Трещина в многослойных материалах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ МНОГОСЛОЙНЫХ СРЕД,. б

§1.1. Обзор исследований по теме диссертации.

§ 1.2. Цель исследования и структура диссертационной работы.

ГЛАВА П. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ТРЕЩИНА В ТРЕХСЛОЙНЫХ МАТЕРИАЛАХ.

§ 2.1. Постановка задачи.

§ 2.2. Центральная трещина нормального разрыва в трехслойных- материалах (задача А)

§ 2.3. Сведение решения задачи А к решению интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода.

§ 2.4. Центральная трещина поперечного сдвига в трехслойных материалах (задача Б).

§ 2.5. Сведение решения задачи Б к решению интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода.

§ 2.6. Коэффициенты интенсивности напряжений для трещин нормального разрыва и поперечного сдвига.

Анализ решений.

ГЛАВА Ш. КРАЕВАЯ ТРЕЩИНА В БИМЕТАЛЛАХ.

§ 3.1. Постановка задачи.

§ 3.2. Решение краевой задачи.

§ 3.3. Коэффициент интенсивности напряжений. Анализ решения.

ГЛАВА 1У. ТОРМОЖЕНИЕ КРАЕВОЙ ТРЕЩИНЫ, ПЕРПЕНДИКУЛЯР НОЙ

ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДВУХ УПРУГИХ СРЕД.

§ 4.1. Постановка задачи.

-3стр.

§ 4.2. Решение краевой задачи.

§ 4.3. Коэффициент интенсивности напряжений для трещины скольжения. Анализ решения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И КРАТКИЕ ВЫВОДЫ.

Проблема прочности элементов конструкций и сооружений и необходимость ее практического решения вызывала и вызывает большой интерес многих исследователей к изучению цроцесса деформирования и разрушения твердых тел. Одна из важнейших задач такого рода г», исследование поведения трещин в многослойных материалах с целью повышения прочности и эксплуатационной надежности многих современных конструкций при экстремальных условиях их работы.

В настоящее время интенсивно развиваются различные области механики разрушения многослойных сред.

На защиту выносятся следующие основные научные положения:

- исследование хрупкой прочности многослойных материалов с центральной и краевой трещинами, нормального разрыва и поперечного сдвига;

- исследование цроцессов торможения трещины в многослойных материалах.

Результаты этих исследований, в частности, важны для понимания механизмов усталостного разрушения многослойных материалов, а также для определения их параметров трещиностойкости.

Диссертационная работа состоит из четырех глав, приложений и с шока литературы.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [48,49, 50, 71],

Отдельные разделы диссертационной работы были доложены на семинарах кафедры высшей математики Азербайджанского технологического института (1982-1984), кафедры сопротивления материалов АзПИ им.Ч.Ильдрама (1983, 1984), на общеинститутском семинаре

Института математики и механики АН АзербССР (1984), на семинаре лабораторий механики усталостного разрушения и механики разрушения конструкций ШМ АН АзербССР (1982-1984), на Республиканской конференции молодых специалистов и ученых (Баку, 1984).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук Валеху Дкафар оглы Кулиеву за постоянное внимание к работе, ценные советы и замечания.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И КРАТКИЕ ВЫВОДЫ

1. Построено решение новых задач механики разрушения многослойных сред, возникающих при исследовании общей проблемы прочности и долговечности составных элементов конструкций.

2. Установлены условия, при выполнении которых происходит торможение центральной трещины нормального разрыва и поперечного сдвига в многослойных материалах; аналогичное условие найдено и для краевой трещины нормального разрыва.

3. Предложен более адекватный механизм торможения краевой трещины нормального разрыва трещиной скольжения в многослойных материалах и на его основе построено решение новой задачи, определен коэффициент интенсивности напряжений для трещин скольжения и найдена критическая длина трещины скольжения.

1. Амензаде Ю.А. Теория упругости. - М.: Высшая школа, 1976.

2. Ахиев A.C. Биупругая среда с трещиной под действием температуры. Часть I. Деп. АзНИИНТИ, }h 181-АзД84, 1984.

