Моделирование взаимодействия электромагнитного поля с 3D фотонным кристаллом типа Woodpile методом инвариантного погружения

Рудковский, Антон Сергеевич

Моделирование взаимодействия электромагнитного поля с 3D фотонным кристаллом типа Woodpile методом инвариантного погружения тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Рудковский, Антон Сергеевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Моделирование взаимодействия электромагнитного поля с 3D фотонным кристаллом типа Woodpile методом инвариантного погружения»

Автореферат диссертации на тему "Моделирование взаимодействия электромагнитного поля с 3D фотонным кристаллом типа Woodpile методом инвариантного погружения"

На правах рукописи

Рудковский Антон Сергеевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ С 3D ФОТОННЫМ КРИСТАЛЛОМ ТИПА WOODPILE МЕТОДОМ ИНВАРИАНТНОГО ПОГРУЖЕНИЯ

01.04.03 — Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

к.-

005549864

МОСКВА —2013

005549864

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика» ФГБОУ ВПО «Московский государственный технический университет гражданской авиации» (МГТУ ГА).

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Кузнецов Валерий Леонидович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Казарян Мишик Айразатович, руководитель группы, ведущий научный сотрудник ФГБУН «Физический институт им. П.Н. Лебедева» РАН

кандидат физико-математических наук, доцент Сухарева Наталия Александровна, доцент кафедры фотоники и физики микроволн физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Московский физико-технический

институт» (Государственный университет)

Защита диссертации состоится «26» июня 2014 года в 13.00 часов на заседании диссертационного совета Д 501.001.67 на физическом факультете Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, ГСП-1, Ленинские Горы, МГУ, физический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной научной библиотеке МГУ имени М.В.Ломоносова.

Автореферат разослан «26» мая 2014 года.

Ученый секретарь диссертационного со! доцент

Королев А.Ф.

Общая характеристика диссертации

Актуальность работы. Большой интерес к исследованию фотонных кристаллов (ФК) - структур, диэлектрическая проницаемость которых является пространственно - периодической функцией с периодом, сопоставимым с длинной волны воздействующего излучения, объясняется тем, что они (ФК) обладают уникальными физическими свойствами, открывающими широкий спектр применений. Это и антиотражающие покрытия, и оптические волноводы, и спектральное разделение каналов. Основная особенность фотонных кристаллов заключается в том, что в процессе взаимодействия электромагнитного поля с периодической структурой у поля формируется зонный спектр, т.е. зависимость частоты собственных мод от волнового вектора.

Практическая значимость ФК породила большое число теоретических работ, использующих различные подходы к описанию поля в периодических структурах. Среди основных следует выделить такие методы, как РОТБ (и его различные модификации), метод разложения по плоским волнам, метод матрицы переноса и метод инвариантного погружения. Каждый из приведенных методов имеет свой достоинства и ограничения. Так, например, метод разложения по плоским волнам не применим к описанию кристаллов конечных размеров, метод матрицы переноса (трансфер-матрицы) встречает серьезные трудности при переходе от трансфер-матрицы к обычно используемым коэффициентам отражения и прохождения. В последнее время наиболее широкое распространение получил метод РЭТО. В рамках расчета он позволяет вычислить характеристики дифрагированного поля с широким частотным спектром. Однако, для этого требуются значительные вычислительные ресурсы.

В связи с этим актуальной становится задача развития методов, позволяющих более эффективно рассчитывать электродинамические характеристики ФК. Одним из методов, претендующих на эту роль, является метод инвариантного погружения. Он позволяет свести краевую задачу для поля в ФК к решению начальной задачи Коши для коэффициентов отражения и прохождения, т.е. может быть интерпретирован как разновидность метода прогонки. Другим достоинством метода погружения является то, что результатом расчета является обобщенная матрица

рассеяния, представляющая собой некую универсальную структуру для вычисления дифрагированных полей при различных инициирующих полях.

Методом погружения решена задача о рассеянии 2D поля на 2D фотонном кристалле1. Расширение размерности, т.е. переход к описанию 3D векторного электромагнитного поля в 3D ФК представляет собой достаточно трудоемкую задачу, решение которой вскрыло неизвестные ранее особенности в поведении зависимостей коэффициентов отражения и прохождения для эванесцентных мод от толщины ФК. Это обстоятельство потребовало провести, как это показано ниже, модификацию метода инвариантного погружения.

Из изложенного выше следует, что задача разработки модифицированного метода инвариантного погружения, адекватного классу задач о взаимодействии векторного электромагнитного поля с 3D фотонным кристаллом, является актуальной как с теоретической, так и практической точек зрения.

Цели и задачи исследования. Цель исследования заключается в разработке модифицированного метода инвариантного погружения, адекватного классу задач о взаимодействии векторного электромагнитного поля с 3D фотонным кристаллом, и демонстрации его работоспособности на примере структуры типа Woodpile. Для достижения указанной цели были рассмотрены и решены следующие задачи.

1. Используя идеологию метода погружения построить математическую модель взаимодействия 2D ФК с произвольно ориентированным векторным электромагнитным полем.

2. Проанализировать особенности применения метода инвариантного погружения при описании гибридной системы 2D-3D ФК. Исследовать роль и механизм усиления эванесцентных мод.

3. Разработать модификацию метода погружения, позволяющую демпфировать резонансы на эванесцентных модах.

4. Используя разработанную модификацию метода погружения, рассчитать электродинамические характеристики 3D ФК типа Woodpile.

1 Барабаненков Ю. Н., Барабаненков М. Ю. Метод соотношений переноса в теории резонансного многократного рассеяния волн с применением к дифракционным решеткам и фотонным кристаллам // ЖЭТФ, 2003. Т. 123. Вып. 4. С. 763.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней:

• впервые в рамках метода инвариантного погружения с учетом возможных эффектов некомпланарной дифракции решена задача о взаимодействии векторного поля с 20 фотонным кристаллом;

• впервые обнаружены эффекты «аномального» роста коэффициентов отражения и прозрачности для некоторых групп эванесцентных мод углового спектра поля и дана физическая интерпретация этого результата;

• показано, что при анализе эффектов воздействия эванесцентных мод на среду (при расчете величины дифрагированного поля) необходимо учитывать влияние отраженного поля на источник излучения, т.е. необходимо рассматривать самосогласованную задачу о взаимооблучении в системе «источник - объект облучения»;

• разработана модификация метода инвариантного погружения, позволяющая демпфировать «аномальное» поведение элементов матричных коэффициентов отражения и прохождения, соответствующих эванесцентным модам.

