Модули над обобщенно разрешимыми группами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Кн’иіськіїп уііінерсіпет імені Тараса Шевченка

На нравах рукопису

РГб од 2 З ИЮН 1ВД7

ПЕТРЕНКО Богдан Володимирович

- УДК 512.544

МОДУЛІ НАД УЗАГАЛЬНЕНО РОЗВ’ЯЗНИМИ ГРУПАМИ

01.01.06 — алгебра та теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Київ - 1997

Дисертацією с рукопис.

Роботу виконано на кафедрі геометрії і алгебри Дніпропетровського державного університету

доктор фізико-математиншх наук, професор КУРДАЧЕНКО Леонід Андрійович

доктор фпико-матемаїичних наук, професор УСТИМЕНКО Василь Олександрович

доктор фізико-математични.х наук, провідний науковий співробітник КУЗЕННИЙ Микола Феодосійович

Львівський державний університет

Захист відСудетьсі “_____”____;__________1997 року о14-й годині на

засіданні спеціалізованої ради Д 01.01.01 при Київському університеті ім. Тараса Шевченка за адресою: 252127, м. Киів - 127, проспект окад.

Глушкова, 6, Київський університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці уоіверсисістуза адресою; м. Київ, вуя. Володимирам. Я.

Автореферат розісланий “ ’’_________1997 року

Вчений секретар спеціалізованої ради

ОВСІЄНКО С. А.

НауковаК керіааїк: -

ОфІпІііпІ оповеїта:

Правілая уставові:

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертація присвячена вивченню наступних двох питань теорії модулів над, узагальнено розв’язними групами: будова скінченно породжених модулів над групами скінченного рангу і вивчення прямих розкладів у модулях нал груповими кільцями таких груп. Точніше, у роботі вивчаються модулі над груповими кільцями вигляду ¿>(7, де О —

( комутативна) дедекіндова область, С — деяка узагальнено розв’язна група. Накладаючи додаткові умови па модулі і групи, можна отримати більш детальну інформацію про структуру цих модулів.

Теорія модулів над груповими кільцями нескінченних груп з умовами скінченності Посідає чільне місце у сучасній алгебрі завдяки глибині проблем, що / ній виникають та ефективному її застосуванню в різних галузях алгебри, зокрема в описанні багатьох класів нескінченних узагальнено роз’язних груп. Особливо важливими с питання знаходження різних прямих розкладів у модулях. Так наприклад, Б. Хартлі і Д. Макдугалл, спершу описавши артинові модулі над груповими кільцями ’¿О, де 2 — кільце цілих раціональних чисел, С — група Чернікова, описали . метабелеві групи з умовою мінімальності для нормальних підгруп. При ньому вони скористалися теоремою Ковача і Ньюмена про відокремлення (при досить широких умовах) прямим доданком монолітичного підмодуля у модулі над груп9Ю, яка е скінченною над центром. Далі, Д.І. Зайцев довів, що будь-який артинів ZG-модуль А над гіперскінчсшиво локально розв'язною групою С має 3-^<?-розклад (де 5? — клас усіх скінченних груп). Спираючись на це, він довів, що якщо група Е є розширенням ибельової групи А за допомогою локально розв'язної групи О, і якщо А с артиновим 2С-модулем, тоді Е спряжено розщіплюеться над А за модулем верхнього Д£-.2ГС-гіперцентру ЦС™а(А).

Результати Ф. Холла, Р. Бера:, Д. І. Зайцева, Б. Хартлі, Л, А. Курдаченка, Д. Робінсона, Д. Макдугалла, М. Томкінсона, 3. Дуана ти іниіихдоро будову модулів над цілочисловими груповими кільцями деяких нескінченних груп з умовами скінченності стали відправною точкою у застосувані таких модулів у самих різних задачах про нескінченні групи з

деякими умовами скінченнос'ті. Вони дали можливість описати деякі класи узагальнено розв’я'і.іих груп.

