Модули функций из модельных подпространств пространства Харди Н2 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

□□3169113

На праьах рукописи

БЕЛОВ ЮРИЙ СЕРГЕЕВИЧ

МОДУЛИ ФУНКЦИЙ ИЗ МОДЕЛЬНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ ПРОСТРАНСТВА ХАРДИ Я2

01 01 01 - математический анали!

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидага физико-маюматических наук

15

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2008 ¿Щ

003169113

Работа выполнена на кафедре математическою анализа математико-механического факультета Санкт-Петербургского Государственного Университета

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор В П Хавин

Официальные оппоненты - доктор фи зико-математических

наук, профессор А М Коточигов - кандидат физико-математических

наук В В Капустин

Ведущая организация

РГПУ им А И Герцена

Защита состоится 2008 года в £5~~ОР час

на заседании Диссертационного Совета Д 002 202 01 в Санкт-Петербургском отделении Математического Института им В А Стеклова Российской Академии Наук по адресу 191023, Санкт-Петербург, наб р Фонтанки, д 27, ауд 311

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПОМП

РАН

Автореферат разослан "7Г" О* 2008

года

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических на)

Общая характеристика работы

Актуальность темы Диссертация поспящеиа исследованию свойств модулей функций из модельных (их еще называют коинвариантными) подпространств пространства Харди Я2 = Я2(Е) = {/ 6 L2( 1) /|(—оо,0) = 0}, где / обозначасг Фурье-образ функции /, элемент / пространства Я2(М) можно воспринимав и как граничный след некоторой аналитической функции класса Харди Я2(С+), где С+ - открытая верхняя полуплоскость Модельное подпространство Kq С Н2 есть, по определению, Я2 © ЭЯ2, где 0 - некоюран внутренняя функция (те такая аналитическая в С+ ограниченная функция, «по 1ипи_,о 160е + гУ)\ = 1 ири 11 в a; G М) Модельным подпространствам, их векторным и операторным аналогам посвящена обширная литература, затрагивающая ряд важных областей теории функций, теории операторов и разнообразных приложений Мы интересуемся, прежде всего, тем, насколько малым может быть элемент такого подпространства, не будучи тождественным нулем 3ia постановка вопроса появилась в работах Хавина-Машреги1 и была подсказана классической теоремой Берлинга-Мальявена о мультипликаторе (так называемой "Первой теоремой Берлинга-Мальявена"), которую можно воспринимать как одно из проявлений "принципа неопределенности", запрещающего чрезмерную и одновременную малость ненулевой функции и ее Фурье-образа (пространства Пэли-Випера, о которых идет речь в теореме Берлинга-Мальявена, суть, с точностью до уни модулярного множителя, модельные подпространства, отвечающие внутренним функциям егах, а > 0) Результаты работ Хавина-Машреги развивались в различных направлениях в работах А Д Баранова2, А Д Баранова, А А Боричева, В П Хавина3, Дж Машреги, Ф Л Назарова, В П Хавина4 В последней

1V Р Hdvin, J Mdbhreghi, Admissible majorants for model subspaces of Я2 Part 1 slow winding of the generating inner function -Can J Math 55, 6(2003), 1231-12G3

V P Hd\in, J Mashreghi, Admissible majorants for model subspaces of H2 Part 2 fast winding of the generating inner function -Can J Math 55, 6(2003),1231-1203

2 \ D Baianov, Polynomials in the de Branges spaces of entire functions -Ark Mat, 44 (2006), no 1, 16-38

3A D Baranov, A. \ Borichev, V P Havin, Majorants of ma amorphic functions with fixed poles, Indiana Univ Math J 56 (2007), 4, 1590-1628

4Дж Машре1и,ФЛ Назаров, В П Хавин, Теорема Берлиига-Маллъявепа о мультипликаторе

работе дано новое доказательство теоремы Берлинга-Мальявена, содержащее, в частности, новый способ построения /^-функции с ограниченным спектром и с данной мажорантой модуля Мы, в основном, занимаемся модельными подпространствами Кв, порожденными мероморфной внутренней функцией в Каждое такое К& тесно связано с некоторым гильбертовым пространством де Бранжа целых функций Наши основные результаты могут быть переформулированы на языке пространств де Бранжа, играющих большую роль в приложениях к математической физике

