Напряженно-деформированное состояние тонкого слоя при осесимметричном затвердевании из расплава тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ,СВЯЗАННЫЕ С ИЗУЧЕНИЕМ ХАРАКТЕРНЫХ ТЕПЛОВЫХ РЕЖИМОВ И НАПРЯЖЁННО

ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ.

§ I. Аналитические решения задач для нелинейного уравнения теплопроводности.

§ 2, Аналитические решения задачи Стефана.

§ 3. Задачи о напряжениях и деформациях при затвердевании.

ГЛАВА II.НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ.

§ I. Основные соотношения.

§ 2. Вариант 1.

§ 3. Решения класса А.

§ 4. Решения класса В.

§ 5. Вариант 2. Стационарные решения.

§ 6. Анализ полученных решений.

ГЛАВА III. НАПРЯЖЁШ0-ДЕФ0РМ1Р0ВАНН0Е СОСТОЯНИЕ ЗАТВЕРДЕВАЮЩЕГО ТОНКОГО СЛОЯ.

§ I. Постановка задачи определения напряжённодеформированного состояния.

§ 2. Напряжённо-деформированное состояние цилиндрической оболочки растущей толщины.

§ 3. Поле температур и моменты присоединения.

§ 4. Определение напряжённо-деформированного состояния затвердевающего упругого слоя.

§ 5. Численные примеры и обсуждение полученных результатов.

§ 6. Определение напряжённо-деформированного состояния в условиях ползучести.

§ 7. Численный пример расчёта на ползучесть.

Возрастающие требования к качеству литых изделий, к производительности и экономичности процессов литья, создание новых технологических процессов, вызывают необходимость совершенствования теоретических методов исследования.

Для получения стальных слитков используются массивные чугунные изложницы (отношение веса изложницы к весу слитка - примерно 0,7 - 1,3). Практика показывает, что изложницы выходят из строя, в основном, по двум дефектам: сквозным трещинам и сетке разгара на внутренней поверхности. Одна из главных причин образования трещин - термические напряжения, возникающие в изложницах в процессе эксплуатации. Разность температур наружных и внутренних слоев стенок массивных изложниц в период разливки стали достигает 700° - 750°С; при этом в наружных слоях возникают растягивающие напряжений, которые приводят к образованию трещин и выводят чугунные изложницы из строя уже при первых наливах. В конце 60-х годов были начаты опыты по получению слитков в стальных тонко -стенных изложницах типа оболочек. Описание и результаты опытов приведены в работах [ 5] , [9] , [30] , [31] , [32] . Исследовались (в зависимости от толщины стенок) стойкость оболочек (количество наливов), скорость затвердевания слитков, качество слитков. Например, изучалось затвердевание НО кг слитка с диаметром 0,205 м в оболочковой стальной изложнице с толщиной стенки 1,75мм, крупного слитка весом 4000 кг и диаметром 0,63 м в изложнице с толщиной стенки 10 мм. Аналогичные слитки получались также в массивных чугунных изложницах (масса приблизительно равна массе слитка). Опыты привели к следующим результатам: на внутренней поверхности стальных тонкостенных изложниц никаких дефектов не обнаряжено, что положительно сказалось на качестве слитков, т.к. они имели лучшую поверхность; стойкость оболочковых изложниц намного превосходила стойкость массивных чугунных изложниц; при определенной толщине стенки оболочка приваривалась к получаемому слитку, образуя с ним единое целое. Слитки небольшой массы за -твердевали быстрее в массивных изложницах, а большие слитки (примерно, начиная с 2,5 т - 3 т) - в оболочковых. Средняя скорость затвердевания слитка максимальна тонкостенной форме. По мере роста толщины стенки она уменьшается. Скорость затвердевания минимальна в изложницах, масса которых составляет 25 - 30% от массы слитка. Все это позволило сделать вывод о перспективности применения тонкостенных стальных изложниц типа оболочек для улучшения качества крупных слитков и снижению затрат на изложницы.

В данной работе рассматриваются задачи, связанные с определением напряжений и деформаций в образующейся корке отливки и слитка, затвердевающих в любых условиях и в тонкой изложнице при нарастании на нее корки затвердевающего расплава. Для анализа тепловых режимов рассмотрены осесимметричные процессы теплопроводности, включающие процессы с затвердеванием расплава.