Мста роботи описати адитивні групи скінченно породжених модулів над груповими кільцями вигляду ДС, де О — дедекіндова область, (7 — майже поліциклічна група, що мас скінченний О-ранг; узагальнити теорему Ковача-Ньюмена на дедскіидові області; розглянути питання про існування ЗС-розкладу, що узагальнює поняття ¿-розкладу і Д-розкладу, і таким чином узагальнити теореми Фіттінґа, Д. І. Зайцева про ¿-роклад і 3. Дуана про Д-розклад. •

Методи дослідження. Основу досліджень склали методи теорії нескінченних узагальнено розв’язних груп і модулів над груповими кільцями таких груп.

Наукова новіїзіїа. V роботі отримано наступні мові результати:

• описані адитивні групи простих модулів над груповими кільцями

вигляду Ой, де Д — дедекіндрва область, Є — майже поліциклічна група, що мас скінченний О-ранг; .

• узагальнено теорему Ковача-Ньюмена на дедекіндові області;

• введено понятя і£-ДО-розкладу, що узагальнює поняття ¿-розкладу і ^-розкладу для 2ГС-модулів; доведено, що ДС.-модуль А мас Л?-Д(?-розклад у кожному з наступних випадків;

1) Я — формація груп, що містить клас усіх скінченних груп Д і ' замкнена відносно взяття підгруп скінченного індексу і розширень за

допомогою "скінченних груп, О — локально розв'язна ДЕС-гіперцентральна група, А1— артинів СО-модуль;

2) X — формація скінченних груп, С — скінчснна Д?С-нільпотентна

група, А — ДС-модуль скінченної композиційної довжини; .

3) Я — формація скінченних груп, С — локально розв’язна ДЕС-

гіперцентральна група, А — ДС-модуль композиційної довжини не більшої за перше нескінченне трансфі кітне число; .

4) Я — формація скінченних груп, мы гиена відпоєно взяття підгруп і розширень груп, G — локально розв’язна ЗііС-гіперцеїггральва група, А — арпшів /ХЗ-модуль.

Теоретичне та практична цінність днсертацН • Одержано розширення теорем Д.І. Зайцева та Ковача-Ниомена на групові кільці вад дедегіидовчми областями. На основі пошт JS-розкладу запропоновано єдиний підхід до прямих розкладів у артиновпх модулях вад груповими Елщаш, що узагальнює усі попередні випадки. Доведено, що такі розклади існують для доевпъ важливих формацій груп 20.

Апробація робото. Результати дисертації доповідали«, аа Третій міжнародній конференції з алгебрп прпешчша шш'яті МІ. Каргапдлова (Красноярськ 1993р.), Розширеному засіданні алгебраїчного семінару, присвяченому пам’яті JL А. Калужніиа (Київ, 1994р.) Всеукраїнській науковій конференції присвяченій 70-річчю професора П.С. Казимірського (Львів, 1995р.), Міжнародній конференції з теорії нескінченних і топологічних груп присвяченій 60-річчю професора Г. Хайнекена (Вюрцбург, Німеччина, 1996), Міжнародній математичній конференції (Ріо-де-Жанейро, Бразилія, 1996).

Публікації По темі дисертації опубликовало 6 науювнх робіт, список яких наведено у кінці автореферату.

Об’єм та структура дисертації. Дисертаційна робота сяадаєгься з п’ята розділів та списку літератури з 46 найменувань. Загальная обсяг .робота — 105 сторінок.

ЗМІСТ РОБОТИ

У пертому розділі дисертаційної роботи — вступі — обгрунтовано актуальність проблематики дисертації, наведено короткий опіяд робіт за темою дисертації, охарактеризовано зміст дпсершційші роботи.

Другий розділ носять допоміжний характер. Туг наведені деякі спеціальні терміні, які використовуються у дисертаційній роботі.

розділі . З даної дисертаційної робота вивчаються сіінченго породжені DG-модулі у випадку коли G — локально майже гшл і циклічна

група , ідо мае скінченний О-ранг ( у англійській термінології, torsion-free rank). ,

Якщо група G мас скінченний субнормальный put), г факторів якого -

нескінченні циклічні групи, а решта факторів — періодичні, тоді говорить, що

група G мас скінченний О-ранг г, який позначають r„(G).