Практическая значимость работы. Полученные в диссертационной работе результаты развивают перспективный, но относительно редко используемый подход к описанию взаимодействия поля с пространственно-периодическими структурами. Развиваемая теория и разработанный пакет программ позволяют корректно, с учетом эффектов многократного рассеяния и поляризации поля, вычислять электродинамические характеристики трехмерных фотонных кристаллов.

Идейная простота метода, основанного на решении универсального уравнения погружения - уравнения Риккати для обобщенной матрицы рассеяния с коэффициентами, определяемыми в борновском приближении из задачи взаимодействия поля с бесконечно тонким слоем кристалла, позволяет, в частности, легко распространить полученные результаты на многокомпонентные ФК.

Основные результаты работы. В ходе диссертационной работы были получены следующие результаты:

• на основе метода инвариантного погружения построена и исследована математическая модель 2Э ФК для описания дифракции падающего ЭМП, пред-

ставимого в виде суперпозиции плоских волн произвольной поляризации, с волновыми векторами, совпадающими с точностью до векторов ' обратной решетки ФК;

• впервые получен аналитический вид матричных коэффициентов в уравнениях инвариантного погружения для 6-ти индексной обобщенной матрицы рассеяния с учетом векторного характера поля и эффектов некомпланарной дифракции;

• выявлен подкласс эванесцентных мод, для которых компоненты обобщенной

матрицы рассеяния S испытывают «аномальный» рост при определенных значениях толщины 2D ФК, предложен механизм этого эффекта;

• впервые, с учетом механизма «аномального» роста компонент S, предложена и реализована модификация метода инвариантного погружения, обеспечившая сглаживание резонансных эффектов и позволившая получить матричные коэффициенты отражения и прохождения для 3D ФК типа Woodpile конечной толщины, согласующиеся с экспериментом.

Достоверность научных результатов. На теоретическом уровне достоверность полученных результатов обеспечивается применением универсального уравнения метода инвариантного погружения2, относящегося к классу строгих методов расчета поля, и хорошо зарекомендовавшего себя в других прикладных задачах электродинамики.

Для обеспечения достоверности численных результатов на всех этапах расчетов проводилась проверка энергетического баланса, которая показала, что погрешность вычислений не превышает величины 3-Ю"11.

Корректность математической модели тестировалась в частном случае для 2D ФК. Сравнение с результатами других методов моделирования ФК показало высокую степень совпадения.

Возникновения резонансных значений элементов матрицы рассеяния для эванесцентных мод при некоторых толщинах ФК было проанализировано для вырожденного случая — однородной плоскопараллельной пластины. Полученные ана-

2 Barabanenkov Yu. N., Barabanenkov M. Yu. Energy Invariants to Composition Rules for Scattering and Transfer Matrices of Propagating and Evanescent Waves in Dielectric Structures // PIERS proceedings. 2006.

литические формулы совпали с приведенными в классической монографии М.Борна и Э.Вольфа «Основы оптики», эффект имеет место и в случае плоской пластины.

Результаты численного расчета 3D ФК типа Woodpile, полученные с помощью алгоритма модифицированного метода погружения, показали хорошее совпадение с результатами физического эксперимента

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Progress in Electromagnetic Research Symposium (Стокгольм 2013, Москва 2009), Научный семинар «Математическое моделирование волновых процессов» под руководством Д. С. Лукина, РосНоУ (Москва 2012), Международная научно-образовательная конференция «Наука в ВУЗах: математика, физика, информатика» РУДН (Москва 2009), Международная молодежная научная конференция «XXXV Гагаринские чтения» МАТИ (Москва 2009), Международная научно-техническая конференция в МГТУ ГА «Гражданская авиация на современном этапе развития науки, техники и общества» МГТУГА (Москва 2013, 2006).

Публикации. По теме диссертации было опубликовано 13 работ, включая 6 статей в журналах перечня ВАК.

Структура и объём диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 101 наименования. Общий объем работы составляет 128 страниц, включая 48 рисунков.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются цель и задачи исследования, выделяются основные научные результаты, выносимые на защиту, и дается общая характеристика диссертационной работы.

Первая глава диссертации посвящена обзору текущего состояния исследований в области расчета электродинамических характеристик (отражения и про-

зрачности) ФК. В ней кратко обсужден вопрос о появлении запрещенных зон внутри ФК и проведена аналогия с формированием таких зон в физических кристаллах.

Обсуждаются достоинства и ограничения методов, наиболее часто используемых для исследования физических свойств ФК, таких как РОТО-метод, метод разложения по плоским волнам, метод матрицы переноса.

Также в первой главе диссертации приведено описание метода инвариантного погружения, с помощью которого было проведено исследование характеристик ФК. Его важное достоинство заключается в том, что он сводит краевую задачу для поля, решение которой бывает весьма затруднительным, к решению начальной задачи Коши для коэффициентов отражения и прохождения. Это дает повод рассматривать его как одну из разновидностей метода прогонки.

Суть метода можно представить следующим образом. Рассматривается множество (пространство) решений поставленной задачи, отличающихся друг от друга значениями различных параметров. В таком пространстве выбираются два решения (две точки), отличающиеся значениями только одного параметра. Первое решение содержит значение параметра, при котором явный вид решения либо известен, либо легко определяем, а второе — значению параметра, соответствующему поставке исходной поставке задачи. Такой параметр называется параметром погружения, и мы будем обозначать его - ц. При последовательном изменении /л меняется и решение - соответствующая точка прочерчивает траекторию в пространстве решений. Уравнение, описывающее эволюцию решения при движении вдоль этой траектории, называется уравнением погружения. Параметр погружения при этом играет роль времени.

Интегрирование уравнения погружения с начальными условиями, соответствующими известному (простому) решению задачи, позволяет определить решение исходной задачи.

Отметим, что при решении электродинамических задач, связанных с описанием взаимодействия электромагнитных волн (ЭМВ) с материальными объектами, удобно в качестве параметра погружения использовать такой геометрический па-

раметр, как, например, толщина «усеченного» объекта'. При этом увеличение значения параметра погружения соответствует дополнению усеченного объекта новым элементарным слоем (рис. 1 ).

Интерпретация параметра погружения как времени накладывает определенные ограничения на представление искомых решений -они должны удовлетворять принципу динамической причинности по параметру погружения (толщине ФК). Такому условию удовлетворяют амплитудные коэффициенты прохождения и отражения ?(z) и R(z), определяющие связь между инициирующими и дифрагированными полями:

m,p т.р

где индексы m и р определяют положение мод в спектре инициирующего поля, а индексы п и s - в спектре дифрагированного поля.