3. Ахиев A.C. Биупругая среда с трещиной под действием температуры. Часть П. Деп. АзНИИНТИ, 1 182-АзД, 1984.

4. Ахиезер Н.И. К теории спаренных интегральных уравнений. Зап. мат. отд. физ.-мат. ш-та Харьк. гос. ун-та и Харьк. мат. общ., 1957, т.25, стр,4.

5. Ахиезер Н.И. О некоторых спаренных интегральных уравнениях. ДАН СССР, 1954, т.98, В 3, с.333-336.

6. Ашбаух. Напряжения в слоистых композитах, содержащих разорванный слой. Прикл. механика, 1973, т.40, сер.Е, të 2, с.221-228.

7. Ашбаух. Развитие конечной трещины, перпендикулярной поверхности раздела двух материалов. Прикл. механика, 1973, т.40, сер.Е, Ш 2, с.312-314.

8. Баблоян A.A. Решение некоторых парных интегральных уравнений. 1ШМ, 1964, т.28, JS 6, с.1015-1023.

9. Баблоян A.A. Решение некоторых парных уравнений, встречающихся в теории упругости. ПММ, 1967, т.31, вып.4, с.678-685.

10. Баренблатт ГЛ. Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении. ЙМТФ, 1961, 1 4.

11. Белоносов С.М. Основные плоские статические задачи теории упругости для односвязных и двухсвязных областей. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. 231 с.

12. Бережницкий Л.Т., Громяк P.C. К оценке предельного состоянияматрицы в окрестности остроконечного жесткого включения. Физ.-хим. механика материалов, 1977, т.13, № 2, с.39-47.

13. Бережницкий Л.Т., Денисюк И.Т. Плоская задача для анизотропного тела с остроконечным анизотропным включением. Физ.-хим. механика материалов, 1983, т.19, 2, с,63-73.

14. Бережницкий Л.Т., Кундрат Н.М. О возникновении и развитии пластических деформаций в окрестности остроугольного жесткого включения. Физ.-жм. механика материалов, 1983, т.19, В 6, с.60-68.

15. Бережницкий Л.Т., Панасюк В.В., Стащук Н.Г. Взаимодействие жестких линейных включений и трещин в деформируемом теле. Киев: Наук, думка, 1983. 290 с.

16. Бережницкий Л.Т., Панасюк В.В., Труш И.И. К вопросу о влиянии включений на разрушение тела с трещиной. Физ.-хим. механика материалов, 1970, т.6, № 5, с.36-43.

17. Бережницкий Л.Т., Саврук М.П., Стащук Н.Г. О взаимодействии линейных жестких включений и трещин. Физ.-хим. механика материалов, 1981, т.17, № 2, с.70-76.

18. Бережницкий Л.Т., Садивский В.М. Распределение напряжений возле упругих включений с точками возврата на контуре. Физ.-хим. механика материалов, 1976, т.12, $ 3, с.47-54.

19. Бережницкий Л.Т., Стащук Н.Г. О развитии трещины в окрестности вершины жесткого включения. Докл. АН УССР, 1981, сер,А, Л 12, с.29-33.

20. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. M.i Машиностроение, 1980. 375 с.

21. Вайншельбаум В.М., Гольдштейн Р.В. Осесимметричная задача о трещине на границе раздела слоев в многослойной среде. ~ Изв. АН СССР, МТТ, 1976, № 2.

22. Веденеева H.H., Клюшников В.Д., Мазинг Р.И. Задача о склейке двух полуплоскостей. Изв. АН СССР, МТТ, 1974, № I.

23. Витвицкий П.М., Панасюк В.Б., Ярема С.Я. Пластические деформации в окрестности трещин и критерии разрушения (обзор). -Проблемы прочности, 1973, 1Ь 2, с. 3-18.

24. Гахов ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.

25. Гельфанд K.M., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М,: Физматгиз, 1953.

