Мягкие адронные взаимодействия высоких энергий и дуальная партонная модель тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.16 ВАК РФ

ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ РЩ () П РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

2 3 ОКТ

На правах рукописи

ГЛПОНЕНКО Олег Николаевич

Мягкие адронные взаимодействия высоких энергий и дуальная партонная модель

01.04.16 — физика ядра и элементарных частиц

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2000

)

Работа выполнена в Лаборатории нейтринной астрофизики высоких энергий Института ядерных исследований РАН.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Э. В. Бугаев

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор И. М. Дрёмин (ФИ РАН, Москва)

доктор физико-математических наук, профессор А. К Лиходед (ИФВЭ, Протвино)

Ведущая организация:

НИИЯФ МГУ, Москва

Зашита диссертации состоится (У-^ъ ОК*2000 г. в /о часов на заседании Диссертационного совета Д 003.21.01 Института ядерных исследований РАН (117312, Москва, проспект 60-летия Октября, 7а).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института ядерных исследований РАН.

/5/Р9

Автореферат разослан « / >/ _ 2000 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета

кандидат физико-математических наук Б. А. Щупов

В-ЗЗЗгГЗГЗ 0 3,

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы

Взаимодействия адронов при высоких энергиях являются сегодня объектом повышенного интереса как в связи с огромными прогрессом, достигнутым в технике эксперимента за последние десятилетия, так и в связи со значительными успехами при теоретическом описании таких процессов.

Особенностью перехода к новым масштабам энергий было получение большого (десятки и сотни) числа вторичных частиц в отдельных реакциях. Множественное рождение частиц изучается в различных областях ядерной физики и физики высоких энергий и связано с открытием многих важных явлений и использованием разнообразных методов для их теоретического описания. Считается, что квантовая хромодинамика (КХД) является сейчас лучшим кандидатом на роль будущей теории сильных взаимодействий. Вместе с тем, полное теоретическое описание множественных адронных процессов не представляется возможным в настоящее время. Известно, что при достигнутых на сегодня энергиях значительную часть событий составляют мягкие адронные взаимодействия - процессы, в которых образуются частицы с относительно малыми (Рх ^ 1 ГэВ/с) поперечными импульсами.

Применение теории возмущений в рамках КХД в этой ситуации становится незаконным и необходимо использовать другой подход.

Естественно, что в подобной ситуации большое значение приобретает интерпретация наблюдаемых в эксперименте феноменов в рамках модельного описания. По мере накопления экспериментального материала и изучения новых явлений физики мяг-

ких адронных столкновений предпринимались различные попытки теоретического описания, объединявшего наиболее удачные находки ранних моделей.

Взаимодействия адронов с небольшой передачей импульса изучаются уже давно и здесь накоплен обширный экспериментальный материал. На основе изучения поведения адронных сечений при изменении энергии сталкивающихся частиц ^ Р. Фейнман и независимо от него А. А. Логунов с сотрудниками высказали предположение, что в пределе высоких энергий дифференциальные сечения не должны, зависеть от 5, а являются только функцией поперечного импульса Р и безразмерной переменной х = Р^/Р , т.е. становятся масштабно инвариантными. В работах Г. Т. Зацепина также отмечалось, что при достаточно общих предположениях задача о прохождении космических лучей через вещество может приводить к масштабно инвариантным соотношениям. Это свойство было названо скей-лингом. Тем не менее, сейчас известно, что в центральной области взаимодействий происходит сильное нарушение фейнманов-ского скейлинга. Имеются также указания на возможное нарушение скейлинга и во фрагментационных областях.

При описании взаимодействий элементарных частиц часто на практике применяют коэффициент неупругости, т.е. величину, равную той доли начальной энергии, которая расходуется в среднем на рождение вторичных частиц в отдельном акте взаимодействия. Известно, что сильное нарушение фейнмановского скейлинга может приводить к зависимости коэффициента неупругости от энергии и, таким образом, влиять на процессы, связанные с распространением адронов в веществе при различных энергиях.

Таким образом, теоретическое исследование поведения импульсных адронных спектров в мягких взаимодействиях высоких

и сверхвысоких энергий и изучение процессов, связанных с нарушением фейнмановского скейлинга, являются в настоящее время очень важными задачами.

В данной работе поведение инклюзивных спектров адронов в мягких адронных взаимодействиях при высоких и сверхвысоких энергиях изучалось с помощью дуальной партонной модели (ДПМ). Эта модель основана на таких общепризнанных теоретических концепциях, как партонная структура адронов и унитарность, а также на идеях непертурбативной КХД и реджевской теории. Дуальная партонная модель развивалась и совершенствовалась в течение последних 20 лет и сегодня она с успехом применяется для описания адрон-адронных, адрон-ядерных и ядерно-ядерных взаимодействий.

Как известно, одно из важных отличий дуальной партонной модели от популярной модели кварк-глюонных струн заключается в различном выборе структурных функций морских кварков. Другой отличительной чертой, связанной со структурными функциями, является учет в ДПМ поперечных масс кварков. В результате структурные функции ДПМ становятся зависящими от энергии. Очевидно, что зависимость структурных функций от энергии и сильная сингулярность структурных функций морских кварков в ДПМ усложняют исследование вопроса по сравнению со случаем модели кварк-шоонных струн. Другим усложняющим элементом является то, что в отличие от КГСМ в дуальной партонной модели не используется предположение о возможности представления импульсных спектров адронов в факторизо-ванной форме.

Цель и задачи исследования

Основная цель диссертационной работы - исследовать с помощью дуальной партонной модели нарушение фейнмановского

з

скейлинга в мягких адронных взаимодействиях и описать механизмы нарушения скейлинга в центральной и фрагментационной областях.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи. Изучалось поведение структурных функций ДПМ при конечных энергиях и в пределе л/г да. Также исследовался вопрос, как выбор того или иного типа структурных функций сказывается на поведении инклюзивных спектров в пределе высоких энергий. Исследовался механизм перехода от сильно нарушенного скейлинга в центральной области к квазискейлинговому поведению в областях фрагментации. В рамках дуальной партонной модели изучалась зависимость от энергии таких величин, как коэффициенты частичной неупругости, 2-факторы, начальные моменты импульсных адронных распределений.. Исследовался вопрос об ограничениях, вытекаемых из ДПМ для различных не-скейлинговых параметризаций экспериментальных данных.

Научная новизна работы

Перечислим основные результаты диссертации, полученные впервые.

• В пределе высоких энергий исследована асимптотика структурных функций дуальной партонной модели и найден вид нескольких основных поправок.

• Для цветовых цепочек различного типа получены выражения, описывающие рост высоты соответствующих быстротных распределений при увеличении энергии.

• Показано, что в ДПМ можно выделить зависящую от энергии границу , такую что при ¡х|<х0 происхо-

дит сильное нарушение фейнмановского скейлинга, обычное для центральной области, а при |*|>*0 наблюдается переход к квази-

скейлинговому поведению, характерному в модели для областей фрагментации.

• В рамках дуальной партонной модели для коэффициентов частичной неупругости, 2-факторов и начальных моментов импульсных адронных распределений найдены замкнутые выражения, и исследованы процессы, определяющие поведение названных величин при высоких энергиях.

• Аналитически показано, что в центральной области взаимодействий из дуальной партонной модели вытекает возможность параметризации инклюзивных адронных спектров формулами Вдовчика-Вольфендейла (У/\¥-формулами), и исследованы ограничения, налагаемые ДПМ на различные нескейлинговые параметризации.

• Предложена новая нескейлинговая параметризация инклюзивных адронных спектров, справедливая в полной кинематической области фейнмановской переменной и свободная от основных недостатков \¥\У-формул.

Научная и практическая значимость работы

Исследование мягких адронных взаимодействий и изучение эффектов, связанных с нарушением фейнмановского скейлинга, представляют несомненный теоретический интерес. В то же время, полученные в настоящей работе результаты важны не только с точки зрения чистой теории, но также имеют и сугубо практическую ценность. Понимание механизмов нарушения скейлинга, пусть даже в рамках некоторой модели, служит необходимой ос-

новой для построения эффективных расчетных алгоритмов при описании взаимодействий адронов и изучении прохождения ад-ронов высокой энергии через вещество. Очень часто в подобных задачах оказывается полезным использование некоторых приближенных выражений, имеющих более простую структуру. В данной работе этим вопросам уделяется особое внимание. В частности, для центральной области полученные в рамках дуальной партояной модели выражения сравниваются с различными экспериментальными параметризациями. На основе такого сравнения удалось не только определить численные значения параметров и выяснить их физический смысл, но и найти ограничения на область применимости некоторых экспериментальных параметризаций. Для области фрагментации также были найдены простые аналитические выражения для инклюзивных спектров с учетом нескейлинговых поправок. Полученные выражения применялись затем для расчета частичных коэффициентов неупругости и 2 - факторов в широком интервале энергий.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Разработана специальная процедура редукции, позволяющая упростить численный ДПМ расчет структурных функций кварков в адроне при различных энергиях.

