Начальные и краевые задачи для интегро-дифференциальных уравнений в частных производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

^акаЗ£мия наук кыргызской республики .•: с . . институт, математики

Специализированный совет Д 0i.P3.0S *

на л р а в а х р у к о п и с и

ИМАНАЛИЕЗ ТААЛАЛЗЕК ЛУРЗАЬЕКОЗИЧ

1ЛЯ И Н Т Е Г ? О - Д Л Ф Е ? £ НII й А Л Ь л ЫХ УРАВНЕНИИ

¿3 мил;

- . - - . "^'ЗсО^НПИЛЛЬНЫё V* Р -4 3 .1 -:

А з у о:

"а иии :-: £ с; иск л иле

.члНЛИЛй Т

I а . и ч 5 с к и х на V :<

БИШКЕК

-1 593

Работа, выполнена на кафед-е дифференциальных уравнений Кыргызского госудэрстзенного национального университета

Научный руководитель: доктор физико-натенатичёских наук

Алынкулов К.А.

Официальные оппоненты: старший научный сотрудник доктор физ.-лат. наук Асанов A.A.

профессор Кривошеин JI. Е. Ведушая организация: институт автоматики HAH KP

Запита диссертации состоится " ■■ <jz*ZaJbpSL', - 93_ _ s часов на заседании Спеииализирозакного cos er j Д Gi.'P?

по присуждении ученых степеней доктора и кандидата наук з Институте математики АН Кыргызской республики.

С д;;сс е - г а цие.'-t j о 2 н а к с :i ить г я г КЛЗ АН Кыргызской

Д.твр*Ф*,„т ,аэосл,:; -Ml.' J^^L_____: >93г.

Отзывы на ¿sтореферат яросин прислать по адресу: 72С071. г. сизкек-71.Проспект Чуй.265 -А Институт натематик. АН кыргызской Ресяу? .-иг.п . Специализированный совет Л Cl.93.0i

Ученый секретарь Специализированного совета .кандидат физико-и а те л а т ячеек их наук ^^

старший научный сотрудник / CJ * \ Искандаров С.

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Интегро-дифференциальные уравнения в частных производных описывают многие физические процессы, которые носят эридятарный характер. то есть такие явления в которых учитывается не только настоящее положение системы или ближайшее предыдущее положение, но также все предыдущие положения. Примером может служить явление упругости, где деформация упругого бруса или кручение струны зависит не только от природы применяемых сил, но также от предыдущих деформаций. которым был подвергнут брус или струна. Другими явлениями такого рода являются магнитный или электрический гистерезис, запаздывание, перенос лучистой энергии и диффузия нейтронов.

Большой вклад в теорию интегро-дифференциальных уравнений внесли Быков Я. В. , Васильев В. В. , Владимиров В. С. , Вольтерра В. , Иманалиев М. . Ведь Ю. А. . Кривошеин Л. Е. . Розовский М. И. . Аркадьев 3. К. . Соболев С. Л. , Илюшин , СелеховА. А. инногие другие ученые. Вопросам разрешимости начальной задачи посзяшена монография Иманалиева М.

ЦЕЛЬ РАБрТЫ. 1? Установить достаточные условия существования. единственности и непрерывности ограниченного решения нача льной задачи для линейных и нелинейных интегро-дифференииальны уравнений в частных производных первого и третьего порядка с интегральным коэффициентом.

23 Установить достаточные условия существования, единстве ноет и и непрерывности ограниченного решения по начальной функи: для интегро-дифференциальных уравнений в частных производных с

- производной в интегральном члене, для уравнений с особой точкой'. • для уравнений с опережающим аргументом.

33 Установить достаточные условия существования > единствен ' ности и непрерывности ограниченного решения смешанной задачи дл:- | интегро-дифференциальных уравнений в частных производных параб | . лического типа. •' ;

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ. Интегро-дифференциальныеуравнени: ! в частных производных сводятся к интегральным уравнениям с г

помощьюнетода характеристик . метода Фурье, методапреобраэова- ! ний Фурье. Существование и единственность решения*этих уравнение I доказывается с помощью принципа сжатых отображений.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Впервые рассмотрены интегро-дифференциа льные уравнения в частных производных с начальной функцией обшего вида. Доказаны теоремы существования, единствен ности и непрерывности решения по начальной функции для различных I классов у равнений. Для некоторых классов уравнений, получена' форнула решения.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. В теоретическом отношении результаты диссертации продолжают развитие теории интегро-дифференциальных уравнений с частными производныни. ;

Полученные результаты ногут найти применение в теории дефорнаци! ' упругого тела, теории переноса частиц и диффузии нейтронов, в | .

