Мультиплеты (70,L) L = 1-, 0+, 2+ возбужденных барионов в релятивистской кварковой модели тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.16 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

МАЦКЕВИЧ Елена Евгеньевна

МУЛЬТИПЛЕТЫ (70, Ь) Ь = 1-,0+,2+ ВОЗБУЖДЕННЫХ БАРИОНОВ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАРКОВОЙ МОДЕЛИ

специальность 01.04 16 - физика атомного ядра и элементарных частиц

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2008

ООЗ 17-1698

003171698

Работа выполнена на кафедре физики высоких энергий и элементарных частиц Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор доктор физико-математических наук, профессор

ГЕРАСЮТА Сергей Михайлович

КУПЕРИН Юрий Александрович САФРОНОВ Аркадий Николаевич

Ведущая организация: Петербургское отделение математического института Российской Академии наук им В А Стеклова

Защита состоится " 49*

ЬыХ^-ъ^х_2008 года в

часов, на заседании Совета Д 212 232 16 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб , 7/9, 302 ауд циклотронной лаборатории

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. М Горького Санкт-Петербургского государственного университета

Автореферат разослан " уОуд-Л._200 8 года

Ученый секретарь совета

А. К Власников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование спектра сильно-взаимодействующих частиц в рамках квантовой хромоди-намики интенсивно проводилось в течение последних лет Вследствие неприменимости теории возмущений в КХД при низких энергиях, характерных для барионной спектроскопии, были развиты различные непертурбативные методы, позволяющие описывать физику сильных взаимодействий при низких энергиях Бутстрапная кварко-вая модель, применяемая в представленной диссертации, позволила рассчитать спектр масс, электрические фор-мфакторы и зарядовые радиусы легких ¿"-волновых ба-рионов и спектр масс очарованнных 5-волновых барио-нов. Важной задачей является применение этого метода к исследованию барионных резонансов, возбужденных по орбитальному моменту

В диссертации в рамках дисперсионного подхода построено релятивистское обобщение уравнений Фаддеева для возбужденных по орбитальному моменту барионов, принадлежащим мультиплетам отрицательной и положительной р-четности, обладающих смешанной симметрией, легким мультиплетам (70,(70, Ь+) (Ь = 0,2) и муль-типлету очарованных барионов (70,1~) Описание физики трехкварковых систем с помощью парного взаимодействия между частицами с учетом условий унитарности по парным энергиям и аналитичности, приводит к системе интегральных уравнений по одной переменной. Полученные интегральные релятивистские трехкварковые уравнения решаются приближенно с использованием метода выделения главных сингулярностей амплитуд рассеяния. Рассчитывается спектр масс барионных муль-

типлетов, который хорошо совпадает с экспериментальными данными

Использование дисперсионных интегралов по массам составных частиц позволяет исследовать поведение электрических формфакторов ¿-волновых очарованных бари-онов мультиплета Jp = при малых и промежуточных переданных импульсах < 1 ГэВ2 и рассчитать их зарядовые радиусы

В работе показывается возможность аналитического продолжения амплитуды взаимодействия трех кварков за порог рождения трех частиц на примере ¿'-волновых ба-рионов Вычисляются ширины барионных резонансов.

Цель работы. Основной целью представленной диссертации является исследование спектра масс барионных резонансов, возбужденных по орбитальному моменту, муль-типлетов (70,1~), (70, Ь+) (Ь — 0,2) а также мультиплета очарованных барионов (70,1~) В работе получены форм-факторы и зарядовые радиусы очарованных ¿'-волновых барионов мультиплета — На примере 5-волновых барионов показана возможность аналитического продолжения амплитуды взаимодействия трех кварков за порог рождения трех частиц и вычислены ширины барионных резонансов

Научная новизна работы. В диссертации получены

следующие новые результаты

1 Построены интегральные уравнения для трехча-стичных амплитуд мультиплета (70,Р-волновых барионов в форме дисперсионных соотношений по парной энергии двух взаимодействующих частиц

Получены системы приближенных уравнений для мультиплета (70,I-)

2 Рассчитан спектр масс частиц мультиплета (70,1-).

Предложенный метод применяется к случаю мульти-плета очарованных Р-волновых барионов (70,1~) Полученные приближенные уравнения решаются и вычисляется спектр масс частиц очарованного мультиплета (70,1").

3 Исследованы мультиплеты дважды возбужденных по орбитальному моменту барионов (70, Ь+) (Ь — 0,2) В рассмотренной модели выведены интегральные уравнения для трехчастичных амплитуд, получены и решены системы приближенных уравнений и рассчитан спектр масс частиц мультиплетов (70, Ь+) (Ь = 0, 2)

4 Исследовано поведение электрических формфакто-

ров 5-волновых очарованных барионов мультиплета Зр =

1 +

- при малых и промежуточных переданных импульсах

< 1 ГэВ2 и рассчитаны зарядовые радиусы заряженных частиц мультиплета

5 Получено аналитическое продолжение амплитуды взаимодействия трех кварков за порог рождения трех частиц на примере ¿'-волновых барионов Вычислены ширины барионных резонансов

Научная и практическая ценность работы. Результаты диссертации, основанные на релятивистском описании барионных резонансов с помощью бутстрапной процедуры, объясняют имеющиеся экспериментальные данные и дают новые предсказания для характеристик силь-новзаимодействующих частиц Полученные в диссертации результаты могут найти применение в институтах, проводящими исследования в области низкоэнергетической физики элементарных частиц.

Апробация работы. Полученные в диссертации результаты докладывались на научных семинарах кафедры физики высоких энергий и элементарных частиц СПбГУ,

кафедры теоретической физики и астрономии РГПУ, ПОМИ РАН, МГУ

Личный вклад автора в получение результатов.

Диссертация написана по материалам исследований, выполненных на кафедре физики высоких энергий и элементарных частиц физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета. Полученные результаты отражены в 5 публикациях Постановка задач в работах принадлежит научному руководителю С.М Герасюте. Результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 научных работах

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, содержащих 6 приложений, заключения и списка литературы. Объем диссертации - 152 страницы, включая 7 рисунков и 25 таблиц Список литературы содержит 120 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении содержится краткий обзор литературы, посвященной исследованию развития физики сильных взаимодействий Приведены различные методы изучения спектроскопии адронов а также изложены основы применяемого в диссертации подхода к описанию спектра масс возбужденных барионов, к получению электрических форм-факторов. Изложены цель диссертации, ее структура и полученные результаты

Глава 1 посвящена исследованию барионных резонан-сов, возбужденных по орбитальному моменту (70,1_).

В разделе 1.1 дано описание и структура мультиплета возбужденных барионов (70,1~) Раздел 1.2 посвящен описанию построения волновых функций возбужденных барионных резонансов на примере декуплета (10,2) В разделе 1.3 строятся проекторы на различные дикварко-вые состояния, которые используются в следующем разделе для получения интегральных уравнений.

В разделе 1 4 приведен вывод релятивистских трехча-стичных интегральных уравнений для мультиплета возбужденных барионов (70,1~) Подробно рассмотрен случай Е+-гиперона из декуплета (10,2)

Для получения уравнений используется диаграммная техника, в которой каждой амплитуде взаимодействия соответствует определенная диаграмма Трехкварковая амплитуда взаимодействий строится с учетом парных взаимодействий кварков. Для этого используются результаты бутстрапной кварковой модели.