2. Найдены аналитические выражения для структурных функций дуальной партонной модели при высоких энергиях. Показано, что при высоких энергиях и л: не слишком близких к кинематическим границам, ¡л^Р ^ х 3 (\-р±/Р) (м± - поперечная масса кварка), в ДПМ для структурных функций кварков в адроне справедливы следующие выражения:

рп=спЛ (1-х)-1'2 (1+(2п -2) ^(х)+(2и-2) (2и-3) Ъ^(х))

- для структурных функций дикварка,

Рп=сп,2 Х~'П (1~*)3/2 (1+(2п-2)а2(х) + (2п-2)(2п-3)Ь3(х))

- для структурных функций валентного кварка в барионе,

ря=еп:3х-"Н1-хГ,/2(1+(2»-2)а}(х)Н2»-2)(2П-3)Ь3(х))

- для структурных функций валентного кварка в мезоне,

р„=сп.4 х-'(1-х)2 (1 + (2я - 3) аА (х)+(2и - 3) (2 л - 4) ¿^ (х))

- для структурных функций морского кварка в барионе,

р„ = 5 х- '(1 + (2и-3) а5(х)+(2в-3) (2л-4) ¿5(х))

- для структурных функций морского кварка в мезоне. Здесь п - число кварковых пар, <?„. , - нормировочные постоянные, д (х)

и Ь.(х) - функции, асимптотика которых имеет вид а.~1/Ь(Р/М1), Ьг1/\п2(Р/М1).

3. Показано, что для цветовых цепочек дуальной партонной модели рост с энергией высоты быстротных распределений описывается следующими соотношениями:

■"")-' * | 1

dy

|у-ояво

1-

Ьуф/so ,

■ для цветовой цепочки с морскими кварками на концах, ¿дД'.О-* I

dy

(у = оило

1-

(s/so)

1/4

■ для цветовой цепочки с валентными кварками на концах,

dN[

(л. Л)-

dy

(у^О^О

1-

- для дикварковой цветовой цепочки. В приведенных выше формулах , <*0,Ь, с, с[ - некоторые постоянные.

Для произвольных цветовых цепочек разработана общая схема расчета величин / ¿у | .

Найдено приближенное выражение, описывающие в дуальной партонной модели нескейлинговый рост высоты центрального плато:

йу " =

; = 0«2а0 («(*))

1- —

здесь (п(я)} - среднее число кварковых пар, участвующих во взаимодействии.

4. Показано, что начиная с

- I тх

(здесь т±- поперечная масса рожденного адрона) в поведении

инклюзивных спектров происходят изменения и осуществляется переход к квазискейлинговому режиму. Для области х>хо получено скейлинговое выражение для инклюзивных адронных спектров и найдены нескейлинговые поправки к нему.

5. Установлено, что коэффициент неупругости распадается в ДПМ на два слагаемых

к = Кал1г + , где поведение первого слагаемого совпадает с тем, что предсказывается формулой Вдовчика-Вольфендейла, тогда как К1™1" слабо зависит от энергии и при высоких энергиях для коэффициентов частичной неупругости справедливо следующее равенство:

Здесь суммирование ведется по всем кваркам сталкивающихся адронов, jD'^x) - функция фрагментации кварка q в адрон h, а (*) ~ средняя доля импульса, с которой кварк вступает во взаимодействие.

Соответствующий результат для Z-факторов и начальных моментов М" имеет вид:

, z.^j/J í»'-'^,

где у - показатель интегрального спектра космических лучей.

6. Предложена новая нескейлинговая параметризация инклюзивных адронных спектров, свободная от основных недостатков WW-формул.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинаре в ФИАН, на научных семинарах кафедры теоретической физики ИГУ, на Международных совещаниях «High and extremely high energy neutrino astrophysics» (Иркутск, 1994 г., 1995 г.), на 25 и 26 Российских конференциях по космическим лучам (Москва, 1998 г., Москва - Дубна, 2000 г.). Результаты диссертационного исследования были опубликованы в журналах Zeitschrift für Physik С Particles and Fields (The European Physical Journal C), Journal of Physics G: Nuclear Particle Physics, Physical Review D. Всего по теме диссертации опубликовано 7 работ (5 журнальных статей и 2 препринта), см. список публикаций в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, двух приложений и библиографического списка литературы, включающего 103 наименования. Работа содержит 29 рисунков и 1 таблицу. Общий объем диссертации составляет 144 страницы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение. Во введении приведено обоснование к выбору темы диссертационного исследования, сформулированы задачи и цель работы, дан краткий обзор её содержания.

Глава 1. В первой главе исследуются структурные функции дуальной партонной модели.

В разделе 1.1 для мягких адронных взаимодействий изучаются импульсные распределения кварков в адроне при конечных значениях импульса.

Как известно, для малых значений переменной х структурные функции дикварков, валентных кварков и морских кварков в дуальной партонной модели имеют вид

Чтобы избежать неинтегрируемой особенности у функции при х =0 в ДПМ применяется следующая регуляризация:

Отметим, что появление члена мх/Р в знаменателе не есть чисто

ЛЛ*)-*3'2,

математическое ухищрение, а отражает простой факт: продольные степени движения кварка внутри адрона важны, с кинематической точки зрения, лишь для дг> (/¿Х/Р).

Структурная функция бариона, когда последний находится в состоянии с 2п кварками — одним валентным кварком, одним дикварком и (л-1) кварк-антикварковыми парами морских кварков, может быть получена как произведение структурных' функций отдельных кварков:

рЛх1. *2, -х2„, Р)=с„/д (х,) /„ (х2; Р) /5еа Р)

В этой формуле с„ - коэффициент, обеспечивающий нормировку, а появление дельта-функции связано с законом сохранения энергии. Мезонные распределения можно получить, совершив замену /а на

Чтобы найти структурную функцию р„(хк; Р) отдельного кварка в адроне, необходимо проинтегрировать приведенную выше формулу по всем переменным х, кроме х^:

Рп(хк; Р) = с„& ¿х, £ с!хк_х... £ ... £ <1х2п х/л (*,) Л (х2; Р) (х3;Р)х... /_ (х2п;Р) 3(1-%:, *,) •

Так как функции /«„ и /у зависят от энергии, то р„{хк, Р) представляет собой функцию двух переменных - хк и Р, что заметно усложняет вычисления. Поэтому в разделе 1.1 нами была разработана специальная процедура, позволяющая проводить вычисления, используя редукцию от бо'лыних значений импульса к меньшим.

В разделе 1.2 для высоких энергий поведение структурных функций изучается аналитически. Для этого случая получены явные аналитические выражения для структурных функций модели

и найден вид нескольких основных поправок (см. пункт 2 в разделе "Основные положения, выносные на защиту" автореферата). Полученные аналитические формулы сравниваются затем с результатами численного расчета из раздела 1.1. Таким способом нам удается объяснить найденные посредством численного расчета основные закономерности в поведении функций рп(х; Р) при различных значениях параметров п и Р.

Глава 2. Во второй главе в рамках ДПМ исследуется нарушение фейнмановского скейлинга в центральной области и областях фрагментации. Для этой цели используются найденные в Главе 1 выражения для структурных функций ДПМ.

В разделе 2.1 приведены основные формулы дуальной пар-тонной модели.

В разделе 2.2 для цветовых цепочек дуальной партонной модели изучается рост с энергией высоты "цепочечных" быст-ротных распределений. В этом разделе также найдено аналитическое выражение для нескейлингового роста высоты центрального плато и обсуждается физический смысл полученных соотношений. Мы отмечаем, что найденное нами из ДПМ выражение для предасимптотики высоты быстротного распределения для цветовой цепочки с валентными кварками на концах

I

;ао

1-

согласуется с выводами модели

йу V

кварк-глюонных струн. Как известно, в КГСМ используется отличный от принятого в ДПМ формализм для описания инклюзивных спектров, тем не менее асимптотическое поведение величины аК^-'^Ч с1 у | 0 одинаково в обеих моделях (напомним,

что в КГСМ для морских кварков приняты такие же распределения, как и для валентных кварков, поэтому в данном случае и для

в

цепочек с морскими кварками на концах в модели кварк-глюонных струн имеет место аналогичная зависимость от энергии для высоты быстротных распределений). Однако, в отличие от модели кварк-глгоонных струн, для морских кварков в ДПМ принимаются более "мягкие" импульсные распределения, что, как показано нами в диссертации, приводит к следующему пред-асимптотическому выражению для высоты быстротных распре-

I ( ь

делений "морских" цепочек:----„«а 1---;-

dy ^ = 0 *( ln ^

Просуммировав вклады от всех возможных цепочек и оставив предасимптотические члены с самым медленным выходом на асимптотику, мы находим приближенное выражение, описывающие в дуальной партонной модели нескейлинговый рост высоты

I « /п in mi i— _

fajs/so /

этом выражении ( n{s)) - среднее число кварковых пар, участвующих во взаимодействии (рост с энергией ( n(s)) связан с возможностью рождения морских кварков из вакуума), а член

- \

Ь_

\nJs/so ,

"морской" цветовой цепочки. При асимптотически высоких энергиях, когда вклад от последнего фактора в рост высоты плато становится пренебрежимо малым, увеличение dN(Kk''hh ! dy = 0

может иметь место только за счет роста ( n{s)), однако, как показано в диссертации, при достигнутых на сегодня в ускорительных экспериментах энергиях вклад от обоих факторов в рост dN{hl"^h Idy является важным.

В разделе 2.3 исследуется нарушение скейлинга в областях

центрального плато: -|^_0»2а0 (/ф))

d у

ч

1—

описывает нарушение скеилинга для отдельной

фрагментации. Показано, что в модели можно выделить определенную, зависящую от энергии границу, описываемую условием

хо=-,[т±/(2~Д), так, что для | х | < х происходит сильное наруше-

!

