Моделирование сферически-симметричных астрофизических объектов и их излучения в общей теории относительности тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи 9>-

Тегай Сергей Филиппович

МОДЕЛИРОВАНИЕ СФЕРИЧЕСКИ-СИММЕТРИЧНЫХ АСТРОФИЗИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ И ИХ ИЗЛУЧЕНИЯ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

01 04 02 - Теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003 16164?

КРАСНОЯРСК - 2007 г

003161647

Работа выполнена в Институте естественных и гуманитарных наук ФГОУ ВПО „Сибирский федеральный университет"

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор А М Баранов

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Цих Август Карлович

кандидат физико-математических наук, доцент Мубаракшин Искандер Рахимович

Ведущая организация

Татарский государственный гуманитарно-педагогический университет, г Казань

Защита состоится " "Но^^ч 2007 года в 40 оо часов на заседании диссертационного совета К 212 099 03 Сибирского федерального университета по адресу 660041, г Красноярск, пр Свободный, 79

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института естественных и гуманитарных наук ФГОУ ВПО „Сибирский федеральный университет"

Автореферат разослан " ^ " 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета, 2——--А

кандидат физико-математических наук, доцент Ззебо^ О А Золотов

Общая характеристика работы

Целью данной диссертационной работы является изучение различных аспектов соединения внутренних компонент астрофизических моделей с внешним пространством Вайдья, описывающим распространение в вакууме неполяризованного высокочастотного излучения и являющимся обобщением внешнего решения Шварцшильда

В задачи диссертационной работы входили.

• исследование нового класса статических моделей звезд с заданным распределением плотности,

• изучение влияния температурных эффектов на устойчивость моделей,

• сшивка внешнего решения Вайдья с известными внутренними решениями,

• приближенное моделирование излучающих звезд,

Научная новизна

- найдены и исследованы новые приближенные решения уравнений Эйнштейна для статических сферически симметричных астрофизических моделей с заданным распределением плотности энергии, обобщающим параболическое распределение,

- показано, что внутренние астрофизические решения уравнений Эйнштейна могут быть сшиты по Дармуа-Лихнеровичу с внешним решением Вайдья на негидродинамической поверхности, то есть на такой поверхности, движение которой не совпадает с движением звездного вещества из-за испарения (сублимации),

- найдены новые приближенные решения уравнений Эйнштейна для различных моделей излучающих звезд,

- показано, что при достаточно малой компактности, излучающие звезды, состоящие из вещества с линейным уравнением состояния не образуют черных дыр в процессе эволюции,

- показано, что коллапсирующая пыль не может испускать изотропного излучения,

- найден закон движения коллапсирующей пыли в координатах Бонди, причем горизонт образующейся черной дыры является особой точкой динамической системы, описывающей движение,

Положения, выносимые на защиту

1 Рассмотрен класс статических моделей звезд с заданным распределением плотности Данное распределение описывает, в зависимости от параметров, как звезды с ярко выраженным ядром, так и шварцшиль-доподобные звезды Для этого класса моделей

— получены приближенные решения уравнений Эйнштейна,

— вычислены собственные частоты малых радиальных колебаний,

— найдены значения параметров, при которых звезда становится неустойчивой

2 Изучено влияние температуры на малые радиальные колебания нейтронных звезд Обнаружено, что

— эффекты, связанные с температурой, проявляются только при различном порядке малости возмущений самой температуры и возмущений всех остальных функций,

— собственные частоты колебаний не изменяются,

— правая часть динамического уравнения, описывающего колебания, пропорциональна квадрату возмущения температуры,

— остывание звезды вызывает ее колебания с амплитудой, обратно пропорциональной квадрату частоты, величина этой амплитуды зависит также от скорости остывания звезды,

3 Разработан метод приближенного решения системы уравнений Эйнштейна для излучающих звезд Метод основан на разложении искомых функций в ряды Тейлора вблизи поверхности сшивки Коэффициенты рядов находятся из условий сшивки Дармуа - Лихнеровича С использованием этого метода

— построены астрофизические модели из идеальной жидкости с линейным уравнением состояния и из непаскалевой жидкости с полит-ропным уравнением состояния, но с постоянными радиусом и светимостью,

— показано, что внутренние решения могут быть сшиты с внешним решением Вайдья на негидродинамической поверхности, то есть на такой поверхности, движение которой не совпадает с движением звездного вещества из-за испарения (сублимации),

— для моделей с линейным уравнением состояния показано, что при достаточно малой компактности, излучающие звезды не образуют черных дыр в процессе эволюции

4 Рассмотрен предельный переход к пылевому уравнению состояния во внутренней части звезды для модели с однородной плотностью и модели с линейным уравнением состояния, при этом

— показано, что коллапсирующая пыль не может испускать изотропного излучения,

— найден закон движения коллапсирующей пыли в координатах Бонди, причем горизонт образующейся черной дыры является особой точкой динамической системы, описывающей движение

Апробация работы Материалы исследований докладывались на следующих международных конференциях Геометризация физики III (Казань, 1997), Геометризация физики IV (Казань, 1999), У-ой междуна-

родной конференции по гравитации и астрофизике стран азиатско-тихоокеанского региона (Москва, 2001), Theoretical and experimental problems of général xelativity and gravitation (Томск, 2002), Симметрия и дифференциальные уравнения (Красноярск, 2002), Physical interprétations of relativity theory (Москва, 2003), International Conférence on General Relatraty and Gravitation (Дублин, 2004)

По материалам диссертации опубликовано 12 печатных работ Объем и структура работы Диссертация изложена на 115 страницах и состоит из введения, обзора литературы, двух глав обсуждения результатов исследования, библиографического списка из 127 наименований и включает 2 таблицы и 8 рисунков

Все вычисления производятся в общепринятой геометрической системе единиц, в которой скорость света и гравитационная постоянная равны единице

Содержание работы

Во введении отражена актуальность рассматриваемых в работе проблем, указаны цель и задачи диссертации, приведены основные положения, выносимые на защиту Сформулирована научная новизна выполненной работы

Глава 1 настоящей диссертации является обзорно-методической В ней подробно рассматриваются внешнее решение Вайдья, описывающее излучение в пределе геометрической оптики, и постановка задачи о моделировании источников такого излучения, описаны различные встречающиеся в литературе интерпретации внутренних тензоров энергии-импульса, на примере гравитационного коллапса пылевого облака детально разобран формализм сшивки Дармуа-Лихнеровича, приведены некоторые важные точные статические решения Глава 2 диссертации посвящена обсуждению класса статических моделей звезд [1]-[4] с тензором энергии-импульса паскалевой жидкости и заданным распределением плотности энергии

^ = Мс(1 - z2!V > 0, (1)

где х = r/R - безразмерная радиальная координата, R - радиус рассматриваемой звезды, а

- плотность энергии в ее центре Эта задача рис i Плотность энергии является обобщением модели с параболическим ц = - (r/R)2") распределением плотности энергии1 При увеличении параметра v плот-

1 Баранов A M Сферически симметричное статическое решение уравнений Эйнштейна для идеальной жидкости/ A M Варанов // Ун-т Дружбы Народов им П Лумумбы - M - 1976 -7с

носгь энергии становится все более и более однородной И наоборот, при уменьшении I/, ядро звезды становится более выраженным (Рис 1)

Проведенное в настоящей работе моделирование релятивистских звезд основывается на решений уравнений Эйнштейна для статического сферически симметричного пространства-времени с метрикой

= 0(г)2с1и2 + 2 Ь{г)<1и<1г + г2{йв2 + ип2 вйф2) (2)

Общая теория относительности приводит к линейному дифференциальному уравнению на метрическую функцию Сг(г)

2х2£в" + (»V - 2хе)С + {хе' + 2(1 - е))С? = 0, (3)

где

1 х

е = 1 _ - [ 8тгД2иа;2 (4)

*б

Краевые условия для этого уравнения возникают из сшивки с внешним решением Шварцшильда

0(х = 1) = (5)

^-»-■ф? м

где величина ?? = 2М/й = 1 — е(ж = 1) называется компактностью, М - масса звезды Уравнение (3) решается точно лишь для V = 1 Во всех остальных случаях оно может быть решено либо численно, либо приближенно

Решение методом последовательных приближений. В связи с тем, что компактность звезды не может быть больше единицы, появляется возможность использовать ее в качестве малого параметра при решении уравнения (3) методом последовательных приближений Обозначим за /(х) = х{\ — е{х))/т} отношение массы вещества, заключенного внутри сферы радиуса г, к полной массе звезды И будем искать неизвестную