Чтобы представить амплитуду AJ(s, вгк) в форме дисперсионных соотношений, необходимо определить амплитуды кварк-кваркового взаимодействия аДя^). Амплитуда парного взаимодействия qq —> qq вычисляется в рамках дисперсионного N/0 метода с четырехфермионным взаимодействием и квантовыми числами глюона Используя результаты релятивистской кварковой модели, амплитуда парного взаимодействия записывается в виде.

Здесь GJ - вершинная функция дикварка, BJ(s1|í), pJ{sгk)

(2)

(1)

- функция Чью-Мандельстама и фазовый объем соответственно, - квадрат двухчастичной энергии (1,к=1,2,3), 5 - квадрат полной энергии системы ЛДг, к) - обрезание по парной энергии

Интегральные уравнения для частиц получаются с использованием диаграмной техники. Так, например, для £ = §- из мультиплета (10, 2) система интегральных уравнений имеет следующий вид

' = АМ512)Х1+(*12) + К1+М

ЦЛ}?(8, 313) + IА°3(з, 323) + ва)]

-\АЧ5(з, з12) + |312) + 523)--1АГ(з,з23) + 1А18(з,з23)}

А1*(з, з2г) = А (в23)^1- (в2з) + #х- Ы *ц2)+

+ 5а2) + |А^(з, 512) + 513) +

+

Здесь функция LJ(slk) имеет вид а интегральный оператор KJ{sгk)^

= 1 (5)

(т1+ть)'! -1

Функция bJ(sгk) - это усеченная функция Чью-Мандельстама

6,Ы = 7 (6)

(пч+тпкУ

г - косинус угла между относительным импульсом частиц г и к в промежуточном состоянии и импульсом третьей частицы в конечном состоянии в с ц м. частиц г и к. А соответствует вершине рождения трех кварков.

Раздел 1 5 посвящен получению приближенных уравнений для приведенных амплитуд

Выделим из амплитуды АJ(s. згк) особенности диквар-ковой амплитуды

=-ГГд^)-' (7)

здесь «./(й, ¿^-приведенная амплитуда Тогда все интегральные уравнения можно будет переписать через приведенные амплитуды Например, первое из уравнений для £ <7Р = §~ из мультиплета (10,2).

Л1+(1,2)

а^.зп) = А + ——г /--;-х

Ьгфи), 7Г 512-512

(гщ+тг)'*

^Х+КзЖ+Очз) 1 оз

1-^(5'13) 2

1-5^3) 2

Функция аДз, з,^) является гладкой функцией згк по сравнению с сингулярной частью амплитуды Полюсы приведенных амплитуд аг, г = 1,2,3,. соответствуют связанным состояниям и определяют массы возбужденных барионов

+

гЧ.

2 1 Рис 1 Графическая форма уравнения для полной амплитуды с учетом перерассеяния.

Построение приближенного решения системы уравнений основано на выделении главных сингулярностей амплитуды рассеяния Наиболее сильные сингулярности

(корневая, соответствующая порогам, и полюсные, отвечающие связанным состояниям) возникают от парных перерассеяний кварков Кроме двухчастичных сингуляр-ностей в диаграммах содержатся также специфические треугольные сингулярности (Рис.1) Более слабыми син-гулярностями мы пренебрегаем. Мы пользуемся приближением, в котором учитывается сингулярность, соответствующая однократному взаимодействию всех трех частиц - треугольная сингулярность

Тогда система уравнений для Е </? = § из мульти-плета (10,2) приобретает вид

а?(5,50) = А + | а?3(5,50) 11+1+{з,з0) ^^ 1+

+| а^&зо) /1+г-Мо) <(в, в0) = А + а°(в, в0) /1г1+(в, во) а?5(г, во) Л+1+(5>5о)

о 1С/ \ Г- / N С^о)

а^во) /ф-^во) ¿-^у «¿'(в, во) = А + а?(в, в0) *о) ^

^+(50)

Ц о) /^г+(в,в0)

+ | а^во) /1-1-(8,в0) •

Здесь в систему уравнений входят приведенные амплитуды для трех дикварков. 1+, 1+, 17.

Функция 1,]1]2 (б, 50) корректным образом учитывает сингулярности, соответствующие обращению в нуль всех пропагаторов треугольных диаграмм Решая систему уравнений и приравнивая детерминант нулю, определяем положение полюса по в, соответствующего связанному состоянию трех кварков

В разделе 1 6 приведены результаты расчета спектра масс мультиплета (70,1-). Вводится параметр сдвига масс кварков таэфф = та + Д, а = и, (I, в, который позволяет эффективно учесть вклад явления конфайнмента и получить связанные состояния мультиплета (70,1~) В нашей модели используются четыре параметра глюон-ные константы связи д+, д_ - для дикварков с положительной и отрицательной четностью соответственно, параметры обрезания по парной энергии кварков А, Л5 -для нестранных и странных дикварков. В мультиплет (70,1-) входит 210 частиц, из них 30 частиц имеют различные массы Полученные результаты для 15 барионов хорошо согласуются с экспериментом В работе предсказываются значения 15 новых масс мультиплета (70,1-)

Раздел 2 7 посвящен обобщению модели на случай тяжелых кварков Процедура применяется к барионам, содержащим легкие и, й кварки и тяжелый окварк. Рассчитывается спектр масс очарованных Р-волновых барионов Полученные результаты находятся в хорошем согласии с экспериментальными данными. В модели используются четыре параметра две константы глюонного взаимодействия дс и ди для тяжелых и легких дикварков, и два параметра обрезания Ас, Хи для очарованных и нестранных дикварков Всего мультиплет (70,1-) содер-

жит 23 очарованных бариона с разными массами. Из них 6 известных резонансов находятся в хорошем согласии с экспериментальными данными, предсказываются массы еше 17 очарованных барионов

Глава 2 посвящена изучению мультиплетов дважды возбужденных по орбитальному моменту барионных резонансов положительной четности (70, 0+) и (70,2+)

В разделе 2.1 строятся орбитально-спин-флейверные волновые функции для частиц мультиплетов (70,0+) и (70,2+) В разделе 2 2, выводятся релятивистские трех-кварковые уравнения в форме дисперсионных соотношений по парной энергии Затем (раздел 2 3) получаются уравнения для приведенных амплитуд В разделе 2 4 рассчитывается спектр масс мультиплетов (70,0+) и (70,2+) и обсуждаются полученные результаты, которые находятся в хорошем согласии с экспериментальными данными. Как и в предыдущем разделе вводится параметр сдвига масс кварков, позволяющий эффективно учесть явление конфайнмента

В модели используются четыре параметра глюонные константы связи д£ = д~ - для й и р-волновых диквар-ков, д£ - для (¿-волновых дикварков, А, А^ - параметры обрезания по парной энергии кварков для нестранных и странных дикварков

Всего в мультиплетах (70,2+) и (70,0+) содержится 414 частиц, из них 47 частиц имеют различные массы Массы 12 известных резонансов находятся в хорошем согласии с экспериментальными данными В работе предсказываются значения 35 новых масс мультиплетов (70,2+) и (70,0+).

