Напряженно-деформированное состояние многослойных материалов с краевой трещиной нормального разрыва под воздействием внешних температур

Алексеева, Татьяна Николаевна

Напряженно-деформированное состояние многослойных материалов с краевой трещиной нормального разрыва под воздействием внешних температур тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Алексеева, Татьяна Николаевна АВТОР

кандидата технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Напряженно-деформированное состояние многослойных материалов с краевой трещиной нормального разрыва под воздействием внешних температур»

Автореферат диссертации на тему "Напряженно-деформированное состояние многослойных материалов с краевой трещиной нормального разрыва под воздействием внешних температур"

На правах рукописи

Татьяна Николаевна Алексеева

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ МНОГОСЛОЙНЫХ МАТЕРИАЛОВ С КРАЕВОЙ

ТРЕЩИНОЙ НОРМАЛЬНОГО РАЗРЫВА ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ ВНЕШНИХ ТЕМПЕРАТУР

Специальность: 01.02.04 - Механика деформируемого твердого

тела

Автореферат диссертации

1 7 ЯНВ 2013

на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва -2013

005048392

Работа выполнена в Московском государственном открытом университете имени B.C. Черномырдина.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Кулиев Валех Джафарович

Официальные оппоненты:

- доктор технических наук, профессор Власов Николай Михайлович Подольский институт (филиал) Московского государственного открытого университета имени B.C. Черномырдина;

- доктор технических наук, профессор Дудченко Александр Александрович Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет).

Ведущая организация - ЗАО «Координационный центр по надежности, безопасности и ресурсу оборудования и трубопроводам атомных электростанций», г. Москва

Защита состоится « 30 » января 2013г. в 16.00 на заседании диссертационного совета Д212.137.02 при Московском государственном открытом университете имени B.C. Черномырдина по адресу: 107996, г. Москва, ул. Павла Корчагина, 22.

E-mail: msou@msou.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГОУ имени В.С.Черномырдина

Автореферат разослан_декабря 2012 г.

диссертационного совета

Ученый секретарь

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В современной технике широкое применение нашли многослойные материалы. Подобные конструкции из многослойных композитов широко используются в авиакосмической области, судостроении и других отраслях. Многослойные системы представляют собой чередование слоев повышенной твердости (несущих), воспринимающих внешнее воздействие (в частности, механическое) и демпфирующих слоев, перераспределяющих усилия между несущими слоями. Кроме того, предусматривают слои, обеспечивающие защиту несущих элементов от коррозионного, теплового и радиационного воздействия.

Примерами многослойных материалов являются многие природные минералы и искусственные композиты, включая нанотехнологические, а также важнейшие для жизнедеятельности животных и человека ткани. Анализ тепловых воздействий на них представляет практический интерес не только для технических, но и для медицинских приложений. В частности, биомеханику костных систем и технических конструкционных материалов объединяет единый механизм разрушения многослойного материала.

Необходимость решения проблемы прочности, например, исследование процессов трещинообразования в таких системах, важно для повышения их ресурса при экстремальных условиях эксплуатации.

В большинстве работ при моделировании трещины в выбранных местах систем многослойные материалы представляют полосами различных толщин и упругих свойств, жестко сцепленных между собой. В этом случае процесс разрушения многослойных (и-слойных) материалов с трещиной исследуется в три этапа: трещина полностью находится на одном из боковых слоев; трещина образована разрывом в этом слое и ее вершина находится на границе раздела разорванного и соседнего целого слоев; на третьем этапе направление роста трещины и ее тип, согласно теоретическим и экспериментальным исследованиям зависит: от V,, где О, - модуль сдвигау'-го слоя, v,

- коэффициент Пуассона того же слоя; от прочности адгезии на границах раздела (прочность адгезии, согласно теории адгезии при сдвиге аналогичной теории Гриффитса - Ирвина, определяется одной новой постоянной — вязкостью скольжения контактного слоя Кпс, а также размером дефекта или слабого места на контакте двух материалов); от микроструктуры пограничного слоя, примыкающего с одной или двух сторон к границе раздела.

Как правило, при создании и эксплуатации биметаллов в пограничном слое возможны сложные релаксационные процессы, такие как рекристаллизация, образование новых фаз и другие, изменяющие его физико-механические свойства. Для того чтобы в более точном приближении оценить влияние пограничного слоя на прочность материала, необходимо определить толщину этого слоя - например, определить границы зоны диффузии при диффузионной сварке, т.е. смещение поверхности Киркендалла, а также изменение его механических характеристик слоя при удалении от первоначальной границы раздела.

Существует ряд задач, имеющих важное теоретическое и прикладное значение, которые не нашли достаточного освещения в отечественной и зарубежной литературе. В частности, определение напряженно-деформированного состояния многослойного материала с трещинами, находящегося под воздействием температурных полей различного вида. Решение таких вопросов необходимо при создании и эксплуатации современных и перспективных конструкций из биметаллов и композитов, из чего вытекает актуальность темы диссертации.

Целью диссертационной работы является разработка метода определения напряженно-деформированного состояния многослойного материала с краевой трещиной нормального разрыва, находящегося под воздействием внешней температуры, на основе которого можно определить прочность несущих элементов конструкций и принять меры к повышению их надежности. Эта цель достигается решениями и анализами следующих задач:

1. Построение адекватной математической модели, описывающей напряженно-деформированное состояние многослойного материала без трещины, допускающей аналитическое решение исходных дифференциальных уравнений в частных производных при заданных граничных условиях в виде температурных полей.

2. Построение численно-аналитического решения задачи о краевой трещине нормального разрыва с вершиной в первом слое многослойного материала на основе решения задачи без трещины.

3. Определение коэффициента интенсивности напряжений К; при заданном нагружении берегов трещины.

4. Исследование комплексного влияния теплофизических свойств многослойных материалов и внешней температуры на коэффициент интенсивности напряжений К,.

Научная новизна заключается в следующем:

1. Разработан численно-аналитический метод, позволяющий построить решение новой задачи механики разрушения многослойных материалов с трещиной нормального разрыва, внешняя боковая поверхность которых подвержена действию температуры, удовлетворяющей известным постулатам линейной теории упругости.

2. Впервые получена аналитическая зависимость, позволяющая учитывать комплексное влияние теплофизических свойств многослойных материалов и конкретный вид температурных полей на коэффициент интенсивности напряжений К1.

3. Установлены условия, при которых происходит торможение трещины, связанные с изменением теплофизических свойств многослойных материалов.

удовлетворении граничных условий рассматриваемых задач, сравнение результатов частных случаев с теоретическими данными других авторов.

Практическая ценность и применение результатов: разработанный метод расчета коэффициента интенсивности напряжений позволяет оценить прочность конструкций и принять меры к повышению их надежности. Аналитический метод позволяет без натурных образцов и макетов оптимизировать прочностные характеристики конструкций из многослойных материалов.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

1. Численно-аналитический метод решения задач линейной термоупругости многослойных материалов с трещиной нормального разрыва, находящихся под воздействием внешних температурных полей.

2. Решение конкретной задачи механики разрушения многослойных сред с краевой трещиной нормального разрыва, находящихся под воздействием внешней температуры. Нахождение коэффициента интенсивности напряжений К,.

3. Анализ комплексного влияния теплофизических свойств материалов и заданной внешней температуры на коэффициент интенсивности напряжений К,, и тем самым на прочность несущих элементов конструкций.

4. Условия, при выполнении которых происходит торможение краевой трещины нормального разрыва в многослойных материалах, находящихся под воздействием внешних температурных полей.