Задачи, которым посвящена диссертация, относятся к актуальной и развивающейся области теории функций

Цель работы заключается в отыскании достаточных и (отдельно) необходимых условий, налагаемых на неотрицательную функцию ш ("мажоранту") и совместимых с неравенством |/| < и> (и в на К), где / - ненулевая функция из данного модельного подпространства Если этому неравенству удовлетворяет какая-нибудь ненулевая функция / € /<"е, то мажоранта и называется допустимой для Ке (или 0-допустимой)

Структура диссертации Первая глава состоит из четырех параграфов В этой главе приводятся общие определения и даются предварительные сведения, необходимые для дальнейшего В §1 описаны некоторые свойства модельных подпространств В §2 обсуждается суть решаемых проблем и дается исторический обзор некоторых результатов В §3 описывается структура диссертации В §4 приводятся используемые обозначения и сведения о мероморфных внутренних функциях

Вторая глава посвящена достаточным условиям допустимости мажорант для некоторых конкретных ситуаций Эга глава состоит из пяти параграфов За вводным §1 следует §2, в котором собраны критерии допустимости в терминах преобразования Гильберта П функции ^ = \о%{\/ш)

Критерии допустимости, выраженные непосредственно в терминах функции Г2, содержатся в §3, §4 содержит условия В-допустимости, где В - произведение Бляшке (в С+), рассмотрен случай, когда мнимые

седьмое доказательство, Атгебра и Анализ 17 (2005), 5, 3-68

части пулей функции В неограниченно растут В §5 рассматриваются нули произведения Бляшке, касательно расположенные относительно оси К

Некоторые доааточные условия .В-допустимости, существенно более ограпичшельные, чем у нас, били ранее получены в упомянутых выше работах Хавииа-Машреги Что касается необходимых условий, то они были получены лишь для весьма специальных произведений в цитированной выше статье А Д Баранова

В третьей главе получены некоторые довольно общие необходимые условия допустимости, коюрые иногда оказываются ючными За вводным §1 мы переходим в §2 к некоторым предварительным результатам В §3 дано доказательство формулы обращения для обобщенного преобразования Гильберта Четвертый параграф содержит основные результаты главы, точность которых обсуждается в заключительном §5

В четвертой главе даны некоторые достаточные условия строгой донустимосш мажоранты и (те условия существования модельной функции /, для которой |/| х и>) За вводным §1 следует §2 в котором содержахся все основные резулыаты главы 4, они доказываются в §§3,4 В §5 даны примеры применения наших теорем в конкретных ситуациях Пятая глава посвящена некоторым свойствам преобразования Гильберта, важным в контексте проблемы допустимости мажорант (нячая глава основана на совместной работе с В П Хавиным) За вводным §1 следует §2, в котором доказывается существование "устойчиво плохих" по отношению к преобразованию Гильберта функций, §3 посвящен необходимым условиям липшицевости сопряженной функции

Научная новизна. Все основные ре ¡ультаты диссертации являются новыми

Практическая и теоретическая ценность Работа носит теоретический характер Ее методы могут быть использованы для дальнейшею исследования свойств функций из модельных подпространтсв па вещественной прямой

Апробация работы. Результаты работы неоднократно докладывались на семинаре ПОМИ РАН по теории функций, на

семинаре п университете NTNU (Трондхейм) на конференциях "16th Summer St Petersburg Meeting in Mathematical Analysis" и "Spaces of Analytic Functions and their Operators" (CIRM, Марсель, 2006, Франция)

Публикации Результаты диссертации опубликованы в работах [1], [2], [4] Работа [3] принята к иечати

Организация текста и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав, разбитых на 22 параграфа, изложена на 94 страницах Список литературы включает 26 названий

Содержание работы.