теории теплопроводности.

I

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации доложены на Все-

I

союзной конференции -Асинтотические методы теории сингулярно-вознушенных уравнений и некорректно поставленных задач " СБиш-кек,1991Э. на конференции математиков посвященной 60-летию КГУ.

на семинаре ИМ АН Кыргызской Республики в 1993г. С руководите ль семинара член-корреспондент РАН Инаналиев М. И. 3 , на сенинара; кафедры дифференциальных уравнений в 1 988.-1 993гг.. С руководит сенинара проф. Саадабаев А. С. 3 . По теме диссертации опубликов статьи [1-5]. и тезисы докладов [6-8].

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введени? двенадцати параграфов и библиографии из 43 наименований. Обши объем работы 84-страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранного направле исследования. дается краткий обзор литературы, примеры возни вения интегро-дифференциальных уравнений и приведена аннота! результатов диссертации. В §1 рассматривается уравнение вида

А

Ыи] в ди(д1'Х) + ди(д1а) <3.5 = 0, . (1)

о

с начальный условием

П(0,Х)=1(.(Х). (2)

Теорема 1 . Пусть ^13 ({.(х) € С1 (К), 2) Ка,5) € С[0<5<^Т},

I

V

зэуш € ® имеет место неравенство (1+\»\)\ <((*»{ 5 в 1 -^-ф , где

<f(v) - ¡?iv№<t(xX3x.

в области Е> — (t^[0,Tl, X ^ R}. Тогда задача С15-С25 имеет единственное непрерывное и ограниченное решение представимое в bi

• m

uft,xj = gj le-imV(t,0,v№v»aa>,

-ш

где Vfi,0,ty^ = 1] определяется из и. -д. у.

t

0 .

Если рассматривать задачу Коши u(tfy,X) = Ъ(Х)> гдеЪ(х) £ С^ (R), ¿0>О. то ома имеет единственное решение при некотором налом

Если в области © = {t^[0,Tj Функция fit,XI непрерывна

и ограничена. ;<

if, О

] fit til ) I < _i__ о 7

то уравнение Ii'uj = f(t,x) с начальным условием u(tQ,x) = Ь(Х) имеет единственное ьеп рывное н ограниченное решение при налом

Б исследуется вопрос о разрешимости задачи Коши для уравнения

1 сс

М^х) . ШО^) = J Jz(t,s,S.rM&r,)d&c (3)

0-х

с условием

U(tQ,x) = (f.(x). с 4Э

Теорема 2. Пусть в области В>= {i^tO.T], ZgX), E(t ,Х,£,Г,) непрерывна и ограничена вместе со своей производной и выполняется

неравенство

is®

sup I J | J i(s,x-Us,2,rJ <2&Ц< N <1.

зек tg о

Хогла в ©задача Коши С35-С4;> инеет единственное непрерывное и ограниченное решение.

Далее показывается.что при некоторых условиях задача С35-С45 может инеть бесконечное множество непрерывных ограниченных решений,либо не инеть непрерывных решений.

В §3 доказывается разрешимость задачи Коши для нелинейного и.-д.у.

t. 1

* J Jufs.wjduds = О. (5)

t0 0

и(0,Х) = (¿(X) с 6)

Теорема 3. Пусть 15 (f(x) -аналитическая, периодическая, с

2

периодом 1. функция. 25 M(t-iQ) < 1,где

M=SUp}t((2)\. Z <1

■ Тогда при малом tq задача С55-С65 имеет единственное решение.В .64 рассматривается уравнение с особой точкой

г

tut(t,x)+ux(tJzis.tj —u(s,x)ds+ta(x), (8)

