Начально-краевые задачи для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений в областях с некомпактной границей. тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

и; «о

_ ^ 'у.ОП ' ^П) статут Прикладно'1 Математики 1 Мехашки Нацюнальна Академш Наук Укра'ши

Тедеев Анатолш Федорович

УДК517.946

Початково-крайогм задач! для квазипншних виродокених параболмних р1виянь в областях з некомпактною межею

01.01.02 - диференщальш р!вняння

Автореферат

дисертацп на здобутгя наукового ступеня доктора (}пзико-математичних наук

Донецьк - 1998

Дисертащею е рукопис

Роботу виконано в 1нституп прикладно! математики i мехашки HAH Украши.

Офщшш опоненти:

доктор <}шико-математичних наук, професор Самуш Давидович Ейдельман. М1жнародний Соломошв ушверситет, м.Кшв, професор

доктор ф13ико-математичних наук, професор Сергш Павлович Лавренюк, Льв1вськш державний ушверситет, завщуючий кафедрою

доктор фiзикo-мaтeмaтичниx наук, професор Олександр Андршович Панков , Вшницький державний техшчний ушверситет, професор

Провщна установа:

1нститут математики HAH Украши, м.Кшв, вщщл дифференщальних р1внянь

на засщанш спещал1зовано1 Ради Д 11.193.01 для захисту дисертацш на здобуття наукового ступеня доктора ф1зико-математичних наук при 1нституп прикладно! математики i мехашки HAH Украши за адресою: 340114, Донецьк, вул.Рози Люксембург, 74.

3 дисертащею можна ознайомитись в бiблioтeцi 1нститугу прикладно! математики i механки HAH Украши за адресою: 340114, Донецьк, вул.Рози Люксембург, 74.

Автореферат розкланий tio Qt и-Ъ-ЬЛ^к_1998 р.

Вчений секретар спещашзовано1

вчено!ради Л /.«^л ^Марковський А. I.

Загальна характеристика робота. Математичний опис багатьох ф!зичних процеа'в призводить до вироджених нелшшних р1внянь. З'ясувалося, що розв'язки початково-крайових задач для вироджених р1внянь мають ряд властивостей, яю принципово несхож1 на властивосп розв'язюв невироджених лшШних р1внянь, представником котрих е, нагфиклад, р1вняння теплопров1дносп'.

Важливим прикладом вироджених квазшншних р1внянь другого порядку е piвняння неньютоново! пружно! фшьтраци

с,

та ртняння пористого середовиша

— = Аи" ,т>\. (2)

дг

Очевидно, що (1) вироджуеться при |Ум| = 0 , а (2) при и — 0.

В роботах ГЛ.Баренблатга для р1внянь (1) \ (2) було знайдено розв'язок вигляду:

и(х,1) = к т~Н

, тя-1, Ь--Ы и Г

дн-1 I т к

71-1

т

(3)

и(х,1) = /

В-

т- 1 \х\

2тК~% (к J

1

шЧ

(4)

де к = Ы{т -1) + ттг +1, К = N{14 -1) + 2, Ь, В - довшьш до-

датш сташ, [>>]+ = тах{0,у}.

3 формул (3) 1 (4) можна бачити, що, по-перше, серед розв'язюв 31внянь (1) 1 (2) е розв'язки, яи не мають других похщних по просторових шшних 1, отже, розв'язки повинш розумтися в узагальненому сена. Подруге, щ розв'язки мають властивосп юнцево! швидкост розповсюдження ?бурення або, шакше кажучи, мають фшггш носи. Це значить, що для тюбого часу ? > 0 розв'язки € фштшми по просторових змшних.

Числа к \ К у певному сени е ушверсальними 1 звуться показника-ми Баренблатга. Принциповими питаниями при вивченш початково-крайових задач для р1внянь (1) 1 (2) е: розв'язшсть, оцшка швидкосп стабшзаци, оцшка розм!р!в нот, проблема гладкое™ та шни локальш властивосп розв'язюв. 1накше кажучи, питания яюсно! теорп цих задач.

Для лшйних парабол1чних р1внянь загального вигляду питания розв'язносп, стабшзаци та деяю шип ягасш властивосп розв'язюв були вивчеш в достатньо повному обсяз1, дякуючи, в основному, фундаменталь-ним результатам А.Н.Т1хонова, 1.Г.Петровського, С.Д.Ейдельмана, О.А.Олшник та ших учшв. Однак, побудова аналопчно! теорн для квазшншних вироджених р1внянь вимагае шших шдход!в.