ние фейнмановского скейлинга, а для |*|>*0 - переход к квази-

скейлинговому поведению.

В разделе 2.4 обсуждается физический смысл приведенного выше условия. В области х>х0 для импульсных спектров адро-нов получено простое скейлинговое выражение и рассчитаны поправки, учитывающие слабое нарушение скейлинга в названной области. Затем выводы дуальной партонной модели сравниваются с результатами ряда других моделей.

Глава 3. В этой главе изучается поведение с ростом энергии таких интегральных характеристик, как коэффициент неупругости, 2- факторы, начальные моменты импульсных адронных распределений. Как известно, вопрос о зависимости названных характеристик от энергии тесно связан с проблемой нарушения фейнмановского скейлинга. Нами показано, что, несмотря на сильное нарушение скейлинга в центральной области, модель приводит к интегральным характеристикам, лишь слабо изменяющимся с энергией.

В разделе 3.1 поведение с энергией названных выше характеристик рассмотрено в контексте более общего случая, охватывающего все перечисленные и целый ряд других возможных величин выбор которых определяется конкретным видом функции /(х) в выражении Л где

<*У

¿Н.{у(хУ, л/?) ,

—ЬУЛ-И—I - инклюзивные спектры адронов А. В рамках дуаль-

ау

ной партонной модели для величины Яь нами получено аналити-

ческое выражение:

где /„ - коэффициенты разложения функции /(х) в ряд по степеням х; о смысле остальных обозначений см. в пункте 5 раздела "Основные положения, выносимые на защиту" автореферата. Для степенной функции /{х)=ху нами также найдено следующее, более простое выражение:

В разделе 3.2 полученная в 3.1 общая формула для Rh применяется при изучении поведения с энергией коэффициентов частичной неупругости в адрон-адронных взаимодействиях.

В разделе 3.3 применение этой формулы иллюстрируется на примере расчета 2 -факторов и начальных моментов импульсных адронных распределений для адрон-ядерных взаимодействий в широком интервале энергий.

В заключительном разделе третьей главы обсуждается вопрос о том, как нарушение фейнмановского скейлинга может сказываться на поведении коэффициента неупругости при сверхвысоких энергиях.

Глава 4. Четвертая глава посвящена получению ограничений, налагаемых ДПМ на различные нескейлинговые параметризации импульсных адронных спектров.

В разделе 4.1 этот вопрос рассматривается на примере известной формулы Вдовчика-Вольфендейла. С помощью дуальной партонной модели нами получена новая параметризация адронных спектров, свободная от основных недостатков \\НУ-формул. Показано, что в центральной области найденная параметризация согласуется с формулой Вдовчика-Вольфендейла, но в отличие от

последней она не приводит к противоречию с экспериментом из-за быстрого уменьшения коэффициента неупругости с ростом энергии.

В разделе 4.2 применение предложенной параметризации иллюстрируется на примере реакции р+р -»л-*+X .

В Заключении перечислены основные результаты и сформулированы выводы диссертационной работы.

В Приложении I приведены детали получения предасим-птотики выражений £/лг<е'и",'->* ¡¿у = 0 для морских цветовых цепочек, дикварковых цветовых цепочек и цветовых цепочек с валентными кварками на концах.

В Приложении П для мягких адронных взаимодействий описана процедура перехода от быстротных распределений с1Ы/с!у, удобных при теоретическом описании, к распределениям по псевдобыстроте ¿/ЛГ/^т/, часто применяемых в эксперименте. При пересчете от с№ 1(1у к сОЯ I с1т] было учтено наблюдаемое в эксперименте изменение среднего поперечного импульса в зависимости от быстроты у и принималась во внимание слабая зависимость (Р^ от энергии.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе в рамках дуальной партонной модели исследовались процессы, связанные с нарушением фейнманов-ского скейлинга в мягких адронных взаимодействиях. Известно, что ДИМ хорошо воспроизводит наблюдаемое в экспериментах

сильное нарушение скейлинга в центральной области, тогда как в областях фрагментации модель приводит лишь к слабо нарушенному скейлингу. Вместе с тем, в течение долгого времени оставалось не до конца ясным, как и почему нарушение фейнмановско-го скейлинга в модели происходит по-разному в центральной области и областях фрагментации, какие именно механизмы ответственны за переход от сильно нарушенного скейлинга к квази-скейлинговому поведению импульсных адронных спектров, при каких значениях фейнмановской переменной д: происходит такой переход (см. обсуждение в работах [1] - [3]). Не было также полного ответа на вопрос о том, каким является поведение инклюзивных спектров в дуальной партонной модели в пределе высоких энергий в центральной и фрагментациошшх областях и как это поведение зависит (если вообще зависит) от вида структурных функций. Эти вопросы были подробно рассмотрены в диссертационной работе. Особенностью предлагаемого подхода является то, что рассмотрение всех ключевых моментов проводилось в явной аналитической форме. Нами были также исследованы структурные функции дуальной партонной модели при конечных энергиях и в пределе -Д »/л^ . Для высоких энергий в

работе были получены явные выражения для структурных функций ДПМ и найден вид нескольких основных поправок.

В области для импульсных адронных спек-

тров в работе получено простое скейлинговое выражение и рассчитаны поправки, учитывающие слабое нарушение скейлинга в этой области. Для центральной области также получены соотношения, описывающие основные особенности в поведении адронных спектров. Выводы дуальной партонной модели сравнивались с результатами модели кварк-глюонных струн и ряда других моделей.

Полученные результаты применялись затем для изучения

поведения с ростом энергии таких величин, как частичные неупругости Кн и 2 -факторы. В рамках дуальной партонной модели

для названых величин в работе найдены замкнутые выражения и делаются предсказания о поведении Кн и 2 -факторов при высоких энергиях.

На основе проведенного в работе анализа была получена новая нескейлинговая параметризация адронных спектров, справедливая в полной кинематической области переменной х. Было показано, что в центральной области такая параметризация согласуется с известными формулами Вдовчика-Вольфендейла, но в отличие от последних она не приводит к противоречию с экспериментом из-за быстрого уменьшения коэффициента неупругости с ростом энерпш. Полученная здесь параметризация основана на изучении адронных спектров в ДПМ и не использует специальных дополнительных гипотез. В качестве примера применения предлагаемой параметризации для инклюзивных спектров заряженных пионов в реакции р+р —»тт* + X была сконструирована простая аппроксимационная формула и обсуждался физический смысл найденных соотношений.

Полученные в этой работе результаты важны, по мнению автора, не только с точки зрения чистой теории. При формулировке основных результатов мы стремились прежде всего выяснить физический смысл найденных соотношений и дать интерпретацию на модельно независимом языке, используя дуальную партонную модель не как цель, а как средство для изучения физики мягких адронных процессов. Мы отмечали, что при таком подходе наиболее ярко обнаруживается сходство ДПМ с рядом различных моделей. Это дает основания надеяться, что изученные в настоящей работе механизмы нарушения скейлинга не являются лишь специфическим атрибутом отдельной модели, а адекватно отражают основы реальных физических процессов.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

[1] Bugaev Е. V., Gaponenko О. N. On violation of Feynman scaling law in the framework of dual parton model // Z. Phys. C. - 1995. -Vol.69. -P.135-147.

[2] Bugaev E. V., Gaponenko O. N. Breakdown of scaling in multiple hadron production at high energies and the dual parton model // J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. - 1997. - Vol.23. -P.1093-1099.

[3] Bugaev E. V., Gaponenko O. N. Energy behavior of hadronic spectra in the dual parton model // Phys. Rev. D. - 1998. -Vol.58. -P.032001-1 -032001-8.

[4] Бугаев Э. В., Гапоненко О. Н. О нарушении фейнмановского скейлинга в дуальной партонной модели // Препринт ИЛИ -0980/98.- 1998.-35 с.

[5] Bugaev Е. V., Gaponenko О. N. Partial inelasticities from the dual parton model // Eur. Phys. J. C. - 1998. - Vol.5. - P.103-110.

[6] Бугаев Э. В., Гапоненко О. Н. О поведении коэффициента неупругости, начальных моментов и Z-факторов в дуальной партонной модели при высоких энергиях // Препринт ИЛИ -0995/98.-1998.-21 с.

[7] Gaponenko О. N. Dual parton model motivated parametrization of the hadronic spectra // Phys. Rev. D. - 1999. - Vol.60. -P.074005-1 -074005-6.

Введение.

Глава 1. Поведение структурных функции модели при конечных энергиях и в пределе Р ~юо.

1.1 Структурные функции кварков в адроне при конечных значениях импульса.

1.2 Структурные функции кварков в адроне в пределе

Р-> оо

Глава 2. Инклюзивные спектры ДПМ и нарушение фейнмановского скейлинга

2.1 Инклюзивные спектры адронов в дуальной партонной модели.

2.2 Адронные спектры в центральной области.

2.3 Адронные спектры в областях фрагментации.

2.4 Что такое область фрагментации и где она находится

- ответ с точки зрения дуальной партонной модели.

Глава 3. Коэффициент неупругости и ¿¿-факторы.

3.1 Интегральные величины К^ Zi и М"

3.2 Коэффициенты частичной неупругости

3.3 Начальные моменты и ^-факторы.

3.4 Нарушение скейлинга и коэффициент неупругости.

Глава 4. Нескейлинговые параметризации адронных спектров и дуальная партонная модель.

4.1 Проблема с точки зрения ДПМ

4.2 Нахождение значений параметров для процесса р + р-^тг* + X.

