Моделирование стоксовых течений и динамики деформируемых капель масштабируемым методом граничных элементов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

АБРАМОВА Ольга Александровна

МОДЕЛИРОВАНИЕ СТОКСОВЫХ ТЕЧЕНИЙ И

ДИНАМИКИ ДЕФОРМИРУЕМЫХ КАПЕЛЬ МАСШТАБИРУЕМЫМ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Специальность 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

6 НОЯ 2014

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа-2014

005554535

Работа выполнена в Центре "Микро- и наномаспггабная динамика дисперсных систем" ФГБОУ ВПО "Башкирский государственный университет" и в ФГБУН Институте механики им. Р. Р. Мавлютова Уфимского научного центра РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Гумеров Наиль Асгатович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор, директор Тюменского филиала Института теоретической и прикладной механики им. С. А. Христаановича Сибирского отделения Российской академии наук, Губайдуллин Амир Анварович кандидат технических наук, доцент, ФГБОУ ВПО "Уфимский государственный авиационный технический университет" (УГАТУ), Черноусое Андрей Александрович

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО "Московский Государственный

Университет имени М. В. Ломоносова"

Защита состоится "04" декабря 2014 г. в 14:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.013.09 при Башкирском государственном университете по адресу: 450076, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32, в аудитории 216 физико-математического корпуса.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Башкирского государственного университета.

Автореферат разослан " октября 2014 года

Ученый секретарь диссертационного совета, д.т.н., профессор

Ковалева Л.А.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Исследование динамики дисперсных систем в различных областях является актуальной проблемой современной науки и техники. Пример таких систем представляют эмульсии, которые встречаются во многих отраслях промышленности: нефтегазовой, строительной, автомобильной, пищевой, биотехнологии, медицине, а также в микро и нанотехнологиях. В нефтяной области эмульсии возникают практически на каждом этапе добычи, переработки и транспортировки нефтяного сырья. Изучение взаимодействия большого количества деформируемых капель важно для прогнозирования реологических свойств систем "жидкость-жидкость" и выявления особенностей их движения, например, в микроканалах, моделирующих пористый пласт. Моделирование стоксовых течений в различных областях имеет значение также для микрогидродинамики при создании лабораторий-на-чипе.

Существует весьма ограниченное количество решений подобных задач. Проведение лабораторных исследований по изучению динамики эмульсий в широком диапазоне значений различных параметров дорогостоящее и трудновыполнимое. Компьютерное моделирование позволяет планировать, частично заменять и существенно дополнять эксперименты. Применяемые в настоящее время подходы к компьютерному моделированию движения деформируемых капель в стоксовом режиме, в большинстве своем имеют ряд ограничений, связанных с размером изучаемых процессов, скоростью проведения расчетов, а также с геометрией рассматриваемых областей. Задачи большой вычислительной сложности типичны для трехмерного моделирования таких явлений, как взаимодействие двух или более близкорасположенных капель, течение большого числа капель или течение в каналах произвольной формы. Все это делает важным разработку и развитие новых подходов к вычислительным методам гидродинамики на основе современных технологий и комбинации высокопроизводительных методов, которые позволят преодолеть указанные выше ограничения.

Цели и задачи исследования. Целью настоящей работы является выявление закономерностей динамики трехмерных стоксовых течений двух вязких несмешивающихся жидкостей в случае, когда одна из жидкостей присутствует в другой в виде деформируемых капель, как в неограниченной области, так и в микроканалах произвольной формы.

В соответствии с поставленной целью решены следующие задачи

1) разработка алгоритмической базы и программного комплекса, реализующего прямое численное моделирование трехмерных течений эмульсий в стоксовом режиме в различных областях, на основе метода граничных элементов, ускоренного иерархическим быстрым методом мультиполей на гетерогенных вычислительных архитектурах;

2) проведение валидации и исследование производительности реализованного подхода к численному моделированию капельных течений Стокса;

3) изучение динамики деформируемых капель в сдвиговом потоке, расчет компонент тензора напряжений и относительной вязкости различных типов эмульсий, а также анализ их зависимости от параметров рассматриваемой дисперсной системы;

4) моделирование движения деформируемых капель в различных каналах, исследование влияния стенок каналов на форму капель;

5) изучение особенностей образования вихрей при медленном течении вязкой жидкости в микроканалах переменного кругового сечения.

Основные положения, выносимые на защиту

1) вычислительная технология определения и результаты исследования относительной вязкости и разностей нормальных напряжений различных типов слабо концентрированных эмульсий и изучение поведения деформируемых капель в сдвиговом потоке;

2) результаты моделирования динамики смеси двух жидкостей капельной структуры в микроканалах переменного сечения в стоксовом режиме;

3) результаты изучения закономерностей медленного течения вязкой жидкости в микроканалах переменного кругового сечения;

4) подход к численному моделированию трехмерных медленных течений деформируемых капель эмульсий на основе метода граничных элементов, объединенного с гетерогенным иерархическим быстрым методом мульти-полей;

5) алгоритм ускорения сходимости итерационного метода решения системы линейных алгебраических уравнений, возникающей при моделировании течений Стокса в микроканалах произвольной формы.

