152.

239. Yigit A.S. On the impact between a rigid sphere and a thin composite laminate supported by a rigid substrate / A.S. Yigit, A.P. Christoforou // Composite Structures 1995. - Vol.30. N. 2. - P. 169-177.

240. Zao G. On impact damage of composite shells by a low-velocity projectile / G. Zao, C. Cho // Journal of Composite Materials. 2004. - V.38. - P. 12311254.

241. Zener C. The intrinsic inelasticity of large plates / C. Zener // Physical Review. 1941. - Vol.59, №7. - P.669-673.

242. Zheng D. Effect of permanent indentation on the delamination threshold for small mass impact on plates / D. Zheng, W.K. Binienda // International Journal of Solids and Structures. 2007. - Vol.44. - P.8143-8158.

243. Zhong Z.-H. Contact impact problems: review with bibliography / Z.H. Zhong, J. Mackerle // Applied Mechanics Reviews. - 1994. - V.47. - N2. -P.55-76.