Вторая глава диссертации посвящена достаточным условиям ©-допустимости для быстро растущего аргумента arg G Один из основных результатов второй главы следующий (Р - мера Пуассона на R, dP(x) = тг~1(1 +x2)~1dx,x е К)

Теорема 2 2 5 Пусть функция / К \—> К удовлетворяет следующим условиям

а) функция f строго возрастает и дифференцируема,

ь) (/_1)'(= Л) е LtpQ(R), (0 < а < 1), с) / —< ~Ьоо

JR 1 + J K4

Предположим, что lim^oo /'(ж) = 0 Через Bj обозначим произведение Бляшке с нулями = f(k) + г,к е Z Тогда любая гладкая функция ш = такая, что

1) I ШР < +оо, 2) П'(я) = 0(|х|") {при некотором ß е (0,1)),

Ju

3) (ж)| < Ah{x) при любом х G М и при некотором А < 2тт,

допустима для пространства Квг

Во второй главе мы также рассматриваем касательные (по отношению к R) расположения нулей Это в корне меняет поведение аргумента arg В его рост теперь может быть нерегулярным Возникает необходимость изменить методы, используемые ранее Мы доказали некоторые результагы в этом направлении Например Следствие 2 5 4 Пусть В - произведение Бляшке с пулями Zk =

^ + 1Цк (к G %>,Ук < 1); а последовательность {?л} такова, vino 'нк тное Ук/Ук+i отделено от нуля и бесконечности, и

Тогда любая функция и = е~п такая, что О € ГлрДМ) П Ь^Р), В-допустима

В третьей главе мы даем некоторые необходимые условия в-донустимости для широкого класса мероморфных произведений Бляшке 6 = В, наши основные ограничения касакися роста аргумента |а^В(:г)| (мы предпола1аем, что он растет не быстрее, чем степень

У этой части диссертации есть две особенности 1) Необходимые условия допустимости рассматриваются в терминах некоторых средних функции П = — log и; а не самой функции П как таковой Тем не менее, в некоторых случаях такие условия оказываются точными Средние, коюрые мы имеем в виду, определяют: следующим образом

где / - локально суммируемая функция на вещественной оси М, а А -положительная непрерывная функция, А < 1

2) Наш подход основан на уравнении, полученном в работах Хавина-Машреги

оно характеризует в-допустимые мажоранты ш К этому равенству естественно было бы применить преобразование Гильберта h и, используя формулу обращения, извлечь Q, а загем сделать некоюрые выводы из этого представления Но этот план связан с определенными трудностями, тк ни arg 9, ни П, вообще юворя, не суммируемы по мере Пуассона Поэтому мы вынуждены изменить ядро митрального сингулярного оператора /г, чтобы он был применим к (по крайне мерс некоторым) растущим функциям Мы достигаем этой цели, вводя

к

1*1)

arg 9 + 2П = 2 log т + 2тт + 7,

модифицированные преобразования Гильберта 1ц, I = 2,3,

Ы(и)(х) = -(ур) [ и(*)—Ц Sßf^Vdi, TT 7к X - t \ t + г)

и ис поль ¡уя подходящую формулу обращения

Следуя плану, обозначенному в 2), мы получили некоторые необходимые условия 9-допусшмости в терминах S\{Q) Эти условия имеют некоюрые интересные следствия

Пример 1 Положим 0(г) = e'az(a > 0) Тогда любая О-допустимая мажоранта ш = е~п удовлетворяет неравенству

|Si(fi)(x)| <Ci|xlog|x||-fC2, i6l 3ia оценка ючна

Утверждение 4 Положим 9(z) = e'oz{a > 0) Тогда для любой убывающей положительной функции j такой, что limx^+00 7(х) = 0, существуют Q-допустимая функция и = е~й и последовательность {^iilfi^n такие, что

1ЗДЫ1 > log(z„)7(zn)

Мы дадим еще один типичный пример для произведения Бляшке Ва

Пример 3 Пусть Вп - произведение Бляшке с нулями Zk = sgia(A-)|А,+ i (1/2 < а < 1) Если функция и> = е~п Ва-допустима, то существуют такие константы C\,Ci, что