Починаючи з тонерських робп О.А.Олшник, А.С.Калашникова юнця 50-х рошв 1 до сьогодш яюсна теорш вироджених р1внянь штенсивно розвиваеться. Робота О.А.Олшник, А.С.Калашникова, С.Камш, А.Фрщмана, ЛЛелетье, Д.Аронсона, М.Крандалла, Ф.Беншана 1 70-х роив ктотно розширили коло питань, пов'язаних з яысними властивостями розв'язюв. З'ясувалося, наприклад, що асимптотично за часом розв'язок задач! Кони з початковою функщею з простору /,[(?{л) для р1вняння (2) е близьким до розв'язку (4). Було звернено увагу на ¡стотний вплив молодших члешв в р1вняннях типу стоку або так звано! абсорбци i джерела. Вщзначимо в цьому напрям! робота А.С.Калашникова, Р.Кершнера, Х.Фуджпи, М.Тсугсум!, X.Левша. Наприкшцг 60-х роюв Х.Фуджпа встановив, що розв'язок задач! Кош! для р1вняння теплопровщносп з джерелом:

и, =Аи+ир, (х,/)е£>г = Я*®(0,7)

и(х,0) - щ (х) , х е Я", и0(х) > 0, щ е (Яы), (5>

не завжди юнуе в щлому по ча<л. Точшше, вш дов!в, що для ушх 2

\< р< р =1 + — розв'язок "вибухае" за синченний час, такше кажучи,

¡снуе Т < оо таке, що |м(.,/)|ж наближаеться до несюнченност! при ? —> Т для довшьних початкових даних, яга вщмшш вщ нуля, ! навпаки, при р> р' та для достатньо малих, в означеному сена, початкових даних розв'язок кнуе в цшому по чаи. В подальшому число р' було названо критичним показником, а твердження такого сорту - теоремами типу Фуджити.

У 80-71 роки увагу багатьох математигав привернула до себе проблема гладкосп та локальш властивосп розв'язгав нелшшних вироджених р4внянь типу (1) або (2). Гстотно було розвинено методи дослщження, яю охоплюють бшын широга класи вироджених р1внянь, розвинено -теорш. Це роботи Н.Алшакоса, Р.Ростам1ана, Еванса, М.Крандалла, А.Фрщмана, Ф.Бешлана, ЖЛ.Васгаса, Е.Д1 Бенедетго, М.Пьер, М.Херреро, В.Альта, С.Лукхауса та ¡нших.

В роботах С.Н.Антонцева було запропоновано енергетичний метод, який базуеться на локальних ¡нтегральних oцiнкax енергй розв'язку, доведено ¿снування фшггаосп НОС1Я розв'язку виродженого р1вняння, а також дано кшьюсш оцшки розм1р!в носк. В подальшому цей метод було розвинено в роботах 1.Д1аза, Л.Верона, а також в роботах Ф.Бершса для виродних р1внянь високого порядку.

В роботах В.А.Галакпонова (1984 р.) результата типу теореми Фуд-жити було перенесено на розв'язок зада1» Копп для в1фоджених р!внянь з джерелом:

^ = (Н""Ч) + »'> МеДг. (6)

Зм

— = кит+ир, (х,1)еОТ, (7)

дг

и(х,0) = и0(х), хе<Я". (8)

та отримано HOBi критичш показники: для задач1 (6), (8)

m+1 , 2

р =тЛ--, для задач1 (7), (8) р =тЛ--.В подальшому ui

N N

результата було поглиблено в спшьних роботах В.А.Галакпонова, А.А.Самарського, С.П.Курдюмова, А.П.Михайлова та шдсумовано в 1х монографп 1987 року.

У 90-Ti роки ¡стотний внесок до рамочних аспекпв ямсноГ теорй квазшншних виродних р1внянь внесла Донецька школа Нелшшного анатзу. Вщзначимо тут роботи щодо гладкосп та задач усереднення для р1внянь другого та вищих порядив ГВ.Скрипника, роботи Б.В.Базатя щодо задач1 Стефана, роботи А.С.Шишкова щодо ощ'нок p03MipiB ноая розв'язку для парабол1чних р1внянь високого порядку.

В 1987 poui було опублковано оглядову роботу А.С.Калашникова з яшсно1 Teopii' нелшшних вироджених р!внянь, яка Mi стать практично повний перелж основних результата за минул1 до 1987 року 30 рогав розвитку uici Teopii. 3 цього огляду можна бачити, що в напрямку якюного

доашдження початково-крайових задач в областях з некомпактними межами для нелшшних вироджених р1внянь результат практично немае.

Початково-крайова задача для лшшних парабол!чних р!внянь другого порядку в обласп з некомпактною межею систематично вивчалася в роботах А.К.Гущина. В 1973 рощ ним було розглянуто наступну початково-крайову задачу Неймана:

ди ы /9 / \

§7 = (*.0^), (*,0 еа® (О,Т), (9)

N

5>„(х,/)их у., =0, (Ю)

V 4 ' Х1 ' Я38С0.7) ' 4

¡¿=1

ы(х,0) = и0{х), хеО, (11)

де - необмежена область з некомпактною межею в 9?л , N >2 . При визначених умовах на геометрно обласп, яи описуються в термшах ¡зопериметричносп та умовах р1вном1рно1 парабол1чносп коефщенпв а^

для початкових функцш з классу Ьх (О.) знайдено числову характеристику обласп, в термшах яко1 даеться двостороння оцшка 8ир|й(х,/)| = ||«(. ' Нехай у(Л) = да£5„{пГ){Н<Л}}. Тода V/> 1

п

згадана оцшка мае вигляд:

1К.01

де знак ~ означае, що ||и(. пощнюсться зверху i знизу правою частиною (12).