ОО

функцию в виде ряда О(х) = £ Сп(х)г)п Непосредственные вычислено

ния приводят к следующим значениям коэффициентов

<ЭД = 1,

ед = ап(1) - \ (ся(1) - - |ол_!(1)) (1 - ж2)--1(1 У^-М + \Лу)С'п~М +

х \ У У ** '

- Деп ВИНИТИ 13 07 76 Л»2626-76

+Jx2}~2f'b)G'n-i(y)dy, n — 1,2,3, , (7)

^ x У -

где Gn{ 1) и G>,(1) - коэффициенты разложения в ряд Тейлора граничных условий (5), (6)

Давление жидкости также может быть представлено в виде ряда

. . оо

р{х) = Е Рп{%)1f с коэффициентами п=0

Ро(ж) = о, Pi(a) = О,

= 1о'п(х) - 4/G«-i(®) - Е (8)

Решение методом Галеркина. Другой способ решения уравнения (3) заключается в применении метода Галеркина Суть этого метода в том, что функция G(x) ищется в виде ряда

<?(®) = «i(s) + E <?,«,(«), (9)

1—1

где иг(х) - произвольные линейно независимые функции, причем первая функция щ(х) удовлетворяет условиям сшивки

ui(* = 1) = «i(« = 1) = 2^=, (10)

тогда как остальные функции удовлетворяют однородным условиям

Ul(x = 1) = 0, и[{х = 1) = 0 (И)

Коэффициенты ряда (9) подбираются так, чтобы невязка была ортогональна всем выбранным функциям щ(х) на отрезке х 6 [0,1] Невязка определяется как функция, получающаяся при замене в решаемом уравнении (3) функции G(x) аппроксимирующим ее рядом

Эффективность метода Галеркина существенно зависит от выбора произвольных функций иг(х) Так, для нецелых v, решение не будет бесконечно дифференцируемым в центре и удовлетворительно смоделировать его многочленами не удастся В диссертации исходя из результатов метода последовательных приближений, первая произвольная функция выбрана в виде и\{х) = а + 6(1 — ж2) + cx2v+2. Таким образом учтен иррациональный член с наименьшей степенью Коэффициенты а, Ь, с подбираются так, чтобы функция, во-первых, удовлетворяла условиям сшивки (5), (6), и во-вторых, чтобы производная давления на поверхности тождественно обращалась в ноль Итоговое выражение для

щ(х), являющейся самым грубым приближением функции б?(ж), имеет вид

щ = фГ^п - с - {^щ ~ + 1)с) (1 - х>) + сж2г/+2, (12)

где с = -»7(6 - Ьп)/{Ши{р + 1)(1 - г})3/2}

Остальные произвольные линейно независимые функции иг(х) выбраны в виде иг{х) — (1 — х2)г+1 Эти функции удовлетворяют однородным условиям сшивки Кроме того, для них выполняются два важных дополнительных условия Во-первых, они не нарушают тождественного равенства нулю производной давления на поверхности, достигнутого специальным выбором щ(х) Во-вторых, они зависят только от ж2, что обеспечивает тождественное равенство нулю также и производной С в центре, которое следует из уравнений Эйнштейна для V > 1/2

Результаты минимизации невязки методом Галеркина для различных у при количестве слагаемых N = 5 приведены в Табл 1

17 = 0,1 п = 0,2 >7 = 0,3 V = 0,4 0,5

V = 3/4

ся 6,37 10"4 2,72 10"" 7,25 Ю-5 1,72 Ю^2 3,90 Ю-2

Ся 4,24 ю-3 1,91 10"2 5,17 10'2 1,20 ю-1 2,66 ю-1

С, 3,79 ю-3 1,61 ю~2 4,25 Ю-2 9,93 10"2 2,29 ю-1

Съ 1,79 10"3 7,10 ю-3 1,71 10~2 3,65 Ю-2 7,92 ю-2

и = 1

Си 3,41 • ю-3 1,37 10~3 2,68 Ю-3 3,16 10"3 1,19 Ю-3

С, 1,26 Ю-3 7,03 Ю-3 2,37 10"2 6,54 ю-2 1,62 Ю-1

с4 6,84 10~5 1,49 Ю-3 9,63 Ю-3 3,88 ю-2 1,22 ю-1

Съ 5,87 Ю-5 1,94 10-4 7,76 Ю-4 7,05 10"3 2,95 10"2

V = 2

С, 5,85 10"4 2,73 10"3 7,62 10"3 1,84 10-* 4,44 10~2

С,, 1,73 Ю-3 8,86 10"2 2,53 Ю-2 5,57 Ю-2 1,01 10-2

СА -1,49 Ю-8 -8,51 Ю-3 -2,68 Ю-2 -6,53 10-* -1,35 Ю-1

Сь 3,14 Ю-4 2,09 Ю-3 7,38 Ю-3 1,97 Ю-2 4,43 Ю-2

и = 4

с, 1,65 10"3 8,20 ю-3 2,37 КГ* 5,63' 10-а 1,24 ю-1

е., -5,11 10~4 -3,47 10"3 -1,33 10~2 -4,12 ю-2 -1,15 Ю-2

-5,11 10~4 -1,80 Ю-3 -2,23 Ю-3 4,02 ю-3 3,46 Ю-2

с5 3,01 10"4 1,29 10~3 2,88 Ю-3 3,98 Ю-3 4,17 10~4

Таблица 1 Коэффициенты Си минимизирующие невязку

Собственные частоты. Для каждого показателя V модель представляет собой однопараметрическое семейство решений уравнений Эйнштейна Единственный оставшийся параметр модели обозначим буквой £ Для

моделей с параметрическими уравнениями состояния естественно выбрать в качестве £ параметр уравнения состояния в центре, как, например, в работе Оппенгеймера-Волкова2 Однако можно в качестве £ выбирать и любой другой параметр звезды радиус, центральную плотность энергии, компактность и так далее

Зависимость массы звезды от параметра £ дает возможность определять устойчивость моделей с заданным уравнением состояния Дело в том, что экстремумам массы на графике М(£) соответствуют безразличные состояния равновесия В типичных случаях с одной стороны от экстремума находятся устойчивые состояния равновесия, а с другой -неустойчивые

Однако для моделей с заданным распределением плотности энергии этот критерий неверен Это связано с тем, что малые радиальные возмущения не меняют уравнения состояния модели, то есть вещество звезды в процессе малых колебаний не меняется Кроме того, при малых возмущениях постоянной остается и масса звезды, тогда как распределение плотности энергии возмущенной звезды не может совпадать с равновесным Следовательно, для определения устойчивости необходимо рассчитывать собственные частоты колебаний звезды

С этой целью рассмотрим поведение модели под воздействием малых возмущений Возникающие в этом случае колебания описываются линеаризованными уравнениями Эйнштейна, которые в итоге приводят к задаче Штурма-Лиувилля

(Рг/)' + <Эг + = 0, (13)

где Р, (2, Ш - функции координаты х, зависящие также от выбора уравнения состояния в центре звезды, аш - собственные частоты Мы воспользовались методом Ритца для вычисления частоты основной моды колебаний для случая полностью вырожденного нейтронного газа в центре Зависимость квадрата частоты основной моды колебаний шц от компактности звезды г) показана на Рис 2 При значениях компактности, меньших критического значения ??*(г/) квадраты частоты положительны, следовательно, соответствующие звездные конфигурации устойчивы, и наоборот, звезды с компактностью, большей чем г/* неустойчивы

Максимуму частоты на графике шо^) соответствует минимальный период колебаний звезды Ттгп — 2к/щ Этой же частоте соответствуют

Рис 2 Квадрат частоты основной моды колебаний 1)^ = 3/4, 2)и = 1, 3)и = 4, 4)Внутреннее решение Шварцшильда

1/ 3/4 1 2 4 Sen

Vmax 0,512 0,514 0,512 0,524

Mmax/M0 0,510 0,460 0,361 0,327 0,304

rf 0,240 0,240 0,240 0,250 0,270

M*/M0 0,510 0,460 0,361 0,327 0,303

R*, км 6,3 5,7 4,5 3,9 3,3

^ТОгп, ceK 9,80 10~4 8,91 10~4 7,73 10~4 7,16 10~4 6,57 10"4

ri(Tmtn) 0,115 0,120 0,115 0,120 0,130

M(Tmm)/M0 0,044 0,041 0,292 0,267 0,251

R{Tmn), км 10,5 9,30 7,5 6,6 5,7

Таблица 2 Результаты моделирования

значения параметров г)(Ттт), М(Ттт) и R(Tmm), приведенные в Табл 2 Величина максимально допустимой компактности т]тах определяется из условия энергодоминантности > 0 в центре Звездочкой помечены величины, относящиеся к конфигурации с безразличным состоянием равновесия, то есть к конфигурации с частотой основной моды колебаний, равной нулю