В Главе 3 исследуется поведение электрических фор-мфакторов очарованных ¿"-волновых барионов октета =

при малых и промежуточных переданных импульсах <32 < 1 ГэВ2. Формфакторы барионов вычисляются в технике дисперсионного интегрирования в системе бесконечного импульса.

В этой главе рассчитываются зарядовые радиусы 5-волновых очарованных барионов мультиплета Зр — Зарядовые радиусы нейтральных частиц оказались равными нулю в рассмотренной схеме вычислений.

В Главе 4 показывается возможность аналитического продолжения амплитуды взаимодействия трех кварков за порог рождения трех частиц на примере 5-волновых барионов Вычисляются ширины барионных резонансов

В Заключении проводится обсуждение и качественный анализ полученных в диссертации результатов

В приложении А приводятся волновые функции для всех Р-волновых барионов мультиплета (70,1-) В приложении Б приведены интегральные трехчастичные уравнения для всех частиц мультиплета. Приложение В содержит приведенные уравнения для всех Р-волновых барионов мультиплета (70,

В приложении Г приведены волновые функции дважды возбужденных по орбитальному моменту барионных резонансов положительной четности (70, Ь+) Приложение Д содержит приведенные уравнения для этих резонансов

В приложении Е приведены вершинные функции, определяющие 3-кратный и 6-кратный интегралы для очарованных барионов мультиплета Лр =

Табл. 1 Массы частиц мультиплета (70,2+).

ч-ца мульт-т M, ГэВ M (эксп ), ГэВ Назв., стат

Д (Ю, 2) F35 1964 1976 ± 237 F35(2000)"

СО üi 2108 - -

N (8,2) Fis 1973 - -

Pu 2049 - -

Fu 2086 2016 ± 104 Fi7(1990)**

(8,4) F1S 1981 1981 ± 200 Fis (2000)**

Pu 2028 - -

Pi i 1703 1986 ± 26 Fn(2100)*

Е (10,2) F« 2075 - -

Pi 3 2237 - -

(8,2) F15 2084 - -

PIS 2171 - -

(8,4) Fu 2113 - -

Fib 2083 - -

Pis 2149 - -

Pu 1786 - -

S (10,2) F15 2193 - -

Pis 2367 - -

(8,2 )F15 2203 - -

Pl3 2296 - -

(8,4) Fit 2341 - -

Fl5 2200 - -

Pi 3 2271 - -

Pli 1876 - -

А (8,2) F05 2169 - -

Роз 2082 - -

(8, 4) F0r 2213 2094 ± 78 F07(2020)*

Fob 2084 2112 ±40 -£о5(21Ю)***

Д)3 2146 - -

Pol 1786 - -

.(1,2) Р05 2097 - -

Роз 2094 - -

Q (10,2) Fqs 2311 - -

Роз 2498 - -

Табл 2 Масса частиц мультиплета (70,0+)

ч-ца мульт-т М, ГэВ М (эксп.), ГэВ Назв., стат

Д (10,2) Рзг 1803 1744 ± 36 Рз i(1750)*

N (8,2) Рп 1710 1710 ±30 Рп(1710)***

(8,4) Р13 1879 1879 ± 17 Р13(1900)**

Е (10,2) Рп 1896 1896 ± 95 Рц(1880)**

(8,2) РП 1826 1760 ± 27 Рц(1770)*

(8,4) Р13 1962 - -

(Ю,2) Рп 2000 - -

(8,2) РП 1923 - -

(8,4) Р13 2070 - -

Л (8,2) Р01 1878 - -

(8,4) Р03 1964 - -

(1,2) Р01 1753 1791 ± 64 P0i(1810)***

(Ю,2) Р01 2105 - -

Параметры модели константа глюонного взаимодействия gf = д~ — 0.6, д^ = 0.5, параметр обрезания по парной энергии А = 13 0, Xss — 11 1

Табл 3 Массы частиц очарованного мультиплета (70,1 ")

частица мультиплет М, ГэВ М (эксп ), ГэВ

£с (10,2) Аз 2 570 -

5ц 2 915 -

(8,4) А5 2.740 2 800

Аз 2.570 -

5ц 2.915 -

(8,2) Аз 2.575 -

5ц 2 700 -

лс (8,4) £>05 2 765 2 765

Аз 2 625 2 625

¿>01 2.880 2.880

(8,2) Аз 2.630 -

¿>01 2.635 2 595

(1,2) Аз 2 630 -

5о1 2 400 -

-сс (Ю,2) Аз 3 140 -

5ц 3 850 -

(8,4) А5 3 519 3 519

Аз 3.140 -

5п 3 850 -

(8,2) Аз 3 240 -

3 410 -

-^ссс (10,2) Аз 3 470 -

¿>01 4.585 -

Параметры модели константы глюонного взаимодехктвия дс = 0 85, ди = 0 58, параметры обрезания Ас = 9.2, А„ = 10.4

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] СМ Герасюта, Е.Е Мацкевич, Массы и ширины декуплета ¿"-волновых барионов в релятивистской кварковой модели, Вестн. С.-Петерб. Ун-та. Сер. 4 Физика, химия Вып. 4. 83 (2006)

[2] С М. Герасюта, Е.Е Мацкевич, Релятивистские трехчастичные кварковые уравнения и спектр масс барионов мультиплета (70,1~), Ядерная физика 70 1995 (2007)

[3] S M. Gerasyuta, Е.Е Matskemch, (70, L+) baryons ш a relativistic quark model, Phys Rev. D76 116004 (2007)

[4] S M. Gerasyuta, Е.Е Matskevich, Charmed (70,1") baryon multiplet, IJMP E17 585 (2008).

[5] С M. Герасюта, Е.Е Мацкевич, Формфакторы очарованных барионов с Jp = Вестн. С -Петерб Унта Сер 4 Физика, химия. Вып 2. 108 (2008)

Подписано в печать 16 05 2008 Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная Печать офсетная Усл. печ. л 1,0. Тираж 100 экз Заказ № 839

Отпечатано в ООО «Издательство "JIEMA"»

199004, Россия, Санкт-Петербург, В О , Средний пр , д 24, тел /факс: 323-67-74 e-mail izd_lema@mail.ru

Введение

1. Релятивистские трехчастичные кварковые уравнения и спектр масс мультиплета барионов (70,1")

Введение

1.1 Мультиплет (70,1-)

1.2 Построение волновых функций

1.3 Проекторы

1.4 Интегральные уравнения для трехчастичных амплитуд

1.5 Уравнения для приведенных амплитуд

1.6 Результаты вычислений 39 1.7. Мультиплет (70,1~) очарованных барионов

2. Мультиплеты (70, L+) L = 1~,0+,2+ возбужденных барионов в релятивистской модели

Введение

2.1. Волновые функции для частиц мультиплетов

70,0+) и (70,2+)

2.2. Трехкварковые интегральные уравнения для мультиплетов (70,0+) и (70,2+)

2.3. Приведенные уравнения для мультиплетов

70,0+) и (70,2+)

2.4. Результаты вычислений

3. Электромагнитные формфакторы S-волновых очарованных барионов мультиплета Jp = |+

4. Массы и ширины декуплета б'-волновых барионов в релятивистской кварковой модели

Адронная спектроскопия всегда играла важную роль в понимании механизмов, лежащих в основе динамики сильных взаимодействий. В 1964 г. Гелл-Манн и независимо Дж. Цвейг выдвинули гипотезу о том, что все адроны состоят из субчастиц - кварков [1], обладающих дробными зарядами, для объяснения существования групп частиц с близкими свойствами. Для построения всех известных тогда частиц достаточно было только трех типов кварков. Различные типы кварков обладают разными массами и квантовыми числами. Кроме того, кварк обладает специфической характеристикой, отсутствующей у адрона -цветом, который может принимать три значения.