0

с предельным начальным условней

Zimufi,x;=0, (9)

t-Ю

Теорема 4. Пусть E(t ,S) £ <C[0<S<t<1 ], причем | K(t,S.J -y.J < < ff = const, N/(2-o)(1-o)< 1/2,0«x1, 2) a(x)<£1 (p.), a(x) <

И.Тот да задача С8Э-С9Эимеет единственное решение представимое в ^

виде u(t,x)=c(x)t+%(t,x),причем £(t,X) <

Далее рассматривается уравнение вида 1

tut(t,x)+(CtM + ju(t,s)ds)ux(t,x) = f(t,x) + ?u(t,x), ßo)

о

с предельный начальный условней

lim U(t,x) = 0, (Ii )

uo

11

где С = IjJJufS.ü^dSdy, = const.

со

Теорема 5. Пусть в области S>={i^tO, 1J функция f (t ,х) непре -

рнвна и ограничен^ вместе со своей производной первого порядка.

:-ир i где q,\ - const,

i&GJ]

]f(t,X3)-f(t,X1) i < St^'"0 ,где

_ 2:1 I s I _____*

•J < TT— ->—< T7 , ¡FOCllil . -

Тог за задача С 1-С I13 имеет единственное непоерывное и огрэни-ченное решение, представимое в виде u(i ,X)=.t''(CH>(t ,Х)),при

\afi,x)\< .

^ I uti_ct-

' ^П 1 -т. Л I ^ «J_

1-CL

u(t,x) = i'J (c+o(t,x)), <

11

Кроне того, если , уО.гле у 1>)с1ьк1з,

00

то за да чаС 1 05-С 11 ^ не имеет решен и й ; ее ли 7*0,то эта

задача имеет бесконечное множество решений; если

\Л*?+1, ,то эта задача имеет единственное непрерывное и огра

ниченное решение.

В §5 расснатривается задача t

dU(att'X)Hl(t,X) ^)^K(t,s)u(s,x)ds. С 123

о

и(0,х) - <f(x). С 133

Теорема ь. Если 13 функция a(t t>0,XgR) .при этом

со

^a(V,X)\ dusll^COTlSt и удовлетворяет условию Липшица по Хс 0

00

некоторой N(t) и jtfisjds < 1;

0

со

21 E(i,5)1<s:(0<s<t<?), ||KCi,s;|sds < J = const, U<

0

3).<f(x)& (R),

то уравнение C123 с начальным условием CI'33 инеет единственно непрерывное и ограниченноерешение.

Аналогичный результат получен и лля нелинейного уравнен!

айда

t

^l.'-^ct^,) t»sMs,x)ds + F(t,x,u),

0

с тем ate начальным условием Щ0,х)=ч^(х). если F(t ,X,ll) удов лет -воряет условию Липшица по и..

Если в уравнениях этого вида, в начальной условии nepefiTt от точки t=0 к ij-fO. то уравнение может не инеть ограниченных решений; например уравнение

î ■

ut(t,x)+ux(t,x)■ = ^JWs.xJds.

с условием ll(tQyX)=Ъe имеет решение вида

ГЛ Гр4 ' __

Ъ(г*е -Грв с ; -и-Л+АЪ 1

»(*-*> - 1гл0 гргп ' = ^Чг1- ' - }

г^е ' -Гг/э с /--

при tr^ = -А-—■ 1п не имеет решения.

0

В §6 рассматривается уравнение вида

ш

dU(t,x) dî

+ A(t,x) = jK(t,x,d)u(t,d)dd Cl43

с условием

U(0,X) = ({.(х). Cl 53

ТЕОРЕМА ь. Пусть 1) ({.(X) Ç <f(a>) = ooi 2) p,k Ç IN;

3) K(i,x,o) € C°,1,0(t>0,xt$!,c4*) и , Î oo

s^fj J E(s,x,e) dcds|< 7 = const, 7 < 1,

t at>0 0-со t j

su£>jj J E(s,x,o)-p.('v)dv-yv)'4(x-^J.(ç)dç) dudsj< U = const.

r^R i>0 0-ш

l

где ла) = р - некоторый параметр. р>3, Q^>=C07lSt.