Научная новизна работы состоит в

1) расчете относительной вязкости и компонент тензора напряжений и исследовании их зависимости от изменения капиллярного числа для различных типов слабо концентрированных эмульсий;

2) исследовании особенностей образования вихрей при течении вязкой жидкости, а также изучении динамики деформируемых капель в микроканалах переменного сечения;

3) разработке алгоритма и проведение трехмерного моделирования движения большого количества деформируемых капель эмульсии в стоксовом режиме. Для решения такой задачи метод граничных элементов объединен с иерархическим быстрым методом мультиполей, реализованном на гетерогенных вычислительных архитектурах;

4) модификации метода граничных элементов для трехмерного моделирования стоксовых течений в микроканалах произвольной формы;

5) создании методики ускорения сходимости итеративного метода решения системы линейных уравнений при моделировании капельных течений и течения вязких жидкостей в стоксовом режиме в микроканалах произвольной формы.

Достоверность результатов, полученных в рамках настоящей диссертации, обеспечивается корректностью применяемой математической модели, основанной на законах сохранения механики сплошных сред. Проведение ряда различных сравнительных расчетов показало, что результаты находятся в соответствии с аналитическими решениями, экспериментальными данными, а также численными результатами, полученными другими авторами.

Научная и практическая значимость работы. Разработанный эффективный подход к решению класса задач гидродинамики, описывающих поведение смеси двух вязких жидкостей капельной структуры в стоксовом режиме, позволяет детально исследовать поведение эмульсий в различных областях, включая взаимодействие капель, изучать различные эффекты при течении в каналах произвольных несимметричных форм, а также предсказывать микроструктуру и реологические свойства различных типов эмульсий.

Реализованный вычислительный аппарат может быть применен для решения широкого класса задач, связанных с течениями эмульсий в микро и нано-масштабах. Он также может быть использован для установления замыкающих соотношений при моделировании течений систем "жидкость-жидкость" на основе континуального подхода в макромасштабах.

Апробация работы. Основные результаты, представленные в работе, докладывались в Центре "Микро- и наномасштабная динамика дисперсных систем" Башкирского Государственного Университета на семинарах, проводимых под руководством академика РАН Р. И. Нигматулина, д.ф-м.н. Н. А. Гумерова и д.ф-м.н., проф. И. Ш. Ахатова (г. Уфа, 2012-2014), на семинаре лаборатории "Механики многофазных сред" Института механики МГУ им. М. В. Ломоносова, проводимом под руководством д.ф-м.н., проф. А. Н. Осипцова (г. Москва, июнь 2014), на семинаре "Вычислительные методы и математическое моделирование" Института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН под руководством чл.-корр. РАН Ю. П. Попова и д.ф-м.н., проф. М. П. Галанина (г. Москва, июнь 2014), на семинаре в Институте механики им. Р. Р. Мавлютова УНЦ РАН под руководством д.ф-м.н., проф. С. Ф. Урманчеева (г. Уфа, сентябрь 2014), на семинаре кафедры прикладной информатики и численных методов Ба-шГУ под руководством д.ф.-м.н., проф. Н. Д. Морозкина (г. Уфа, 2012), рабочих семинарах в Институте передовых компьютерных исследований Университета Штата Мэриленд (США, г. Колледж Парк, 2012, 2013), на Международной школе-конференции "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании" (г. Уфа, 2011, 2012), на Международной научной конференции "Параллельные вычисления и технологии" (г. Новосибирск, 2012), на Международной конференции по численным методам в многофазных течениях (ICNMMF'2012) (США, г. Стейт-Колледж, 2012), на V Российской конференции с международным участием "Многофазные системы: теория и приложения", посвященной 20-летию со дня основания Института Механики УНЦ РАН (г. Уфа, 2012), на международном конгрессе ASME International Mechanical Engineering Congress

5

and Exposition (США, г. Хьюстон, 2012, США, г. Сан-Диего, 2013), на конкурсе молодых ученых в Институте механики им. Р. Р. Мавлютова УНЦ РАН (г. Уфа, апрель 2014), на Международной школе-конференции "Динамика дисперсных систем" (г. Уфа, июнь 2014).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 26 печатных изданиях, 4 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 2 - в изданиях, приравненных к публикациям в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, 10 - в тезисах докладов конференций. Получено 2 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю д. ф.-м. н. Н. А. Гумерову за постановку задачи и постоянное внимание к работе, д. ф.-м. н., профессору И. Ш. Ахатову за ценные замечания, Ю. А. Иткуловой за помощь в разработке некоторых программных модулей, сотрудникам Центра "Микро- и наномасштабная динамика дисперсных систем", БашГУ и д. ф.-м. н., профессору С. Ф. Урманчееву за оказанную поддержку при подготовке диссертации.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 148 страниц с 65 рисунками и 5 таблицами. Список литературы содержит 136 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении показана актуальность выбранной темы диссертации, сформулированы цели исследования, обоснована научная новизна, достоверность полученных результатов и их практическая значимость, перечислены положения, выносимые на защиту.