Для применения описанной методики к задаче о взаимодействии ЭМП с ФК, последний был представлен как совокупность слоев толщины Az, разделенных виртуальными бесконечно тонкими зазорами, внутри которых производилось «регистрация» характеристик ФК. Введение зазора между ФК и добавляемым слоем имеет важное значение в применяемом подходе по двум причинам:

- внутри зазора среда однородна и не возникает проблем, связанных с разделением поля на волны, распространяющиеся во встречных направлениях;

- в общем случае тензорная функция Грина в смешанном (q,z)— представлении

? х ё

имеет сингулярный член вида - S(z - z') ■ ' -', где z- точка наблюдения, a z' -точка истока поля. При вычислении полей в зазоре этот член не проявляется.

5 Barabanenkov Yu. N., Kouznetsov V. L., Barabanenkov M. Yu. Transfer Relations for Electromagnetic Wave Scattering from Periodic Dielectric One-Dimension Interface: ТЕ Polarization // Progress in Electromagnetic Research: PIER, 1999. Vol. 24.

Рис. 1. Переход от усеченного ФК толщины г к ФК толщины г + Дг при добавлении очередного элементарного слоя толщины Дг

Центральным моментом в рассматриваемом методе является вывод уравнений погружения для матричных коэффициентов отражения и похождения. Известны различные подходы к этой задаче. Здесь приведем наиболее простой способ, основанный на правиле «суммирования» характеристик двух неоднородностей. При добавлении тонкого слоя к ФК толщины 2 (рис. 1) матричные коэффициенты отражения Д£+(2 + Дг)и прохождения +Лз)для наращенного ФК будут

удовлетворять следующим соотношениям, известным и в других приложениях4:

(2)

Бесконечные суммы в правых частях уравнений описывают многократное переотражение волн в зазоре между ФК и добавляемым тонким слоем, а /1±(Дг) и представляют собой матричные коэффициенты отражения и прохождения тонкого слоя.

Амплитудные коэффициенты прохождения и отражения для элементарного слоя могут быть представлены в виде:

^±(Дг) = /+С±.Д7 + 0(Дг), "

Замечательно, что борновское приближение, справедливое для тонкого слоя, в используемом далее пределе Лг 0 дает точное выражение. Исключением является ситуация, когда волновой вектор какой-либо из угловых компонент дифрагированного поля окажется параллелен верхней грани ФК. В этом случае наблюдается вудовский резонанс, и борновское приближение перестает работать. В дальнейшем не будем рассматривать такие случаи, что является одним из ограничений, накладываемых на создаваемую математическую модель.

Следует отдельно отметить, что, несмотря на то, что для каждого элементарного слоя расчеты проводятся в борновском приближении (однократное рассеяние), учет в решении всей совокупности слоев (с учетом многократных пере-

Митра Р., Ли С., Аналитические методы теории волноводов. М.

: МИР, 1974

отражений между ними) позволяет корректно описать многократное рассеяние поля внутри ФК.

Дальнейшая подстановка уравнения (3) в (2) и предельный переход Дг -> О позволяет получить уравнение Риккати для матричных коэффициентов и

/^(г). Далее эти уравнения легко могут быть объединены в одно уравнение для обобщенной матрицы рассеяния 5:

= Е^ +2Ж , (4)

<*2 1.1,4 1Л и

"" 1*г к: У I о о/ I о о;

Постановка задачи Коши завершается заданием начальных условий. В нашем случае это характеристики ФК нулевой толщины, для которого

4^(0) = 0; Г„1±(0) = /.

Важной особенностью метода инвариантного погружения является то, что структура уравнения погружения при выборе в качестве параметра толщины объекта универсальна. Такой же вид имеет уравнение, используемое при описании, например, нерегулярных волноводов6. Отличие заключается лишь в выборе базисных функций: если для ФК это плоские волны углового спектра, то для волноводов это собственные моды.

Вся информация об объекте содержится в явном виде коэффициентов уравнения - в характеристиках элементарного слоя и .

Вторая глава диссертации посвящена решению вспомогательной задачи о дифракции поля на уединенном тонком слое ФК и вычислению его электродинамических характеристик и * * *.

Сначала рассматривается задача об элементарном слое ЗБ ФК, сформированного из кубических вставок с параметрами, указанными на рисунке 2..

5 Barabanenkov Yu. N., Barabanenkov M. Yu. Energy Invariants to Composition Rules for Scattering and Transfer Matrices of Propagating and Evanescent Waves in Dielectric Structures // PIERS proceedings. 2006.

6 Кузнецов В.Л., Филонов П.В., Уравнение погружения и малый параметр в задаче о нерегулярном волноводе. Радиотехника и электроника, т.56, №9,2011

Далее можно будет легко получить выражения для интересующих нас слоев поленницы Вуда с помощью предельных переходов dx ->Лх и dv-> Av.

Поле вне тонкого слоя удовлетворяет интегральному уравнению, легко решаемому в борновском приближении:

aE(r)=aE0(r) + \dr'a/(r,r')-mr,)-'i]-k1-llEm(r') (5)

Здесь ДО - область про-*• \ ^ Lj""* < странства, занимаемая эле-

\ ментарным слоем; индексы

а и р конкретизируют проекции поля, принимая значения «х», «у» и «z»; aPt{r,r') - функция Грина

„ ~ т-, -.тл свободного пространства:

Рис 2. Вид элементарного слоя рассматриваемого jD 1 '

ФК

определяет распреде-

ление диэлектрической проницаемости внутри элементарного слоя

\е при Т е Д О' 11 при Г <£ АО' '

£(Г')--

Здесь АО! - часть пространства элементарного слоя, занимаемая диэлектрическими вставками. аЕ(Г) и аЕ0(Г) - поля вне элементарного слоя; рЕ_п(?') - поле внутри АО!, которое с учетом малой толщины элементарного слоя может быть определено по формуле:

\А^-уЕа(Г') при Ре ДО' рЕ0(г') при т г АО! '

■>Em(r')--

где \Арг\ = diag{ 1,1,е-1}- матрица, учитывающая поле поляризационных зарядов на границах элементарного слоя.

Переходя в ^^-представление

Е±(д,г) = • Л dxdy ехр {-Щх) • ехр(-г'ф>) ■Е±(х, у, г),

находим выражение для дифрагированных полей, выходящих из слоя:

щр пг -(n-m)-(s-p)

хехр

Ьх-(п-т)-2-л Ly-(s-p)-2-n

)1 • 7i• dx ■(n-m) n-dy-(s-p)

•sir . К ■an \

здесь {$,2 + г') - тензорная функция Грина, вид которой в смешанном

представлении хорошо известен7:

Здесь знак «х» означает диадное произведение векторов. Первое слагаемое в выражении для функции Грина обнуляется, т.к., благодаря введению виртуальных зазоров точки истока поля - г' и точки наблюдения - г не могут совпадать. Приводя (6) к виду (1), и учитывая (3) находим выражения для аР и ар*'«т '■

фКС = l i-k:(n,s)-5nm ±0).Я■

(g-1 )ЧЧ

А -л..