Результаты диссертационной работы внедрены, в расчетную практику заинтересованных предприятий и используются при проектировании изделий, что подтверждено двумя актами внедрения от организаций: 1 .ЗАО НТЦ «Бакор», г. Щербинка Московской области, 2012 г.; 2. ООО «Инструмент», г. Подольск Московской области, 2012 г.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных форумах: 1. Межвузовская научная конференция студентов, аспирантов, молодых уче-

ных и специалистов «Новые технологии и разработки в машиностроении, автоматике, экономике, юриспруденции и образовании» при Коломенском институте МГОУ, Коломна, 2005 г.; 2. II Региональная научно-практическая конференция студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Наука, экономика, общество», филиал МГОУ в г.Воскресенске, 2008 г.; 3. XVII Международная конференция «Математика, компьютер, образование», Дубна, 2010 г.; 4. XVIII Международная конференция «Математика, экономика, образование», Ростов на Дону, 2010 г.; 5. Общеуниверситетский научный семинар по механике деформируемого твердого тела при МГОУ им. B.C. Черномырдина, 2012 г.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликованы 10 научных работ, включая 3 статьи, входящих в перечень ведущих рецензируемых журналов, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит и введения, трех глав, заключения, списка используемой литературы и приложения, содержащего акты внедрения результатов диссертации. Объем диссертации: 126 страниц. В диссертации 9 рисунков, 4 таблицы. Список используемой литературы включает 120 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность проблемы исследований, и излагаются основные научные положения, которые выносятся на защиту.

В первой главе сформулированы основные проблемы механики разрушения многослойных сред с трещинами (метод В.Д. Кулиева для решения канонических сингулярных задач теории упругости кусочно-однородных сред, задача Вильямса-Черепанова, задача Зака-Вильямса) дан обзор работ по теме диссертации, указана цель и обоснована структура диссертационной работы.

Во второй главе исследуется задача нахождения поля напряжений в многослойном материале, находящемся под воздействием внешних температурных полей (рис. 1).

Первая часть данной главы посвящена уравнениям термоупругости.

Во второй части формулируется и решается следующая задача: на плоскость действует заданная температура, необходимо определить напряжение в двухслойном материале.

(® 1 1 л, 1 \ \ \

/ @ 1 Н 1 1

Рисунок 1

Предполагается, что две однородные изотропные полосы жестко сцеплены вдоль плоскости х = Ь1. Внешняя боковая поверхность двухслойного материала подвержена воздействию некоторой заданной температуры. Материал каждого из слоев является термоупругим. Задача считается симметричной относительно плоскости у — 0. На бесконечности напряжения отсутствуют, а смещения исчезают.

1. Начальные условия

1 = 0,Т;(х,у,0) = 0. (1)

2. Граничные условия

* = 0,71(0, у,1) = Ку, 0, (2)

х = Н ,Т2(Н,у,1) = <р(у,1)-,

х = Ии Тх(Ииу,1) = Т2(Их,у,0,

(3)

= Г оТг(х,у,1)

ох Ч дх

= , .У, О, (4)

(ах)1(И1,у,0 = (ах)2(И1,у,1), (5)

)1 (¿1, = ) 2 (й,, .у, 0.

3. Условия на бесконечности

0<х<Н, \у\ ->со; -->0, (б)

дТ^х.у, О

(О",);, (^)у -+0;

Ч^ 0, V, -» 0 , Uj ->0 . Здесь к] . коэффициент теплопроводности у-го слоя, - коэффициент температуропроводности /-го слоя, - термоупругий потенциал перемещений.

Всюду в дальнейшем считается, что изменения функции Т}(х,у,1) во времени происходит с достаточно малой скоростью, когда влиянием инерционных членов в уравнениях движения теории упругости можно пренебречь, рассматривая движение как последовательность состояний равновесия (принцип Дюамеля).

Решение строится из интегральных преобразований Лапласа и Фурье.

Найдем распределение температуры Т}(х,у,() (у = 1,2) в каждом слое с помощью уравнения теплопроводности

дТ, д1Т,

)_ +;-)_

Кдх2 ду2

Термоупругий потенциал перемещений Папковича-Гудьера = Ч^ (■*, у, 0 для квазистатического случая определяется уравнением Пуассона

■1+у,

АЪ = ГТа>г>> <8>

где а] - коэффициент линейного расширения, V] - коэффициент Пуассона.

Как известно, термические напряжения и смещения выражаются через термоупругий потенциал ^ у, 0 ■ Применяя обратные преобразования

Фурье и Лапласа, можно получить термические напряжения

); и смещения и), V] вследствие действия термических напряжений. Для решения плоской задачи теории упругости с трещиной нормального разрыва особый интерес представляет нахождение нормального напряжения <?у\, поэтому рассмотрим следующий частный случай: /(у, О = Т0%тоЯ, <р(у,1) = 0. Здесь Т0 - амплитуда, являющаяся постоянной функцией, со -циклическая частота. В этом случае имеем

о->1(*,0,0 = -2<7,а, _1_[(/1/4 _/2/,)соз®г +

1 v, у] +12

+ (/,/, +/2/4)5ШЙЯ]. (9)

Здесь

к2 л/2 [а,.. , . л/2 Га, л/2 [а

—, «/, = — —(Л-А,), = — -А, ¿3 = -

к, ' ' 2 \а2 2 2 у а, 3 2 у а,

Л = |р'+1)5/7(^2 +Й?1)С03(^2 + </,) + (*-1).?А(</2 - Й'|)СОЯ((5?2 -Я*,)], 1г = |К* + 1)сА(й?2 +£/,)8т(с/2 +£/,)+ (А:- 1)сЛ(</2 -¿/,)ып(*/2 -*/,)],

'з + + £/3 )««(</, +£/3)+ (*-1)$А(с?, -¿/3)со8(</, -</3)],

¡4=\К* + 1)сА(</, + оГ3)+(!,)+ (к-1 )сй(</, -(1Ъ)з!п(с/, -с/3)].

В третьей главе рассматривается задача о краевой трещине нормального разрыва с вершиной в первом слое многослойного материала.

В первой части главы приведен метод В.Д. Кулиева решения данной задачи.

Во второй части рассматривается частный случай: краевая трещина нормального разрыва в двухслойном материале, находящемся под воздействием внешней температуры (рис.2). К берегам трещины приложено заданное напряжение, аналитическое выражение для которого найдено в предыдущей главе.

\ / а, | \ )

1 (г) " / 1

Рисунок 2

Пусть упругая полуплоскость х > 0, составленная из различных материалов с упругими свойствами Ск , Vк (к = 1,2), жестко сцепленных вдоль плоскости х = Их, содержит краевую трещину нормального разрыва.

Трещина перпендикулярна свободной от напряжений границе *=0 и границе раздела слоев х = 1\ . К берегам трещины приложено заданное нормальное напряжение (*>0,О = —_р(х,0 < О,

(тху X = О ,Х е [0,/] (/</?,), где р(х,0 интегрируемая на отрезке

[О,/] функция, <ту](х,0,/) определяется соотношением (9).

На бесконечности напряжения отсутствуют, а смещения исчезают. Таким образом, приходим к симметричной относительно плоскости У = 0 краевой задаче плоской теории упругости для двухслойных материа-

лов с краевой трещиной нормального разрыва, находящихся под воздействием внешней температуры. Граничные условия

Х = 0, Н<оо, Сот,), =0, (гД=0, (10)

^ = 0,*е[0,/],о->1(жА0 = -/'(*.0^0>(^)1=0> (11)

у = 0, х е [/, /г, ], (г^,), = 0 , (у), = 0 , (12)

у = 0, хвЦт^Н], (г^)2 =0, (у)2=0, (13)

х=К, Н<с0 , =М2, (г^), =(г^)2, (14) (")] =(и)2, (V), = 0)2,

* = Я, Н<оо, (о-,)2=0, (г^)2=0. (15) 1. Условия на бесконечности

0 <х<!\,1гх<х<Н, (16)

Iх! .