В первой главе представлен обзор существующих теоретических, экспериментальных и численных исследований, посвященных изучению медленных течений капель эмульсий и вязких жидкостей в различных областях.

В рамках данной работы рассматриваются задачи о трехмерной динамике деформируемых капель одной ньютоновской жидкости (индекс 2) в объеме другой жидкости (индекс 1) в неограниченной области и в канале произвольной формы (рис. 1).

1)

2)

Рис. 1. Схематическое изображение исследуемых задач: 1) динамика капель в неограниченной области; 2) периодическое течение в канале произвольной формы

6

Изучаются течения при малых числах Рейнольдса Ие -С 1 и умеренных числах Струхаля, St • Не 1. Тогда силы вязкости гораздо значительнее сил инерции, что дает возможность полностью пренебречь инерционными членами. Все изучаемые процессы происходят в изотермических условиях, без учета Ван-дер-ваальсовых сил. В этом случае установившееся течение несжимаемых жидкостей описывается уравнениями Стокса с соответствующими граничными условиями для каждой из исследуемых задач и кинематическим условием для динамики поверхности капель.

Вторая глава посвящена описанию применяемой численной методики, основанной на методе граничных элементов (МГЭ), который очень эффективен при моделировании трехмерных задач в бесконечных областях и областях со сложной геометрией. Переход от уравнений Стокса к граничным интегральным уравнениям описан в литературе (Ладыженская, 1970; РоитЫсНб, 1992).

Для каждой из двух рассматриваемых в данной работе задач гранично-интегральные уравнения записываются соответствующим образом. В случае динамики капель (У^) в неограниченном объеме другой жидкости (VI) при заданной скорости на бесконечности и^ (х) интегральное представление поля скоростей может быть записано в виде

у 6 VI, и(у)-исо(у) у еУ2, Аи(у)-иос(у)

У 65, -Ц^и (у) - и^ (у)

(1)

= I {-^С (у, х) • {(х) + (Л - 1)К (у, х) • и (х)| а5 (х),

где и(х) - скорость; Л = т/ци Г(х) = ^(х) - Г2(х) - вектор напряжений; х и у - радиус-вектора рассматриваемых точек; К(у, х) = Т(у, х) ■ п(х), С и Т - тензоры второго и третьего ранга, компоненты которых в прямоугольной декартовой системе координат имеют вид

Со(У, х) = £ О + , Т»к (у, х) = (2)

П = У1~Хг: г,3, к = 1,2,3,

где - символ Кронекера. Скорость и (х) находится как решение последнего уравнения (1), которое является интегральным уравнением Фредгольма 2-го рода с сингулярным ядром. Таким образом, если и и Г известны на границе, то поле скорости и (у) может быть определено в любой точке области.

При моделировании периодического течения капель эмульсии в канале гранично-интегральные уравнения для точек, принадлежащих всей границе 5" = ^ и 5г и 5з и (соответствующие поверхности обозначены на рис. 1 (2)), записываются следующим образом

1 + /?(у)А

-и (у) - [ К (у, х) • и (х) <13 (х) — [ К(у,х)-и (х)^(х)

+

(1-Х) [ К(у;х)-и(х)^(х) = - Г С(у,х)-Г1(х)Й5(х) +

+

+

+-

(3)

(4)

Поверхность каждой капли или канала дискретизируется сеткой с М плоских треугольников (граней) ЛТд,-, 3 = 1,...,М с /V вершинами (узлами) х,, г = 1,Лг. Приведено краткое описание используемых методов для вычисления геометрических характеристик областей. Для вычисления поверхностных интегралов используются квадратурные формулы. Сингулярные части интегралов определяются на основе известных интегральных тождеств для течений в приближении Стокса (ЯаШБОп & Аспуоб, 1978, РоглЫсИв, 1992), а также с использованием дополнительных соотношений, основанных на линейной комбинации точных решений уравнений Стокса. Так, решение задачи сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) размером ЗЫ х ЗЫ.

Интегрирование по времени проводится методом Адамса-Башфорта-Моултона 6-го порядка, для которого значения функции на начальном отрезке времени находятся методом Рунге-Кутты 4-го порядка. Шаг по времени выбирается в соответствии с условием численной устойчивости.

В третьей главе описываются способы ускорения расчетов и увеличения масштаба моделируемых задач.

При трехмерном численном моделировании физических процессов для областей со сложной геометрией, например течения деформируемых капель в микроканалах переменного сечения, необходимо построение сеток с большим количеством узлов. Аналогичной в плане вычислительной сложности является задача динамики большого объема эмульсии, составленном из тысяч капель, поверхность каждой из которых покрыта треугольной сеткой с сотнями вершин.

В рамках данной работы в случае сеток небольшого размера при решении СЛАУ применялись стандартные прямые методы, но при увеличении масштаба задачи их использование затрудняется из-за ограничений, связанных с памятью вычислительной системы. Эту проблему можно решить используя итерационные методы решения СЛАУ. В данной работе используется метод обобщенных минимальных невязок (ОМЫ^). Поскольку вычислительная сложность решения СЛАУ складывается из количества необходимых итераций Ыиег и сложности используемого матрично-векторного произведения (МВП), то для эффективной реализации итерационного метода необходимо решить две проблемы: ускорение умножения матрицы на вектор и ускорение сходимости метода.