В 1969 г. Фейнман для объяснения различия в характере поведения сечений высокоэнергетических упругого рассеяния и глубоко неупругого рассеяния электрона на протоне на большие углы предложил модель партонов. Упругий процесс происходит так, как будто бы протон является протяженным объектом, а глубоко неупругий - как если протон был точечным. Фейнман объяснил такое различие в поведении, предположив, что протон состоит из точечных частиц - пар-тонов, которые проявляются во взаимодействиях лишь при больших переданных импульсах (т.е. на малых расстояниях), в так называемых жестких процессах. В дальнейшем развитии партонной модели партоны стали пониматься как кварки и глюоны, взаимодействие которых описывается квантовой хромодинамикой. В квантовой теории поля из-за эффекта поляризации вакуума каждый кварк окружен облаком глюонов и кварк-антикварковых пар (так называемый составляющий кварк). В результате в любом адроне наряду с кварками, составляющими основу его структуры и определяющими его квантовые числа (так называемыми валентными кварками), содержится примесь глюо-нов и "море" кварк-антикварковых пар (морские кварки).

В начале 70-ых годов в результате синтеза представлений о цвете кварков, партонной модели, объясняющей глубоко неупругое рассеяние, и неабелевых калибровочных полей, возникает квантовая хромо-динамика. Она построена на основе принципа локальной калибровочной инвариантности относительно преобразований в трехцветном комплексном пространстве внутренней симметрии. КХД составляет основу описания сильных взаимодействий между адронами и отвечает за силы, связывающие кварки в адроны.

На расстояниях порядка радиуса адрона кварки должны достаточно сильно взаимодействовать, чтобы образовывать прочные адронные системы. На расстояниях меньших радиуса адрона эффективная константа взаимодействия должна ослабевать (явление асимптотической свободы), И наоборот, возрастание константы взаимодействия с расстоянием давало надежду на объяснение явления невылетания кварков (конфайнмента), проявляющегося в ненаблюдаемости свободных кварков.

Квантовая хромодинамика хорошо описывает процессы с большими переданными импульсами (так называемые жесткие процессы). Явление асимптотической свободы позволяет проводить расчеты таких процессов методами теории возмущений разлагая в ряд по константе взаимодействия. Более сложная задача - описание процессов при малых переданных импульсах (мягких процессов). В этом случае вследствие немалости константы взаимодействия разложение по ней в ряды теории возмущений не применимо. Кроме того, остается неразрешенной проблема удержания цвета.

Во второй половине 70-ых годов в КХД начали развиваться так называемые непертурбативные методы вычисления, не связанные с разложением по константе взаимодействия. К ним относятся правила сумм КХД [2-7], нерелятивистская потенциальная модель [8 - 34], в том числе потенциальные модели, позволяющие рассчитать спектр масс очарованных барионов [16 - 25], метод инстантонов [35 - 38], бозони-зация КХД [39 - 42], решеточные вычисления [43 - 47], модель трубок [48, 49], модели "мешков" [50 - 56], приближение больших Nc [57 - 59] и др.

Метод правил сумм КХД наиболее тесно связан с принципами квантовой хромодинамики. Этот метод основан на принципе дуальности, который утверждает существование двух приближенных дополнительных способов описания двухчастичной амплитуды рассеяния- - либо в виде суммы полюсов, соответствующих резонансам в прямом канале, либо в виде суммы членов, соответствующих обмену полюсами Редже в кроссинг-канале (полюса в комплексной плоскости углового момента, получающиеся из двухчастичного условия унитарности, положение которых зависит от квадрата переданного 4-импульса.) Реджевское поведение характерно для амплитуд при высоких энергиях, а резонансы определяют свойства амплитуд при низких энергиях. Правила сумм, основанные на принципе аналитичности и использующие дисперсионные соотношения, связывают низкоэнергетическую область изменения амплитуды с ее асимптотическим поведением в области больших энергий.

В нерелятивистской потенциальной модели потенциал взаимодействия, связывающий кварки в адроне, должен, во-первых, согласно КХД содержать член, соответствующий одноглюонному обмену. Этот член будет доминировать при небольших расстояниях и имеет куло-новский вид. Также этот член должен учитывать асимптотическую свободу - т.е. ослабление взаимодействия на малых расстояниях. С другой стороны, при увеличении расстояния, взаимодействие между кварками должно усиливаться, чтобы обеспечить явление невылетания (конфайнмента) кварков. Для этой цели в потенциал вводят линейный член, доминирующий на больших расстояниях и обеспечивающий наблюдаемый конфайнмент кварков. Нерелятивистская потенциальная модель зависит от выбора конкретного вида потенциала. Различные модели должны содержать эти два вида слагаемых, различаются они характером интерполяции между двумя этими режимами.

В потенциальных моделях для барионов, находящихся в основном состоянии (модели DGG [8]), массовая формула получается с учетом Ферми-Брейтовского взаимодействия между цветными кварками для одноглюонного обмена. Для основного состояния потенциал должен содержать контактный член Ферми, учитывающий спин-спиновое взаимодействие и обеспечивающий сверхтонкое расщепление.

В случае возбужденных барионных состояний в нерелятивистских потенциальных моделях Карла-Изгура [19, 26 - 34] потенциал содержит контактный и тензорный члены, обеспечивающие сверхтонкое расщепление, а также члены, отвечающие спин-орбитальному взаимодействию и приводящие к тонкому расщеплению.

Вычисления методом теории возмущений справедливы справедливы только на малых расстояниях (при больших переданных импульсах) где константа связи мала. При больших же расстояниях возникают различные непертурбативные эффекты, связанные с нетривиальной структурой вакуума КХД - флуктуации глюонного вакуума, которые учитываются феноменологическим способом с помощью кваркового и глюонного конденсата.

Инстантоны представляют собой класс непертурбативных вакуумных флуктуаций глюонного поля и проще всего описываются не в пространстве Минковского, а в пространстве Евклида (т.е. меняя t it). При этом вакуумные средние не меняются. В простанстве Минковского инстантоны являются траекториями, соответствующими туннельным переходам между двумя состояниями вакуума с различной топологической структурой. Открытые в 1975 году инстантоны являются решениями классических уравнений Янга-Милса. Метод инстантонов основан на разложении уравнений КХД в малой окрестности классических частицеподобных решений и представляющий собой аналог квазиклассического приближения в квантовой механике.