Взаимодействия адронов при высоких энергиях являются сегодня объектом повышенного интереса не только в связи с огромными прогрессом, достигнутым в технике эксперимента за последние десятилетия, но также и в связи со значительными успехами при теоретическом описании таких процессов. Совершенствование экспериментальной устройств и ввод в действие новых ускорительных комплексов позволили перейти от рубежа энергий Еш в несколько десятков гигаэлектрон-вольт, характерного для ускорительных экспериментов 50х - 60х годов, к измерениям при энергиях ТэВ. При более высоких энергиях имеются также данные экспериментов на космических лучах, однако из за сложности постановки экспериментов при таких энергиях точность здесь ниже.

Особенностью перехода к новым масштабам энергий было получение большого (десятки и сотни) числа вторичных частиц в отдельных реакциях. Множественное рождение частиц изучается в различных областях ядерной физики и физики высоких энергий и связано с открытием многих важных явлений и использованием разнообразных методов для их теоретического описания. Считается, что квантовая хромодинамика (КХД) является сейчас лучшим кандидатом на роль теории сильных взаимодействий. Вместе с тем, полное теоретическое описание множественных адронных процессов не представляется возможным в настоящее время. Известно, что при достигнутых на сегодня энергиях значительную часть событий составляют мягкие адронные взаимодействия - процессы, в которых образуются частицы с относительно малыми (Р± < 1 ГэВ/с) поперечными импульсами. Применение теории возмущений в рамках КХД в этой ситуации становится незаконным и необходимо использовать другой подход.

Естественно, что в подобной ситуации большое значение приобретает интерпретация наблюдаемых в эксперименте феноменов в рамках модельного описания. Взаимодействия адронов с небольшой передачей импульса изучаются уже давно и здесь накоплен обширный экспериментальный материал. Для описания основных закономерностей мягких процессов в "докварковую эпоху" были разработаны ряд теоретических моделей. Основой подхода в одной группе моделей было использование представлений о сталкивающихся при высоких энергиях адронах как о сложной системе, распадающейся по статистическим законам. В качестве примера упомянем статистическую адронную модель, гидродинамическую модель, модель с лоренцевым сокращением, файербольную и мульти-файербольную модели. Другая, не менее обширная группа моделей, основывается на квантовой теории поля. Здесь можно выделить мульти-периферическую и мульти-реджевскую модели, в которых рождение вторичных частиц происходит в реакциях обмена между исходными адронами группами большого числа возбужденных состояний.

Новым важным шагом вперед в изучении природы сильных взаимодействий стало открытие партонной структуры адронов. В экспериментах по глубоконеупругому рассеянию было замечено, что налетающие частицы рассеиваются на углы, значительно большие, чем те, которые следовало ожидать исходя из представлений о непрерывном распределении заряда внутри нуклона. Этот результат можно объяснить, допустив существование внутри нуклона точечно-подобных объектов (партонов), подобно тому как рассеяние а-частиц на большие углы в опытах Резерфорда объяснялось существованием атомного ядра. В первоначальной формулировке партонной модели ядра эти объекты не конкретизировались, однако дальнейшие опыты позволили предположить, что партонами являются кварки - частицы, постулированные ранее Гелл-Маном и Цвейгом для описания распределений адронов по мультиплетам. Дальнейшие эксперименты показали, что не весь импульс адронов переносится кварками, заметная часть импульса приходится на долю глюонов, посредством которых осуществляется взаимодействие кварков. Вскоре после введения кварков в обиход физики частиц стали интенсивно разрабатываться также и кварко-вые модели взаимодействия адронов. Так, в аддитивной кварковой модели принимается, что взаимодействие адронов сводится к взаимодействиям пар кварков (многократным взаимодействием пренебрегают), в результате чего рождаются новые кварки, которые затем объединяются в адроны. На основе кварковой комбинаторики эта модель смогла удовлетворительно описать соотношения между полными сечениями различных реакций. Сравнение данных эксперимента с результатами расчета средних мно-жественностей и инклюзивных спектров адронов позволило заключить, что, в целом, эта модель не противоречила эксперименту. Кроме аддитивной кварковой модели были разработаны целый ряд других моделей множественного рождения, учитывающих кварковую структуру адронов: рекомбинационные, фрагментационные, партонная и т.д. модели.

На основе изучения поведения адронных сечений при изменении энергии сталкивающихся частиц Р. Фейнман и независимо от него А. А. Логунов с сотрудниками высказали предположение, что в пределе высоких энергий дифференциальные сечения £с?3сг/ЛР3 не должны зависеть от 5, а являются только функцией поперечного импульса Р± и безразмерной переменной х = Рц /Рцшах, т.е. становятся масштабно инвариантными. В работах Г. Т. Зацепина также отмечалось (см. [1]), что при достаточно общих предположениях задача о прохождении космических лучей через вещество может приводить к масштабно инвариантным соотношениям. Это свойство было названо скейлингом. На интуитивном уровне явление скейлинга представляется вполне естественным - при высоких энергиях, когда можно пренебречь пороговыми эффектами, распределения адронов по продольному импульсу зависят только от доли импульса, уносимого частицами, а не от самого импульса. Тем не менее, сейчас известно, что в центральной области скейлинг не наблюдается. Имеются также указания на возможное нарушение скейлинга и во фрагментационных областях.

По мере некопления экспериментального материала и изучения новых явлений физики мягких адронных столкновений предпринимались различные попытки теоретического описания, объединявшего наиболее удачные находки ранних моделей. Например, в популярной Лунд модели процесс соударения адронов рассматривался как образование особого возбужденного состояния - цветовой струны, протянутой между кварками сталкивающихся адронов. Рождение вторичных адронов происходит в этой модели при разрыве струны во время разлета исходных кварков. Весь процесс взаимодействия распадается, таким образом, на два независимых этапа. На первом этапе происходит столкновение адронов и обмен импульсом. Это стадию процесса можно охарактеризовать как быстро протекающую стадию удара. Второй, сравнительно медленный этап, состоит в разлете претерпевших столкновение адронов и переходе фрагментов цветовой струны во вторичные частицы. Для описания процесса фрагментации струны в адроны для взаимодействий с малой передачей импульса принимается принцип универсальности, согласно которому процессы фрагментации в жестких и мягких соударениях происходят одинаково.

Уже давно в экспериментах было замечено, что обычно после соударения адронов в лабораторной системе образуется частица, энергия которой существенно превышает среднюю энергию вторичных частиц. Такая частица получила название лидирующей, а само явление было названо эффектом лидирования. В системе центра масс можно непосредственно наблюдать лидирующие частицы от обоих адронов. Такие частицы принято ассоциировать с осколками исходных адронов. Иногда можно наблюдать сразу несколько лидирующих частиц. Выделяя лидирующие частицы на фоне остальных событий, можно оценить коэффициент неупругости, т.е. ту долю начальной энергии, которая расходуется на рождение вторичных частиц. Эта характеристика имеет важное значение, например, при описании распространения частиц в веществе, так как она определяет динамику развития адронных каскадов. Известно, что сильное нарушение фейнмановского скейлинга может приводить к зависимости коэффициента неупругости от энергии и, таким образом, влиять на процессы, связанные с распространением адронов в веществе при различных энергиях.

Ряд специальных тестов (см., например, [2]) показали, что предположение Лунд модели об объединении валентных кварков в одну цветовую струну плохо согласуется с наблюдаемым в экспериментах спектрам лидирующих частиц. Было показано, что данные эксперимента можно удовлетворительно описать, если исходить из картины образования по крайней мере двух струн. Для барионов это подразумевает сильно асимметричное состояние, когда один кварк становится концом первой струны, а два других кварка объединяются вместе на конце второй струны. Так как такой двухкварковый конгломерат обладает большей энергий по сравнению с отдельным кварком, то цветовые струны оказываются разделенными по быстротам. При высоких энергиях можно также рассматривать струны с морскими кварками на концах.

Подобные конгломераты из двух валентных кварков были названы ди-кварками. Понятие дикварка используется сейчас несколькими моделями адронных взаимодействий. Одной из таких моделей является дуальная партонная модель (ДПМ). Эта модель разрабатывалась и изучалась на протяжении последних двух десятилетий. Модель оказалась не только полезной для понимания большого числа явлений физики мягких адронных столкновений, но и позволила осуществить целый ряд предсказаний для области высоких и сверхвысоких энергий. ДПМ с успехом применяется для описания адрон-адронных, адрон-ядерных и ядерно-ядерных взаимодействий и по праву считается сегодня одной из лучших моделей в области мягких адронных процессов.

Дуальная партонная модель основывается на следующих концепциях

И, №

1) партонная структура адронов,

2) топологическое разложение,

3) унитарность,

4) дуальность и Редже подход.