Одним из наиболее эффективных методов быстрого умножения плотной матрицы специального типа на вектор является быстрый метод мультиполей (FMM) (Greengard & Rokhlin, 1987), который снижает вычислительную сложность МВП с 0(N2) до 0{NlogN) или O(N). Кроме того, FMM является экономичным в плане использования памяти, поскольку нет необходимости хранить матрицу и размер необходимой памяти становится пропорционален N. В данной работе применяется FMM, предложенный в статьях (Tomberg & Greengard, 2008, Wang et al, 2007), где суммирование фундаментальных решений уравнений Стокса (2) сводится к суммированию фундаментальных решений трехмерного уравнения Лапласа. Наиболее эффективно иерархический быстрый метод мультиполей может быть реализован на гетерогенных вычислительных архитектурах, состоящих из многоядерных центральных процессоров (CPU) и графических процессоров (GPUs) (Gumerov & Duraiswami, 2008). Особенность FMM состоит в формальном представлении расчетной матрицы А из СЛАУ в виде суммы двух матриц А = Asparse + Adense, где Aspnrse - разреженная матрица, в которой учитываются взаимодействия только близких узлов сетки, А</еМ(, -плотная матрица, учитывающей все дальние взаимодействия. МВП Asparscx реализовано на GPU с использованием технологии CUD А, а произведение Ajensex - на CPU с использованием ОрепМР. Иерархическая структура данных также вычисляется на CPU.

При решении СЛАУ в случае моделирования динамики капель в неограниченной области используется обычная версия GMRES. Однако, при моделировании течения в канале существует проблема, связанная с плохой обусловленностью системной матрицы. Для решения этой проблемы разработана flexible версия GMRES, которая отличается от стандартной версии использованием в качестве правого предобуславливателя нефиксированной матрицы. Особенностью реализованного fGMRES является то, что в глобальных итерациях используется FMM повышенной точности, а в итерациях предобуславливателя - FMM пониженной точности.

GMRES - ,GMRES Тестирование

fGMRES проведено для течения вязкой жидкости в цилиндрическом канале. На рисунке 2 показано изменение погрешности в зависимости от количества итераций для матрицы с количеством

Рис. 2. Сходимость итерационных методов решения СЛАУ неизвестных N = 5196

для матрицы 5196 х 5196.

Из графиков видно, что

при применении fGMRES показывает хорошую сходимость метода, 7Vi(er су-

щественно сокращается и решение СЛАУ для такого типа задач становится возможным за разумное время.

В четвертой главе рассматривается задача о динамике деформируемых капель эмульсии под действием однородного течения.

Проведено сравнение с аналитическим решением для случая обтекания неподвижной сферической капли неограниченным потоком. При сравнении компонент скоростей на поверхности капель для N = 642 относительная погрешность в норме Loo составила 1 - 1.5% для Л = 2.5. При всех Л с увеличением узлов сетки на поверхности погрешность уменьшалась.

Проведен ряд расчетов динамики одиночной капли в сдвиговом потоке. Рассмотрено изменение формы капли, для описания которой обычно используются угол наклона а и деформация D = (с - Ь)/{с + Ь) , где с и Ъ - наибольшее и наименьшее расстояние от поверхности до центра капли, а а - угол между их и направлением максимального растяжения капли. Исследованы зависимости а и D в сдвиговом потоке от Л и капиллярного числа С а = ¡ixaG¡ 7, а - радиус недеформированной капли, G - скорость сдвига. Выполненные расчеты хорошо согласуются с аналитическим решением в рамках теории малых деформаций, известными экспериментальными данными и расчетами других авторов, опубликованными в литературе. Результаты валидации подтверждают правильность реализации численного алгоритма и корректность используемой математической модели.

Применение гетерогенного FMM для ускорения МГЭ для уравнений Сток-са, позволило значительно увеличить размер рассматриваемых задач и проводить численные эксперименты как для большого числа капель в потоке, так и для небольшого числа капель с очень высоким сеточным разрешением поверхности.

Í = J _______ _ _ __ _ t = 3.5

\

V / /¿zd. "

Рис. 3. Увеличенный фрагмент расчетной области между двумя каплями в сдвиговом потоке, Са = 0.05. А = 1 ,А*Д = 327680.