Влияние температуры звезды на колебания. В стандартном подходе положением равновесия для колебаний служит статическое решение с тензором энергии-импульса идеальной жидкости и заданным уравнением состояния Малое возмущение равновесия может приводить или к малым радиальным адиабатическим колебаниям, или к экспоненциальному росту возмущения Амплитуда колебаний постоянна, мала и зависит только от начальных условий Частота колебаний определяется параметрами звезды и видом уравнения состояния

В дополнение к стандартному подходу мы рассматриваем влияние температуры на описанные выше малые колебания звезды [5] С этой целью в постановку задачи вносятся следующие изменения Во-первых, температура звезды предполагается хотя и малой, но отличной от нуля Во-вторых, к тензору энергии-импульса добавляются слагаемые, описывающие поток тепла внутри звезды В-третьих, в уравнение состояния включаются слагаемые, зависящие от температуры В частности, идеальный нейтронный газ, рассматриваемый в качестве примера, больше не является полностью вырожденным (функция распределения теперь не идеальная ступенька, а слегка размазанная)

В связи с введением в задачу потока тепла и температуры, увеличивается количество неизвестных функций Из-за этого приходится использовать еще и дополнительные по отношению к холодным моделям уравнения Этими уравнениями являются уравнения Израеля - Стю-

2Oppenheimer J R On Massive Neutron Cores/ J R Oppenheimer, G M Volkoff // Phys Rev - 1939 -V 55 -P 374-381

арта3

Левая часть динамического уравнения, описывающего колебания остается такой же, как и в уравнении для адиабатических колебаний без каких-либо возмущений температуры или потока тепла Кроме того, так как уравнение имеет особые точки в центре и на поверхности, в качестве краевых условий должны остаться условия ограниченности возмущений в этих точках Это означает, что собственные колебания звезды не меняются в присутствии малых возмущений температуры и потока тепла Однако наличие температуры приводит к тому, что задача становится неоднородной

Раскладывая возмущение массовой функции в ряд по собственным функциям

00

Äm = £<»,(t№(r), (14)

«=о

получим следующие уравнения для коэффициентов разложения

+ «?*(*) = с,Д2?(*) (15)

где с, - константы, характеризующие равновесную конфигурацию, а АТъ - температура на поверхности звезды

Для того чтобы рассматриваемые колебания не выходили за рамки линейного приближения, правая часть уравнения (15) должна удовлетворять определенным условиям На Рис 3 приведены данные численного моделирования, показывающие при каких значениях частот и температур возмущения остаются малыми

Дополнительно изучено поведение модели при быстром остывании Показано, что Рис 3 Смещение равновесия, резкое падение температуры приводит к вы- обусловленное наличием нену-нужденным колебаниям с амплитудами, об- левой температуры ратно пропорциональными квадратам собственных частот Величина индуцированных колебаний зависит также от скорости падения температуры

В Главе 3 рассматриваются различные нестатические астрофизические модели Проведена сшивка точных внутренних решений с однородным распределением вещества с внешними решениями Шварцшильда и Вайдья [б]

Предложен метод моделирования излучающих астрофизических объектов [7]-[12], основанный на сшивке Дармуа внешнего пространства Вайдья и внутреннего сферически-симметричного пространства общего

3Israel W Transient relativtsttc thermodynamics and kmettc theory/ W Israel, J M Stewart // Ann Phys - 1979 - V 118 - P 341-372

вида, описываемого метрикой

¿з2 = е20^е(и, г)йи2 + 2е^йийг - г2{йв2 + ап2 вйф2), (16)

где е(и,г) = 1 — 2т(и,г)/г В качестве поверхности сшивки выбираг ется сфера переменного радиуса Щи) Скорость поверхности, в отличие от других авторов, использовавших формализм Дармуа, не совпадает со скоростью вещества на поверхности Приближенное решение соответствующих уравнений Эйнштейна записывается в виде ряда Тейлора по степеням г — Я(и) Коэффициенты ряда находятся из условий сшивки и уравнений Эйнштейна, взятых на поверхности Тензор энергии-импульса выбран в виде

Т _ Т(т , сгп(и>г)? 1 (т

■V --V + 47!Т2 {А> I1'-'

где Ст(и,г) - функция, характеризующая процессы энерговыделения внутри звезды

Отметим, что сшивка производится нами в несопутствующей системе отсчета 4-скорость жидкости в такой системе отсчета равна

= [е-'^Мщг), 0,0] (18)

йв \]2и){и, г) + 1 - 2т(и, г)/г

где 3-скорость жидкости у(и, г) = ги(и, не равна нулю, а на по-

верхности не равна скорости самой поверхности То есть излучение генерируется в том числе и за счет радиационной сублимации - превращения частиц жидкости на поверхности в излучение

В общем случае условия сшивки вместе с уравнениями Эйнштейна, взятыми на поверхности, позволяют найти следующие выражения для значений давления и скорости жидкости на поверхности

РЛ=2Ш> (19)

А£

где Д£ = Стг — Ст* = — М ~ светимость звезды, и

2 г г Л£

7 = ин + 1-5? 21)

С н Я2

Выражение для давления на поверхности отличается от классической формулы для давления света только множителем С/2, который обращается в единицу при пренебрежении всеми релятивистскими поправками

Скорость жидкости на поверхности будет равна скорости самой поверхности только при АС = 0, давление на поверхности в этом случае равно нулю

Вторые производные метрических функций т(и,г) и 0(и,г) входят в уравнения Эйнштейна линейным образом Все остальные неизвестные функции входят в уравнения Эйнштейна алгебраически Это означает, что значения на поверхности вторых производных т(и, г) и р(и, г) связаны с поверхностными значениями первых производных функций ц{и, г),р(и, г), Ст(и, г) и ш(и, Я) линейными уравнениями Из определения анизотропного слагаемого тензора энергии-импульса видно, что анизотропия также входит в уравнения линейно Далее, продифференцировав уравнения Эйнштейна и условия сшивки п раз можно получить линейные уравнения, связывающие значения производных метрических функций п+2-ого порядка со значениями производных п+ 1-ого порядка функций, входящих в тензор энергии-импульса (п-ого порядка для анизотропии) Таким образом, если нам удастся справиться с нелинейностью исходных уравнений, то все значения старших производных на поверхности могут быть найдены из систем линейных уравнений К сожалению, с ростом порядка производных выражения для них становятся все более и более громоздкими, что существенно ограничивает наши возможности, несмотря на линейность Усложняет задачу и необходимость следить за определителями получающихся систем

Определив значения производных на поверхности, запишем приближенное решение в виде рядов Тейлора по степеням г — Щи), обрезанных на некотором слагаемом

т(и, г) « М{и) + т'л(г — Щи)) + — #(«))2 + , (22)

/?(«, г) « Р'п(г - Щи)) + \ргл(г - Щи))2 + , (23)

М(ы,г)»мл + Мя(»--Я(«))+ , (24)

и так далее, для всех неизвестных функций

Как мы уже отмечали, система условий сшивки Дармуа и уравнений Эйнштейна, взятых на поверхности звезды, линейна по всем неизвестным, кроме скорости жидкости на поверхности гия Поэтому, естественно для начала применить наш метод построения приближенного решения к линейному уравнению состояния р = (7 — 1)/х

В случае идеальной жидкости с линейным уравнением состояния ряды (22)-(24), задающие приближенное решение, зависят только от двух произвольных функций М(и) и Щи) То есть, при заданных М(и) и Щи) приближенное решение определено полностью и однозначно для

всех моментов времени, включая некоторый начальный момент времени и = 0. Никакого начального условия не задается. Постановка рассматриваемой задачи является типичной для гиперболических уравнений: начальные условия третьего рода задаются на некоторой дуге, которая не является характеристикой и не касается характеристик. Однако можно рассматривать и постановку задачи с некоторыми заданными начальными условиями w(u — 0, г) = wq(г) и ß(u = 0,г) = Мо(г)-В этом случае мы имеем те же условия третьего рода на поверхности сшивки, и, в дополнение к ним, краевые условия, заданные на характеристике (так как и — 0 является характеристикой уравнений Эйнштейна). Так как мы имеем больше краевых условий, чем в типичных задачах математической физики, поверхность сшивки не может больше оставаться произвольной. И действительно, первые производные М и R можно выразить через цп и и>д, вторые производные М и R через и w!r, и так далее. Однако дд, wr. ß'R, w'r, ... известны в начальный момент времени из начальных условий. Значит можно найти М(и = 0), R(u — 0), М(и = 0), R(u — 0),..., то есть коэффициенты ряда Тейлора для функций М{и) и R{u) в точке и — 0. Таким образом, исходя из начальных условий, можно определить движение поверхности и светимость звезды.