В первой главе дается обзор имеющихся в литературе результатов, по рассматриваемым в работе вопросам.

Во второй главе рассматривается нелинейное уравнение теплопроводности. Отыскиваются аналитические точные решения при аппроксимации зависимости коэффициента теплопроводности от температуры степенной функцией. Во многих случаях расчеты температурных полей на основе линейного уравнения приводят к значительным количественным погрешностям, а иногда и к неправильным качественным результатам. При температурах порядка Ю00°С резко меняются с изменением температуры характеристики материалов (предел прочности, предел текучести и др.), так, что значительная ошибка при определении температурного поля может существенно исказить результаты оценки механического поведения. Специфика процесса затвердевания в рассматриваемых условиях может быть учтена в ряде случаев в уравнении в других - в условии на границе сопряжения, соответствующей границе затвердевания. В первом случае уравнение заменой искомой функции может быть приведено к уравнению теплопроводности с коэффициентом теплопроводности, зависящим от температуры, т.е. к уравнению рассматриваемого типа. Во втором случае используется условие Стефана.

Для рассматриваемых процессов характерны сложные условия теплообмена с внешней средой, включающие излучение по закону Стефана - Больцмана. Для отыскания решений применяются аналитические методы. Сила аналитических методов в общей форме решения, которая позволяет в любой точке в любой момент оценить тепловой режим, отразить влияние всех факторов, оценить их значимость и выделить главные из них. Сведением уравнения теплопроводности к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, используя некоторые заданные формы решений, удалось получить набор точных аналитических решений для одномерных, двумерных стационарных и нестационарных задач. Полученные решения соответствуют различным условиям теплоотдачи для различных тел с простой и сложной конфигурацией границ и могут быть использованы при разработке методов расчета тепловых режимов, а также других явлений, описываемых уравнениями этого типа.

Третья глава посвящена изучению напряженно-деформированного состояния затвердевающего на поверхности слоя. Выписывается замкнутая система уравнений для оболочки произвольной формы, с изменяющейся в результате затвердевания внутренней границей. Получены решения задачи для круговой цилиндрической оболочки в осесиммет-ричной постановке при упругих деформациях и в условиях ползучести. Учитывалась зависимость свойств материала от температуры, действие веса и давление жидкого металла. Первая задача решена аналитически, вторая - методом последовательных приближений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Б работе рассмотрена задача о развитии напряженно-деформированного состояния тонкого слоя при осесимметричном затвердевании из расплава. Для анализа тепловых режимов рассмотрены осе -симметричные процессы теплопроводности, включающие затвердевание.

Во второй главе получен ряд новых точных аналитических решений нелинейного уравнения теплопроводности при условии степенной зависимости коэффициента теплопроводности от температуры (§§3,4,5).

1. При произвольных значениях коэффициента^ : а) нестационарные решения:Т, ,Та - одномерный процесс для сферической области, - одномерный процесс для цилиндрической области, Т^ , » Тг1 - одномерный процесс для области с прямолинейными границами; б) стационарные решения: двумерные решения - Т2§ , Тг9 , Т31( , Т35.

2. При фиксированных значениях коэффициента оЬ : а) нестационарные решения: одномерный процесс для сферической области - Т3 , Т,, , Т5 (все при Т6 ( <¿--1 ),

Т^ ( = Т8 ( ); одномерный процесс для цилиндрической области - Т,0 ( )» С ); одномерный процесс для области с прямолинейными границами - Т|е , Т« , Т18 -(все при ), ( ¿--1 ), Тао ( ^ = -2 ); двумерные решения - Тгг ,Т„ шТгм (все при ), Т25.и Т26 ( о^-^- ); Тм , Тзг ,

Тгз (все при«( = -^), Т30 ( ¿=-1); б) стационарные решения двумерное решение -Тгч ( о£ = -1 ).