{(и)*, (V), } ~ 0(г~а ) (г = ^х2+у\ а > 0).

Условие на конце трещины (дополнительное условие к краевой задаче ((10)-(16)) при 7 = 0, х -> / + 0 имеет вид

л/2я(х-1)(ау\~к,.

Учитывая симметрию задачи, рассматриваем область х>0,_у>0. Решение задачи в указанной области, согласно представлению Папковича-Нейбера перемещений и напряжений через три гармонические функции, примет вид

при х е [0, \ ], у > 0 (первая упругая среда: С/,, V,)

2С,{и\{х,у) = -К* -¿хВ1,))сИАх +

• Я о

+ (Х\В\Х) -MÍ" - Jx4m)shAx]eosAydA + Í2

+ J- J[ЧУ - (1 - yc™e-»]sin rpcdr¡, (17)

l^o

2G,(v),(x, j) = J^rjA[(41> +xAl(,>)chAx + (B'l> + xB¡0))shAx] sin AydA + 12'

' Я o

= М]л{[(2(1-у,)ВГ -AA^ - AxA¡])]chAx + Ч л 0

+ [(2(1 - vl )Л,(1) --AB™ - ÁxB,0> ]shAx} eos AydA + ¡2

+ J-}n(ny-l)Cye-»ncosnxdn, (19)

» n o

(ay),(x,y) = J-"jA[(AA<l) +2v,Bl'> + AxA¡'>)chAx +

' ^ o

+ (ÁB^I + 2v, A¡([> + AxB,0> )shAx] eos ДусМ -

- J-}í7(/zy + ,

(20)

(гД = ^¡A{[AB<» -0 -2v,)/(,'" +ЛхД|(1,]с^ +

+ - (1 - 2v, )£,(1) + Лх4,(1) ]j/!/k}sin Ayí/A -

-^-fryCye-'rjsmTpcdq; (21)

при fy <x<H, y > 0 (вторая упругая среда: G2, v2) ¡2

2G2(u)2(x,y) = ^-j[(Z2A¡2> -AB'2>-A(x-//)B<2>)M(x-ff) + + (.%! B[2)-AA™-A(x-H)A\2))shA(x-H)\cosAydA, (22)

2G2(v)2(X,у) = J- |l[(,i<2) + (x- Я)Л<2) )cM(x- Я) +

+ (Z^1 + jtZf > )slú(x - II)}smAydA, (23)

(а^х,У) = ЩлШ2(1-У2)В<2)-М<2>-Л(х-Ю42>№Л(х-Ю +

+ [(2(1 - v2)A¡2> -ЛВ™ -Л(x- H)B¡2>]sM(x-#)}cosAydÁ, (24)

I 9

(ay)2(x,y) = JA[(^2) +2v2B¡2) + Л{х- Н)А[г))скЛ{х-H) + + {ÄB(2)+2v2A[2)+Ä{x-H)B[2))shÄ{x-H)]cosÄydÄ, (25)

(■rxy)2(x,y) = ^jÄ{[ÄB<2> -(1 - 2г2M,(2> + Дх - H)B[2)]chl(x - H) +

+ [ЛА ¿2) - (1 - 2v2 )B\2) + Л(х - H)A¡2) ]sИЛ(х - Я)} sin Лу^Л . (26)

Здесь Zj =3-4vy.

Удовлетворяя граничным условиям, получаем систему линейных неоднородных алгебраических уравнений относительно восьми неизвестных

функций Aq2),v3q2',A¡2>,B¡2>и с правыми частями, зави-

сящими от неизвестной функции С'0. В данной системе функция С^ входит в следующие соотношения:

Л 00 оо

гМ) = -- ¡cosÁy¡[w-tt-lv^W"snufrdrrfy,

А ® 00

у2(А) =--Jsin Ay \[tiy + 2(1 - v, )]С<1) Ме"*' eos r]hxdr¡dyf

о о

2 ■ ю <»

Гз W = jcósAy j77(^F-l)Cf (íyK4"'cosr$\dT¡dyt

rM) = y- JsinÄyfryCyirie-Vsinrtdqdy. (27)

Л/Г Л Л.

Удовлетворяя оставшимся граничным условиям, приходим к парным (дуальным) интегральным уравнениям

^т= 0' 1 < х < > (28) ^/^СТЧ^т? т}хс!п = Я*), 0<х</. (29)

Здесь

I Л 00

/(*) = р(х) + , - \Л[(АА(0]) +2к,51<1) +АхЛ1<1))сЫх + Функцию Со'' ищем в виде

с? = М ОЮЖ (/ < А,), (30)

' ^ о

где Л<л0 - функция Бесселя первого рода нулевого порядка, '//(0 - новая неизвестная функция.

При подстановке (30) в уравнение (28) получаем тождественное равенство. При подстановке (30) в (29) приходим к обобщенному уравнению Абеля, обращение которого позволяет получить выражение для нахождения функции

ц/{х) = - Г /(Г) с1т+А- [Л{В"\Х)[Ы1 (Ах) + 21 а (¿т)] +

Л •» I ..2 _ 2 II ^ ^

+ Д(1'(А)[/!хХ_1(Л:) + Х0(^)]-/5(А)/0(Лг)^Я (хе[0,/]). (31)

В дальнейшем для решения задачи необходимо все искомые функции Л,(1),Я,(1), 42)Л2\ выразить через интегралы (у = 1,...,5).

Здесь

Ф2(Л1) = -Ф0№-Ф3№,

Ф4 (АО = е~щ [(2 - А/г, )/0 (АО + Л//, (АО], Ф5 (Я/) = /0 (А?) - ¿0 (А?) + А?

где 10,1Х,Ь0,ЬХ,Ь_х - модифицированные функции Бесселя первого рода и модифицированные функции Струве. Представим искомые функции в виде

' ^ о

' О

* о

я<2> = Я ргт(2>Шл (Аер,4). (зз)

" ^ о

Здесь

- новые неизвестные функции. Таким образом, приходим к системе, состоящей из четырех линейных неоднородных алгебраических уравнений с уже известными правыми частями Фу (АО (У = 1,...,5 А е]0,оо[ / е [0,/]) относительно новых неизвестных функций.

Окончательно получаем интегральное уравнение типа Фредгольма второго рода:

Их)=- Г + 'Ут{х, ы,

л о ых -т о

оо

К(х, о = \щь\ц (А/)[Ах/, (Ас) + 2/0 (Ах)] +

О '

/,(АО-1,(А 0--

,('6 [О,/])

(32)

+ a,(1) (M)[teL_x (Лх) + Lq (Ах)] - Ф5 (Át)I0 (Ax)}d¿ (xe[0,/],/</г,) .

Коэффициент интенсивности напряжений будем искать в виде

у/ (-) = у/(х, 1, /г,, Н, ах, а2, кх, к2, кХ2, v,, v2

1,2' ^l' V2

(36)

(35)

Здесь у/(l) определяется из интегрального уравнение типа Фредгольма второго рода (34).

Для нахождения коэффициента интенсивности напряжений K¡ в вершине краевой трещины У = 0, 0 < х < /, находящейся в двухслойной среде под воздействием внешней температуры, достаточно выполнить следующие действия:

1) в уравнении (34) выполнить замену t = % ,

2) в найденном ранее выражении для нормального напряжения сгу1 (9) поменять знак и принять х=т,

3) полученное соотношение подставить в измененное уравнение (34).