Тогда уравнение имеет единственное непрерывное решение; при эта для некоторых р и Й это решение обращается в бесконечность. §7 посвяшен исследованию системы уравнения вида

О

° Jgft,,s; ^l^ds + f(t,x) (1b)

. 0

с условиями

t t

u(0,x) = <f(x), u(t,0) = <ii0;+JaCs;ifds+J/is,0;ds. CI75

о 0

Теорема 7. Пусть E(ttS)=A (t)B (S)^C(0<S,t<1) - ПхП - непрерывная матричная функция. (D={tfi[Q,1 J)- известная n

-нерная функция. <¿(2.) ^ CfR.) - -нерная функция , dstD* 0 Тогда решение системы С16Э-С175 находится в виде t ■ X t

u(t,x) - if(x)^A(s)ds[fiI) -J^-j©0 F(s)dsv + J/fs,xIds.

Далее

правая часть предстаекма в виде

JS ?нЛ

f(t,X) = 2 QvCfbt'i^ Л

гешение системы методом разделения переменных приводится

u/i.z) = ) Ldbitla^lb(t)Z-JG)]e йГ,

■ i

* где c^ft; 5 (fk(t)^R(t,U,\hp(v)dU,

1 ' 1?

¡3k(t) = ^Jflft.sjds + ^R(t,v,K)K(}J>v1)d>jduv

0 00

Xp(t) = efcitXyfcruXfciOJ,

которое существует и единственно.

При рассмотрении'для этого уравнения начального условия

вида

со

00 Vj

u(i0,x) = <f(XJ = Y^ (IS)

вытекает, что b^C^fÎQjaij+P^ÎÎQ^Î'O;. Возможны следующие случаи 13 dst (^rîQ^O,

тогда Х^(0) определяется однозначно:

следовательно. задача Коши С160-С183 имеет единственное непрерь вное решение.

г:, dei (3b(*o)=0> V^VV0'

тогда, ггдйчa C13-C33 не имеет решения.

з:. <3ei î0)ak=G,

то задача С1сО-С183 имеет бесконечное множество решен'ий.

Рассматривается случай, когда ядро не находится на спект S3 посвящен исследованию решений уравнения с опереэгаюшим аргументом

со

( t ,z;+Jk('î ,s)u(î^,s)dsux(i ,x) = f(t,x) (19)

-a»

с начальным условием U(0,£.)=<£(:£.). (20 )

Задача C193-C2Q3 сводится." методом характеристик, к нелинейному

сингулярному интегральному уравнению вида

t оо

u(t,x)=t((x-ï Г u(s,v)duds+ С213

ai 2/~M

t t2«

+ Jf(s,x-^ J Z^Vjy) U(')j.^cii.4j;ds = TluJ.

"o ^

ТЕОРЕМА. Если 13 Z(t ,s)&(D) ,<{(x)<£(R) ,f(t .x)^J(D); f(t,x) И t((x) удовлетворяют условию Липшица no x ; 23 справедливо неравен-

f2 t f2

I 00 If CO

su.ptli Г f ^^^-'mp.vj^ffycsj [ f M/lM-2ldu(prv)dL.^jds]

= ©U f

то в области D=C t^R* , задача C193-C203 имеет единственное

непрерывное и ограниченное решение.

В g? раосматривается уравнение вида

t S

u+ityx^u^it.x)^ jzis.vju^tv.xldvds • (22)

tffi

с условней

u(0,x)=((.(x), u(t,0)=u(t,1)=Q. (23)

Теорема 9. Пусть 1 ) ц(х)=<£(Х+1), ^(XJ^l^Ho, 1J, (f(-X)=cf( x); 2) K(t ,S)€CiO<S<t<1 ]. Тогда эадачаС 22> -С 23> имеет единственное решение представимое в виде

* Ч5

u(t,x)=Ybk[7-R(t, 0;-JV&fi, s)el1dsdk^K( s, v )vk(v, s )dvds Isin(knx).

0 00 где Ъ^-коэффициенты Фурье, функция Y(t ,S) определяется из урав-

*

^^а.э^а.з- о, о

г

= , на,Ь)з

V

Далее рассматривается неоднородное уравнение

t 5

jк(s,v)u:!;x(t,x)dvds + /а,х,и), С24Э

*<Р

с услови дни

и(1,0)=и(1,1)=0. с25:.