В так называемой бозонизации КХД рассматривается низкоэнергетический предел КХД. В таких подходах получаются феноменологические киральные лагранжианы, описывающие низкоэнергетическую адронную физику. Производящий функционал сложной теории (КХД) заменяется функционалом другой, более простой теории, который воспроизводит низкоэнергетические свойства сложной, так что разложения в ряд по степеням импульса функций Грина совпадают в обеих теориях. Адронные поля появляются как фазы киральных преобразований, а константы, возникающие перед соответствующими членами нелинейного кирального лагранжиана, связываются с хромодинамиче-скими величинами. Адроны описываются локальными полями, и их внутренняя кварковая структура не проявляется.

Широко применяются численные методы, основанные на замене непрерывного пространства-времени на дискретную решетку, функциональных интегралов (представляющих собой наблюдаемые физические величины) - на многократные интегралы и вычисление последних численно с помощью метода Монте-Карло. Значения скалярных и спи-норных полей в узлах решетки и значения векторных полей на ребрах являются динамическими переменными задачи. Во всех практических приложениях рассматриваются решетки конечного размера и теория поля на решетке превращается в теорию с конечным числом степеней свободы, определяющимся числом узлов. Шаг решетки должен быть значительно меньше характерного масштаба изменения полей. Решеточная формулировка КХД была предложена в 1974 году К.Г. Вильсоном в связи с проблемой конфайнмента кварков.

Модель трубок также использует решеточные вычисления. В этой модели узлам решетки ставятся в соответствие спинорные кварковые поля, а ее ребрам - калибровочные глюонные поля. Таким образом, глюонные поля образуют связывающие кварки контуры. При размерах контура, сравнимых с размером адрона, межкварковый потенциал линейно растет с растоянием и препятствует вылетанию кварков из адрона. Таким образом, цветное глюонное поле между кварками образует трубку или струну.

Еще одной феноменологической моделью адронов является модель мешков, согласно которой адрон представляется сферической полостью некоторого радиуса, в которой заключены кварки. Предполагается, что кварки могут свободно двигаться внутри полости а их невылетание обеспечивается соответствующими граничными условиями. Стабильность мешка следует из положительности плотности энергии внешнего вакуума (вакуума КХД, содержащего конденсат глюонных и кварковых полей), что не позволяет мешку расширяться, и из внутреннего давления свободно движущихся кварков и глюонов, не позволяющего мешку схлопнуться из-за внешнего давления вакуума. Модель мешков позволяет рассчитывать статические характеристики адронов - магнитные моменты, массы. Однако эта модель не является самосогласованной, в ней из-за жесткой формы мешка нарушается принцип причинности.

При низких энергиях, характерных для барионной спектроскопии, КХД не может использовать теорию возмущений для разложения в ряд по константе сильного взаимодействия т.к. при низких энергиях она становится достаточно большой. В 1974 году т'Хофт [57] предложил обобщить рассмотрение КХД с группы SU(3) до группы SU(NC), где Nc - произвольное число цветов, и предложил разложение КХД по малому параметру 1 /Nc, справедливое для любых переданных импульсах. Виттен [58] впоследствии развил этот подход в применении к барионам и в результате возник метод 1/NC разложения, позволяющий изучать различные свойства барионов, в частности вычислять их массы.

Успех метода основан на том факте, что в пределе Nc —> оо КХД обладает точной SU(2Nf) симметрией [60, 61], где Nf - число флейво-ров. Барионы в этом случае вырождены по массе. При конечных Nc эта симметрия является приближенной, поправки будут порядка 1/NC. Метод 1/NC был успешно применен для изучения основных барионных состояний [62 - 68], принадлежащих представлению 56 группы SU(6).

В случае симметричных возбужденных состояний, т.е. принадлежащих симметричному представлению 56 группы SU(6), ситуация аналогична. В случае же смешанных состояний, т.е. принадлежащих смешанному представлению 70 группы SU(6) все усложняется. В первых работах, посвященных изучению смешанных возбужденных барионных состояний в пределе больших Nc, барион представлялся состоящим из симметричного ядра, составленного из iVc — 1 кварков, находящихся в основном состоянии, и одного возбужденного кварка. Преимущества такого подхода заключались в том, что невозбужденное ядро можно было рассматривать аналогично бариону, находящемуся в основном состоянии. Однако при таком подходе нарушение SU(2Nf) симметрии было порядка 0(N®) вместо 0(1/NC) как это происходит для основных барионных состояний [69]. Рассмотрение свойств возбужденных бари-онов позволило определить, что эти состояния являются резонансами с ширинами порядка N® [70].

Во всех этих работах SU(2Nf) генераторы расщеплялись на две группы: одна действовала на симметричное ядро, другая - на возбужденный кварк. Число инвариантных операторов, необходимых для описания наблюдаемых величин, получалось слишком большое и рас-' щепление получалось порядка 0(N®). Тем не менее, было множество работ, посвященных изучению возбужденных барионов, принадлежащих различным представлениям группы SU(6). Так в работах [69, 71 - 79] исследовался мультиплет (70,1~) (число возбуждений N = 1) с числом флейворов Nf — 2, в работе [80] - с Nf = 3. Уровень N = 2 включает мультиплеты (56', 0+), (56,2+), (70, L+) (L = 0, 2) и (20,1+). Частиц, принадлежащих последнему мультиплету экспериментально не обнаружено. Мультиплет (56', 0+) для Nf = 2 был изучен в работе [81], мультиплет (56,2+) при Nf = 3 в работе [82], (70, L+) для Nf = 2 в [83], потом для Nf — 3 в [84].

Новым подходом к изучению возбужденных барионов мультиплета (70,1") явилась работа [85], в которой не использовалось разделение Р-волновых состояний на симметричное ядро и возбужденный кварк, а была построена полная орбитальная-спиновая-флейверная функция возбужденных барионов. Возбужденные барионы рассматривались как связанные состояния.

Представление трехчастичных уравнений Фаддеева в рамках дисперсионной техники и способ учета главных сингулярностей амплитуды рассеяния для вычисления спектра масс барионов впервые появились при изучении взаимодействия трех нерелятивистских частиц [86].

В работах [87 - 91] был развит метод, удобный для анализа релятивистских трехадронных систем. Физику трехадронных систем можно описывать при помощи парного взаимодействия между частицами. Возникают три изобарных канала, каждый из которых состоит из двухчастичной изобары и третьей частицы. Наличие изобарного представления вместе с условием унитарности по парным энергиям и аналитичности приводит к системе интегральных уравнений по одной переменной. Их решение дает возможность описать взаимодействие рождающихся частиц в трехадронных системах.

В работе [92] была использована запись уравнения Фаддеева в форме дисперсионного соотношения по парной энергии двух взаимодействующих частиц. Это оказалось удобным для получения приближенного решения уравнений Фаддеева методом, основанным на выделении главных сингулярностей амплитуды [86].

Для решения релятивистских уравнений Фаддеева необходимо задать амплитуду парного взаимодействия кварков. Для этого использовались результаты бутстрапной кварковой модели [93, 94], в которой были получены низкоэнергетические парные амплитуды рассеяния кварков при помощи итерационной бутстрапной процедуры. В приближении низкоэнергетического iV TV-взаимодействия удалось сравнительно неплохо описать формфактор трития (гелия-3) при малых q2 [92]. При помощи метода выделения главных сингулярностей амплитуды вычислен спектр масс З-волновых барионов низших мульти-плетов Jp = |+, состоящих из легких кварков (u,d,s), получены электрические формфакторы нуклонов и гиперонов при малых и промежуточных Q2 [95, 96, 97].