Будем искать Ц/(х) в виде

у/{х) = F0 (х) cos cot + Fx (х) sin cot,

4 G¿\+vx)axTa

7r(l-vt)(I> + I¡)

[/,Дх) - /25(х)]+ JF0tf)K{x,£)dí,

4 G^l + vM л (I- v, )(/,2 + /22)

[/,В(х) + I2A(x)} + JF, (Í)K(X, .

Здесь

Коэффициент интенсивности напряжений примет вид:

К, = К° cos cot + К) sin cot, К, = "¡K°2 + К1,2 sin(ütf + qj).

Здесь

I ,

п 1 - V,

л- 1-У,

Введем следующие обозначения

тогда

К, = К) 31п(ш/' + ср). Благодаря представлению искомых функций в виде (33) появилась прак-

свойств материалов и тем самым оптимальном проектировании многослойных конструкций. Для этого средствами аналитической системы Мар1е разработана вычислительная программа, в которой решение уравнения (34) сведено к решению системы линейных неоднородных уравнений порядка т х т. При выполнении расчетов установлено, что для получения трех устойчивых десятичных цифр в значении Ц/ (0 достаточно т=20.

Рассмотрим частные случаи общего решения. Пусть

Н = 1, /г, = 0.3, Т0 = 1, со = 2л. Результаты численного расчета зависимо-

К] I

сти от т~ (/ < Л,) при различных теплофизических свойствах ма-

териалов представлены на рис. 3, 4, 5, 6. Анализ графиков показывает важность методов неразрушающего контроля.

тическая возможность вычисления значений У (•) для любых комбинаций

Рисунок 3. Зависимость коэффициента интенсивности напряжений от длины трещины в двухслойном материале

(1) Кадмиевая бронза - конструкционная сталь 20

(2) Магниевая бронза Бр Мг 0,3 - конструкционная сталь 20

(3) Хромовая бронза Бр X 0,5 - конструкционная сталь 20

(4) Бериллиевая бронза Бр Б2 - конструкционная сталь 20

(5) Алюминиевожелезная бронза АЖ9-4 - конструкционная сталь 20

№ Материал Р к с У £-10"3 Є-ІО"3

Пе| эвый слой — различные марки бронзы

1. Кадмиевая бронза 8.890 329 385 0,320,35 123,6 41,2

2. Магниевая бронза Бр Мг 0,3 8.910 242,8 381 0,320,35 120,7 45,4

3. Хромовая бронза Бр X 0,5 8.900 176,5 385 0,320,35 109,9 41,2

4. Бериллиевая бронза Бр Б2 8.230 104,7 418,7 0,320,35 128,5 50

5. Алюминиевожелезная бронза АЖ9-4 7.500 58,6 423 0,320,35 110,7 41,6

Второй слой — конструкционная сталь 20

7.859 52 486 0,240,31 213 83,9

Теплофизические свойства:

1) р - плотность,

кг

2) к - коэффициент теплопроводности,

Дж

Вт

м °С

3) с - удельная теплоемкость,

кг■ °С

4) v - коэффициент Пуассона,

5) Е - модуль продольной упругости, [мПа]

6) С? - модуль сдвига, [МПа].

На рис. 3 построены графики для двухслойных конструкций, в которых первый слой представлен различными марками бронзы, а второй - конструкционной сталью 20 (табл. 1).

На первом и втором графике с увеличением длины трещины , коэф-

фициент интенсивности напряжений К, падает, т.е. происходит торможение трещины. На втором графике небольшой рост рассматриваемого параметра обусловлен близостью границы.

На третьем и четвертом графике коэффициент интенсивности напряжений К, с увеличением длины трещины падает до некоторой величины К, = К1С , где Кю - трещиностойкость материала, затем постепенно увеличивается с ростом длины трещины. То есть, нельзя допускать увеличение длины трещины до найденного критического значения во избежание разрушения многослойного материала.

На пятом графике коэффициент интенсивности напряжений К, монотонно увеличивается, т.е. происходит неустойчивый рост трещины.

Таким образом, при заданной тепловой нагрузке наилучшими будут первый и второй материалы. Применение пятого материала нецелесообразно.

к; _

D'Tzh^

Рисунок 4. Зависимость коэффициента интенсивности напряжений от длины трещины в двухслойном материале

Таблица 2. Свойства материалов

№ Материал Р к с V £ • 10~3 G10"3

Пеі эвый слой — различные сплавы легких металлов

1. Магний деформируемый МА8 1.780 133,9 1046,7 0,310,35 40,2 15,7

2. Магний литейный MJI11 1.800 117,2 1044,7 0,310,35 41,2 15,7

3. Сплав алюминия D16 2.770 130 992 0,320,36 720 26,5

4. Титан технический ВТ 1-00 4.500 19,3 503 0,31 110 39,2

Второй слой — конструкционная сталь 20

7.859 52 486 0,240,31 213 83,9

На рис. 4 построены графики для двухслойных конструкций, в которых первый слой представлен различными сплавами легких металлов, а второй -конструкционной сталью 20 (табл. 2).

На первом графике с увеличением длины трещины коэффициент интенсивности напряжений К, монотонно уменьшается, т.е. происходит торможение трещины. Аналогично, на втором графике анализируемый параметр монотонно уменьшается, близость границы оказывает влияние на небольшое возрастание К,.

На третьем графике коэффициент интенсивности напряжений К, с увеличением длины трещины падает до некоторой величины К,=К1Сг затем постепенно увеличивается с ростом длины трещины. То есть, нельзя допускать увеличение длины трещины до найденного критического значения во избежание разрушения многослойного материала.

На четвертом графике коэффициент интенсивности напряжений К, монотонно увеличивается, то есть происходит неустойчивый рост трещины.

Вышесказанное позволяет сделать следующий вывод - при заданных тепловых нагрузках самым прочным будет первый и второй материал, менее прочным — третий. Четвертый материал использовать нецелесообразно.

Рисунок 5. Зависимость коэффициента интенсивности напряжений от длины трещины в двухслойном материале

Таблица 3. Свойства материалов

№ Материал Р к с V £-10"3 <7-10"3

Пеі эвый слой - различные жаростойкие никелевые сплавы

1. Жаростойкий сплав №-Ре(617) 8.400 13,4 420 0,31 212 80,9

2. Никель марганцевый НМц 5 8760 48 544 0,31 206 78,6

3. Жаростойкий сплав №-Ре(263) 8.400 11,7 426 0,31 222 84,7

Второй слой — конструкционная сталь 20

7.859 52 486 0,240,31 213 83,9

На рис. 5 построены графики для двухслойных конструкций, в которых первый слой представлен различными жаростойкими никелевыми сплавами, а второй - конструкционной сталью 20 (табл. 3).

На первом графике коэффициент интенсивности напряжений К1 с увеличением длины трещины падает до некоторой величины К, = К,с , затем постепенно увеличивается с ростом длины трещины. То есть, нельзя допускать увеличение длины трещины до найденного критического значения во избежание разрушения многослойного материала.

На втором и третьем графике коэффициент интенсивности напряжений К1 монотонно увеличивается, т.е. происходит неустойчивый рост трещины. Таким образом, конструирование материалов вида 2 и 3 нецелесообразно.

Вышесказанное позволяет сделать следующий вывод - из данного набора двухслойных материалов возможно использовать лишь первый материал при заданных тепловых нагрузках.