3 оцшки (12) видно, що коли , ¡накше кажучи О

розширюеться як увесь проспр, наприклад, конус в Ял , то швндисть стабшзаци така ж, як у випадку задач1 Копп:

И«(-.о||..0 -К«,*''*-

Яюцо ж v(R)~ R , шакше кажучи П е, наприклад, областю цшнндричного типу з обмеженим nepepi30M по х' = (х, ,..., л:лг_1) , то швидюсть стабшзаци така ж, як у випадку одновим1рно! задач1 Kouii:

И- .olL.0~

Цшаво вщзначити, що швидюсть стабшзацп там вище, чим "ширше" область на несюнченносп i досягае максимального значения для областей , що розширюються як усе 31N .

Розглянемо тепер крайову умову Д1р1хле

W|cD®(Q,D= 0 ' (13)

З'ясувалося, що залежшсть вщ геометри обласп поведшки розв'язку задач1 (9), (13), (11) при великих значениях часу в певному сена д1аметрально протилежна до поведшки розв'язку задач1 (9)-(11). Власне, з результата роб!т Ф.Х.Мукмшова випливае, що на гпдмшу вщ задач! Неймана швидюсть стабшзаци в задач1- Дipixлe тим вище, чим "вужча" область на

несганченносп. Наприклад, яюцо О = ||х'| < ,0 < а < 11, то для

розв'язку задач! (9), (13), (11) е справедливою ощнка:

||«(.,/)Ед<ф0£пехр -

V

1-аЛ

-ytl+a

у> 0 .

(14)

/

3 (14) видно, що чим ближче а до нуля, шакше кажучи, чим скориы "звужуеться" на несинченносл', тим скорш швидисть стабшзаци до нуля Ь2-норми розв'язку, а отже 1 ||м ( . , ?)||ж , тод1 як ми бачили, що у випадку задач1 Неймана ситуаш'я зворотня.

Актуальшсть теми. Природньо поставите запитання: чи буде збер1гатися вказана тенденцш для вироджених р1внянь типу (1) або (2). Актуальним для таких р1'внянь е також отримати: точш ощнки швидкосл стабшзаци, розм1р1в нociя узагальнених розв'языв задач Неймана 1 Дipixлe в областях з некомпактними межами, теореми типу Фуджити. Дослщженню цих питань 1 присвячено дисертацшну роботу.

Мета I задач! дослшження. Дослщження яюсних властивостей розв'язюв задач Неймана 1 Д1р1хле для вироджених квазшшйних пара-бол1чних р1внянь в областях з некомпактною межею.

Розвиваеться ¡теративний метод Мозера-Алжакоса, впроваджуеться новий енергетичний пщхщ доведения фиптност1 нос!я, заснований на комбшацп метода Антонцева 1 Д! Бенедетго. Впроваджуеться спещальний ваговий енергетичний пщхщ для отримання точних оцшок розв'язюв початково-крайово! задач1 Д!р1хле в областях типу октанту.

Наукова новизна одержаних результата . Для початково-крайово! задач! Неймана для вироджених квазшшйних парабол1Чних р!внянь типу неньютоново! пружно! фшьтраци в областях з некомпактною межею встановлено точн! ощнки при необмеженому збшыненш часу ! максимуму модуля град!ент!в розв'язку, точн! оцшки розм!р!в нос!я розв'язку, доведено теорему типу Фуджити при наявносп додаткових член!в в р!внянн! типу джерела.

Для початково-крайово! задач! Д!р!хле для вироджених квазшшйних парабол!чних р!внянь типу р!вняння пористого середовища в необмежених областях типу октанту встановлеш: точш оц!нки максимуму модуля розв'язку при необмеженому збшьшенн! часу, точш ощнки рад!усу ноия розв'язку.

Для розв'язку початково-крайово! задач! Д!р!хле в гавпростор! квазшшйного виродженого парабол!чного р!вняння високого порядку з абсорбщею або конвекщею дано точш ошнки розм!р!в нос!я.

Результата робота ! розвинеш в н!й методи можуть бути використаш при подальшому вивченн! питань, що пов'язан! з яюсними властивостями розвя'зив початково-крайових задач для квазшшйних парабол!чних р!внянь другого та високого порядив в областях з некомпактною межею.

Особистий внесок здобувача.

В робо-п [1] авторов! належить доказ теорем I ! 2 про поведшку розв'язюв початково-крайово! задач! для квазшшйного парабол!чного р!вняння на несинченност!.

В робот! [10] автором доведено теорему 1 про ощнку знизу розв'язку задач! Д!р!хле для нашвлшшного парабол!чного р!вняння.

В робот! [11] автором доведено теорему пор!вняння для р1вняння пористого середовища з джерелом (теорема 2).

В робот! [12] авторов! належить доказ теореми пор!вняння.

В робо-п [16] автором доведено частину (а) твердження теореми про ощнку максимуму модуля розв'язку.