, L -(п-т) L (s-p) , d (n-m) . ,dv-(s-pУ

х ехр(-г(^—-7-- + —-) -2-я)- sincH^--) ■ smcC-!—-——);

Лг Л, Л. Л

(7)

Л -Л.

, Ьх-(п-т) ь -(я-р) . И-(п-т\ . ¿-(у-р) х ехр(-<(——--- + -) -2-х) - 5шс( --) ■ зшс(—-).

л* ЛУ Лг Л,.

В полученных выражениях фигурируют шестииндексные матрицы. Для уменьшения размерности задачи был рассмотрен вопрос о выборе базиса ЭМП. Заметим, что элементы множеств \Е\ и {г}, связанные отображением Е = Е(г), могут быть записаны в несовпадающих базисах, по-разному ориентированных в пространстве. Так, если точку наблюдения или истока поля удобно записывать в системе отсчета, жестко связанной с ФК, то ЭМП проще разложить в угловой спектр, после чего описать каждую компоненту поля в поляризационном базисе волн вертикальной и горизонтальной поляризаций (рис. 3).

1 Tsang L„ Kong J. Scattering of Electromagnetic Waves: Theories and Applications. NY.: Willey Interscience. 2000.

В уравнении (6) переход в новый поляризационный базис был осуществлен с помощью матричных операторов поворота. После этих преобразований матрицы и (<х,р пробе-

Рис. 3. Взаимное расположение систем коор- гали ранее значения -х,у,г) по-динат, связанных с ЭМП и с ФК. низшш свою размерность _ вме.

сто матриц 3x3 получили блочные матрицы 2x2:

г ........... \ \ йГЧ^ / /

V |

г1 пт Иу пт V уИ пт XV пт

ар

Рпт

ИИ ' пт (п> • пт

,д'р д'р \ у/1 г" пт \п> г пт

(8)

Здесь недиагональные элементы отвечают за описание эффектов смены поляризации вследствие некомпланарной дифракции.

Анализ полученных уравнений показал, что в результате перехода к новому поляризационному базису объем вычислений снижается более чем в два раза.

Третья глава диссертации посвящена исследованию свойств Ю ФК с помощью построенной математической модели.

Заметим, что все матрицы, фигурирующие в уравнении погружения - бесконечные, поэтому при численных расчетах естественным вынужденным шагом была процедура усечения всех матричных элементов. Вопрос об аналитическом исследовании сходимости такой процедуры в общем случае вызывает серьезные трудности. Поэтому этот вопрос решался с помощью серии численных экспериментов, в которых варьировалось число учитываемых мод. Если, начиная с некоторого я -числа учитываемых мод, результаты расчета стабилизировались и при этом с высокой точностью выполнялись условия энергетического баланса, то полагалось, что п - необходимое число учитываемых мод, определяющее минимальную границу усечения. Было показано, что в выбранных для исследования структурах вычисления стабилизируются при учете 11-15 мод углового спектра (8-12 эванесцентных мод).

Следует отметить, что на формирование распространяющихся мод дифрагированного поля существенное влияние оказывают эванесцентные моды. Для про-

верки этого утверждения в рамках исследования модели 2Э ФК был проведен расчет его характеристик без учета эванесцентных мод. Это привело к сильному отклонению результатов расчетов от зависимостей, полученных другими методами, а также к нарушению энергетического баланса.

Для расчетов был выбран 21) ФК, состоящий из шести слоев, цилиндрических вставок радиусом 2.5мм и периодом структуры 9мм. Значение диэлектрической проницаемости вставок было установлено е = 4.2, что соответствует широкому классу диэлектриков в гигагерцовом диапазоне частот (рис. 4).

Выражения для характеристик

отражения и прохождения элементарного слоя в таком 2В ФК были получены на основе (7) при предельном переходе с1у —> Лу, что соответствует

sine

► 1.

Рис. 4. Исследуемый Ю ФК Численные расчеты показали наличие запрещенной зоны в диапазоне 11-16 ГГц и хорошо совпали с расчетами, сделанными другими авторами с помощью метода

РЭТО и метода согласования 0 * " " *" " мод (рис. 5).

Дополнительно была проведена серия экспериментов, соответствующих случаю падения ЭМП под разными углами на ФК, и когда ФК сформирован из брусьев с квадратным сечением. Сравнение результатов разных экспериментов показало, что изменения решения в зависимости от условий эксперимента соответствует физическим ожиданиям.

FDTD

Mode Matching - Метод инвариантного погружения

-30

о S 10 15

Частота, ГГц

Рис. 5. Зависимость коэффициента прохождения для исследуемого 2D ФК от частоты и сравнение с результатами расчетов другими методами.

Для проверки корректности результатов счета на каждом этапе вычислений осуществлялась проверка выполнимости теоремы Пойнтинга:

Х(|,А0|2 +M„of +| Л>Г +|Л|2)-Яе(^-(и)) = ^(0),

X^Aof +|wAof +|*Л.Г +|Л,Г)-Яе(*,(«)) = *Д0).

В работе было показано, что во всех экспериментах погрешность вычислений не превышает величины З-КГ".

Четвертая глава диссертации посвящена исследованию гибридной системы - 2D-3D ФК. Такая система может быть получена, например, при представлении ФК типа Woodpile, состоящего из N слоев (рис. 6), в виде двух подсистем: нижнего слоя, представляющего собой 2D ФК и расположенного сверху 3D ФК, содержащего (N-1) слоя. Целесообразность такого представления заключается в следующем.

Нижний слой представляет собой, казалось бы, хорошо исследованный (в частности, в предыдущей главе) 2D ФК, и каких-либо особенностей ожидать не следует. Однако, тем не менее, такие нюансы есть. При экспериментальных и теоретических исследованиях, как правило, предполагается, что на ФК падает распространяющееся (не эванесцентное) поле. В методе погружения рассматриваемый угловой спектр падающего поля расширяется, в него включаются и эванесцентные моды. Но по умолчанию полагается, что все моды этого поля связаны между собой (и с распространяющимися модами) вектором обратной решетки 2D ФК. Между такими модами имеет место энергетический обмен. Другое дело, когда над 2D ФК расположен 3D ФК. В этом случае угловой спектр падающего поля существенно расширяется (рис.7а). Внутри него присутствуют эванесцентные моды, не взаимодействующие с распространяющимися в 2D ФК (рис.76). Такие моды мы будем называть изолированными эванесцентными модами. Дальнейшее изложение связано с исследованием роли этих мод.