Так, для начальных условий с нулевой скоростью w{u = 0, г) = 0 и однородной плотностью ß{u = 0, г) = цо = Const получим рис. 6 показывает приближения третьего и четвертого порядка для вышеупомянутого случая нулевой начальной скорости и однородной плотности. Можно видеть, что при достаточно малых значениях начальной компактности г]о = 2Mq/Rq звезды сгорают, полностью теряя свою массу, а не коллапсируют.

Рис. 4: Зависимость массы звезды М от времени и в третьем и четвертом приближениях для 7 = 4/3. Верхний рисунок соответсвует г)о = 3 ■ 10~4, а нижний -?7о = 4 • Ю-4

3rd order 4th ordei

3rd order 4th order

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1 Баранов А М О двух статических моделях звезды/ А М Баранов, М В Луконенко, С Ф Тегай // Тезисы международной конференции "Геометризация физики" - Казань ХЭТЕР, 1997 - С 6-7

2 Baranov AM On average observable mass density behavior in two static star models/ A M Baranov, M V Lukonenko, S F Tegai // Proceedings of International Conference "Geometrization of physics IV" - Kazan, 1999 - P 22-23

3 Баранов AM О новых подходах к моделированию статических звезд в ОТО/ А М Баранов, М В Луконенко, С Ф,Тегай // Теория и эксперимент в современной физике Сб. науч статей Краснояр гос ун-т Красноярск, 2000 - С 63-72

4 Баранов А М Моделирование широкого класса статических звезд в рамках одного подхода/ А М Баранов, М В Луконенко, С Ф Тегай // Изв вузов Физика - 2002 - №11 - С 19-23

5 Баранов А М Радиальные пульсации медленно остывающей нейтронной звезды/ А М Баранов, С Ф Тегай // Вестник Красноярского государственного университета Физико-математические науки - 2005 -ДО7-С 98-106

6 Тегай С Ф Модель излучающей звезды/ С Ф Тегай // Сборник тезисов V международной конференции по гравитации и астрофизике стран азиатско-тихоокеанского региона - М РУДН, 2001 - С 7778

7 Baranov А М Modelling of radiating star subsurface/ A M Baranov, S F Tegai // Abstracts of 11 International Conference "Theoretical and Experimental Problems of General Relativity and Gravitation" and International Workshop "Gravity, Strings and Quantum Field Theory" - Tomsk, 2002 - P 16-17

8 Тегай С Ф Об одном методе решения уравнений Эйнштейна для внутреннего пространства излучающей звезды/ С Ф Тегай // Симметрия и дифференциальные уравнения Труды международной конференции ИВМ СО РАН Красноярск, 2002 С 213-216

9 Баранов А М Моделирование внутреннего приповерхностного слоя излучающей звезды/ А М Баранов, С Ф Тегай // Вестник Красноярского государственного университета Физико-математические науки - 2003 - №3 - С 3-8

10 Baranov AM On radiating star subsurface/ A M Baranov, S F Tegai // Physical Interpretations of Relativity Theory Proceedings of International Meeting Moscow, 30 June - 3 July 2003 - Moscow, Liverpool, Sunderland, 2003 - P 287-291

11 Baranov AM An approximate radtahng star model/ A M.Baranov, SFTegai // Book of Abstracts of 17th International Conference on General Relativity and Gravitation - Dublin, 2004 - P 81-82

12 Баранов A M Приближенное моделирование излучающих звезд с линейным уравнением состояния/ А М Баранов, С Ф Тегай // Вестник Красноярского государственного университета Физико-математические науки - 2004 - №5 - С 12-21

Заказ № ^ Тираж экз.

Отпечатано ООО «Новые компьютерные технологии» г Красноярск, ул К Маркса, 62, офис 120; тел (3912)26-31-31,263-111

Введение

1 Моделирование звезд в общей теории относительности

1.1 Постановка задачи.

1.1.1 Уравнения Эйнштейна, описывающие сферически симметричную модель звезды.

1.1.2 Внешнее решение Вайдья.

1.1.3 Внутренний тензор энергии-импульса.

1.2 Процедура сшивки в общей теории относительности

1.2.1 Формализм сшивки Дармуа-Лихнеровича.

1.2.2 Гравитационный коллапс пылевидной сферы

1.2.3 Формализм сшивки О'Брайена-Синга.

1.3 Статические модели звезд в ОТО

2 Статические модели звезд в ОТО

2.1 Приближенное решение статических уравнений Эйнштейна методом последовательных приближений

2.2 Приближенное решение статических уравнений Эйнштейна методом Галеркина.

2.3 Вычисление собственных частот малых адиабатических колебаний.

2.4 Неадиабатические колебания.

3 Моделирование излучающих объектов путем сшивки внешнего пространства Вайдья с различными внутренними пространствами

3.1 Сшивка внешнего решения Вайдья с точными внутренними решениями для идеальной жидкости

3.1.1 Модель с однородной и постоянной плотностью энергии

3.1.2 Модель с однородной, но переменной плотностью энергии

3.2 Моделирование приповерхностного слоя звезды

3.2.1 Описание метода.

3.2.2 Об отличии скорости жидкости на поверхности сшивки от скорости самой поверхности.

3.2.3 О связи между условиями сшивки Синга и Дармуа

3.2.4 Уравнения состояния и элементы термодинамики идеальной жидкости.

3.2.5 Модель с идеальной жидкостью и линейным уравнением состояния.

3.2.6 Пылевой предел

3.2.7 Постоянный радиус и постоянная светимость

Выводы

Гравитационная энергия нейтронных звезд и, в меньшей степени, белых карликов сравнима но величине с массой покоя составляющих звезду частиц. В строении и эволюции таких объектов большую роль играют релятивистские эффекты, поэтому при их моделировании используется общая теория относительности Эйнштейна. Полная релятивистская модель звезды должна описывать не только ее внутреннее строение, но и внешнее к звезде пространство, которое может быть заполнено как пустотой [1], так и излучением [2], или другим типом материи [3].

Здесь необходимо пояснить, что сами по себе уравнения Эйнштейна не описывают однозначно процесс эволюции звезд. Дело в том, что только левая, геометрическая часть этих уравнений может быть записана но строго определенным правилам. Правая же часть, содержащая тензор энергии-импульса звездной материи, существенно зависит от наших предположений о природе вещества, составляющего ту или иную звезду. В частности одной из наиболее сложных проблем оказывается выбор реалистичного уравнения состояния - соотношения между такими макроскопическими характеристиками звезд как давление, плотность и энтропия; соотношения, которое определяется, тем не менее, микроскопическими свойствами вещества.

В общем случае левая часть нелинейных уравнений поля содержит шесть независимых функций (десять компонент метрического тензора, четыре из которых не являются независимыми из-за свободы выбора координат, описывающих четырехмерное пространство-время). Общая задача чрезвычайно сложна, и не решена даже в отсутствие материальных источников. Таким образом, кроме предположения о тензоре энергии-импульса, описывающем источник гравитационного поля, необходимо сделать еще и некоторые упрощающие предиоложения. И в первую очередь мы ограничиваемся только сферически симметричными моделями. Это означает, что мы представляем звезду в виде невращающегося шара. Этим предположением количество переменных, от которых зависят характеристики звезды, сокращается с четырех до двух. Количество независимых компонент метрического тензора также уменьшается. В данной диссертации рассматриваются только сферически симметричные модели.

Существенным упрощением модели является предположение о статичности звезды. Первоначально в качестве релятивистских моделей звезд использовались именно статические решения уравнений Эйнштейна. Первое такое решение было найдено К. Шварцшильдом [[3], с. 250] еще в 1916 г. Статические сферически симметричные модели зависят только от одной переменной - расстояния до центра звезды. Таким образом, все уравнения, описывающие модель, являются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Существует огромное множество точных решений статических сферически симметричных решений, например в [3], [4]-[6], и известны методы генерации еще большего количества новых точных решений [7]-[14]. Однако ситуация меняется, как только мы пытаемся ввести в тензор энергии-импульса реалистичное уравнение состояния. В этом случае не получено еще ни одного точного решения, исследовать модель можно только приближенно или численно. Первой работой такого рода является статья Онпенгеймера и Волкова 1939 г. [15], в которой рассматривается нейтронная звезда с уравнением состояния вырожденного ферми-газа. Постепенно появлялись численные расчеты моделей со все более реалистичными уравнениями состояния, что отражено в таких классических книгах ио релятивистской астрофизике, как [16] и [17], или более поздних [18] и [19].