В poöori [17] автором доведено теореми 1.1.-1.3. для випадку р1вняння неньютоново! пружно! фшьтрадй.

Апробаш'я результата дисертацп. Результата робота допов1далися на Мжнародному KoHrpeci Математаюв (Hiopix, 3-11 серпня 1994 року), на 1П Мжнародному KoHrpeci з прикладшн та шду<щнально1 математики ICIAM-95 (Гамбург, 1995), на декшькох республканських та м1жнародних конференциях з р1внянь з частинними похвдними, яга було оргашзовано ШММ HAH Украши (Донецьк-1991, Крим-1993, Кшв-1995, 1997), на сем1нарах ГВ.Скрипника (ШММ HAH Украши, Донецьк, 1989-1997), А.К.Гущина та В.П.Михайлова(Москва, 1нститут ш.В.А.Стеклова, 1988, 1993), Ю.М.Березанського та М.Л.Горбачука (Кш'в, 1нститут Математики HAH Украши, 1998), О.О.Ладиженсько1 (Леншград, ЛОМ1, 1991), А.Фазано (Флоренщя, 1996, 1997).

Публшацн. Результата дисертаци OIIyблiкoвaнo в роботах [1]-[20].

Структура дисертацп. Диcepтaцiя складаеться з вступу, двох глав, доповнення та списку лггератури (88 найменувань). Загальний об'ем дисертацн складае 252 сторшок.

ОСНОВНИЙ 3M1CT.

Перед там, як перейти до змюту дисертацп, введемо ряд дoпoмiжниx позначень та визначень.

Так, нехай Q. (Z У1к', N > 2 - необмежена область з достатньо гладкою некомпактною межею, яка Mi стать початок координат.

Введемо функцио /(v), v> 0, яка характеризуе периметр, наступ-ним чином. Нехай {Q}- всшяю вщкрип тдмножини Q з лтшицевою межею та фнссованою Mipora v: mesNQ = v. Визначимо

Будемо казати, що Г2 е Вг (g) , коли Vv > 0 ¿снуе неперервна функция

N-l 1

g(v) така, що V " /S(v) ~ монотонно не спадае та виконано нер1вшсть

/(v)>g(v).

Нехай Вя - куля радиусу R з центром в нулй v(R) = /ijes^fifl-S,,). Через R(v) позначимо обернену до v(R) функцш.

Будемо казати, що Q. еВ2 (g), коли Q е В, (g) та виконано нер1вшсть

v

R(v) > с -, Vv > 0, с0 - const > 0 .

g(v)

Hapeuni, скажемо, що Q. eB3(g) (B4(g)), коли

Q eBl (g) (В2 (g)j i функцш g(v) Vv > 0 монотонно не спадае. Вщзначимо, що класи B3(g) та В4 (g) було впроваджено Ф.К.Гущиним (1973р.). Класи Bj(g) та B2(g) впроваджуються в робо-ri, напевне, уперше.

Перейдемо до опису 3Micry першо! глави, котру присвячено вивченшо яюсних властивостей розв'язку початково-крайово! задач1 Неймана доя квазшншного виродженого р1вняння другого порядку в обласп з некомпактною межею.

В пункп 1.1. доведено теорему типу Соболева-Иренберга-Гальярдо в областях класу Bl (g). Для функцн з класу

Np N-p'

HepiBHicrb

Е p'q

\\Vi\'dx>c(q,p) -

W'f (П)П^(П), Q<j3<p<N,\<q< —-,p > 1 встановлюеться наступна

Е.<-/>

де

Er^Wdx,GM(z) = -

g(z)P

HepiemcTb e непокращуваною в клаа Bl(g) i характеризуе залежшсть теореми вкладення типу Соболева-Шренберга-Гальярдо вщ геометричних властивостей обласп.

В пункт11.2. дослщжуються загальш властивосп розв'язку задач!

—=£—(|*ГЧ), —

д1 1 V ¿V

ы(х,0)= и0(х),х ей,

= 0,

в £> = Й®(/>0).

До не! вщносяться теореми кнування та единосп енергетичних розв'язгав, властив^сть закону збереження маси, груб! ощнки розм!р1в носш. Взагага, щ результата мають допом1жний характер.

Пункт 1.3 присвячено оцшкам швидкосп стабшзацн розв'язку задач1 (15). Основним результатом цього пункту с

Теорема 1.2. Нехай П е!|(О)П100(П),к0 >0 м.в. хей.

Тод1 для розв'язку задач1 (15) буде правильною наступна ощнка

«('КЦ )

V2"1

де Со(м) - оберненадо -:- функщя.

О)

Яюцо додатково вщомо, що функщя <р(Ю — у(Я)т~1 е монотонною 1 (р (Я) —»■ оо при А! —> со , то ощнка (16) мае мкце також для 0< т< 1, V* > 1 .

Яйцо й € В2 ($•), то (16) перепишеться у вигдяд1

де -оберненадо л>(К)т'1 функц1я.