Реализованы расчеты для движения двух близко расположенных изначально сферических капель в сдвиговом потоке (Gz, 0,0) с очень большим количеством треугольных элементов на поверхности каждой капли. Аналогичные расчеты также представлены в некоторых работах, но максимальное количество треугольных элементов на поверхности каждой из капель не превышало NA = = 138240. Для данного случая количество треугольных элементов на поверхно-

10

сти каждой капли составляло - 327680. Замечено, что близкое взаимодействие между каплями продолжается с ( = 2 до £ = 4, — 1поп(ц„, = а)> где размерное время. На протяжении всего этого периода поверхности капель деформируются под влиянием друг друга, но слияния капель не происходит и они остаются хорошо разделенными, что и показано на рисунке 3. Результаты согласуются с асимптотическими расчетами для Са 1, которые показали, что при отсутствии Ван-дер-ваальсового взаимодействия, деформация капель пре-

Также моделировалась динамика полидисперсных смесей изначально сферических капель в сдвиговом потоке в неограниченной области при различных параметрах. Расчетная область содержала А/ = 10934 капли, что соответствует объемному содержанию а = 1.4 • - Ю-3, 1 < Са < 2, Л = 0.6. Поверхность каждой капли дискретизировалась сеткой с N = = 162 вершинами. Таким образом, общее количество расчетных узлов составило = = М-Агд = 1771308 и общее количество неизвестных в СЛАУ ЗЛ^гпра = 5313924. Исследована зависимость времени расчета МВП, одного временного шага и 100 временных итераций от количества капель (рис. 4). Общее вре-Рис. 4. Время расчета одного МВП Ъ1Я счеха процесса для 100 шагов по времени (И), одного временного шага (а) и составило около 5 часов, а один вызов РММ -100 временных итераций (•) в зави- 7 секунд. Во всех случаях время вычислений симости от количества капель в лога- растет по линейному закону при увеличении рифмической шкале. количества узлов сетки, что показывает хорошую масштабируемость используемого алгоритма и позволяет применять его для расчетов динамики эмульсий с большой вычислительной сложностью.

Кроме того, в настоящей работе реализован способ расчета реологических характеристик эмульсий. В литературе (ВаиЖеЬг, 1970) выведено, что в случае движения смеси двух ньютоновских жидкостей капельной структуры при малых числах Рейнольдса, тензор напряжений Е всей системы определяется как

+ +№

3

где а - объемное содержание дисперсной фазы. Рассчитав скорости и разности векторов напряжений на поверхности каждой капли, используя формулу (5),

11

пятствует их коалесценции.

можно вычислить следующие реологические характеристики

MS = щ + аЕ?2/G, N\ = a (Eft - , N2 = a (E^2 - E*3),

здесь neff - эффективная вязкость; jVb N2 - первая и вторая разности нормальных напряжений. Для ньютоновских жидкостей вязкость не зависит от скорости сдвига, а разности нормальных напряжений равны нулю.

Для валидации представленного метода реализовано сравнение вычисленного вклада одной капли в тензор напряжений с опубликованными в литературе численными результатами (Kennedy et al, 1994). Расчеты проведены для стабильного состояния деформированной одиночной капли, помещенной в однородный сдвиговый поток, для различных значений С а при А = 1 и А = 6.4. Получено хорошее согласование.

Для рассмотренного случая относительного движения двух близких капель равного радиуса проведены расчеты Si2, Ni, N2 для одной капли (рис. 5). Изначально для стабильного деформированного состояния капли, помещенной в сдвиговый поток (Gy, 0,0), при заданных Са = = 0.05, А = 1 найдены значения Е?2 = 0.0853, = = 0.0169, N2 = -0.0043 (пря-во мые линии на рисунке 5), ко-

Рис. 5.

Изменение реологических функций

при движении двух близких капель, торые сохранялись бы постоянными для достаточно раз-

времени

Са = 0.05. А = 1, ЛГд = 327680. бавленной эмульсии, где капли находятся на большом расстоянии и не влияют друг на друга. Из графиков на рисунке 5 видно насколько меняются значения при близком взаимодействии капель и то, что, когда капли перестают оказывать влияние друг на друга и расстояние между ними увеличивается, функции выходят на свои стационарные значения. Максимальное значение достигается при t = 3, когда капли прижаты друг к другу и максимально вытянуты по направлению потока (вдоль оси х), а минимальное значение достигается в момент I = 3.5. М и Дг2 также достигают своих минимальных и максимальных значений в < = 3 и £ = 3.5 и вносят более ощутимый вклад в тензор напряжений. Исследование изменения реологических характеристик при близком контакте между каплями показывает, что свойства течения эмульсий в различных областях, например в микроканалах, при плотной упаковке частиц, то есть когда поверхность контакта между каплями значительно увеличивается, определяется не только положением и динамикой капель в потоке, но и характером взаимодействия между каплями.

12

Са

а) а = 11.3% б) а = 21.2%

Рис. 6. Расчет относительной вязкости упорядоченной эмульсии для различных Са; —□— Л = 6.4, — о—А = 2, — Д — А = 1, -О- А = 0.2, - х - А = 0.08.