Проанализированные решения соответствуют следующим физическим задачам: начальное распределение температур - нулевое, стеленная функция радиуса или повторяющее фор^лу решения; при соответствующих ограничениях на значениях - решения - ограниченные функции. Тепловой поток на границе области может быть записан: как стеленная функция температуры - Т, , , Тго , Тг1) функция температуры и времени -Т3 , Т9 , Т1о , Т19- , Т18 ,Т5 , ; на подвижных границах возможно условие конвективного теплообмена со средой нулевой температуры ( Т, , Тг , Т.^ ), задание теплового потока в виде степенной функции времени ( , Т3 ,7^ , Т5 ,Т§ , * * * ) условие теплоизолированное™ (Т1г,Т1е , Тп ); отдельно отметим решения, удовлетворяющие граничным условиям задачи Стефана (при ). Т6 , Т}8 , Т<9 для случаев сферической, цилиндрической и плоской симметрии. Для двумерных стационарных и нестационарных решений могут быть рассмотрены поверхности со сложной конфигурацией границ, на которых возможно задание теплового потока в виде стеленной функции температуры ( Т22 , Т23 , » тзч )» функции температуры и времени ( Тгг ,Тг5 , ), функции температуры и радиуса - Тгг, Тгч ,ГТ^5 (на подвижных границах), Т^ ; возможны условия теплоизолированности ( Т2?>, Т^д ), стационарного теплового потока - Т^ , постоянного теплового потока - Т^ и др.

Исследование всех полученных решений на возможные краевые условия не проводилось: приведены некоторые примеры; особенно это относится к решениям для областей с достаточно сложными границами. Кроме того, возможно получение лолуаналитических решений,например, соединяя точные аналитические решения системы (2.2.4) и приближенные аналитические или численные решения для уравнения (2.3.3).

В главе Щ рассматривалась задача определения напряженно-деформированного состояния замкнутой цилиндрической оболочки, конечной длины, заполненной жидким металлом. Внутренняя граница оболочки за счет происходящего на ней процесса затвердевания жидкого металла., является функцией времени. Оболочка рассматривалась при упругих деформациях и в условиях ползучести. Задача упругости решена аналитически для произвольного решения температурной задачи, произвольной зависимости характеристик материала от температуры и произвольных краевых условий. Проведен численный расчет для 3-х типов граничных условий, случаев постоянного модуля 0- и модуля 0- , зависящего от температуры (для двух оболочек с различными характеристиками). Учитывается скачок плотности.

Из полученных аналитических формул (что отмечено в § 5)> видно, что поведение определяемых величин (перемещений и напряжений) по толщине оболочки обусловлено кроме обычных факторов также наличием функции - моментов присоединения; это вытекает из учета происходящего фазового перехода; в точках з = )г0 определяемые величины имеют угловые точки.

Для оболочки с данными из работы [б] результаты при 0- постоянном и переменном практически совпадают, т.к. температурный интервал весьма небольшой. Для оболочки с данными, приведенными на стр. 94 » кривые при различных 0- уже сильно отличаются (температурный интервал следующий: /500°С ), причем с течением времени это влияние заметнее (вид кривых сохраняется).

Напряженно-деформированное состояние оболочки (в данной постановке) определяется температурными условиями и гидростатическим давлением заполнителя; последнее значительно меньше влияет на определяемые величины.

Представлено примерное распределение возникающих пластических зон. Оболочка с первыми данными вследствии малого интервала времени и высокой температуры находится (при граничных условиях 1-го типа) вся в пределах упругости и лишь с ростом времени (в данном случае при "tmq5c ) охлаждение внешней поверхности может привести к образованию пластической зоны. При граничных условиях 2-го типа естественно образование пластической зоны на никнем крае оболочки вследствии резкого возрастания напряжений.

Для оболочки со 2-ми данными, более толстой и с большим интервалом температур, пластическая зона начинает появляться ближе к внутреннему краю оболочки: температура там очень высока, в то время как на внешнем крае температура колеблется от 7Э0°С (в начальный момент) до 630°С в t х . Пластическая зона доходит до края внешней поверхности оболочки с ростом времени по мере накопления уровня напряжений. Для граничных условий 2-го типа пластическая зона на нижнем крае возникает быстрее и быстрее же распространяется до внешней поверхности. Учет зависимости модуля £ от температуры приводит к выводу о ускорении процесса; все предыдущие выводы сохраняются.

Расчет оболочки в условиях неустановившейся ползучести проведен методом последовательных приближений. Показано, что задача определения напряжений полностью математически аналогична решению уже приведенной упругой задачи (это справедливо для случая однородного поля температур или специально подобранной функции оЪ в (3.6 .13)). Решение получено также для произвольного решения температурной задачи, произвольных зависимостей характеристик материала от температуры и краевых условий. Связь величин , рц. и Т также произвольная.