В пункт! 1.4. даеться ощнка . Основним результатом

пункту е

Теорема 1.3. Нехай и{х,1) - розв'язок зада'п (15) в £> = й®(*>0),т>1,ЙеЯ2(£),Й - опукла область в 91* . Припустимо, що м0 > 0 в п,и0 еЬ,(С1)С[^(а),и0 ей^П). Тода > О е правильною наступна ощнка

llv»("')!L* ^Ч,, r-v (18)

де 91(0) та ж сама, що в (17).

Як приклад розглянемо Q = Cih = jx е 91N ; |х'| < xhN |, О < h < 1, х' = (х,..,xN). Tofli оцшка (18) матиме вигляд

(19)

7 г /АГ 1Ч7Ч 1 2(m + l) + (N-l)(m-l)h

к = (m-l)(l + (N -l)h) + m+l,y = —--—----—.

к

Пункт 1.6. присвячено оцшкам ||M(->0|Ln розв'язку задач! (15), т > 1 , в обласи D = Q ® (t > 0), Г2 е Вх (g) i початкових функщй

класу /,л(0)П£„(£2), > 1- Задля наочносп наведемо окремий випадок

основного результату цього пункту.

Нехай u(x,t) - розв'язок задач! (15) в D = n®(t>0),m>\,CleB2(g), «0 eIft(D)nL„(Q) i и0{х)~

v(|x|) СТ, 0 < er < 1, р0 > — , |х| > 1. Tofli кнуе вим1рна функщя 9i, (i), така, що при / > 1

9i,(i)m+Iv(91I(0)(ra"1)<r~ <

i Vi > 1 мае мюце оцшка

|м(.,0|| <---• (20)

В пункп 1.6. наведено результата, яи харакгеризують фундамен-тальну властив1сть вироджених р1внянь. Це властивгсть фшггносп нос1я. На 6a3i точних оцшок po3Mipiß нооя встановлюються оцшки знизу ||и(., Oll п> ЩО шдтверджують точшеть результата попередшх пункта.

К

t

Наведемо основний результат цього пункту. Нехай ¿¡(J) = inf> 0|support и(., t) с j. Теорема 1.5.

Нехай supp и0 а Вро, рй > 0, и0 е Lx (П), Q е В3 (g) i u{x,t) -розв'язок задач1 (15) в D = Q ® (t > 0), т > 1 . Тод1 ¡снуе /0 > 0 , таке, що V/ > t0 мають Micne оцшки

aO^C(p0)G0(ft)(r||Mo|C)), (21)

аО^^адф^1)). (22)

Якщодотогож CleB4(g), то Vt > tQ

at) ~ hip, (23)

5

g(s)

В пункп 1.7. розглядаеться початково-крайова задача з джерелом: — = divi^7u\m'1 V«) + и" , р > 1, т > 1,

J (24)

аи I

яв(«>0) = 0» "(*>°) = и0(х),хеп.

Основна мета цього пункту: знайти умови на параметри р,пг, структуру початковоТ функцй та область О, яю забезпечують або глобальну розв'язшсть по чаш, або ¡снування режиму з загостренням. 1накше кажучи, довести теорему типу Фуджити для (24).

Вщповщь на поставлен! питания дають наступш теореми цього пункту.

Теорема 1.7. Нехай О е 5, (§) 1 виконаш наступш умови:

dr

>(г)'

IK IL + hIL < S{N,m,p),

де S - досить мале додатне число,

Л>(р- 1)Жя , zД = Ш/(Щт -1) + Я(т + 1)).

Тод1 задача (24) е глобально розв'язною по 4aci i мають мюце наступш твердження

®(<lkL)

яйцо до того ж ПбВ; (g) i support и0 а Вр<> ,т> 1, тсда V7 > О

Vi>l,

'О 111,а

v(G0(ffl(/||M0|liO)))

Якщо Q е В4 (g) , то V/ > 1

4

Ни,

l!«(.,oL

■О 111 Л

ао ~ и(Ф„Ю

Теорема 1.8. Нехай Q eBl(g),p> т i

р-т

|у(г ",+1)^г<оо. (26)

Тод1 будь-який невщ'емний розв'язок и(х, /) задач1 (24) в ПТ стае необмеженим за сюнченний час за умови, що ¡снуе Л : 0 < X < (т + 1 )/(р - т) та незростаюча функщя % (Ас0) (0> така, що

Як приклад, що шдтверджуе точшсть результата теорем 1.7. та 1.8.

розглянемо знов й = Оа Тод! умову (25) виконано, якщо

т+1 т+1 р> тл--, а умову (26) - якщо р <т-\--.

(.¿V - 1)А +1 и + 1

т+ 1

Таким чином, р — р = т-1--вщирае роль критичного

(М-1)А + 1

показника \ при А = 1 (випадок, коли £1 е конусом) сшвпадае з показни-ком, що отримано В.А.Галактюновим.

Вщзначимо також, що оцшки (16)-(19) при А=1 вщповщають ощнкам, яга отримано для розв'язку задач! Кош! в роботах Н.Алжакоса, Р.Ростам!ана, Е.Д! Бенедетто.