п яй,

Рисунок 6. Зависимость коэффициента интенсивности напряжений от длины трещины в двухслойном материале

Таблица 4. Свойства материалов

Материал Р к с V £-10"3 О-Ю"3

Первый слой — тугоплавкие металлы

1. Вольфрам 19.350 300 134 0,26-0,34 372,8 143

2. Молибден 10.200 146,5 272 0,32-0,35 294,3 110,6

Второй слой — конструкционная сталь 20

7.859 52 486 0,24-0,31 213 83,9

На рис. 6 построены графики для двухслойных конструкций, в которых первый слой представлен различными тугоплавкими металлами, а второй -конструкционной сталью 20 (табл. 4).

И на первом, и на втором графике коэффициент интенсивности напряжений Кг монотонно уменьшается до некоторого значения Кг = К[С, далее увеличивается, т.е. происходит неустойчивый рост трещины. То есть, нельзя допускать увеличение длины трещины до некоторого критического значения во избежание разрушения многослойного материала.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Построена адекватная математическая модель, описывающая напряженно-деформированное состояние многослойного материала без трещины, допускающая аналитическое решение исходных дифференциальных уравнений в частных производных при заданных граничных условиях в виде температурных полей.

2. Разработан численно-аналитический метод, позволяющий построить решение краевой задачи линейной механики разрушения многослойных материалов с трещиной, внешние боковые поверхности которых подвержены воздействию температурных полей различного вида.

3. На основе разработанного метода получено решение актуальной задачи о краевой трещине нормального разрыва, находящейся в первом слое многослойного материала под воздействием внешних заданных температурных полей.

4. Разработанный численно-аналитический метод практически реализован в виде пакета программ для определения коэффициента интенсивности напряжений К, при оценке процессов разрушения в решении прикладных задач.

5. С помощью разработанного пакета программ впервые определен коэффициент интенсивности напряжений К, при решении температурных задач с краевой трещиной нормального разрыва, находящейся в первом слое многослойного материала.

6. Получены новые аналитические зависимости, с помощью которых исследованы комплексные влияния теплофизических свойств многослойного материала и конкретный вид внешней температуры на коэффициент интенсивности напряжений, что дает возможность создания оптимального сочетания теплофизических характеристик материалов с повышенной прочностью.

7. На основании разработанного численно-аналитического метода определены оптимальные сочетания теплофизических характеристик многослойных материалов, тормозящих процесс развития трещины, что позволяет повысить прочностную надежность проектируемых конструкций.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗЛОЖЕНЫ В СЛЕДУЮЩИХ

СТАТЬЯХ:

1. Алексеева, Т.Н. Многослойные материалы под воздействием внешней температуры / В.Д. Кулиев, Т.Н. Алексеева // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - 2011,- №1(9). -С.143-149. (Перечень ВАК РФ).

2. Алексеева, Т.Н. Краевая трещина в двухслойных материалах под воздействием внешней температуры / В.Д. Кулиев, Т.Н. Алексеева // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - 2011. - № 2(10). -С.3-15. (Перечень ВАК РФ).

3. Алексеева, Т.Н. Аналитическая система Мар1е 8 для решения задач многослойных сред механики разрушения / Алексеева Т.Н., Лясина Е.С, Мо-

ос E.H. // Вестник ВГТУ. - 2010. - Т.6; №5. - С.70-73. (Перечень ВАК РФ).

4. Алексеева, Т.Н. Применение преобразований Лапласа и Фурье к решению некоторых задач математической физики / Т.Н. Алексеева // Материалы межвузовской научной конференции студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Новые технологии и разработки в машиностроении, автоматике, экономике, юриспруденции и образовании». -Коломна: Изд-во КИ(ф)МГОУ. - 2005. - С.33-36.

5. Алексеева, Т.Н. Задача о нахождении температуры нестационарного теплового поля в многослойном материале / Е.С. Лясина, Т.Н. Алексеева // МГОУ- XXI- новые технологии. - 2007. - №4. - С.4-7.

6. Алексеева, Т.Н. Применение преобразований Лапласа и Фурье к решению уравнения Пуассона / Т.Н. Алексеева, Е.С. Лясина // МГОУ- XXI-новые технологии. - 2007. - №6. - С.5-9.

7. Алексеева, Т.Н. Применение теории функций комплексного переменного к решению уравнений математической физики / Т.Н.Алексеева // Материалы II региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов, ученых и специалистов «Наука, экономика, общество». -Воскресенск: Изд-во филиала МГОУ в г. Воскресенске. - 2008. - С.61-63.

8. Алексеева, Т.Н. Аналитические вычисления при решении уравнения теплопроводности / Алексеева Т.Н., Лясина Е.С, Моос E.H. // Тезисы докладов XVII Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». - 2010. - вып.17. - С.79.

9. Алексеева, Т.Н. Решение интегральных уравнений на основе системы аналитических вычислений Maple 8 / Алексеева Т.Н., Лясина Е.С, Моос E.H. // Тезисы докладов XVII Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». - 2010. - вып.17. - С.80.

Ю.Алексеева, Т.Н. Моделирование температурных полей гетерогенных систем / Алексеева Т.Н., Моос E.H. // Тезисы докладов XVIII Междуна-

родной конференции «Математика. Экономика. Образование». - Ростов на Дону: Изд-во СКНЦ ВШ ЮФУ. - 2010. - С.111-112.

Множительный центр КИ(ф)МГОУ имени B.C. Черномырдина Заказ от 14.12.12 г. Тираж 70 экз.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата технических наук, Алексеева, Татьяна Николаевна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ МНОГОСЛОЙНЫХ СРЕД

1.1. Метод В.Д.Кулиева решения канонических сингулярных задач теории упругости кусочно однородных сред

1.2. Задача Вильямса-Черепанова

1.3. Задача Зака-Вильямса

1.4. Цель и структура диссертационной работы

ГЛАВА И. МНОГОСЛОЙНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ

ВНЕШНЕЙ ТЕМПЕРАТУРЫ

2.1. Общие уравнения термоупругости

2.1.1. Уравнения равновесия и движения

2.1.2. Деформации, возникающие при нагреве

2.1.3. Уравнения состояния

2.1.4. Исключение или еу

2.1.5. Законы термодинамики

2.1.6. Тепловой баланс

2.1.7. Граничные условия

2.1.8. Общий интеграл вектор-урвнения Дюгамеля-Неймана

2.1.9.Аналогия между квазистатической задачей термоупругости и изотермической теории упругости с объемными и поверхностными силами

2.2. Многослойные материалы под воздействием внешней температуры 50 2.2.1. Постановка задачи

2.2.2. Решение краевой задачи (распределение температуры в многослойном материале)

2.3. Решение краевой задачи (нахождение термоупругого потенциала перемещений) 54 2.3 Выводы

ГЛАВА III. КРАЕВАЯ ТРЕЩИНА В МНОГОСЛОЙНЫХ МАТЕРИАЛАХ ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ ВНЕШНЕЙ ТЕМПЕРАТУРЫ

3.1. Постановка задачи

3.2. Решение краевой задачи

3.3. Частный случай решения. Двухслойный материал под воздействием внешней температуры

3.4. Численное решение интегральных уравнений Фредгольма. Замена интегрального уравнения системой линейных алгебраических уравнений 90 3.5 .Анализ решения 92 3.6. Программа 102 3.7 Выводы

Введение диссертация по механике, на тему "Напряженно-деформированное состояние многослойных материалов с краевой трещиной нормального разрыва под воздействием внешних температур"

В современной технике широкое применение нашли многослойные материалы. Подобные конструкции из многослойных композитов широко используются в авиакосмической области, судостроении и других отраслях. Многослойные системы представляют собой чередование слоев повышенной твердости (несущих), воспринимающих внешнее воздействие (в частности, механическое) и демпфирующих слоев, перераспределяющих усилия между несущими слоями. Кроме того, предусматривают слои, обеспечивающие защиту несущих элементов от коррозионного, теплового и радиационного воздействия.