Как это ни странно, но в нестатическом случае, который обычно является более сложным, известны точные решения с заданным уравнением состояния. Одно из них является, по-видимому, первой моделью нестатической звезды, и было опубликовано все в том же 1939 г. в работе Оипенгеймера и Снайдера [20]. Более того, это была модель гравитационного коллапса. В своей модели Оипенгеймер и Снайдер использовали уравнение состояния с давлением вещества всюду равным нулю, описывающее некогерентную пыль.

Впрочем, для более реалистичных уравнений состояния получить точное решение не так просто. Поэтому для поиска точных решений зачастую используется другой подход. Вместо уравнения состояния, обычно лишь усложняющего систему, задается другое дополнительное предположение, не только замыкающее, но и упрощающее систему уравнений Эйнштейна. Так, методы, предложенные в [21] и [22], сводят уравнения к виду, совпадающему со статическим, позволяя таким образом получать нестатические решения из известных статических. Другими встречающимися в литературе допущениями являются бессдвиговая жидкость и конформно плоская метрика [23]—[25]. Обоснованием использования бессдвиговой жидкости является то, что такая жидкость коллапсирует медленнее других [26], что дает возможность образования так называемых голых или наблюдаемых сингуляр-ностей.

Отдельно необходимо отметить подход, связанный с усилением симметрии модели. В общей теории относительности Эйнштейна симметрии пространства-времени описываются так называемыми векторами Киллинга. Сферически симметричная модель уже имеет два вектора Киллинга, связанных с вращениями. Если потребовать существование еще одного вектора Киллинга, то гравитационное поле будет определяться не уравнениями в частных производных, а обыкновенными дифференциальными уравнениями. Если вектор Киллинга возможно направить вдоль временной координаты, то модель будет статичной. Другим важным примером решений с дополнительным векторным нолем являются автомодельные решения. Эти решения интенсивно изучались в последнее время в связи с критическими явлениями гравитационного коллапса и образованием наблюдаемых сингулярно-стей [27]—[36]. Такой интерес связан с тем, автомодельные пространства могут возникать в процессе эволюции более сложных пространств [32], [37]-[40], или служить критическим решением в задаче об образовании черных дыр [41]—[46].

Как мы видим, в случае сферической симметрии основную сложность представляет поиск именно внутреннего решения модели, тогда как внешнее решение обычно хорошо известно. Для излучающих моделей - это решение Вайдья [2], описывающее излучение в пределе геометрической оптики [47]. Внешнее решение Шварцшильда [1], описывающее внешнее гравитационное поле постоянной точечной массы, является частным случаем вайдьевского с плотностью излучения, равной нулю. Интересно отметить, что для моделей с несферической симметрией неизвестным может являться внешнее решение. В частности, такая ситуация возникает при исследовании излучения гравитационных волн цилиндрически симметричной, коллапсирующей некогерентной пылью [48], [49].

Помимо поиска внутреннего решения построение полной модели требует еще правильной его сшивки с внешним решением. Теория соединения различных подиространтств представляет собой важное самостоятельное направление в теории гравитации. Основное отличие сшивки в общей теории относительности от стандартных краевых задач математической физики состоит в том, что условия соединения должны быть записаны в ковариантном виде, то есть не должны зависеть от выбора координат. Впервые математический аппарат такого соединения был разработан Дармуа в 1927 г. [50]. Однако эта работа, по-видимому, долгое время была малоизвестной. По крайней мере, ранние работы по астрофизике не используют формализма Дармуа, а в 1952 г. О'Брайен и Синг предложили другой метод соединения [51], также как и Лихнерович в 1955 г. [52]. В 1966 г. Израель обобщил условия сшивки Дармуа на случай тонких оболочек в [53], и на текущий момент большинство авторов пользуется формализмом сшивки в виде, предложенном в этой работе. В 1981 г. Боннор и Викерс доказали эквивалентность условий Дармуа и Лихперовича [54].

В основном для астрофизических целей в качестве гиперповерхности сшивки выбирается времениподобная гиперповерхность. Тем не менее, процедура соединения для случая светонодобных гиперповерхностей также рассматривалась некоторыми авторами [55], [56]. Обобщение формализма Израеля на светоподобные тонкие оболочки было получено в [57], и, наконец, в [58] описывается наиболее общая задача сшивки но гиперповерхности с переменной сигнатурой. В той же работе показано, что условия сшивки О'Брайена-Синга являются следствием условий Дармуа-Лихнеровича.

Именно эти проблемы и определили цели и задачи данной диссертации.

Целью работы является изучение различных аспектов соединения внутренних компонент астрофизических моделей с внешним пространством Вайдья, описывающим распространение в вакууме непо-ляризованиого высокочастотного излучения в пределе геометрической оптики.

Для решения этой задачи

- проведена сшивка по Дармуа-Лихнеровичу решения Вайдья с некоторыми известными внутренними решениями;

- с использованием формализма Дармуа-Лихнеровича была разработана процедура приближенного построения моделей излучающей звезды, основанная на разложении искомых функций в ряды Тейлора на поверхности сшивки методом Коши - Ковалевской.

- рассмотрены физические характеристики моделей, полученных указанным методом.

Научная новизна:

- найдены и исследованы новые приближенные решения уравнений Эйнштейна для статических сферически симметричных астрофизических моделей с заданным распределением плотности энергии, обобщающим параболическое распределение плотности энергии;

- показано, что внутренние астрофизические решения уравнений Эйнштейна могут быть сшиты по Дармуа-Лихнеровичу с внешним решением Вайдья на негидродинамической поверхности, то есть на такой поверхности, движение которой не совпадает с движением звездного вещества из-за испарения (сублимации);

- найдены новые приближенные решения уравнений Эйнштейна для различных моделей излучающих звезд;

- показано, что при достаточно малой компактности, излучающие звезды, состоящие из вещества с линейным уравнением состояния не образуют черных дыр в процессе эволюции;

- показано, что коллапсирующая некогерентная пыль не может испускать изотропного излучения;

- найден закон движения коллапсирующей пыли в координатах Бонди, причем горизонт образующейся черной дыры является особой точкой динамической системы, описывающей движение;

Материалы исследований докладывались на следующих международных конференциях: Геометризация физики III (Казань, 1997), Геометризация физики IV (Казань, 1999), V-ой международной конференции по гравитации и астрофизике стран азиатско-тихоокеанского региона (Москва, 2001), Theoretical and experimental problems of general relativity and gravitation (Томск, 2002), Симметрия и дифференциальные уравнения (Красноярск, 2002), Physical interpretations of relativity theory (Москва, 2003), International Conference on General Relativity and Gravitation (Дублин, 2004).

По материалам диссертации опубликовало 12 печатных работ.

Диссертация изложена на 115 страницах и состоит из введения, обзора литературы, двух глав обсуждения результатов исследования, библиографического списка из 127 наименований и включает 2 таблицы и 8 рисунков.

Выводы

1. Рассмотрен класс статических моделей звезд с заданным распределением плотности. Данное распределение описывает, в зависимости от параметров, как звезды с ярко выраженным ядром, так и шварцшильдоподобные звезды. Для этого класса моделей получены приближенные решения уравнений Эйнштейна; вычислены собственные частоты малых радиальных колебаний; найдены значения параметров, при которых звезда становится неустойчивой.

2. Изучено влияние температуры на малые радиальные колебания нейтронных звезд. Обнаружено, что эффекты, связанные с температурой, проявляются только при различном порядке малости возмущений самой температуры и возмущений всех остальных функций; собственные частоты колебаний не изменяются; правая часть динамического уравнения, описывающего колебания, пропорциональна квадрату возмущения температуры; остывание звезды вызывает ее колебания с амплитудой, обратно пропорциональной квадрату частоты, величина этой амплитуды зависит также от скорости остывания звезды;

3. Разработан метод приближенного решения системы уравнений Эйнштейна для излучающих звезд. Метод основан на разложении искомых функций в ряды Тейлора вблизи поверхности сшивки. Коэффициенты рядов находятся из условий сшивки Дармуа - Лихнеровича. С использованием этого метода построены астрофизические модели из идеальной жидкости с линейным уравнением состояния и из ненаскалевой жидкости с иолит-роиным уравнением состояния, но с постоянными радиусом и светимостыо; показано, что внутренние решения могут быть сшиты с внешним решением Вайдья на негидродинамической поверхности, то есть на такой поверхности, движение которой не совпадает с движением звездного вещества из-за испарения (сублимации); для моделей с линейным уравнением состояния показано, что при достаточно малой компактности, излучающие звезды не образуют черных дыр в процессе эволюции.