26. Гольдштейн Р.Б., Салганик РД. Хрупкое разрушение тел с произвольными трещинами. В сб.: Успехи мех. деформир. сред. М.: Наука, 1975. .

27. Грилицкий Д.В. Об упругом равновесии неоднородной пластинки с разрезом. Прикл. механика, 1966, т.2, J6 5.

28. Грилицкий Д.В., Евтушенко A.A., Сулим Г.Т. Распределение напряжений в полосе с упругим тонким включением. ШМ, 1979, т.43, вып.З, с.542-549.

29. Грилицкий Д.Б., Сулим Г.Т. Периодическая задача для кусочно-однородной упругой плоскости с тонкостенными упругими включениями. Прикл. механика, 1975, т.II, J5 I, с,74-81.

30. Жоржолиани Г.Т., Каландия А.И. Влияние жесткого включения на интенсивность напряжений около концов разреза. ПММ, 1974, т.38, JS 4, с,719-727.

31. Зак, Вильяме. Сингулярности в напряжениях у конца трещины на поверхности раздела двух материалов. Прикл. механика, сер.Е, 1963, т.30, № I,

32. Захаров В.В., Никитин Л.В. Влияние трения на процесс расслоения разнородных материалов. Механика композитных материалов, 1983, № I, с.20-25.

33. Ингленд. Трещина между двумя разнили средами. Прикл. механика, сер.Е, 1965, т.32, !Ь 2.

34. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. М.: Наука, 1971.

35. Кортен М.Т. Механика разрушения композитов, В кн.: Разрушение, т.7. М.: Мир, 1977.

36. Костров Б.В., Никитин Л.В. Трещина продольного сдвига с бесконечно узкой пластической зоной. ШМ, 1967, т.31, вып.2,с.334-336.

37. Костров В.В., Никитин Л.В., Флитмаи Л.М, Механика хрупкого разрушения. Изв. АН СССР, МТТ, 1969, 3.

38. Костров В.В., Никитин Л.В., Флитман Л.М. Распространение трещин в упруго-вязких телах. Изв. АН СССР, физика Земли, 1970, й 7.

39. Кудрявцев Б.А., Партон В.З., Песков Ю.А,, Черепанов Г.П, О локальной пластической зоне вблизи конца щели (плоская деформация) Изв. АН СССР, МТТ, 1970, й 5, с.132-138.

40. Кудрявцев Б.А., Партон В.З., Песков Ю.А., Черепанов Г.П. О локальной пластической зоне вблизи конца щели. Изв. АН СССР, МТТ, 1970, I, с,61-64.

41. Кулиев В.Д. Пластические линии разрыва в вершине клина, -Прикл. метаника, 1979, т.15, гё 3, с.53-59.

42. Кулиев В.Д. Трещина с конечным ответвлением в кусочно-однородной упругой среде. Докл. АН СССР, 1979, т.246, В 6,

43. Кулиев В.Д. Преломление трещины продольного сдвига. Докл. АН СССР, 1979, т.249, Л 2.

44. Кулиев В.Д. Пластическая деформация на конце краевой трещины, ШМ, 1979, т.43, вып.1.

45. Кулиев В.Д. Трещина на границе раздела двух сред с ответвлением в одну из них в случае антиплоской деформации. Проблемы прочности, 1979, 7.

46. Кулиев В,Д. Некоторые задачи о ветвлении трещины сдвига в кусочно-однородной упругой среде. Докл. АН Азерб.ССР, 1979, й 6.

47. Кулиев В.Д., Ахиев А.С, Об одном методе решения определенного класса плоских и антиплоских задач механики разрушения многослойных сред с трещинами. Деп.в АзННИНТИ, № 183-АзД, 1984.

48. Кулиев В.Д., Насибов В.И. Центральная трещина в двухкомпо-нентном слоистом материале, Деп. ВИНИТИ, II? 3287-82, 21 с.