В большинстве работ при моделировании трещины в выбранных местах систем многослойные материалы представляют полосами различных толщин и упругих свойств, жестко сцепленных между собой. В этом случае процесс разрушения многослойных (и-слойных) материалов с трещиной исследуется в три этапа: трещина полностью находится на одном из боковых слоев; трещина образована разрывом в этом слое и ее вершина находится на границе раздела разорванного и соседнего целого слоев; на третьем этапе направление роста трещины и ее тип, согласно теоретическим и экспериментальным исследованиям зависит: от (7/, у,, где - модуль сдвига у-го слоя, уу

- коэффициент Пуассона того же слоя; от прочности адгезии на границах раздела (прочность адгезии, согласно теории адгезии при сдвиге аналогичной теории Гриффитса - Ирвина, определяется одной новой постоянной - вязкостью скольжения контактного слоя Кпс, а также размером дефекта или слабого места на контакте двух материалов); от микроструктуры пограничного слоя, примыкающего с одной или двух сторон к границе раздела.

Научная новизна заключается в следующем:

Достоверность полученных результатов подтверждает апробирован-ность исходных положений работы в постановках задач теории термоупругости и теории трещин, математическая точность и строгость в решении и удовлетворении граничных условий рассматриваемых задач, сравнение результатов частных случаев с теоретическими данными других авторов.

Практическая значимость состоит в том, что разработанный метод расчета коэффициента интенсивности напряжений позволяет оценить прочность конструкций и принять меры к повышению их надежности. Аналитический метод позволяет без натурных образцов и макетов оптимизировать прочностные характеристики конструкций из многослойных материалов.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

Результаты диссертационной работы внедрены в расчетную практику заинтересованных предприятий и используются при проектировании изделий, что подтверждено актами внедрения от организаций: ЗАО НТЦ «Бакор», г. Щербинка Московской области, 2012 г.; ООО «Инструмент», г. Подольск Московской области, 2012 г.

Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных форумах: 1. Межвузовская научная конференция студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Новые технологии и разработки в машиностроении, автоматике, экономике, юриспруденции и образовании» при Коломенском институте МГОУ, Коломна, 2005 г.; 2. II Региональная научно-практическая конференция студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Наука, экономика, общество», филиал МГОУ в г.Воскресенске, 2008 г.; 3. XVII Международная конференция «Математика, компьютер, образование», Дубна, 2010 г.; 4. XVIII Международная конференция «Математика, экономика, образование», Ростов на Дону, 2010 г.; 5. Общеуниверситетский научный семинар по механике деформируемого твердого тела при МГОУ имени B.C. Черномырдина, 2012 г.

По теме диссертационной работы опубликованы 10 научных работ, включая 3 статьи, входящих в перечень ведущих рецензируемых журналов, рекомендованных ВАК РФ.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

3.7 Выводы

1. Разработан численно-аналитический метод, позволяющий построить решение краевой задачи линейной механики разрушения многослойных материалов с трещиной, внешние боковые поверхности которых подвержены воздействию температурных полей различного вида.

2. На основе разработанного метода получено решение актуальной задачи о краевой трещине нормального разрыва, находящейся в первом слое многослойного материала под воздействием внешних заданных температурных полей.

3. Разработанный численно-аналитический метод практически реализован в виде пакета программ для определения коэффициента интенсивности напряжений К1 при оценке процессов разрушения в решении прикладных задач.

4. С помощью разработанного пакета программ впервые определен коэффициент интенсивности напряжений К, при решении температурных задач с краевой трещиной нормального разрыва, находящейся в первом слое многослойного материала.

5. Получены новые аналитические зависимости, с помощью которых исследованы комплексные влияния теплофизических свойств многослойного материала и конкретный вид внешней температуры на коэффициент интенсивности напряжений, что дает возможность создания оптимального сочетания теплофизических характеристик материалов с повышенной прочностью.

6. На основании разработанного численно-аналитического метода определены оптимальные сочетания теплофизических характеристик многослойных материалов, тормозящих процесс развития трещины, что позволяет повысить прочностную надежность проектируемых конструкций.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

4. Разработанный численно-аналитический метод практически реализован в виде пакета программ для определения коэффициента интенсивности напряжений К1 при оценке процессов разрушения в решении прикладных задач.

5. С помощью разработанного пакета программ впервые определен коэффициент интенсивности напряжений К1 при решении температурных задач с краевой трещиной нормального разрыва, находящейся в первом слое многослойного материала.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата технических наук, Алексеева, Татьяна Николаевна, Москва

1. Ахиев, A.C., Кулиев, В.Д. К проблеме разрушения биупругой среды под воздействием циклической температуры / Кулиев В.Д., Ахиев A.C. // Деп. ВИНИТИ. - 1983. -№839-83.

2. Ахиев, A.C.,Кулиев, В.Д. Краевая трещина под воздействием циклической температуры / Кулиев В.Д., Ахиев A.C. // Физ.-хим. механика материалов. 1983. - №2.

3. Ахиезер, Н.И. К теории спаренных интегральных уравнений / Ахиезер Н.И. // Зап. Харьков, матем. об-ва. 1957. - Т.25.

4. Ахиезер, Н.И. О некоторых формулах обращения сингулярных интегралов / Ахиезер Н.И. // Изв. АН СССР. Сер. математика. 1945. - Т.9, №4.

5. Ашбаух. Развитие конечной трещины, перпендикулярной поверхности раздела двух материалов / Ашбаух // Прикладная механика. Сер. Е. -1973. Т.40, №2.

6. Бабешко, В.А. К факторизации одного класса матриц-функций, встречающихся в теории упругости / Бабешко В.А. // Докл. АН СССР. -1975. -Т.223, №6.

7. Баблоян, A.A. Решение некоторых парных уравнений, встречающихся в задачах теории упругости / Баблоян A.A. // ПММ. 1967. - Т.31, вып.4.

8. Баренблатт, Г.И. Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении / Баренблатт Г.И. // ПМТФ. 1961. - №4.

9. Белова, A.B., Смирягин, А.П., Смирягина, H.A. Промышленные цветные металлы и сплавы: Справочник / Смирягин А.П., Смирягина H.A., Белова A.B. М.: Металлургия, 1974. - 488с.

10. Ю.Белоцерковский, С.М., Лифанов, И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях / Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. -М.: Наука, 1985.

11. Боли, Б., Уэйнер, Дж. Теория температурных напряжений / Боли Б., Уэйнер Дж. М.: Мир, 1964. - 517с.

12. Болотин, В.В., Новичков, Ю.Н. Механика многослойных конструкций / Болотин В.В., Новичков Ю.Н. -М.: Машиностроение, 1980.

13. Бурханов, Г.С. Савицкий, Е.М., Металловедение сплавов тугоплавких и редких металлов / Савицкий Е.М., Бурханов Г.С. М.: Наука, 1971. -356с.

14. Васютин, А.Н., Махутов, H.A., Морозов, Е.М. К построению энергетического критерия разрушения тел с малыми трещинами / Васютин

15. A.Н., Махутов H.A., Морозов Е.М. // Прочность и надежность конструкций (к 50-летию профессора В.Д. Кулиева). М.: Изд-во МГОУ, 1993.

16. Ватсон, Г.Н. Теория бесселевых функций. В 2 ч. 4.1 / Ватсон Г.Н. -М.: ИЛ, 1949.

17. Владимиров, B.C. Уравнения математической физики / Владимиров

18. B.C. М.: Наука, 1967. - 213с.

19. Гахов, Ф.Д. Краевые задачи / Гахов Ф.Д. 2-ое изд. - М.: Физматгиз, 1963. - 639с.