Якщо D — асоціативне комутативне кільЦе з одиницею, тоді через

Spec(D) позначимо множину усіх Ненульових простих іде спів кільця D.

Основний результатом цього розділу дисертаційної роботи с

14. Теорема. Нехай G — локально майже поліциклічна група, що мас

скінченний О-ранг, D —- дедекіндова область, у якої множина Spec(D)

нескінченна, А — скінченно породжений DG-модуль. Якщо модуль А не є D-

періодичним, тоді існує така множина A cSpec(D), що .

1 )множина Spec(D) \äc скінченною ;

2) АР *А для усіх РеА .

Якщо D = Z— кільцр цілих раціональних чисел .тоді теорема 3.14 —

це теорема Д.І. Зайцева1. ' ,

Теорема 3.14 с важливою ще й тому, що пона дас інформацію про

будову прости* модулів над груповими кільцями вигляду DG, де G —

локально майже поліциклічна група, що мас скінченний О-ранг, D

дедекіндова область, у якої множина Spec(D) нескінченна.

3.15, Наслідок, Нехай G —локально майже поліциклічна група, що мас

скінченний О-ранг, D — дедекіндова область, що мас нескінченну множину

Spec(D), А — простий DG-модуль. Тоді Аппв (А) = Рє Spec(D), тобто А.

можна розглядати як FG-модуль, де F = D/P — деяке поле.

. І

• Якщо D = Z, тоді наслідок 3.15 — це результат Д.І. Зайцева1 . Якщо

D - Z і G — майже поліциклічна група, тоді наслідок 3.15 — це теорема Ф.

Холла2. Якщо D = Z і G — локально скінченна група, тоді наслідок 3.15 —

це теорема Р. Бера’. Для подальшого-нам знадобиться таке означення:

1 Зайцев Д.И. Произведения абелевых групп II Алгебра и логика. — 1.980. — Т. 19, №2. —С. 150-172.,

1 Hall P. On the finiteness of certain soluble groups И Ртос. London Math. Soc.— 1961, II,pp. 327-352.

3 Baer R. Irreducible groups of automorphisms of abelian groups // Pacific J. Math. — 1964,— V. 14. — pp. 385-406.

Нехай R — асоціативне комутативне кільце J одиницею. Капітечь кільця R — це будь-яке його фактор-кільце за.максимшьним ідеалом. Будемо творити, що D — дедекіндова Z-область, якщо вона шдовольняе три наступні умови:

1) D — дедекіндова область;

2) множини Spec(D) с нескінченною;

3) кожна капітель кільця D є локально скінченним полем.

Наступним важливим наслідком теореми 3.14 е

3.18. Теорема. Нехай G —локально майже поліциклічна група, що мас скінченний O-ранг, D — дедекіндова Z-область, А — скінченно породжений DG-модуль, що має скінченну кількість максимальних DG-підмодулів. Тоді А — D-періодичний модуль і група £(G/CÜ (А)) с періодичною.

У зв’язку з теоремою 3.14 виникає природне питання про те, чи є умова про нескінченність множини, Spec(D) суттєвою в умовах теореми 3.14; іншими словами, чи залишається терема 3.14 справедливою для локальних дедекіндових областей. У розділі ‘3 дисертаційної роботи наведено приклад 3.20, з якого випливає, що у цій ситуації теорема 3.14, взагалі кажучи, вже нес справедливою.

.. Одним з істотних результатів про існування (7-доповнень у теорії скінченних груп є теорема Машке. Цей результат на протязі багатьох років використовується у дослідженнях з теорії скінченних груп. Робилися спроби узагальнити теорему Машке на деякі класи нескінченних груп. Одним з таких цікавих ¡ корисних узагальнень є теорема Ковача-Ньюмена4. Вона, зокрема, відіграла вирішальну роль для опису усіх артиновнх модулів над груповими кільцями вигляду ZG, де G - група Чернікова. Це, в свою чергу, дало можливість описати метабелеві групи з умовою мінімальності для нормальних підгруп. Цей результат широко використовувався у інших дослідженнях з теорії розв’язних груп5.