< Ci|x|°|log|x|| + С2, iet

Наши необходимые условия допустимости дают метод построения положительных мажорант ш, не ©-допустимых для широкого класса мероморфных внутренних функций © В §3 4 4 мы доказываем следующий факт

Если 0 - мероморфная внутренняя функция, и arg 0 €

I G N, то существует такая положительная ограниченная функция и, что JR\ogiodP > —оо, но ш недопустима для

В главе 4 мы рассмотрели строгую допустимость Основные результаты главы 4 - теоремы 4 2 4 и 4 2 5

Теорема 4 2 5 Пусть мероморфная внутренняя функция 0 и положительная функция и = е~!! € Z2(K) таковы, что

a) QGL\Р), Ь) fieC^R), с) 0 < mf((arg 0 + 2fi)') < sup((arg 0 + 2Q)') < +оо

® R

Тогда и строго допустима для К&

Другое доказательство теоремы 4 2 5 следует из результатов работы JIro6apcKoro-CcfiiiaJ, посвященной весовым пространствам Пэли-Випера Нам неизвестно, позволяют ли методы этой статьи получить результаты для других мероморфных внутренних 0, как в нашей теореме 4 2 4

Теорема 4 2 4 является обобщением теоремы 4 2 5 для класса мероморфных внутренних функций с быстро растущими аргуменхами Мы дадим пример, иллюстрирующий теорему 4 2 4

Следствие 4 5 4 Пусть Вп - произведение Бляшке с нулями zk = sgn(fc)|fc|" + r, кеЪ, 1/2 < а < 1 Если функция и) = е~й G L2(R) такова, что

a) Q G L\Р), Ъ) |П'(гг)| < С\ х\ 'а для исъоторого С < —,

а

то и строго допустима для Кв„

Условия строгой допустимости, полученные в главе 4, включают £1 (не только П) Процедура коррекции (метод Назарова) преобразования

5Yu I Lvubarskn, К S«p, Weiqhted Paley- Wiener spaces J Amer Math Soc 15 (2002), no 4, 979-1006

Гильберта не сохраняет двусторонний характер отношения |/| ж и, так что отыскание условий, достаточных для строгой допустимости и выраженных в терминах функции П, остается открытой проблемой

Пяыя глава посвящена вопросу, касающемуся отношений между двумя включениями / € Lipa(M) и / е LipQ(R), мы всегда будем считать, что / 6 Ll{Р) и 0 < а < 1 Случай а = 1 представляет для пас особый интереса Сходные вопросы для единичной окружности Т были решены И И Приваловым в 20-х годах 20-го века Случай примой (тс относящийся к оператору h) не вполне аналогичен Если a 6 (0,1), то, так же, как и на Т, оператор h отображает Lipa в себя Но сходство Т и 1 исчезаем когда мы обращаемся к случаю a = 1 На единичной окружности функция / (если / G Lip^T)), вообще говоря, не принадлежит классу Lipj(T), но, тем не менее, остается равномерно непрерывной (с оценкой модуля непрерывности) Но на прямой такое сохранение равномерной непрерывности верно только при дополнительном предположении об ограниченности функции / Если функция / е Lip^R) не ограничена, то равномерная непрерывность функции h(f) сохраняется только локально, но может быть разрушена в целом (Отметим, что ограниченность функции / = — logo; лишает проблему допустимости мажоранты w всякого интереса)

Более того, в главе 5 мы доказываем (с помощью явного построения) сущес'1 вовапие такой функции / € L1(P)flLip1(E), 4rioh(g) не является равномерно непрерывной на К всегда, когда разность f—g ограничена Как показано в работах Хавина-Машреги, и допустима для Ке«,х, если Л(П) - липшицева функция с достаточно малой константой липшицевости Но в силу сказанного выше (о возможной утрате липшицевости под действием оператора h) мы, на первый взгляд, не можем непосредственно заключить, что липшицевость самой функции Í2 (в сочетании с включением П 6 Ь1^)) обеспечивает допустимость мажоранты е~й для 9(а:) = ешх, те не можем получить теорему Берлинга-Мальявена Однако, если бы в Z/1(P) нашлась такая функция fii, что h(Qi) липшицева, и Í2i > Г2, то допустимость мажоранты e-íi была бы установлена Естественно пытаться построить функцию Qi (для липшицевой Q) путем стандартного сглаживания (те свернув Г2 с гладкой функцией) Наш пример "устойчиво плохой" функции