Кр!м того, оцшки (16), (17) при т— 1 сшвпадають з оцшками А.К.Гущина.

Показник к = (т + 1)(1 + (А^-1)/г) + т + 1 в (19) вадграе роль показника Баренблатта для задач! Неймана! сшвпадае з ним при А = 1.

Оцшки (21)-(23) вщповщають оц!нкам, що отримано Ф.Бернюом у випадку, коли О. - конус.

Перейдемо до викладу результата глави 2 з поведшки початково-крайово! задач! Д1р1хле у необмежених областях.

Нехай * = =9?л'Л{х, ,...,хк >о},1<А:<^. Розглянемо в

облает! ВТ =3?4 ®(0,Т),Т > 0 наступну початково-

крайову задачу

м, = А<р (и), (х, Г) е Ог , (27)

о

и = 0, (х,Об (О, Г), (28)

и(х,0) = и0(х),х еЖ" ,и0(х)>0 . (29)

Тут (р (з): —> е абсолютно неперервною неспадною функщею, що задовольняе умовам

р(0)=0,?(1)=1,

1 + У'1 <<р'(з)51<р{з)<у,у>2, М.В. 5 > 0 . (30)

Позначимо Ф(5) = <г>Хк =х, ...хк = Вр П{х, >0}. Основним результатом пункту 2.2. е

Теорема 2.1. Нехай и(х, /) е локальним розв'язком задач1 (27)-(29) в £)г . Тод1 юнуе така додатна стала с0 (Ы, т, V), що

V /: 0 < / < Тг, р> г > 0 мае мкце наступна оцшка

„ , .и

де

ЦКШ^вир^-^р2)]"1/^^,

ргг В*

*>к

ф-\р2)

<с|||*

(31)

т; = с0 эир

р>г

Ф / Хки0ск

и;

/И* «-¿г/и*.

Для р^вняння пористого середовища (р (и) = и"', т > 1 , оцшка (31) прийме вигляд

Я+к

для О<КТГ,

(32)

Тг = С0 Бир

р>г

К ||г. = 5иР

рЪ.г

2+(ЛЧ<:Хи-1)

т-1

| Хкийс1х

к р

¡Хки0 (к

В пункп 2.3. за деяких додаткових обмежень на <р (я) та фпптних початкових даних з Ьх для розв'язку зада1» (27)-(29) встановлено ДВОСТОрОННЮ ОЦШКу НОС1Я 440 •'

Н+к

,У/>1, (33)

Ы+к

де -оберненадо [Ф(Ч')] 2 у функшя.

СО)

(-1)

г л МО)

N +к

V * 2

Результата вказаних пункта е новими I у випадку <р(и)= и" ,т> 1.

Пункта 2.4.-2.6. присвячено р1внянням високого порядку. Наведемо основш результата цих пункпв. Нехай Л" = Иы > 0], N > 1. Розгля-

немо в 5Г= ® (О, Т) початково-крайову задачу Ко1ш-Д1р1хле

д_ д1

ЕР и

(Н'-'и)

+ Ьи-\-ах\и\р ' +Ь, ^

(34)

(35)

«?®<о.г> = °'И - й1"1» м(*'0) = Н°(Х)>Х '

Ьи=(-1)тАти,т>1,0<д<1,р>1 , Ати - натвлапласпан по просторових змшних. Випадок я, = 1, Ъх = О вщповщае р1внянню реакцн-дифузн з абсорбщею, а випадок а, = О, Ьх = — 1 - р!внянню реакци- дифузн з конвекщею. Припустимо, що

вирр и0 с В^ = Н'-' П{|х| < /?„} 1 м0 (х) е Ьч+1 (5Й+ ) . Основним результатом пункту 2.4. е наступна

Теорема 2.3. Нехай и(х, /) - розв'язок задач! (34), (35) в £>г , \7Т > 0 . Тод1 при достатньо великих значениях Т> О е в1рними наступи! оцшки.

При а, = 1, Ьх = О

сТр\Рй =

1 + д

Р<Г о = сГ°,р>у0.

{Ы + \){\-д) + 2т{\ + д) р- 1

2т(р-д)'

(36)

При а, = 0, = -1

сТРа

ао*

ст'\р0 <в0 = ——,

,Ио 0 2m(p-l) + g-l (37)

сТ9\Рй>в0.

Якщо додатково вщомо, що sup j"x,|u(.,t)\4dx < p0 < со , то оцшки

<7

Ш<а>

(36), (37) мають Micue з замшою /?0 на ¡5 —

(N ■+ 1)(1 - q) + 2mq

В nyHicri 2.5. розглянуто наступну початково-крайову задачу в DT =П®(0,Т),УТ>0

^- + (-iyZDaAa(x,t,u,...,Dau)=0,m>l, (38)

Ot |a|=m

(39)

w(x,0) = u0(x) ,x eQ., (40)

де fi- довшьна необмежена область в й N, N > 2, х = (Xj ,..., xN ), Аа (х, - каратеодор1'ев1' функцй, що задовольняють умовам

jajem ¡a|=m

\a\=nt |a|=m

для будь-якого вектора | = % = (4'а ), И = i, с0 , с, -

додатш стал1, и0 е L2 (Q), sup port и0 с. BRj .