Дисперсионные соотношения [98, 99] для амплитуды упругого рассеяния вперед, связывают, в силу оптической теоремы, непосредственно наблюдаемые величины - действительную часть амплитуды и полное сечение рассеяния. Это интегральные соотношения типа интеграла Коши для амплитуды взаимодействия. Дисперсионные соотношения являются следствием фундаментального принципа квантовой теории поля - принципа причинности.

Если задать все полюса амплитуды, соответствующие связанным . состояниям и резонансам, и их константы связи, то, используя принципы аналитичности и унитарности с помощью дисперсионных соотношений можно найти все остальные сингулярности амплитуды. При этом возникает вопрос, есть ли какие-либо ограничения на возникающее число частиц? Подход, в котором все сильновзаимодействую-щие частицы генерируют друг друга таким способом, называется гипотезой "бутстрапа" ("зашнуровки") [98, 99]. Согласно этой гипотезе единственным набором частиц (полюсов), согласующимся с принципами унитарности и аналитичности, является реально существующий набор сильновзаимодействующих частиц, обнаруженных в природе.

В работах [93, 94, 100] была предложена общая схема итерационной бутстрапной процедуры, использующая представление парциальной амплитуды в виде N/D-отношения (дисперсионный N/D-метод). N/D-метод используется для линеаризации интегральных уравнений - соотношений унитарности. Амплитуда представляется как N/D, где функция N имеет только левый разрез, соответствующий левому разрезу амплитуды, а функция D - только правый, соответствующий правому разрезу амплитуды. В тех же работах было установлено, что эта итерационная процедура весьма быстро сходится. Так, например, при построении модели ^-волновых барионов хорошие результаты дало уже использование амплитуды первого приближения [95, 96].

Адроны характеризуются определенными размерами, которые влияют на их взаимодействие с другими частицами и полями. Информацию о внутренней структуре адронов можно получить рассмотрев взаимодействие электромагнитного тока свободных фермионов с электромагнитным полем. Измеряемые при этом электрические формфак-торы интерпретируются как функции, описывающие распределение электрического заряда внутри адрона.

Формфакторы составных частиц были рассмотрены в лестничном приближении для уравнения Бете-Солпитера [101], с учетом конформной инвариантности [102]; ряд результатов был получен в рамках трех-адронных формализмов [103]. Удобным способом описания релятивистских эффектов в составных системах служит использование дисперсионных интегралов по массам составных частиц [104]. Техника дисперсионного интегрирования является, с одной стороны, релятивистски-инвариантной и не связана с рассмотрением какой-либо выделенной системы координат. С другой стороны, здесь нет проблемы возникновения дополнительных состояний, так как в дисперсионных соотношениях вклады промежуточных состояний контролируются. Дисперсионная техника дает возможность определять формфакторы составных частиц [104].

Трехкварковые амплитуды, полученные в работах [95, 96], использовались для вычисления электрических формфакторов нуклонов при малых и промежуточных переданных импульсах [105]. В работах [95, 97, 104] также были вычислены формфакторы барионов в технике дисперсионного интегрирования.

Цель диссертации

Основной целью представленной диссертации является исследование спектра масс барионных резонансов, возбужденных по орбитальному моменту: мультиплетов (70,1~), (70, L+) (L = 0, 2) а также мультиплета очарованных барионов (70,1~) (L = 1). В работе получены формфакторы и зарядовые радиусы очарованных 5-волновых барионов 1 мультиплета Jp — ^ . Кроме того, на примере 5-волновых барионов показана возможность аналитического продолжения амплитуды взаимодействия трех кварков за порог рождения трех частиц и вычислены ширины барионных резонансов.

Содержание диссертации

Во Введении содержится краткий обзор литературы, посвященной исследованию развития физики сильных взаимодействий. Приведены различные методы изучения спектроскопии адронов и изложены основы применяемого в диссертации подхода к описанию спектра масс возбужденных барионов и получению электрических формфакторов. Изложены цель диссертации, ее структура и полученные результаты.

Заключение

В диссертации путем приближенного решения трехчастичной релятивистской задачи проводится исследование мультиплетов барионных резонансов, вожбужденных по орбитальному моменту (гл. 1, 2).

В сильносвязанных системах легких кварков, подобных рассмотренным барионам где р/т ~ 1, приближение нерелятивистской кинематики и динамики является некорректным.

Для мультиплета (70,1~) Р-волновых барионов приводятся полностью симметричные орбитально-спин-флейверные волновые функции, используя которые а также используя проекторы на различные диквар-ковые состояния, построено релятивистское обобщение трехчастичных уравнений Фаддеева в форме дисперсионных соотношений по парной энергии двух взаимодействующих частиц (гл. 1). Интегральные релятивистские уравнения решаются затем приближенным методом, основанном на методе выделения главных сингулярностей амплитуды рассеяния, что позволяет затем рассчитать спектр масс барионов мультиплета (70,1~).

В случае мультиплета, содержащего и-, d-, и s-кварки, имеется 30 нестранных и странных резонансов различной массы, принадлежащих мультиплету (70,1~). При помощи четырех параметров модели: глю-онных констант связи д+ и для дикварков положительной и отрицательной четности, параметров обрезания А и As для нестранных и странных дикварков, удалось рассчитать спектр масс барионов мультиплета. В мультиплет (70,1~) входит 210 частиц, из них 30 частиц имеют различные массы, 15 из которых находятся в хорошем согласии с экспериментальными данными. Предсказываются также еще 15 новых масс барионов.

Важным является использование эффективных масс и, d, s-кварков, позволяющее учесть явление конфайнмента. Это дало возможность получить связанные состояния возбужденных барионов.

Далее в работе результаты, полученные для мультиплета (70,1~) возбужденных барионов, состоящих из легких и, d и s кварков, обобщаются на случай барионов, содержащих легкие и, d кварки и тяжелый с-кварк.

В модели используется четыре параметра: две константы глюон-ного взаимодействия ди для тяжелых и легких дикварков, и два параметра обрезания Ас, Аы для очарованных и нестранных дикварков. С помощью этих параметров полностью рассчитывается спектр масс очарованных барионных резонансов возбужденного мультиплета (70,1~). Всего мультиплет (70,1~) содержит 23 очарованных бариона с разными массами. Из них 6 резонансов находятся в хорошем согласии с экспериментальными данными, предсказываются массы еще 17 очарованных барионов.

В главе 2 производится релятивистское рассмотрение трехчастичных амплитуд N = 2-уровня возбужденных барионов мультиплетов положительной четности (70,0+) и (70, 2+). Строятся орбитально-спин-флейверные волновые функции для частиц мультиплетов (70,0+) и (70, 2+), потом выводятся релятивистские трехкварковые уравнения в форме дисперсионных соотношений по парной энергии. Затем получаются уравнения на приведенные амплитуды, которые решаются приближенным методом.

При исследовании N = 2-возбужденных состояний также необходимо учитывать изменение потенциала конфайнмента, что достигается путем увеличения конституентных масс. Это позволяет рассчитать спектр масс мультиплетов (70,0+) и (70,2+).