4 Kov^s L.G., Newman M.F. Direct complementation in group with operators // Archiv Math.—1962, 13,pp. 427-433. ' .

i Казарин Л.С.,’ Курдаченко Л.А. Условия конечности и факторимции в бесконечных группах //Успехи матем. наук, 1992,47, Nb 3 —• С. 75-114,

У розділі 4 даної дисертаційної роботи отримано узагальнення теореми Ковача-Ньюмена для дедекіндових областей. Сама ж теорема Ковача-Ньюмена с аналогом теореми Машке для нескінченних груп. Основним результатом цього розділу дисертаційної роботи г

Теорема і. ІЗ. Нехай G—скінченна над центром періодична я-група для деякої множини простих чисел я, D — дедекіндова область, А — DG-модуль, В —DG-підмодуль модуля А, що задовольняє наступним вимогам:

(1) А = В® С для деякого D-підмодуля С;

(2) В —монап'тичний DG-підмодуль з монолітом М [це означає, що ОіМ- П (!>' I W- ненульовий DG-підмодуль модуля В)\:

(3) МР = 0 для деякого простого ідеала Р кііьця D:

(4) char V/P-0 або char D / Р е яг; тоді А — В® Едля деякого DG-підмодуля Е. .

Якщо D = Z, тоді теорема 4. ІЗ — це теорема Ковача-Ньюмена.

Розділ 5 даної дисертаційної роботи присвячений вивченню прямих розкладів у артинових модулях над груповим кільцем DG. де D -дедекіндова область. У багатьох задачах теорії груп •' виникає погреба знаходити G-інваріантне доповнення у абельовій нормальній підгрупі групи G. Іншими словами, маємо задачу про прямі розклади у модулях. У витоків цієї задачі стоїть теорема Фітинга про те, "що ендоморфізм модуля

О

скінченної композиційної довжини визначає розклад цього модуля у пряму суму двох лідмодулів, на однім з яких звуження цього ендоморфпма f автоморфізмом, а на другому діс нільпотентно. Для теорії груп важливі' наступні наслідки з цієї теореми: .

Якщо G — скінченна нільпотентна група. А — скінченним ZG-модуль, тоді ’ .

А — Z, © Zy ' .

де G діс центрально на кожному G-головному факторі модуля Z, . і на кожному G-головному факторі модуля Z. група G діс ексцентрально.

Якщо G — скінченна група, А — скінченний ZG-модуль, такі що л(А ')ґ\ x(G) = 0, тоді

A = C,(G)®lA.Gl.

Робилося багато спроб отримати аналоги теореми Фіттіига для нескінченних груп і модулів. Робота Б. Хартлі і М. Томкінсона6 поклала початок пошуку прямих розкладів, пов’язаних з центральними і нецентральними факторами у модулях, тобто з безпосередніми узагальненнями теореми Фітгінга на нескінченні групи.

Будемо говорити, що ZG-модуль А має Z -розклад, якщо А = Z, ® Z2, де Z„ 2.—такі його ZG -підмодулі, що кожний головний 2(ї-фактор модуля Z, є G-централышм, а кожний головний Zff-фактор модуля Z, є G-ексцентральним.

Б. Хартлі і М. Томкінсон довели існування 2-розкладу у модулі, адитивна група якого є періодичною подільною абельовою групою у припущенні, що G - локально нільпотентна група6. Д.І. Зайцев почав розглядати такі прямі розклади у артинових модулях. Він довів7, що будь-який артинів Zff-модуль над гіперцентральною групою G мас Z-розклад.

Наступний етап пов’язаний з поняттям 3-розкладу. Будемо говорити, що Z6-модуль А мас Д-розклад, якщо А = А, ® А:, де А„ А: — такі його ZG -підмодулі, що кожний головний ZG-фактор модуля А, с скінченним, а кожний головний ZG-фактор модуля /(_, с нескінченним. •

Д.І. Зайцев*'' почав розглядати питання про; існування Я-розкладів для артинових модулів над локально розв’язними гіперскінченними групами і у модулях скінченної композиційної довжини над -ТС-гіперцснтралЬними групами. Ці дослідження продовжив 3. Дуан19. Він встановив, що умову локальної розв’язності у першій з вище згаданих

* Hartley В., Tomkinson M.J. Splitting over nilpotent and hypercentral groups /I Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. — 1975,78, №2, pp. 215-226.