49. Кулиев В.Д., Насибов В.И, Краевая трещина в биупругой полосе. Механика композитных материалов, 1983, № 4, с.594-599,

50. Кулиев В.Д., Насибов В.И. Торможение краевой трещины, перпендикулярной границе раздела двух упругих сред. Деп. в АзНИИНТИ. № 293-АзД, 1985

51. Кулиев В.Д., Новрузов Г.М, Плоская задача для кусочно-однородной среды с ломаной трещиной. Прикл. механика, 1984, т.20, .]з 9.

52. Кулиев В.Д., Новрузов Г.М. Пластические линии разрыва в конце клина, находящегося в биупругой среде. Деп. ВИНИТИ, В 3288-82, 28 с.

53. Кулиев В.Д., Работнов Ю.Н., Черепанов Г.П. Торможение трещины на границе раздела различных упругих сред, Изв. АН СССР, МТТ, 1978, гё 4.

54. Кулиев В.Д., Садыхов А.Э. Проблема Римана для двух пар функций и одно ее приложение в теории упругости, Изв, АН Арм.ССР, механика, 1979, т.32, й 2, с,26-37.

55. Кулиев В.Д., Черепанов Г.П, Теория устройчивости скальных откосов с тектоническими трещинами. В сб.: Теоретична и приложна механика, кн.1. Изд-во на Българска Академия на науките, 1977.

56. Кулиев В.Д., Черепанов Г.П. 0 начальном развитии линий скольжения от свободной границы тела. ПММ, 1979, т.43, вып.2,с.349-359.

57. Кундрат Н.М. О полосах скольжения вдоль границы матрица-включение. Физ.-хим. механика материалов, 1983, т.19, $ I, с.102-105.

58. Леонов М.Я. Механика деформаций и разрушения. Физико-математические основы теории. Фрунзе: Илим, 1981. - 237 с.

59. Максудов Ф.Г., Кулиев В.Д., Искендер-заде Ф.А. К проблеме разрушения биу пругой среды. Докл. АН СССР, 1982, т.264, й 6, с,1349-1352.

60. Маркузон И.А. Равновесные трещины в полосе конечной ширины.- ПМТФ, 1963, 5.

61. Мирсалимов В.М. Влияние разгружающих отверстий на развитие трещины. Проблемы прочности, 1971, й 4.

62. Мирсалимов В.М. 0 структуре пластических деформаций в вершине трещины. Изв. АН АзербССР, физ.-техн. и мат. н., 1970, № 6. с.24-29.

63. Мирсалимов В.М. Взаимодействие периодической системы упругих включений и прямолинейных трещин в изотропной среде. ПМТФ, 1978, I, с.164-174.

64. Мирсалимов В.М. Взаимодействие двоякопериодической системы жестких включений и прямолинейных трещин в изотропной среде.- Изв. АН СССР, МТТ, 1978, № 2, с.108-114.

65. Михлин С.Г. Интегральные уравнения. ОГИЗ-Гостехиздат, 1947.- 304 с,

66. Морозов Е.М. Расчет на прочность сосудов давления при наличии трещин. Проблемы прочности, 1971, й 9.

67. Морозов Е.М. Об одном обобщении -теории трещин. Прикд. механика, 1970, т.6, й 4,-но

68. Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. М.: Наука, 1980. - 255 с.

69. Мусхелишвили H.H. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М,: Наука, 1966.

70. Мусхелишвили H.H. Сингулярные интегральные уравнения. М.: физматгиз, 1968.

71. Насибов В.Й. Трещина сдвига в биупругой среде. Матер.У респ. конфер.молодых ученых по мат-е и мех-е.,Баку,1984,стр.198-200.

72. Никитин Л.В., Туманов А.Н. Анализ локального разрушения в композите. Механика композитных материалов, 1981, $ 4, с.595-601.

73. Нобл Б. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: ИЛ, 1962.

74. Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами. Киев: Наукова душа, 1968.

75. Панасюк В.В., Андрейкив А.Е., Ковчик С.Е. Методы оценки трещи-ностойкости конструкционных материалов. Киев: Наукова думка, 1977.