Выше уже было сказано об экспериментах, приведших к открытию пар-тонной структуры адронов. Поэтому перейдем сразу к обсуждению второго пункта - роли топологического разложения в ДПМ. Так как для мягких взаимодействий бегущая константа не является малым параметром, то теория возмущений, основанная на разложении по константе связи, непосредственно не применима. Чтобы избежать трудностей, связанных с величиной КХД-константы связи в мягких процессах, было предложено рассматривать разложение по параметру 1/АГс, где ЛГС - число цветов, или по параметру 1/^, где 7\Г/ число кварков (см., например, [5] - [8]). В формальном пределе N оо такое разложение соответствует выделению определенных наборов фейнмановских диаграмм. Различным набором диаграмм можно сопоставить некоторые геометрические образы. Оказалось, что наибольший вклад в результирующею амплитуду происходит в этом случае от диаграмм с простейшей топологией. Переход от суммирования по степеням КХД-константы связи к суммированию по топологии приводит к разложению нового типа. Простейшим топологическим объектом в этой теории является плоскость, далее следует цилиндр, примерами более сложных объектов могут служить цилиндр с одной, двумя, и т.д. ручками. В терминах реджевского подхода (ем. далее) плоская топология соответствует обмену реджеоном непомеронного типа, тогда как цилиндру соответствует обмен помероном. Хотя цилиндрические диаграммы и имеют в топологическом разложении более высокий порядок по сравнению с плоскими, при высоких энергиях доминируют померонные обмены. Поэтому в качестве первого поправочного члена в ДПМ фактически входит величина ~ (1 /Ы)2. Таким образом, несмотря на то, что предел больших N дает конкретную математическую процедуру для классификации диаграмм, именно топологическая структура амплитуд играет первостепенную роль для описания мягких процессов в рамках модели.

Третий пункт - условие унитарности - связан со способом вычисления весов диаграмм топологического разложения. В работах [6] - [14] было показано, что различным диаграммам топологического разложения можно вполне определенным образом сопоставить диаграммы реджевской теории поля. Это позволяет рассчитать относительные веса топологических диаграмм для конкретных процессов используя те же методы, что и в реджеонном исчислении.

Наконец, четвертый пункт, дуальность и Редже подход, используется в модели при нахождении импульсных распределений кварков. Структурные функции кварков определяются для мягких адронных процессов по Редже полюсам в перекрестном канале. Нужно однако иметь в виду, что строгое применение реджевской теории возможно лишь при достаточно высоких энергиях. Поэтому в любой претендующей на количественное описание модели должен быть предусмотрен определенный механизм, позволяющий осуществлять экстраполяцию на область малых энергий. В ДПМ это достигается с помощью принципа дуальности, из которого еледует, что реджевский подход может применяться "в среднем" также и при низких энергиях.

Интересно отметить, что все перечисленные выше пункты равным образом используются в появившейся практически одновременно с ДПМ модели кварк-глюонных струн (КГСМ). В дальнейшем изложении мы часто будем сравнивать результаты этих двух моделей. Одно из отличий ДПМ от КГСМ заключается в различном выборе структурных функций морских кварков. В модели кварк-глюонных струн принимается (см., например, обсуждение в работах [15] - [17]), что при малых х распределения морских кварков подобны распределениям кварков валентных: рь (х) ~ 1/у/х, тогда как в дуальной партонной модели морские кварки имеют значительно более "мягкие" распределения по импульсам: рзеа(х) ~ 1/® ([4], [18] - [20]). В работе [18] было показано, что, для случая, когда морские кварки кварк-антикварковой пары рождаются с существенно разными быстротами, соответствующие распределения имеют вид: ~ х~1!2 для более быстрого кварка и ~ ж-3/2 для более медленного. Если же оба кварка пары рождаются с близкими быстротами, их распределения описываются ж1-зависимостью. Распределения вида ~ х~1!2 для морских кварков соответствуют вкладу неусиленных графов, доминирующих при низких энергиях. Однако, так как вклад от морских кварков при невысоких энергиях подавлен по сравнению со вкладом от дикварков и валентных кварков, конкретный вид импульсных распределений морских кварков при таких энергиях не важен, в области же высоких энергий 1/ж-распределения можно рассматривать как некоторые эффективные распределения, средние между ж~1//2 и ж3//2. Отметим тем не менее, что существуют реализации дуальной партонной модели, в которых рассматриваются морские кварки только с ж1/2-распределениями [21], [22].

Другой отличительной чертой, связанной со структурными функциями, является учет в ДПМ поперечных масс кварков. В результате структурные функции ДПМ становятся зависящими от энергии. Как будет показано далее, учет этого эффекта важен для описания инклюзивных спектров адронов при различных энергиях.

В настоящей работе мы применим дуальную партонную модель для изучения процессов, связанных с нарушением фейнмановского скейлинга. Конечно, этот вопрос не является совершенно новым - известно, что ДПМ хорошо воспроизводит наблюдаемое в экспериментах сильное нарушение скейлинга в центральной области, тогда как в областях фрагментации модель приводит лишь к слабо нарушенному скейлингу. Вместе с тем, в течение долгого времени оставалось не до конца ясным, как и почему нарушение фейнмановского скейлинга в модели происходит по-разному в центральной области и областях фрагментации, какие именно механизмы ответственны за нарушение скейлинга в этих областях, при каких значениях фейнмановской переменной х происходит переход от сильно нарушенного скейлинга к квазискейлинговому поведению (см. обсуждение в работах [23] - [25]). Не было также полного ответа на вопрос о том, каким является поведение инклюзивных спектров в пределе высоких энергий в центральной и фрагментационных областях и как это поведение зависит (если вообще зависит) от вида структурных функций. В настоящей работе мы попытаемся дать ответ на поставленные здесь вопросы. Особенностью предлагаемого подхода является то, что рассмотрение всех ключевых моментов проводится в явной аналитической форме.

Очевидно, что зависимость структурных функций от энергии и сильная сингулярность структурных функций морских кварков в ДПМ усложняют исследование вопроса по сравнению со случаем модели кварк-глюонных струн. Другим усложняющим элементом является то, что в отличие от КГСМ в дуальной партонной модели не используется предположение о возможности представления спектров адронов в факторизован-ной форме.

Полученные в этой работе результаты важны не только с точки зрения теории, но также имеют и сугубо практическую ценность. Понимание механизмов нарушения скейлинга, пусть даже в рамках некоторой модели, служит необходимой основой для построения эффективных расчетных алгоритмов при описании взаимодействий адронов и изучении прохождения адронов высокой энергии через вещество. Очень часто в подобных задачах оказывается полезным использование некоторых приближенных выражений, имеющих более простую структуру. В данной работе этим вопросам уделяется особое внимание. В частности, для центральной области полученные в рамках дуальной партонной модели выражения сравниваются с различными экспериментальными параметризациями. На основе такого сравнения удалось не только определить численные значения параметров и выяснить их физический смысл, но и найти ограничения на область применимости некоторых экспериментальных параметризаций. Для области фрагментации также были найдены простые аналитические выражения для инклюзивных спектров с учетом нескейлинговых поправок. Полученные выражения применялись затем для расчета коэффициентов частичной неупругости и ^-факторов в широком интервале энергий.

Настоящая работа состоит из Введения, 4-х глав, Заключения и 2-х приложений. Работа имеет следующую структуру.

В Главе 1 изучается поведение структурных функций модели при конечных энергиях и в пределе т/в —>■ оо.

В Главе 2 исследуется нарушение фейнмановского скейлинга в ДПМ для центральной и фрагментационной областей.

В Главе 3 полученные в первой и второй главах соотношения применяются для описания зависимости от энергии коэффициента неупругости и

14

-факторов.

В Главе 4 на примере известной формулы Вдовчика-Вольфендейла для адронных спектров обсуждается вопрос об ограничениях, вытекающих из ДПМ, на диапазон применимости по фейнмановской переменной х ряда нескейлинговых параметризаций, и предлагается новый тип параметризации, свободный от основных недостатков \¥А¥-формул.

В Заключении сформулированы основные выводы работы.

Ряд вопросов, имеющих вспомогательный характер, вынесен в Приложения I и И.

Резюме. Во водной части обсуждалось обоснование к выбору темы диссертационного исследования, приведена постановка задачи и описана структура работы.

В заключение сформулируем основные выводы, полученные в диссертационном исследовании.

1) При высоких энергиях и ж не слишком близком к кинематическим границам, ц±/Р<х< (1 - ц±/Р), для структурных функций в дуальной партонной модели справедливы следующие выражения:

Рп (ж) и Сщх хъ'2 (1 - я)"1/2 (1 + (2п - 2) 01 (ж) + (2п - 2) (2п - 3) Ьг (ж)) - для структурных функций дикварка;

Рп (ж) « с^ ж~1/2 (1 - ж)3/2 (1 + (2п - 2) а2 + (2п - 2) (2п - 3) Ь2 (ж))

- для структурных функций валентного кварка в барионе;

Рп (х) « сп;3 х'1'2 (1 - ж)"1/2 (1 + (2п - 2) а3 (х) + (2п - 2) (2п - 3) Ь3 (я?))

- для структурных функций валентного кварка в мезоне;

Рп (ж) « сщ4 х~1 (1 - ж)2 (1 + (2п - 3) о4 (ж) + (2п - 3) (2п - 4) Ь4 (ж))

- для структурных функций морского кварка в барионе;

- для структурные функций морского кварка в мезоне. В приведенных выше формулах сщ^ - нормировочные постоянные, а сч (ж) и Ь( (ж) - некоторые функции, асимптотика которых при высоких энергиях имеет вид

Благодаря малости величин а и Ь структурные функции одного типа подобны при различных п. Отклонение от общей формы с ростом п происходит в рп благодаря поправочному члену п а (ж), а учет члена п2 Ъ (ж) при больших значениях п дает отклонение от эквидистантного расположения кривых рп (ж) (см. рис. 3-7).