4. Рассмотрен предельный переход к пылевому уравнению состояния во внутренней части звезды для модели с однородной плотностью и модели с линейным уравнением состояния; при этом

- показано, что коллапсирующая пыль не может испускать изотропного излучения;

- найден закон движения коллапсирующей пыли в координатах Бонди, причем горизонт образующейся черной дыры является особой точкой динамической системы, описывающей движение.

1. Шварцшильд К. О гравитационном поле точечной массы в эйнштейновской теории/ К.Шварцшильд // Альберт Эйнштейн и теория гравитации. Сборник статей. - М.: Мир, 1979. - С. 199— 207.

2. Vaidya Р.С. The gravitational field of a radiating star/ P.C.Vaidya // Proc. Indian Acad. Sci. A. 1951. - V. 33. - P. 264.

3. Stephani H. Exact solutions of Einstein's field equations/ H.Stephani, D. Kramer, M.A.H.Maccallum, C.Hoenselaers, E.Herlt. 2nd ed. -Cambridge: Cambridge University Press, 2003.

4. Tolman R.C. Static Solutions of Einstein's Field Equations for Spheres of Fluid/ R.C.Tolman // Phys. Rev. 1939. - V. 55. P. -364-373.

5. Баранов A.M. Сферически симметричное статическое решение уравнений Эйнштейна для идеальной жидкости/ А.М.Баранов // Ун-т. Дружбы Народов им. П.Лумумбы. М. - 1976. - 7 с.-Деп. ВИНИТИ 13.07.76 №2626-76.

6. Баранов A.M. Осцилляторный подход к описанию статической звезды с нейтральной и заряженной идеальной лсидкостыо/ А.М.Баранов // Вестник Красноярского государственного университета. Физико-математические науки. 2002. - №1. - С. 5-12.

7. Баранов A.M. Генерирование статических сферически симметричных решений уравнений тяготения. 1. Изменение алгебраического типа пространства/ А.М.Баранов, Н.Н.Паклин. -9 с.-Деп. в ВИНИТИ 20.09.88 №7037-В88.

8. Баранов A.M. Генерирование статических сферически симметричных решений уравнений тяготения. 2. Получение решений/ А.М.Баранов, Н.Н.Паклин. 13 с. - Деп. в ВИНИТИ 20.09.88 №7038-В88.

9. Баранов A.M. Генерирование статических сферически симметричных решений уравнений тяготения. 3. Суперпозиция и конструирование метрик/ А.М.Баранов, Н.Н.Паклин. б с. - Деп. в ВИНИТИ 14.11.88 №8040-В88.

10. Баранов A.M. Генерирование и конструирование статических сферически-симметричных решений уравнений тяготения/ А.М.Баранов, Н.Н.Паклин // Изв. вузов. Физика. 1990. - №6.1. C. 5-9.

11. И. Lake К. All static spherically symmetric perfect-fluid solutions of Einstein's equations K.Lake // Phys. Rev. D. 2003. - V. 67, 104015 (4 pages).

12. Martin D. Algorithmic construction of static perfect fluid spheres/

13. D.Martin, M.Visser // Phys. Rev. D. 2004. - V. 69, 104028 (6 pages).

14. Fodor G. Spherically symmetric static perfect fluid solutions/ G.Fodor // Book of abstracts 17th International Conference on General Relativity and Gravitation. Dublin, 2004. - P. 15.

15. Oppenheimer J.R. On Massive Neutron Cores/ J.R.Oppenheimer, G.M.Volkoff // Phys. Rev. 1939. - V. 55. - P. 374-381.

16. Мизнер С. Гравитация: В 3-х т./ С.Мизнер, К.Торн, Дж.Уилер. -М.: Мир, 1977.

17. Шапиро С.Л. Черные дыры, белые карлики и нейтронные звезды/ С.Л.Шапиро, С.А.Тьюколски. В 2-х т. - М.: Мир, 1985.

18. Weber F. Pulsars as astrophysical laboratories for nuclear and particle physics/ F.Weber. Bristol: IoP Publishing, 1999.

19. Glendenning N.K. Compact stars/ N.K.Glendenning. New York: Springer-Verlag, 2000.

20. Oppenheimer J.R. On Continued Gravitational Contraction/ J.R.Oppenheimer, H.Snyder // Phys. Rev. 1939. - V. 56. P. - 455459.

21. Баранов A.M. О внутреннем источнике решения Вайдья/ А.М.Баранов, Н.Н.Паклин // Известия вузов МБ и ССО СССР, Физика. 1988. №3. - С. 36-39.

22. Herrera L. Evolution of radiating fluid spheres in General Relativity/ L.Herrera, J.Jimenez, G.I.Ruggeri // Phys. Rev. D. 1980. - V. 22. - №10. - P. 2305-2316.

23. Banerjee A. Spherical collapse with heat flow and without horizon/ A.Banerjee, S.Chatterjee, N.Dadhich // Mod. Phys. Lett. A. 2002.

24. V. 17. №35. - P. 2335-2339.

25. Herrera L. Shear-free and homology conditions for self-gravitating dissipative fluids/ L.Herrera, N.O.Santos // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 2003. - V. 343. - №4. P. 1207-1212.

26. Herrera L. Shear-free radiating collapse and conformal flatness/ L.Herrera, G.Le Denmat, N.O.Santos, A.Z.Wang // Int. J. Mod. Phys. D. 2004. - V. 13. - №4. - P. 583-592.

27. Govender M. Radiating spherical collapse with heat flow/ M.Govender, K.S.Govinder, S.D.Maharaj, R.Sharma, S.Mukherjee, T.K.Dey // Int. J. Mod. Phys. D. 2003. - V. 12. - №4. - P. 667-676.

28. Wang A.Z. Critical phenomena of collapsing massless scalar wave packets/ A.Z.Wang, H.P.de Oliveira // Phys. Rev. D. 1997. V. 56. - P. 753-761.

29. Wang A.Z. Gravitational collapse of a massless scalar field and radiation fluid/ A.Z.Wang, J.F.Villas da Rocha, N.O.Santos // Phys. Rev. D. 1997. - V. 56. - P. 7692-7699.

30. Wang A.Z. Spherical self-similar solutions in Einstein-multi-scalar gravity/ A.Z.Wang, E.W.Hirschmann // Phys. Lett. A. 1998. - V. 249. - P. 383-388.

31. Carr B.J. Self-similarity in general relativity/ B.J.Carr, A.A.Coley // Class. Quantum Grav. 1999. - V. 16. - №7, R31.

32. Villas da Rocha J.F. Gravitational collapse of perfect fluid/ J.F.Villas da Rocha, A.Z.Wang, N.O.Santos // Phys. Lett. A. 1999. - V. 255, 213-220.

33. Harada T. Convergence to a self-similar solution in general relativistic gravitational collapse/ T.Harada, H.Maeda // Phys. Rev. D. 2001. - V. 63, 084022 (14 pages).

34. Maeda H. No Go Theorem for Kinematic Self-Similarity with A Polytropic Equation of State/ H.Maeda, T.Harada, H.Iguchi, N.Okuyama // Phys. Rev. D. 2002. - V. 66, 027501 (4 pages).

35. Maeda H. A Classification of Spherically Symmetric Kinematic Self-Similar Perfect-Fluid, Solutions I/ H.Maeda, T.Harada, H.Iguchi, N.Okuyama // Prog. Theor. Phys. 2003. - V. 108. - №5. - P. 819851.

36. Chan R. Gravitational Collapse of Self-Similar and Shear-free Fluid with Heat Flow/ R.Chan, M.F.A.da Silva, J.F.Villas da Rocha // Int. J. Mod. Phys. D. 2003. - V. 12. - P. 347-368.

37. Maeda H. A Classification of Spherically Symmetric Kinematic Self-Similar Perfect-Fluid Solutions II/ H.Maeda, T.Harada, H.Iguchi, N.Okuyama // Prog. Theor. Phys. 2003. - V. 110. - №1. - P. 2563.

38. Ori A. Naked singularities in self-similar spherical gravitational collapse/ A.Ori, T.Piran // Phys. Rev. Lett. 1987. - V. 59. - P. 2137-2140.

39. Ori A. Naked singularities and other features of self-similar general-relativistic gravitational collapse/ A.Ori, T.Piran // Phys. Rev. D. -1990. V. 42. - P. 1068-1090.