76. Панасюк В.В., Бережницкий Л.Т., Садивский В.М. Коэффициенты интенсивности и распределение напряжений около остроугольных упругих включений. Докл. АН СССР, 1977, т.232, й 2, с.304-307.

77. Панасюк В.В., Витвицкий П.М., Кутень С.И. Упруго-пластическое равновесие пластинки с прикраевой трещиной. Прикл. механика, 1979, т.15, Ш I, с.43-50.

78. Панасюк В.В., Витвицкий П.М., Кутень С.И. О пластической деформации и разрушении пластинки с краевой трещиной. Докл. АН УССР, сер.А, 1975, Ш 4.

79. Панасюк Б.В., Саврук МЛ., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещины в пластинах и оболочках. Киев: Наукова думка, 1976.

80. Партон Б.З., Морозов Е.М. Механика упруго-пластического разрушения. М.; Наука, 1974.

81. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные-уравнения теории упругости. М.: Наука, 1977, 311 с.

82. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981. 688 с.

83. Партон В.З., Черепанов Г.П. Механика разрушения. В сб.: Механика в СССР за 50 лет, т.З. М.: Наука, 1972.

84. Подстригач Я.С. Условия скачка напряжений и перемещений на тонкостенном упругом включении в сплошной среде. Докл. АН УССР, 1982, сер. А, В 12, с.30-32.

85. Предников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983, 750 с.

86. Прусов И.А, Напружений стан в неоднор дн й площин з из линами по колов й л н розд лу. Прикл. механика, 1961, т.7, 15 6.

87. Прусов И.А. Напряженное состояние в неоднородной плоскости с разрезами. Прикл. механика, 1966, т,2, В 6.

88. Прусой 1.0., Старовойтенко Ж.В. Теоретична прикладна математика, вып.2. Издво Львовского ун-та, 1963.

89. Работнов Ю.Н. Прочность слоистых материалов.-Изв. АН СССР, МТТ, 1979, й I.

90. Разрушение. М.: Мир, 1973-1976, тт.1-7.

91. Райе, Си. Плоские задачи о трещинах, расположенных на границе раздела двух различных сред. Прикл. механика, сер.Е, т.32, гё 2, 1965, с.186-192.

92. Савин Г.Н., Панаскш В.Б. Развитие исследований по теории предельного равновесия хрупких тел с трещинами (обзор). Прикл. механика, 1968, т.1, 4.

93. Саврук М.П. Двумерные задачи теории упругости для тел с трещинами. Киев: Назгкова душа, 1981. - 323 с.

94. Салганик Р.Л. О хрупком разрушении склеенных тел. ПММ, 1963, т.27, вып.5.

95. Седов Л.И. Механика сплощной среды, т.2. М.: Наука, 1973.

96. Слепян Л.И. Механика трещин. Л.: Судостроение, 1981. -295 с.

97. Сулим Г.Т. Система линейных включений в изотропной среде. -Докл. АН УССР, сер.А, 1980, Ш 7, с.64-68.

98. Титчмарш Е. Теория функций. М.-Л.: ШТТЛ, 1951.

99. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л.; Наука, 1967.

100. Уфлянд Я.С. Метод парных уравнений в задачах математической физики. Л.: Наука, 1977. 196 с.

101. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.Ш. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1963. 656 с.

102. Храпков A.A. Первая основная задача для кусочно-однородной плоскости с разрезом, перпендикулярным прямой раздела. ПММ, 1968, т.32, вып.4.

103. Черепанов Г.П. Механика разрушения композиционных материалов. М.: Наука, 1984.

104. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974.

105. Черепанов Г.П. О напряденном состоянии в неоднородной пластинке с разрезами. Изв. АН СССР, сер. мех. и машиностр,, 1962, ib I.

106. Эрдоган Ф. Распределение напряжений в неоднородной упругой плоскости, имеющей трещины. Прикл. механика, 1963, т.30, )£ 2, с.83-88.

107. Эрдоган Ф. Распределение напряжений в связанных разнородных материалах с трещинами. Прикл. механика, сер.Е, 1965, т.32, Ш 2, с.169-177.