7 Зайцев Д.И. Гипсрщпаические расширения абелевых .'рут // Группы определяемы^свойствами снтсмы подгрупп. — Киев: ИМ АН УССР, 1979. — С. >6-37. • ’

1 Зайцев Д.И. Гиперконечпые расширения абелешх групп // Исследования групп с ограничениями для подгрупп. — Киев: ИМ АН УССР, 1988.—С. 17-26. , .

’ Зайцев Д.И. О прямых разложениях бесконечных абелевых групп с операторами II Укр. мат. ж. — 1988. — Т. 40, № 3. — С. 303-309. . ' •

10 Duan Z.Y. The ft-dccomposition of artinian modules over hypèrfinite groups It Proc. Edinburgh Math. Soc. —1995,38, pp. 117-120. '

теорем Д.І. Зайцева можна опустити. У іншій роботі", 3. Дуан почав розглядати модулі над періодичними групами, які мають (можливо, трансфінітний) зростаючий ряд нормальних підгруп, фактори якого, або нескінченні циклічні групи, або скінченні групи. Але ці групи - дуже специфічний частинний випадок ГС-гіперцентральних груп.

Такимчином, результати Д.І. Зайцева і 3. Дуана поставили питання про існування ^-розкладів у артинових модулях над локально розв’язними /•'С-гіперцентральними групами. У даній дисертаційній роботі вводяться і вивчаються Ж-розклади (точніше, Ж-АС-розклади), які узагальнюють 7. -розклади і 3-розклади. Ми робимо це у кілька етапів. .

Під формацією груп ми розуміємо-клас груп ДЕ, який задовольняє наступні умови:

(1) якщо НєХ та //гС, +оді <?єХ. ■

(2) якщо Н— це нормальна підгрупа групи О і СєХ, тоді в/НєХ.

' (3) якщо Ні та Нг е нормальними підгрупами групи й , такими що 0/Н,,в/Н2єХ, тоді С/Н,пН2єХ.

■ Якщо усі елементи формації груп X — скінченні групи, тоді Ж називається формацією скінченних груп.

Нехай X —це формація груп і нехай <5 е групою. Визначимо ЖС-центр групи О наступним чином: '

ЯС(С) = {8є(І\С/Сс(^)єЩ.

■ Визначимо дня кожного трансфінітного числа а групу ХСа(С) наступним чином: .

(i) Ж СЛ'О^ХССв). '

(ii) якщо а е граничним трансфінітним числом, тоді покладемо

. ХСа(С) = І) ХС„((}).

■ - р<а• .

(iii) якщо а - / існує, тоді покладемо

11 Риап '¿.У. Ехіепзіоп о/ аЬеІшп-курег-(сусІк ог /їпііе)цпшр.ї II Сотшипісаііопз іп АЦеЬга — 1992,20, № 8, рр. 2305-2321.

ХС^О) - „І1., (3ЮС/ХСа.,(С))) де : ц -► КХС„,(С,),Кє О.

Якщо С = ЛРСг(й) для деякого трансфінітного числа у, тоді група О

називається .ТС-гіпернентральною. Якщо у с скінченним, тоді група С

називається Д?С-нільпотентнок> і найменше таке число у називається

ступенем ДіС-нільпотентиссті групи С. Якщо ЛР = (ї — клас скінченних груп,

тоді замість “ДС-гіперцентральна група” писатимемо *ТС-гіперцентральна група".

Нехай С — група, /> — дедекіндова область, X — формація груп, і А — £>(/-модуль. За означенням, ЗСС-ОС-центр модуля А це ХСвсСА) ={ пєА\в/Сг-(аОС,)єХ\.