Показана сходимость процесса последовательных приближений. Путем качественного исследования показано, что сходимость процесса не зависит от введенных данных, а обусловлена строением полученных решений; с течением же времени сходимость будет ухудшаться. о) Со) —(о)

Расчет проведен для 1и (сс,-Ь), го* (х,Ь) , ©¿-(х^Д), , причем отдельно выделялась составляющая за счет упругих дедх>рма-ций и составляющая, зависящая от функции . Значения прогиба для рассматриваемого интервала времени - упругие и с учетом ползучести практически совпадают, а для напряжений разница более заметная; это определено характером полученных аналитических формул для каждого приближения.

1. Абель В.В., Додин Ю.С., Лысюк А.Я. Напряженное состояние неравномерно нагретого цилиндра с переменной внутренней границей - "Изв.вузов Машиностроение", М., 1983, J3 5, с.9-12.

2. Адамович В.К. Свойства сталей, применяемых яри высоких температурах. Обзор зарубежных материалов. М., НИИИН (ЮРМТЯШАШ, 1970, J* I, 40с.

3. Алексашенко A.A. Некоторые приближенные аналитические методы решения нелинейных задач теплопроводности. "Теор.основы хим. технологии". М., 4"Наука", 1981, 15, JS 4, с.494-512.

4. Аналитические, численные, аналоговые методы в задачах -теплопроводности. Ин-т математики АН УССР Киев: "Наук.думка", 1977, 240 с.

5. Анисович Г.А., Ашрафьян Э.Б., Почанин Ю.С. О влиянии толщины стенки изложницы на скорость затвердевания слитка.- Сб."Проблемы стального слитка", М., Металлургия, 1969, вып.4, с.282-284.

6. Анисович Г.А., Почанин Ю.С. Расчет процесса затвердевания стального слитка в оболочковой металлической изложнице. Изв. АН БССР. Серия физико-техническая, 1969, В I, C.II3-I2I.

7. Антимиров М.Я., Геллер В.В. Решение тепловых задач при движении границы по закону £>лГГ . Инж.-физ.журнал, 1964, 7, J& 9,с.57-64.

8. Антипов В.И., Лебедев В.В. Приближенное решение задачи Стефана с граничными условиями 1-го рода, зависящими от времени.-"Теплофизика высоких температур", 1969, 7, J5 4, с.736-741.

9. Ашрафьян Э.Б., Манакин A.M., Вишневский A.B., Черников Г.К., Кириченко А.И., Хорошко И.Н., Орленко В.Н. Свойства углеродистой стали, залитой в тонкостенные стальные изложницы.

10. Баренблатт Г.И. 0 некоторых неустановившихся движениях жидкости и газа в пористой среде. ГШ, 1952, т.16, выл.1,с.67-78.

11. Бобрик А.И., Михайлов В.И. Расчет нелинейных температурных полей в сложных двумерных областях. "Прикладная механика"," 1976, 12, В 4, с.69-74.

12. Бровкин Л.А. Аналитический расчет нагрева твердых тел излучением методом параболлической аппроксимации законов изменения термических коэффициентов. "Изв.вузов Энергетика", Минск, 1965, № 3, с.91-95.

13. Бурлаков A.B., Львов Г.И., Морачковский O.K. Ползучесть тонких оболочек. Харьков, изд.объединение "Вища школа" при Харьковском государственном ун-те, 1977, 124 с.

14. Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П., Самарский A.A. Локализация тепла в нелинейных средах. Дифференц.ур-я, Минск, "Наука и техника", 1981, т.17, I 10, с.1826-1841.

15. Галактионов В.А. Новые математические метода исследования процессов нелинейной диффузии .-"Мат. модели, аналит.и числ. методы в теории переноса", Минск, 1982, с.26-32.

16. Гамаюнов В.И. Некоторые задачи тепло- и массолереноса. -"Инж.-физ.журнал", 1962, 5, JS 2, с.79.

17. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М. ,Гос-техиздат, 1953, 544с.

18. Драйцун И.А. Асимптотическое приближение к решению нелинейной задачи теплопроводности. -"Инж.-физ.журнал", 1969, т.16,15 6, с.1087-1091.

19. Захаров А.М., Захаров М.В. Жаропрочные сплавы. М:"Металлургия", 1972, 383с.