20. Голоскоков, Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple: Учебник для вузов / Голоскоков Д.П. СПб.: Питер, 2004. - 539с.

21. Гольденблат, И.И. Некоторые вопросы механики деформируемых сред / Гольденблат И.И.- М.: Гостехиздат, 1955. 273 с.

22. Гудьер, Дж. Тимошенко, С.П. Теория упругости / Тимошенко С.П., Гудьер Дж. М.: Наука, 1975. - 576с.

23. Дацишин, А.П., Саврук, М.П. Интегральные уравнения плоской задачи теории трещин / Дацишин А.П., Саврук М.П. // ПММ. 1974. - Т.38, вып. 4.

24. Дашицын, А.П., Панасюк, В.В., Саврук, М.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках / Дашицын А.П., Панасюк В.В., Саврук М.П. Киев: Наукова думка, 1976.

25. Дезоер, Ч., Заде, JT. Теория линейных систем. Метод пространства состояний / Заде Д., Дезоер Ч. М.: Наука, 1970.

26. Иванов, В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений / Иванов В.В. -Киев: Наукова думка, 1968.

27. Ивлев, Д.Д. О теории трещин квазихрупкого разрушения / Ивлев Д.Д. //ПМТФ.- 1967.-№6.

28. Ингленд. Трещина между двумя разными средами / Ингленд // Прикладная механика. Сер. Е. 1965. - Т.32, №2.

29. Калиткин, H.H. Численные методы / Калиткин H.H. М.: Наука, 1978.

30. Каплун, А.Б., Кулиев, В.Д., Образцов, И.Ф. К теории разрушения многослойных материалов с трещиной. Статическое нагружение / Образцов И.Ф., Кулиев В.Д., Каплун А.Б.// Докл. АН СССР. 1988. - Т.ЗОЗ, №4.

31. Каплун, А.Б., Кулиев, В.Д., Образцов, И.Ф. К теории разрушения многослойных материалов с трещиной. Циклическое нагружение / Образцов И.Ф., Кулиев В.Д., Каплун А.Б.// Докл. АН СССР. 1988. - Т.ЗОЗ, №5.

32. Каплун, А.Б., Кулиев, В.Д., Хечумов, P.A. Инженерные задачи механики разрушения / Кулиев В.Д., Каплун А.Б., Хечумов P.A. М.: Изд. МИСИ им. В.В. Куйбышева, 1985.

33. Кит, Г.С., Кривцун, М.Г. Плоские задачи термоупругости для тел с трещинами / Кит Г.С., Кривцун М.Г. Киев: Наумова думка, 1983. -277с.

34. Кит, Г.С., Лысый, И.П. О термоупругом состоянии полосы с трещинами / Кит Г.С., Лысый И.П. // Мат. методы и физ.-мех. поля. 1979. -вып. 10.

35. Кит, Г.С., Соколовский, М.П. Плоская задача теплопроводности и термоупругости для тела с системой прямолинейных разрезов / Кит Г.С., Соколовский М.П. // Мат. методы и физ.-мех. поля. 1976. -вып. 14.

36. Кит, Г.С., Хай, М.В. Температурные напряжения в полосе, ослабленной произвольно ориентированными теплоизолированными трещинами / Кит Г.С., Хай М.В. // Мат. методы и физ.-мех. поля. 1976. -вып.З.

37. Кит, Г.С., Хай, М.В. Термоупругое состояние плоскости, ослабленной произвольно ориентированными теплоизолированными трещинами / Кит Г.С., Хай М.В. // Мат. методы и физ.-мех. поля. 1975. -вып.1.

38. Кит, Г.С., Хай, М.В. Термоупругое состояние полуплоскости и полосы, ослабленных поперечной трещиной / Кит Г.С., Хай М.В. // Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1976. -вып. 16.

39. Коваленко, А.Д. Термоупругость / Коваленко А.Д. Киев: Выща школа, 1975.-216с.

40. Колосов, Г.В. Применение комплексной переменной к теории упругости / Колосов Г.В. М.,Л.: ОНТИ, 1935.

41. Коляно, Ю.М. Кулик, А.Н. Температурные напряжения от объемных источников / Коляно Ю.М. Кулик А.Н. Киев: Наукова думка, 1983.-288с.

42. Кондратьев, В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в конических областях / Кондратьев В.А. // Докл. АН СССР. 1963. -Т.153, №1.

43. Кондратьев, В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками / Кондратьев В.А. // Тр. московского матем. об-ва. 1976. - Т. 16.

44. Коренев, Б.Г. Задачи теплопроводности и термоупругости / Коренев Б.Г. М.: Наука, 1980. - 400с.

45. Костров, Б.В., Никитин, Л.В., Флитман, Л.М. Механика хрупкого разрушения / Костров Б.В., Никитин Л.В., Флитман Л.М. // Изв. АН СССР. ММТ.-1969.-№3.

46. Краснов, M.JI. Интегральные уравнения / Краснов M.JI. М.: Наука, 1975.-303с.

47. Кудрявцев, Б.А., Партон, В.З. О разрушении слоистых композитов / Кудрявцев Б.А., Партон В.З. // Физ.-хим. механика материалов. 1986.- Т.22, №1.

48. Кулиев, В.Д. К теории разложения функций в двойной ряд по бесселевым функциям целых порядков / Кулиев В.Д. // Новые технологии. Сер. математика. 2000. - №6.

49. Кулиев, В.Д. Некоторые задачи механики разрушения / Кулиев В.Д. // Изв. АН СССР. МТТ. 1973 - №5 (аннотации докладов).

50. Кулиев, В.Д. Некоторые проблемы механики разрушения и связанной с ней математики на рубеже XXI века / Кулиев В.Д. // Новые технологии. Сер. математика. 1999. - №2.

51. Кулиев, В.Д. Сингулярные задачи теории упругости / Кулиев В.Д. // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. - №3 (аннотации докладов).

52. Кулиев, В.Д. Сингулярные краевые задачи / Кулиев В.Д. М.: Физмат-лит, 2005. -720с.

53. Кулиев, В.Д., Каплун, А.Б., Садыхов, Н.Э. Центральная трещина в многослойных материалах / Кулиев В.Д., Каплун А.Б., Садыхов Н.Э. // Проблемы машиностроения и автоматизации. М., Будапешт, 1989. -№4.

54. Кулиев, В.Д., Насибов, В.И. К проблеме торможения трещины в многослойных средах / Кулиев В.Д., Насибов В.И. // Докл. АН СССР. 1986.- Т.288, №3.

55. Кулиев, В.Д., Насибов, В.И. Краевая трещина в биупругой полосе / Кулиев В.Д., Насибов В.И. // Механика композитных материалов. 1983. -№4.

56. Кулиев, В.Д., Насибов, В.И. Торможение краевой трещины, перпендикулярной границе раздела двух упругих сред / Кулиев В.Д., Насибов В.И. // Деп. АзНИИНТИ. 1985. - №293-АзА.

57. Лаврентьев, М.А., Шабат, Б.В. Методы теории функций комплексного переменного / Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. М.: Наука, 1973. - 736с.

58. Ладыженская, O.A. Краевые задачи математической физики / Ладыженская O.A. -М.: Наука, 1973.

59. Ландау, Л.Д., Лифшиц, Е.М. Теоретическая физика. В 10 т. Т. 7. Теория упругости / Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. М.: Наука, 1987. - 248с.

60. Лебедев, H.H. Температурные напряжения в теории упругости / Лебедев H.H. Л.,М.: ОНТИ, 1937. - 110с.