2) Рост с энергией высоты "цепочечных" быстротных распределений ^скат-ькI^у зависих 0т типа цветовой цепочки. Для цветовых цепочек с морскими кварками на концах, валентными кварками на концах, и дикварками на концах рост с энергией быстротных распределений при у = О описывается выражениями

Рп » сп;5 ж"1 (1 + (2п - 3) а5 (ж) + (2п - 3) (2п - 4) Ьъ (ж)) а* ~

1/1П (Р/яО, 6г-1/1п2(Р/^).

9=0= а° I1" (Фор + -) '

-- 0=0= «о 1--7=7= + . у/фо соответственно. Здесь ^(ь 6, с, в, - постоянные. Наиболее медленный рост (1МсНагп^н/с1у |у=о характерен в дуальной партонной модели для морских кварков. Чтобы получить выражение для высоты центрального плато, необходимо просуммировать йЙсНа1П~*н / в,у по всем допустимым цветовым цепочкам, это приводит к следующему результату:

М . „ / / XV Л ь \ и« а* <»(.)>

Полученное выражение имеет простой физический смысл. В соответствии с найденной формулой рост с энергией высоты центрального плато йИ/ву |у=0 объясняется совокупным действием двух различных факторов. Первый фактор описывается членом (тг (з)) и связан с хорошо известным эффектом (см., например, [4], [35], [49]) - ростом числа цветовых цепочек (за счет рождения морских кварков из вакуума) при увеличении энергии. Второй фактор описывается в ДПМ выражением 1 — Ъ/ 1п \Jsjso, его происхождение объясняется партонной кинематикой - движением кварков внутри адрона. Рост этого фактора с энергией имеет предасимптоти-ческий характер. При асимптотически высоких энергиях, когда вклад от второго фактора в рост высоты плато становится пренебрежимо малым, увеличение с?А1/<1у |у=о может иметь место только за счет роста (п(з)). Однако, как показывает расчет (см. рис. 14), при достигнутых на сегодня в ускорительных экспериментах энергиях вклад от обоих факторов в рост ¿И/¿у о является важным.

3) В дуальной партонной модели можно выделить определенную границу

Жо = Л т±

2^ ' такую, что при |ж| < хо происходит сильное нарушение фейнмановского скейлинга, обычное для центральной области, а при |®| > жо наблюдается переход к квазискейлинговому поведению, характерному в модели для областей фрагментации, см., например, рис 21. Физическое содержание условия хо = у/тл/ (2у/в) заключается в следующем. В пространстве быстрот существуют значения у, для которых всегда можно найти такую конфигурацию кварков ql и <72 (несущих в системе центра масс доли х\ и Х2 импульса Р сталкивающихся адронов и /12), что середина цветовой цепочки, протянутой между <71 и #2, находится как раз при выбранном у и, таким образом, область вблизи этого у является центральной областью элементарного процесса (91,^2) -> Ь. Максимальное значение быстроты ?/о, при котором все еще можно найти такого рода конфигурацию кварков, соответствует середине самой быстрой цепочки, уо = | 1п (2^)» 4X0 в терминах фейнмановской переменной совпадает с приведенным выше выражением для хо.

4) В области т± х >

2уД в качестве хорошего приближения для инклюзивных спектров адронов Ь, (здесь т± - поперечная масса адрона Н) можно использовать выражение х

Е Ц ахг, йх ЫЫ)А(Ь)У \х1 где рЦх)=^ Р). п

Учет нескейлинговых поправок приводит к следующему уточнению формулы для инклюзивных спектров при х > yjт±/ (2у^):

-dN&i^bfaP) аЛр) fU — 2-, г п Е^п(-Р)

L п

Х, «Р««^1 f%(*i\P)D^h(f) dxiHjr P*(xr,P) dx2

- ;fi PS Я) (£«■-* (*))' dx. ¿x/p Ä^ifi <fo2 +.]. В этой формуле можно выделить два фактора, приводящих к нарушению скейлинга в областях фрагментации. Первый из факторов связан с отличной от нуля поперечной массой т±: ненулевая поперечная масса адронов отвечает за появление поправочных членов к первому слагаемому в правой части формулы, т±/Р входит также в нижние пределы интегрирования по Х2• Эта зависимость х ^ от первичной энергии имеет предасимп-тотический характер и исчезает в пределе Р —> оо (ср. со сказанным выше о предасимптотическом росте dN/dy |j,=:o)- Другим источником отклонения от скейлинга являются веса сгп(Р) /Е<7п(Р), описывающие вероятность процесса с участием 2п цветовых цепочек, и структурные функции рп (ж; Р). Зависимость <гп от энергии приводит к тому, что с ростом энергии увеличивается также и среднее число участвующих в реакции морских кварков. В то же время, имея "мягкие" импульсные распределения, морские кварки в ДПМ могут давать ощутимый вклад только в центральной области. Поэтому, в отличие от центральной области, при описании адронных спектров в областях фрагментации отсутствует множитель («(«))• Однако, вследствие закона сохранения энергии, влияние морских кварков в областях фрагментации проявляется через замедление валентного кварка и дикварка (это отчетливо видно из изменения формы структурных функций с ростом п на рис. 3 - 7) - хотя каждый морской кварк переносит в среднем лишь малую долю импульса адрона, с ростом числа морских кварков полный импульс, переносимый ими, может возрастать. На возможность эффекта замедления валентного кварка и ди-кварка морскими кварками в дуальной партонной модели указывалось, в частности, в работе [19]. Наши расчеты показывают, что при энергиях >/«<100 ТэВ этот эффект в ДПМ весьма мал (например спад (х)Л1 при высоких энергиях не превосходит нескольких процентов, см. рис. 22).

5) В центральной области поведение инклюзивных спектров хорошо описывается в ДПМ выражениями такого вида:

Здесь к и ш имеют смысл "высоты" и "ширины" соответствующих кривых. Появление функции к ($) в этой формуле связано с ростом высоты центрального плато И (в) = <1Л!/с1у |у=о, а функция ю (в) учитывает изменение с энергий области, в которой происходит сильное нарушение совпадает по виду с параметризациями Вдовчика-Вольфендейла. Согласно ДПМ, зависимость от ж при различных энергиях описывается в центральной области универсальной переменной х х в0-25. Такая универсальная переменная применялась ранее для параметризации экспериментальных результатов в 11А5 [54]. Отметим также, что значение показателя степени при в в этой комбинации очень близко к величине, найденной в работах [60] - [62] из фитирования ускорительных данных. Однако, в отличие от нескейлинговых формул Вдовчика-Вольфендейла, для х>^т±/ из ДПМ вытекают жесткие ограничения на применение нескейлинговых параметризаций. фейнмановского скейлинга, га (в) ~ I/«1/4. Приведенная выше формула

6) Согласно дуальной партонной модели, при высоких энергиях для коэффициентов частичной неупругости Кь должно выполнятся следующее соотношение:

Кн« Е С М ¿х,

51 где суммирование ведется по всем кваркам адрона (для вторичных частиц К из задней полусферы, т.е. полусферы адрона следует заменить суммирование по <71 суммированием по #2)- В общем случае коэффициент неупругости распадается в ДПМ на два различных слагаемых

Кн = кгЬг + к{гаат.

Здесь К™пЬг и К{га9т - вклады в Кь от центральной и фрагментационной областей соответственно. Поведение первого слагаемого совпадает с тем, что предсказывается для К формулой Вдовчика-Вольфендейла: ч л—0.25 тогда как К^тадт слабо зависит от энергии, и при высоких энергиях

Кн « к[га9т.

Соответствующий результат для ^-факторов и начальных моментов Мп имеет вид Е <*7)91/* х-*-1 (х) ¿X,

91 Е С ^ (х) <ь.

41 •/и

Численный расчет показывает, что приведенные выше приближенные формулы выполняются с высокой точностью уже при энергиях у/в > 100 ГэВ.

118

Благодарности. Считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность моему научному руководителю - Э. В. Бугаеву за огромную помощь, особенно на начальном этапе работы.

Я благодарен всем моим коллегам, принимавшим участие в обсуждениях результатов работы на всех этапах ее подготовки, за плодотворные дискуссии и ряд полезных советов.

Я сердечно благодарю Л. Б. Безрукова и Г. В. Домогацкого за их поддержку и помощь.

1. Зацепин Г. Т. Проблемы физики космических лучей. М.: Изд-во Института ядерных исследований Академии наук СССР, 1978. - Т.1. -С.249-258.

2. Ma W. G. et al. Some tests of fragmentation models in exclusive channels in K~p reactions at 32 GeV/c 11 Z. Phys. C. 1986. - Vol.30. - P.191-199.

3. Capella A., Tran Thanh Van J. A unified approach for hadronic and nuclear collisions: the dual parton model // Z. Phys. C. 1988. - Vol.38. -P. 177-185.

4. Capella A., Sukhatme U., Tan C.-I., Tran Thanh Van J. Dual parton model // Phys. Rep. 1994. - Vol.236, №4&5. - P.225-329.5. 't Hooft G. A planar diagram theory for strong interactions // Nucl. Phys. B. 1974. - Vol.72. - P.461-473.

5. Veneziano G. Regge intercepts and unitarity in planar dual models / / Nucl. Phys. B. 1974. - Vol.74. - P.365-377.

6. Veneziano G. Large N expansion in dual models // Phys. Lett. 1974. -Vol.52B, №2. - P.220-222.

7. Veneziano G. Some aspects of a unified approach to gauge, dual and Gribov theories // Nucl. Phys. B. 1976. - Vol.117. - P.519-545.