20. Ильюшин A.A. Пластичность. М.:Гостехиздат, 1948, 376с.

21. Ильюшин A.A., Победря Б.Е. Основы математической теории тер-мовязкоупругости. М:"Наука", 1970, 280с.

22. Ильюшин A.A., Поспелов H.H. О методе последовательных приближений в задаче неустановившейся ползучести. "Инж.журнал", 1964, 4, Je 4, с.697-704.

23. Иодко Э.А. Аналитический метод расчета температурных полейв телах простейшей формы с подвижными границами. "Инж.-физ. журнал", 1964, 7, № II, с.94-97.

24. Исследования сталей и сплавов (под ред.Одинга И.А. и др.).-М:"Наука", 1964, 390 с.

25. Канторович Л.В., Крылов В.Н. Приближенные методы высшего анализа. М.-Л., Гостехиздат, 1950, 696с.

26. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.- М: "Наука", 1971, 576с.

27. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел.- М:"Наука", 1964, с.487. ' ■

28. Качанов Л.М. Теория ползучести. М:Физматгиз, I960, 455с.

29. Коган М.Г. Решение нелинейных задач теории теплопроводности методом Канторовича. "Инж.-физ.журнал", 1967, т.I2,J3 I, с.72-81.

30. Ковалев Н.И., Ефимов В.А., Манакин А.¡Л., Ашрафьян Э.Б., Коло-тий В.Н. Качество металла, отлитого в тонкостенные стальные изложницы. Сб."Разливка стали и качество слитка", Киев, 1971, с.132-136.

31. Ковалев Н.И., Ефимов В.А., Манакин A.M., Ашрафьян Э.Б., Офен-геден A.M. О стойкости стальных тонкостенных изложниц.-Сб. "Разливка стали и качество слитка", Киев, 1971, с.137-141.

32. Ковалев Н.И., Манакин A.M., Ашрафьян Э.Б., Колотий И.В., Драпов А.Н. Отливка крупных блюминговых слитков в стальных изложницах.- Сб."Материалы П научно-технической конференции

33. НШПТМАША, 18-20 марта 1969 г.", Краматорск, 1970, с. 18-20.

34. Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. М: "Наука", 1975, 227с.

35. Коротаев Ю.П., Жевина И.Н. Решение задачи о затвердевании жидкого металла в неограниченном цилиндре. "Изв.вузов. Нефть и газ", Баку, 1979, 13 12, с.40-43.

36. Крылович В.И.,Писарчик Л.И., Чернышевич И.В. Температурное поле в материале при нестационарном уносе массы. Изв.

37. АН БССР, Серия физ.-энерг.наук, 1968, !Ь 4, с.73-76.

38. Лебедев Н.И. Специальные функции и их приложения. -М.-Л:Гос. издательство физ.-мат.литературы, 1963, 358с.

39. Леонова Э.А. Групповая классификация и инвариантные решения уравнений течения и теплообмена вязко-пластической среды. -ПМТФ, I96S, № 4, с.3-18.

40. Леонова Э.А. Инвариантные преобразования в МСС и вариант теории затвердевания отливки. Вестник Моск.ун-та, 1982, № 4, с.82.

41. Леонова Э.А., Механические свойства металлов в окрестности температуры кристаллизации.-Сб."Упругость и неупругость",М., изд.Моск.ун-та, 1971, выл.1, с.221-251.

42. Леонова Э.А. Описание влияния температуры и скорости деформации на процессы пластического течения и ползучести металлов.-Вестник 'Лоск.ун-та, 1975, JS 6, с. 124-125.

43. Леонова Э.А. О температурных напряжениях в слитке и изложнице,- Всесоюзная научно-техническая конференция "Обобщение передового опыта по снижению удельного расхода изложниц", 1971, с.22.

44. Лыков A.B. Теория теплопроводности,- М:"Высшая школа",1967, 599 с.

45. Лыков A.B. Методы решения нелинейных уравнений нестационарной теплопроводности. Изв.АН СССР. Энергетика и транспорт, 1970, Л 5, с.109-150.

46. Махоркин И.Н. Термоупругость шара с зависящими от температуры физико-механическими свойствами. "Мат.методы и физ.-мех. поля", Респ.межв.сборник, 1978, № 8, с.98-101.