,•■, . • : ■. "¿.Vi-iz

Рис. 6. Вид 3D ФК типа Woodpile

Рис. 7. а) Спектр ЭМП в 3D ФК; б) Часть несвязанных мод углового спектра, которые необходимо учесть при моделировании первого слоя ФК типа Woodpile

Учет связанных (с распространяющимися) неоднородных мод не приводит к каким-либо особенностям при изменении толщины ФК - этот случай был рассмотрен в предыдущей главе. Другое дело - группа изолированных эванесцентных мод. В работе показано, что в этом случае для них имеет место аномальное поведение амплитудных коэффициентов отражения и прозрачности как функций толщины кристалла, появляются сингулярности.

Для проверки корректности наблюдаемых результатов в работе был рассмотрен простой пример взаимодействия эванесцентной моды однородной плоскопараллельной пластиной. В этом случае уравнение погружения для коэффициента отражения упрощается до скалярного уравнения Риккати

— = R-P-R + RT + TR + P dz

и может быть решено аналитически. Графический вид решения представлен на рис.8. Из графика видно, что вся область распадается на 3 части. Первая, соответствующая случаю падения однородной волны 0<^'<1, дает понятные результаты: коэффициент отражения не превышает единицы и периодически меняется по мере увеличения толщины пластины. Не вызывает удивления и поведение коэффициента отражения в третьей области, где q'>-Js . Здесь присутствуют только неоднородные моды как вне, так и внутри пластины, поведение коэффициента отражения монотонное.

том, что на пластину извне действует эванесцентное поле, а внутри пластины это поле становится распространяющимся (рис. 9). Соответственно, возникновение «аномального» поведения коэффициента связано с тем, что инициирующая эванесцентная мода, непрерывно воздействуя на среду пластины, закачивает в нее энергию.

Рис. 8. Зависимость коэффициента отражения от толщины однородной пластины - Ъ и модуля транс-версальной компоненты волнового вектора - д.

Неоднородные моды ЭМП

Однородные моды ЭМП

/ / Неоднородные моды ЭМП

Падающая неоднородная мода ЭМП

Поскольку выходящие неоднородные моды в свободное пространство энергию не переносят, то она аккумулируется в этой локализованной области и при определенной резонансной толщине пластины г ам-

Рис. 9. Преобразование инициирующей неоднородной моды в однородной пластине

плитуда эванесцентного поля у поверхности пластины стремится к бесконечности.

Вернемся теперь к обсуждению «аномального» поведения амплитудных коэффициентов отражения и прозрачности в 20 ФК. Эванесцентные моды, связанные с распространяющимися, не могут эффективно накапливать энергию, так как за счет межмодовых взаимодействий часть накапливаемой энергии передается распространяющимся модам и вместе с ними покидает ФК. В случае, когда связанная межмодовыми взаимодействиями группа состоит только из эванесцентных мод, механизм оттока энергии, описанный выше, не работает. Перекачка энергии может осуществляться только внутри этой группы и энергия поля этих эванесцентных

Наибольший интерес представляет центральная область, в которой отчетливо прослеживается «аномальное» поведение коэффициента отражения. Специфика этой области заключается в

мод остается «привязанной» к ФК. Возникает такой же эффект накопления, что и в

плоской пластине, «аномальное» поведение амплитудных коэффициентов отраже-

..... .. .

ния и прозрачности становятся неизбежным.

В работе рассматривается вопрос о «нефизичности» результатов, приводящих к большим значениям коэффициента прохождения. Действительно, согласно определению коэффициента прохождения Т прошедшее поле определяется простой формулой Еар=Т- £пад и растет вместе с ростом Т. Реально такого усиления поля не наблюдается. Ответ заключается в том, что вместе с ростом Т растет и коэффициент отражения Я, а, следовательно, (учитывая, что речь идет об эванес-центных модах) растет обратное воздействие отраженного поля на источник излучения. Обычно в теории рассеяния такие эффекты не рассматриваются, и Еюй считается произвольным. На простом примере в диссертации показывается, что рост Т сопровождается уменьшением Епа так, что произведение Т • £пвд остается постоянным. Таким образом, в случае эванесцентных мод для корректного вычисления величины прошедшего поля необходимо решать самосогласованную задачу о многократном взаимооблучении в системе «источник - объект облучения».

Переход к решению описанной самосогласованной задачи приводит к существенному усложнению модели, описывающей взаимодействие ЭМП и ФК, поэтому далее в четвертой главе диссертации обсуждаются альтернативные алгоритмы сглаживания эффектов «аномального» поведения коэффициентов отражения и прозрачности. Наиболее простой путь демпфирования резонансного усиления за счет учета диссипации поля в среде - учета комплексности е, не подходит, поскольку при этом невозможным становится контроль результатов расчета по энергетическому балансу (теорема Пойнтинга). В связи с этим в работе был предложен другой подход к демпфированию механизма резонансного усиления эванесцентных мод, основанный на разрушении изолированности эванесцентных мод от распространяющихся. Для его реализации необходимо, чтобы уже с первых шагов интегрирования уравнений погружения в системе проявлялись все возможные в ЗО кристалле межмодовые взаимодействия. В этом случае все эванесцентные моды оказываются связанными с распространяющимися модами. Эта связь, как отмечалось выше, играет роль диссипативных процессов при расчете эванесцентных мод.

Добиться разрушения изолированности всех эванесцентных мод можно, изменив алгоритм метода погружения, наращивая ФК поочередно - то сверху, то снизу. При этом процедура начинается с границы между соседними слоями ФК с различными ориентациями диэлектрических вставок (рис. 10).

наращивании ФК сверху и снизу, полезно провести параллель между уравнениями модифицированного метода погружения и прямым и обратным уравнениями Колмогорова для матрицы перехода ft(t0,t) дискретного случайного процесса. Аналогия отчетливо проявляется, если представить матрицу рассеяния ФК как функцию координат нижней - z0 и верхней -z граней ФК, т.е. в виде § = S(z0,z). Тогда наращивание кристалла сверху соответствует прямому, а снизу — обратному уравнениям Колмогорова.