108. Эрдоган Ф. Теория распространения трещин. В кн.: Разрушение, т.2. М.: Мир, 1975.

109. Ярема С.Я., Микитишин С.И. Аналитическое описание диаграммы усталостного разрушения материалов. Физ.-хим. механика материалов, 1975, т.II, 1Ь 6.

110. НО. Adams G.G. Crack interaction in an infinite elastic strip. -Int. J. EngngSci., 1980, v.18, p.455-462.

111. Ashbaugh 1U Stress solution for a crack at an arbitrary angle to an interface. Int. J. Frac., 1975, v.11, N 2.

112. Atkinson C. On stress singularities and interfaces in linear elastic fracture mechanics. Int. J. Fract., 1977, v.13,1. N 6.

113. Benthem J.P., Koiter W.T. Asymptotic approximations to crack problems. In: Mechanics of Fracture, v.1 (ed. by G.C.Sih). Leyden: Noordhoff Intern. Publ., 1973.

114. Bergkvist H. Crack arrest in elastic sheets. J. Mech. and Phys. Solids, 1974, v.22, N 6.

115. Erdogan F.E., Gupta G.D. The stress analysis of multilayered composites with a flow. Int. J. Solids and Struct., 1971, v.7, N 1.

116. Erdogan P.E., Gupta G.D. Layered composites with an interfaceflow. Int. J. Solids and Struct., 1971, v.7, N 8.

117. Erdogan P.E., Gupta G.D. The inclussion problem with a crack crossing the boundary. Int. J. Pract., 1975, v.11, IT 1.

118. Erdogan P.E., Gupta G.D, Bonded wedges with an interface crack under anti-plane shear loading. Int. J. Pract., 1975, v.11, IT 4«

119. Erdogan P.E., Gupta G.D., Ratwani M. Interaction between a circular inclusion and an arbitrarily oriented crack. -Trans. ASME, 1974, V.E41, N 4.

120. Gol'dshtein R.V., Salganik R.L. Brittle fracture of solids with arbitrary crack. Int. J. Pract., 1974, v.10, N 4.124* Griffith A.A. The fenomenon of rupture and flow in solids. -Phil. Trans. Roy. Soc., 1920, 11 A221.

121. Griffith A.A. The theory of rupter. Proc. 1st Intern. Conf. Appl. Mech., Delft, 1924.

122. Hilton R.D., Sih G.C. A laminate composite site with a crack normal to the interfaces. Int. J, Solids Struct., 1971, v.7, p.913-930.

123. Irwin G.R. Practure. In: Handbuch der Physik, 6. Berlin: Springer, 1958.

124. J c.nic g G.G., Venezin ' .A, Bonded elastic half-planes with an interface crack and a perpendicular intersecting crack that extends into the adjacent material I, Int. J, Engng Sci., 1977, v.15. p.1-17.

125. Jp.inos G.G. , Tenezir. Bonded elastic half-planes with an interface crack and a perpendicular intersecting crack that extends into th adjacent material II. Int. J, Engng Sci,, 1977, v.15, p.19-27.

126. Malyshev B.M., Salganik R.L. The strength of adhesive joints using the theory of fracture. Int. J. Pract. Mech., 1965, v.1, N 2.

127. Comninou M., Schmueser D. The interface crack in a combined tension compression and shear field. - J. Appl. Mech., 1979, v.46, p.345-348.132» Comninou M. The interface crack in a shear field. J. Appl. Mech., 1978, v.45, p.287-290.

128. Comninou M. The interface crack. J. Appl. Mech., 1977, p.631-636.

129. Sherman D.I. On the problem of plane strain in nonhomogeneous media. In: lionhomogenity in Elasticity and Plasticity (ed. by W.Olszak). Mew York: Pergamon Press, Inc., 1959.

130. Sneddon I.U., Lowengrub M. Crack problems in the classical theory of elasticity. Wiley: 1969. 8 p.

131. Wigglesworth L.A. Stress distribution in a notched plate. -Mathematika, 1957, U 4.