47. Неймарк Б.Е. Физические свойства сталей, применяемых в энергетике. Справочник.-М.-Л.:"Энергия", 1967, 240с.

48. Никитенко Н.И., Сновида Н.Р. Температурная зависимость коэффициента Пуассона и ее влияние на напряженное состояние тела,-Сб."Теплофизика и теплотехника", Киев, "Наук.духМка",1975,29, с.38-41.

49. Никитенко Н.И., Сновида Н.Р., Евтеев Д.П., Соколов Л.А. Поля температур, деформаций и напряжений в слое затвердевающего слитка. Сб."Теплофизика и теплотехника", Киев, "Наук.дулща1,1 1976, 30, с.43-47.

50. Овсянников Л.В. Групповые свойства уравнений нелинейной теплопроводности. ДАН СССР, 1959, 125, № 3, с.492-495.

51. Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск: изд.СО АН СССР, 1962, 238с.

52. Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины.- М: изд. Моск.ун-та, 1969, 691с.

53. Пальмов В.А. О напряжениях, возникающих при затвердевании материалов. МТТ, 1967, të 4, с.80-85.

54. Плешаков A.C. О плавлении центрально-симметричных тел тепловым потоком при уносе жидкой фазы.- "Журнал техническая физика", Ленинград,"Наука", 1962, 32, J« I, C.I06-III.

55. Полубаринова-Кочина П.Я. Об одном нелинейном уравнении в частных производных, встречающемся в теории фильтрации. -ДАН СССР, 1948, т.63, № 6, с.623-626.

56. Поспелов Н.И. К расчету неизотермической неустановившейся ползучести.- Изв.АН СССР. Мех.тв.тела, 1976, I, с.169-171.

57. Прохоров H.H. Горячие трещины при сварке.- М:Машгиз, 1952, 220с.

58. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М:"Наука", 1966, 752с.

59. Работнов Ю.Н., Милейко С.Г. Кратковременная ползучесть. М: "Наука", 1970, 222с.

60. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана.- Рига:"3вайгэне",1967, с.457.

61. Самарский A.A., Змитриенко Н.В., Курдюмов С.П., Михайлов А.Г. Эффект метастабильной локализации тепла в среде с нелинейной теплопроводностью.- ДАН СССР, 1975, т.222, JS 6, с.1344-1347.

62. Самарский A.A. О новых методах исследования асимптотических свойств параболических уравнений. Труды МИ АН СССР, 1981, т.158, с.153-162.

63. Сахарова О .П. Напряженно-сформированное состояние затвердевающего цилиндрического слоя. М., 1980,-18 е.- Рукопись представлена Моск.ун-том. Депонирована в ВИНИТИ 2 окт.1980,4261,-80.

64. Сахарова 0.П. Некоторые точные аналитические решениянелинейной задачи теплопроводности.- М., 1983, 11с.-Рукопись представлена Моск.ун-толи Депонирована в ВИНИТИ 24 мая 1983, № 2788-83.

65. Свойства и применение жаропрочных сплавов. (Под ред.Придан-цева M.B.) М: "Наука", 1966, 299с.

66. Смирнов М.С. Нелинейная стационарная система дифференциальных уравнений переноса тепла и вещества. "Инж.-физ.журнал',' 1965, т.9, гё 2, с.250-254.

67. Смирнов М.С. О нелинейных задачах тепломассообмена.- "Инж.-физ.журнал", 1965, т.9, Я 5, с.567-570.

68. Сопротивление деформации и пластичность стали при высоких температурах (под ред.Тарновского И.Я.) Тбилисси:"Сабчота сакартвело", 1970, 220с.

69. Тайц Н.Ю. Технология нагрева стали, изд.2-е.- М:Металлургиз-дат, 1962, 567с.

70. Фролов В.В. Групповые свойства уравнений нелинейной теплопроводности и решение обратных задач. ДАН БССР, 1975, 19,1., с.992-995.

71. Фурман A.B., Фукс Г.И. Аналитический расчет нагрева тел одновременно излучением и конвекцией.- Изв.вузов. Черная металлургия. 1967, № 6,с.139-142.

72. Фурман A.B., Ляликов A.C., Коновалова Л.С. О взаимосвязи меж-жу температурами при нелинейных явлениях переноса тепла в ТВЭЛах.- "Инж.-физ.журнал", 1969, т.17, й 3, с.1559-564.