40. Harada T. Final fate of the spherically symmetric collapse of a perfect fluid/ T. Harada // Phys. Rev. D. 1998. - V. 58, 104015 (10 pages).

41. Harada T. Stability criterion for self-similar solutions with perfect fluids in general relativity/ T.Harada // Class. Quantum Grav. -2001. V. 18. - №21. - P. 4549-4567.

42. Choptuik M.W. Universality and scaling in gravitational collapse of a massless scalar field/ M.W.Choptuik // Phys. Rev. Lett. 1993. -V. 70. - P. 9-12.

43. Evans C.R. Critical phenomena and self-similarity in the gravitational collapse of radiation fluid/ C.R.Evans, J.S.Coleman // Phys. Rev. Lett. 1994. - V. 72. - P. 1782-1785.

44. Koike T. Critical behavior in gravitational collapse of radiation fluid: A Renormalization Group (Linear Perturbation) Analysis/ T.Koike, T.Hara, S.Adachi // Phys. Rev. Lett. 1995. - V. 74. - P. 5170-5173.

45. Koike T. Critical behavior in gravitational collapse of a perfect fluid/ T.Koike, T.Hara, S.Adachi // Phys. Rev. D. 1999. - V. 59, 104008 (9 pages).

46. Neilsen D.W. Ultrarelativistic fluid dynamics/ D.W.Neilsen, M.W.Choptuik // Class. Quantum Grav. 2000. - V. 17. - №4. - P. 733-759.

47. Neilsen D.W., Choptuik M.W. Critical phenomena in perfect fluids/ D.W.Neilsen, M.W.Choptuik // Class. Quantum Grav. 2000. - V. 17. - №4. - P. 761-782.

48. Lindquist R.W. Vaidya's radiating Schwarzschild metric/ R.W.Lindquist, R.A.Schwartz, C.W.Misner // Phys. Rev. 1965. -V. 137. - P. B1364-B1368.

49. Mena P.C. Matching homogeneous spacetimes with vacuum in cylindrical symmetry/ P.C.Mena // Book of abstracts 17th International Conference on General Relativity and Gravitation. -Dublin, 2004. P. 20.

50. Nolan B.C. On isotropic cylindrically symmetric stellar models/ B.C.Nolan, L.V.Nolan // Class. Quantum Grav. 2004. - V. 21. -№15. - P. 3693-3703.

51. Darmois G. Les equations de la gravitation Einsteinienne. Memorial des science Mathematiques, Fascicule XXV/ G.Darmois. Paris: Gauthier—Villairs, 1927.

52. O'Brien S. Jump conditions of discontinuites in general relativity/ S.O'Brien, J.L.Singe // Commun. Dublin Inst. Advanced Studies, 1952. P. 9.

53. Lichnerowicz A. Theories relativistes de la gravitation etde I'electromagnetisme/ A.Lichnerowicz . Paris: Masson, 1955.

54. Israel W. Thin shells in general relativity/ W.Israel // Nuovo Cim. -1966. V. 66. - P. 1-14.

55. Bonnor W.B. Junction conditions in general relativity/ W.B.Bonnor, P.A.Vickers // Gen. Rel. Grav. 1981. - V. 13. - P. 29.

56. Taub A.H. Space-times with distribution valued curvature tensors/ A.H.Taub // J. Math. Phys. 1979. V. 21. - P. 1423-1431.

57. Clarke C.J.S. Junction conditions for null hypersurfaces/

58. C. J.S.Clarke, T.Dray // Class. Quantum Grav. 1987. - V. 4. - №2. - P. 265-275.

59. Barrabes C. Thin shells in general relativity and cosmology: The lightlike limit/ C.Barrabes, W.Israel // Phys. Rev. D. 1991. - V. 43. - P. 1129-1142.

60. Mars M. Geometry of general hypersurfaces in spacetime: junction conditions/ M.Mars, J.M.M.Senovilla // Class. Quantum Grav. -1993. V. 10. - №9. - P. 1865-1897.

61. Ландау Л. Д. Теоретическая физика: Учеб. пособие: В 10 т. Т. II. Теория поля/ Л.Д.Ландау, Е.М.Лившиц. - 8-е изд. - М.: Физматлит, 2001.

62. Misner C.W. Relativistic equations for adiabatic, spherically symmetric gravitational collapse/ C.W.Misner, D.H.Sharp // Phys. Rev. 1964. - V. 136. - P. B571-B576.

63. Hayward S.A. Gravitational energy in spherical symmetry/ S.A.Hayward // Phys. Rev. D. 1996. - V. 53. - P. 1938-1949.

64. Bondi H. The contraction of gravitating spheres/ H.Bondi // Proc. R. Soc. Lond., Ser. A. 1964. - V. 281. - P. 39.

65. Дозморов И.М. О сферически-симметричном „излучающем" решении Вайдья/ И.М.Дозморов, Г.И.Задонский // Изв. вузов. Физика. 1971. - №11. -Р. 130-132.

66. Nolan B.C. Perturbations of self-similar Vaidya spacetime/ B.C.Nolan, T.J.Waters // Book of abstracts 17th International Conference on General Relativity and Gravitation. Dublin, 2004. -P. 86.

67. Singh D.D. The dynamics of a classical spinning particle in Vaidya space-time/ D.D.Singh // Book of abstracts 17th International Conference on General Relativity and Gravitation. Dublin, 2004. -P. 135.

68. Толмен P. Относительность, термодинамика и космология/ Р.Толмен. М.: Наука, 1974.

69. Лайтман А. Сборник задач по теории относительности и гравитации/ А.Лайтман, В.Пресс, Р.Прайс, С.Тюкольски. М.: Мир, 1975.

70. Kustaanheimo P. A note on some general solutions of the Einstein field equations in a spherically symmetric world/ P.Kustaanheimo, B.Qvist // Gen. Rel. Grav. 1998. - V. 30. - №4. - P. 663-673.

71. Leibovitz С. Time-dependent solutions of Einstein's equations/ C.Leibovitz // Phys. Rev. D. 1971. - V. 4. - P. 2949-2955.

72. Burlikov V.V. Model of a fluid sphere with the ultrarelativistie equation of state at the centre/ V.V.Burlikov, S.V.Boots, M.P.Korkina // Gravitation and Cosmology. 1996. - V. 2. - №2(6). - P. 167-173.

73. Вурликов В.В. Однородные сферические конфигурации переменной пространственной кривизны/ В.В.Вурликов, М.П.Коркина // Известия вузов. Физика. 1998. - №3. - С. 12-17.

74. Burlikov V.V. Fluid spheres of uniform density with variable spacetime curvature/ V.V.Burlikov, M.P.Korkina // Proceedings of the eighth Marcel Grossmann meeting on general relativity. 1999. -C. 316-318.

75. Фридман A.A. О Кривизне пространства/ А.А.Фридман // Альберт Эйнштейн и теория гравитации. Сборник статей. М.: Мир, 1979. - С. 320-329.

76. Leinaitre G. L 'universe en expansion G.Lemaitre // Gen. Rel. Grav.- 1997. V. 29. - №5. - P. 641-680.

77. Tolman R.C. Effect of inhomogenity in cosmological models/ R.C.Tolmen // Gen. Rel. Grav. 1997. - V. 29. - №7. - P. 935-943.

78. Joshi P.S. Why do naked singularities form in gravitational collapse/ P.S.Joshi, N.Dadhich, R.Maartens // Phys. Rev. D. 2000. - V. 65, 101501 (5 pages).

79. Vaidya P.C. Nonstatic solutions of Einstein's field equations for spheres of fluids radiating energy/ P.C.Vaidya // Phys. Rev. 1951.- V. 83. P. 10-17.

80. Bowers R.L. Anisotropic Spheres in General Relativity/ R.L.Bowers, E.P.T.Liang // Astrophys. J. 1974. - V. 188. - P. 657-665.

81. Паклин H.H. Об одном обобщении внутреннего решения для излучающего источника/ Н.Н.Паклин // Гравитация и фундаментальные взаимодействия. М.: УДН, 1988. - С. 112.

82. Баранов A.M. Эволюция излучающих релятивистских источников. 2. Шварцшилъдоподобная модель/ А.М.Баранов, А.И.Кокшаров, Н.Н.Паклин // Краснояр. ун-т. Красноярск, 1989. - 17 с. - Деп. ВИНИТИ АН СССР 6.12.89, №7197 - В 89.