В модели использутся четыре параметра: глюонные константы связи д* = д~ - для s и р-волновых дикварков, д^ - для eZ-волновых дикварков, A, Ass - параметры обрезания по парной энергии кварков для нестранных и странных дикварков. Параметр As вычисляется по значениям параметров А и Ass.

Всего в мультиплетах (70,2+) и (70,0+) содержится 414 частиц, из них 47 частиц имеют различные массы. Массы 12 резонансов находятся в хорошем согласии с экспериментальными данными. В работе предсказываются значения 35 новых масс мультиплетов (70,2+) и (70,0+).

Барионные резонансы, принадлежащие мультиплету (70, 2+), оказались тяжелее резонансов, принадлежащих мультиплету (70, 0+) что согласуется с результатами эксперимента.

В главе 3 исследуется поведение электрических формфакторов очарованных 5-волновых барионов октета Jp = |+ при малых и промежуточных переданных импульсах Q2 < 1ГэВ2. Формфакторы барионов вычисляются в технике дисперсионного интегрирования в системе бесконечного импульса. В работе рассчитываются зарядовые радиусы 5-волновых очарованных барионов мультиплета Jp = Зарядовые радиусы нейтральных частиц оказались равными нулю в рассмотренной схеме вычислений.

В главе 4 показывается возможность аналитического продолжения амплитуды взаимодействия трех кварков за порог рождения трех частиц на примере 5-волновых барионов. Вычисляются ширины барион

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю, профессору Герасюте С.М. за постановку актуальной задачи в современной физике сильного взаимодействия, основную идею данного исследования и полезные обсуждения. Автор также благодарен всем сотрудникам кафедры физики высоких энергий и элементарных частиц. Работа поддержана Министерством Образования России (грант 2.1.1.68.26).

1. М. Gell-Mann, Phys. Lett. 8 214 (1964).

2. А.И. Вайнштейн и др., УФН. 123 217 (1977).

3. V.A. Novikov et al., Phys. Rep. C41 1 (1978).

4. V.A. Novikov et al., Phys. Rev. Lett. 38 626 (1977).

5. M.A. Shifman, A.I. Vainshtein, and V.I. Zakharov, Nucl. Phys. B147 385, 519 (1979).

6. L.J. Reinders et al., Phys. Rep. 127 1 (1985).

7. J. Franclin, Phys. Rev. D12 2077 (1975); D53 564 (1996); D55 423 (1997).

8. A. De Rujula, H. Georgi, and S.L. Glashow, Phys. Rev. D12 147 (1975).

9. W. Gelmaster and F.S. Henyey, Phys. Rev. D18 1688 (1978).

10. S. Godfrey and N. Isgur, Phys. Rev. D32 189 (1985).

11. D.D. Brayshow, Phys. Rev. D36 1465 (1987).

12. J.L. Basdevant and S. Bourkaa, Z. Phys. C30 103 (1986).

13. H.W. Crater and P.V. Alstine, Phys. Rev. D37 1982 (1988).

14. J.-M. Richard, Phys. Lett. B139 408 (1984).

15. J.D. Stack, Phys. Rev. D27 412 (1983).

16. C. Itoh, T. Minamikawa, K. Miura, and T. Watanabe, Phys. Rev. D40 3660 (1989).

17. W. Kwong, J.L. Rosner, and C. Quigg, Annu. Rev. Nucl. Part. Sci. 37 325 (1987).

18. J.L. Rosner, Phys. Rev. D52 6461 (1995).

19. L.A. Copley, N. Isgur, and G. Karl, Phys. Rev. D20 768 (1979).

20. K. Maltman and N. Isgur, Phys. Rev. D22 1701 (1980).

21. J.M. Richard and P. Taxil, Phys. Lett. B128 453 (1983).

22. W.-Y.P. Hwang and D.B. Lightenberg, Phys. Rev. D35 3526 (1987).

23. P. Geiger and R.E. Cutkosky, Phys. Rev. D48 1315 (1993).

24. A.F. Falk and M.E. Peskin, Phys. Rev. D49 3320 (1994).

25. R. Roncaglia, D.B. Lightenberg, and E. Predazzi, Phys. Rev. D52 1722 (1995).

26. N. Isgur and G. Karl, Phys. Rev. D20 1191 (1979).

27. N. Isgur and G. Karl, Phys. Lett. B72 109 (1977).

28. N. Isgur, G. Karl, and R. Koniuk, Phys. Rev. Lett. 41 1269 (1978).

29. N. Isgur and G. Karl, Phys. Lett. B74 363 (1978).

30. N. Isgur and G. Karl, Phys. Rev. D18 4187 (1978).

31. N. Isgur and G. Karl, Phys. Rev. D19 2653 (1979).

32. N. Isgur and G. Karl, Phys. Rev. D21 3175 (1980).

33. K. Chao, N. Isgur, and G. Karl, Phys. Rev. D23 155 (1981).

34. N. Isgur, G. Karl, and R. Koniuk, Phys. Rev. D25 2394 (1982).

35. D.I. Diakonov and V.Yu. Petrov, Nucl. Phys. B245 259 (1984); Phys. Lett. B147 151 (1984).

36. G.'t Hooft, Phys. Rev. D14, 3432 (1976).

37. M.A. Shifman, A.I. Vainshtein, and V.I. Zakharov, Nucl. Phys. B163, 46 (1980).

38. H.R. Petry, H. Hofestadt, S. Merk, K. Bleuler, H. Bohr, and K.S. Narain, Phys. Lett. B159, 363 (1985).

39. А.А. Андрианов и Ю.В. Новожилов, ТМФ 69 № 1 78 (1986).