Представлены результаты численных экспериментов для определения влияния деформации капель на тензор напряжений упорядоченной эмульсии, состоящей из деформируемых капель, с различными объемными концентрациями. На рисунке 6 представлены расчеты относительной вязкости эмульсии. Из графиков видно, что практически для всех А при увеличении С а, цrelative — l^eff/ Mi уменьшается, наиболее ярко это выражено для А < 1. Во всех рассматриваемых вариантах объемных концентраций при А < 1 наблюдается проявление псевдопластического сдвигового эффекта, который заключается в уменьшении эффективной вязкости системы при увеличении скорости сдвига, которая входит в капиллярное число, то есть наблюдается неньютоновское поведение системы. Стоит отметить, что при равных Са в случаях А < 1 капли имеют более деформированную форму и больший угол наклона по отношению к направлению потока, то есть больше ориентированы по направлению растяжения в сдвиговом потоке. В свою очередь для А > 1 с увеличением С а угол наклона уменьшается, то есть капли стремятся располагаться по потоку. Указанные особенности микроструктуры эмульсии влияют и на величины нормальных напряжений в эмульсии. Наибольшие по модулю значения Лч и А'г достигаются когда капли наиболее деформированы и более ориентированы в направлении растяжения, причем во всех рассмотренных случаях Ni Ф 0 и N2 ф 0. Разности нормальных напряжений для суспензии сферических частиц в среднем равны нулю, что соответствует предположению о том, что именно деформируемость капель отвечает за проявление неньютоновского поведения эмульсии.

Далее проведены расчеты реологических характеристик полидисперсной эмульсии при различных а. На рисунке 7 изображены графики изменения Мrelative для эмульсий с а = 10% и о = 20% при А = 1. Характер выхода кривых на стационарные значения для заданной структуры эмульсии различается при увеличении а. Для более концентрированной системы стационарное

значение достигается медленнее. Немонотонность характера изменения Ureiative. обусловлена изменением относительного расположения капель и их влиянием на форму друг друга.

Таким образом, реализованный подход может быть использован для определения реологических параметров как монодисперсных и полидисперсных слабо концентрированных эмульсий, так и суспензий, состоящих из частиц различных форм. Он позволяет изучать изменения во времени реологических характеристик, а также их зависимости от ряда физических параметров в таком диапазоне, который остается не охваченным различными моделями, которые зачастую ограничены предположением о монодисперсности эмульсии, недеформируемости частиц или очень малыми концентрациями.

Пятая глава посвящена результатам моделирования периодического течения вязкой жидкости и смеси двух жидкостей капельной структуры в каналах произвольной формы. Сопоставление результатов моделирования течения вязкой жидкости в цилиндрическом канале с аналитическим решением для течения Пуазейля показало хорошее совпадение результатов, относительная погрешность не превышала 2%, что вполне допустимо для МГЭ.

Адекватность разработанного подхода также подтверждена сравнением с данными экспериментов, опубликованных в литературе. Для сопоставления выбрано несколько случаев исследования движения деформируемых капель радиуса сравнимого с радиусом (R) цилиндрического канала в случаях капель вязкой ньютоновской жидкости, взвешенных в объеме вязкой жидкости с одинаковыми плотностями из работы (Но & Leal, 1975), а также из статьи (Olbricht & Kung, 1992) с аналогичными экспериментами. Наблюдается хорошее качественное согласование стабильных деформированных форм капель для различных параметров. Также сопоставлена рассчитанная относительная скорость капель в потоке с экспериментально измеренной в работе (Но & Leal, 1975). Небольшая величина относительной погрешности (до 3.3%) свидетельствует о хорошем совпадении результатов.

В (Hetsroni et al, 1970) выведена формула для определения относительной скорости капли в течении Пуазейля, которая верна в случае небольших а/R для капель, расположенных на осевой линии канала и имеющих ту же плотность, что и несущая жидкость. Проведено сравнение относительной скорости капли, рассчитанной по данной формуле с результатами моделирования движения ка-

14

Рис. 7. Изменение цгештс полидисперсной эмульсии во времени, А = 1, а = 10% - штрихованная линия, о = 20% - сплошная линия.

пель по оси цилиндрического канала для случаев с соотношениями вязкостен Л = 0.99 и Л = 2.04 Из графиков на рисунке 8 видно, что расчеты достаточно хорошо совпадают с данными, полученными по формуле. Причем, чем меньше значение а/ Я, тем согласование лучше.

Проводились расчеты для течения вязкой жидкости в канале переменного кругового сечения при постоянном перепаде давления. На рисунке 10 изображены линии тока внутри канала в сечении плоскостью у = 0. Для данного случая соотношение радиусов широкой части Яг к радиусу узкой части Я\ канала, Ял/ Я\ = = 4. В расширяющейся части канала располагаются вихри, которые образуют для заданной геометрии трехмерный тор. Работ, посвященных изучению потока вязкой жидкости в рассматриваемом трехмерном канале автором не было найдено, но существует ряд экспериментальных и теоретических исследований для похожих областей. Например, в (Тапеёа, 1979) представлено экспериментальное исследование течения вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса над пластиной с прямоугольной каверной.

В настоящей работе проведен ряд численных экспериментов для исследования образования вихрей в расширяющейся части канала кругового переменного сечения при различных параметрах геометрии канала и перепадах давления. Рассматривалось влияние следующих безразмерных параметров на характер течения: К = Н/Ъ - отношение глубины расширения к его длине; XV = Я\/Ь. -отношение радиуса узкой части канала к глубине расширения.