Предложенный подход был сопоставлен с методом расчета, когда интегрирование уравнений погружения идет в одном направлении (стандартный метод погружения). Для этого был проведен расчет характеристик отражения и прохождения системы, состоящей из двух соседних слоев ФК типа Woodpile, при воздействии на нее поля с угловым спектром, соответствующим дифракции на 3D ФК. Сравнение различных методов расчета было сделано на примере элемента обобщенной матрицы рассеяния, на котором первым проявляется резонанс в случае интегрирования прямого уравнения погружения. При рассмотренной нам геометрии ФК этот коэффициент - R0202 , описывающий преобразование поля из нулевой моды -(0,0) в моду (2,2), принадлежащую группе изолированных эванесцентных мод. Как

Рис. 10. Наращивание толщины ФК в двух направлениях в модифицированном методе инвариантного погружения

Для численной реализации такого алгоритма потребовалось дополнительно построить уравнение погружения для матрицы аналогичное (4), но уже для наращивания кристалла снизу. Оно отличается от (4) лишь структурой блочных матричных коэффициентов.

Для понимания связи уравнений погружения, полученных при

и следовало ожидать, новый подход позволяет получить конечные значения коэффициентов отражения и прохождения для исследуемого ФК (рис. 11а), в то время как обычный метод интегрирования уравнений погружения в одном направлении останавливается при достижении высоты ФК, соответствующей первому резонансу (рис. 116).

Oieipàioepeuчая высота ОК - Сгяалччые еыемиеш яр» ««»фшррсмкмсД метод ке рзс-~тг

Обеifhiiutiречная высота 9К

- BosHHthoveine резонансе при обычной че годнее расчета

Рис. 11. а) результаты расчета элемента Л0202 модифицированным методом инвариантного погружения, б) резонанс при расчете с помощью алгоритма базового

метода погружения.

Дополнительно в работе было проведено исследование демпфирующего механизма модифицированного метода погружения в случае, когда наращивание ФК в двух направлениях происходит с разной скоростью. Результаты таких расчетов показали, что максимальное сглаживание резонансных эффектов происходит при одинаковой скорости наращивания ФК в двух направлениях.

В заключительной части главы с помощью модифицированного метода инвариантного погружения был проведен расчет ФК типа Woodpile для параметров, использованных в эксперименте8. Был исследован случай нормального падения поля на верхнюю границу ФК, состоящего из 12 слоев, образованных вставками из промышленного алюминия в виде брусьев квадратного сечения 3.1х3.1 мм, с периодом структуры 11.2 мм (рис. 12а). Сравнение расчетных и экспериментальных частотных зависимостей приведено на рис. 126.

Ozbay E. Layer-by-layer photonic crystals from microwave to far-infrared frequencies // J. Opt. Soc Am B 13 1996

При проведении расчетов на каждом шаге интегрирования осуществлялась проверка выполнения теоремы Пойнтинга, которая показала, что погрешность вычислений не превышает величины 3 10"".

а)

со

Результаты физического эксперимента Результаты расчете методом инвариантного погружения

Частота. ГГц

б)

Рис. 12. а) Исследуемый 3D ФК типа Woodpile; б) Сопоставление результатов численного моделирования с физическим экспериментом

Основные результаты, полученные в диссертационной работе, заключаются в следующем.

1. На основе метода инвариантного погружения построена и исследована математическая модель 2D ФК для описания дифракции падающего ЭМП, пред-ставимого в виде суперпозиции плоских волн произвольной поляризации, с волновыми векторами, совпадающими с точностью до векторов обратной решетки ФК.

2. Впервые получен аналитический вид матричных коэффициентов в уравнениях инвариантного погружения для 6-ти индексной обобщенной матрицы рассеяния с учетом векторного характера поля и эффектов некомпланарной дифракции.

3. Выявлен подкласс эванесцентных мод, для которых компоненты обобщенной матрицы рассеяния S испытывают «аномальный» рост при определенных значениях толщины 2D ФК, предложен механизма этого эффекта;

4. Впервые, с учетом механизма «аномального» роста компонент S, предложена и реализована модификация метода инвариантного погружения, обеспечившая сглаживание резонансных эффектов и позволившая получить мат-

ричные коэффициенты отражения и прохождения для 3D ФК типа Woodpile конечной толщины,' согласующиеся с экспериментом.

Основные результаты диссертации отражены в следующих публикациях в научных изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Кузнецов В. JI., Рудковский А. С. Модификация метода погружения в задаче расчета 3D фотонного кристалла типа "Woodpile" // Компьютерные исследования и моделирование, 2013. Том 5. №3. С. 413-422.

2. Кузнецов В. Л., Рудковский А. С. Модель взаимодействия векторного 3D электромагнитного поля с 2D периодическими структурами // Компьютерные исследования и моделирование, 2013. Том 5. №2. С. 213-224.

3. Кузнецов В. JL, Рудковский А. С. Аномальные продольные резонансы в фотонных кристаллах типа Woodpile // Научный вестник МГТУ ГА. 2011, №169. С. 20-25.

4. Кузнецов В. Л., Рудковский А. С. Проблема усечения матричных уравнений в модели фотонного кристалла типа "Woodpile" и радиус межмодового взаимодействия // Научный вестник МГТУ ГА, 2010. №157. С. 107-112.

5. Кузнецов В. Л., Рудковский А. С. Трехмерная модель взаимодействия электромагнитного поля с фотонным кристаллом конечной толщины // Научный вестник МГТУ ГА, 2009. №145. С. 5-10.

6. Кузнецов В. Л., Рудковский А. С. Моделирование дифракции сфокусированного светового пучка на 2D фотонном кристалле // Научный вестник МГТУ ГА, 2007. №114. С. 75-84.

Работы, опубликованные в прочих изданиях, и тезисы докладов

7. Kuznetsov V.L., Rudkovskiy A.S. Modification of Invariant Embedding Method for Calculation Photonic Crystal of Finite Thickness // PIERS 2013 Stockholm Proceedings, 2013. P. 1434-1437.

8. Кузнецов В.Л., Рудковский A.C. Модификация метода погружения в задаче расчета 3D фотонного кристалла типа Woodpile / Гражданская авиация на

современном этапе развития науки, техники и общества: тезисы докладов МНТК- Москва, 2013, С. 185.

9. Kuznetsov V.L., Rudkovskiy A.S. Invariant embedding method in the problem of 3D photonic crystal modeling // PIERS 2009 Moscow Proceedings, 2009. P. 15861590.

Ю.Кузнецов В.Л. Рудковский A.C. Особенности описания поляризационных характеристик поля в модели периодической квази ЗО-структуры / Гражданская авиация на современном этапе развития науки, техники и общества: тезисы докладов МНТК — Москва, 2008, С. 158-159.

11. Рудковский A.C. Моделирование процесса взаимодействия электромагнитного поля с периодическими 2D структурами / Наука в ВУЗах: математика, физика, информатика. М. 2009. С. 392.