61. Лейбензон, Л.С. Курс теории упругости / Лейбензон Л.С. М., Л.: Гостехиздат, 1947. - 244с.

62. Линейная теория упругости / Каландия А.И., Лурье А.И, Манджавидзе Г.Ф., Прокопов В.К., Уфлянд Я.С. // Механика в СССР за 50 лет М.: Наука, 1972. - Т.З.

63. Ловит, У.В. Линейные интегральные уравнения / Ловитт У.В. М.: Гостехиздат, 1957.

64. Лурье, А.И. Теория упругости / Лурье А.И. М.: Наука, 1970. - 940с.

65. Ляв, А. Математическая теория упругости / Ляв А. М.: ОНТИ, 1935. -674с.

66. Мазья, В.Г., Пламеневский, Б.А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач вблизи конических точек / Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. // Докл. АН СССР. 1974. - Т.219, №2.

67. Мазья, В.Г., Пламеневский, Б.А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач вблизи ребра / Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. // Докл. АН СССР. 1976. - Т.229, №1.

68. Майзель, В.М. Температурная задача теории упругости / Майзель В.М. Киев: Из-во АН УССР, 1951.-152с.

69. Малкович, Р.Ш. Альтернативные аналитические решения уравнения диффузии (теплопроводности) для произвольного исходного распределения концентрации (температуры) / Малкович Р.Ш. // Письма в ЖТФ. -2002. Т. 28, вып. 21. - С.91-94.

70. Маркушевич, А.И. Теория аналитических функций. В 2 т. / Маркуше-вич А.И. 2-ое изд. - М.: Наука, 1967.

71. Матросов, А. В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики / Матросов А. В. СПб.: БХВ-Петербург, 2001. - 528 с.

72. Мелан, Э., Паркус, Г. Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными тепловыми полями / Мелан Э., Паркус Г. М.: Физматлит, 1958.-168с.

73. Михлин, С.Г. Интегральные уравнения и их приложения / Михлин С.Г. -М.: Гостехиздат, 1949.

74. Михлин, С.Г. Смолицкий, X.JI. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений / Михлин С.Г. Смолицкий Х.Л. -М.: Наука, 1965.

75. Морозов, Е.М., Партон, В.З. Механика упруго-пластического разрушения / Партон В.З., Морозов Е.М. М.: Наука, 1974.

76. Морозов, Е.М., Сапунов, В.Т. Докритический рост трещины / Морозов Е.М., Сапунов В.Т. // Материалы атомной техники. М.: Атомиздат, 1975.

77. Морозов, Н.Ф. Математические вопросы теории трещин / Морозов Н.Ф. -М.: Наука, 1984.

78. Мусхелишвили, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Мусхелишвили Н.И. М.: Наука, 1966. - 707с.

79. Мусхелишвили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Мусхелишвили Н.И. М.: Наука, 1968.

80. Мюнц, Г.М. Интегральные уравнения. В 3 т. / Мюнц Г.М. М.,Л.: Гостехиздат, 1934.

81. Нобл, Б. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных / Нобл Б. М.: ИЛ, 1962.

82. Новацкий, В. Вопросы термоупругости / Новацкий В. -М.: Изд-во АН СССР, 1962.-364с.

83. Новацкий, В. Теория упругости / Новацкий В. М.: Мир, 1975. - 872с.

84. Новожилов, B.B. Теория упругости / Новожилов B.B. М.: Судпром-гиз, 1958.-370с.

85. Основы информатики / Журавлева Т.Ю., Конев Ф.Б., Кулиев В.Д., Панцхава Ш.И. М.: ЭКСИМ, 2000. - С.282-283.

86. Панасюк, В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами / Па-насюк В.В. Киев: Наукова думка, 1968.

87. Папкович, П.Ф. Теория упругости / Папкович П.Ф. М., JL: Оборонгиз, 1939. - 640с.

88. Парку с, Г. Неустановившиеся температурные напряжения / Паркус Г. М.: Физматгиз, 1963. - 252с.

89. Партон, В.З., Перлин, П.И. Интегральные уравнения теории упругости / Партон В.З., Перлин П.И. М.: Наука, 1977. - 311с.

90. Партон, В.З., Перлин, П.И. Методы математической теории упругости / Партон В.З., Перлин П.И. М.: Наука, 1981. - 688с.

91. Разрушение. Т. 1-7 / Под ред. Г. Либовица. М.: Мир. - 1973-1976.

92. Романовский, П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа / Романовский П.И. М.: Наука, 1973.-336с.

93. ЮО.Самарский, A.A., Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / Тихонов А.Н., Самарский A.A. -М.: Изд. МГУ, 1999. 798с.

94. Свешников, А.Г., Тихонов, А.Н. Теория функций комплексной переменной / Свешников А.Г., Тихонов А.Н. М.: Физматлит, 2001. - 320с.

95. Сорокин В.Г. Марочник сталей и сплавов / Сорокин В.Г. М.: Машиностроение, 1989. - 640с.

96. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками, таблицами / Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган. М.: Наука, 1979. - 832с.

97. Стохастическая термомеханика многослойных конструкций / Бутко A.M., Кулиев В.Д., Новичков Ю.Н., Преображенский И.Н. М.: Машиностроение, 1980.

98. Таблицы физических величин. Справочник / Под ред. акад. И.К. Кикоина. М.: Атомиздат, 1976. - 1008с.

99. Юб.Талыпов, Г.Б. Сварочные деформации и напряжения / Талыпов Г.Б. -JL: Машиностроение, 1973.- 280с.

100. Ю7.Тимошенко, С.П. Теория упругости / Тимошенко С.П. М.: ОНТИ, 1975.- 576с.

101. Тихонов, А.Н. Об асимптотическом поведении интегралов, содержащих бесселевы функции / Тихонов А.Н. // Докл. АН СССР. 1959. - Т. 125. Ю9.Трикоми, Ф. Интегральные уравнения / Трикоми Ф. - М.: ИЛ. - 1960.

102. Ю.Уфльянд, Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости / Уфльянд Я.С. М., Л.: Наука, 1967. - 402с.111 .Черепанов, Г.П. Механика разрушения композиционных материалов / Черепанов Г.П. -М.: Наука, 1983.

103. Черепанов, Г.П. Механика хрупкого разрушения / Черепанов Г.П. -М.: Наука, 1974.

104. ПЗ.Шерман, Д.И. Основные плоские и контактные (смешанные) задачи статической теории упругости / Шерман Д.И. // Механика в СССР за 30 лет. М.: Гостехиздат,1950.

105. Эрдоган, Ф. Распределение напряжений в неоднородной упругой плоскости, имеющей трещины / Эрдоган Ф. // Прикладная механика. Сер. Е. 1963. - Т.20, №2.

106. Broglio, L. Balance Method in Engineering Science, Eoardc Contr / Bro-glio L. //AF 61(514), 422, Tech. Rep. No.l. Rome, 1954.

107. Hilton, P.D., Sih, G.C. A laminate composite with a crack normal to the interfaces/ Hilton P.D., Sih G.C. // Int. J. Solid Structures. 1971. -V.7.

108. Maple 9 Learning Guide. Toronto: Maplesoft, a division of Waterloo Maple Inc., 2003.

109. Maple 9.5 Getting Started Guide. Toronto: Maplesoft, a division of Waterloo Maple Inc., 2004.

110. Monagan, M.B. Maple 9 Advanced Programming Guide / Monagan M.B. et al. Toronto: Maplesoft, a division of Waterloo Maple Inc., 2003.

111. Monagan, M.B. Maple 9 Introductory Programming Guide / Monagan M.B. et al. Toronto: Maplesoft, a division of Waterloo Maple Inc., 2003.