8. Ciafaloni M., Marchesini G., Veneziano G. A topological expansion for high-energy hadronic collisions. (I). General properties and connection with the reggeon calculus // Nucl. Phys. B. 1975. - Vol.98. - P.472-492.

9. Ciafaloni M., Marchesini G., Veneziano G. A topological expansion for high-energy hadronic collisions. (II). s-channel discontinuities and multiparticle content // Nucl. Phys. B. 1975. - Vol.98. - P.493-520.

10. Chan Hong-Mo, Paton J. E., Tsou Sheung Tsun, Diffractive scattering in the dual model // Nucl. Phys. B. 1975. - Vol.86. - P.479-525.

11. Chan Hong-Mo, Paton J. E., Tsou Sheung Tsun, Ng Sing Wai, Regge parameters from duality and unitarity // Nucl. Phys. B. 1975. - Vol.92. -P. 13-36.

12. Chew G. F., Rosenzweig C. Asymptotic planarity: an S-matrix basis for the Okubo-Zweig-Iizuka rule // Nucl. Phys. B. 1976. - Vol.104. - P.290-306.

13. Chew G. F., Rosenzweig C. Dual topological unitarization: an ordered approach to hadron theory // Phys. Rep. 1978. - Vol.41. - №5. - P.263-327.

14. Кайдалов А. В., Тер-Мартиросян К. А. Множественное образование ад-ронов при высоких энергиях в модели кварк-глюонных струн. Теория // Ядерная Физика. 1984. - Т.39, вып.6. - С.1545-1558.

15. Kaidalov А. В., Piskunova О Л. Inclusive spectra of barions in the quark-gluon string model // Z. Phys. C. 1986. - Vol.30. - P.145-150.

16. Кайдалов А. Б., Тер-Мартиросян К. А., Шабельский Ю. M. Инклюзивные спектры вторичных частиц в протон-ядерных столкновениях в модели кварк-глюонных струн // Ядерная физика. 1986. -Т.43, вып.5. - С.1282-1289.

17. Capella A., Tran Thanh Van J. A new parton model description of softhadron-nucleus collisions // Phys. Lett. 1980. - Vol.93B, №1,2. - P.146-150.

18. Capella A., Tran Thanh Van J. Hadron-nucleus interactions and the leading particle effect in a dual-parton model // Z. Phys. C. 1981. -Vol.10. - P.249-262.

19. Innocente V., Capella A., Ramallo A. V., Tran Thanh Van J. High mass diffraction dissociation in the dual parton model // Phys. Lett. 1986. -Vol.l69B, №2,3. - P.285-288.

20. Ranft J. The dual parton model at cosmic ray energies // Phys. Rev. D. -1995. Vol.51. - P.64-84.

21. Battistoni G., Forti C., Ranft J. Study of the high energy cosmic ray cascades using the dual parton model // Astr. Phys. 1995. - Vol.3. -P. 157-184.

22. Bugaev E. V., Gaponenko O. N. On violation of Feynman scaling law in the framework of dual parton model // Z. Phys. C. 1995. - Vol.69. -P. 135-147.

23. Bugaev E. V., Gaponenko O. N. Breakdown of scaling in multiple hadron production at high energies and the dual parton model // J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 1997. - Vol.23. - P.1093-1099.

24. Bugaev E. V., Gaponenko 0. N. Energy behavior of hadronic spectra in the dual parton model // Phys. Rev. D. 1998. - Vol.58. - P.032001-1 -032001-8.

25. Aurenche P., Gonzalez Mestres L. Structure of the cylinder term in the topological expansion // Phys. Rev. D. 1978. - Vol.18, №8. - P.2995-3008.

26. Chiu С. В., Matsuda S. Intermediate mass distribution of the dual resonance Pomeron // Nucl. Phys. B. 1978. - Vol.134. - P.463-476.

27. Cohen-Tannoudji G., El Hassouni A., Kalinowski J. et al. Partons at low Рт // Phys. Rev. D. 1980. - Vol.21, №9. - P.2699-2705.

28. Aurenche P., Bopp F. W. Rapidity spectra in proton-proton and protonantiproton scattering up to 540 GeV in a dual parton model // Phys. Lett. 1982. - Vol.ll4B, №5. - P.363-367.

29. Бугаев Э. В., Гапоненко 0. H. О нарушении фейнмановского скейлинга в дуальной партонной модели // Препринт ИЯИ 0980/98. - 1998. -35 с.

30. Кайдалов А. Б., Пискунова О. И. Образование if-мезонов в рр-взаимодействии и модель кварк-глюонных струн // Ядерная Физика. 1985. - Т.41, вып.5. - С.1278-1284.

31. Capella A., Sukhatme U., Tan C.-I., Tran Thanh Van J. Jets in smaller hadronic collisions, universality of quark fragmentation, and rising rapidity plateaus // Phys. Lett. 1979. - V0I.8IB, №1. - P.68-74.

32. Capella A., Sukhatme U., Tran Thanh Van J. Soft multihadron production from partonic structure and fragmentation functions / / Z. Phys. C. 1980. - Vol.3. - P.329-337.

33. Capella A., Tran Thanh Van J. Forward-backward correlations at SPS energies and the nature of multiple-scattering // Z. Phys. C. 1983. -Vol.18. - P.85-93.

34. Kanki T., Kinoshita K., Sumiyoshi H., Takagi F. Multiparticle production in particle and nuclear collisions. I. // Prog. Theor. Phys. Suppl. 1988. -№97A. - 213 p.

35. Kanki Т., Kinoshita К., Sumiyoshi H., Takagi F. Multiparticle production in particle and nuclear collisions. II. // Prog. Theor. Phys. Suppl. 1989. -№97B. - 290 p.

36. Абрамовский В. А., Грибов В. H., Канчели О. В. Характер инклюзивных спектров и флуктуаций в неупругих процессах, обусловленных многопомеронным обменом // Ядерная Физика. 1973. - Т. 18, вып.З. -С.595-616.

37. Ter-Martirosyan К. A. On the particle multiplicity distributions at high energy // Phys. Lett. 1973. - Vol.44B, №4. - P.377-380.

38. Тер-Мартиросян К. А., Шабельский Ю. M. Множественное рождение при периферическом взаимодействии. Теоретическая схема // Ядерная Физика. 1977. - Т.25, вып.2. - С.403-411.

39. Kaidalov А. В., Ter-Martirosyan К. A. Pomeron as quark-gluon strings and multiple hadron production at SPS-collider energies // Phys. Lett. -1982. Vol.ll7B, №3,4. - P.247-251.

40. Capella A., Kaidalov A. Hadron-hadron and hadron-nucleus scattering in Reggeon calculus with energy-momentum conservation // Nucl. Phys. B.1976, Vol.111. P.477-500.

41. Capella A., Tran Thanh Van J. High order moments of the pp multiplicity distribution in the dual parton model // Z. Phys. C. 1984. - Vol.23. -P.165-174.

42. Bertocchi L., Treleani D. Glauber theory, unitarity and the AGK cancellation // J. Phys. G: Nucl. Phys. 1977. - Vol.3, №2. - P.147-157.

43. Capella A., Krzywicki A. Inclusive production off nuclei // Phys. Lett.1977. Vol.67B, №1. P.84-88.

44. Capella A., Krzywicki A. Theoretical model of soft hadron-nucleus collisions at high energies // Phys. Rev. D. 1978. - Vol.18, №9. - P.3357-3370.

45. Capella A., Kwiecinski J., Tran Thanh Van J. High-energy nucleus-nucleus inelastic interactions in the dual parton model // Phys. Lett. -1982. V0I.IO8B, №4,5. - P.347-350.

46. Capella A., Pajares C., Ramallo A. V. High energy nucleus-nucleus collisions in the dual parton model // Nucl. Phys. B. 1984, Vol.241. -P.75-98.

47. Боресков К. Г., Кайдалов А. Б. Ядро-ядерное рассеяние в рамках гла-уберовского подхода // Ядерная Физика. 1988. - Т.48, вып.2. - С.575-599.

48. Kaidalov А. В. The quark-gluon structure of the Pomeron and the rise of inclusive spectra at high energies // Phys. Lett. 1982. - V0I.II6B, №6. -P.459-463.

49. Кайдалов А. Б., Тер-Мартиросян К. А. Множественное рождение адронов при высоких энергиях в модели кварк-глюонных струн. Сравнение с экспериментом // Ядерная Физика. 1984. - Т.40, вып. 1(7). - С.211-220.

50. Кайдалов А. Б. Функции фрагментации кварков и дикварков в модели кварк-глюонных струн // Ядерная Физика. 1987. - Т.45, вып.5. -С.1452-1461.

51. UA5 Collaboration: Alner G. J., Alpgard К., Anderer P. et al. UA5: a general study of proton antiproton physics at 1/s = 546 GeV // Phys. Rep. - 1987. - Vol.154, №5&6. - P.247-383.

52. Abe F., Amidei D., Apollinari G. et all. Transverse momentum distributions of charged particles produced in pp interactions at y/s = 630 and 1800 GeV // Phys. Rev. Lett. - 1988. - Vol.61, №16. - P. 1819-1822.

53. UA5 Collaboration: Alner G. J., Ansorge R. E., Asman B. et al. Scaling of pseudorapidity distributions at c.m. energies up to 0.9 TeV // Z. Phys. C. 1986. - Vol.33. - P.l-6.

54. Minakata H. Universal quark-jet fragmentation in soft hadronic reactions // Phys. Rev. D. 1979. - Vol.20, №7. - P.1656-1665.