73. Чарный И.А. О методах линеаризации нелинейных уравнений теплопроводности. Изв.АН СССР, ОТН, 1951, Л 6, с.829-843.

74. Чиркин B.C. Теплофизические свойства материалов. Справочник. М.:Атомиздат, 1968, 484с.

75. Шляхов С.М. Нелинейная задача теплопроводности для эксцентрического кольца со смешанными условиями нагрева контура.-Сб."Мех.деформируемых сред", Саратов: Саратовск.ун-т,1976, 4, с.165-170.

76. Шевченко 10.Н., Терехов Р.Г. Физические уравнения термовязко-лластичности. Киев: "Наук.думка", 1982, 238с.76. /Imes W.F. Nontinear partial differential! equations In, eriji.neeKnj. Academic Press , Nl.Y. , 1965, 5-Ис.

77. ВoEeyft. Метод решения задачи теплопроводности при наличии плавления и затвердевания. "3. МсЛ ahd РЦй.",1961, 40, ib 4, с.300^313.

78. ВоЕеу б. Исследование задач теплопроводности и плавления

79. Higk ^emperat. struct, and Mater." ft rep mo n Press, Oxford-London-N.Y.- Paris,1964, 260 c.

80. Friedman,^ N.E. QuasiEtnear heat .tovr ~ " Jrans. /QSME , 1Э58, V.80, c. 635-645

81. QaSson ft-E. Задача теплопроводности при заданной подвижной границе. "Quart. йррЕ. Math.", 1959, 16, , с. 426-430.

82. Srosk R.l, TraBant F.A., Havrkins Gr. A. Temperature distribution in sotids of variMe Uermai properties Seatedmoving heat sources. "Quart. flppE.Mati", MSG, V. Xnj,M02, c. 161-167

83. G-uHeEsu,/}.IV., Сактас Расчет начала процесса уноса с внутренней поверхности полого цилиндра. "3rd. У. SoBlcIs aricl Struct." -1970, 6, Nfo 8, C.10S7-1102.

84. Hsiao К. И., Сох Н. Нагружение затвердевающей сферы.-"Tran.A^ME 1 Heat Transfer", 1972, Е-39, Н0{ , с. 71-79.88. 3iji L.M. Применение метода возмущений для задач со свободнойповерхностью в радиальных системах. FramcEtn 3nst."7 4970, Noс.281-289

85. Мastanaiaii К., Muih-uim^agam Л.Е. transient cortductLoa ¿и, a ^iFiite s^a.8 uriffc, var£a8£e ifterma£ conductivity. — "ДЗАА tJournat"1Ъ, ¡Vo?, c.954-956.

86. Osisiic M.N-, "lTzze.EE Точное решение цилиндрической задачи затвердевания при растянутом диапазоне температуры затвердевания. "Trans. ДБМЕ 3. Heat Transfer", 1979, 101, г/о2, с.ЗЛ-334.

87. Poots Gp. • 0 приложении интегральных методов к решению задач, описывающих отвердевание жидкостей, находящихся в начальный момент при температуре плавления. " ^niernod, Heat and. Moss Transfer", 1962,5, ЭипЕ, c. S2S-S31.

88. Ri£e j D.Si., Smi ik E.T., Poots Затвердевание шаров и круглых цилиндров. ' 3nt. 1 Heat and Mass Transfer , <474,1., N012, c. 1501- 154)6.

89. HuBCnsk^ В., Skitzer А. Аналитические решения уравнения теплопроводности с движущейся границей с применением к задаче фазового перехода. (Обратная задача Стефана)- " Iraas.^SME

90. Heat Transfer", 1978, 100, No2, с.з00-304.

91. Sfi.arma 0., Rotenberg И. Проблемы фазовых переходов припеременной температуре поверхности. "Л ЗАД Зопг at. 1967, 5, IM, С.&7Т-Б82.

92. Springer Gr-S. Влияние теплопередачи в осевом направлении на промерзание или оплавление цилиндра. " Internat. 1 Heat and Mass Transfer ", ^ 9 69 , 12, Mob, c.52A-S2k.

93. Storm M.L. Heat conduction, С/г s Cm pit metat s. " 3a. App8. Pfiys.", NX, 1951 , 22, c. 940-951.