Наведемо окремий випадок основно! теореми 2.5. цього пункту. Нехай a = jx € 91N; |xf| < х° , 0 < а < 1}.

Тод1 для розв'язання задач! (38)-(40) мае масце оцшка

Висновки

Доведено точну теорему вкладення типу Соболева-Ирен берга-Гальярдо в областях з некомпактною межею.

Для розв'язку початково-крайово! задач! Неймана для квазшншного виродженого парабол!чного р!вняння другого порядку в обласп з некомпактною межею дано точну ощнку швидкосп стабшзацп, доведено властивють кшцево! швидкосп розповсюдження збурення 1 дано точну ощнку розм!р!в НОСИ.

Виршено проблему Фуджити про наявшсть або вггсутшсть глобального по чаи розв'язку задач1 Неймана для квазинншного пара-бол!чного р!вняння з джерелом в обласп з некомпактною межею.

Встановлено точш за порядком локальш та глобальш оцшки максимуму розв'язку задач! КошьД1р1хле для р!вняння узагальненого пористого середовища в областях типу октанту 1 дано точш оцшки розм1'р1в нос!я.

Отримано точну ощнку нос!я розв'язку задач! Коцп-Д!р!хле для р!внянь високого порядку в швпростор!.

Список опублшованих автором праць за темою дисертац!!

1. Тедеев А.Ф., Шишков А.Е. Поведение решений и субрешений квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях и в окрестности граничной точки // Известия ВУЗов. Математика -1985. - N 9. - с.77-79.

2. Тедеев А.Ф. Оценки скорости стабилизации при I -> оо решения второй смешаной задачи для квазилинейного параболического уравнения

второго порядка // Дифференц.уравнения. - 1991. - т.27, N 10. -с.1795-1806.

3. Тедеев А.Ф. Стабилизация решения третьей смешаной задачи для казилинейных параболических уравнений второго порядка в нецилиндрической области // Известия ВУЗов. Математика - 1991 - N 1. -

с.63-73.

4. Тедеев А.Ф. Стабилизация решений первой смешаной задачи для квазилинейного параболического уравнения высокого порядка // Дифференц.уравнения - 1989. - т.25, N 3 - с.491-498.

5. Тедеев А.Ф. Двусторонние оценки скорости стабилизации решения второй смешаной задачи для квазилинейного параболического уравнения второго порядка// Докл. АН УССР. -1991. - N 14. - с. 11-13.

6. Тедеев А.Ф. О мультипликативных неравенствах в областях с некомпактной границей // Укр.мат.журн. - 1992. - т.44, N 2. -с.260-268.

7. Тедеев А.Ф. Двусторонние оценки скорости стабилизации решения второй смешаной задачи для квазилинейного параболического уравнения второго порядка // Нелинейные граничные задачи - 1992. - N 4.

- с.101-112.

8. Тедеев А.Ф. Стабилизация решений начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений//Укр.мат.журн. - 1992. -т.44, N 10. - с.1441-1450.

9. Тедеев А.Ф. Качественные свойства решений задачи Неймана для квазилинейного параболического уравнения высокого порядка // Укр.мат.журн. - 1993. - т.45, N11,- с. 1571-1579.

10. Базалий Б.В., Тедеев А.Ф. Об оценках скорости стабилизации некоторых задач со свободной границей // Укр.мат.журн. - 1992. -т.44, N 10. - с.1299-1306.

И. Базалий Б.В., Тедеев А.Ф. Симметризация и начально-краевые задачи для некоторых классов нелинейных параболических уравнений второго порядка // Укр.мат.журн. - 1993. -т.45, N 7. - с.884-892.

12. Базалий Б.В., Тедеев А.Ф. Метод симметризации и оценки решений задачи Неймана при неограниченном возрастании времени для уравнения пористой среды в областях с некомпактной границей //

Укр.мат.журн. - 1995. - т.47, N 2. - c.l47-157.

13. Тедеев А.Ф. Оценки скорости стабилизации решения первой начально-краевой задачи для уравнения пористой среды в неограниченной области // Мат.заметки. - 1995. - т.57, N 3. - с.473-476.

14. Тедеев А.Ф. Двусторонние оценки задачи Неймана при t —> со для квазилинейного параболического уравнения второго порядка // Укр.мат.журн. - 1996. -т.48, N 7. -с.989-998.

15. Тедеев А.Ф. Локальные и глобальные свойства решений задачи Коши-Дирихле для квазилинейного параболического уравнения второго порядка в неограниченной области // Дифференц.уравнения -

1996. - т.32, N 8. - с.1071-1078.

16. Скрыпник И.И., Тедеев А.Ф. Локальные оценки решения задачи Коши для квазилинейного параболического уравнения второго порядка. Весовой случай. I. // Сиб.мат.журн. - 1997. -т.38, N 1. -

с. 193-207.