Визначимо для кожного трансфінітного числа а модуль ЛІС0(іа(Л) наступним чином:

' (І)ЛХСос.,(А)=ХСаг,(А).

(іі) якщо а є граничним трансфінітним числом, тоді покладемо

‘ ’ ХСма(А)= и ХСМР(А). ' .

- р<а

(¡¡і) якщо а -1 існує, тоді покладемо ХСра.,/А)-

£Соа(АҐХСоаа.',(А))Лде :а -><і + ХСжа.,(А),аєА. Якщо /і — -таке трансфінітне число, що ХСМ(А / ХСКМ( А)) = 0, тоді верхній ХС-йЄ -гіперцентр ХС'„. (А) модуля А визначається так:

X С7хі(А)=ХСІКМ(А). .

Модуль ХСос(А) визначається наступним чином:

ХС'сю( А) -И { LІ 1-е Ов-підмодулем модуля А, що не мас жодного головного Ой-фактора А,//,,, такогощо О/СК(Ь,/Ь,)єХ }.

Якщо А = ХС^)С(А)Ф ХС'ос(А), тоді говорять, що модуль А мас X-ОС-розклад. •

Якщо X - № — клас усіх одиничних груп, і /> = X, тоді Х-ВО-розклад с 2-розкладом. Коли X = {$, тоді ДЕ-ОС-розклад с ^-розкладом.

У цьому розділі дисертаційної роботи досліджуються X ■/.)(!• розклади для дйсить широкого класу формацій як скінченних, так і нескінченних груп X і для довільних дедекіндових областей.

5.13. Теорема. Нехай 1) —- ікдекіидова оСитти Нехай X — і/юрмацін груп, така що викапано наступні три умочи:

(i) якщо К, — деяка група і /\ — така її нормальна підгрупа

скінченного індексу, що і\ ь.ї і , / і\ тоді І є.¥;

(ii) якщо Р, є.ґ, {’і —будь-яка підгрупа групи Г, скінченного індексу, тоді Ргє£';

. (ііі) .

Нехай О—І-'С-гіперцентрильна локально розв'язна група, А —артинів IX і -модуль, тоді А має Х-БО-розкіад. .

Теорема 5.13 узагальнює результат Д І. Зайцева12 і згаданий вище результат 3. Дуана м. Наступним результатом розділу 5 с .

5.19. Теорема. Нехай X — формація скінченних груп, в — скінченна ХС-ніїьпотентна група , 2) — дедекіндова область, і А — })(!-моі)у:іь. Якщо А мас скінченний Ой-композиційний ряд, тоді А мас Ж-ІЇС-розклад.

Якщо X = © — клас усіх одиничних груп, тоді теорема 5.19 — це наведена вище теорема Фітинга у одному з їїтеоретико-групових варіантів.

Теорему 5.19 вдається розширити на більш загальний клас модулів, ніж модулі скінченної композиційної довжини. Відповідний результат отримано у теоремі 5.20. Але оскільки при доведенні використовується теорема 5.13, тому на групу (7 накладаються деякі умови, такі що у випадку модуля скінченної композиційної довжини теорема 5.20 стає частинним випадком теореми 5.19.

5.20. Теорема. Нехай X— формація скінченних груп, О — ХС-гіперцентральна локально розв’язна група, О — дедекіноова область, і А —

11 Зайцев Д.И. Расщепляемые расширеніш ибеленых групп // Строение групп и

свойства их подгрупп. — Киев: ИМ АН УССР, ІУ86. — С. 22-31.

DG-модуль. Припустимо, що А мас систему DG-піАмодулія , таку

що:

(1) Л„ <✓(„,, для усіх натуральних п.

(2)Л = U А„.

п = \

(З І A„t,f А, —простіш DG-модуль для усіх натуральних п.

Тоді А мас X- DG-рткяад.

Виникає природне питання про пошук аналогів теореми 5.20 для деяких формацій класів скінченних груп і для більш загальних типів модулів ніж модулі композиційної довжини не більшої за перше нескінченне траіісфінітне число. Такий результат отримано у теоремі 5.22, яка с точним аналогом теореми 5.13 для формацій скінченних груп.