55. Wdowczyk J., Wolfendale A. W. Inclusive spectra of pions produced in high-energy interactions // Nuovo Cimento. 1979. - Vol.54A, №4. -P.433-450.

56. Wdowczyk J., Wolfendale A. W. Mass composition of high-energy cosmic rays and scaling violation in their interactions // Nature. 1983. - Vol. 306, №24. - P.347-349.

57. Wdowczyk J., Wolfendale A. W. Properties of hadron interactions at extremely high energies //J. Phys. G: Nucl. Phys. 1984. - Vol.10. -P.257-272.

58. Wdowczyk J., Wolfendale A. W. Breakdown of scaling in high-energy accelerator and cosmic-ray interactions //J. Phys. G: Nucl. Phys. -1987. Vol.13. - P.411-422.

59. Bellandi J. F., Brunetto S. Q., Chinellato J. A. et al. Nuclear interactions in super high energy region // Prog. Theor. Phys. 1990. - Vol.83, №1. -P.58-76.

60. Ohsawa A. Scaling breaking-down in multiple pion production at high energy // Prog. Theor. Phys. 1990. - Vol.84, №1. - P.50-52.

61. Ohsawa A., Sawayanagi K. Breakdown of Feynman scaling law and cosmic-ray exotic events // Phys. Rev. D. 1992. - Vol.45, №9. - P.3128-3133.

62. Ohsawa A. Violation of the Feynman scaling law in the forward region // Prog. Theor. Phys. 1994. - Vol.92, №5. - P.1005-1018.

63. Capella A., Ferreiro E. G., Salgado C. A. Baryon and anti-baryon production in hadronic and nuclear interactions // Phys. Lett. 1999. -V61.459B, №1. - P.27-32.

64. Capella A., Salgado C. A. Baryon stopping and hyperon enhancement in the improved dual parton model // Phys. Rev. C. 1999. - Vol.60. -P.054906-1 - 054906-11.

65. Basile M., Bonvicini G., Romeo G. C. et al. Experimental proof that the leading protons are not correlated // Nuovo Cimento. 1983. - Vol.73A, №4. - P.329-334.

66. Geich-Gimbel C. Particle production at collider energies // Int. J. Mod. Phys. A. 1989. - Vol.4, №7. - P.1527-1680.

67. UA7 Collaboration: Pare E., Doke T., Haguenauer M. et al. Inclusive production of 7r0,s in the fragmentation region at the SppS collider // Phys. Lett. 1990. - Vol.242B, №3,4. - P.531-535.

68. He Y. D. Decreasing inelasticity with energy in pp collisions //J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 1993. - Vol.19. - P.1953-1966.

69. Wlodarczyk Z. Energy dependence of inelasticity as seen by cosmic rays // J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 1993. - Vol.19. - P.133-138.

70. Wlodarczyk Z. Energy dependence of inelasticity and gluon activity inhigh-energy reactions //J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 1995. - Voi.21. -P.281-305.

71. Capdevielle J. N., Dnnaevsky A. M., Karpova S. A. et al. Total inelasticity in p 14 N interactions at 103 104 TeV //J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. -1994. - Vol.20. - P.947-959.

72. Bellandi Fo. J., Covolan R. J. M., Dobrigkeit C. et al. On the behavior of inelasticity at very high energy // Phys. Let. 1991. - V61.262B, №1. -P. 102-104.

73. Bellandi FQ. J., Brunetto S. Q., Mundim FQ. L. M. et al. The energy dependence of the leading nucleon distribution and the evolution of the nucleonic cosmic ray component in the atmosphere // Z. Phys. C. 1991. -Vol.52. - P.627-629.

74. Bellandi J., Mundim L. M., Dias de Deus J., Covolan R. M. J. The energy dependence of the inelasticity and the nucleonic cascade //J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 1992. - Vol.18. - P.579-585.

75. Bellandi J., Godoi A. L., Covolan R. J. M., Montanha J. Diffractive contribution to the elasticity and to the nucleonic flux in the atmosphere // J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 1997. - Vol.23. - P.125-134.

76. Fowler G. N., Vourdas A., Weiner R. M., Wilk G. Inelasticity and leading-particle effect: momentum and mass distribution of the central fireball in high-energy hadronic interactions // Phys. Rev. D. 1987. - Vol.35, №3. -P.870-874.

77. Chou T. T., Yang Chen Ning, Geometrical model of multiparticle production in hadron-hadron collisions // Phys. Rev. D. 1985. - Vol.32, №7. - P.1692-1698.

78. Friedlander E. M., Weiner R. M. Particle multiplicities at the p-p collider and the hydrodynamical model // Phys. Rev. D. 1983. - Vol.28, №11. -P.2903-2904.

79. Kataja M., Ruuskanen P. V. Studies of the hydrodynamic evolution of matter produced in fluctuations in pp collisions and in ultrarelativistic nuclear collisions. II. Transverse-momentum distributions // Phys. Rev. D. 1986. - Vol.34, №9. - P.2755-2763.

80. Capella A., Tran Thanh Van J., Kwiecinski J. Minijets, QCD, and unitarity // Phys. Rev. Lett. 1987. - Vol.58, №20. - P.2015-2018.

81. Nazirov M. T., Usik P. A. Some comments on the inelasticity and the scaling problem in the fragmentation region // J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 1992. - Vol.18. - P.7-10.

82. Hwa R. C. Clustering and hadronization of quarks: a treatment of the low-pr problem // Phys. Rev. D. 1980. - Vol.22, №7. - P.1593-1608.

83. Nazareth R. A. M. S., Prado N., Kodama T. Effective fire tube and geometric scaling in proton-proton and proton-antiproton collisions // Phys. Rev. D. 1989. - Vol.40, №9. - P.2861-2868.

84. Navia C. E., Pinto H. V., Pinto F. A. et al. Inelasticity in nucleon-nucleon and nucleon-nucleus collision // Prog. Theor. Phys. 1992. - Vol.88, №1. -P.53-62.

85. Durand L., Pi H. QCD and rising cross sections // Phys. Rev. Lett. -1987. Vol.58, №4. - P.303-306.

86. Gaisser T. K., Stanev T. Mini-jets in minimum-bias events // Phys. Lett. 1989. - Vol.219B, №2,3. - P.375-380.

87. Duraes F. 0., Navarra F. S. Minijets and the behavior of inelasticity at high energies // Phys. Rev. D. 1993. - Vol.47, №7. - P.3049-3052.

88. Duraes F. 0., Navarra F. S. Minijets and inelasticity in high energy collisions // Brazilian Journal of Physics. 1993. - Vol. 23, №2. - P.209-213.

89. Shabelski Yu. M., Weiner R. M., Wilk G., Wlodarczyk Z. Energy dependence of inelasticity from high-energy cosmic ray reactions // J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 1992. - Vol.18. - P.1281-1290.

90. Popova L., Amato N., Portella H., Maldonado R. Study of the quark gluon string model predictions //J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. 1995. -Vol.21. - P.101-120.

91. Kopeliovich B. Z., Nikolaev N. N., Potashnikova I. K. Rising cross sections in QCD and the cosmic-ray data // Phys. Rev. D. 1989. -Vol.39, №3. - P.769-779.

92. Bugaev E. V., Gaponenko 0. N. Partial inelasticities from the dual parton model // Eur. Phys. J. C. 1998. - Vol.5. - P.103-110.

93. Бугаев Э. В., Гапоненко О. Н. О поведении коэффициента неупругости, начальных моментов и Z-факторов в дуальной партонной модели при высоких энергиях // Препринт ИЯИ 0995/98. - 1998. - 21 с.

94. Capella A., Tran Thanh Van J., Sukhatme U. P. Evidence for "held-back" valence quarks from particle ratios in pp and pp collisions // Phys. Lett. -1983. Vol.l25B, Ш. - P.330-334.

95. Шабельский Ю. M. Инклюзивные спектры вторичных частиц в тгр— и рр—соударениях в модели кварк-глюонных струн // Ядерная Физика. 1986. - Т.44, вып.1(7). - С.186-196.

96. Shabelski Yu. M. Inclusive spectra of secondaries produced on nuclear targets at superhigh energies and with violation of Feynman scaling // Z. Phys. C. 1988. - Vol.38. - P.569-577.

97. Ding L. Zhu Q. Energy dependence of inelasticity // Phys. Lett. 1992. -Vol.297B, №1,2. - P.201-204.

98. Gaponenko 0. Dual parton model motivated parametrization of the hadronic spectra // Phys. Rev. D. 1999. - Vol.60. - P.074005-1 -074005-6.

99. Arata N. Comparison between minimum bias events at CERN ISR and cosmic ray induced C Jet events at Chacaltaya // Nucl. Phys. B. 1983. - Vol.211. - P. 189-215.

100. Costa C. G. S., Halzen F., Salles C. Particle production in very-high-energy cosmic-ray emulsion chamber events: usual and unusual events // Phys. Rev. D. 1995. - Vol.52, №7. - P.3890-3893.

101. Capella A., Sukhatme U., Tran Thanh Van J. Two particle inclusive distributions in the dual parton model // Phys. Lett. 1982. - V61.119B, №1,2,3. - P.220-224.

102. Carruthers P., Minh Duong-van, Rapidity and angular distributions of charged secondaries according to the hydrodynamical model of particle production // Phys. Rev. D. 1973. - Vol.8, №3. - P.859-874.