Теорема ¿0. Пусть 1 , 5)&[С<5^<' 1,2 }'4{Х)=<((Х-!-1 11

<{.(-Х)=-1{(х), 3) /а,Х,и)=/(1,Х+ии), Ví, и равномерно /а,Х,П)

о-*'4'1 Ц>0, х&О.И, п ЫрСй/и).

Тогда задача С243-С253 имеет единственное решение. Б в10 рассматривается уравнение вида

л

и^(г,х) = ^(зЫа.з^зи^С^уХ), (гь)

0

со смешанной задачей иа,0)=иЦ,1 )=0. И.(0,Х)=<{(Х)С273

Методом Фурье уравнение сводится к уравнению

ю

+ (28 } &

ТЕОРЕМА. Пусть 13 а(5)ёХ0,1], 2)Ъ-Я и ^ (&=? ,2, . . . ,)некоторые постоянные, и уравнение С283 имеет единственное решение; 33

—п. Тогда задача С263-С27Э имеет единственное непрерывно

Я

дифференцируемое решение, лредставнмое в виде;

... )вЫ(кпх).

Следует отнетить, что уравнение С26Э с некоторый даже простын начальный условием может инеть решение, которое неограниченно возрастает за конечное время. Напринер, уравнение

с условиями

. • U(t,0)=U(t,1)=0, и(0,х)=Ъ.з1п(тх), Ь1эЫ(ж) 7

имеет решение и(1,Х) = —- ,

где

A^-iPjaC s)sin(ns)ds.

Если Sign Aj 7! Sign Ъу то задача инеет решение, которое обращается в бесконечность за конечное время. ~

Если Sign А^ * Sign Ъ^ то задача имеет единственное непрерывное и непрерывно дифференцируемое один раз по i и дважды по X решение.

511 Рассматривается уравнение третьего порядка с интеграл ным коэффициентом вида

ш .

Ut(t ,х)+ит( t ,x)ja(s)u( t, s)dsi-urrx( t ,x)=0, (29)

■ 0 • -

с условием

' . <*>

u(0,x)^l A^expi-T^c), с303

в области T)={(t,X):t^i0,T],X^[0,a>)}, где а(х)^!(^), - некоторые положительные постоянные.

Достаточным условием существования решения этой задачи явл

>¿<3, А] <ехр(-рГ-ЛЗ). |3<0. (зг )

ТЕОРЕМА 11. Если выполняется условие С 323 то задача С293-С303 в области Синеет единственное непрерывно дифференцируемое решени представиное в виде

со ^.

при условии где ^ехр(

ЛИТЕРАТУРА

ПСнешаннаа задача для системы линейных интегро-дифференциальн уравнений первого порядка. //Исслед. по интегро-дифференц.. у равнениям. -Фрунзе.Илим,1989. -Вып!22. -С. 117-121.

23 0 решениях интегро-дифференциальных уравнений третьего поряг ка с интегральным коэффициентом.//Там же.-С.121-123. 33 Интегро-дифференциальные уравнения с частными производными типа Вольтерра первого порядка. //Гам же.-Бишкек: Илим. 1991. -Вып.23.-С.34-38.

43 Об одной эффекте в теории интегро-дифференциальных уравнений в частных производных. // Гам же . -С. 38-41 .

5306 одном способе решений задачи Коши для нелинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных. //Гам асе. Бишкек: Илин,1992.-Вып.24.-С.165-175.

63 Нарушение единственности решений задачи Коши для интегро-дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных. /Деэ. докл.Всесокэн. научн. конф. по асимтотическинметода> теории сингулярно-возмущенных уравнений и некорректно поставле ных эа да ч. -Бишк ек: Илим , 1 991'. -С. 51 .

73 Об особенностях решений задачи Коши для некоторых классов _

интегро-дифференциальных уравнений в частных производных. // Научн* конф. натенатиков . поев.'60-лети» образования . Кыргосун-та: Тез.докл.-Бишкек:Кыргыз. гос. ун-т.,1993.-С.32-83 О задаче коши для линейного интегро-дифференциального уравн* ния с частными производными первого

порядка. //Дифференц.уравнения и их прило*ения.0ш,сент.1993г, : Тез. докл. республ. научн. конф. - Ош,1993.-С.58.