12.Рудковский A.C., Яровой Е.С. Исследование кроссполяризационных эффектов при рассеянии электромагнитной волны на элементарном слое квази 3D периодической структуры // Научный вестник МГТУ ГА, 2006 №110. С. 29-35.

13.Рудковский А. С., Яровой Е. С. Моделирование процесса взаимодействия электромагнитного поля с тонким слоем периодической квази ЗО-структуры / Гражданская авиация на современном этапе развития науки, техники и общества: тезисы докладов МНТК — Москва, 2006. С. 351.

Формат издания 60x90 - 1/32

Гаршпура Тайме. Тираж 100 экз. Заказ № 111. Отпечатано в типографии «СВ» 23.05.2014г.

Текст научной работы диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Рудковский, Антон Сергеевич, Москва

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

04201458459

НА ПРАВАХ РУКОПИСИ

Рудковский Антон Сергеевич

01.04.03 — Радиофизика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д.т.н., профессор, Кузнецов В.Л.

МОСКВА —2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..................................................................................................................4

ГЛАВА 1. ФОТОННЫЕ КРИСТАЛЛЫ И ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИХ ИССЛЕДОВАНИЯ.....................................................................................................20

1.1. Особенности взаимодействия поля с периодическими структурами и типы ФК..................................................................................................................20

1.2. Основные методы исследования характеристик ФК.....................................26

1.3. Выбор метода инвариантного погружения в качестве метода исследования...........................................................................................................36

1.4. Уравнения метода инвариантного погружения для исследования характеристик ФК...................................................................................................39

ГЛАВА 2. ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА ОБ УЕДИНЕННОМ СЛОЕ ЗВ ФК 46

2.1. Рассеяние плоской поляризованной ЭМВ на элементарном слое ЗБ ФК. (ц, г)-представление................................................................................................46

2.2. Функция Грина в поляризационном базисе горизонтально и вертикально поляризованных волн.............................................................................................56

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 2Б ФК С ЗБ ЭМП.............63

3.1. Математическая модель 2Б ФК......................................................................63

3.2. Процедура усечения бесконечных матричных коэффициентов Я и Т. Роль неоднородных мод.........................................................................................67

3.3. Исследование характеристик 2Б ФК..............................................................72

ГЛАВА 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛЕЙ В ГИБРИДНОЙ СИСТЕМЕ 2Б ФК - ЗБ ФК. МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ИНВАРИАНТНОГО ПОГРУЖЕНИЯ.............78

4.1. Классификация мод ЭМП в исследуемой системе........................................78

4.2. Эффект аномального поведения коэффициентов отражения и прохождения на примере однородной пластины..................................................80

4.3. Исследование возможности физического наблюдения эффектов

аномального поведения коэффициентов отражения и прохождения..................84

4.4. Модификация метода инвариантного погружения для сглаживания резонансных эффектов на неоднородных модах в спектре ЭМП........................87

4.5. ФК типа Woodpile и расчет его характеристик модифицированным методом инвариантного погружения.....................................................................96

ЗАКЛЮЧЕНИЕ........................................................................................................103

ЛИТЕРАТУРА..........................................................................................................105

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.....................................................................................................114

ВВЕДЕНИЕ

Большой интерес к исследованию фотонных кристаллов (ФК) - структур, диэлектрическая проницаемость которых является пространственно - периодической функцией с периодом, сопоставимым с длинной волны воздействующего излучения, объясняется тем, что они (ФК) обладают уникальными физическими свойствами, открывающими широкий спектр применений. Основная особенность фотонных кристаллов заключается в том, что в процессе взаимодействия электромагнитного поля (ЭМП) с периодической структурой у поля формируется зонный спектр, т.е. зависимость частоты собственных мод от волнового вектора [1]. В 1987 году появились две публикации [2,3], которые впервые указали, что следствиями такого поведения ЭМП являются: подавление электронно-дырочной рекомбинации при попадании частоты ЭМП в запрещенную зону ФК и возможность локализации фотонов на диэлектрических дефектах ФК с появлением необычных фотонных состояний, включая связанные атомно-фотонные состояния. Эти работы инициировали активное исследование свойств ФК, которое продолжается до текущего момента. За время исследования было показано, что данные структуры имеют ряд практических применений [4-7]: на их основе построены антиотра-жающие покрытия [8], разрабатываются элементы оптического компьютера [9] и улучшаются характеристики волноводов [10]. Эти прикладные задачи предъявляют свои специфические требования к характеристикам ФК, поэтому на первый план выходит задача определения параметров ФК, обладающего запрещенной зоной в заданном диапазоне частот.

В первое время для решения такой задачи пробовали использовать аналогию зонного спектра ЭМП после взаимодействия с ФК и зонного энергетического спектра электронов в кристаллах [11]. Однако попытки построения зонной теории фотонных кристаллов на основе теоретического расчета столкнулись с рядом проблем, связанных с существенным усложнением задачи: если распространение

электронов в кристаллах может быть описано скалярными уравнениями, то задача о взаимодействии ЭМП и ФК является векторной. Более того, запрещенная зона Бриллюэна в 2Б или ЗБ ФК может возникнуть только в том случае, если запрещенные зоны для каждого пространственного направления в ФК имеют ненулевое перекрытие в каком-либо диапазоне частот, что также накладывает дополнительные требования к решаемым уравнениям. Полученная таким образом задача оказалась слишком сложной для получения общего решения. В результате, вместо исследования вопроса какими характеристиками должен обладать ФК, чтобы в нем существовала запрещенная зона с заданными характеристиками, исследователи перешли к решению прямой задачи, в которой ЭМП и структура ФК заданы, а требуется определить характеристики запрещенной зоны.

В такой постановке для проведения исследований требуется проводить перебор различных параметров ФК до тех пор, пока характеристики его запрещенной зоны не начнут удовлетворять исходным требованиям. Практическая значимость ФК породила большое число теоретических работ, позволяющих провести необходимые расчеты и использующих различные подходы к описанию поля в периодических структурах. На данный момент среди основных методов расчета характеристик ФК следует отметить РБТЕ) (и его различные модификации) [12 -14], метод разложения по плоским волнам [15, 16], метод матрицы переноса [17, 18] и метод согласования мод [19]. Каждый из приведенных методов имеет свои достоинства и ограничения. Так, например, метод разложения по плоским волнам не применим к описанию кристаллов конечных размеров, метод матрицы переноса (трансфер-матрицы) встречает серьезные трудности при переходе от трансфер-матрицы к обычно используемым коэффициентам отражения и прохождения. В последнее время наиболее широкое распространение получил метод РБТЕ). В рамках расчета он позволяет вычислить характеристики дифрагированного поля с широким частотным спектром. Однако для этого требуются значительные вычислительные ресурсы.