5.22. Теорема. Нехай X — формація скінченних груп, така що виконано наступні дві умови:

(i) якщо F, — деяка група і — така ¡V нормальна підгрупа, що F¡ є.¥і

F,/F:eX тоді F, є.¥, .

(ii) якщо F, є.¥. F¡ —будь-яка підгрупа групи F,. тоді F¡e£

Нехай G — локально розв'язна ХС-гіперценмральна група, D — дедекіндова область, А — артинів DG-модуль. Тоді А мас X-DG-разклад.

Користуючись нагодою, автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівнику Курдаченку Леоніду Андрійовичу за постійну увагу до роботи, цінні поради та зауваження. ■

РОБОТИ АВТОРА ЧА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Kurdadicuko L.A., Petrenko ВЛ'., and Subbolin I.Ya. On generalized hvperceniers in Artinian modulesIICommunications ¡11 .Algebra — 1997. 1\ II 4. pp. 1023-1046.

2. Петренко Б.В. К одной теореме ДМ. Зайцева II Третья международная конференция по алгебре посвященная памяти М.И. Каргаполова. Красноярск 2328 августа 1993г. Тезисы докладов. — “Инопроф", Красноярск, 1993, С. 261.

3. В. Petrenko, V. Petrenko. On direct complementation to monolithic module.

Всеукраїнська иаукова конференція “Розробка і застосування математичних методів в науково-технічній дослідженнях” присвячена 71>-річчю професора П.С. Казимірського, Львів, 5-8 жовтш 1995р. Тези доповідей. Частила 1. Львів 1995, 1995,С. 61. ’

4. Петренко Б.В. Про прямі розклади у модулях над груповими кільцями II Укр. мат. журн. т. 49, №2 (1997), С. 255-261.

5. Петренко Б.В. Про прямий розклад у модулях над груповими кільцями поа 'язаний з деяким радикалом II Класи груп з обмеженнями для підгруп. — Київ: Інститут матетатнкн НАН України. — 1997. — С. 68-73.

’ б. Петренко Б.В. Одне узагальнення теореми Фіттінга, що визначається формаціями скінченних груп И Класи груп з обмеженнями для підгруп. — Київ: Інститут натетатнки НАН України. — 1997. —-С. 74-79. ‘

К.иочоїі с.іо*«: дсдгкіпдоиа область, скінченний 0-ранг груші, ХС-гінерцентральна група, Д?С-£>(7-розкл»д модуля.

Петренко В. В., Модули над обобщенно разрешимыми группами., Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук по специальности 01.01.06 — алгебра и теория чисел. Киевский университет имени Тараса Шевченко. Киев, 1997.

В диссертации исследуются модули над обобщенно разрешимыми группами. Описаны аддитивные группы конечно-порожденных модулей над групповыми кольцами вида DG, где D — дедекиндова область, G — локально почти полициклическая группа конечного 0-ранга. Получено обобщение теоремы Ковача-Ньюмена на дедекиндовы области. Введено понятие ДГС-ЙО-разлогкения и установлено существование таких разложений для различных классов модулей; полученные результаты обобщаю! теоремы Фиттннга, Д.И. Зайцева, 3. Дуана.'

Petrenko В. Kv Modules over generalized soluble groups. Manuscript. Thesis for obtaining of the degrec'of Candidate of Sciences in Physics and Mathematics, speciality 01.01.06 — algebra and number theory. Kyiv Taras ShevchenVo University, Kyiv, 1S97.

in the thesis, we investigate modules over generalized soluble groups. We describe additive groups of finitely generated modules over group rings of 'the form DG, where D is a Dedekind domain and G is a locally almost polycyclic group which has finite torsion-free rank. We generalize the Theorem of Kovais and Newman on Dedekind domains. The JfC-DG-decomposition is introduced and the existence of such a'decomposition in different classes of modules is established; these results generalize Theorems of Fitting, D. I. Zaitsev, and. Z. Duan. . '

h.iM.U'. ifory ¿ал. 9S6- foo.