17. Andreucci D., Tedeev A.F. Fujita type result for a degenerate Neumann problem in domains with noncompact boundary// - Roma.: 1996.-21 p. (Preprint / Dipartimento Metodi e Modelli Matematici Univ. La Sapienza).

18. Tedeev A.F. Long time behavior of the degenerate quasilinear parabolic equation in unbounded domains // ISM 94. - International Congress of Mathematicians - Zurich : 3-llA August 1994 p.183.

19. Tedeev A.F. Long time behavior of solutions of a second order quasilinear parabolic equation // "ICLAM 95 - The Third International Congress on Industrial and Applied Mathematics". - Hamburg: 3-7 July. - 1995. - p.458.

20. Tedeev A.F. On global solvability for parabolic equation with blow up term // International Conference "Nonlinear Differential equations." - Kiev: August 2127, 1995.-p.165.

Тедеев А.Ф. Початково-крайов1 задач} для квазшшйних вироджених пapaбoлiчниx р1внянь в областях з некомпактною межею. - Рукопис.

Дисертащя на здобуття наукового ступеня доктора ф1зико-математичних наук з спещальносп 01.01.02 - диференщальш р1вняння. -1нститут прикладно!" математики i мехашки НАН Украши, Донецьк, 1998.

Дисертащ'ю присвячено питаниям яюсного дослщження ршень задач Неймана 1 Д1р1хле для широких клас!в вироджених нелшшних пара-бол1чних р1внянь в областях з некомпактними межами. До клаав розглянутих piвнянь входять, наприклад, р1вняння неньютоново! пружно! фшьтраци та пористого середовища. Для узагальнених ршень розглядува-них задач отримано точш оцшки швидкосп стабшзаци максимуму модуля, доведено властивють сюнченно! швидкосп розповсюдження збурень i дано точну ощнку poзмipiв ноая. Доведено теорему типу Фуджити про наявшсть або вщсутшсть глобального за часом рппення задач з джерелом. Характерною особливютю отриманих результата е точна залежшсть поведшки рппення вщ геометричних властивостей обласп, що описуються в термшах ¿зопериметричних нер]вностей.

Точшсть результапв досягнуто завдяки створенню нових енергетич-них шдходш, як] базуються на вщомих результатах Е.Де-Джордж1, О.О.ЛадиженськоУ, Н.Н.Уральцево"1, Е.Д] Бенедетго, С.Н.Антонцева.

Юпочов1 слова: квазшншне р1вняння, виродження, парабол^чний тип, початково-крайов1 задач], некомпактш меж1, яюсна поведшка.

Тедеев А.Ф. Начально-краевые задачи для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений в областях с некомпактной границей. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 1998.

Диссертация поссвящена вопросам качественного исследования решений задач Неймана и Дирихле для широких классов вырождающихся нелинейных параболических уравнений в областях с некомпактными границами. В классы рассматриваемых уравнений входят, например, уравнения неньютоновской упругой фильтрации и пористой Среды. Для обобщенных решений рассматриваемых задач получены точные оценки скорости стабилизации максимума модуля, доказано свойство конечной скорости распространения возмущений и дана точная оценка размеров носителя. Доказана теорема типа Фуджиты о наличии либо отсутствии глобального по времени решения задач с источником. Характернной особенностью полученных результатов является точная зависимость поведения решения от геометрических свойств области, описываемых в терминах изопериметрических неравенств.

Точность результатов достигается благодаря созданию новых энергетических подходов, основанных на известных результатах Е.Де-Джорджи, О.А.Ладыженской, Н.Н.Уральцевой, Е.Ди Бенедетго, С.Н.Антонцева.

Ключевые слова: квазилинейное уравнение, вырождение, параболический тип, начально-краевые задачи, некомпактные границы, качественное поведение.

Tedeev A.F. Initial-boundary value problems for quasilinear degenerate parabolic equations in domains with noncompact boundary. - Manuscript.

Thesis for a doctor's degree by speciality 01.01.02 - differencial equations. - Institute of Applied Mathematics and Mechanics of the NAS of Ukraine, Donetsk, 1998.

The dissertation is devoted to the topics of qualitative investigation of solutions of Neumann and Dirichlet problems for wide classes of degenerate nonlinear parabolic equations in domains with noncompact boundaries. These classes of considering equations include as a particular case the equation of nonnewtonian elastic filtration and the porous media equation. For generalized solutions of the considering problems the sharp bound of the rate of stabilization of maximum modulus, the finite speed of propagation and sharp bound of its support are proved. The Fujita's theorem about existance of solution global in time or blow up phenomenon for the problem with sourses is proved. The precise dependece of the behavior of solutions from the geometry of domain, discribing in the terms of isoperimetric inequalities is the typical exception of obtained results.

Sharpness of results are given via constructing of the new energy approaches are based on a well-known results of E.Di Georgi, O.A.Ladyzhenskaya, N.N.Uraltseva, E.Di Benedetto, S.N.Antontsev.

Key words: quasilinear equation, degenerate, parabolic type, initial-boundary problem, noncompact boundary, qualitative behavior.