Рис. 8. Относительная скорость капли, А = 2.04: К - расчеты, штрихованная пиния - теория; X - 0.99: • расчеты, сплошная линия - теория.

Рис. 9. Визуализация течения вязкой жидкости над пластиной с прямоугольной каверной, экспериментальные данные (Taneda, 1979), Re = 0.01, К = 0.5.

Рис. 10. Линии тока при течении вязкой жидкости в канале переменного кругового сечения в плоскости у = 0, Яг/= 4, Ь/йг = 2.5.

Расчеты проводились для различных каналов при фиксированном значении параметра К = 0.5, а параметр И" увеличивался начиная с № = 0.5 до того момента, когда бы в рассматриваемой области канала образовывался один вытянутый вихрь аналогичный показанному на рисунке 9. Выявлено, что для К — 0.5 при IV < 8 в расширяющейся части канала в сечении плоскостью у = 0 в вихре наблюдается образование двух центров, которые при дальнейшем уменьшении IV отдаляются друг от друга и перемещаются к углам области, образуя два отдельных вихря.

Совокупность результатов исследований образования вихрей в канале переменного кругового сечения отражена на рисунке 11 в пространстве параметров Ш -К. В рассматриваемом диапазоне Ш и К выделено три области, соответствующие различным картинам течений: 1) два вихря рядом друг с другом; 2) один вихрь в области; 3) два вихря друг над другом.

Таким образом, кроме соотношения глубины и ширины расширяющейся части канала, также большое влияние на образование вихрей оказывает соотношение радиуса узкой части канала и глубины расширения. Построенное распределение картин течения в пространстве изучаемых параметров может быть использовано, например, при конструировании микрожидкостных устройств для биохимических реакций.

Рис. 11. Изменение картины течения в расширяющейся части канала переменного кругового сечения при различных значениях параметров ]¥ и К, —-— = 8.

Рис. 12. Динамика капли в канале переменного кругового сечения в плоскости у = 0 в различные моменты безразмерного времени г = 0; 19.8; 29.2; 37.3; 44.8; 58.3; С4.3; 83.45; 109.05 (слева направо), А = 1.5, Ь/В2 = Ь.а/Щ = 0.9, В2/Я1 = 2.

Кроме того, проводилось исследование движения деформируемой изначально сферической капли с радиусом сравнимым с радиусом узкой части канала переменного сечения R2/Ri = 2. На рисунке 12 представлена динамика изначально сферической капли а/Ri = 0.9, центр которой расположен на оси канала. С течением времени при приближении к узкой части канала капля вытягивается по потоку и значительно деформируется. Показано существенное влияние стенок каналов на форму капель, характер деформации совпадает с наблюдаемым во многих экспериментальных исследованиях. При движении в узкой части канала капля принимает стабильную деформированную форму "снаряда": передняя часть капли имеет гораздо большую кривизну, нежели задняя часть.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в ходе исследования и выносимые на защиту.

Основные результаты и выводы

1) Проведены численные эксперименты по изучению динамики слабо концентрированных эмульсии в сдвиговом потоке. Продемонстрирована возможность моделирования систем, состоящих из более чем десяти тысяч деформируемых капель, а также взаимодействия близко расположенных капель в случае, когда требуется высокая дискретизация границ.

2) Расчеты компонент тензора напряжений различных типов слабо концентрированных эмульсий показали проявление неньютоновского поведения систем "жидкость-жидкость" при исследовании зависимости значений относительной вязкости (¿relative и разностей нормальных напряжений от увеличения капиллярного числа. Выделено два случая изменения (1„Шые. при увеличении капиллярного числа в зависимости от соотношения вязкостей рассматриваемых жидкостей А: менее выраженное уменьшение значений для А > 1 и более значительное для Л < 1. Также изучено изменение компонент тензора напряжений при близком контакте между каплями в сдвиговом потоке. Выявлено, что значение вклада каждой из капель в относительную вязкость и разности нормальных напряжений существенно изменяется, когда поверхность контакта между каплями значительно увеличивается, и зависит от расположения капель в потоке.

3) Проведено численное моделирование динамики капель эмульсий различного начального радиуса в каналах постоянного и переменного кругового сечения. Показано существенное влияние стенок каналов на форму капель, характер деформации капель размера сравнимого с размером канала совпадает с наблюдаемым во многих экспериментальных исследованиях.

4) Изучены особенности образования вихрей при медленном течении вязкой жидкости в расширяющейся части канала переменного кругового сечения. Построено распределение картин течения в пространстве параметров W — К при их изменении в следующих пределах 0.5 < IV < 8, 0.2 < К < 3. Найдено значение параметра W, соотношения радиуса узкой части канала

17

к глубине широкой части, при котором для заданного соотношения глубины расширения к его длине К = 0.5, начинается разделение одного вихря на два и происходит дальнейшее отдаление центров вихрей при W < 8, а для W > 8 картина течения в расширяющейся части аналогична течению в каверне.