В связи с этим актуальной становится задача развития методов, позволяющих более эффективно рассчитывать электродинамические характеристики ФК.

Одним из методов, претендующих на эту роль, является метод инвариантного погружения [20 - 22]. Он позволяет свести краевую задачу для поля в ФК к решению начальной задачи Коши для коэффициентов отражения и прохождения, т.е. может быть интерпретирован как разновидность метода прогонки. Другим достоинством метода погружения является то, что результатом расчета является обобщенная матрица рассеяния, представляющая собой некую универсальную структуру для вычисления дифрагированных полей при различных инициирующих полях.

Методом погружения решена задача о рассеянии 2D поля на 2D фотонном кристалле [23]. Расширение размерности, т.е. переход к описанию 3D векторного электромагнитного поля в 3D ФК представляет собой достаточно трудоемкую задачу, потребовавшую, как будет показано ниже, модификацию метода инвариантного погружения.

Из изложенного выше следует, что задача развития метода инвариантного погружения для моделирования дифракции векторного электромагнитного поля на 3D фотонном кристалле является актуальной как с теоретической, так и с практической точек зрения.

Для достижения указанной цели были рассмотрены и решены следующие задачи.

1. Используя идеологию метода погружения построить математическую модель взаимодействия 2D ФК с произвольно ориентированным в пространстве векторным электромагнитным полем.

2. Проанализировать особенности применения метода инвариантного погружения при описании взаимодействия ЭМП с гибридной системой 2D-3D ФК. Исследовать роль эванесцентных мод и резонансные эффекты для коэффициентов отражения и прохождения, соответствующих этим модам.

3. Разработать модификацию метода погружения, позволяющую дэмпфировать эффекты «аномального» роста коэффициентов отражения и прохождения для группы эванесцентных мод углового спектра поля.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней:

• впервые в рамках метода инвариантного погружения с учетом эффектов некомпланарной дифракции решена задача о взаимодействии произвольно ориентированного в пространстве векторного поля с 2D фотонным кристаллом;

• обнаружены эффекты «аномального» роста коэффициентов отражения и прохождения для группы эванесцентных мод углового спектра поля и дана физическая интерпретация этого результата;

• показано, что при анализе эффектов (результата) воздействия эванесцент-

(

ных мод на среду необходимо учитывать влияние отраженного поля на источник излучения, т.е. в этом случае для расчета дифрагированного поля необходимо рассматривать самосогласованную задачу о взаимооблучении в системе источник - среда;

Практическая значимость работы. Полученные в диссертационной работе результаты развивают перспективный, но относительно редко используемый подход к описанию взаимодействия поля с пространственно-периодической средой. Развиваемая теория и разработанный пакет программ позволяют корректно, с учетом эффектов многократного рассеяния и поляризации поля, вычислять электродинамические характеристики трехмерных фотонных кристаллов.

Идейная простота метода, основанного на решении универсального уравнения погружения - уравнения Риккати для обобщенной матрицы рассеяния с коэффициентами, определяемыми из задачи взаимодействия поля с бесконечно тонким слоем кристалла в борновском приближении, позволяет легко распространить результаты на многокомпонентные ФК.

Основные результаты работы. В ходе диссертационной работы были получены следующие результаты:

• на основе метода инвариантного погружения построена и исследована математическая модель 2D ФК для описания дифракции падающего ЭМП, пред ставимого в виде суперпозиции плоских волн произвольной поляризации, с волновыми векторами, совпадающими с точностью до векторов обратной решетки ФК;

• впервые получен аналитический вид матричных коэффициентов в уравнениях инвариантного погружения для блочной четырех индексной обобщенной матрицы рассеяния с учетом векторного характера поля и эффектов некомпланарной дифракции;

• выявлен подкласс эванесцентных мод, для которых компоненты обобщен-

ной матрицы рассеяния S испытывают «аномальный» рост при определенных значениях толщины 2D ФК, предложен механизм этого эффекта;

• впервые, с учетом механизма «аномального» роста компонент §, предложена и реализована модификация метода инвариантного погружения, обеспечившая сглаживание резонансных эффектов и позволившая получить результаты для 3D ФК типа Woodpile конечной толщины, согласующиеся с экспериментом.

методов расчета поля, и хорошо зарекомендовавшего себя в других прикладных задачах электродинамики.

Возникновение резонансных значений элементов матрицы рассеяния для группы эванесцентных мод при некоторых толщинах ФК было проанализировано для вырожденного случая — однородной плоскопараллельной пластины. Полученные аналитические формулы совпали с приведенными в классической монографии М.Борна и Э.Вольфа «Основы оптики», эффект имеет место и в случае плоской пластины.

Результаты численного расчета характеристик отражения и прохождения для 3D ФК типа Woodpile, полученные с помощью алгоритма модифицированного метода погружения, показали хорошее совпадение с результатами физического эксперимента.

Публикации. По теме диссертации было опубликовано 12 работ, включая 6 статей в журналах перечня ВАК.

Структура и объём диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 101 наименования. Общий объем работы составляет 126 страниц, включая 48 рисунков.

Краткое содержание по главам. Первая глава диссертации посвящена обзору текущего состояний исследований в области расчета электродинамических характеристик (отражения и прохождения) ФК. В ней кратко обсужден вопрос о появлении запрещенных зон внутри ФК и проведена аналогия с формированием таких зон в физических кристаллах.

Обсуждаются достоинства и ограничения методов, наиболее часто используемых для исследования физических свойств ФК, таких как БЭТО-метод и метод разложения по плоским волнам.

Метод разложения по плоским волнам, который наиболее часто используется среди методов в частотной области, позволяет эффективно строить зонную диаграмму ФК, однако не предназначен для расчета ФК конечных размеров. Достоинством РОТБ-метода, который является наиболее часто используемым методом во временной области, является то, что он позволяет получать результаты для достаточно сложных периодических структур. Однако он обладает и рядом недостатков, основным из которых является высокое требование к вычислительным ресурсам.

Суть метода можно представить следующим образом. Рассматривается множество (пространство) решений поставленной задачи, отличающихся друг от друга значениями различных параметров. В таком пространстве выбираются два решения (две точки), отличающиеся значениями только одного параметра. Первое решение содержит значение параметра, соответствующее постановке исходной задачи, а второе - значению параметра при котором явный вид решения известен, либо легко определяем. Такой параметр называется параметром погружения, и мы будем обозначать его - ¡л. При последовательном изменении /л меняется и решение - соответствующая точка прочерчивает траектор