показывает, что такой способ не может привести к цели, ибо регуляри ювапная fii непременно удовлетворяет неравенству |Oi — < const

Заметим, что меюд Назарова корректировки функции П 1акой, чю h(Q) ^ Lip^K), нелинеен

Пятая глава также содержит некоторые достаточные (и "почти необходимые") условия того, чтобы функция h(f) принадлежала классу Lip^R), и некоторые результаты о равномерной пепрерыппостп функции h(f)

Литература

II Публикации автора по теме диссертации

|1| К) С Белов, ВП Хавии, К теореме ИИ Привалова о преобразовании Гильберта липгиицевых функций, Мат Физ Анал Геом 11 (2004), 4, 380-407

|2| К) С Белов, Критерии допустимости мажорант для модельных подпространств с быстро растущим аргументом порождающей внутренней функции, Записки научных семинаров ПОМИ 345 (2007), 55-85

|3| Ю С Белов, Необходимые условия допустимости для некоторых модемных подпространств, Алгебра и Анализ, принято к печати

[4] Ю С Белов, Модельные функции с почти предписанным модулем, Ajhсбра и Анализ, 2 (2008), 3-18

Отпечатано в типографии ООО «Атмосфера» Заказ №2032 Тираж 100 шт Подписано в печать 7 04 2008 Формат 148x210 Бумага офсетная

Содержание

1 Введение и краткий обзор результатов

1.1 Модельные подпространства.

1.2 Основные задачи.

1.3 Структура диссертации.

1.4 Предварительные сведения. Обозначения.

2 Достаточные условия допустимости

2.1 Введение.

2.2 Условия допустимости в терминах функции

2.2.1 Предварительные замечания.

2.2.2 Оценка производной аргумента произведения Бляшке.

2.2.3 Условия допустимости для пространства Кв{.

2.3 Условия допустимости в терминах функции Г2.

2.4 Условия допустимости в случае роста мнимой части нулей произведения Бляшке.

2.5 Достаточные условия допустимости для произведений Бляшке с касательно расположенными нулями.

2.5.1 Теорема о близких произведениях.

3.2 Предварительные замечания.44

3.3 Обобщенное преобразование Гильберта. Формула обращения.46 2

3.3.1 Формула обращения для оператора Ьц .47

3.3.2 Некоторые оценки величины hi(f).48

3.4 Необходимые условия допустимости.50

3.4.1 Допустимость и оценки некоторых усреднений функции Q.51

3.4.2 Примеры.53

3.4.3 Произведения Бляшке В, подчиненные условию argi? е L1(P/) . 54

3.4.4 Схема построения недопустимых мажорант.55

3.5 Точность необходимых условий .57

4 Модельные функции с почти предписанным модулем 60

4.1 Введение.60

4.2 Основные результаты.61

4.3 План доказательства теоремы 4.2.4: предварительные замечания.63

4.4 Доказательство теоремы 4.2.4.66

4.5 Условие регулярности: примеры применения теоремы 4.2.4.69

5 Свойства преобразования Гильберта липшицевых функций 72

5.1 Введение.72

5.1.1 Теоремы приваловского типа на прямой.72

5.1.2 Связь с теоремой Берлинга-Мальявена.75

5.2 Правильные функции с сильно колеблющейся сопряженной.77

5.2.1 Основной зуб.77

5.2.2 Подобное преобразование функции и ее сопряженной.78

5.2.3 Правильная функция / с неограниченной разностью Аi f.80

5.2.4 Медленно растущие плохие функции.80

5.2.5 Устойчиво плохие функции.82

5.2.6 t-атомы.83

5.3 Некоторые критерии равномерной непрерывности сопряженной фупкци . . 86

5.3.1 Предварительные оценки.87

5.3.2 Результаты.90

5.3.3 Заключительные замечания о функции Jf.91

Литература 93 3