40. A.A. Andrianov and Yu.V. Novozhilov, Phys. Lett. B153 422 (1985).

41. R.T. Cahill and C.D. Roberts, Phys. Rev. D32 2419 (1985).

42. J. Praschifka, R.T. Cahill, and C.D. Roberts, Int. J. Mod. Phys. A4 4929 (1989).

43. E.V. Shuryak, Nucl. Phys. B198 83 (1982).

44. V.M. Belyaev and B.Yu. Blok, Z. Phys. C30 151 (1986).

45. B.Yu. Blok and V.L. Eletsky, Z. Phys. C30 229 (1986).

46. C.R. Allton et al. UKQCD Collaboration., Phys. Rev. D60, 0345071999).

47. S. Aoki et al. CP-PACS Collaboration., Phys. Rev. Lett. 84, 2382000).

48. N. Isgur and J. Paton, Phys. Lett. B124 247 (1983).

49. N. Isgur and J. Paton, Phys. Rev. D31 2910 (1985).

50. R. Jaffe, Phys. Rev. D15 267, 287 (1977).

51. R. Jaffe and G.G. Ross, Phys. Lett. B93 313 (1980).

52. A. Chodos, R.L. Jaffe, K. Johnson, C.B. Thorn, and V.F. Weisskopf, Phys. Rev. D9, 3471 (1974).

53. W.A. Bardeen, M.S. Chanowitz, S.D. Drell, M.Weinstein, and T. Yan, Phys. Rev. Dll, 1094 (1975).

54. T. DeGrand, R.L. Jaffe, K. Johnson, and J. Kiskis, Phys. Rev. D12, 2060 (1975).

55. T.A. DeGrand and R.L. Jaffe, Ann. Phys. 100, 425 (1976).

56. S. Threberge, A.W. Thomas, and G.A. Miller, Phys. Rev. D22, 2838 (1980).

57. G.'t Hooft, Nucl. Phys. B72 461 (1974).

58. E. Witten, Nucl. Phys. B160 57 (1979).

59. S. Coleman and E. Witten, Phys. Rev. Lett. 45 100 (1980).

60. J.L. Gervais and B. Sakita, Phys. Rev. Lett. 52 87 (1984).

61. R. Dashen and A.V. Manohar, Phys. Lett. B315 425 (1993).

62. R. Dashen, E. Jenkins, and A.V. Manohar, Phys. Rev. D49 4713 (1994).

63. R. Dashen, E. Jenkins, and A.V. Manohar, Phys. Rev. D51 3697 (1995).

64. C.D. Carone, H. Georgi, and S. Osofsky, Phys. Lett. B322 227 (1994).

65. M.A. Luty and J. March-Russell, Nucl. Phys. B426 71 (1994).

66. E. Jenkins, Phys. Lett. B315 441 (1993).

67. E. Jenkins and R.F. Lebed, Phys. Rev. D52 282 (1995), arXiv:hep-ph/9502227.

68. J. Dai, R. Dashen, E. Jenkins, and A. V. Manohar, Phys. Rev. D53 273 (1996), arXiv:hep-ph/9506273.

69. J.L. Goity, Phys. Lett. B414 140 (1997), arXiv:hep-ph/9612252.

70. Т.О. Cohen, D.C. Dakin, A. Nellore, and R.F. Lebed, Phys. Rev. D69 056001 (2004).

71. C.D. Carone, H. Georgi, L. Kaplan, and D. Morin, Phys. Rev. D50 5793 (1994).

72. D. Pirjol and T.M. Yan, Phys. Rev. D57 1449 (1998), arXiv:hep-ph/9707485.

73. D. Pirjol and T.M. Yan, Phys. Rev. D57 5434 (1998), arXiv:hep-ph/9711201.

74. C.E. Carlson, C.D. Carone, J.L. Goity, and R.F. Lebed, Phys. Lett. B438 327 (1998), arXiv:hep-ph/9807334; Phys. Rev. D59 114008 (1999), arXiv:hep-ph/9812440.

75. C.E. Carlson and C.D. Carone, Phys. Lett. B441 363 (1998); Phys. Rev. D58 053005 (1998).

76. Z.A. Baccouche, C.K. Chow, T.D. Cohen, and B.A. Gelman, Nucl. Phys. A696 638 (2001).

77. D. Pirjol and C. Schat, Phys. Rev. D67 096009 (2003).

78. T.D. Cohen and R.F. Lebed, Phys. Rev. D67 096008 (2003),arXiv:hep-ph/0301219.

79. T.D. Cohen, D.C. Dakin, A. Nellore, and R.F. Lebed, Phys. Rev. D69 056001 (2004).

80. C.L. Schat, J.L. Goity, and N.N. Scoccola, Phys. Rev. Lett. 88 102002 (2002), arXiv:hep-ph/0111082; J.L. Goity, C.L. Schat, and N.N. Scoccola, Phys. Rev. D66 114014 (2002), arXiv:hep-ph/0209174.

81. C.E. Carlson and C.D. Carone, Phys. Lett. B484 260 (2000).

82. J.L. Goity, C.L. Schat, and N.N. Scoccola, Phys. Lett. B564 83 (2003), arXiv:hep-ph/0304167.

83. N. Matagne and Fl. Stancu, Phys. Lett. B631 7 (2005).

84. N. Matagne and Fl. Stancu, Phys. Rev. D74 034014 (2006).

85. N. Matagne and Fl. Stancu, arXiv: hep-ph/0610099.

86. B.B. Анисович и А.А. Ансельм, УФН. 88, 287 (1966).

87. I.J.R. Aitchison, J. Phys. G3 121 (1977).

88. J.J. Brehm, Ann. Phys. (N.Y.) 108 454 (1977).

89. I.J.R. Aitchison and J.J. Brehm, Phys. Rev. D17 3072 (1978).

90. I.J.R. Aitchison and J.J. Brehm, Phys. Rev. D20 1119, 1131 (1979).

91. J.J. Brehm, Phys. Rev. D21 718 (1980).

92. A.B. Анисович и B.B. Анисович, ЯФ. 53, 1485 (1991).

93. B.B. Анисович и С.М. Герасюта, ЯФ. 44 174 (1986).

94. V.V. Anisovich, S.M. Gerasyuta, and A.V. Sarantsev, Int. J. Mod. Phys. A6 625 (1991).

95. С.М. Герасюта, ЯФ. 55 3030 (1992).

96. S.M. Gerasyuta, Z. Phys. C60 683 (1993).

97. С.М. Герасюта и Д.В. Иванов, Вестн. С.-Петерб. Ун-та. Сер. 4: Физика, химия. Вып. 2 (№ 11) 3 (1996).

98. П. Коллинз, Введение в реджевскую теорию и физику высокихэнергий. М.: Атомиздат (1980).

99. Д. Чью, Аналитическая теория 5-матрицы. М.: Мир (1968).

100. В.В. Анисович, С.М. Герасюта, и И.В. Келтуяла ЯФ. 38 200 (1983).

101. R.N. Faustov, Ann. Phys. (N.Y.) 78 167 (1973).

102. A.A. Migdal, Phys. Lett. B37 98 (1971).

103. P.H. Фаустов, ТМФ. 3 240 (1970).

104. В.В. Анисович и А.В. Саранцев, ЯФ. 45 1479 (1987).

105. S.M. Gerasyuta , Nuovo. Cim. А106 37 (1993).

106. С.М. Герасюта, Е.Е. Мацкевич, Вестн. С.-Петерб. Ун-та. Сер. 4: Физика, химия. Вып. 4. 83 (2006).

107. С.М. Герасюта, Е.Е. Мацкевич, ЯФ. 70 1995 (2007).

108. S.M. Gerasyuta, Е.Е. Matskevich, Phys. Rev. D76 116004 (2007).

109. S.M. Gerasyuta, Е.Е. Matskevich, IJMP E17 585 (2008).

110. С.М. Герасюта, Е.Е. Мацкевич, Вестн. С.-Петерб. Ун-та. Сер. 4: Физика, химия. Вып. 2. 108 (2008).

111. Ф. Клоуз, Кварки и партоны. М. (1982).

112. С.М. Герасюта, Д.В. Иванов, ЯФ. 62 1 (1999).

113. G. Chew, S. Mandelstam, Phys. Rev. 119 467 (1960).

114. С.М. Герасюта, И.В. Келтуяла, Я.Ф. 54 793 (1991).

115. W.M. Yao et al. (Particle Data Group), J. Phys. G33 1 (2006).

116. N. Matagne and Fl. Stancu, Phys. Rev. D71 014010 (2005).

117. N. Matagne and Fl. Stancu, Phys. Rev. D73 114025 (2006).

118. S.M. Gerasyuta and I.V. Kochkin, Int. J. Mod. Phys. E15 71 (2006).

119. S.M. Gerasyuta and I.V. Kochkin, Phys. Rev. D66 116001 (2002).

120. С.М. Герасюта, А.В. Саранцев, ЯФ. 52 1483 (1990).