5) Предложен и протестирован оригинальный алгоритм для решения краевых задач для уравнений Стокса высокой вычислительной сложности, связанной с высокой дискретизацией трехмерных областей. Алгоритм основан на методе граничных элементов, ускорение которого произведено как за счет высокоэффективного масштабируемого алгоритма (быстрого метода муль-типолей), так и за счет использования многоядерных CPU и графических процессоров. Также для моделировании стоксовых течений в каналах произвольной формы разработан подход к ускорению сходимости итерационного метода решения СЛАУ на основе применения гетерогенного быстрого метода мультиполей пониженной точности в предобуславливателе.

Публикации по теме диссертации

В изданиях, рекомендованных ВАК:

1) Абрамова O.A., Иткулова Ю.А., Гумеров Н.А, Ахатов И.Ш. Эффективный метод расчета динамики большого количества деформируемых капель в стоксовом режиме // Доклады Академии Наук. 2014. - Т. 456. №2. - С. 166-170.

2) Абрамова O.A., Иткулова Ю.А., Гумеров Н.А, Ахатов И.Ш. Трехмерное моделирование динамики деформируемых капель эмульсии методом граничных элементов и быстрым методом мультиполей на гетерогенных вычислительных системах // Вычислительные методы и программирование. 2013 - Т.14. - С. 438-450.

3) Абрамова O.A., Иткулова Ю.А., Гумеров Н.А Моделирование трехмерного движения деформируемых капель в стоксовом режиме методом граничных элементов // Вычислительная механика сплошных сред. 2013. - Т.6. № 2. С. 214-223.

4) Солнышкнна (Абрамова) O.A., Иткулова Ю.А., Гумеров H.A. Ускорение расчетов на графических процессорах при исследовании течения Стокса методом граничных элементов // Вестник УГАТУ. 2013. - Т. 17. С. 92-101.

В изданиях, относящихся к Scopus:

5) Abramova О. A., Itkulova Yu. A., Gumerov N. A. FMM/GPU Accelerated BEM Simulations of Emulsion Flows in Microchannels // Contribution paper of "ASME 2013 International Mechanical Engineering Congress and Exposition" -San Diego 2013.

6) Itkulova Yu. A., Solnyshkina (Abramova) O. A., Gumerov N. A. Toward Large Scale Simulations of Emulsion Flows in Microchannels using Fast Multipole

18

and Graphics Processor Accelerated Boundary Element Method // Contribution paper of "ASME 2012 International Mechanical Engineering Congress and Exposition". - Texas 2012.

Основные публикации в прочих изданиях:

7) Абрамова О.А., Иткулова Ю.А., Гумеров Н.А, Ахатов И.Ш. Численное исследование динамики и реологии разбавленной эмульсии методом граничных элементов // Труды Института Механики Уфимского научного центра РАН. Выпуск 10 (в печати).

8) Солнышкина (Абрамова) О.А. Трехмерное моделирование течения эмульсии методом граничных элементов на гетерогенных системах // Труды Института механики Уфимского научного центра РАН. 2012. - Вып. 9. - С. 142-146.

9) Солнышкина (Абрамова) О. А., Иткулова Ю.А. Моделирование динамики капли в неограниченном потоке жидкости методом граничных элементов в трехмерном случае // Труды Института механики Уфимского научного центра РАН. 2011. - Вып. 8. - С. 163-171.

10) Солнышкина (Абрамова) О. А. Ускорение расчетов при решении больших задач методом граничных элементов для уравнений Стокса на графических процессорах // Труды Института механики Уфимского научного центра РАН. 2011. - Вып. 8. - С. 189-197.

11) Солнышкина (Абрамова) О. А., Иткулова Ю.А. Использование графических процессоров для решения больших задач методом граничных элементов для уравнений Стокса // Труды Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании". 2011. - С. 127-131.

12) Солнышкина (Абрамова) О. А., Иткулова Ю.А., Гумеров Н. А. Трехмерное численное моделирование динамики капли в потоке методом граничных элементов // Труды XTV Всероссийской молодежной конференции-школы "Современные проблемы математического моделирования". 2011. -С. 107-112.

Свидетельства о регистрации программы для ЭВМ

1) Абрамова О.А., Иткулова Ю.А., Гумеров Н.А. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2013612089 "S3D2F - программный модуль для трехмерного исследования динамики двухфазной жидкости".

2) Абрамова О.А., Иткулова Ю.А., Гумеров Н.А. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2014611740 "S3D2Ch - трехмерное исследование динамики эмульсий в каналах различных форм".

АБРАМОВА Ольга Александровна

МОДЕЛИРОВАНИЕ СТОКСОВЫХ ТЕЧЕНИЙ И

ДИНАМИКИ ДЕФОРМИРУЕМЫХ КАПЕЛЬ МАСШТАБИРУЕМЫМ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Специальность 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР № 021319 от 05.01.99 г.

Подписано в печать 14.10.2014 г. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,19. Уч. изд. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 442.

Редакционно-издательский центр Башкирского государственного университета 450076, РБ, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Отпечатано на множительном, участке Башкирского государственного университета 450076, РБ, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.