83. Баранов A.M. Эволюция излучающих релятивистских источников. 3. Обобщение IV решения Толмена/ А.М.Баранов,

84. Н.Н.Паклин // Краснояр. ун-т. Красноярск, 1990. - 9 с. - Деп. ВИНИТИ АН СССР 2.07.90, №3704 - В 90.

85. Letelier P.S. Anisotropic fluids with multifluid components/ P.S.Letelier, P.S.C.Alencar // Phys. Rev. D. 1986. - V. 34. - P. 343-351.

86. Баранов A.M. Моделирование внутреннего приповерхностного слоя излучающей звезды/ А.М.Баранов, С.Ф.Тегай // Вестник Красноярского государственного университета. Физико-математические науки. 2003. - №3 - С. 3-8.

87. Baranov A.M. On radiating star subsurface/ A.M.Baranov, S.F.Tegai // Physical Interpretations of Relativity Theory: Proceedings of International Meeting. Moscow, 30 June 3 July 2003. - Moscow, Liverpool, Sunderland, 2003. - P. 287-291.

88. Baranov A.M. An approximate radiating star model/ A.M.Baranov, S.F.Tegai // Book of Abstracts of 17th International Conference on General Relativity and Gravitation. Dublin, 2004. - P. 81-82.

89. Cosenza M. Some models of anisotropic spheres in general relativity/ M.Cosenza, L.Herrera, M.Esculpi, L.Witten // J. Math. Phys. 1981. -V. 22. - №1. - P. 118-125.

90. Cosenza M. Evolution of radiating anisotropic spheres in general relativity/ M.Cosenza, L.Herrera, M.Esculpi, L.Witten // Phys. Rev. D. 1982. - V. 25. - P. 2527-2535.

91. Krori K.D. Nonstatic radiating spheres in general relativity/ K.D.Krori, P.Borgohain, S.Ranjumani // Phys. Rev. D. 1985. - V. 31. - P. 734-741.

92. Esculpi M. Conformally symmetric radiating spheres in general relativity/ M.Esculpi, L.Herrera //J. Math. Phys. 1986. - V. 27. -№8. - P. 2087-2096.

93. Herrera L. Surface phenomena in general relativistic stellar models: critical mass and stability/ L.Herrera, J.Jimenez, M.Esculpi // Phys. Lett. A. 1988. -V. 130. - P. 211.

94. Barreto W. Radiating fluid spheres in the effective variables approximation/ W.Barreto, B.Rodriguez, H.Martinez // Astrophys. Space Sci. 2002. - V. 282. - №3. - P. 581-593.

95. Fayos F. Matching of the Vaidya and Roberts on-Walker matric/ F.Fayos, X.Jaen, E.Llanta, J.M.M.Senovilla // Class. Quantum Grav.- 1991. V. 8. - Ml. - P. 2057-2068.

96. Kolassis C.A. Friedmann-like collapsing model of a radiating sphere with heat flow/ C.A.Kolassis, N.O.Santos, D.Tsoubelis // Astropys. J. 1988. - V. 327. - P. 755.

97. Herrera L. Shear-free radiating collapse and conformal flatness/ L.Herrera, G.le Denmat, N.O.Santos, A.Z.Wang // Int. J. Mod. Phys. D. 2004. - V. 13. - №4. - P. 583-592.

98. Eckart C. The thermodynamics of irreversible processes. III. Relativistic theory of the simple fluid/ C.Eckart // Phys. Rev. 1940.- V. 58. P. 919-924.

99. Israel W. Nonstationary irreversible thermodynamics: a causal relativistic theory/ W.Israel // Ann. Phys. 1976. - V. 100. - P. 310-331.

100. Israel W. Transient relativistic thermodynamics and kinetic theory/ W.Israel, J.M.Stewart // Ann. Phys. 1979. - V. 118. - P. 341-372.

101. Hiscock W.A. Stability and causality in dissipative relativistic fluids/ W.A.Hiscock, L.Lindblom // Ann. Phys. 1983. - V. 151. - P. 466496.

102. Jou D. Extended irreversible thermodynamics/ D.Jou, G.Casas-Vazquez, G.Lebon. New York: Springer-Verlag, 1996.

103. Martinez J. Transport processes in the gravitational collapse of an anisotropic fluid/ J.Martinez // Phys.Rev. D. 1996. - V. 53. - P. 6921-6940.

104. Herrera L. The Weyl tensor and equilibrium configurations of self-gravitating fluids/ L.Herrera // Gen. Rel. Grav. 2003. - V. 35. - P. 437.

105. Choptuik M.W. Universality and scaling in gravitational collapse of a massless scalar field/ M.W.Choptuik // Phys. Rev. Lett. 1993. -V. 70. - P. 9-12.

106. Choptuik M.W., Critical collapse of the massless scalar field in axisymmetry/ M.W.Choptuik, E.W.Hirschmann, S.L.Liebling, F.Pretorius // Phys. Rev. D. 2003. - V. 68, 044007 (9 pages).

107. Wang A. Critical Collapse of Cylindrically Symmetric Scalar Field in Four-Dimensional Einstein's Theory of Gravity/ A.Wang // Phys. Rev. D. 2003. - V. 68, 064006 (12 pages).

108. Harada Т., Maeda H. Stability criterion for self-similar solutions with a scalar field and those with a stiff fluid in general relativity/ T.Harada, H.Maeda // Class. Quantum Grav. 2004. - V. 21. - №2. - P. 371-389.

109. Singe J.L. Relativity: the general theory/ J.L.Singe. Amsterdam: North-Holland, 1964.

110. Das A. General solutions of Einstein's spherically symmetric gravitational equations with junction conditions/ A.Das, A.DeBenedictis, N.Tariq // J. Math. Phys. 2003. - V. 44. - №12. -P. 5637-5655.

111. Musgrave P. Junctions and thin shells in general relativity using computer algebra I: The Darmois-Israel formalism/ P.Musgrave, K.Lake // Class. Quantum Grav. 1996. - V. 13. - №7. - P. 18851899.

112. Баранов A.M. О двух статических моделях звезды/ А.М.Баранов, М.В.Луконенко, С.Ф.Тегай // Тезисы международной конференции "Геометризация физики". Казань: ХЭТЕР, 1997. - С. 6-7.

113. Baranov A.M. On average observable mass density behavior in two static star models/ A.M.Baranov, M.V.Lukonenko, S.F.Tegai // Proceedings of International Conference "Geometrization of physics IV". Kazan, 1999. - P. 22-23.

114. Баранов A.M. О новых подходах к моделированию статических звезд в ОТО/ А.М.Баранов, М.В.Луконенко, С.Ф.Тегай // Теория и эксперимент в современной физике: Сб. науч. статей. Краснояр. гос. ун-т. Красноярск, 2000. С. 63-72.

115. Баранов A.M. Моделирование широкого класса статических звезд в рамках одного подхода/ А.М.Баранов, М.В.Лукопенко, С.Ф.Тегай // Изв. вузов. Физика. 2002. - №11. - С. 19-23.

116. Баранов A.M. Радиальные пульсации медленно остывающей нейтронной звезды/ А.М.Баранов, С.Ф.Тегай // Вестник Красноярского государственного университета. Физико-математические науки. 2005. - №7.- С. 98-106.

117. Marti J.M. The nonadiabatic general-relativistic stellar oscillations/ J.M.Marti, J.A.Miralles, J.M.Ibanez, L.Herrera // A&SS. 1990. -V.168. - P.305-316.

118. Ландау Л.Д. Теоретическая физика: Учеб. пособие: В 10 т. Т. V.- Статистическая физика/ Л.Д.Ландау, Е.М.Лившиц. М.: Физматлит, 2001.

119. Корн Г. Справочник по математике/ Г.Корн, Т.Корн. М.: Наука, 1974.

120. Эльсгольц Л.Э. Вариационное исчисление/ Л.Э.Эльсгольц. М.- Л.: Гостехиздат, 1952.

121. Stephani Н. Uber losungen der Einsteinschen feldgleichungen, die sich in einen fiinfdimensionalen flachen raum einbetten lassen/

122. H.Stephani // Comm. Math. Phys. 1967. - V. 4. - P. 137.

123. Kramer D. Konstruktion und charakterisierung von gravitationsfelden/ D.Kramer, G.Neugebauer, H.Stephani // Fortschr. Phys. 1972. - V. 20. - P. 1.

124. Тегай С.Ф. Модель излучающей звезды/ С.Ф.Тегай // Сборник тезисов V международной конференции по гравитации и астрофизике стран азиатско-тихоокеанского региона. М.: РУДН, 2001.- С. 77.

125. Захаров В.Д. Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна/ В.Д.Захаров. М.: Наука, 1972.